Une interprdtation dldmentaire des thdort mes fondamentaux de M. Nevanlinna

Par CHARLES BLANC, Lausanne

Introduction Les th6or~mes fondamentaux de M. N e v a n l i n n a concernent essentielle-

ment le comportement du logarithme du module de fonctions m6ro- morphes, c'est-~-dire le comportement de fonctions harmoniques en relation avec les singularit6s de ces fonctions. On peut se demander quelle est la propri6t6 essentielle des fonctions harmoniques qui est alors utilis6e. Nous nous proposons de montrer qu'on peut retrouver en gros les r6sultats de M. Nevanlinna en partant du f a r bien connu qu'une fonction harmo- nique dans un cercle prend au centre une valeur 6gale s la moyenne des valeurs qu'elle prend sur le contour.

Au lieu de consid6rer des fonctions de points dans un plan, nous con- siddrerons des fonctions d6finies aux sommets seulement d'un r6seau qui sera constitu6 (topologiquement) par p rayons issus d 'un point P0 et par une suite infinie de cercles C1, C2 , . . . ayant ce point pour centre (le nombre entier p, qui aura toujours la m~me signification, jouera le r61e du 2 ~ des formules connues sur les fonctions m6romorphes).

w 1. Fonction harmonique dans un rbseau.

Soit u (P) une fonction ddfinie dans une rdgion D du rdseau (on entendra par r6gion du r6seau l'ensemble des points intdrieurs d'un polygone fermd et sans point double du rdseau). Soit P u n point int6rieur de D, et autre que P0. On posera

f l (P) = 4 u ( P ) - - Z u ( P , )

la somme 6tant 6tendue aux 4 sommets Pc du r6seau voisins de P; en P0, s'il est s l'int6rieur de D, on posera

f l(Po) -= P u (Po) - - X u (P, )

la somme 6tant 6tendue aux p sommets de C1. fl (P) mesure la diff6rence entre la valeur prise par u (P) et la valeur moyenne de u (P) sur les points voisins; elle exprime dans quelle mesure u ( P ) diff~re d'une fonction qui serait en chaque point 6gale ~ ]a moyenne des valeurs qu'elle prend aux

153

points voisins. Si f l(P) = 0, on dira que u ( P ) est harmonique en P; si f l(P) -~ a > 0 on pourra dire que P e s t un pSle d'ordre a, et si f l(P) ==- b < 0, que P est un zdro d'ordre b.

Th~or~me d'existence : Etant donndes sur C~ une /onction/ (P), et en Po et sur C1, C 2 . . . . , C~_ 1 une /onction g(P) , il existe une /onction u (P) et une seule ~gale d / ( P ) sur C net telle que fl(P) -~ g(P).

En effet, il s'agit de ddterminer les valeurs de u ( P ) en 1 § sommets du r~seau; on dispose pour cela de 1 + p ( n - 1) 6quations lin~aires non-homog~nes dont le d~terminant n'est pas nul: il suffit, pour le montrer, d'~tablir l'existence d'un syst~me de solutions pour un choix particulier des fonctions / et g. On prend / = 0 et g = 0 except6 en P0 oh g -~ p. On v~rifie sans peine que la fonction

u ( P ) = - n - - l c P sur C k

est alors la solution du syst~me; le ddterminant n'est donc pas nul, et la solution est bien d~termin~e quelles que soient / et g.

On retrouve ainsi facilement d'autres propri~t~s des fonctions harmo- niques. Par exemple:

Soit / ( P ) une /onction sur C~, et soit u ( P) une /onction dd/inie d l'intdrieur de C~ et sur C, , dgale d / (P ) sur C~. L'expression

~ [ u ( P ) - - u ( P , ) ] ~

o4 la somme eat dtendue d to'us lea points P intdrieurs ~t C, , et pour tous lea points voisins de P, atteint son min imum lorsque la /onction u(P) est harmonique dana Cn.

