UNIVERSITE KASDI MERBAH OUARGLA … · Etude des vibrations libres d'une poutre à deux travées sur des appuis élastiques Page 2 Introduction Afin de savoir la réponse dynamique

UNIVERSITE KASDI MERBAH OUARGLA Faculté des Sciences Appliquées

Département de Génie Mécanique

MEMOIRE MASTER PROFESSIONNEL

Domaine : Sciences Appliquées

Filière : Génie mécanique

Spécialité : Maintenane Industrielle(MI)

Présenté par :

DAHNOUN Mourad

MAKHLOUF Yassine

Thème

Soutenu le :

01/06/2016

Devant le jury

Président HECINI Ael MAA UKM Ouargla

Examinateur AMEUR Toufik MAA UKM Ouargla

Rapporteur GUEBAILIA Moussa MCB UKM Ouargla

Année Universitaire 2015/2016

Etude des vibrations libres d'une poutre

à deux travées sur des appuis élastiques

Résumé :

Ce travail présente l’évaluation du comportement des structures en étudiant les vibrations

libres par la modélisation de la structure d’un modèle de poutre supportée par des appuis

élastiques ponctuels afin d’approcher au cas réel des structures. Une approche basée sur la

méthode de la superposition modale pour résoudre le problème en respectant toutes les

conditions aux limites et de continuité sur l’appui intermédiaire. Nous avons enfin confronté

les résultats que nous avons obtenus à ceux qui sont obtenus par le logiciel ANSYS afin de les

valider. La validation est réalisée sur les deux cas extrêmes : Si la raideur tend vers une valeur

qui approche à la valeur nulle la tendance de l’appui élastique est celle comme s’il n’y a pas

d’appui (poutre libre).

Si la raideur tend vers une certaine valeur ce qui rend la rigidité de l’appui très grande,

l’appui élastique se comporte comme un appui rigide.

Mots clés : Appui ; rigide, élastique ; vibration libre ; poutre

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Etude vibratoire d’une poutre supportée par des appuis élastiques

Résumé

Sommaire

Liste des tableaux

Introduction

Chapitre I :

Synthèse bibliographique

Chapitre II :

Modélisation de la poutre en appui élastique

Chapitre III :

Exemples de Validation

Cas K=0

Cas K>>

Discussion des résultats

Conclusion

Références bibliographiques

Annexes

Etude des vibrations libres d'une poutre à deux travées sur des appuis élastiques

La nomenclature :

L’insigne : Désignation

W : la flèche de déplacement vertical du feuillet moyen.

E : le module d’Young.

�: la masse volumique.

w : la fréquence fondamentale.

I : moment d’inertie

x , y,z : les coordonnées.

h : épaisseur

L : longueur de la poutre

k : nombre d’onde

K : le raideur

f : fréquence naturel


Liste des tableaux :

� Tableau1 : propriétés des matériaux

� Tableau 2:Valeurs de K,racines de l’équation aux fréquences

� Tableau3.comparaison des fréquences propres entre Ansys et la méthode

analytique :Lecas K=0 ;L�=L�=30m

� Tableau4.comparaison des fréquences propres entre Ansys et la méthode

analytique :Le cas L�=L�=30m :K=300 000000 ;R=10.9051

� Tableau 5:Valeurs de K,racines de l’équation aux fréquences


Page 2

Introduction

Afin de savoir la réponse dynamique des structure (déplacement, déformation, efforts,…)

et pour maintenir les structure on est obligé de passer par l’étude des vibrations libres des

structures. Le modèle le plus utilisé par les chercheurs est le modèle des poutres soit en appui

rigide ou encastré et libre,…. Ces modèles donnent des résultats qui ne reflètent pas de la

réalité c’est pourquoi nous essayons dans ce travail d’appliquer au lieu des appuis rigides des

appuis élastiques ponctuels pour rapprocher au mieux du comportement réel des structures.

Les recherches dans ce domaine sont très peu et de différentes méthodes de calculs. La

majorité des rechercheurs se basent sur structure type poutre avec des conditions aux limites

classiques (rigide). Nous avons eu de problème pour trouver des travaux afin de comparer les

résultats que nous avons aboutis. C’est pour cela nous avons fait recours au logiciel des

éléments finis ANSYS pour valider nos résultats.


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1. Introduction :

L’analyse des structures est l’étude et la détermination de leur réponse lorsqu’elles sont

soumises à un ensemble de sollicitations ou de charges externes. En général, la

réponse d’une structure est caractérisée par l’évaluation des actions internes et ou les

déformations en tout point de la structure. Pour arriver à ce but, il est nécessaire

d’utiliser une méthodemathématique, un essai expérimental ou un modèle analytique ou

numérique.

.Dans ce chapitre on va montrer la définition des poutres ,plaque et montere les

différentes types de poutres.

2. Dynamique des structures :

La dynamique des structures est un domaine de la mécanique des structures traitant de

problèmes très variés et faisant donc appel à des méthodes numériques différentes. Sans être

exhaustif, on peut citer :

- le comportement des structures soumises à des chocs (crash automobile, chute

d’emballage de transport, impact d’avion)

- le mouvement causé par un séisme ou une explosion

- les vibrations induites par un écoulement (pont soumis au vent, tuyaux d’un circuit

industriel sous écoulement interne…), une machine tournante (turbines, réacteurs…) ou

un contact (contact roue-chaussée, frottement des freins à disque…).[1]

La plaque est un milieu continu [2], structure tridimensionnelle solide limitée par

deux plans parallèles les faces de la plaque et par un bord cylindrique perpendiculaire

aux faces [3], c'est-à-dire le bord de la plaque. La surface moyenne située à mi-distance entre

la peau inférieure et la peau supérieure de la plaque est connue sous le nom de la

surfacemoyenne ou "feuillet moyen". La distance entre les faces est l'épaisseur de la plaque.


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Les plaques sont des éléments structuraux couramment utilisés dans différents types

de plaques sont disponibles suivant les besoins du site industriel d’où différentes hypothèses

sont nécessaires pour caractériser le modèle analytique d’analyse:

(a) les plaques minces avec de petites flèches (Kirchhoff) où l’énergie de contribution de

l’effet de cisaillement est négligée;

(b) les plaques minces avec de grandes flèches (Karman);

(c) plaques modérées ou épaisses (Mindlin-Reissner) où l’énergie de contribution de l’effet de

cisaillement est préservée. En général diverses forces de différentes natures (volumiques,

surfaciques, ponctuelles) peuvent se présenter comme source génératrice d’excitation.

