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DEUG STU2DEUG STU2P2 – Symétries et axes optiquesP2 – Symétries et axes optiques

IV – Symétries cristallines et axes optiquesIV – Symétries cristallines et axes optiques

Le comportement de la lumière se distingue suivant la nature du matériau qu’elle traverse ; on répertorie ainsi trois grandes classes de matériaux :

les matériaux isotropes

les matériaux anisotropes uniaxes

les matériaux anisotropes biaxes

A chacune de ces classes correspond des symétries cristallines particulières ; on peut alors classer les différentes symétries cristallines suivant ces 3 catégories.

Partons de l’expression du tenseur des permitivités diélectriques dans la base principale :

3

2

1

00

00

00

1/10

b=a

a

c=a



1 – Matériaux isotropes1 – Matériaux isotropes

Si 1 = 2 = 3 = i cela signifie que tous les axes sont équivalents.

Autrement dit, le milieu est isotrope :

la surface d’onde est unique et sphérique

Les matériaux concernés sont :

les matériaux amorphes (eau, verre…)

les cristaux à symétrie cubique

a=b=c===90°

3 axes équivalents et orthogonaux d’ordre 4

Ex : Si, Ge, GaAs, MgO…

2/10

b=a

a

c



2 – Matériaux anisotropes uniaxes2 – Matériaux anisotropes uniaxes

C’est le cas où 2 des 3 permitivités diélectriques principales sont identiques ; par exemple : (1 = 2) 3

Par conséquent, seulement 2 axes principaux sont équivalents ( et )1e

2e

Le troisième axe ( ) est donc axe de symétrie : 3e

c’est l’axe optique.


les cristaux à symétrie tétragonale (quadratique)

(a=b) c===90°

1 axe d’ordre 4 : est l’axe optiquec

Ex : TiO2 (rutile) uniaxe positif

(no = 2,616 et ne = 2,903)

3/10

b=a

a

c=a

b=aa

c



les cristaux à symétrie hexagonale

(a=b) c==90°=120°

1 axe d’ordre 3 : est l’axe optiquec

Ex : ZnO uniaxe positif

(no = 1,990 et ne = 2,006)

les cristaux à symétrie trigonale (rhomboédrique)

a=b=c== 90°

1 axe d’ordre 3 : est l’axe optiquecba

Ex : SiO2 (quartz) uniaxe positif(no = 1,544 et ne = 1,553)

CaCO3 (calcite) uniaxe négatif

(no = 1,658 et ne = 1,486)

4/10



3 – Matériaux anisotropes biaxes3 – Matériaux anisotropes biaxes

C’est le cas où les 3 permitivités diélectriques principales sont différentes : 1 2 3

aucune direction n’est équivalente à une autre.

Ce type de milieu est alors caractérisé par l’existence de 2 axes optiques.

(cf. démonstration plus loin)

les cristaux à symétrie triclinique

b

a

c

a b c

Ex : mica

(n1 = 1,552 ; n2 = 1,582 ; n3 = 1,588 )


5/10

b

a

c



les cristaux à symétrie monoclinique

Ex : trémolite [Si4O11(OH)]2Ca2Mg5

(n1 = 1,608 ; n2 = 1,620 ; n3 = 1,630 )b

a

c

a b c = = 90° 90°

les cristaux à symétrie orthorhombique

Ex : alexandrite BeAl2O4

(n1 = 1,744 ; n2 = 1,747 ; n3 = 1,753 )

a b c===90°

6/10



Détermination des axes optiques d’un milieu biaxe :

Un axe optique existe si dans une direction donnée il n’existe qu’une seule vitesse de propagation (vitesse de phase).

Considérons alors un milieu dont les permitivités diélectriques principales sont : 1 2 3

Les indices principaux correspondant sont : n1 n2 n3

… et on prendra comme hypothèse : n1 < n2 < n3

Etudions alors la surface des indices dont l’équation est :

2 22 2 2 23 31 1 2 2

2 2 2 2 2 21 2 3

0n xn x n x

n n n n n n

Après réduction au même dénominateur, on trouve :

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 3 2 2 1 3 3 3 1 2( )( ) ( )( ) ( )( ) 0n x n n n n n x n n n n n x n n n n

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Etudions plan par plan la forme des surfaces des indices :

dans le plan :1 2( , )e e

on a nécessairement et donc…3 0x

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 3 2 2 1 3( )( ) ( )( ) 0n x n n n n n x n n n n

2 2 2 2 2 2 2 2 2 23 1 1 2 2 2 1( ) ( ) ( ) 0n n n x n n n x n n

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 23 1 2 1 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) 0n n n n x x n n x n x

2n

2 2 2 2 2 2 2 23 1 2 1 1 2 2( ) ( ) 0n n n n n x n x

soit deux surfaces possibles :

3n n2 2 2 2 2 21 2 1 1 2 2n n n x n x

cercle de rayon n3

2 21 22 22 1

1x xn n

ellipse de dimensions :

n2 suivant 1e

n1 suivant 2e

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par analogie on trouve…

2n n2 2 2 2 2 21 3 1 1 3 3n n n x n x

cercle de rayon n2

2231

2 23 1

1xx

n n

ellipse de dimensions :n3 suivant 1e

n1 suivant 3e


par analogie on trouve…

1n n2 2 2 2 2 22 3 2 2 3 3n n n x n x

cercle de rayon n1

2232

2 23 2

1xx

n n

ellipse de dimensions :n3 suivant 2e

n2 suivant 3e

Traçons ces surfaces…

9/10



1e

2e

3e

1n

2n

3n

1n

2n

3n

1 2( , )e e cercle de rayon n3

ellipse :n2 suivantn1 suivant

1e

2e

cercle de rayon n2


),( 31 ee

1e

3e

cercle de rayon n1


),( 32 ee

2e

3e

Dans le plan , les deux nappes coïncident en un point qui donne la direction de l’axe optique.

),( 31 ee

a.o.

1e

3e

En fait, on constate qu’il y a 4 points de coïncidence,

ce qui génère 2 axes optiques.

Remarque : suivant ces axes optiques la vitesse vaut v2=c/n2.

a.o. a.o.

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