UV Automatique - Bienvenue dans le département ASIasi.insa-rouen.fr/enseignement/siteUV/auto/cours/cours10.pdf · Automatique 1 Liens entre fonction de transfert et représentations

1Automatique

Liens entre fonction de transfert et représentations d'état d'un système (formes canoniques de la représentation d'état)

UV Automatique

ASI 3

Cours 10

2Automatique

Contenu

! Introduction

! Liens entre les différentes descriptions d'un système

! Passage modèle d'état " fonction de transfert# Cas d'un système monovariable

# Cas d'un système multivariable

! Passage fonction de transfert " modèle d'état#Forme canonique de commandabilité

#Forme canonique d'observabilité

#Forme modale

3Automatique

Introduction! Exemple : système mécanique (masse en translation)

! Equation différentielle ! FT

! Représentation d'état

Etats du système

m F

z

Fr=f z .Entrée : u(t) = F

Sortie : y(t) = z(t)

γrr

mF =∑ zfzmF &&& +=)(

1)()()( fmsssF

sZsH +==

)()(1 tztx = )()(2 tztx &=

)1()()()( 21 txtztx == &&

zfzmF &&& += )()( 22 tfxtxmF += &

)2()()( 22 txmf

mFtx −=&

[ ]

=

+

−=

)(

)(01)(

10

)(

)(0

10

)(

)(

2

1

2

1

2

1

tx

txty

Fmtx

tx

mf

tx

tx&

&

(Système d'ordre 2)

! Remarques

$ De l'équation différentielle, on passe aisément à la FT

$ De l'équation différentielle, on passe à la représentation d'état

Question : Peut-on passer de la FT à la représentation d'état et inversement ?

4Automatique

Liens entre les différentes descriptions d'un système

! Descriptions d'un système# Equation différentielle

# Réponse impulsionnelle

# Fonction (ou matrice) de transfert H(s)

# Représentations d'état (A, B, C, D)

! Liens entre les descriptions Fonction de transfert

H(s)

Représentation d’état

(A, B, C, D)

Réponse impulsionnelle

h(t)

Equation différentielle

ububyayay 0101 +=++ &&&&

5Automatique

Passage représentation d'état """" FT (MT)

! Forme générale

# TL de l'équation d'état

# TL de l'équation de sortie

Fonction de transfert ou matrice de transfert

+=

+=

)()()(

)()(

tDUtCXtY

tBUtAXX&

Conditions initiales supposées nulles : X(0)=0

( ))()()( tBUtAXtX +=&L )()()( sBUsAXssX +=

( ) )()( 1 sBUAsIsX n−−=

In : matrice identité d'ordre n

nnA ×∈ R

mnB ×∈ R

npC ×∈ R

mpD ×∈ R

ntX R∈)(mtU R∈)(ptY R∈)(

( ))()()( tDUtCXtY +=L )()()( sDUsCXsY +=

( )( ) )()( 1 sUDBAsICsY n +−= −

( ) DBAsICsH n +−= −1)(

6Automatique


! Remarques

# Calcul de l'inverse de (sIn−A)

# Nouvelle écriture de H(s)

( ) DBAsICsH n +−= −1)(

)det())(()( 1

AsIAsIcomAsI

n

Tn

n −−=− −

)( AsIcomM n −=

matrice des cofacteurs

][ , jimM = avec jiji

ji Mm ,, det)1( +−=Mi,j : matrice extraite de (sIn−A) en supprimant la ième ligne et la jème colonne

DAsIBAsIcomCsH

n

Tn +−

−= )det())(()( )det(

)det())(()( AsIDAsIBAsIcomCsH

nn

Tn

−−+−=

Les pôles du système sont les racines de l'équation 0)det( =− AsIn

Les valeurs propres de A sont solutions de l'équation caractéristique 0)det( =− AInλLes pôles du système sont les valeurs propres de A. Toute l'information sur les modes du système est contenue dans la matrice A

7Automatique


! Exemple 1 : système mono-entrée, mono-sortie R

u(t)

i(t)

c Vc(t)

L Entrée : u(t)

Sortie : )()( tVty c=

=

+

−−=

Xy

uL

XLRL

cX

]01[1

0

1

10&

Etats du système

)()(1 tVtx c= )()(2 titx =T

c titVtX ])()([)( =

Modèle d'état (voir cours 8)

