Université dAngers DEUG STU2 P1 – Propagation dans les solides III – Propagation dans les solides Pour étudier la propagation des ondes dans un milieu

F

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DEUG STU2DEUG STU2P1 – Propagation dans les solidesP1 – Propagation dans les solides

III – Propagation dans les solidesIII – Propagation dans les solides

Pour étudier la propagation des ondes dans un milieu solide, il nous faut connaître les propriétés mécaniques des milieux déformables :

la propagation d’une onde génère une contrainte dynamique qui déforme localement le solide.

1 – Propagation dans un solide illimité isotrope1 – Propagation dans un solide illimité isotrope

zF

xFyF

La force s’exerçant sur une surface peut toujours se décomposer en :

- une composante normale ()

- deux composantes tangentielles (//)

1/25



Considérons un élément de volume solide, de forme parallélépipédique rectangle :

x

y

z

yT

zy

xyyy

zTzz

xzyz

xT

yx

xx

zx

zyx TTT

,, sont les contraintes s’exerçant sur les différentes faces…

force par unité de surface (pression)

… et chacune des contraintes est repérée par 3 composantes.

2/25



On a donc 9 composantes, notées ij, qui peuvent se regrouper sous la forme d’un tenseur :

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

tenseur des contraintes

Remarque :

Pour un élément ij, le premier indice (i) repère la direction suivant laquelle s’exerce la contrainte ; le second indice (j) indique la direction normale à la surface sur laquelle s’exerce la contrainte.

Remarque :

Les élément ii (sur la diagonale du tenseur) sont appelés contraintes normales ; les éléments ij avec ji (hors-diagonale) sont appelés contraintes tangentielles.

Remarque :

Le tenseur est toujours symétrique, donc : ij = ji

3/25



L’application d’une contrainte provoque alors une déformation de l’élément de volume solide. Cette déformation peut également être décrite au moyen d’un tenseur :

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

tenseur des déformations

Remarque :

Le tenseur est aussi toujours symétrique, donc : ij = ji

Comme on a défini Ux la vibration d’une particule fluide dans la direction de propagation, dans un solide il nous faut définir 3 vibrations correspondant aux 3 directions de l’espace : Ux , Uy et Uz

au passage de l’onde, le solide peut se déformer dans les trois directions de l’espace.

4/25



Le tenseur des déformations s’explicite alors en fonction de ces vibrations :

zU

yU

z

U

xU

zU

yU

z

U

y

U

x

U

yU

xU

zU

x

U

yU

xU

zzyzx

zyyyx

zxyxx

21

21

21

21

21

21

Remarque :

Les éléments diagonaux définissent les déformations d’élongation. La somme des 3 éléments diagonaux correspond alors à la dilatation :

zU

y

U

xU zyx

VVd

variation relative de volume

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Remarque :

Les éléments en dehors de la diagonale définissent les déformations qui ne sont pas dans l’axe de l’élongation : ce sont les déformations de cisaillement.

élongation cisaillement

la déformation de l’élément de volume solide est une combinaison d’élongations et de cisaillements dans les 3 dimensions de l’espace.

Les déformations résultent des contraintes appliquées. Il existe une relation entre les deux :

c loi de Hooke

où est le tenseur des constantes élastiques (caractéristiques intrinsèques du matériau).

c

6/25



Remarque :

Le rang d’un tenseur correspond au nombre d’indices nécessaires pour identifier une de ses composantes.

ij tenseur de rang 2

ij tenseur de rang 2ij = cijkl kl tenseur de rang 4c

Le nombre d’éléments composant un tenseur de rang n est donné par : 3n

Par conséquent, on vérifie bien que ij et ij contiennent 32 = 9 composantes.

Et on trouve que cijkl contient 34 = 81 composantes !!!

zzxxzzzyxxzyzxxxzx

yzxxyzyyxxyyyxxxyx

xzxxxzxyxxxyxxxxxxxx

cccccc

ccc

Par exemple :

Mais : les propriétés de symétrie du matériau, ainsi que la symétrie des tenseurs vont permettre de diminuer considérablement le nombre de composantes indépendantes à manipuler.

7/25



Astuce :

Afin de simplifier l’écriture de ces tenseurs et des relations qui les lient, on utilise l’astuce suivante :

au tenseur symétrique de rang 2, on associe un vecteur à 6 composantes :

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

xy

xz

yz

zz

yy

xx

6

5

4

3

2

1

tenseur de rang 1

ij

On peut procéder de même pour :

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

xy

xz

yz

zz

yy

xx

2

2

2

6

5

4

3

2

1

ij

tenseur de rang 1

8/25



En notation contractée, la loi de Hooke s’exprime alors comme :

c où , = 1,2,3,4,5 ou 6.

c est donc réduit à un tenseur de rang 2 correspondant à une matrice 6x6 :

c

On a ainsi par exemple : 6465454443342241144 cccccc

Remarque :

Comme le tenseur est symétrique, c ne compte que 21 composantes indépendantes.

