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Université de Liège Faculté des sciences appliquées Examen de Communication Graphique Année académique 2013 – 2014, session de juin. Solution de la question de théorie N°1 : Cotation fonctionnelle
On s’intéresse à une pièce métallique produite en série et empilée pour une application thermique (cf. Figure 1 de l’énoncé). On cherche à déterminer l’aire de sa surface utile, c.à.d. la surface de contact entre deux de ces pièces telle qu’illustrée sur la vue cotée donnée Figure 2 sur l’énoncé.
On demande :
1. De déterminer la cote D identifiée sur la vue cotée de la pièce ainsi que son incertitude.
Solution : De par les symétries de la pièce, la longueur de la pièce est égale à sa largeur. Ainsi sur la vue cotée fournie, les longueurs verticale et horizontale de la portion de pièce représentée (centres des cercles compris) sont égales.
Finalement, la cote manquante est obtenue en retranchant les cotes nominales horizontales connues de la cote associée à la longueur verticale.
A contrario, sa tolérance s’obtient toujours par ajouts successifs.
2. De calculer les valeurs minimale et maximale de l’aire de la surface.
Solution : L’aire de la surface est donnée par la formule : Aire = 4 · B ² - π · R0 ² - π · R1 ² - 8 · A · C On déduit alors la mesure de l’aire minimale (respectivement maximale) de la surface en soustrayant les cotes maximales (resp. minimales) aux cotes minimales (resp. maximales). Aire min = 4 · B min ² - π · R0 max ² - π · R1 max ² - 8 · A max · C max = 4 · 44.7 ² - π · 5.1 ² - π · 20.1 ² - 8 · 5.1 · 20.1 Aire min ≈ 5821mm² Aire max = 4 · B max ² - π · R0 min ² - π · R1 min ² - 8 · A min · C min = 4 · 45.3 ² - π · 4.9 ² - π · 19.9 ² - 8 · 4.9 · 19.9 Aire max ≈ 6109mm²
Solution de la question de théorie N°2 : Géométrie de Monge
On cherche à construire un viaduc au dessus d’une vallée et ainsi relier deux pans de colline.
Sur l’épure de Monge fournie en annexe, on donne les traces des deux plans (α) et (β) représentant les pans de colline, ainsi que les projections verticale et horizontale de la droite (a) correspondant au tracé du viaduc.
On demande :
1. De déterminer le point de percée de la droite (a) dans le plan (α).
Solution : Figure 1 : La première étape consiste à rechercher le point de percée de la droite (a) dans le plan (α). Nous suivons pour cela la méthode du cours théorique. Tout d’abord, nous faisons passer par la droite (a) un plan vertical (η1). La trace verticale de (η1) est verticale tandis que sa trace horizontale est confondue avec la projection horizontale de tous ses points et donc avec la projection horizontale de la droite (a). On recherche ensuite l’intersection (i1) entre (η1) et (α). Le point de percée (A) de (a) dans (α) est l’intersection entre (i1) et (a).
2. De déterminer le point de percée de la droite (a) dans le plan (β).
Solution : Figure 2 : Pour obtenir le point de percée (B) de (a) dans (β) il est en théorie possible de réutiliser le plan (η1). Néanmoins, pour des raisons de place dans l’épure l’utilisation d’un plan auxiliaire η2 de bout se prête mieux à l’exercice. Une procédure analogue à celle suivie à la question précédente est donc suivie mais en utilisant un plan auxiliaire (η2) de bout contenant (a).
3. De mesurer la longueur du segment de la droite (a) compris entre les plans (α) et (β).
Solution : Figure 3 : La vraie grandeur du segment (AB) est ensuite obtenue en reportant à partir de A perpendiculairement à la projection horizontale de (AB) la différence de cote entre (A) et (B). On relie ensuite B à l’extrémité du segment tracé, le segment obtenu est la vraie grandeur du segment (AB).
Solution de la question de théorie N°3 : Projection cotée
Un groupe de marcheurs font une halte dans un refuge de montagne (A). Ils cherchent à identifier un itinéraire de pente maximale 8% permettant de rejoindre le sommet de la montagne (B). On donne pour cela un extrait de carte topographique à l’échelle 1:25000 en annexe. L’écart entre deux courbes de niveau est de 50 mètres.