Les réponses conséquentes peuvent être exprimées en terme de mouvement que l’on

peut décrire par des déplacements, des vitesses ou des accélérations.

Dans le cas de l’analyse libre, on s’intéresse aux paramètres dynamiques naturels, afin

de caractériser le comportement propre inhérent à la structure d’intérêt indépendamment

des sollicitations extérieures. [3]

D'un point de vue historique, Euler fut l'un des premiers, en 1766, à formuler le

premiermodèle mathématique du problème représentant le comportement d'une plaque

assimilée à une membrane en vibration libre.

Puis, le physicien allemand Chladni [4 (1787) découvrit les premiers modes propres de

vibrations d’une plaque carrée horizontale, C’est ensuiteLagrange qui développa en 1811 la

première équation différentielle correcte pour décrire les vibrations d'une plaque libre

d’épaisseur constante, à laquelle doit satisfaire la flexion w , mais sans démonstration

ni explication. Pour les mathématiciens, la détermination des fréquences naturelles fût

une grande priorité. Sophie Germain a été récompensé en 1816 pour sa contribution au

développement de l'équation de la plaque mince.


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Quelques temps après, Navier (1785-1836) introduit la méthode pour calculer les

modes et les fréquences propres d'une plaque pour certaines conditions aux frontières.

Ce dernier utilisa les fonctions trigonométriques découvertes par Fourier pour représenter la

déformation d'une plaque.

Ce n’est qu’en 1850 que Kirchhoff [4] (1824-1887) a établi de façon correcte

pour la première fois des conditions aux limites en partant du principe des déplacements

virtuels et de l’expression du travail des contraintes de la plaque.

3. Poutre :

Définition :

Une poutre est définie comme étant un élément structural rectiligne .En général, elle est

sollicitée par des charges appliquées qui sont rapportées au même plan géométrique. Dans le

cas des poutres, les charges appliquées engendrent une dominance de flexion et de

cisaillement. L’effort normal est en général négligé.

Figure1 :Structure de poutre continue

Dans la plupart des cas, les poutres sont destinées à reprendre les actions de type

flexion. D’une façon générale, toute section de la poutre est soumise à un moment de flexion

et un effort tangentiel .[3]


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Figure2 :Les structures-poutres

4. Quelques caractéristiques :

Figure3 : Schéma simplifié en 2 dimensions d'une poutre non-chargée (en haut) et d'une

poutre chargée uniformément (en bas)

� Le calcul des poutres suit les modèles de la théorie des poutres.

� La poutre a une section où la hauteur est plus grande que la largeur, selon son modèle

de calcul.

� La poutre continue est une poutre sur plusieurs appuis ; elle a une section plus faible

que les poutres sur deux appuis pour une même portée.

� La poutre est pleine (massive) ou composée (assemblage de membrures, assemblage à

jours).


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� La poutre peut être composée de plusieurs matériaux par exemple bois et métal, béton

et métal pour l'assemblage mais aussi pour les caractéristiques physiques.

� La poutre des constructions industrielles constituée de bielles et membrures

comprimées et tirants tendus formant des triangles est une poutre à treillis.

5. Types de poutres :

Les principaux types de poutres sont :

• les poutres triangulées aluminium ou acier

• les poutres carrées aluminium ou acier

Les poutres sont classées en fonction de la distance entre membrures (par exemple,

une poutre de “500” a une distance entre deux membrures de 50 cm

6. Les propriétés mécaniques et physiques des matériaux :

Chaque matériau a des propriétés mécaniques et physiques précises et dans notre cas on va

utiliser propriétés des aciers.

Type de

Matériau

Masse

volumique

ρ(Kg/m3)

Module de

YoungE��(kg/m2)

Coefficient de

Poisson ν

Acier 7800 21000 0.3

Cuivre 2930 1200 0.3

aliminium 2700 720 0.3

Tableau1 : propriétés des matériaux


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7. L’analyse vibratoire :

L’analyse vibratoire est une question d'actualité importante, tant d’un point de vue

académique qu’industrielle. Cette thématique touche aussi d'autres domaines, tels que

l’automobile, les ponts, les bâtiments, ou encore le génie nucléaire.

Durant ces décennies, le domaine des vibrations connaît un regain d’intérêt du fait du

besoin d’optimiser, d’alléger les structures couramment utilisées et soumises à de différents

niveaux d’excitations. D'une autre manière, la compréhension de l'identité vibratoire de

plaque devient donc d'une grande importance et aide les ingénieurs à concevoir de

meilleures structures. Au final, les problématiques rencontrées concernent essentiellement

des questions d'analyse des réponses dynamiques des plaques et leur dimensionnement.

L’étude et l’analyse des vibrations ont pris au cours des dernières années, un essor

considérable en raison du développement du comportement dynamique du matériau

isotrope, orthotrope ou composite. Le contrôle des vibrations dans ces structures plaques

est un problème épineux qui se pose fréquemment au chercheur qu’à l’ingénieur

mécanicien. Pour assurer ce contrôle, la détermination des caractéristiques dynamiques de

la structure est indispensable.


1. Introduction :

L’appui élastique également appelé appui à ressort est un cas particulier de l’appui à rotule

décrit ci-dessus.Il s’agit de rendre compte de la capacité d’un appui à se déplacer tout en

conservant une réaction. Le comportement est celui d’un ressort vertical ou horizontal qui

tolère un mouvement caractéristique d’une raideur que l’on exprime par un coefficient k. On

retrouve ce type d’appui pour rendre compte d’un sol ou simuler un élément de structure

pouvant se déformer et induire un déplacement de l’appui.

Dans ce chapitre on va réaliser la partie analytique afin de définir les fréquence propre et

les déformé avant de faire la simulation dans le logiciel et faire la comparaison.

2. Poutre en appuis élastique :

Cet appui également appelé appui à ressort est un cas particulier de l’appui à rotule décrit

ci-dessus.Il s’agit de rendre compte de la capacité d’un appui à se déplacer tout en conservant

une réaction. Le comportement est celui d’un ressort vertical ou horizontal qui tolère un

mouvement caractéristique d’une raideur que l’on exprime par un coefficient k. On retrouve

ce type d’appui pour rendre compte d’un sol ou simuler un élément de structure pouvant se

déformer et induire un déplacement de l’appui.