6

5

4

3

2

1

665646362616

565545352515

464544342414

363534332313

262524232212

161514131211

6

5

4

3

2

1

cccccc

cccccc

cccccc

cccccc

cccccc

cccccc

9/25



Voyons comment il est possible de réduire encore le nombre de composantes indépendantes en tenant compte de la symétrie du milieu solide :

Si le milieu présente une symétrie cubique, alors il ne reste plus que 3 composantes indépendantes :

44

44

44

111212

121112

121211

00000

00000

00000

000

000

000

c

c

c

ccc

ccc

ccc

c

Si, en outre, le milieu est parfaitement isotrope,alors on doit vérifier : 12112

144 ccc

il ne reste plus que 2 composantes indépendantes :

les coefficients de Lamé

44

12

c

c

211c

00000

00000

00000

000)2(

000)2(

000)2(

10/25



Toutes les propriétés élastiques du solides se résument donc aux deux coefficients de Lamé :

module de cisaillement (viscosité pour un fluide)

module d’incompressibilité (1/ pour un fluide)

Pour comprendre la propagation d’une onde dans le milieu solide, il nous faut alors poser les équations relatives à la dynamique du processus : cela revient à considérer le Principe Fondamental de la Dynamique sur un élément de volume.

la démarche consiste à faire le bilan des forces qui s’exercent (contraintes normales et tangentielles) et égaler la résultante au produit de la masse par l’accélération…

… après calcul, on trouve…

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accélérationcontrainte normale

contraintes tangentielles



2

2

2

2

2

2

tU

zyx

t

U

zyx

tU

zyx

PFD

zzzyzxz

yyzyyxy

xxzxyxx

A ce stade, l’objectif est d’obtenir les équations de propagation n’impliquant que les vibrations Ux, Uy et Uz.

Pour cela, appliquons la loi de Hooke sur les composantes ij :

3211 )2( xx

xUx

xx

zUz

zz

y

Uyyy

zU

y

U

xU

xU zyxx 2

12/25



Soit :

xUx

xx 2

On trouve de même :

y

Uyyy 2 et

zUz

zz 2

Pour les contraintes tangentielles, on a :

x

U

yU yx

xyxy 266

xU

zU zx

xzxz 255

yU

z

Uzy

yzyz 244

Avant de remplacer ces 6 composantes dans le système des 3 équations différentielles issues du PFD, posons quelques hypothèses simplificatrices…

13/25

x

z

y



Hypothèses simplificatrices :

On considérera une onde se propageant suivant l’axe x, et générant des vibrations uniquement suivant les directions x et y.

kyU

xU

Dans ces conditions :

0

zU

0

zy

(milieu isotrope)

(onde plane)

)cos(0 xktUU Lxx )cos(0 xktUU Tyy

onde longitudinale

onde transversale

On a alors :

z

Uy

U

xU

xU

xU zyxxx

xx 22

0 0

xUx

xx

)2( et de même :x

Uxyy

xUx

zz

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x

U

yU yx

xy

0

x

Uyxy

xU

zU zx

xz 0 0

0

yU

z

U zyyz

0 0

0

Bilan :

xUx

xx

)2( x

Uxyy

xUx

zz

x

Uyxy

0xz 0yz

2

2

2

2

2

2

tU

zyx

t

U

zyx

tU

zyx

PFD

zzzyzxz

yyzyyxy

xxzxyxx

0 0

0 0

0 00 0

2

2

2

2

)2(t

U

x

U xx

2

2

2

2

t

U

x

U yy

15/25

2

1

Tv2

1

Lv



On a donc obtenu deux équations de propagation :

2

2

2

2

)2(t

U

x

U xx

2

2

2

2

t

U

x

U yy

onde longitudinale

onde transversale

2

2

2

2

2 tU

xU xx

2

2

2

2

t

U

x

U yy

L’onde longitudinale se propage à la vitesse :

2Lv

L’onde transversale se propage à la vitesse : Tv

16/25



Remarque :

On peut facilement retrouver le résultat obtenu pour la vitesse de propagation dans un fluide :

le module de cisaillement s’apparente à la viscosité, donc 0

0

Tv et cvL

12

on retrouve le fait que dans un fluide seules des ondes longitudinales peuvent se propager à la vitesse 1c

Ordre de grandeur des vitesses de propagation :

Typiquement, les vitesses de propagation longitudinale sont de l’ordre de 5000 à 6000 m.s-1.