On demande :
1. De rechercher un tracé à suivre pour atteindre le sommet (B). L’ascension s’effectuera suivant la pente maximale donnée.
Indication :
• La région proche du sommet étant de forte pente, on déterminera le parcours à suivre en commençant le tracé par (B).
Solution : Afin de satisfaire la contrainte de pente maximale p de 8%, la distance minimale L à parcourir en projection s’exprime par :
L = h / p = 50 / 0.08 = 625m où h est l’écart entre deux courbes de niveau successives.
Connaissant l’échelle graphique e utilisée, la longueur minimale à reporter sur l’épure vaut : l = e × L = 1 / 25000 × 625 = 0.025m = 25mm
Figures 1i à 1xiii : On peut alors, en suivant la méthode vue en cours théorique, construire de proche en proche l’itinéraire en partant du sommet B vers le refuge A. Notons que la dernière portion est réalisée avec la pente maximale, mais pour une différence de cote de 40m.
2. D’identifier la ou les zones de pente maximale le long de l’itinéraire en repassant en gras les portions de tracé associées.
Solution : Figure 2 : On remarque que l’ensemble du tracé est réalisé avec la pente maximale admissible excepté la portion partant de A.
3. De déterminer la longueur réelle de l’ensemble de ces zones de pente maximale.
Solution : Figure 3 : Commençons par déterminer la longueur d’une portion du tracé délimitée par deux lignes de niveau successives. Celle-ci se calcul grâce à la formule :
d ² = L² + h² L’ensemble du trajet est composé 12 portions de pente maximale. Ainsi la longueur réelle du tracé de pente maximale vaut :
D = 12 · d ≈ 12 · 627 ≈ 7524m
Solution de la question de théorie N°4 : Projection centrale
En vue du match Belgique – Algérie, Marc Wilmots analyse des images arrêtées de l’entraînement de la veille. On désire s’assurer de la conformité de la longueur du terrain. Pour ce faire, on applique les méthodes de projection centrale connaissant la distance entre deux joueurs.
La situation a été représentée sur la figure fournie avec le sujet.
On donne :
• En annexe, une vue simplifiée de la scène obtenue en décalquant la photo. On y retrouve certaines lignes du terrain, des points du contour, les joueurs A et B, le point principal P ainsi que le centre du terrain H et le milieu de la cage E.
• La distance principale (à l’échelle) associée à la prise de vue : 90mm.
• La prise de vue a été réalisée sans trépied, la ligne de fuite du terrain n’apparaîtra donc pas forcément horizontale sur l’épure.
• Le point D appartient au plan perspectif.
On demande : 1. De déterminer la ligne de fuite et la trace du terrain. Pour ce faire aidez-vous des points
caractéristiques fournis sur la moitié du terrain opposée au photographe (points C, D, E, F, G, H). Grâce à deux couples de droites parallèles il est possible de trouver les deux points de fuite nécessaire pour déterminer la ligne de fuite du terrain.
Solution : Figure 1 : En utilisant les droites portées par les segments HD et GE, on trouve un premier point de fuite. Le deuxième point de fuite est obtenu en utilisant les droites portées par les segments CD et GF. Ces deux points de fuite définissent la ligne de fuite du terrain qui correspond à la ligne d’horizon. Comme précisé dans les données, le point D appartient au plan perspectif. La trace du terrain est donc la parallèle à la ligne de fuite passant par ce point.
2. De calculer le facteur d’échelle de la photo sachant que la distance réelle entre les deux joueurs est de 24,7 m. Pour ce faire, effectuez un rabattement de la droite ab portée par le segment AB en précisant au préalable la trace et le point de fuite de celle-ci.
