Unité 15 : L’aire et le périmètre · parle d’aire et quand on mesure la longueur de leur contour, on parle de périmètre. » La séance 141 propose de débuter par l’étude

289

©La

Lib

rair

ie d

es É

cole

s, 2

018

©La

Lib

rair

ie d

es É

cole

s, 2

018

Unité 15 • L’aire et le périmètre

Unité 15 : L’aire et le périmètreDécouvrir, comprendre et manipuler différentes représentations des notions d’aire et de périmètre tirées du monde réel.

Deux nouvelles grandeurs à mesurerDans cette dernière unité, la méthode de Singapour introduit deux nouvelles grandeurs des formes géométriques unidimensionnelles et bidimensionnelles : l’aire et le périmètre. Des études menées dans plusieurs pays ont montré que bon nombre d’écoliers et de collégiens ont des difficultés à comprendre les notions de périmètre et d’aire. Souvent, ces enfants utilisent des formules comme P = 2 (L + l) ou A = L × l sans comprendre leur lien avec les caractéristiques mesurées ou l’unité de mesure utilisée. S’ils rencontrent ces problèmes, c’est notamment parce qu’on leur a demandé d’apprendre et d’appliquer des formules algébriques de façon prématurée et précipitée au lieu de leur laisser le temps d’explorer différentes figures, de les découper, de les dessiner, de les fabriquer et de les manipuler pour leur permettre de voir ce que chaque grandeur signifie et comment on la mesure. Pour toutes ces raisons, l’aire et le périmètre sont traités dès le CE2 dans la méthode de Singapour. L'objectif principal de cette unité est d’aider les élèves à se familiariser avec ces concepts complexes, de leur apprendre à faire la différence entre les deux et à identifier l’aire et le périmètre dans leur propre environnement. À noter que l’aire est présentée avant le périmètre, car il s’agit d’un concept visuel, donc plus facile à comprendre.

Travail préalable sur les mesuresLes élèves ont déjà eu de nombreuses occasions de se familiariser avec la mesure d’un objet, qui consiste à identifier une caractéristique à mesurer, à choisir l’unité de mesure appropriée puis à comparer l’unité à l’objet mesuré. Ils ont pu mesurer la longueur, la masse, le volume et le temps. Cette unité doit aider les élèves à approfondir et à étendre leur compréhension et leur utilisation des mesures : ils vont apprendre à mesurer la longueur du contour d’une figure plane (périmètre) ainsi que la portion de surface plane contenue au sein des limites de la figure (aire).

Voir les mathématiques dans son propre univers

Il est important pour les enfants d’aborder des sujets comme l’aire et le périmètre dans la mesure où cela les aide à voir la façon dont les mathématiques s’inscrivent dans leur environnement. Ces concepts constituent également une première étape pour comprendre ensuite d’autres caractéristiques physiques comme le volume. Dans de nombreuses professions, notamment

celles d’architecte, de graphiste ou encore d’ingénieur, on utilise très régulièrement les notions d’aire et de périmètre. De façon plus abstraite, les expressions à une dimension, deux dimensions ou trois dimensions (désignées en mathématiques par x1, x2 et x3) sont à l’origine d’un nombre infini de formules et de théorèmes mathématiques, indispensables pour comprendre l’algèbre, la trigonométrie et le calcul infinitésimal par la suite.

Visualiser l’aire et le périmètreS’il est bien sûr important de connaître les formules permettant de calculer l’aire ou le périmètre de différentes figures, cette unité introductive n’a pas pour objectif de les enseigner. Avant toute chose, les élèves doivent visualiser les deux nouvelles grandeurs et être capables de les distinguer l’une de l’autre. Pour parler de l’aire d’une figure à deux dimensions, on peut utiliser des comparaisons utiles comme « la quantité de peinture, de papier ou de moquette nécessaire pour la recouvrir ». Pour le périmètre, on pourra parler de « la longueur totale de tous les côtés de la figure » ou de « la distance parcourue quand on fait le tour de la figure le long de ses bords ». C’est d’ailleurs l’étymologie du mot péri-mètre. La lecture de l’ouvrage Flatland d’Edwin Abbott, traduit de l’anglais, aidera les élèves à visualiser les figures unidimensionnelles qui vivent à Lineland (le Pays de la Ligne), les figures bidimensionnelles qui vivent à Flatland (Le Pays Plat) et les figures tridimensionnelles qui vivent à Spaceland (Notre Pays de l’Espace).

Mesurer l’aire et le périmètreUne figure bidimensionnelle vivant à Flatland, comme par exemple un carré, un rectangle ou un triangle, a à la fois un périmètre et une aire. Dans la mesure où ces grandeurs sont très différentes l'une de l’autre, elles nécessitent des unités de mesure différentes. Comme dans tous les chapitres portant sur les mesures au CE2, les élèves commencent par utiliser des unités non standard avant de passer aux unités métriques employées pour mesurer l’aire : le cm2 et le m2. Quant au périmètre, les élèves connaissent déjà les unités de longueur : le cm et le m.

Difficultés générales d’apprentissage• Avoir du mal à visualiser l’aire ou le périmètre d'un

objet, que ce soit mentalement ou sur l’objet physique en question.

• Confondre les deux caractéristiques dans les problèmes.• Connaître les formules sans les comprendre.

290

©La

Lib

rair

ie d

es É

cole

s, 2

018

©La

Lib

rair

ie d

es É

cole

s, 2

018

Aborder deux nouvelles caractéristiques des figures géométriques : la surface et la longueur totale du contour, ainsi que leurs mesures respectives, l’aire et le périmètre.

Compétence du programme 2016 : Si l’aire et le périmètre n’apparaissent pas explicitement dans les programmes de 2016, le fait de mesurer un certain nombre de caractéristiques avec des unités de mesure y est présent. Cette introduction ludique, visuelle et pratique à deux notions complexes va contribuer à poser des bases solides pour la poursuite du travail mathématique en CM1, en CM2 et au collège.

Objectifs


Découvrons la notion d’aireSéance

1 Exploration de l’illustration pleine pageProjetez la page 114 du fichier 2 au tableau et demandez aux élèves d'ouvrir leur fichier à la même page. Après avoir commenté les aspects de l’image qui intéressent les élèves, lisez le titre de la séance et demandez-leur s'ils possèdent des connaissances sur l’aire et le périmètre. La majorité d’entre eux n’auront sans doute jamais entendu ces mots et n’auront donc aucune idée de ce dont il s’agit : c’est tout à fait normal pour des élèves de CE2. Demandez à un volontaire de lire les phylactères des garçons et posez la question suivante : « Que pouvez-vous conclure concernant la taille du grand carré jaune et celle du grand carré rouge ? » (Ils font la même taille), « Comment le savez-vous ? » (Dans les deux cas, on parle de « la moitié du tableau » ; les deux moitiés d’un tout sont égales en grandeur.) Poursuivez : « Combien faut-il de petits carrés-unités jaunes pour recouvrir la moitié gauche du tableau rectangulaire ? », « Combien faut-il de petits carrés-unités rouges pour en recouvrir la moitié droite ? » (16 et 25 respectivement). Marquez une pause pour rappeler aux élèves que les objets physiques ont plusieurs caractéristiques que l’on peut mesurer. On peut par exemple mesurer la longueur du tableau rectangulaire, sa largeur, sa masse et ainsi de suite. Dites aux élèves : « Dans cette unité, nous allons découvrir deux nouvelles caractéristiques des figures géométriques : leur surface et la longueur de leur contour. Quand on mesure l’étendue de leur surface, on parle d’aire et quand on mesure la longueur de leur contour, on parle de périmètre. » La séance 141 propose de débuter par l’étude de l’aire. Comme pour toutes les grandeurs étudiées dans la méthode de Singapour (longueur ou contenance par exemple), cette étude se fait d’abord à l’aide d’une unité de mesure non standard. Aidez les élèves à conclure que les carrés-

