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Solêtân eh ê', èn n"epiis e,i 6, ru'e'de Waffôrd,,i,' , 't
'92000 Nah:terre
A new approach for soil-structureinteraction
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3REWE FRANçAIsE oe cÉorecHNreuE
N" 723e trimestre 1995
Une nouvelle approchedes calculs d' interactionsol-structure
Cet article fait la synthèse de la méthode
désormaistraditionnelle de calculs aux modules de réaction etmontre
ses insuffisances. Afin de pallier les problèmesainsi mis à jour,
une nouvelle méthode de calculsd'interaction sol-structure est
proposée. Ce modèle, danslequel le sol est modélisé comme un
ensemble de ressortsdépendants, est tout aussi simple d'utilisation
que celuiaux modules de réaction et permet de définir de
façonindépendante du chargement les caractéristiquesintrinsèques du
sol et de la structure. Il permet donc des'affranchir de la
définition d'un module indéfini quiprête toujours à discussion et
de se ramener auxpropriétés du matériau seul, c'est-à-dire module
d'Younget module de cisaillement. Le comportement non linéairedu
sol défini par des paliers de plasticité au niveau de lacontrainte
de cisaillement est aussi intégré au modèledéveloppé. La génération
de contraintes de cisaillementpermet de mettre en évidence les
effets voûtes dans leterrain et ainsi de concentrer les efforts sur
les pointsdurs. Basé sur ces principes, uD programme de
calcultridimensionnel a été développé afin de traiter lesproblèrnes
d'amélioration de terrain par inclusions(rigides ou non rigides) en
prenant en compte la couchede répartition éventuelle ainsi que le
dallage. Leséquations utiles au développement du modèle sontdonnées
et des exemples sont traités. En particulier, lanotion de module de
Westergaard ainsi que la notiond'effet voûte dans les sols sont
analysées.
This article summarizes the traditional method of
soil-structureinteraction based on the modulus of subgrade reaction
andshows its weakness. In order to avoid these weakness, a
newsoil-structure interaction model is proposed. This
modelconsiders the soil as a set of connected springs which
enablesinteraction between springs. Its use is as simple as
thetraditional model but allows to define the soil
propertiesindependently from the structural properties and the
loadingconditions. Thus the definition of the modulus of
subgradereaction is unnecessary as each component is defined by its
ownmodulii (Young's modulus and shear modulus). The non-linearsoil
behavior for the shear stress versus distortion is alsoincorporated
in the model. This feature allows to pinpoint thearching effect in
the ground and shows how the stressesconcentrate on stiff
materials. Based on these principles, a threedimensional program
has been developed in order to solve thedifficult problem of soil
improvement by inclusions (stiff or soft).Also the possibility to
take into account a flexible mat and/or asubgrade layer has been
implemented. Equations used in themodel are developed and a
parametric study of the necessarydata used in the program is
presented. In particular, theWestergaard modulus notion and the
arching effect areanalvzed.
-
Elntroduction
Les calculs actuels de fondations et de soutène-ments font appel
au concept désormais classique decoefficient de réaction. Cette
modélisation de I'interac-tion sol-structure est devenue populaire,
car elle per-met une modélisation simple du problème à I'aide
delogiciels performants et bon marché.
Ce type de calculs appliqués aux soutènements etaux fondations
(dallage, pieux, etc.) permet de calculerles déplacements de la
structure ainsi que les sollicita-tions qui s'y appliquent.
L'inconvénient majeur de cetteméthode est la définition du
coefficient de réaction quidépend d'un grand nombre de paramètres
tels la rigi-dité de la structure et ses dimensions, le
chargement,les terrains, etc. et qui, de ce fait, est difficile à
définir demanière non équivoque.
Le concept d'interaction sol-structure développédans cet article
part de la nécessité pour le concepteurd'ouvrage d'utiliser un
modèle simple et performanttout en ne négligeant pas les concepts
de base du géo-technicien qui considère le sol comme un matériau
pluscomplexe qu'un ressort.