Figure4 :Poutre en 3 appuis élastique

L

L1 L2

( )1

1 1

x

xϕ

→

( )2

2 2

x

xϕ

→

x


L'expression Le mode i pour la vibration transversale dans la travée r est donnée par:

( ) .sin( . ) .cos( . ) . ( . ) . ( . ), 1,2 i i i i i i i i i ix A k x B k x C sh k x D ch k x iϕ = + + + =

, , et i i i iA B C D sont les constantes d'intégrations, N est le nombre de travées, k est un

paramètre de fréquence

RéactionFK

w=−

Pour les conditions aux limites:

1

2 2

3

1 11 13

1 0

3

2 22 2 23

2

d ( ). . ( 0)

d

d ( ). . ( )

d

x

x L

xE I K x

x

xE I K x L

x

ϕϕ

ϕϕ

=

=

=− =

= =

Posant .

KR

E I= :

1

2 2

3

1 11 13

1 0

3

2 22 2 23

2

d ( ) . ( 0)

d

d ( ). ( )

d

x

x L

xR x

x

xR x L

x

ϕϕ

ϕϕ

=

=

= − =

= =

Le moment fléchissant est nul aux bords extérieurs de la poutre :

1

2 2

2

1 1

2

1 0

2

2 2

2

2

d ( ) 0

d

d ( )0

d

x

x L

x

x

x

x

ϕ

ϕ

=

=

=

=

La continuité de l’effort tranchant et le moment fléchissant est :

1 1

1 1

3 3

1 1 2 21 1 13 3

1 2

2 2

1 1 2 2

2 2

1 2

d ( ) d ( 0) . ( )

d d

d ( ) d ( 0) 0

d d

x L

x L

x xR x L

x x

x x

x x

ϕ ϕϕ

ϕ ϕ

=

=

== = +

== =


La continuité concernant la déflexion et la pente.

( ) ( )

( ) ( )

1 1 2

1 1 2

1 1 2 2 0

1 1 2 2

0

1 2

,

d d

d d

x L x

x L x

x x

x x

x x

ϕ ϕ

ϕ ϕ

= =

= =

=

=

3. Méthode de modélisation :

Figure5 :schéma de la méthode de l’éude

4. Modélisation analytique :

En appliquant les conditions sur les deux équations de déformées :

��= A1Sin [kx1] +B1Cos [kx1] +C1Sinh [kx1] +D1Cosh [kx1]

��=A2Sin [kx2] +B2Cos [kx2] +C2Sinh [kx2] +D2Cosh [kx2

La dérivé premiere des équations :

�′�=A1 k Cos [kx1] – B1 k Sin [kx1] + C1 k Cosh [kx1] + D1 k Sinh [kx1]

2.Determinant de

la matrice=0 (K nombre d'onde.

3.Détermination

des constantes par réolution du

sys.équations

4.Calculer ω, f:fréquences

propres, déformées

propres

5.Validation par

ANSYS

1.Appiliquer les

conditions (8 équations)


�′�=A2 k Cos [kx2] – B2 k Sin [kx2] + C2 k Cosh [kx2] + D2 k Sinh [kx2]

La seconde dérivée des équations :

�′′�= – A1��Sin [kx1] –B1��Cos [kx1] + C1��Sinh [kx1] + D1��Cosh [kx1]

�′′�= – A2��Sin [kx2] –B2��Cos [kx2]+ C2��Sinh [kx2] + D2��Cosh [kx2

La troisième dérivée des équations :

�′′′�= –A1 ��Cos [kx1] + C1��Cosh [kx1] + B1 ��Sin [kx1] + D1��Sinh [kx1]

�′′′�= –A2�� Cos [kx2] + C2��Cosh [kx2] + B2 �� Sin [kx2] + D2�� Sinh [kx2]

L’application sur les équations :

��(�)

�� =-R ��(��=0)

��=0

-A1 k3+ B1 R+C1 k

3+ D1 R=0

��(��)

�� = -R ��(��=0)

��=0

-A2( k3 Cos[k L2]+R Sin[k L2]) +B2( k

3 Sin[k L2]-R Sinh[k L2] Cos[k L2])+

C2( k3Cosh[k L2]-R)+ D2( k

3 Sinh[k L2] -R Cosh[k L2] )=0

Le moment fléchissant est nul aux bords extérieurs de la poutre :

��(�)

�� =0

��=0


-B1 k2+D1 k

2

��(��)

�� = 0

��= ��

-B2 k2Cos[k L2]+D2 k

2Cosh[k L2]-A2 k

2 Sin[k L2]+C2 k

2 Sinh[k L2]

La continuité de l’effort tranchant et le moment fléchissant est :

��(�)

�� = R ��(��=0)+

��(��)

��

��= ��

-A1 k3 Cos[k L1]+C1 k

3Cosh[k L1]+B1 k

3 Sin[k L1]+D1 k

3 Sinh[k L1]-

R (B1Cos[k L1]+D1 Cosh[k L1]+A1 Sin[k L1]+C1 Sinh[k L1])+A2 k3-C2 k

3

��(�)

�� =

��(��)

��

��= ��

-B1 k2Cos[k L1]+D1 k

2Cosh[k L1]-A1 k

2 Sin[k L1]+C1 k

2 Sinh[k L1]+B2 k

2-D2 k

2

La continuité concernant la déflexion et la pent :

��(��) = ��(��)

��= �� = 0

B1 Cos[k L1]+D1 Cosh[k L1]+A1 Sin[k L1]+C1 Sinh[k L1]-B2-D


� (�)

�� =

� �(��)

��

��= �� = 0

A1 k Cos[k L1]+C1 k Cosh[k L1]-B1 k Sin[k L1]+D1 k Sinh[k L1]-A2 k + c2 k

En utilisant le logiciel mathematica nous allon montrés quelques étapes suivies pour calculé

la matrice :

A1=.

A2=.

B1=.

B2=.

C1=.

C2=.

D1=.

D2=.

k=.

R=.

X1=.

X2=.

L1=.