Étapes de la séance Durée Modalité

1 Exploration de l’illustration pleine page

20 min Collectif

2 Étude de la page 115 du fichier 2 20

minCollectif

puis en binôme

3 Pratique autonome 20

minIndividuel

ou en binôme

Fichier 2 : pp. 114-116 Matériel pédagogique : un paquet de feuilles A4 et de demi-feuilles A4, géoplans

Vocabulaire : surface plane, surface courbe, unité, aire, périmètre

DÉMARCHE PÉDAGOGIQUECalcul mental

Multiplier par 7/diviser par 7

Multiplier par 7Demandez aux élèves, en variant les formulations : « Que vaut 7 fois 8 ? », « Que vaut 9 multiplié par 7 ? », « Quel est le produit de 7 et de 6 ? », « Quel est le résultat de la multiplication de 4 par 7 ? » Demandez enfin : « Que vaut 7 × 9 ? », « Que vaut 7 × 60 ? », « Que vaut 7 × 500 ? », etc.

Diviser par 7Proposez des problèmes de partage équitable ou de recherche de groupes égaux aux élèves : « J’ai 63 étiquettes que je répartis en 7 groupes égaux. Combien d'étiquettes y a-t-il dans chaque groupe ? » (9), « J'ai 63 éti-quettes et je veux faire des groupes de 7 étiquettes, combien de groupes puis-je faire ? » (9). Choisissez ensuite un dividende à 3 chiffres qui se ter-mine par un 0.

Différence entre surface et aire En géométrie, une surface est un objet mathématique à deux dimen-sions délimitant une figure géomé-trique. La surface peut être plane comme la surface du sol d’une salle de classe ou courbe comme la sur-face d’une boule. On parle d’aire lorsque la surface a fait l’objet d’une mesure, dont on aura choisi l’unité de mesure (unité carrée). Ceci dit, beaucoup d’auteurs confondent les deux mots. Pour un terrain, par exemple, on utilise souvent le mot surface pour désigner son aire. Rappelons qu’en mathématiques comme ailleurs, la précision du lan-gage doit être un outil efficace et non une contrainte. Si un élève de CE2 utilise le mot « surface » à la place du mot « aire », c’est accep-table.

141

291

©La

Lib

rair

ie d

es É

cole

s, 2

018

©La

Lib

rair

ie d

es É

cole

s, 2

018

unités rouges et les carrés-unités jaunes sont deux unités d’aire possibles pour mesurer la surface du tableau : « L’aire du tableau fait 32 (16 x 2) carrés jaunes ou 50 (25 x 2) carrés rouges. » Assurez-vous que les élèves comprennent bien pourquoi le nombre le plus grand (25) correspond à l’unité de mesure la plus petite (le carré rouge) et inversement.

2 Étude de la page 115 du fichier 2 Invitez les élèves à observer l’encadré « J’observe » page 115 du fichier 2. Une fois de plus, une même surface rectangulaire est mesurée de deux façons différentes mais équivalentes (insistez bien sur le fait que les deux bureaux sont de taille identique) : 12 carrés bleus et 40 triangles verts. Comme précédemment, l’unité de mesure la plus grande (le carré bleu) génère le plus petit nombre de la mesure (12) parce qu’il faut moins de carrés bleus que de triangles verts pour recouvrir la même surface. Il est important que les élèves puissent participer de manière active lors-qu’ils découvrent les mesures et apprennent à mesurer. C’est pourquoi il peut être bénéfique à ce stade de leur proposer de résoudre l’exercice 1 en binôme. L’acte concret qui consiste à recouvrir l’intégralité d’une sur-face avec une série d’unités d’aire identiques (feuilles et demi-feuilles A4) puis à compter le nombre total d'unités utilisées pour déterminer l’aire de la surface en question constitue un exercice fondamental. (Le nombre obtenu est le plus souvent un nombre non entier : dites alors « un peu plus que x » ou « un peu moins que y » ou « presque z et demi ».) Il est possible qu’un élève fasse remarquer qu’en multipliant le nombre de ran-gées par le nombre de colonnes (d’unités carrées/triangulaires utilisées), on obtient l’aire. Si c’est le cas, demandez-lui d’expliquer son raisonne-ment mais évitez de généraliser. En énonçant les formules de façon pré-maturée, on sacrifie souvent la joie de l’apprentissage par la pratique et la découverte ainsi que le plaisir de comprendre les choses en profondeur.

3 Pratique autonomeSi vous disposez d'assez de temps, demandez aux élèves de faire les exercices 2, 3 et 4 page 116 du fichier 2. Dans le cas contraire, demandez à un groupe d’élèves de travailler sur l’exercice 2 et à un autre groupe de travailler sur l’exercice 3 puis discutez des réponses tous ensemble. Veillez par contre à ce que tous les élèves aient l’occasion de travailler sur l’exercice 4 avec leur géoplan.

Différenciation Soutien : Pour permettre aux élèves en difficulté de mieux comprendre la notion d’aire, demandez-leur de créer différentes figures sur leur géoplan avec un élastique, puis de découper de petits carrés en papier pour recouvrir complètement la surface de chaque figure et enfin de mesurer l’aire en comptant le nombre total de carrés utilisés. Approfondissement : Demandez aux élèves qui veulent aller plus loin de trouver l’aire du sol de la salle de classe. Dites-leur de sélectionner une unité d’aire puis de déterminer le nombre total d'unités qu’il leur faudrait pour recouvrir le sol.

Synthèse de la séance

• Je connais deux nouvelles caractéristiques des figures géométriques : leur surface et la longueur de leur contour.

• Quand je mesure la surface d’une figure, je parle d’aire. • Quand je mesure la longueur du contour d’une figure, je parle de périmètre.


Fichier 2 p. 114

Fichier 2 p. 115

Fichier 2 p. 116

292

©La

Lib

rair

ie d

es É

cole

s, 2

018

©La

Lib

rair

ie d

es É

cole

s, 2

018

1 Explorer l’aire avec un géoplanDistribuez un géoplan par élève ou par binôme (si vous n’en avez pas, téléchargez l’annexe 15-1). Demandez aux élèves de former le plus petit carré possible avec un élastique (sur le géoplan en papier, faites-le leur dessiner). Dites-leur que ce petit carré va leur servir d’unité d’aire pour répondre à la consigne suivante : « Composez une figure de votre choix dont l’aire mesure 8 unités d’aire. » Demandez ensuite : « Comment savez-vous que l’aire de votre figure fait 8 unités d’aire ? » Ils répondront probablement : « J’ai compté 8 carrés. » Il est possible que certains élèves ayant découvert les demi-unités à la séance 141 décident d’utiliser une combinaison de carrés entiers et de demi-carrés. Pour aider la classe à visualiser les « 8 unités d’aire » comme mesure de la portion de surface plane contenue dans les limites de leur figure, sélectionnez l’un des géoplans et modélisez l’aire de la figure réalisée en plaçant 8 petits carrés en plastique à l’intérieur des limites de la figure en question (sur le géoplan en papier, demandez de colorier l’aire). Dites aux élèves de lever leur géoplan en l’air pour montrer la forme de leur figure à la classe.Demandez-leur ensuite de sortir leur règle pour mesurer la longueur du côté d'une unité d’aire sur leur géoplan et d’exprimer cette longueur en centimètres et en millimètres. Si nécessaire, invitez-les à se reporter brièvement à la page 10 de leur fichier 2 pour revoir comment mesurer des petites longueurs en centimètres et en millimètres. Montrez ou projetez ensuite une feuille de papier à carreaux d’un centimètre de côté et dites : « Sur cette feuille de papier quadrillé, le côté de chaque petit carré mesure exactement 1 cm de long. » Poursuivez avec la question suivante : « Imaginons qu’on choisisse l’un de ces petits carrés comme nouvelle unité d’aire. D’après vous, comment les mathématiciens appellent-ils cette unité ? » (centimètre carré). Pour conclure cette première partie, demandez aux élèves de tracer une figure dont l’aire mesure 4 centimètres carrés en représentant clairement les 4 petits carrés de 1 cm de côté.