Eta méthode au coefficientde réaction et ses limitations
Le coefficient de réaction est une notion développéepar
Westergaard (1938). Il relie de façon conceptuellela pression, p,
appliquée sur le sol à la déflexion, ô,selon l'égalité suivante
:
P_Kôdans laquelle K est donné en kPa/m ou kN/m3 dans lesystème
SI. De manière complémentaire, le module deréaction, Es, est défini
comme le produit du coefficientde réaction, K, par la largeur
d'application de la pres-sion, B, selon la relation :
Es-kBLe module de réaction est donné en kPa.Le coefficient de
réaction est alors déterminé de
façon simple à partir d'un essai de plaque comme mon-tré de
façon schématique sur la figure 1 où une courbede tassement en
fonction de la pression appliquée estreprésentée . La valeur du
coefficient de réaction estalors reliée au choix que l'on fait en
prenant commedéfinition du coefficient de réaction soit un
coefficientsécant, soit un coefficient tangent, soit encore le
coeffi-cient initial comme représenté sur la figure 1. Lesvaleurs
de pression et de tassement obtenues à partirde I'essai de plaque
sont des valeurs moyeooe s; Iapression est obtenue comme le rapport
de l'effort totalappliqué à la surface de la plaque, et le
tassement estle tassement moyen mesuré.
A titre d'exemple et afin de faire apparaître certainsparamètres
dont dépend le coefficient de réaction,celui-ci est calculé dans Ie
cas d'une plaque circulairerigide chargée uniformément. La formule
de Boussi-nesq (1885) exprimant le tassement, ô, en fonction de
lapressioo, p, appliquée est la suivante:
ô=æpR(t-v2)/(28) (3)où R est le rayon de la plaque circulaire, v
le coefficientde Poisson et E le module d'Young du matériau
élas-tique.
(1)
+iÉ-fijii.#+rÏT*ïfiffilj Définition du coefficient de
réaction.Definition of the coefficient of subgradereaction.
Le tassement devant être le même à partir des équa-tions (1) et
(3), le coefficient de réaction est alors égalà:
K - 2E/(n R (1 - v')) (4)L'équation (4) montre que dans Ie cas
d'une plaque
infiniment rigide, le coefficient de réaction dépend
despropriétés élastiques du matériau sol ainsi que des'dimensions
de la plaque circulaire.
Dans le cas d'une plaque circulaire infinimentsouple et chargée
uniformément, le coefficient de réac-tion peut être défini de façon
similaire. Le tassement,ô., au centre de Ia plaque est donné
par:
ô.=2pR(t-v2)/E (5)et le tassement au bord de la plaque, ôb, est
donné pâr:
ôo = 1/2 6, (6)Les modules de réaction au centre , Kc, et au
bord,
Kb, de la plaque infiniment souple sont donnés respec-tivement
par:
Kc - E/(2 R (1 -v2))
Kb = 1/2KcLa comparaison des équations (4), (7) et (B) fait
appa-
raître que le coefficient de réaction dépend aussi de larigidité
de la plaque. Ce phénomène a déjà été discutéet pris en compte par
Westergaard dans la définitiond'un ( rayon de rigidité r et qui
correspond pour lespoutres à Ia longueur élastique. Ce rayon,ro,
s'écrit:
ro : Ey h3/12/(1 - vz)/K (9)où E" est le module d'Young du
matériau constituant laplaqûe, v son coefficient de Poisson, h son
épaisseur etK le coefficient de réaction du sol sous-jacent.
Il faut noter que dans toutes les formulations lecoefficient de
réaction est inversement proportionnelau rayon (ou rayon de
rigidité). Plus une plaque estrigide, plus son rayon de rigidité
augmente et plus lecoefficient de réaction diminue. Ceci avait déjà
étésignalé par Terzaghi (1958) dont la démonstration phy-sique
était présentée par l'intermédiaire du concept dubulbe des
isocontraintes.
La détermination du coefficient de réaction étantcomplexe et
dépendant de multiples paramètres, lapratique consiste à se fixer
des règles empiriques dedétermination du coefficient de réaction
qui sontbasées sur l'expérience. Dans le cas de
fondationssuperficielles, de fondations profondes et de
soutène-ments, le coefficient de réaction est principalement
(7)
(B)(2)
4REVUE FRANçAISE DE GEOTECHNIQUEN" 723e trimestre 1995
module sécant
tassement
-
déterminé en France à partir des modules pressiomé-triques.
