VOLUMES

UNITÉS ET MESURES

Dossier n°7 Juin 2005

Conçu et réalisé par :

Marie-Christine LIEFOOGHE Bruno VANBAELINGHEM

Tous droits réservés au réseau AGRIMÉDIA Annie VANDERSTRAELE

Je tiens une de ces FORMES, ma FIGURE est tout en VOLUMES

UNITÉS ET MESURES – Volumes – Dossier n°7 1

C. D. R. UNITES ET MESURES

Apprentissage AGRIMEDIA Volumes

Objectifs :

- Calculer les volumes des solides usuels à l’aide des formules Contenu :

- Calculs de volumes

- Exercices d’application et problèmes avec réponses Matériel nécessaire :

- Calculatrice

Pré-requis :

- Maîtriser les calculs d’aires (cf. dossier n°4)

UNITÉS ET MESURES – Volumes – Dossier n°7 2

CALCUL DES VOLUMES LES PLUS

UTILISÉS

Calculer le volume d’un objet, c’est calculer la place qu’occupe cet objet dans l’espace.

Formules de calcul Exemples

CUBE côté ou arête

Le côté d’un cube s’appelle l’arête de ce cube

Volume

=

arête x arête x arête

ou

arête3

Volume = arête x arête x arête

Volume = 3 x 3 x 3 = 27

Le volume de ce cube est : 27 unités

3

PARALLÉLÉPIPÈDE ou PAVÉ

Longueur

Volume

=

Longueur x largeur x hauteur

Volume = L x l x h

Volume = 6 x 3 x 4

L = 6 Volume = 72

Le volume de ce pavé est : 72 unités

CYLINDRE

rayon

Volume

=

π x rayon x rayon x hauteur

ou

π x rayon2 x hauteur

(R = rayon)

Volume = π x R x R x hauteur

Volume = π x 1 x 1 x 4

Volume � 12,56

Volume de ce cylindre : 12,56 unités

1

BOULE ou SPHÈRE

rayon

Volume

=

3

R x R x R x x 4 π

ou

3

rayon x x 4 3π

Volume = 3

R x R x R x x 4 π

= 3

1,5 x 1,5 x 1,5 x x 4 π

� 3

442, � 14,1

Le volume de cette boule est 14,1 unités

1,5

hau

teur

h =

4

hau

teur

4

UNITÉS ET MESURES – Volumes – Dossier n°7 3

Maintenant à vous !

Exercices Exercice 1 : Une salle de classe mesure 8 mètres de longueur, 6 mètres de largeur et 3 mètres de hauteur. Calculez le volume de cette classe. Exercice 2 : Calculez le volume d’une boîte de conserve cylindrique de 5 cm de rayon et de 15 cm de hauteur.

Exercice 3 : Un ballon de football a un diamètre de 24 cm. Calculez son volume.

Exercice 4 : L’arête d’un cube mesure 2 décimètres. Calculez le volume de ce cube.

Voir réponses page suivante

UNITÉS ET MESURES – Volumes – Dossier n°7 4

RÉPONSES Les résultats indiqués dans les réponses suivantes ont été

calculés avec la touche π (pi) de la machine à calculer. Exercice 1 : Une salle de classe mesure 8 mètres de longueur, 6 mètres de largeur et 3 mètres de hauteur. Calculez le volume de cette classe.

Le volume de cette classe est : Longueur x largeur x hauteur

soit : 8 x 6 x 3 = 144

Le volume de cette classe est donc : 144 m3

Exercice 2 : Calculez le volume d’une boîte de conserve cylindrique de 5 cm de rayon et de 15 cm de hauteur.

Le volume de cette boîte de conserve est : π x rayon x rayon x hauteur

soit : π x 5 x 5 x 15 � 1 178,1

Le volume de cette boîte est environ : 1 178,1 cm3

Exercice 3 : Un ballon de football a un diamètre de 24 cm. Calculez son volume.

Le volume V du ballon de football est : 3

R x R x R x x 4 π

Le rayon est 122

24= soit 12 cm, d’où : V =

3

12 x 12 x 12 x x 4 π� 7 238,229

Le volume de ce ballon est environ : 7 238,2 cm3

Exercice 4 :

L’arête d’un cube mesure 2 décimètres. Calculez le volume de ce cube. Le volume du cube est : arête x arête x arête

soit : 2 x 2 x 2 = 8

Le volume de ce cube est : 8 dm3

UNITÉS ET MESURES – Volumes – Dossier n°7 5

Parfois, connaissant le volume d’un objet, il peut être utile de calculer l’une de ses dimensions. C’est ce que nous allons voir.