1 Explorer l’aire avec un géoplan20

minIndividuel ou en

binôme puis collectif

2 Introduction du centimètre carré 20

min Collectif


minIndividuel

ou en binôme

Fichier 2 : pp. 117-118Fichier photocopiable : p. 257Annexes : 15-1 « Géoplan », 15-2 « Figures de la page 118 »

Matériel pédagogique : géoplans, petits carrés en plastique, papier quadrillé de 1 cm × 1 cm

Vocabulaire : centimètre carré

DÉMARCHE PÉDAGOGIQUE

Découvrir une unité de mesure standard de l’aire : le centimètre carré.Objectifs


Mesurons l’aire en centimètres carrésSéance 142

Comprendre le centimètre carré Le mètre carré et le centimètre carré sont des unités conventionnelles et universelles d’aire. La première image mentale que les élèves vont se faire du centimètre carré est le carré de Maël page 117 du fichier 2. Progressivement, ils vont voir que l’unité qui mesure 1 cm2 ne doit pas nécessairement avoir la forme d’un carré. En effet, une fois qu’ils visualisent le 12 cm2 et comprennent

que 12 + 12 = 1, ils peuvent accepter

d’autres formes pour le centimètre carré, comme :

Calcul mental

Multiplier/diviser par 8

Multiplier par 8Demandez aux élèves, en variant les formulations : « Que vaut 8 fois 7 ? », « Que vaut 9 multiplié par 8 ? », « Quel est le produit de 8 et de 6 ? », « Quel est le résultat de la multiplication de 5 par 8 ? » Poursuivez : « Que vaut 8 × 30 ? », « Que vaut 8 × 500 ? », etc. Faites le rapprochement avec les doubles : multiplier un nombre par 8, c'est le doubler trois fois, car 2 × 2 × 2 = 8. Faites vérifier avec des nombres simples, 4 ou 5 par exemple.

Diviser par 8Posez d’abord quelques questions aux élèves : « Combien de fois 8 dans 32 ? », « Combien de fois 8 dans 48 ? », etc. Proposez-leur ensuite des problèmes de partage équitable ou de recherche de groupes égaux : « J’ai 72 images, je les répartis en 8 groupes égaux. Com-bien d'images y a-t-il dans chaque groupe ? » (9), « J'ai 72 images, je veux faire des groupes de 8 images, combien de groupes puis-je faire ? » (9). Faites le rapprochement avec les moi-tiés : diviser un nombre par 8, c'est prendre sa moitié trois fois. Faites vé-rifier avec des nombres comme 48.

293

©La

Lib

rair

ie d

es É

cole

s, 2

018

©La

Lib

rair

ie d

es É

cole

s, 2

018

2 Introduction du centimètre carré Projetez la page 117 du fichier 2 au tableau ou demandez aux élèves d'ouvrir leur fichier à cette page. Invitez un volontaire à lire les deux premières phrases de l’encadré « J’observe » ainsi que le phylactère de Maël. Notez au tableau : « 1 centimètre carré s’écrit 1 cm2 ». Comme les élèves ne connaissent pas encore les formules pour calculer l’aire, conten-tez-vous pour l’instant d’expliquer que le petit « 2 » en exposant signifie « à 2 dimensions ». Précisez : « De la même manière que l’espace qui nous entoure est en 3 dimensions, l’espace de toute surface plane, comme votre bureau, la porte, le tableau, le géoplan ou la feuille de papier, possède 2 dimensions. » Demandez à un autre volontaire de lire la deuxième partie de l’encadré pendant que le reste de la classe vérifie que l’aire de chaque figure mesure 6 cm². (Pour la 3e figure : 5 + 1

2 + 1

2 = 5 + 1 = 6.)

Passez ensuite à l’exercice 1, à réaliser collectivement. À ce stade, en constatant qu’on a « n rangées de n carrés » pour chaque carré dont le côté mesure n cm, les élèves devraient évoquer la multiplication comme méthode permettant de trouver l’aire : 2 × 2, 3 × 3, …, 10 × 10. Cependant, il est possible que certains d’entre eux continuent de compter tous les car-rés à chaque fois, ce qui est tout à fait acceptable. Si nécessaire, autorisez les élèves à consulter brièvement la page 64 du fichier 1 pour visualiser 6 rangées de 6 jetons et faire le lien avec l’acte de multiplication « 6 mul-tiplié par 6 », représenté par l’expression « 6 × 6 ».

3 Pratique autonomeSelon le temps qu’il vous reste, assignez les exercices 2 à 4 à différents élèves. L’exercice 2 nécessite de faire des estimations et de regrouper des morceaux de carrés pour obtenir des carrés entiers, puis de les additionner. La réponse sera approximative, mais il est important que les élèves soient confrontés à des figures qui ne sont pas composées de carrés mais dont on mesure malgré tout l’aire en unités carrées. Pour l’exercice 3, distribuez l’annexe 15-2. Faites verbaliser le fait que des figures de formes différentes peuvent avoir la même aire (ici, 24 cm2). Enfin, l’exercice 4 introduit une nouvelle subtilité : dans les figures S et T, on observe pour la première fois la « moitié d’un rectangle de 2 cm2 ». Par ailleurs, la figure U propose une façon différente de visualiser « la moitié d'un cm2 » (l’aire totale de U est de 10 cm2).

Différenciation Soutien : Distribuez aux élèves en difficulté une feuille de papier à carreaux de 1 cm de côté et demandez-leur de colorier 1 cm2. Recom-mencez avec 12 cm2. Ensuite, demandez-leur de tracer le contour d’une figure dont l’aire mesure 2 cm2 et de la colorier. Continuez à leur faire tracer des figures de leur choix dont l’aire mesure 3 cm2, 4 cm2, 5 cm2 et ainsi de suite, en les encourageant à faire preuve de créativité pour trouver des formes variées. Approfondissement : Proposez aux élèves qui veulent aller plus loin de réaliser l’exercice 1 page 257 du fichier photocopiable.


• Je connais une nouvelle unité de mesure de l’aire qui s’appelle le centimètre carré.

• Il s’agit d’un petit carré dont chaque côté mesure 1 cm et qui s’écrit « 1 cm2 ». • J’utilise cette unité pour mesurer de petites aires.