Différentes formulations courantes sont actuel-lement utilisées en
fonction du type d'ouvrage [pieu ousoutènement) et du type de
sollicitations (mise en ten-sion de tirants, excavation, etc.)
ainsi que de la vitessed'application. A titre d'exemple nous
citerons les pluscourantes.
La formule de base pour la détermination du coeffi-cient de
réaction consiste à appliquer directement lerésultat de l'essai
pressiométrique. Cette formuledonne le coefficient de réaction
d'une section en arc decercle de rayon R:
K - E,'/[(1 + v) R] (10)où E,- est le module pressiométrique.
Cette formule dif-fère"de la formule donnée par I'application
desconcepts de l'élasticité car le sol autour de I'excavationse
plastifie. Dans un milieu purement élastique, le coef-ficient de
réaction est donné par:
K - E/l(1 + v) Rl (11)où E est et le module d'Young du matériau
élastique.Pour ce qui est des fondations superficielles de
lon-gueur, L,et de largeur, B, le coefficient de réaction, K,est
donné à partir des formules pressiométriques pâr:
(1975) sous forme d'abaques reliant le coefficient deréaction à
l'angle de frottement et à la cohésion du ter-rain.
D'une manière générale, Schmitt (1984) a mis en évi-dence
expérimentalement la sous-évaluation systéma-tique des coefficients
de réaction déterminés par lesméthodes traditionnelles lorsque les
déformations sontfaibles. Ce constat est identique à celui effectué
sur Iemodule d'Young.
L'utilisation de l'équation (1) montre que la défor-mée du sol
seul, chargé avec une pression p(x) où x estl'abscisse, est
homothétique au chargement. De façonexplicite, la déformée du sol,
s(x), s'écrit:
(17)
Pour ce qui est des pieux dont le diamètre,supérieur à 0,60 m,
le module de réaction soushorizontal est donné par les formules
suivantes:
K - 9E^/(2 Bo (Àd B/Bo)" + cr À. B)où Bo est la largeur de
référence, )v,et Ào les coefficientsde forme, fonction du
rapportL/B.
s(x) - p (x)Æ(La figure 2 montre la déformée du sol
représentée
par un coefficient de réaction sous une bande unifor-mément
chargée de rigidité nulle et la compare au tas-sement d'un matériau
élastique soumis à ce mêmechargement.
'ffi Exemple de chargement et déformée selonle modèle pris en
compte.Example of settlement curves.
Il apparaît dans Ia figure 2 que le sol modélisé à par-tir des
coefficients de réaction en dehors de la zonechargée ne subit
aucune déformation contrairement àla modélisation du sol comme
milieu homogène, élas-tique et isotrope. De plus, la déformée
obtenue à partirde la modélisation aux modules de réaction est
discon-tinue et fortement éloignée de la déformée réelle, quelleque
soit la valeur du module retenu.
Cet ensemble de formules empiriques simplifieénormément le
travail du projeteur au prix d'unemodélisation trop < simpliste
> qui fait oublier l'exis-tence du matériau sol au comportement
plus complexe.Afin de prendre en compte le sol, un modèle
d'interac-tion simple est développé.
ELe modèle d'interaction sol-structure :GATEM
Le point négatif de la méthode aux modules de réac-tion est
l'absence de couplage des ressorts adjacents.La modélisation que
nous proposons consiste àconnecter les ressorts adjacents par des
éléments detype < contact > et à établir une loi
d'interaction.
Afin d'établir les équations nécessaires, considéronsdeux
ressorts comme indiqué sur Ia figure 3.
(12)
B, esteffort
(13)
0,60 m, cx lepressiomé-
Es-où Bo est lecoefficienttrique.
Lorsque0,60 m alors
1BE^/[4 (2,65 (BÆo) " Bo/B + 3diamètre de référence égal
àrhéologique et E* le module
crl
le diamètre du pieu est inférieur ou égal àle module de réaction
est donné pâr:Es - 1.8 E^/14 (2,65) " + 3ul (14)
Pour la détermination du coefficient de réactionpour les calculs
de soutènement, un certain nombre deformules sont actuellement
utilisées dont les princi-pales sont:
- Menard-Bourdon (1965) :K - E-/(cr a/2 + 0,133 (9 a) ")
(15)
où a est un paramètre relié à la longueur mise en butée.