Exemple : Sur un massif rectangulaire de 7 mètres de longueur et 5,2 mètres

de largeur, on étale régulièrement 5,1 m3 de terreau. Quelle est l’épaisseur de la couche de terreau ? Le volume de terreau est V = Longueur x largeur x hauteur 5,1 = 7 x 5,2 x hauteur 5,1 = 36,4 x hauteur

D’où : 0,14 36,4

5,1 hauteur == soit 0,14 m ou 14 cm

L’épaisseur de la couche de terreau est donc : 14 cm

Maintenant à vous !

Exercice 5 : Un silo à grains cylindrique de 2 mètres de diamètre contient 12 m3 de blé. Quelle est la hauteur de blé dans ce silo ?

Voir réponse page 7

UNITÉS ET MESURES – Volumes – Dossier n°7 6

Exercice 6 : Lors de la construction d’une route de 4 m de large, on étale du remblai (des pierres) sur une épaisseur de 15 cm. Quelle longueur de route peut-on recouvrir avec 300 m3 de remblai ? Exercice 7 : Un bassin cylindrique mesure 5,6 mètres de diamètre et a une profondeur de 1,4 mètre. Quel est le volume de ce bassin ? Quelle est la hauteur atteinte lorsqu’on y verse 23,4 m3 d’eau ? Exercice 8 : Dans une station service, une cuve à essence a la forme d’un parallélépipède de 7,8 mètres de longueur et de 2,5 mètres de largeur. 1) Le matin, le pompiste constate que la hauteur d’essence dans

la cuve est de 1,3 mètre. Quel est le volume d’essence contenu dans cette cuve ?

2) Dans la journée, il vend 9,75 m3 d’essence.

Quelle est la hauteur de l’essence qui reste dans la cuve ?

Voir réponses pages 7 et 8

€ Litres

Pompe

à

essence

UNITÉS ET MESURES – Volumes – Dossier n°7 7

RÉPONSES

Exercice 5 :

Un silo à grains cylindrique de 2 mètres de diamètre contient 12 m3 de blé. Quelle est la hauteur de blé dans ce silo ?

Le volume qu’occupe le blé est : V = π x rayon x rayon x hauteur

d’où : 12 = π x 1 x 1 x hauteur

12 = π x hauteur

d’où : 3,82 12

hauteur ≈

π

=

La hauteur de blé dans ce silo est environ 3,82 m

Exercice 6 :

Lors de la construction d’une route de 4 m de large, on étale du remblai (des pierres) sur une épaisseur de 15 cm. Quelle longueur de route peut-on recouvrir avec 300 m3 de remblai ?

Le volume du remblai est : V = Longueur x largeur x hauteur

300 = Longueur x 4 x 0,15 300 = Longueur x 0,6

d’où : 500 0,6

300 Longueur ==

La longueur de route que l’on peut recouvrir est : 500 m

Exercice 7 :

Un bassin cylindrique mesure 5,6 mètres de diamètre et a une profondeur de 1,4 mètre. Quel est le volume de ce bassin ? Quelle est la hauteur atteinte lorsqu’on y verse 23,4 m3 d’eau ?

Le volume du bassin est : π x rayon x rayon x hauteur

soit : π x 2,8 x 2,8 x 1,4 � 34,48

Le volume de ce bassin est environ 34,48 m3

Le volume qu’occupe l’eau est : V = π x rayon x rayon x hauteur

d’où : 23,4 = π x 2,8 x 2,8 x hauteur

23,4 � 24,63 x hauteur

d’où : 0,95 6324

23,4 hauteur ≈=

,

La hauteur d’eau dans ce bassin est environ 0,95 m

UNITÉS ET MESURES – Volumes – Dossier n°7 8

Exercice 8 : Dans une station service, une cuve à essence a la forme d’un parallélépipède de 7,8 mètres de longueur et de 2,5 mètres de largeur. 1) Le matin, le pompiste constate que la hauteur d’essence dans

la cuve est de 1,3 mètre. Quel est le volume d’essence contenu dans cette cuve ?

2) Dans la journée, il vend 9,75 m3 d’essence.

Quelle est la hauteur de l’essence qui reste dans la cuve ? 1) Le volume d’essence contenu dans la cuve est : V = Longueur x largeur x hauteur

V = 7,8 x 2,5 x 1,3 V = 25,35

Le volume d’essence contenu dans la cuve est : 25,35 m3

2) Le volume de l’essence qui reste dans la cuve est : 25,35 - 9,75 soit 15,6 m3

Le volume de l’essence qui reste est : V = Longueur x largeur x hauteur

15,6 = 7,8 x 2,5 x hauteur 15,6 = 19,5 x hauteur

d’où : 0,8 19,5

15,6 hauteur ==

La hauteur de l’essence qui reste dans la cuve est : 0,8 m

Très bien ! Passons à la suite !!