L2=.

f1=A1 Sin[k x1]+B1 Cos[k x1]+C1 Sinh[k x1]+D1 Cosh[k x1]

f2=A2 Sin[k x2]+B2 Cos[k x2]+C2 Sinh[k x2]+D2 Cosh[k x2]

B1 Cos[k x1]+D1 Cosh[k x1]+A1 Sin[k x1]+C1 Sinh[k x1]


B2 Cos[k x2]+D2 Cosh[k x2]+a2 Sin[k x2]+C2 Sinh[k x2]

f1p=D[f1,x1]

f2p=D[f2,x2]

A1 k Cos[k x1]+C1 k Cosh[k x1]-B1 k Sin[k x1]+D1 k Sinh[k x1]

A2 k Cos[k x2]+C2 k Cosh[k x2]-B2 k Sin[k x2]+D2 k Sinh[k x2]

f1pp=D[f1p,x1]

f2pp=D[f2p,x2]

-B1 k2Cos[k x1]+D1 k

2Cosh[k x1]-A1 k

2 Sin[k x1]+C1 k

2 Sinh[k x1]

-B2 k2Cos[k x2]+D2 k

2Cosh[k x2]-A2 k

2 Sin[k x2]+C2 k

2 Sinh[k x2]

f1ppp=D[f1pp,x1]

f2ppp=D[f2pp,x2]

-A1 k3Cos[k x1]+C1 k

3Cosh[k x1]+B1 k

3 Sin[k x1]+D1 k

3 Sinh[k x1]

-A2 k3Cos[k x2]+C2 k

3Cosh[k x2]+B2 k

3 Sin[k x2]+D2 k

� La matrice :

A=MatrixForm[{ {-k3,R,k

3,R,0,0,0,0},

{0,0,0,0,-k3 Cos[k L2]-R Sin[k L2] ,k

3 Sin[k L2]-R Cos[k L2],k

3Cosh[k L2]-R Sinh[k

L2],k3 Sinh[k L2]-R Cosh[k L2]},

{0,-1,0,1,0,0,0,0} ,

{0,0,0,0,-Sin[k L2],-Cos[k L2],Sinh[k L2],Cosh[k L2]},

{-k3Cos[k L1]-R Sin[k L1] ,k


3Cosh[k L1]- R Sinh[k L1],k

3

Sinh[k L1]-R Cosh[k L1],k3,0,-k

3,0 },

{- Sin[k L1],- Cos[k L1],Sinh[k L1], Cosh[k L1],0,1,0,-1},

{Sin[k L1],Cos[k L1],Sinh[k L1],Cosh[k L1],0,-1,0,-1},


{Cos[k L1],-Sin[k L1],Cosh[k L1],Sinh[k L1],-1,0,1,0}}]

−�� 0 0 0 00 0 0 0 −��Cos[�L2] − �Sin[�L2] −�Cos[�L2] + ��Sin[�L2] ��Cosh[�L2] − �Sinh[�L2] −�Cosh[�L2] + ��Sinh[�L2]0 −1 0 1 0 0 0 00 0 0 0 −Sin[�L2] −Cos[�L2] Sinh[�L2] Cosh[�L2]

−��Cos[�L1] − �Sin[�L1] −�Cos[�L1] + ��Sin[�L1] ��Cosh[�L1]− �Sinh[�L1] −�Cosh[�L1]+ ��Sinh[�L1] �� 0 −�� 0

−Sin[�L1] −Cos[�L1] Sinh[�L1] Cosh[�L1] 0 1 0 −1

Sin[�L1] Cos[�L1] Sinh[�L1] Cosh[�L1] 0 −1 0 −1

Cos[�L1] −Sin[�L1] Cosh[�L1] Sinh[�L1] −1 0 1 0

� Le détermnant :

4 k^9 Cos[k L1] Cos[k L2]^2 Cosh[k L1] - 4 k^9 Cos[k L1] Cos[k L2] Cosh[k L1] Cosh[k

L2] -

4 k^9 Cos[k L2] Cosh[k L1]^2 Cosh[k L2] + 4 k^9 Cosh[k L1]^2 Cosh[k L2]^2 +

10 k^6 R Cos[k L2]^2 Cosh[k L1] Sin[k L1] - 8 k^6 R Cos[k L2] Cosh[k L1] Cosh[k L2]

Sin[k L1] -

2 k^6 R Cosh[k L1] Cosh[k L2]^2 Sin[k L1] - 2 k^6 R Cos[k L1]^2 Cosh[k L2] Sin[k L2] -

12 k^6 R Cos[k L1] Cosh[k L1] Cosh[k L2] Sin[k L2] - 10 k^6 R Cosh[k L1]^2 Cosh[k L2]

Sin[k L2] +

4 k^9 Cosh[k L1] Cosh[k L2] Sin[k L1] Sin[k L2] - 2 k^6 R Cosh[k L2] Sin[k L1]^2 Sin[k

L2] +

4 k^9 Cos[k L1] Cosh[k L1] Sin[k L2]^2 + 10 k^6 R Cosh[k L1] Sin[k L1] Sin[k L2]^2 -

2 k^6 R Cos[k L1] Cos[k L2]^2 Sinh[k L1] + 2 k^6 R Cos[k L1] Cosh[k L2]^2 Sinh[k L1] -

4 k^9 Cos[k L2]^2 Sin[k L1] Sinh[k L1] - 4 k^3 R^2 Cos[k L2]^2 Sin[k L1] Sinh[k L1] +

4 k^9 Cos[k L2] Cosh[k L2] Sin[k L1] Sinh[k L1] + 4 k^3 R^2 Cosh[k L2]^2 Sin[k L1]

Sinh[k L1] +

4 k^9 Cos[k L1] Cosh[k L2] Sin[k L2] Sinh[k L1] - 8 R^3 Cosh[k L2] Sin[k L1] Sin[k L2]

Sinh[k L1] -

2 k^6 R Cos[k L1] Sin[k L2]^2 Sinh[k L1] - 4 k^9 Sin[k L1] Sin[k L2]^2 Sinh[k L1] -

4 k^3 R^2 Sin[k L1] Sin[k L2]^2 Sinh[k L1] + 4 k^9 Cos[k L2] Cosh[k L2] Sinh[k L1]^2 -

4 k^9 Cosh[k L2]^2 Sinh[k L1]^2 + 10 k^6 R Cosh[k L2] Sin[k L2] Sinh[k L1]^2 +


2 k^6 R Cos[k L1]^2 Cos[k L2] Sinh[k L2] + 20 k^6 R Cos[k L1] Cos[k L2] Cosh[k L1]

Sinh[k L2] +

2 k^6 R Cos[k L2] Cosh[k L1]^2 Sinh[k L2] - 4 k^9 Cos[k L2] Cosh[k L1] Sin[k L1] Sinh[k

L2] +

24 k^3 R^2 Cos[k L2] Cosh[k L1] Sin[k L1] Sinh[k L2] + 2 k^6 R Cos[k L2] Sin[k L1]^2

Sinh[k L2] +

4 k^3 R^2 Cos[k L1]^2 Sin[k L2] Sinh[k L2] - 4 k^9 Cos[k L1] Cosh[k L1] Sin[k L2]