Fichier 2 p. 117

Fichier 2 p. 118

294

©La

Lib

rair

ie d

es É

cole

s, 2

018

©La

Lib

rair

ie d

es É

cole

s, 2

018

1 Construire un mètre carré en papierLes élèves ont besoin de manipuler physiquement et concrètement des unités d’aire et de périmètre afin de comprendre ces deux concepts en profondeur et de bien faire la différence entre les deux. Le temps passé à confectionner un grand carré de papier de 1 m de côté puis à l’utiliser pour mesurer des surfaces est donc du temps bien employé ! Grâce à cet exercice, les élèves auront plus de facilités à se représenter les dimensions de l’unité qu’on appelle « 1 mètre carré ». Dites aux élèves : « Vous allez construire un grand carré en papier qui mesure 1 m de côté. » Ils vont avoir besoin soit de feuilles de papier journal, soit de grandes fiches cartonnées, soit de grands morceaux de papier cadeau, ainsi que d’une règle ou d'un mètre-ruban, d’une paire de ciseaux et de ruban adhésif. Demandez-leur : « Est-ce que quelqu’un sait comment les mathématiciens appellent cette unité ? » Si un élève donne la bonne réponse (un mètre carré), interrogez-le : « Peux-tu expliquer pourquoi ? » Acceptez la réponse : « Si un carré de 1 cm de côté s’appelle un centimètre carré, un carré de 1 m de côté s’appelle un mètre carré. » Expliquez aux élèves qu’on utilise le centimètre carré pour mesurer de petites aires et le mètre carré pour mesurer des aires plus importantes. Formez des binômes et laissez-les chercher la meilleure façon de fabriquer un mètre carré avec le papier dont ils disposent. Faites le tour de la classe pour observer la façon dont les élèves s’y prennent.

2 Étude des pages 119 et 120 du fichier 2 Projetez la page 119 du fichier 2 au tableau ou demandez aux élèves d'ouvrir leur fichier à cette page. Dites à un volontaire de lire les deux premières phrases de l’encadré « J’observe » puis demandez aux élèves de comparer l’aire de la table et l’aire de leurs grands carrés en papier. (Elles sont identiques !) Demandez ensuite à un autre élève de lire le phylactère d’Idris. Écrivez au tableau : « 1 mètre carré s’écrit 1 m2 ».


1 Construire un mètre carré en papier20

minCollectif

puis en binôme

2 Étude des pages 119 et 120 du fichier 2

20 min Collectif


minIndividuel

et en groupe

Fichier 2 : pp. 119-120Fichier photocopiable : p. 258

Matériel pédagogique : papier journal, papier cadeau ou grandes fiches cartonnées, règles ou mètres-ruban, ruban adhésif, une paire de ciseaux par binôme, feuilles A4, post-it

Vocabulaire : mètre carré


Découvrir une unité de mesure standard de l’aire : le mètre carré.Objectifs


La notion de dimension Après la deuxième séance sur l’aire et avant la première séance sur le périmètre, le moment est particuliè-rement opportun pour lire un passage du livre d’Edwin Abbott, Flatland. Cette allégorie publiée en 1884 donne vie aux dimensions : dimension 0 pour le point ; dimen-sion 1 pour la droite (Lineland ou Le Pays de la Ligne) ; dimension 2 pour le plan (Flatland ou Le Pays Plat) ; di-mension 3 pour l’espace (Spaceland ou Notre Pays de l’Espace). Cet ou-vrage aide à comprendre qu’une surface occupe une partie de Flat-land (l’unité de mesure d’aire doit donc être un petit bout de surface) et qu’un périmètre, lorsqu’il est déroulé ou déplié en segment de droite (voir séance 144) occupe une partie de Lineland (l’unité de me-sure de périmètre doit donc être un petit bout de ligne).

Mesurons l’aire en mètres carrésSéance 143

Calcul mental

Multiplier/diviser par 9

Multiplier par 9Demandez aux élèves, en variant les formulations : « Que vaut 9 fois 8 ? », « Que vaut 7 multiplié par 9 ? », « Quel est le produit de 9 et de 6 ? », « Quel est le résultat de la multiplication de 5 par 9 ? » Poursuivez : « Que vaut 9 × 50 ? », « Que vaut 9 × 500 ? », etc. Faites remarquer que multiplier par 9, c’est multiplier par 3 deux fois. Faites vérifier avec des nombres simples, 4 par exemple.

Diviser par 9Proposez des problèmes de partage équitable ou de recherche de groupes égaux aux élèves : « J’ai 63 images, je les répartis en 9 groupes égaux. Com-bien d'images y a-t-il dans chaque groupe ? » (7), « J'ai 63 images, je veux faire des groupes de 9 images, com-bien de groupes puis-je faire ? » (7). Faites remarquer que diviser par 9, c’est diviser par 3 deux fois. Faites véri-fier avec des nombres comme 63.

295

©La

Lib

rair

ie d

es É

cole

s, 2

018

©La

Lib

rair

ie d

es É

cole

s, 2

018

Pour finir, demandez à un troisième élève de lire la question d’Adèle. Annoncez à la classe que vous allez découvrir la réponse tous ensemble dans la troisième partie de la séance. Pour l’instant, lancez un projet collectif : « Vous allez travailler tous ensemble pour mesurer l’aire du sol de la salle de classe en utilisant les grands mètres carrés en papier que vous avez fabriqués. » Avant qu'ils ne commencent, indiquez-leur comment s’y prendre avec une feuille de papier A4 et quelques post-it. Montrez la feuille de papier à la classe et dites : « Imaginez que cette feuille est le sol de notre classe. » Ensuite, montrez-leur un post-it carré et dites : « Imaginez que ce post-it est un mètre carré en papier. » Mimez le processus en alignant quelques post-it le long de l’un ou l’autre des deux bords de la feuille A4 et dites : « Collectivement, vous allez essayer de trouver le nombre approximatif de mètres carrés nécessaires pour recouvrir l’intégralité du sol de notre classe. » Il est possible que les élèves décident d’aligner les carrés le long des deux bords et d’avoir recours à la multiplication. Mais peut-être vont-ils recouvrir la moitié du sol puis multiplier le nombre de carrés par deux. Observez comment ils s’y prennent et aidez-les si nécessaire. Concluez en proposant aux élèves l'exercice 1 a) page 120 du fichier 1.

3 Pratique autonomeProposez aux élèves de s’entraîner en faisant d’abord l’exercice 2 page 120 du fichier 2 puis l’exercice 1 page 258 du fichier photocopiable. Il sera très bénéfique d’étudier le problème du fichier photocopiable en groupe. Pour cela, affichez un mètre carré en papier au mur et collez un centimètre carré en papier d'une couleur différente dans l’un de ses coins. Avant de lire la consigne, demandez aux élèves d’essayer de deviner combien de cm2 sont contenus dans 1 m2, d’écrire leur hypothèse sur leur ardoise et de la mettre de côté. Modélisez ensuite le problème, étape par étape et de manière interactive. Les élèves doivent voir les 10 000 cm2 à l’intérieur du 1 mètre carré.

Différenciation Soutien : Décomposez l’exercice 1 page 258 du fichier photoco-piable pour les élèves en difficulté. Sur une feuille, demandez-leur de dessiner un carré de 10 cm de côté avec une règle. Dites-leur ensuite de tracer 10 colonnes et 10 rangées de 1 cm de large. Ils pourront ain-si visualiser les 100 cm2 que contient le carré. Ensuite, dites-leur : « Ima-ginez que ce carré est le carré gris qui se situe dans le coin en bas à gauche du mètre carré. » En comptant de 100 en 100 (cm2) le long de la rangée du bas, ils obtiennent 1 000. Enfin, en comptant de 1 000 en 1 000, ils obtiennent 10 000. Approfondissement : Si vous manquez de temps, proposez seulement aux élèves avancés l’exercice 1 page 258 du fichier photocopiable.