€ Litres

Pompe

à

essence

UNITÉS ET MESURES – Volumes – Dossier n°7 9

AUTRES CALCULS DE VOLUMES

Formules de calcul Rappels

PRISMES

Volume du prisme =

aire de la base x HAUTEUR

V = aire du triangle x HAUTEUR

V = aire du trapèze x HAUTEUR

Aire du triangle =

2

x base hauteur

B = GRANDE BASE

b = petite base

Aire du trapèze = hauteur x 2

b +B

Il ne faut pas confondre la HAUTEUR du prisme et la hauteur de la figure qui forme la base du prisme.

PYRAMIDE

et

CÔNE

Le volume V de la pyramide et celui du cône se calculent de la même façon :

V =

La base d’un cône est toujours un disque dont l’aire est :

Aire de la base = π x rayon 2

Chapitre 2

HA

UT

EU

R

HA

UT

EU

R

hauteur

base

B

b

hauteur

HA

UT

EU

R

HA

UT

EU

R

Aire de la base x HAUTEUR

3

UNITÉS ET MESURES – Volumes – Dossier n°7 10

Maintenant à vous ! Exercice 1 : En Egypte, la pyramide de KHÉOPS est la plus haute des trois pyramides du site de Gizeh. C’est une pyramide à base carrée. Ses dimensions sont les suivantes : côté du carré : 230 m HAUTEUR : 146 m Quel est le volume de cette pyramide ? Exercice 2 : Une tente pour campeur de type canadienne a pour dimensions : Longueur : 197 cm largeur : 98 cm hauteur : 112 cm Calculez le volume de cette tente. Remarque : cette tente a la forme d’un prisme à base

triangulaire, comme le montre le schéma ci-contre. Commencez par placer sur ce schéma les dimensions indiquées dans l’énoncé.

Voir réponses page 12

UNITÉS ET MESURES – Volumes – Dossier n°7 11

Exercice 3 : Une bougie a la forme d’un cône de hauteur 12 cm. Sa base est un cercle de diamètre 10 cm. Quel est le volume de cette bougie ? Exercice 4 : Un réservoir d’eau est composé d’une partie cylindrique et d’une partie conique, comme le montre le schéma ci-contre. Calculez son volume.

Voir réponses page 13

16 dm

12 dm

22 dm

UNITÉS ET MESURES – Volumes – Dossier n°7 12

RÉPONSES Exercice 1 : En Egypte, la pyramide de KHÉOPS est la plus haute des trois pyramides du site de Gizeh. C’est une pyramide à base carrée. Ses dimensions sont les suivantes : côté du carré : 230 m HAUTEUR : 146 m Quel est le volume de cette pyramide ? Aire de la base de la pyramide = 230 x 230 = 52 900 soit 52 900 m2 Volume de cette pyramide : V = ( Aire de la base x HAUTEUR ) / 3

V = ( 52 900 x 146 ) / 3

V = ( 7 723 400 ) / 3

V � 2 574 467

Le volume de la pyramide de KHÉOPS est environ 2 574 467 m3

Exercice 2 : Une tente pour campeur de type canadienne a pour dimensions : Longueur : 197 cm largeur : 98 cm hauteur : 112 cm Calculez le volume de cette tente. Les dimensions de ce prisme sont : base du triangle : 98 cm hauteur du triangle : 112 cm HAUTEUR du prisme : 197 cm

Aire du triangle de base : 488 5 2

112 x 98= soit 5 488 cm2

Le volume du prisme est : V = Aire de base x HAUTEUR

V = 5 488 x 197

V = 1 081 136

Le volume de cette tente est : 1 081 136 cm3 ou encore environ 1,08 m3

UNITÉS ET MESURES – Volumes – Dossier n°7 13

Exercice 3 : Une bougie a la forme d’un cône de hauteur 12 cm. Sa base est un cercle de diamètre 10 cm. Quel est le volume de cette bougie ?

Le rayon du disque de base est 5 2

10= soit 5 cm

L’aire de la base de la bougie est : π x 5 2 ≈ 78,54 soit 78,54 cm2 Le volume de cette bougie est : V = V = V ≈ 314,16

Le volume de cette bougie est environ : 314,16 cm3

Exercice 4 : Un réservoir d’eau est composé d’une partie cylindrique et d’une partie conique. Calculez son volume.

Le volume du cylindre est : V = π x 8 x 8 x 12 soit environ : 2 412,74 dm3

La hauteur du cône est : 22 - 12 = 10 soit 10 dm Le volume du cône est : V = soit 670,2 dm3 environ Le volume total est : 2 412,74 + 670,2 = 3 082,94

Le volume du réservoir est environ : 3 083 dm3

Fin

Aire de la base x HAUTEUR

3

78,54 x 12

3

( π x 8 x 8 ) x 10

3

16 dm

12 dm

22 dm