Prenons, pour le montrer, un point P1 et fixons la fonction u ( P ) en tout point autre que P1; posons u(P1) ~- x ; alors

Z [ u ( P ) - - u ( P , ) ] 2-~ A ~ - X [ x - - u ( P ~ ) ] 2-= 2(x)

~'(x) -~ 2 Z [x - - u(P/)]

et ~'(x) ~- 0 si 4x = Z u ( P ~ )

c'est-h-dire si fl(P~) -~ O, ce qui d~montre l'affirmation.

D'autre part, on montre sans peine qu'une fonction harmonique dans un domaine D d'un rdseau y v~rifie le principe du maximum: elle ne pout atteindre son max imum ou son min imum qu' en un point du co~tour poly- gonal qui limite D.

154

Formule de Green: Soient deux fonctions u(P) et v(P) ddfinies dans et sur C. . Appelons En l 'ensemble des sommets du rdseau situds sur les ce rc lesC l ~ C ~ e t s o i t E * ~ = E n + P o . O n a , s i P e s t u n p o i n t d e E ~ _ 1

u(P) fl~ (P) -- v(P) fl,,(P) = 4 u ( P ) v ( P ) - - u ( P ) I v ( P ~ )

- - 4 u ( P ) v ( P ) + v(P) Zu(P~)

et en faisant la somme pour t o u s l e s points de En_ 1

[ u ( P ) fl~(P) - - v (P) flu(P)] ----- - - ! u ( Q ) v ( P ) + l v ( Q ) u ( P ) En.-a Cn Cn

--v(Po) Z ,u (P) -+ u(Po) I v ( P ) C1 C1

oh Q est le point de C~_ 1 voisin de P sur C~. On a en outre

(1)

u(Po) fl,(Po) - - v(Po) fl~,(Po) ---- v(Po) I u ( P ) - - u(Po) I v ( P ) (2) Cl CI

d'oh, en a jou tan t (1) e t (2),

Posons

alors

I E'n_ 1

(ufl~, - - vfl,,) --- - - I [ u ( Q ) v ( P ) - - v(Q)u(P)] . (3) Cn

OU On - - u ( Q ) - - u ( P ) ;

Ov Ou u - ~ - - V-~n = v(Q) u (P) - - u(Q) v(P)

et la relat ion (3) devient

I ( u / ~ - - v ~ ) = I U ~ n - - v-y~ , (4) E : _ I Cn

que nous pouvons appeler formule de Green.

Prenons pour v (P) une fonet ion v (P , Q) ~gale ~ zgro sur Cn, avee f l ,(P) = 0 exceptg pour P = Q, pour lequel on a fl,(Q) ~ 1. La relat ion (4) devient alors

av( P, Q) - - Z v(p ,Q)f l , , (P) + u ( Q ) ~ l u ( P ) On ..... t

E n _ 1 Cn

d'oh

u(Q) = _ y u ( P ) Ov(P,Q) + I v (P ,Q) f l , , (P) .

155

Ainsi, la d6termination de u (Q), connaissant ses valeurs sur C, et ses fl, revient K celle de v(P, Q) et de sa ,,ddriv4e normale" sur Cn. I1 y a 1 + p (n - - 1) fonctions de Green v(P, Q) relatives ~ C, ; il en rfisulte que le calcul de u (Q) en tout point intdrieur s C. est immfidiat dgs que l'on possgde le jeu complet des fonctions de Green dans C,.

On remarque que u(Q) est une fonction lin6aire de fl et de u(P) sur C,. I1 en r4sulte qu'fl existe pour l'ensemble des fonctions u(P) dans C~ un th4orgme de d4composition vectorielle: routes les fonctions u(P) sont d4composables en une somme de ( l + p n ) d'entre elles, lindairemen$ ind4pendantes.

Proposons nous en particulier de trouver u(Po). La fonction de Green v(P, Po) est facile & calculer:

et

d'oh

v (P, P0) - - - - n - - k

P

Ov 1 On p

Posons

si P e s t sur Ck

u(Po) = I z u ( P ) + Z n--.~k fl,,(p) . P c. E,~_I P

n--1

Z fl,,(P)----~'(k,u) , Z ~ , ( k , u ) ~ - - F ( n - - l , u ) . ~ ' k o

On a alors pu(Po) ----- Z u ( P ) + F ( n ~ 1 , u) ,

G'rt

ce qui rdsout le probl6me. C'est l'analogue de la formule de Jensen.