- Balay (1980), mise en tension des tirants:K-rs4E-/Lo (16)
âVEC:
et r et s sont desméthode de mise
La méthode pénétrométrique peut aussi être utili-sée afin de
fournir des corrélations entre Ie module deréaction horizontal et
la résistance en pointe, q". A titreindicatif une formule empirique
couramment utiliséeest la suivante:
Es - 4,5 e,Un certain nombre d'auteurs tels que Terzaghi
(1955), Rowe (1957), Gigan (1989) ont donné des rela-tions
empiriques afin d'évaluer le coefficient de réac-tion en fonction
de paramètres tels que Ia cohésion nondrainée, la profondeur, la
fiche, etc. Une formulationcouramment admise dans la pratique pour
l'évaluationdes coefficients de réaction horizontaux destinés
auxcalculs des soutènements est donnée par Chadeisson
Lo = (E YE,")1/3
coefficients tenant compte de laen place ainsi que de la
géométrie.
5REVUE FRANçAIsE oe cÉorccHNreuE
N'723e trimestre'1995
(a) Modélisation du sol et du chargement
élastique, homogèneet isotrope.
déformée avec laméthode descoefficients de ré-action
(b) Déformée du sol en fonction du modèle
-
Noeu:1 ,? ? -
K1 à <
-
-
etc. peut être modélisée pour voir leur rôle quant
àl'amélioration de terrains mous.
Deux exemples d'application seront traités ici cor-respondant
aux problèmes bien connus de la détermi-nation du module de
Westergaard, ainsi qu'à la repré-sentation de I'effet de voûte qui
se développe dans Iesol lors de la présence de a points durs
>.
Le premier exemple correspond à un essai deplaque dans lequel
les dimensions de la plaque sontdes paramètres variables. Le cas
étudié correspond àune surface de sol de 25 m x 25 m composé
d'unecouche de 10,0 m d'épaisseur surmontée par un rem-blai de 0,50
m d'épaisseur.
', Géométrie de I'exemple 1.Geometry for example L.
Les caractéristiques mécaniques prises en comptepour les deux
couches sont données dans le tableau I.
Frï#{,t#*{'ffi,.ffi#" Caractéristiques mécaniques prises
encompte pour l'exemple 1.Soil properties for example 1.
Le comportement à l'interface des colonnes de solsest considéré
comme élastoplastique. PIus explicite-ment, la contrainte de
cisaillement varie comme indi-qué sur la figure B en fonction du
déplacement relatif.
Des plaques carrées de 1,0m, 3,0m, 5,0m, 15,0m et25,0m ont été
chargées sous une contrainte de 70 kPa et
"iW Relation entre les contraintes decisaillement et le
déplacement relatif àl'interface soVsol.Stress-strain law for the
contact element.
40
K (MN/m3)
10 15Dimension de la plaque (m)
titi,tf,Ïi,flf,$,ipit Évolution du coefficient de réaction
enfonction des dimensions de la zoleechargée.Coefficient of
subgrade reaction as a functionof plate width.
Ie coefficient de réaction en fonction des dimensions dela
plaque est donné sur la figure 9.
Comme les formules basées sur l'élasticité le lais-sent
présager, le coefficient de réaction diminuelorsque la surface
chargée augmente. De plus, quandla dimension de la zone chargée
augmente, le coeffi-cient de réaction tend vers la valeur suivante
:
(20)K = EylH
où E,, correspond au module de l'ensemble remblaiplus "sol
(moyenne harmonique) et H correspondant àI'épaisseur totale de la
couche. Dans le cas de l'exemple1,le module d'Young moyen est égal
à 10,42 MPa, et lecoefficient de réaction est alors égal à 0,99 MN
/m3.
Le deuxième exemple consiste à déterminer lereport d'effort sur
des inclusions rigides de type pieuxIorsque ceux-ci sont utilisés
pour renforcer un terraincompressible .La géométrie du problème est
donnée enfigure 10, et les caractéristiques mécaniques retenuespour
cet exemple sont données dans le tableau II.
surcharge q0 = 50 kPa
Couche porteuse
'#;ffi Géométrie de l'exemPle 2.Geometry for example 2.