Solution : On applique la méthode vue au cours théorique pour mesurer la distance entre deux points positionnés sur une même droite en l’occurrence la distance entre les points A et B. La méthode consiste à rabattre le plan de la droite et son rayon de fuite autour de son image. Figure 2i : Premièrement on identifie la trace et le point de fuite de la droite AB. La trace et le point de fuite de la droite portée par le segment AB sont obtenus en prolongeant l’image de la droite. La trace est l’intersection de l’image de la droite avec la trace du terrain et le point de fuite correspond à son intersection avec la ligne de fuite du terrain. Figure 2ii : Deuxièmement, il faut construire le rabattement du point de vue S. On reporte dans un premier temps, à partir de P, la distance principale sur la parallèle à l’image de la droite ab passant par le point principal P pour obtenir le point Sr1,ab qui correspond au rabattement de S autour de la perpendiculaire à l’image de ab. Ensuite il faut rabattre ce point sur la perpendiculaire à l’image de ab. Le point obtenu Sr2,ab est le rabattement de S
autour de l’image de la droite ab. Figure 2iii : Troisièmement, il faut rabattre A et B pour voir le segment en vraie grandeur. Connaissant le point de vue rabattu Sr2,ab , on peut tracer le rayon de fuite rabattu. La droite rabattue est la parallèle à ce rayon de fuite passant par la trace de AB. Les points A et B rabattus sont identifiés en utilisant les rayons de fuites passant par les images de A et B. Le segment en vraie grandeur sur l’épure est de 19 mm connaissant cette distance dans la réalité, on obtient le facteur d’échelle de la photo :
e = 19/24700 = 1/1300
3. D’évaluer la longueur réelle du terrain connaissant le facteur d’échelle de la photo. Pour ce faire, réalisez un rabattement de la droite cd portée par le segment CD qui correspond à la demi-longueur du terrain.
Solution : Figures 3i-ii : La même méthode qu’au point précédent est utilisée. Le point D, selon l’énoncé, correspond à la trace de la droite cd. Après rabattement on obtient une distance de 40 mm entre C et D. En divisant cette longueur par le facteur d’échelle et en multipliant par 2, on obtient que la longueur réelle du terrain vaut :
Longueur Terrain = 2 · 40 · 1300 = 104 000 mm = 104 m
Solution de la question de théorie N°5 : Géométrie numérique
On donne en annexe les trois vues d’un objet ainsi qu’une dimétrie de ce dernier.
La dimétrie a été réalisée avec les paramètres suivants :
A=150° B=105° C=105° m=0,963 n=0,732 p=0,732
L’axe X correspond au coefficient de réduction n, l’axe Y à p et l’axe Z à m.
On demande :
1) De déterminer par la méthode directe, la matrice de transformation notée T correspondant à la projection dimétrique fournie.
Solution : Soit la matrice P0 qui rassemble les coordonnées d’origine des sommets du trièdre formé par le système d’axes (chaque colonne correspond à un sommet).
P0 =
0 1 0 00 0 1 00 0 0 11 1 1 1
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
La figure 1 présente le trièdre projeté en dimétrie en considérant que l’origine des axes reste inchangée (pas de translation). Elle est obtenue très facilement connaissant les angles et les facteurs de réduction propres à chaque direction.
Figure 1 - Trièdre projeté en dimétrie
Cette figure nous permet de construire la matrice P1 des coordonnées transformées des sommets du trièdre dans le système d’axe dessiné dans le coin inférieur gauche de la figure 1.
P1 =
0 0,732 ⋅sin(15) −0,732 ⋅sin(15) −0,9630 0,732 ⋅cos(15) 0,732 ⋅cos(15) 00 0 0 01 1 1 1
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥
La transformation T permettant de passer de P0 à P1 est donc définie par P1=T·P0, soit T=P1·P0−1.
De plus, comme indiqué dans le cours théorique :
P0−1 =
−1 −1 −1 11 0 0 00 1 0 00 0 1 0
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
On obtient :
T = P1·P0−1 =
0,190 −0,190 −0,963 00,707 0,707 0 0
0 0 0 00 0 0 1
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥
2) En considérant que la transformation est la composition d’une rotation RZ d’angle α autour de l’axe Z, suivie d’une rotation RY d’un angle β et d’axe Y, puis d’une projection sur le plan XY. Identifiez les angles de rotation α et β.
Solution : La transformation T va donc être décomposée en trois opérations successives
• Rotation d’axe Z et d’angle α. • Rotation d’axe Y et d’angle β. • Projection dans le plan XY.