(i)

w 2. Les fonetions m, ~ et T.

Posons, d'une fa~on g4ndrale

+ i x si x ~ > 0 - t 0 si x > ~ 0 x = t 0 s i x < O x = t - - x si x < 0

+ +

eLsoit m ( n , u ) -- • u ( P ) , m ( n , u ) ----- X u ( P ) C n G'n

�9 4- + ? ( n - - l , u ) ----- z~ f l (P) , ? ( n - - l , u ) ----- Z fl(P)

E ~ E ' n - 1

+ n - 1 + n - I

N ( n - - 1, u) = - r v (k, u) , N ( n - - 1, •) : Z ~ (k, u) 0 1

156

La formule (I) devient alors

+ + +

?[u(Po) - - u(Po) ]-~ m (n, u) - - m (n, u) + N ( n - - 1 , u) - - N ( n - - l , u)

ou encore

+ + + m(n,u) + N ( n - - l , u ) ~ pu(Po) -~ m(n,u) + N ( n - - l , u ) - - p u ( P 0 ) . (I ')

Posons + +

T ( n , u ) = m ( n , u ) + N ( n - - l , u ) ;

on a ainsi

m (n, u) + N ( n - - 1, u) -~ T(n , u) - - p u (P0) ( F )

qui n 'est qu 'une fagon d'dcrire la relation (I).

T (n, u) est une/onction croissante de n.

Prenons, pour le montrer, un point Q de E : - I ; on a

u(Q) ~ .Y, v~(P,Q)f l . (P) + Z u ( P ) av~(P,Q) ~* n-1 ca ~n

v~(P, Q) &ant la fonction de Green dans C. relative ~ Q. Or

av n vn(P,Q) ~ 0 , gn ~ 0 ,

donc

c'est-h-dire

Posons

+ + av~(P,Q) u(Q) = Z v~(p,Q) fl.(P) + Zu(P)

E* n-i On ~f

- - Z v,,(P,Q) f l u ( P ) - - Z u ( e ) av.(P,Q)

+ + + av. (P, Q) u (Q) ~ Z v. (P, Q) ft. (P) + Z u (P)

~ " n ~ l On O n

§ Vn(Q) ~ S v . (P, Q) fl .(P) .

Et~- i

Si Q est sur C r l , V,,_ 1 (Q)~-~ o . D ' au t r e par t , l 'expression

4- + V.(Q) ~ V._, (Q) = Z fl~(P) [v. (P, Q) - - v.- l(P, O)] + Z v . ( P , Q) flu(e)

B'n_ 2 Cn-~

est une fonction harmonique dans E**_ 2, donc

[ V. (Q) - - V.-1 (Q)] = p [ V. (P0) - - Vn-1 (P0)] �9

157

Or 4-

pVn(Po) = N (n - - 1, u)

4-

pVn-~ (Po) -~ N (n - - 2, u)

d'oh, puisque Vn-1 -~ 0 sur C § §

Z Vn (Q) : N ( n - - 1, u) - - N ( n - - 2 , u) . (In-.1

On

dans E*~-I, done

or on a

done

et

+ avn (P, Q) D'autre part, 27 u ( P ) an . est une fonction harmonique de Q

+ avn (P, Q) + 0vn (P, Po) 27 27 u (P) ---- p 27 u (P)

On-1 On a n on a n

_ _ + 4 - avn(P, Po) 1 et Z u ( P ) : m ( n , u ) an P vn

4- 4- 4- 4- m ( n - - l , u ) ~ N ( n - - l , u ) - - N ( n - - 2 , u ) - + - m ( n , u )

c. q . f . d . T ( n - - l , u ) ~ T ( n , u )

w 3. Un th~iori~me sur le comportement d'une fonction dans une r6gion du r~seau.