Sinh[k L2] +

24 k^3 R^2 Cos[k L1] Cosh[k L1] Sin[k L2] Sinh[k L2] +

4 k^9 Cosh[k L1]^2 Sin[k L2] Sinh[k L2] + 4 k^3 R^2 Cosh[k L1]^2 Sin[k L2] Sinh[k L2] -

20 k^6 R Cosh[k L1] Sin[k L1] Sin[k L2] Sinh[k L2] + 8 R^3 Cosh[k L1] Sin[k L1] Sin[k

L2] Sinh[k L2] +

4 k^3 R^2 Sin[k L1]^2 Sin[k L2] Sinh[k L2] - 4 k^9 Cos[k L1] Cos[k L2] Sinh[k L1] Sinh[k

L2] -

8 k^3 R^2 Cos[k L1] Cos[k L2] Sinh[k L1] Sinh[k L2] - 8 k^6 R Cos[k L2] Sin[k L1]

Sinh[k L1] Sinh[k L2] -

8 R^3 Cos[k L2] Sin[k L1] Sinh[k L1] Sinh[k L2] - 4 k^6 R Cos[k L1] Sin[k L2] Sinh[k L1]

Sinh[k L2] -

8 R^3 Cos[k L1] Sin[k L2] Sinh[k L1] Sinh[k L2] + 4 k^9 Sin[k L1] Sin[k L2] Sinh[k L1]

Sinh[k L2] +

8 k^3 R^2 Sin[k L1] Sin[k L2] Sinh[k L1] Sinh[k L2] - 2 k^6 R Cos[k L2] Sinh[k L1]^2

Sinh[k L2] -

4 k^9 Sin[k L2] Sinh[k L1]^2 Sinh[k L2] - 4 k^3 R^2 Sin[k L2] Sinh[k L1]^2 Sinh[k L2] -

2 k^6 R Cos[k L1] Sinh[k L1] Sinh[k L2]^2 - 4 k^3 R^2 Sin[k L1] Sinh[k L1] Sinh[k L2]^2

+ 4 k^9 Sinh[k L1]^2 Sinh[k L2]^2

Après la simplification des équations, on trouve les constantes.


≅ ∓∓≤≤≤

Tapezuneéquationici.


Page 23

1. Introduction :

Afin de valider nos résultats obtenus en appliquant l’approche analytique détaillée dans le

chapitre2,nous avons choisis le logiciel de simulation Ansys.

Ansys est le premier éditeur mondial dans le domaine du calcul par éléments finis. Les

outils proposés permettent de résoudre les problèmes de validation produits de manière

efficace. Ils permettent d’optimiser le processus de conception (gain de temps énorme) et

donc de proposer des produits plus innovants (intégration d’une pré-analyse dans le cycle de

conception), de qualité plus élevée tout en minimisant les coûts.

2. Simulation avec Ansys :

La programmation de la méthode sous ANSYS à permis une fréquence fondamentale plus

exacte et étudier le déplacement et la fréquence propre. Ainsi on résoudre l’équation du

mouvement libre pour déterminer les fréquences propres et pour éviter le phénomène de la

résonance. Ainsi L’analyse des plaques isotropes minces dépend de 03 paramètres :

1- Condition en limite

2- Matériau en lui même (caractéristique du matériaux s’il est isotrope ou orthotrope)

3- Géométrie de la structure (plaque avec leur dimension)

Avant tout ça ,on va présenter des exemples de validation.

3. Exemples de validation :

La poutre prise dans tous les exemples qui suivent a les propriétés suivantes :

Module de Young E=210 G Pa,

Largeur b= 0.2 m,


Page 24

Hauteur h=0.2 m,

Poutre symétrique L1 = L2 = 30 m,

Moment d’inertie I=1.34 10-4 m�

• 1er

cas

La raideur nulle :

K=0N/m

Figure6. Détermination des racines de l’équation aux fréquences

Sur la figure 6, les valeurs de nombre d’onde ki pour le cas symétrique.

Les valeursde ki sont groupées dans le tableau 2.

Tableau 2:Valeurs de ki,racines de l’équation aux fréquences

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

k 0.078834 0.130887 0.18326 0.2356 0.2879 0.34033 0.39231 0.41840 0.49662 0.52266

Sur le tableau 3, nous avons présenté une comparaison entre les fréquences propres

obtenues par la présente méthode à celles qui sont obtenues par le logiciel ANSYS.

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.00001

5. 10 6

5. 10 6

0.00001

Amplitude

Ki


Page 25

Tableau3. Comparaison des fréquences propres entre Ansys et la présente méthode

(Cas Raideur nulle)

Mode Ansys Analytique Erreur en %

1 0.29630 0.2963 0

2 0.81675 0.8168 0.006

3 1.611 1.60 1.63

4 2.6466 2.64 0.24

5 3.9533 3.94 0.33

6 5.5213 5.5226 0.02

7 7.3504 7.3393 0.27

8 9.4404 8.3484 11.5

9 11.791 11.7623 0.24

10 14.403 13.0287 9.5

Sur la figure 7, nous présentons les premières déformées propres obtenues par la présente

modélisation.

Longueur de la poutre


Page 26

0 10 20 30 40 50 60-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2Mode (4), L1=L2=30, K=0

0 10 20 30 40 50 60-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Mode (5), L1=L2=30, K=0




Page 27

Figure7.Lespremières fréquences propres d’une poutre K=0

A partir du tableau 3, nous remarquons bien que les fréquences propres d’une poutre à

deux travées supportée par des appuis élastiques de raideur nulle sont plus proche aux

fréquences propres d’une poutre sans appui (Libre – Libre).

Ce qui signifie que le comportement des poutres en appuis élastiques avec une raideur

nulle converge vers le comportement d’une poutre libre-libre.

Pour cela, nous avons présenté sur la figure 8, les déformées propres d’une poutre

libre-libre sous ANSYS.

0 10 20 30 40 50 60-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2Mode (6), L1=L2=30, K=0


Page 28


Page 29

Figure8. Déformées propres de la poutre libre-libre

• 2ème

cas

Dans cet exemple, nous avons essayé par une valeur très grande de la raideur des appuis

élastique.

K=3 108N/m


Page 30

Le traçage de l’équation caractéristique est présenté sur la figure 9:

Figure9. Détermination des racines de l’équation aux fréquences (K>>)

Les valeurs qui annulent l’équation aux fréquences pour ce cas sont groupées sur le tableau 4.