Activité optionnelle Synthèse de la séance

Une autre façon de visualiser les 10 000 cm2 contenus dans 1 m2

Prenez un carré blanc de 1 m de côté et utilisez une règle pour y tracer 100 petits carrés de 10 cm de côté (il y aura donc 10 rangées de 10 carrés). Les élèves voient que chacun de ces petits carrés représente 100 cm2 puis comptent de 100 en 100 pour obtenir 10 000 cm2.

• Je connais une nouvelle unité de mesure de l’aire : le mètre carré.

• Il s’agit d’un grand carré dont chaque côté mesure 1 m, qui s’écrit « 1 m2 ».

• Je l’utilise pour mesurer des aires plus importantes.


Fichier 2 p. 119

Fichier 2 p. 120

296

©La

Lib

rair

ie d

es É

cole

s, 2

018

©La

Lib

rair

ie d

es É

cole

s, 2

018

1 Mise en situation : investigationsAnnoncez à la classe : « Aujourd’hui, nous allons étudier la notion de péri-mètre. Est-ce que quelqu'un peut expliquer à la classe ce que ce mot veut dire ? » Selon que vous avez abordé ou non le sujet à la séance 141, les élèves auront ou non une idée de ce que ce mot signifie. Décomposez-le au tableau et commentez-en les deux parties : « péri- » et « -mètre ». Demandez aux élèves de trouver d’autres mots qui commencent par « péri- » (périphérique, périscolaire, péricarde…). Le mot « périmètre » vient du grec ancien « perimetron » (circonférence) : « péri- » qui signifie « autour de » vient de « peri » qui voulait dire « en rond » ; « -mètre » vient de « metron » qui signifie « mesure ». Projetez ou dessinez au ta-bleau des images de cadres fins de tableaux ou de clôtures de terrain et rappelez aux élèves qu’ils ont observé la bordure verte du tableau d’Adèle page 114 du fichier 2. Vous pouvez également diffuser un clip vidéo d’une minute, très clair (bien qu’en anglais), intitulé Maths Antics : Perimeter (https://www.youtube.com/watch?v=AAY1bsazcgM, 1 min 15 à 2 min 15). Tous ces exemples servent d’images mentales aux élèves et développent l’idée selon laquelle le périmètre, c’est la longueur ou la distance autour de…Commencez par utiliser des unités non standard pour mesurer le périmètre. Formez des binômes, distribuez un paquet de pailles ou un sachet de trombones à chacun et assignez-leur l’une des deux activités ci-dessous. Activité 1 Collez deux bureaux voisins l’un contre l’autre et mesurez le périmètre de la grande surface rectangulaire ainsi formée. Utilisez une paille comme unité de mesure.Activité 2 Mesurez le périmètre de la couverture du fichier 2. Utilisez un trombone comme unité de mesure. Une fois que les binômes ont présenté leurs mesures, demandez-leur d’aligner leurs pailles ou leurs trombones les uns derrière les autres sur le sol de façon à former une longue ligne droite. Dites-leur : « Un périmètre


1 Mise en situation : investigations30

minCollectif

puis en binôme

2 Étude de la page 121 du fichier 2 10

min Collectif


minIndividuel

ou en binôme

Fichier 2 : pp. 121-123 Matériel pédagogique : un paquet de pailles et un sachet de trombones ou de cure-dents par binôme, ficelle, règles et mètres-ruban

Vocabulaire : périmètre, contour, bordure, clôture, cadre


Aborder de façon plus approfondie cette caractéristique des formes à deux dimensions qu’est la longueur totale du contour, ainsi que sa mesure qu’on appelle le périmètre.

Objectifs


Figures à deux dimensions et périmètre unidimensionnel Les élèves savent déjà que le monde qui les entoure est en trois dimen-sions. Au CM1, ils apprendront que le volume se mesure en m3, cm3, etc., le « 3 » ou « cube » désignant la di-mension 3. Au CE2, ils apprennent qu’une surface plane est en deux di-mensions. Son aire se mesure en m2, cm2, etc., le « carré » désignant les deux dimensions. La notion la plus abstraite à appréhender est sans doute le fait qu’un segment linéaire ou une droite sont unidimension-nels. Dans cette perspective, il est important que les élèves visualisent le contour d'une figure sous la forme d’un morceau de ficelle qui fait le tour de la figure et peut en-suite être déroulé pour former une droite. Le périmètre correspond à la longueur de ce bout de ficelle et se mesure en cm, m, etc. Plus tard, les élèves apprendront que cm = cm1 ou que m = m1, le « 1 » désignant le li-néaire ou l’unidimensionnel.

Découvrons la notion de périmètreSéance 144

Calcul mental

Multiplier/diviser par 10 et 100

Multiplier par 10 et 100Demandez aux élèves d’expliquer pourquoi 7 × 10 = 70 ou 7 × 100 = 700. Poursuivez : « Si on multiplie un nombre par 100, le produit se termi-nera-t-il toujours par 2 zéros ? » Demandez ensuite de trouver un che-min équivalent à « multiplier 10 ». Posez la même question pour « multi-plier par 100 ».

Diviser par 10 et 100Demandez aux élèves d’expliquer pour-quoi 70 ÷ 10 = 7 ou 700 ÷ 100 = 7. Demandez ensuite de trouver un che-min équivalent à « diviser par 10 », puis à « diviser par 100 ». Donnez des nombres ronds aux élèves pour vérifier.

297

©La

Lib

rair

ie d

es É

cole

s, 2

018

©La

Lib

rair

ie d

es É

cole

s, 2

018

peut toujours être coupé puis déplié pour former une droite. »Les élèves apprendront plus tard qu’une droite est unidimensionnelle mais ils peuvent comprendre dès maintenant que, bien qu’une figure soit à deux dimensions, son périmètre est unidimensionnel.Utilisez ensuite des unités standard pour mesurer le périmètre. Pour cette activité qui s’inscrit dans la continuité de la précédente, demandez à chaque binôme de mesurer de nouveau le même périmètre, mais cette fois avec une unité de mesure standard (en utilisant des règles ou des mètres-ruban) : le centimètre pour le périmètre le plus court et le mètre pour le plus long. Laissez les élèves décider eux-mêmes comment procéder. Regardez s’ils mesurent le contour du rectangle lui-même ou les lignes de pailles ou de trombones posées par terre. Concluez « Le périmètre d’une figure géométrique est la longueur totale de tous ses côtés ; on peut aussi dire que c’est la longueur de son contour. »

2 Étude de la page 121 du fichier 2 Faites lire l’encadré « J’observe » page 121 du fichier 2. Dans les trois exemples fournis, les élèves vont retrouver les trois types d’unités de mesure du périmètre étudiés dans la première partie de cette séance : une unité de mesure non standard (sur le géoplan de Maël) et deux unités standard permettant de mesurer la longueur, qu'ils connaissent déjà : le centimètre et le mètre. Faites le lien entre les exemples de cette page et ceux qu’ils viennent d’étudier. Demandez-leur d'expliquer comment Adèle a fait pour trouver 12 cm (3 × 4, 4 × 3, 3 + 3 + 3 + 3 ou 6 + 6), puis de trouver d’autres façons pour qu'Alice arrive à 70 m (exemple : 35 × 2 ou 50 + 20).