Soit D u n e rdgion du rdseau limitge par un polygone I I illimit~ dans les deux sens, et soit u (P) une /onction bornge sur II , ne possddant dan8 D

aucun fl positi/. Alors on a l'alternative : u ( P ) ne dgpasse pas dans D sa borne supgrieure sur I I ;

ou bien M ( n, u) dtant le m a x i m u m de u dans D sur C n , on a

lim M ( n , u) .~ 0 . n

On peut, sans restreindre la gdngralitd de la d~monstration, supposer que la borne supdrieure de u (P) s u r / / e s t z~ro. Supposons, pour com- mencer, que u ( P ) n'est jamais ndgative en des points de D voisins de H,

n

et soR Fn la partie de Cn clans D, puis Dn ---- ZF~. 1

158

4 Z u ( P ) ~ 4 X u ( P ) - - Z u ( P ) + Z u ( P ) - - X u ( P ) Dn Dn Fn Fn+, Fn

F, 4tant la pattie de D, qui est voisine d e / / . Il en rdsulte que

X u ( P ) - - Z u ( P ) ~ X u ( P ) rn+~ rn Fn

Alors, deux cas peuvent se pr6senter:

1 ~ II y a une valeur n o de n pour laquelle ~u (P) ---- a > 0, alors Fn o

Zu(P) >~ (n-- no) a i%

d'oh la seconde 6ventualitd de la conclusion du th4or6me;

2 ~ 0u bien Z u ( P ) = 0 quel que soit n; alors on peut remplacer D par Fn

une rdgion plus petite du plan en supprimant les points de F n ; soit D ' la nouvelle r4gion,//z sa frontigre. Les hypotheses du th4orgme s'appliquent encore; si pour une valeur de n, Z u ( P ) > 0, la conclusion pr4cddente

Ftn

s'applique, sinon on recommence; si, aprgs un nombre fini de r4tr4cisse- ments de D on obtient une expression Z u (P) > 0, on peut affirmer que

F

lim M(n, u) > 0 n

sinon, il en r4sulte que u (P) n'est nulle part positif dans D. Supposons maintenant que u(P) soit n4gative en certains points de D

voisins d e / / ; on remplace D par un domaine plus petit, en lui 6rant les sommets de D oh u (P) < 0 situ4s h la p4riph4rie. Alors, ou bien on 6re tous les points, et le thdor4me est d4montrd (premiere 4ventualit6), ou bien on obtient un domaine D* auquel la d6monstration prgc4dente s'applique, et la conclusion, quelle qu'elle soit, reste vraie pour D si elle l'est pour D*.

Le th6or~me peut ~tre pr4cis4: dans la premiere 4ventualit6, si lYgaIitg u (P) ~ 0 est vdri/i4e en un point de D, elle l'est en tout point de D. On le d4montre sans peine en partant du fait que u (P) n'a aucun fl positif.

4. Th6ori~me A.

I1 existe une solidarit4 entre ]es fonctions u (P) qui ont dans E~ m~mes valeurs positives et m~mes pSles, de m~me qu'entre les fonctions ] / ( z ) - a] dans un cercle, pour toute valeur de a. C'est cette solidarit4 qui est 4noncSe dans le thdor~me A, analogue du premier th4or~me fondamental de M. Nevanlinna.

159

Th6ori~me A: fonction teUe que

et

A/or8

Soit une [ouctiou u (P) dana E',, et soit v (P) une autre

+ +

v (P) = u (P) sur C,,

+ +

f l , ( P ) : f l ~ ( P ) dans E ' , _ I .

m ( n , v ) + N ( n - - l , v ) : T ( n , u ) - - p v ( P o ) .

C'est une consequence immediate de la formule (I ~t) du w 2. On a en effet

m ( n , v ) + N ( n - - l , v ) : T ( n , v ) - - p v ( P o )

= T ( n , u ) - - p v ( P o ) �9

I1 convient de remarquer qu'il suffit de supposer l'dgalit~ de v e t de u sur C n pour que la conclusion soit vraie. Dans la suite, nous aurons consid~rer des fonctions qui auront m~mes valeurs positives clans tout le rdseau, hypoth~se plus forte que nous n 'avions pas ~ faire ici.