Tableau 4:Valeurs de ki,racines de l’équation aux fréquences

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ki 0.1047 0.157 0.209 0.261772 0.314112 0.366444 0.418879 0.445059 0.523611 0.549854

Sur le tableau 5, une comparaison entre les fréquences propres d’une poutre sur appui

élastique par la présente méthode à celles d’une poutre en appui rigide sous ANSYS, les deux

poutres sont symétrique et à deux travées.

Tableau5. Comparaison des fréquences propres entre Ansys et la présente méthode :

Cas � ≫

Mode Ansys Analytique Erreur en %

1 0.52284 0.5228 0.00002

2 0.81678 1.1774 44.1514

3 2.0913 2.0911 0.0009

4 2.6467 3.2671 23.44

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.00001

5. 10 6

5. 10 6

0.00001

Amplitude

Ki


Page 31

5 4.7049 4.7042 0.1487

6 5.5217 6.4022 15.9461

7 8.3634 8.3653 0.022

8 9.4414 9.4408 0.006

9 13.066 13.07 0.03

10 14.405 14.4251 0.13

Sur la figure 10, nous avons présenté les déformées propres de la présente modélisation

y

0 10 20 30 40 50 60-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Mode (1), L1=L2=30, K=300000000

0 10 20 30 40 50 60-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3Mode (2), L1=L2=30, K=300000000


Page 32

0 10 20 30 40 50 60-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Mode (3), L1=L2=30, K=300000000

0 10 20 30 40 50 60-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3Mode (4), L1=L2=30, K=300000000

0 10 20 30 40 50 60-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Mode (5), L1=L2=30, K=300000000


Page 33

Figure10.Les premières fréquences propres cas K>>

Sur la figure 11, nous présentons les déformées propres obtenues par ANSYS pour le cas

d’une poutre continue à deux travées simplement appuyée.

0 10 20 30 40 50 60-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3Mode (6), L1=L2=30, K=300000000


Page 34


Page 35

Figure11. Déformées propres d’une poutre continue à deux travées simplement appuyée

4. Discussion des résultats :

En comparant les résultats des tableaux précédents,on observe que les résultats sont très

proches entre la présente méthode et la méthode des éléments finis (Ansys).

Le taux de pourcentage général et environ 6% se qui valide la présente méthode.

5. Conclusion :

A partir des résultats obtenus qui sont présentés dans ce chapitre. Nous pouvons constater

bien que l’appui élastique à un comportement suivant la valeur de son raideur.

Valeur de raideur nulle � comportement négligé (pas d’appui ce qui semble au

comportement d’une poutre libre-libre.

Valeur de raideur supérieur� comportement qui semble au comportement d’une poutre sur

appui rigide.


Page 37

Conclusion générale

Nous pouvons conclure que l’étude des vibrations libres est très importante pour mieux

connaitre le comportement des structure. Nous avons eu aussi maitrisé le logiciel ANSYS

pour analyser les structures sans aucun effet de destruction. Cette méthode d’analyse est une

méthode de maintenance préventive non destructive. La présente méthode facile à injecter

dans un logiciel, nous permet aussi d’avoir un aperçu rapide sur les propriétés et

comportement d’une structure

Nous avons étudier les vibrations d’une poutre supportée par des appuis élastiques ,et nous

avons comparés nos résultats à ceux obtenus par la méthode du ligiciel des éléments

finis(Ansys).

Nous remarquons qu’il y’a une bonne concordance entre les résultats avec une petite

déviation de l’erreur ce qui valide l’approche utilisée.

En Plus,nous avons remarqués que les déformés propres de la poutre respectent la position

de l’appui intermédiaire avec les mèmes valeurs de L.


Page 39

Références bibliographique :

[1] Eléments de dynamique des structures Illustrations à l’aide de CAST3M-D. Combescure-

Septembre 2006

[2] : Méthodes d’analyse des structures hyperstatiques-Salah khelfallah

[3] : R.D. Mindlin. "Influence of Rotary Inertia and Shear on Flexural Motions of Isotropic

Elastic Plates", Journal of applied mechanics, 18 31-38 (1951)

[3] : Thèse T. Zarza étude paramétrique fréquentielle pour l’analyse libre d’une

plaque rectangulaire mince isotrope avec différentes combinaisons d’appuis en utilisant la

méthode de Ritz. 2007 Université Mentouri Constantine - Algérie

[4] : E.F.F.Chladni, "Entdeckung Uber die Théorie des Klanges", Leipzig, (1787).

[6] : Kirchhoff. G. "Vorlesungen uber Mathematics he Physik",Vol.1 B.G. Teubner Leipzig,

Germany (1876).

[7] : Lord Rayleigh, "The theory of sound", The Macmillan Company (1877).


Page 41

ANNEXE A : Séquence de la session de Ansys (1er cas) :

/NOPR ! Suppress printing of UNDO process

/PMACRO ! Echo followingcommands to log

FINISH !Make sure we are at BEGIN level

/CLEAR,NOSTART ! Clear model since no SAVE found

! WE SUGGEST YOU REMOVE THIS LINE AND THE FOLLOWING STARTUP LINES

! WE SUGGEST YOU REMOVE THIS LINE AND THE FOLLOWING STARTUP LINES

/input,menust,tmp,'',,,,,,,,,,,,,,,,1

/GRA,POWER

/GST,ON

/PLO,INFO,3

/GRO,CURL,ON

/CPLANE,1

/REPLOT,RESIZE

WPSTYLE,,,,,,,,0

!*

/NOPR

/PMETH,OFF,0

KEYW,PR_SET,1

KEYW,PR_STRUC,1

KEYW,PR_THERM,0

KEYW,PR_FLUID,0

KEYW,PR_ELMAG,0

KEYW,MAGNOD,0

KEYW,MAGEDG,0

KEYW,MAGHFE,0

KEYW,MAGELC,0

KEYW,PR_MULTI,0

KEYW,PR_CFD,0

/GO

!*

!*

/PREP7

!*

ET,1,BEAM3

!*

R,1,0.04,0.0001333333,0.2, , , ,

!*

!*

MPTEMP,,,,,,,,

MPTEMP,1,0


Page 42

MPDATA,EX,1,,210e9

MPDATA,PRXY,1,,0.3

MPTEMP,,,,,,,,

MPTEMP,1,0

MPDATA,DENS,1,,7800

SECTYPE, 1, BEAM, RECT, , 0

SECOFFSET, CENT

SECDATA,0.2,0.2,0,0,0,0,0,0,0,0

K, ,0,0,0,

K, ,60,0,0,

LSTR, 1, 2

FLST,5,1,4,ORDE,1

FITEM,5,1

CM,_Y,LINE

LSEL, , , ,P51X

CM,_Y1,LINE

CMSEL,,_Y

!*

LESIZE,_Y1, , ,60, , , , ,1

!*

LMESH, 1

FINISH

/SOL

!*

ANTYPE,2

!*

MSAVE,0

!*

MODOPT,LANB,10

EQSLV,SPAR

MXPAND,10, , ,1

LUMPM,0

PSTRES,0

!*

MODOPT,LANB,10,0.00000001,15, ,OFF

/STATUS,SOLU

SOLVE

FINISH

/POST1

SET,LIST

)/GOP ! Resume printing after UNDO process

)! Wesuggest a saveatthis point


Page 43

Annexe B :Séquence de mathématica (2eme cas)