3 Pratique autonomeToute une série de problèmes est proposée aux pages 122 et 123 du fichier 2. Il est important que les élèves fassent tous l’exercice 1, seuls ou en binôme, sur un vrai géoplan ou sur un géoplan en papier. L'unité utilisée ici est la distance la plus courte entre deux clous. Pour les exercices 2 et 3, les élèves doivent additionner la longueur de tous les côtés. Pour les exercices 4 et 5, soyez attentif à la façon dont ils trouvent la somme du nombre total de centimètres ou de mètres de tous les côtés. Est-ce qu’ils les comptent un par un ? Est-ce qu’ils trouvent des raccourcis ? Demandez-leur de partager leur réflexion avec la classe pour leur permettre d’apprendre les uns des autres.

Différenciation Soutien : Posez un solide avec une face plane sur votre bureau. Appelez la face qui est en contact avec le bureau la base (qu’il s’agisse d’un rectangle, d’un carré, d’un disque, etc.). Modélisez le périmètre de la base en enroulant étroitement une ficelle autour d'elle. Coupez ensuite la ficelle puis déroulez-la pour former une ligne droite. Enfin, mesurez la longueur de ce morceau de ficelle. Approfondissement : Pour aller plus loin, dites aux élèves d’effectuer l’exercice 6 du fichier 2.


• Je sais qu’on parle de périmètre pour désigner la longueur du contour d’une figure.

• Le périmètre d’une figure est la longueur totale de tous ses côtés.• Je mesure un périmètre avec des unités de longueur que je connais.


Fichier 2 p. 121

Fichier 2 p. 122

Fichier 2 p. 123

298

©La

Lib

rair

ie d

es É

cole

s, 2

018

©La

Lib

rair

ie d

es É

cole

s, 2

018

1 Mise en situation : l’aire est constanteAu cours des séances 145 et 146, les élèves vont être amenés à appliquer les notions d’aire et de périmètre pour résoudre des problèmes inspirés de la réalité, comme trouver la longueur d’une clôture (périmètre) ou l’aire du sol d’une cuisine. Ils vont également découvrir ce qui se passe lorsque l’aire reste constante mais que le périmètre change, et inversement.Formez des binômes, distribuez à chacun un sac de 6 carrés et dites : « Vous allez créer plusieurs figures différentes en utilisant les 6 carrés à chaque fois. Attention, deux carrés adjacents doivent toujours se toucher sur un côté entier. » Dans ce problème, un carré représente une unité d’aire et la longueur de l’un des côtés d’un carré représente une unité de périmètre. Les élèves devront dessiner chaque figure sur une feuille de papier à carreaux, en tracer le contour en rouge et en colorier la surface en bleu. Dans chaque cas, demandez-leur d’écrire l’aire en unités d’aire (« unités qui mesurent la surface ») et le périmètre en unités de périmètre (« unités qui mesurent la longueur du contour »).La résolution de problèmes a notamment pour objectif de faire acquérir aux élèves de nouvelles façons de penser et de nouvelles notions mathématiques, de leur donner l’habitude de persévérer, d’attiser leur curiosité et de les aider à faire face aux situations inhabituelles avec assurance. Toutes ces compétences se développent pendant les discussions de groupe. Votre rôle est essentiel : vous devez regarder au-delà des réponses des élèves pour identifier le raisonnement qui les sous-tend. Demandez aux élèves de partager leur travail avec la classe. Une fois qu’ils ont trouvé des figures composées de 10, 12 et 14 unités de périmètre, demandez-leur : « Que constatez-vous concernant la relation entre l’aire


1 Mise en situation : l’aire est constante20

minEn binôme

puis collectif

2 Discussion : le périmètre est constant

20 min Collectif


minIndividuel

ou en binôme


Matériel pédagogique : sachets avec 6 petits carrés (en plastique, en bois ou en papier), morceaux de ficelle, 1 feuille de papier quadrillé et 2 crayons de couleurs par binôme, géoplans (ou feuilles géoplan), cure-dents

Vocabulaire : invariant ou « ne change pas », varie ou « change », constant


Résoudre des problèmes portant sur le périmètre et l’aire de figures simples. Comprendre la différence et la relation entre les deux mesures et la façon dont l’une est affectée lorsque l’autre varie.

Compétence du programme 2016 : S'engager dans une démarche de résolution de problèmes en observant, en posant des questions, en manipulant, en expérimentant, en émettant des hypothèses.

Objectifs


Calcul mental

Maths et dominos

Prenez deux dominos au hasard et montrez-les en les maintenant hori-zontalement.Dites que chaque domino correspond à un nombre : le nombre de points à gauche correspond au chiffre des di-zaines et le nombre de points à droite correspond au chiffre des unités. Par exemple, 3/6 donne 36 et 2/5 donne 25. Les élèves doivent trouver la somme des deux nombres (36 + 25 = 61). Ensuite, sur leur ardoise, ils écrivent les quatre égalités de la fa-mille additive : 36 + 25 = 61 ; 25 + 36 = 61 ; 61 – 36 = 25 ; 61 – 25 = 36. Repre-nez l'activité avec d'autres exemples. Précisez que le blanc du domino cor-respond au zéro.

Résolvons des problèmes (1)Séance 145

Le rôle de l’enseignant dans l’apprentissage de la résolution de problèmes Pour aider les élèves à acquérir une bonne maîtrise de la résolution de problèmes, l’enseignant doit sélec-tionner un éventail riche et adapté de problèmes, en encadrer l’utilisa-tion et évaluer ce que les élèves ont compris ainsi que les stratégies qu’ils emploient. Ces derniers ont plus de chances de gagner en assurance dans les classes où on leur donne l’occasion de participer activement à l’établissement des normes collec-tives et où l’on respecte et valorise les idées de chacun. Ces conditions sont essentielles pour permettre aux élèves de comprendre les mathéma-tiques et d’oser prendre des risques intellectuels en posant des ques-tions, en formulant des hypothèses, en partageant leurs solutions et en avançant des arguments mathéma-tiques pour les justifier.

299

©La

Lib

rair

ie d

es É

cole

s, 2

018

©La

Lib

rair

ie d

es É

cole

s, 2

018

et le périmètre ? » (Le périmètre change, mais pas l’aire), « Que peut-on dire de l’aire de toutes vos figures ? » (Elle est toujours égale à 6 unités carrées), « On dit que l’aire reste constante, ce qui signifie qu’elle ne change pas. Et le périmètre ? » (Il change puisqu’il passe de 10 à 12 puis à 14 : on dit qu'il varie !) Plus la forme est compacte, plus le périmètre est petit. Plus la forme est allongée, plus le périmètre est grand. La figure 1 montre une sélection de solutions possibles.

2 Discussion : le périmètre est constant Passez au problème 1 page 124 du fichier 2. Les élèves ont ainsi l’opportunité d’observer le cas inverse à celui du paragraphe 1 : un même périmètre peut contenir des aires différentes. Demandez aux élèves de prendre un morceau de ficelle et d’en nouer les deux bouts pour former une boucle. Dites-leur : « Imaginez que cette boucle représente le contour d’une figure. Posez-la sur votre bureau de manière à ce qu’elle forme un cercle et observez la surface qu’elle renferme. Nommez l’aire de ce disque A. » Poursuivez : « Maintenant, étirez la ficelle pour former une figure longue et étroite puis observez de nouveau la surface qu’elle renferme. Appelez l’aire de cette figure B. Quelle aire est la plus grande, A ou B ? Comment le savez-vous ? » (L’aire la plus grande est l’aire A.) À présent, demandez aux élèves de reproduire les deux figures représentées dans le problème 1 de leur fichier 2 puis discutez-en tous ensemble. Il est évident que les aires A et B sont différentes. On ne peut pas être absolument certain que les périmètres sont égaux, mais on part du principe qu'ils sont censés l’être, comme notre boucle de ficelle. Cet exercice est un vrai problème de réflexion. Aucun calcul n’est nécessaire. Les élèves se concentrent sur les notions : le périmètre reste constant tandis que l’aire varie selon les figures créées.

