Utiliser le calcul en ligne au cycle 2Développer des compétences

et des stratégies

Circonscription Dijon Est

Objectifs de l’animation pédagogique

Nécessité d’aborder le calcul en ligne comme un

apprentissage

Réfléchir à la progressivité

Etre alerté sur des points de vigilance didactique

Donner du sens aux apprentissages : lien avec

les problèmes.

Petit échauffement !

Calculer en ligne :

• 35 + 17• 36 x 24• 500 X 24

Pour effectuer 35 + 17 en calcul en ligneEn CP/CE1, on peut attendre une des procédures suivantes :

5u + 7u = 12 u = 1d 2u3d + 1d = 4d5d 2u = 52

35 + 10 = 45 45 + 5 = 50 50 + 2 = 52 35 + 20 = 55 55 – 3 = 52

40 + 17 = 57 57 – 5 = 52

…

Pour effectuer 36 x 24 en calcul en ligneEn CM, on peut attendre une des procédures suivantes :

36 x 20 = 36 x 2 x 10 = 72036 x 4 = 36 x 2 x 2 = 144720 + 144 = 864

30 x 24 = 3 x 24 x 10 = 7206 x 24 = 6 x 25 – 6 x 1 = 150 – 6 = 144720 + 144 = 864

30 x 20 + 6 x 20 + 30 x 4 + 6 x 4 = 600 + 120 + 120 + 24 = 864

Pour effectuer 500 × 24 en calcul en ligneEn CM2, on peut attendre une des procédures suivantes :

500 x 20 + 500 x 4 = 500 x 2 x 10 + 500 x 4 ou 5 centaines fois 2 dizaines et 5 centaines fois 4 unités

500 x 2 x 12 = 1000 x 12

24 x 500 = (24 x 1000) ÷ 2

500 x 4 x 6 = 2000 x 6

… pertinence du 500 x 3 x 8 ?

(…)

Le calcul en ligne est une modalité de calcul écrit ou partiellement écrit.Il se distingue à la fois :

• du calcul mental, en donnant la possibilité à chaque élève s’il en ressent le besoin, d’écrire des étapes de calcul intermédiaire qui seraient trop lourdes à garder en mémoire ;

• du calcul posé, dans le sens où il ne consiste pas en la mise en œuvre d’un algorithme indépendant des nombres en jeu

Qu’est-ce que le calcul en ligne ? Qu’est-ce qu’il n’est pas ?

Le calcul en ligne n’est pas une autre manière d’écrire un calcul posé. Le calcul posé repose sur une technique, un algorithme. Le calcul en ligne repose sur la notion de nombre, du principe de la numération décimale de position et des propriétés des opérations.

Comme le calcul mental, le calcul en ligne permet à l’élève d’utiliser la richesse de ses connaissances sur le nombre et sur les propriétés des opérations. L’élève est ainsi amené à « faire parler les nombres », c’est-à-dire à en envisager diverses écritures, des décompositions additives, multiplicatives ou utilisant les unités de numération.

Le calcul en ligne au C2/le calcul en ligne au C3 – EDUSCOLhttps://cache.media.eduscol.education.fr/file/Mathematiques/87/9/RA16_C2_MATHS_calcul_en_ligne_587879.pdf

Calcul en ligneet

calcul mental

« La place consacrée au calcul mental et au calcul en ligne dans les temps d’apprentissage et d’entrainement est plus importante que celle accordée au calcul posé. »

« Pour chaque opération, le calcul posé n’est introduit qu’en aval d’activités proposées en calcul mental ou en ligne. »

(Programmes 2015)

« La place consacrée au calcul mental et au calcul en ligne dans les temps d’apprentissage et d’entrainement est plus importante que celle accordée au calcul posé. »

« Pour chaque opération, le calcul posé n’est introduit qu’en aval d’activités proposées en calcul mental ou en ligne. »

(Programmes 2015)

Calcul en ligne et calcul posé

Retour sur les analyses de productions

Calculs en ligne, ou pas ?Quelles procédures, quelles propriétés ?

Analyse des productions d’élèves

D’autres exemples

Analyse des erreurs

9 + 4 + 6 + 1 (CE)

aa bb

cc

dd

ee

5 x 16 (CE)

ee

aa

bb

cc

dd

14

34 x 10 (CE)

dd

ee

ff

L’analyse des productions et des erreurs fait ressortir :

Difficulté à donner du sens aux nombres utilisés, qu’ils soient entiers ou décimaux,

Connaissance insuffisante des nombres : 24, c’est 20 + 4 ou 4 × 6 ou 3 × 8 ou la moitié de 48, ou le double de 12 ou … (difficulté à « faire parler les nombres »).