L1=30

L2=30

EE=210000000000

II=0.2*0.2^3/12

K=0.02

R=K / (EE*II)

30

30

210000000000

0.000133333

0.02

7.14286*10-10

A=MatrixForm[{ {-k3,R,k3,R,0,0,0,0},

{0,0,0,0,-k3 Cos[k L2]-R Sin[k L2] ,k3 Sin[k L2]-R Cos[k L2],k3 Cosh[k L2]-R Sinh[k L2],k3

Sinh[k L2]-R Cosh[k L2]},

{0,-1,0,1,0,0,0,0} ,

{0,0,0,0,-Sin[k L2],-Cos[k L2],Sinh[k L2],Cosh[k L2]},

{-k3Cos[k L1]-R Sin[k L1] ,k


3 Cosh[k L1]- R Sinh[k L1],k

3 Sinh[k

L1]-R Cosh[k L1],k3,0,-k

3,0 },

{- Sin[k L1],- Cos[k L1],Sinh[k L1], Cosh[k L1],0,1,0,-1},

{Sin[k L1],Cos[k L1],Sinh[k L1],Cosh[k L1],0,-1,0,-1},

{Cos[k L1],-Sin[k L1],Cosh[k L1],Sinh[k L1],-1,0,1,0}}]

({

{-k3, 7.14286*10

-10, k

3, 7.14286*10

-10, 0, 0, 0, 0},

{0, 0, 0, 0, -k3 Cos[30 k]-7.14286*10

-10 Sin[30 k], -7.14286*10

-10 Cos[30 k]+k

3 Sin[30 k], k

3

Cosh[30 k]-7.14286*10-10

Sinh[30 k], -7.14286*10-10

Cosh[30 k]+k3 Sinh[30 k]},

{0, -1, 0, 1, 0, 0, 0, 0},

{0, 0, 0, 0, -Sin[30 k], -Cos[30 k], Sinh[30 k], Cosh[30 k]},

{-k3 Cos[30 k]-7.14286*10-10 Sin[30 k], -7.14286*10-10 Cos[30 k]+k3 Sin[30 k], k3 Cosh[30 k]-

7.14286*10-10 Sinh[30 k], -7.14286*10-10 Cosh[30 k]+k3 Sinh[30 k], k3, 0, -k3, 0},

{-Sin[30 k], -Cos[30 k], Sinh[30 k], Cosh[30 k], 0, 1, 0, -1},

{Sin[30 k], Cos[30 k], Sinh[30 k], Cosh[30 k], 0, -1, 0, -1},

{Cos[30 k], -Sin[30 k], Cosh[30 k], Sinh[30 k], -1, 0, 1, 0}

})

({

{-k3, R, k

3, R, 0, 0, 0, 0},

{0, 0, 0, 0, -k3 Cos[k L2]-R Sin[k L2], -R Cos[k L2]+k

3 Sin[k L2], k

3 Cosh[k L2]-R Sinh[k L2],

-R Cosh[k L2]+k3 Sinh[k L2]},

{0, -1, 0, 1, 0, 0, 0, 0},

{0, 0, 0, 0, -Sin[k L2], -Cos[k L2], Sinh[k L2], Cosh[k L2]},

{-k3 Cos[k L1]-R Sin[k L1], -R Cos[k L1]+k

3 Sin[k L1], k

3 Cosh[k L1]-R Sinh[k L1], -R

Cosh[k L1]+k3 Sinh[k L1], k

3, 0, -k

3, 0},

{-Sin[k L1], -Cos[k L1], Sinh[k L1], Cosh[k L1], 0, 0, 0, 0},

{Sin[k L1], Cos[k L1], Sinh[k L1], Cosh[k L1], 0, -1, 0, -1},


Page 44

{Cos[k L1], -Sin[k L1], Cosh[k L1], Sinh[k L1], -1, 0, 1, 0}

})

{{-k3,7.14286*10

-10,k

3,7.14286*10

-10,0,0,0,0},{0,0,0,0,-k

3 Cos[30 k]-7.14286*10

-10 Sin[30 k],-

7.14286*10-10

Cos[30 k]+k3 Sin[30 k],k

3 Cosh[30 k]-7.14286*10

-10 Sinh[30 k],-7.14286*10

-10

Cosh[30 k]+k3 Sinh[30 k]},{0,-1,0,1,0,0,0,0},{0,0,0,0,-Sin[30 k],-Cos[30 k],Sinh[30 k],Cosh[30

k]},{-k3 Cos[30 k]-7.14286*10

-10 Sin[30 k],-7.14286*10

-10 Cos[30 k]+k

3 Sin[30 k],k

3 Cosh[30

k]-7.14286*10-10 Sinh[30 k],-7.14286*10-10 Cosh[30 k]+k3 Sinh[30 k],k3,0,-k3,0},{-Sin[30 k],-

Cos[30 k],Sinh[30 k],Cosh[30 k],0,0,0,0},{Sin[30 k],Cos[30 k],Sinh[30 k],Cosh[30 k],0,-1,0,-

1},{Cos[30 k],-Sin[30 k],Cosh[30 k],Sinh[30 k],-1,0,1,0}}

{{-k3,R,k3,R,0,0,0,0},{0,0,0,0,-k3 Cos[k L2]-R Sin[k L2],-R Cos[k L2]+k3 Sin[k L2],k3 Cosh[k

L2]-R Sinh[k L2],-R Cosh[k L2]+k3 Sinh[k L2]},{0,-1,0,1,0,0,0,0},{0,0,0,0,-Sin[k L2],-Cos[k