Si une /onctiou u (P) dd]inie dans tout le rdseau eat telle que T (n , u) eat bornde, alors u (P ) eat constante.

E n effet, si T e s t born~, fl~,(P) doit ~tre constamment nul. Done

Z,u(P) : pu(Po) �9 Cn

Posons u* (P) = u(P) - - u(Po) .

Supposons que u* (P) n 'est pas ident iquement nul: il existe alors un point A oh u*(A) ~. O, et en ver tu du fair qu 'une fonction harmonique ne peut avoir de minimum, il existe un c h e m i n / / , issu de A et s '6loignant ind6- finiment, sur lequel u*(P) ~ O. En appl iquant ~ ce chemin, pris deux lois, le th6or6me du w 3, en remarquant que M (n , u) est born6, on volt que u* (P) est n6gatff dans tou t le plan, done u* (P0) < 0, ce qui est eontra- dietoire. Done il n ' y a aueun point oh u* (P) est n6gatff, et u (P) se r6duit

une constante. On peut remarquer que u (P) sera encore une eonstante si

lira T (n , u) ~ 0 . n--~ oo n

Prenons en partieulier une fonetion u (P) born6e dans tou t le r~seau et telle que fl (P) ne soit jamais positff. Alors

+ +

T (n, u) = m (n, u) + N ( n - - l , u ) < K

T ( n , u) 6rant born6e, u(P) est done constante:

160

Si une [onction est born& dans tout le rdseau, et si elle ne poss~de aucun fl positi/, elIe se rdduit de une constante.

w 5. Relat ions entre les tonet ions m e t N.

Le th4or~me A marque la solidarit6 qui existe entre routes les fonctions ayan t m&nes fl positifs e t m6mes valeurs posi t ives sur C n ; il donne alors exactement la re lat ion qui lie la va leur s l 'origine et la fonct ion carae- t4ristique T. I1 est n4cessaire, pou r obteni r une re la t ion entre les fonctions m et N d ' une famille de q fonet ions u~, de faire des h y p o t h & e s plus restrie- t ives sur cet te famine.

Appelons dgrivge de la fonct ion u(P) tou te fonct ion v(P) , telle que l 'on a +

l im re[n , ( v - - u ) ] _ 0 ~+~ T(n , u)

et, en t o u t poin t + + fl~(P) ~ 2 f l ~ ( P ) .

On dira d ' a u t r e pa r t qu ' une famflle de q + 1 fonetions u~ . . . . , u , , v forme un agrggat si

+ + ]o us (P) = ul (P) , + +

2~ flus (P) = flu, (P) ;

3 ~ I1 existe un n o m b r e K > 0 tel que, en t ou t point P , il y a u n indi te i au plus avee

- - u ~ ( P ) > K ;

4 ~ L a fonet ion v (P ) est une d4riv6e pou r tou tes les fonet ions u~(P).

Nons aUons d4mont re r le th4or~me:

Thtior%me B : Soit un agrdgat de [onctions u l , . . . , u q , v . Alors

q +

( q - - I ) T (n, u,) < • N ( n - - 1, ui) + N (n - - 1, u,) - - N~ (n, v) + a (n) 1

o2 l im a (n) = 0 T(n , ul)

et N , (n, v) -= N (n - - l , v) + 2 N (n - - l , u,) - - N ( n - - l , ~) >~ O .