Difficulté à donner du sens aux nombres utilisés, qu’ils soient entiers ou décimaux,

Connaissance insuffisante des nombres : 24, c’est 20 + 4 ou 4 × 6 ou 3 × 8 ou la moitié de 48, ou le double de 12 ou … (difficulté à « faire parler les nombres »).

Difficulté à comprendre le sens des opérations à effectuer, Connaissance insuffisante des propriétés des opérations

(commutativité, associativité, distributivité) qui traduit une absence de signification.

Difficulté à comprendre le sens des opérations à effectuer, Connaissance insuffisante des propriétés des opérations

(commutativité, associativité, distributivité) qui traduit une absence de signification.

L’application de techniques, de « recettes » sans chercher à comprendre ce qu’elles signifient, (x10/x100)

En calcul en ligne, reproduction de la technique de l’algorithme du calcul posé, sans mettre de sens et donc souvent de manière erronée.

L’application de techniques, de « recettes » sans chercher à comprendre ce qu’elles signifient, (x10/x100)

En calcul en ligne, reproduction de la technique de l’algorithme du calcul posé, sans mettre de sens et donc souvent de manière erronée.

Pas de questionnement sur la vraisemblance du résultat (ordre de grandeur).Pas de questionnement sur la vraisemblance du résultat (ordre de grandeur).

Objectifs du calcul en ligne

Le calcul en ligne permet de faire évoluer

les acquis des élèves en numération et en calcul.

On enseigne le calcul en ligne pour amener les élèves à : « faire parler les nombres » et les mettre en relation ; déterminer l’ordre de grandeur d’un résultat découvrir , comprendre et utiliser les propriétés des opérations.

Le calcul en ligne permet de construire à terme des procédures efficaces de calcul.

À long terme ces procédures pourront être automatisées pour devenir des procédures de calcul mental.

(certains calculs en ligne en C2 peuvent être résolus mentalement en C3)

Atelier 2

VidéoAnalyse d’une séquence en CP

Q uels enseignements mettre en œuvre

pour être en phase avec les objectifs de

l’enseignement du calcul ?

Les propriétés de la numération

19

4 x 60 = 4 x 6d = 24d = 240

80 + 50 = 8d + 5d = 13d = 130

126 = 1c 2d 6u = 12d 6u = 1c 26u …

4 x 60 = 4 x 6d = 24d = 240

80 + 50 = 8d + 5d = 13d = 130

126 = 1c 2d 6u = 12d 6u = 1c 26u …

5 x 10 = 5d = 50« On ne rajoute

pas un 0 ! »

Les contenus

Les contenus

20

Les propriétés des opérations

Commutativité : 2 x 9 = 9 x 2 3 + 5 = 5 + 3

Associativité : 3 x 2 x 5 = 3 x 10 = 6 x 5 8 + (2 + 6) = (8 + 2 ) + 63,2 x 25 x 4 = 3,2 x 100

!!! soustraction pas associative 8 – (6 – 2) ≠ (8 – 6 ) – 2

Distributivité : 5 x 12 = 5 x 10 + 5 x 223 x 7 + 23 x 3 = 23 x 106 x 18 = 6 x 20 – 6 x 2

Les faits mémorisés

21

C2- Tables addition /

multiplication- X10 x100

- Complément dizaine/centaine supérieure

- Doubles et moitiés- Doubles et

moitiés

C2- Tables addition /

multiplication- X10 x100

- Complément dizaine/centaine supérieure

- Doubles et moitiés- Doubles et

moitiés

C3- Tables

multiplication- idem entiers et

décimaux- Complément

entier supérieur- x5 x25 x50 x0,1

x0,5

C3- Tables

multiplication- idem entiers et

décimaux- Complément

entier supérieur- x5 x25 x50 x0,1

x0,5

Les contenus

Phase de découverte

22

Structurer son enseignement

- Proposer manipulations pour donner du sens

- S’appuyer sur la numération pour décomposer les nombres

- S’appuyer sur les résultats mémorisés ( x 25 x 4 = x 100)