Dans tous les cas, la propagation d’ondes transversales est moins rapide que celle d’ondes longitudinales :

222)2(

T

L

vv

TL vv

17/25



Conversion des coefficients de Lamé

On a vu que les 2 seuls coefficients de Lamé, et , peuvent décrire le comportement élastique du solide dans lequel se propage l’onde.

- le module d’Young : E

)1)(21( PP

PE

D’un point de vue pratique, il est plus fréquent d’utiliser deux autres coefficients :

- le coefficient de Poisson : P

La conversion avec les coefficients de Lamé s’effectue ainsi :

)1(2 P

E

18/25



Expression des vitesses en fonction de E et P

et)1(2 P

TE

v

)1(22

)1)(21(2

PPP

P EE

)1)(21()21(

PP

PP EE

)1)(21()1(

PP

PE

)1)(21(

)1(

PP

PL

Ev

On peut alors remarquer que :)21()1(

2P

P

T

L

vv

le rapport des deux vitesses ne dépend que d’un seul coefficient : le coefficient de Poisson.

P0 0,25 0,3 0,49

vL/vT 21/2=1,4 31/2=1,73 3,51/2=1,87 511/2=7,14

19/25

L

a



2 – Propagation dans un solide de dimensions finies2 – Propagation dans un solide de dimensions finies

Définitions du module d’Young et du coefficient de Poisson

dL

da

F

On considère une tige homogène, de longueur L et d’épaisseur a.

Soumise à une force de traction F, la tige s’allonge d’une longueur dL, et son épaisseur se contracte de da.

L’allongement relatif et la contraction relative sont alors fonction du module d’Young E et du coefficient de Poisson P du matériau. On a :

SF

ELL 1d

LL

aa

P

dd

Remarque :E a la dimension d’une pression.P est sans dimension.

20/25



Application à la propagation d’une onde en milieu fini

xF

k

On considère un barre de hauteur h et de largeur D dans laquelle se propage longitudinalement une onde de longueur d’onde .

L’analyse dynamique que l’on va effectuer n’est valable que si : Dh,

Dû à la propagation de l’onde, une tranche de cette barre est soumise, en x, à une force Fx, et en x+dx, à une force Fx+dx.

2

2

d dPFDtU

xSFFF xxxx

h

D xx x+dx

xxF d

21/25



xx

xxx

x

xx

xU

ESF

xU

ESF

SF

ELL

dd

1dOr

2

2

d dtU

xSFF xxxx

Donc

2

2

d

dtU

xSxU

xU

ES x

x

x

xx

x

xxU

xU

xU x

x

x

xx

x d2

2

d

2

2

2

2

ddtU

xxxU

E xx

2

2

2

2

tU

ExU xx

équation de

propagation

22/25



2

2

2

2

tU

ExU xx

On peut alors formuler la vitesse de propagation d’une onde longitudinale dans un milieu solide de dimensions finies :

2

1

lv

E

vl )1)(21(

)1(

PP

PL

Ev

On remarque que la vitesse de propagation d’une onde longitudinale est différente selon que le solide est limité ou illimité

On admettra en revanche que la vitesse de propagation d’une onde transversale est la même, que le solide soit limité ou illimité.

onde longitudinale onde transversale

milieu illimité

milieu limitéE

vl

2

LvTv

tv

Bilan :

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Selon les dimensions du solide (limité ou illimité), la vitesse de l’onde longitudinale ne dépend alors que du coefficient de Poisson :

E

vl

2

Lv)1)(21(

)1(

PP

PE

)1)(21()1(

PP

P

l

L

vv

1er cas limite : P 0

Cela signifie qu’il n’y a pratiquement pas de variation des dimensions transversales, donc pas d’effet de traction latérale la déformation locale n’a quasiment pas d’effet sur les liaisons voisines.

lL vv C’est le cas de matériaux comme l’éponge ou le liège.

2ème cas limite : P 1/2

Au contraire, toute déformation agit directement sur les liaisons voisines.

lL vv C’est le cas du caoutchouc.

24/25



Quelques valeurs typiques :

Matériaux P vL/vl

Liège, éponge 0 1

Valeurs courantes (principales roches)

0,25-0,30 1,10-1,16

Aluminium 0,35 1,27

Laiton 0,45 1,95

Caoutchouc 0,49 4,41

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