Ceci nous donne d’un point de vue mathématique :
T =PXY ⋅RY ⋅RZ =
1 0 0 00 1 0 00 0 0 00 0 0 1
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
⋅
cos(β ) 0 sin(β) 00 1 0 0
−sin(β ) 0 cos(β) 00 0 0 1
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥
⋅
cos(α) −sin(α) 0 0sin(α) cos(α) 0 0
0 0 1 00 0 0 1
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥
Soit,
T =
cos(α )cos(β ) −sin(α )cos(β ) sin(β ) 0sin(α ) cos(α ) 0 0
0 0 0 00 0 0 1
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥
=
0,190 −0,190 −0,963 00,707 0,707 0 0
0 0 0 00 0 0 1
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥
Par conséquent, en identifiant les termes de la deuxième ligne nous avons α=45°. La première ligne nous permet alors de déterminer β=-74,37°.
3) Vérifiez numériquement la position des points (A), (B) et (C) dessinés sur la vue dimétrique en vous servant de la matrice de transformation T obtenue précédemment.
Solution : Les coordonnées homogènes d’origine des points (A), (B) et (C) exprimées en mm sont les suivantes :
A0 =
00301
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
, B0 =
3030301
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
,C0 =
300301
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
Par conséquent, nous avons simplement,
A1 = T ⋅A0 =
−28,89001
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
, B1 = T ⋅B0 =
−28,8942,42
01
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥
,C1 = T ⋅C0 =
−23,2121,21
01
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥
Ce qui, aux erreurs d’arrondi près, correspond au dessin réalisé.
Solution de l’exercice N°1 : Axonométrie
On donne les trois vues d'un objet.
1. Dans un premier temps, tracez en traits fins une isométrie selon la direction d'observation indiquée. On donne en annexe la position du point O afin de centrer l’axonométrie.
Solution : Figure 1i : L'axonométrie est tracée conformément à la méthode du cours.
2. Dans un second temps, déterminez la trace du plan de coupe suggéré par les trois points (A), (B) et (C). Les arêtes visibles situées en dessous du plan de coupe seront tracées en traits continus forts, les arêtes invisibles en traits pointillés. La trace du plan sera indiquée en traits forts. Les arêtes situées à l'avant du plan (visibles ou non) resteront en traits fins.
Solution : Figure 1i : La droite (AB) permet de déterminer la direction de coupe des faces verticales parallèles à la vue de face. La droite (AC), quant à elle, nous donne la direction de coupe des faces horizontales. Il est alors possible de déterminer l’ensemble des coupes des faces horizontales. Ensuite en utilisant la direction de coupe verticale connue, on prolonge la coupe en partant de (C). On est alors en mesure de déterminer la direction de coupe des plans verticaux parallèles à la vue de gauche. Enfin, le reste de la coupe sur la face oblique est obtenu en fermant la coupe.
Solution de l’exercice N°2 : Construction d'une perspective
On donne en annexe deux vues d’une pyramide inversée placée sur un socle.
1. Tracez la vue en perspective sur l'ébauche fournie correspondant au tableau τ, en respectant le point de vue S dont la position est indiquée sur le dessin.
Indication :
• Tracez les lignes de fuite en trait fin et l’objet en trait épais.
Solution : L’épure de Monge est complétée. Figures 1i à 1ii : Ensuite l’objet est représenté en projection centrale.
2. Dans un second temps, dessinez l'ombre visible portée par l’objet sur le plan horizontal de référence. La source lumineuse, située à l’infini derrière l’observateur, est indiquée sur l’épure de Monge par les projections horizontale et verticale d’un rayon d.
Indications :
• Pour déterminer le point de fuite associé au rayon lumineux, faites passer par le point de vue une droite parallèle au rayon donné et déterminez le point de percée de cette droite dans le plan du tableau.
• Dessinez les contours de l’ombre en trait plein et hachurez les parties visibles de l’ombre.
Solution : Figures 2i : L’ombre portée par l’objet sur le sol est recherchée Figure 2ii : Enfin, on obtient l'ombre visible portée par l'objet en projection centrale.