Fonction de transfert

−−−

=−

LRL

csAsI

1

10

10

012

+

−=−

LRsL

csAsI

1

12 LcLRssAsI 1)()det( 2 ++=−

LcRcssLcAsI 1)det(

22

++=−

−+=−

sc

LLRsAsIcom

1

1)( 2

−+=− LsL

cLRsBAsIcomC T/10

11]01[))(( 2

LcBAsIcomC T 1))(( 2 =−)det())(()(

22

AsIBAsIcomCsH

T

−−= 1

1)( 2 ++=

RcssLcsH

8Automatique


! Exemple 2 : système multi-entrée, multi-sortie

−=

−−+

−

−−=

XY

UXX

21

0112

30

11

23& avec

=

)(

)()(

2

1

tx

txtX

=

)(

)()(

2

1

tu

tutU

=

)(

)()(

2

1

ty

tytY

−

−−−

=−

11

23

10

012 sAsI

+−

+=−

11

232

s

sAsI

Calcul de la matrice de transfert

+−

+=−

32

11)( 2

s

sAsIcom

54)det( 22 ++=− ssAsI

−−

+−+

−=− 1230

3121

2101))(( 2 s

sBAsIcomC T

−−

+−−−+=− 12

30)4(21

21))(( 2 sssBAsIcomC T

+++=− )1(5)4(4

534))(( 2 sssBAsIcomC T

9Automatique

Passage représentation d'état """" FT (MT) : exemple 2

! Exemple 2 (suite)

)det())(()(

22

AsIBAsIcomCsH

T

−−=

+++

+++

+++

++=

54)1(5

54)4(4

5453

544

)(

22

22

sss

sss

sss

sssH

Dans le cas de système multi-entrée, multi-sortie, on parle de matrice de transferts (MT) au lieu de fonction de transfert.

Signification des éléments de la matrice de transferts de l'exemple

=

)()(

)()()(

2221

1211

sHsH

sHsHsH

)()()(

11

11 sUsYsH = )(

)()(21

12 sUsYsH =

)()()(

12

21 sUsYsH = )(

)()(22

22 sUsYsH =

=

=

)(

)()(

)(

)()(

2

1

2

1

sU

sUsH

sY

sYsY

)()()()()( 2121111 sUsHsUsHsY +=

)()()()()( 2221212 sUsHsUsHsY +=

10Automatique


! Remarques# Une représentation d'état d'un système est caractérisée par le

quadruplet (A, B, C, D)

# Toute représentation d'état (A, B, C, D) d'un système qui vérifieest appelée une réalisation de H(s)

# Une réalisation (A, B, C, D) avec dim(A)=n est une réalisation minimale s'il n'existe pas d'autres réalisations de H(s) de dimension inférieure à n

# Dans le cas d'un système mono-entrée, mono-sortie, la réalisation minimale correspond à une fraction rationnelle irréductible (pas de simplification des pôles et zéros)

( ) DBAsICsH n +−= −1)(

11Automatique

Passage FT """" représentation d'état

! Position du problème

! Forme canonique de commandabilité# Cas simple : m=0 et b0=1

A partir d'une FT, est-il possible de déterminer une représentation d'état (une seule ou la plus simple possible)? Ce problème est dénommé problème de réalisation

nmasasas

bsbsbsbsUsYsH n

nn

mm

mm <

++++++++== −

−

−− ,)(

)()(01

11

011

1L

L ?),,,( DCBA

On peut trouver autant de représentations d'état qu'on veut. Néanmoins il existent quelques formes remarquable exposées ci-après

01

1)()()(

asassUsYsH n +++

==L

)()()()()( 011

1 sUsYassYasYsasYs nn

n =++++ −− L

)()()()()( 0)1(

1)1(

1)( tutyatyatyaty n

nn =++++ −

− LEquation différentielle

)()()()()( 0)1(

1)1(

1)( tutyatyatyaty n

nn +−−−−= −

− L

12Automatique


! Forme canonique de commandabilité : cas simplePosons

)()()()(

)()()()(

)1(

)2(1

)1(2

1

tytxtytx

tytxtytx

nn

nn

−

−−

=

=

=

=

M

)()()()(

)()()()(

)(

)1(1

)2(2

)1(1

tytxtytx

tytxtytx

nn

nn

=

=

==

−−

&

&

M

&

&

Dérivation Equations d'état

)()()()()()()(

)()()()(

12110

1

32

21

tutxatxatxatxtxtx

txtxtxtx

nnn

nn+−−−−=

=

==

−

−L&

&M

&

&

Forme canonique de commandabilité

)(

10

00

1000

001000010

1

21

1210

1

21

tu

xx

xx

aaaaxx

xx

nn

nnnn

+

−−−−

=

−

−−

−

MM

LL

OOMMOOM

LLL

&

&M

&

&

[ ]

=−n

nx

x

xx

ty1

21

0001)( ML

Remarques

$ Chaque variable d'état xi, i=2,…,n−1 est la dérivée de la variable précédente. On parle de variables de phase

$ A cause de cette dépendance, en faisant varier la commande u, tous les états sont modifiés : le système est commandable