Posons, pour celh, +

w ~ u , ~ m a x u s

et soit ~,~ l ' ensemble des s om m et s de C~ oh us < - - K. Les ensembles 7~ n e m p m t e n t pas, done

11 Commentarli Mathematici HelveUci ~(~ l

o r

d ' o h

m (n,w) > Z Z u , ;

oh

e t

m(n,u,) = Z u , = Z u , + Z u, < Z u , + p K ,

m(n,w) :> Z m ( n , ui) - - p q K . i

D ' a u t r e p a r t , on a, si u t (P ) ~ 0

w --~ m a x u i

- - ui + ( u l - - v) § (v + max u,)

= - - u, + (u , - - v) + (v - - m i n u~)

m(n,w) <~ m ( n , ~ ) + re(n, (u~ +-- v)) + m ( n , ( v - - m m u , ) ) . E t

m(n,u~) ~- m(n,+~) + N (n - - 1 ,+1) - - N ( n - 1 ,ul) - - pu~(Po) .

+ .+

m ( n , ( u 1 - - v)) : m ( n , ( v - - U l ) ) + N(~'b - - l ~ ( u I - v ) ) - -

+

- - N ( n - - 1, (ul - - v) ) - - pv(Po) + pUl(Po) § -k

-~ m ( n , ( v - - u l ) ) + N ( n - - 1,v) - - N ( n - - 1,v)

.-k

+ N ( n - - 1,u~) - - N ( n - - 1 ,u l ) - - p v ( P o ) + pu~(Po) .

+ §

m ( n , w ) ~ 2 T ( n , u l ) + m ( n , ( v - - u l ) ) + m ( n , ( v - - min u~))

+

- - m(n ,u l ) - - N l (n,v ) - - pv(Po)

+ + N l ( n , v ) ~-- N ( n - - l , v ) + 2 N ( n - - l , u ~ ) - - N ( n - - l , v ) ~ 0

+ q + m (n, (v - - rain u,)) <~ Z~n (n, (v - - u,)) ;

1

d o n c q - ~-

Z m ( n , u l ) - - p q K < 2 T ( n , u l ) - - N l ( n , v ) - - m ( n , u i ) § r162 1

a v e c

l im ~ (n) - - 0 ; T ( n , ul)

d 'oh , en a j o u t a n t d a n s les d e u x m e m b r e s

162

q +

27 N (n - - 1, u~) + N ( n - - 1, ul) , 1

q

(q+ 1) T ( n , u l ) - - 27u,(Po) - - p q K < 2 T ( n , u l ) - - N~(n,v) + 1

q - +

+ • N ( n - - 1 ,ut) -4- N ( n - - 1, ui) ~- (x(n) 1

puis q +

(q - - 1) T ( n , u l ) < Z N ( n - - 1 ,~t~) -f- N ( n - - 1 ,ul) - - N l ( n , v ) + a(n) , 1

en ajoutant k ~ (n) des termes ndgligeables par rapport ~ T (n, u~). On tire sans peine du thdor6me B des propositions analogues au

thdorbme de Picard:

Si deux /onctions harmoniques clans tout le rdseau /orment un agrdgat, elles se rdduisent dt des constantes.

En effet, si l'on appelle u 1 et u~. ces deux fonctions, il rdsulte du thdo- r6me B que T ( n , u~) est bornde dans tout le rdseau, donc que u 1 et u 2 sont des constantes.

Ou encore: Si trois [onctions [ormant un agrdyat ne poss~dent aucun fl ndqati], elles se

rd~duisent ~t des constantes. La ddmonstration est immddiate.

w 6. Conclusion.

On pourrait poursuivre encore longtemps ce jeu d'analogies; ce n'est pas 1s notre but. I1 s'agirait bien plutbt de montrer que les consid6rations pr6cddentes permettent de fender une thdorie de fonctions plus gdndrales que les fonctions m6romorphes; conjointement, il est probablement possible de ddfinir certaines varidtds, gdndralisant les surfaces de Rie- mann dans le sens de la quasi-conformitd et au sujet desquenes les m~mes problgm6s se posent que pour les surfaces de Riemann (problgme du type); or, sur ces varidt6s, l'dtude d'une fonetion sur les sommets d'un rdseau de points suffit pour connaltre les propridtds globales de cette fonction; c'est ce qui nous a conduit s entreprendre cette 6tude pr6hminaire.

(Re~u le 11 aofit 1939.)

163