- Justifier et construire la propriété

- Proposer manipulations pour donner du sens

- S’appuyer sur la numération pour décomposer les nombres

- S’appuyer sur les résultats mémorisés ( x 25 x 4 = x 100)

- Justifier et construire la propriété

Donner du sens aux propriétés des opérations…

Illustrations extraites de « Maths au CE1 » ed. Accès

Phase de découverte

Structurer son enseignement

Commutativité : 5 x 3 = 3 x 5

Donner du sens aux propriétés des opérations…

Illustrations extraites de « Maths au CE1 » ed. Accès

Phase de découverteStructurer son enseignement

Distributivité : 5 x 26 = 5 x 20 + 5 x 69 x 3 = 10 x 3 – 1 x 3

Associativité : 5 x 20 = 5 x 10 x 2

Donner du sens aux propriétés des opérations…Phase de découverte

Structurer son enseignement

Vidéo manipulation commutativité

Vidéo manipulation distributivité

Verbaliser

Structurer son enseignement

- Permet de sortir de la « recette magique », du mécanisme

non compris

- Permet d’expliciter, de s’approprier les stratégies

- Donne un « sens mathématique » aux procédures

- Permet de sortir de la « recette magique », du mécanisme

non compris

- Permet d’expliciter, de s’approprier les stratégies

- Donne un « sens mathématique » aux procédures

VerbaliserStructurer son enseignement

Je sais calculer 5 fois 20 :

C’est 5 fois 2 dizaines, donc 10 dizaines, cela fait 100.

Je connais le résultat de 5 fois 6 qui est le même que 6 fois 5, cela fait 30

5 fois 26 c’est 5 fois 20 plus 5 fois 6, c’est donc 100 plus 30, ce qui fait 130.

On obtient le même nombre de jetons quand on a 5 colonnes de trois jetons, donc 5 fois 3 jetons que quand on a 3 colonnes de 5 jetons donc 3 fois 5 jetons

5 fois 3 est donc égal à 3 fois 5

InstitutionnaliserStructurer son enseignement

5 x 16 = 5 x 10 + 5 x 6

au CE1Sortir progressivement

de la schématisation éventuelle pour arriver

à une écriture mathématique.

Réinvestir

Structurer son enseignement

Exemple pour la distributivité :

5 x 16 en cycle 2

21 x 16 en cycle 3

en renforçant (différencier) en complexifiant

Evaluer pour :

Structurer son enseignement

Permettre aux élèves de se situer dans la maîtrise des procédures utilisées

Constater ses progrès

Réfléchir à l’utilisation du numérique

Structurer son enseignement

Quelle plus-value didactique ?

Quels avantages pédagogiques ?

Points de vigilance

Garder une trace de l’apprentissage

Choisir les nombres Pour favoriser la flexibilité des calculs : question des variables

choisies

Ex : Pas de procédure : ajouter 9 avec 40 + 9

En calcul en ligne, les traces écrites utiles pour l’élève peuvent, dans un premier temps, se présenter sous différentes formes : calculs séparés, arbres à calcul, écriture utilisant des mots ou des flèches, ou tout autre écrit qui accompagne la démarche de l’élève ; progressivement en fin de séquence, ces étapes s’organisent pour devenir un calcul écrit en ligne .

Points de vigilanceAlterner séances courtes et longues en fonction de l’objectif

Construire le sens du signe =

Pas de rigueur attendue dans l’écriture mathématique de l’élève sur le support de recherche

MAISÉcriture mathématique correcte pour l’enseignant au tableau ou pour l’élève sur le support d’institutionnalisation :présentation sous forme d’arbre, de schéma, retour à la ligne à chaque calcul…

Points de vigilanceReprésentation du nombre et outils de manipulation

Choisir une représentation du nombre efficiente pour construire le calcul :

Plusieurs représentations seront proposées aux élèves. On veillera toutefois à fixer une représentation qui constituera un point d’appui stable dans la phase de construction du nombre.

Points de vigilanceReprésentation du nombre et outils de manipulation

Mettre à disposition à tout moment de la journée, des outils de manipulation individuels et prévoir une déclinaison collective

Utiliser toujours les mêmes…

représentationsdu nombre 10

14

3 5

47

24

Points de vigilanceAttention particulière pour composer/décomposer les nombres

Points de vigilanceEffectuer des additions avec une retenue :

2 7 1 3+

4 0

dizaine «retenue»

3 8 2 4+

dizaine «retenue»

6 2