3 Pratique autonomeLes problèmes 2 et 3 pages 124 et 125 du fichier 2 sont simples et clairs : ils portent sur les mêmes notions que celles vues aux paragraphes 1 et 2. Pour le problème 4, laissez les élèves trouver eux-mêmes comment additionner les côtés ou les carrés. S’ils parviennent à généraliser (« Le périmètre d’un carré, c’est 4 fois la longueur de son côté ! »), faites semblant de le découvrir : « Comment est-ce que tu as compris cela ? », « Comment peux-tu en être sûr ? » Si leurs arguments sont convaincants, écrivez la formule au tableau : PCarré = 4 x c (longueur du côté).

Différenciation Soutien : Donnez aux élèves 16 cure-dents (qui représentent 1 mètre chacun) et demandez-leur de former plusieurs terrains rectangulaires en utilisant les 16 cure-dents à chaque fois. Chaque cure-dent est une unité de clôture ou de périmètre. Demandez-leur de compter le nombre de mètres carrés que contient chaque terrain. Faites-les s’entraîner avec le problème 1 page 259 du fichier photocopiable. Approfondissement : Proposez aux élèves avancés les problèmes 2 et 3 page 259 du fichier photocopiable.


• Je sais que l’aire d’une figure peut rester constante (ou « garder la même valeur ») lorsque son périmètre varie (ou « change de valeur »).

• Je sais que le périmètre d’une figure peut rester constant (ou « garder la même valeur ») lorsque son aire varie (ou « change de valeur »).


Fichier 2 p. 124

Fichier 2 p. 125

Figure 1

A = 6

P = 14

A = 6

P = 12

A = 6

P = 10

300

©La

Lib

rair

ie d

es É

cole

s, 2

018

©La

Lib

rair

ie d

es É

cole

s, 2

018

1 Modéliser la résolution de problèmeUtilisez deux jeux de réglettes Cuisenaire pour modéliser le problème 1 page 126 du fichier 2. Si vous avez un jeu de réglettes par binôme d’élèves, c’est encore mieux. Autrement, prévoyez de fabriquer au préalable 9 bandelettes de papier correspondant aux longueurs représentées. Utilisez du papier de couleur ou écrivez la longueur sur chaque bandelette. Demandez à un élève de lire l’énoncé. Résoudre un problème implique de se lancer dans une activité sans savoir au préalable quelle stratégie adopter pour obtenir la solution. Pour résoudre le problème, on doit s’appuyer sur ses connaissances et sa compréhension. Dites à vos élèves : « Ici, on peut procéder par tâtonnements, une stratégie à laquelle les mathématiciens ont recours eux aussi. » Expliquez-leur que pour créer chaque figure, ils vont devoir utiliser un sous-ensemble des 9 bâtons disponibles. Demandez-leur : « Est-ce que quelqu’un a une idée de ce qu’il faut faire pour la question a) ? » (3/3/4). Demandez à un volontaire de venir au tableau et de modéliser la solution. Poursuivez : « Quel a été ton raisonnement ? », « Il fallait utiliser des bâtons courts car la longueur totale des trois bâtons devait donner 10 cm. Les deux bâtons de 5 cm de long, par exemple, ne peuvent pas fonctionner puisqu’en les combinant, on arrive déjà à 10 cm. » Modélisez maintenant la question c) (voir figure 1). Demandez aux élèves d’expliquer leur raisonnement (qui est au moins aussi important, sinon plus, que la bonne réponse) et voyez si l’un d’entre eux dit : « J’ai choisi les bâtons de 5 et 4 cm pour la longueur et la largeur du rectangle parce que cela donne 9 cm, ce qui correspond à la moitié du périmètre. » Si quelqu’un explique clairement que « le périmètre est composé de 2 longueurs et de 2 largeurs » et que toute la classe est convaincue de l’explication, vous pouvez écrire l’expression au tableau : PRectangle = 2 × 4 cm + 2 × 5 cm = 2 × 9 cm = 18 cm. Si les élèves sont prêts, écrivez la formule générale : PRectangle = 2 x (longueur + largeur). Demandez


1 Modéliser la résolution de problème30

minCollectif

puis en binôme

2 Une suite de figures croissantes 10

minIndividuel

puis en groupe


minIndividuel

ou en binôme


Matériel pédagogique : réglettes Cuisenaire, papier quadrillé, 1 tangram par élève ou par binôme, 6 carrés en plastique

Vocabulaire : suite de figures, suite croissante


Résoudre des problèmes portant sur le périmètre et l’aire de figures simples. Comprendre la différence et la relation entre les deux mesures et la façon dont l’une est affectée lorsque l’autre varie.

Compétence du programme 2016 : S'engager dans une démarche de résolution de problèmes en observant, en posant des questions, en manipulant, en expérimentant, en émettant des hypothèses.

Objectifs


Calcul mental

Lancers de dés

Lancez deux dés à 6, 8 ou 12 faces et prenez le produit des deux nombres obtenus. Il s'agit du nombre-cible. Lancez trois dés classiques. Les élèves doivent combiner les trois nombres obtenus en les additionnant, les soustrayant et/ou les multipliant pour atteindre le nombre-cible, ou s'en rapprocher le plus possible. Pré-cisez qu'un même nombre peut être utilisé plusieurs fois. Variante 1 : Pour obtenir un nombre-cible plus grand, multipliez les deux nombres obtenus avec les dés à 6, 8 ou 12 faces.Variante 2 : Autorisez le lancer de quatre ou cinq dés classiques comme nombres utilisés pour atteindre le nombre-cible.

Résolvons des problèmes (2)Séance 146

Garder le silence ou proposer de l’aide : un équilibre fragile Dans la mesure où tout bon pro-blème force les élèves à réfléchir, il est logique que ces derniers aient souvent du mal à parvenir à la solu-tion. Il est de la responsabilité de l’enseignant de savoir à quel mo-ment les élèves ont besoin de lui et à quel moment ils sont capables de continuer à travailler de manière productive sans son aide (seuls, à deux ou en petits groupes). Il est es-sentiel de laisser aux élèves le temps d’explorer les problèmes. En leur proposant de l’aide trop tôt, ils sont privés de l’opportunité et du plaisir de faire des découvertes mathéma-tiques. Les élèves doivent savoir que résoudre un problème difficile prend du temps et que la persévé-rance est un aspect important du processus de résolution de pro-blèmes, mais aussi de la pratique des mathématiques en général.