L2],Sinh[k L2],Cosh[k L2]},{-k3 Cos[k L1]-R Sin[k L1],-R Cos[k L1]+k

3 Sin[k L1],k

3 Cosh[k

L1]-R Sinh[k L1],-R Cosh[k L1]+k3 Sinh[k L1],k

3,0,-k

3,0},{-Sin[k L1],-Cos[k L1],Sinh[k

L1],Cosh[k L1],0,0,0,0},{Sin[k L1],Cos[k L1],Sinh[k L1],Cosh[k L1],0,-1,0,-1},{Cos[k L1],-

Sin[k L1],Cosh[k L1],Sinh[k L1],-1,0,1,0}}

{{-k3,7.14286*10

-10,k

3,7.14286*10

-10,0,0,0,0},{0,0,0,0,-k

3 Cos[30 k]-7.14286*10

-10 Sin[30 k],-

7.14286*10-10

Cos[30 k]+k3 Sin[30 k],k

3 Cosh[30 k]-7.14286*10

-10 Sinh[30 k],-7.14286*10

-10

Cosh[30 k]+k3 Sinh[30 k]},{0,-1,0,1,0,0,0,0},{0,0,0,0,-Sin[30 k],-Cos[30 k],Sinh[30 k],Cosh[30

k]},{-k3 Cos[30 k]-7.14286*10

-10 Sin[30 k],-7.14286*10

-10 Cos[30 k]+k

3 Sin[30 k],k

3 Cosh[30

k]-7.14286*10-10

Sinh[30 k],-7.14286*10-10

Cosh[30 k]+k3 Sinh[30 k],k

3,0,-k

3,0},{-Sin[30 k],-

Cos[30 k],Sinh[30 k],Cosh[30 k],0,0,0,0},{Sin[30 k],Cos[30 k],Sinh[30 k],Cosh[30 k],0,-1,0,-

1},{Cos[30 k],-Sin[30 k],Cosh[30 k],Sinh[30 k],-1,0,1,0}}

DetA=Det[({

{-k3, R, k3, R, 0, 0, 0, 0},

{0, 0, 0, 0, -k3 Cos[k L2]-R Sin[k L2], -R Cos[k L2]+k

3 Sin[k L2], k

3 Cosh[k L2]-R Sinh[k

L2], -R Cosh[k L2]+k3 Sinh[k L2]},

{0, -1, 0, 1, 0, 0, 0, 0},

{0, 0, 0, 0, -Sin[k L2], -Cos[k L2], Sinh[k L2], Cosh[k L2]},

{-k3 Cos[k L1]-R Sin[k L1], -R Cos[k L1]+k

3 Sin[k L1], k

3 Cosh[k L1]-R Sinh[k L1], -R

Cosh[k L1]+k3 Sinh[k L1], k

3, 0, -k

3, 0},

{-Sin[k L1], -Cos[k L1], Sinh[k L1], Cosh[k L1], 0, 0, 0, 0},

{Sin[k L1], Cos[k L1], Sinh[k L1], Cosh[k L1], 0, -1, 0, -1},

{Cos[k L1], -Sin[k L1], Cosh[k L1], Sinh[k L1], -1, 0, 1, 0}

})]

1. (0. +2. k9 Cos[30 k]

3 Cosh[30 k]-2. k

9 Cos[30 k]

2 Cosh[30 k]

2-2. k

9 Cos[30 k] Cosh[30 k]

3+2.

k9 Cosh[30 k]4+4.28571*10-9 k6 Cos[30 k]2 Cosh[30 k] Sin[30 k]+2.85714*10-9 k6 Cos[30 k]

Cosh[30 k]2 Sin[30 k]-7.14286*10-9 k6 Cosh[30 k]3 Sin[30 k]+2. k9 Cos[30 k] Cosh[30 k] Sin[30

k]2+6.12245*10-18 k3 Cosh[30 k]2 Sin[30 k]2-2. k9 Cosh[30 k]2 Sin[30 k]2+4.28571*10-9 k6

Cosh[30 k] Sin[30 k]3-1.42857*10-9 k6 Cos[30 k]3 Sinh[30 k]+2.85714*10-9 k6 Cos[30 k]2

Cosh[30 k] Sinh[30 k]-1.42857*10-9

k6 Cos[30 k] Cosh[30 k]

2 Sinh[30 k]-2.04082*10

-18 k

3

Cos[30 k]2 Sin[30 k] Sinh[30 k]-2. k

9 Cos[30 k]

2 Sin[30 k] Sinh[30 k]+4.08163*10

-18 k

3 Cos[30

k] Cosh[30 k] Sin[30 k] Sinh[30 k]-4. k9 Cos[30 k] Cosh[30 k] Sin[30 k] Sinh[30

k]+2.04082*10-18

k3 Cosh[30 k]

2 Sin[30 k] Sinh[30 k]+6. k

9 Cosh[30 k]

2 Sin[30 k] Sinh[30 k]-

1.42857*10-9

k6 Cos[30 k] Sin[30 k]

2 Sinh[30 k]-2.91545*10

-27 Cosh[30 k] Sin[30 k]

2 Sinh[30

k]-1.14286*10-8

k6 Cosh[30 k] Sin[30 k]

2 Sinh[30 k]-2.04082*10

-18 k

3 Sin[30 k]

3 Sinh[30 k]-2. k

9

Sin[30 k]3 Sinh[30 k]-2.04082*10

-18 k

3 Cos[30 k]

2 Sinh[30 k]

2+2. k

9 Cos[30 k]

2 Sinh[30 k]

2+2.


Page 45

k9 Cos[30 k] Cosh[30 k] Sinh[30 k]

2-4. k

9 Cosh[30 k]

2 Sinh[30 k]

2-2.91545*10

-27 Cos[30 k]

Sin[30 k] Sinh[30 k]2-4.1359*10

-25 k

6 Cos[30 k] Sin[30 k] Sinh[30 k]

2+7.14286*10

-9 k

6 Cosh[30

k] Sin[30 k] Sinh[30 k]2+4.08163*10

-18 k

3 Sin[30 k]

2 Sinh[30 k]

2+6. k

9 Sin[30 k]

2 Sinh[30

k]2+1.42857*10

-9 k

6 Cos[30 k] Sinh[30 k]

3-2.04082*10

-18 k

3 Sin[30 k] Sinh[30 k]

3-6. k

9 Sin[30

k] Sinh[30 k]3+2. k

9 Sinh[30 k]

4)

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UNIVERSITE KASDI MERBAH OUARGLA … · Etude des vibrations libres d'une poutre à deux travées sur des appuis élastiques Page 2 Introduction Afin de savoir la réponse dynamique