Le sol est chargé avec une surcharge uniforme de50 kPa. Le sol
compressible est renforcé par des inclu-sions en béton de diamètre
0,27 m réparties selon unemaille carrée de 2,0 m qui sont fichées
dans le substra-tum.
L'utilisation d'inclusions va permettre au sol de sedécharger
par mise en jeu du frottement négatif sur les l
REVUE FRANçAIsE oe cÉorecHNteuEN'72
3e trimestre 1995
uplast
-
"W Caractéristiques mécaniques prises encompte pour I'exemple
2.Soil characteristics for example 2.
pieux. Les pieux vont donc se charger jusqu'à une cer-taine
profondeur (point de frottement négatif nul), et lesol va se
décharger.La conséquence de ce transfert decharge est la diminution
du tassement de Ia couchecompressible. Dans l'exemple traité, le
point de frotte-ment négatif nul se situe à la base de la couche
com-pressible comme nous le verrons dans l'analyse
desrésultats.
Dans cet exemple, on suppose que l'interactionsol/inclusion est
identique quel que soit le signe descontraintes de cisaillement
(frottement positif ou néga-tif). Le module d'Young des inclusions
est pris égal à10 000 MPa.
Les résultats obtenus sont présentés en figures 11et 12.La
figure 11 représente le tassement en surfacesous 50 kPa et le
compare au tassement sans améliora-tion. Les tassements sont
réduits dans un rapport del'ordre de 3,3, ce qui correspond à une
valeur usuelledans ce type de traitement.
Tassement(cm) -1 ,
-2,0
-3,0
-4,0
-5,0
-6,0
012Distance à I'inclusion (m)
X : tassement avec inclusions + : tassement sans inclusion
$ffi Tassement en surface en fonction de ladistance à
l'inclusion.Surface settlement.
De mêffie, la variation de contrainte dans I'inclusionen
fonction de la profondeur est donnée en figure 12où il apparaît que
l'inclusion se charge en profondeurpar effet du frottement
négatif.
Le phénomène de déchargement du sol est repré-senté sur la
figure 13 pour diftérentes distances à l'inclu-sion. Partant d'une
contrainte de 0,05 MPa en surface,les contraintes verticales
diminuent quand la profon-deur augmente et sont plus importantes
lorsque la dis-tance à l'inclusion est plus grande. Ce phénomène
estcompatible avec le fonctionnement proposé par Com-barieu.
46profondeur (m)
'".##,W Contrainte dans les inclusions en fonctionde la
profondeur.Compressive stress in the inclusion.
o(MPa)0,
0,02
0,0240
0,0200
0,01
EConclusions
0,0120
0,0080
0,0040
002468
distance à I'inclusion (m)
X :distance de 0,35m à I'inclusion + :distance de 0,78m à
I'inclusion
ilËffi#'f,+ ,*{,ffi Contrainte dans le sol en fonction de
laprofondeur pour différentes distances àl'inclusion.Vertical
stress in the soil as a function of thedistance to the
inclusion.
Le modèle de calcul d'interaction sol-structure pré-senté dans
cet article permet par l'intermédiaire d'unartifice de modélisation
de représenter le comporte-ment du sol plus exactement que par la
méthode tradi-tionnelle du module de réaction. Les changements
denotions qu'il envisage sont relativement faibles et pour-ront
certainement s'intégrer dans la continuité du tra-vail des bureaux
d'études sans révolutionner leursapproches. Cette méthode plus
réaliste est à mi-cheminentre la méthode trop simpliste du module
de réactionet la méthode plus complexe des éléments finis. Deplus,
cette notion, appliquée au traitement du délicatproblème
d'amélioration de terrain, permet de quanti-fier les améliorations
provoquées. Ce modèle pourras'appliquer aux calculs des
soutènements et permettra,sans aucun doute, de tenir compte des
phénomènesd'effet de voûte actuellement totalement occultés.
8REVUE FRANçAISE DE GEOTECHNIQUEN" 723e trimestre 1995
\
t\
\\.
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9