301

©La

Lib

rair

ie d

es É

cole

s, 2

018

©La

Lib

rair

ie d

es É

cole

s, 2

018

aux élèves de chercher la solution de la question d) en binôme et faites le tour de la classe pour leur demander d’expliquer leur raisonnement (figure 2). Si vous utilisez les réglettes Cuisenaire, précisez que le périmètre est représenté par les bords intérieurs des réglettes et non par les réglettes entières. Discutez du problème 3 en groupe. Les élèves comprennent-ils le problème ? Arrivent-ils à « voir » à quoi ressemblerait le sol dans son ensemble sans la peinture, soit deux rectangles identiques de 7 m par 2 m, qui se touchent sur une longueur de 4 m ? Après avoir discuté des questions mathématiques liées au problème, laissez chaque binôme trouver les solutions. Lorsqu’ils ont terminé, vérifiez que les différentes stratégies utilisées pour trouver le périmètre ont bien été formulées : « J’ai compté de mètre en mètre tout le long du contour » ou « J’ai compté les côtés horizontaux (2 × 7 m et 2 × 3 m) puis j’ai ajouté les côtés verticaux (4 × 2 m) et j’ai additionné le tout » ou « J’ai trouvé le périmètre de chaque rectangle (18 m), je l’ai multiplié par deux (2 × 18 m), puis j’ai soustrait 2 × 4 m pour les parties qui se touchent. » Toutes ces stratégies sont correctes et donnent 28 m.

2 Une suite de figures croissantes Le problème 4 page 127 du fichier 2 est intéressant à aborder en groupe. Les élèves peuvent faire la partie a) individuellement. Ils peuvent compter, ou mieux encore, calculer (pour D, le périmètre fait deux fois la somme 4 cm + 5 cm ; l’aire fait 4 cm x 5 cm, soit 20 cm2). Pour répondre aux ques-tions suivantes, les élèves doivent percevoir la régularité des figures. Mais au-delà du constat selon lequel l’aire augmente de 5 cm2 et le périmètre de 2 cm à chaque fois, demandez-leur : « Pourquoi ? » (À chaque nouvelle aire, on ajoute une rangée supplémentaire de 5 carrés, et à chaque nouveau périmètre, on ajoute 2 cm, soit les côtés droit et gauche de la nouvelle rangée.) Les suites de figures génèrent des suites de nombres, ce qui pose les bases de la pensée fonctionnelle à l’école élémentaire.

3 Pratique autonomeIl reste une sélection de quatre problèmes pour l’entraînement : les problèmes 2, 5 et 6 pages 126 et 127 du fichier 2, et le problème 1 page 260 du fichier photocopiable. Le problème 2 permet de rappeler qu’on peut former une unité carrée en additionnant deux demi-unités. Le problème 5 nécessite de développer un raisonnement mathématique et d’observer que la diagonale (D) d’un carré est plus grande que ses côtés (C). Ainsi, le périmètre de la figure rouge (4 × c) est inférieur à celui des deux autres figures (2 × c + 2 × d). Pour ce problème, donnez aux élèves deux triangles identiques d'un tangram.

Différenciation Soutien : Révisez l’aire avec le problème 2 page 126 du fichier 2 : utilisez 2 triangles identiques d’un tangram pour montrer qu'ils forment un carré entier. Révisez le périmètre avec le problème 6 page 127 du fichier 2 : utilisez les 6 carrés de la séance 145. Approfondissement : Donnez le problème 1 page 260 du fichier photocopiable aux élèves avancés.


• Je comprends la différence entre l’aire et le périmètre d’une figure. • Je sais résoudre différents problèmes d’aire et de périmètre.


Fichier 2 p. 126

Fichier 2 p. 127

Figure 1

Figure 2

4 cm

5 cm

3 cm

5 cm

6 cm

7 cm

4 cm

302

©La

Lib

rair

ie d

es É

cole

s, 2

018

©La

Lib

rair

ie d

es É

cole

s, 2

018

Faire le point sur ce que les élèves ont appris et compris à la fin de l’unité 15. Proposer trois activités au choix : « Jouons avec les maths », « Explorons » et « Mon journal ».

Fichier 2 p. 128

Bilan de l'unité 15Séance 147


Ce que j’ai appris Revoyez la notion d’aire comme mesure de la surface d’une figure. Commencez par rappeler qu’on peut compter des carrés entiers ou des demi-carrés. Ensuite, révisez les unités de mesure standard de l’aire : les centimètres carrés pour les petites surfaces (comme le rectangle des filles) et les mètres carrés pour les surfaces plus importantes (comme le bassin des garçons). Revoyez également la notion de périmètre comme mesure de la longueur du contour d'une figure ou d'un lieu. Évoquez la méthode utilisée pour trouver le périmètre d’une figure, à savoir ad-ditionner la longueur de tous les côtés. Revoyez les différentes unités de mesure standard utilisées pour le périmètre, notamment les centi-mètres pour les longueurs les plus courtes et les mètres pour les lon-gueurs les plus grandes. Au CE2, le répertoire des caractéristiques mesurables que connaissent les élèves s’élargit. Ils ont étudié le fait que la variation du périmètre d'une figure peut en laisser l’aire inchangée et inversement. Revoyez avec les élèves ces deux cas de figure : (1) former différentes figures planes avec 6 carrés, créer différents périmètres en conservant la même aire ; (2) former différentes figures planes avec un bout de ficelle, créer différentes aires tandis que le périmètre reste constant. Ce type d’obser-vations offre un aperçu de concepts mathématiques complexes, comme l’invariance sous l’effet des transformations. Pour conclure, demandez aux élèves de calculer l’aire et le périmètre de chaque figure du fichier afin de vérifier que les affirmations sont correctes.

Jouons avec les maths Faisons un rectangle !

Lisez les règles du jeu pour vous assu-rer qu’elles sont bien comprises. Véri-fiez que les rotations/symétries d’une même figure sont reconnues (étape 2). L’exercice de mise en situation de la séance 145 avec 6 carrés aidera les élèves à comprendre l’objectif du jeu : créer différentes figures en utilisant 5 carrés. L’obligation de faire toucher deux carrés adjacents le long d’un côté est à respecter. Certains trouveront les 12 figures possibles, d’autres non. Pour ceux qui ont terminé, proposez-leur la partie « Défi ». Autre idée de défi : faites entourer les formes parmi les 12 qui sont des patrons de cube.

Explorons Le concept sur lequel repose ce problème n’a rien de nouveau : il s’agit de faire varier l’aire d'un rec-tangle pour un périmètre donné de 24 m. Une clôture autour d’un jardin, tout comme un élastique au-tour d’une figure sur un géoplan, constitue une bonne métaphore du périmètre. Travailler sur du papier à carreaux peut aider les élèves à trouver toutes les solutions possibles. Les solutions à valeur entière sont 11/1, 10/2, 9/3, 8/4, 7/5 et 6/6. Si les élèves excluent la solution 6/6 parce qu’il s’agit d'un carré, ne faites pas de commentaire. C’est en CM1 que l’on apprend que le carré est un rectangle particulier.

Mon journal Ici, les élèves ont l’opportunité de for-muler avec leurs propres mots ce qu'ils ont compris des notions d’aire et de périmètre et des procédures apprises au cours de cette unité, mais aussi de dire ce qu'ils ont apprécié ou non. La dernière question porte sur leurs in-terrogations personnelles. Les jeunes élèves posent toujours une multitude de questions sur les nombres, les fi-gures, etc. Cependant, au fil des an-nées, cette capacité d’interrogation se trouve souvent réprimée, à tel point qu’une fois arrivés au lycée, les élèves cessent généralement de se poser des questions. Essayez de stimuler leur imagination et de faire en sorte que les mathématiques restent pour eux une source d’interrogation !

Documents

Unité 15 : L’aire et le périmètre · parle d’aire et quand on mesure la longueur de leur contour, on parle de périmètre. » La séance 141 propose de débuter par l’étude