13Automatique

Passage FT """" représentation d'état! Forme canonique de commandabilité

# cas simple : schéma de simulation

# Cas général : m<n et b0≠0

uxaxaxax nnn +−−−−= −12110 L&

nx& nx 1−nx

1−na

++

+ u

2−na

++

3−na

+ +

2−nx

1a

++

2x 1x

0a

y−

∫ ∫ ∫ ∫

1,,2pour )()( 1 −== + nitxtx ii L& ∫ += )()( 1 txtx ii

011

1

011

1)()()(

asasasbsbsbsb

sUsYsH n

nn

mm

mm

++++++++== −

−

−−

L

L

Soit v une variable intermédiaire telle que )(

)()()()( sU

sVsVsYsH =

01

1)()(

asassUsV

n +++=

L

011

1)()( bsbsbsbsV

sY mm

mm ++++= −

− L

(I)

(II)

14Automatique


! Forme canonique de commandabilité : cas général$ Equation (I)

Elle correspond au cas précédent

)1(

)2(1

)1(2

1

−

−−

==

==

nn

nn

vxvx

vxvx

M

uxax

xx

xxxx

ni iin

nn

+−=

=

==

∑ −= +

−10 1

1

32

21

&

&M

&

&

$ Equation (II)

011

1)()( bsbsbsbsV

sY mm

mm ++++= −

− L

)()()( 01 sVbsbsbsY mm +++= L

)()()()( 0)1(

1)( tvbtvbtvbty m

m +++= L

)()()()( 10211 txbtxbtxbty mm +++= + L

Représentation d'état

)(

10

00

1000

001000010

1

21

1210

1

21

tu

xx

xx

aaaaxx

xx

nn

nnnn

+

−−−−

=

−

−−

−

MM

LL

OOMMOOM

LLL

&

&M

&

&

[ ]

=++

n

mmm

x

xx

xx

bbbty

M

MLL

21

21

10 00)(

Cette forme est dite compagne (de la FT) commandable. Les coefficients de la FT sont éléments des matrices du modèle d'état

15Automatique


! Forme canonique de commandabilité : cas général

uxaxaxax nnn +−−−−= −12110 L&

1,,2pour 1 −== + nixx ii L& ∫ += 1ii xx

10211 xbxbxby mm +++= + L

nx& nx 1−nx

1−na

++

+u

2−na

++

3−na

++

2−nx

++

y

−

b0

+b1

+bm

+

xm+1

+ +

a0a1

x2∫ ∫ ∫ ∫ x1

Schéma de simulation

Notion de commandabilité : en agissant sur u, on fait évoluer xn, puis les autres états par effet cascade. Les états du système peuvent donc être commandés et modifiés

16Automatique


! Forme canonique d'observabilité

nmasasas

bsbsbsUsYsH n

nn

mm <

+++++++== −

−,)(

)()(01

11

01L

L

)()()()()()()( 10011

1 sUsbssUbsUbsYassYasYsasYs mm

nn

n +++=++++ −− LL

)()())()(())()(())()(()(

11

11

1100

sYsasYsasYasUbssYasUbssYasUbsYs

nn

mm

mmmn

−−

++ −−−

−++−+−=L

L

Divisons cette équation par sn

ssYa

ssYa

ssYasUb

ssYasUb

ssYasUbsY n

mnm

mnmm

nn)()()()()()()()()( 1

11

11100 −

−−+

−− −−−−++−+−= LL

Dessinons le schéma de simulation correspondant à cette équation

17Automatique


! Modèle d'état

+ +

u

− y

b0

a0

b1

+

a1

−

+

b2

+

a2

−

+

bm

+

am

−

+

an-1

−1x& 1x x2

xn−1.

xn−1 xnxn.xm+1

.xm+11

s 1s

1s

1s

1s

x3.

x2.


n

nnnn

nmmm

mnmmm

n

n

xyxaxx

xaxxubxaxx

ubxaxxubxax

=−=

−=

+−=

+−=

+−=

−−

+++

+

11

112

1

1112

001

&

M

&

&

M

&

&

)(

0

0

1000100

0010001000

10

1

321

12

210

1

3

2

1

tub

bb

xx

xxx

aa

aaa

xx

xxx

m

nn

nn

n

n

+

−−

−−−

=

−

−−− M

M

M

LLL

MMOOMLLLLL

&

&M

&

&

&

[ ]

=

nx

xx

tyM

L 21

100)(Connaissant y=xn, on peut déduire les autres états par dérivation et différence : c'est l'observabilité.

18Automatique


! Remarques

! Dualité des formes canoniques de commandabilité et d'observabilité

$ La commandabilité est la possibilité de modifier les états en appliquant la commande appropriée. Cela est mise en évidence par la forme canonique de commandabilité

$ L'observabilité est la possibilité de reconstruire les états à partir de la sortie et de l'entrée. Ceci apparaît sur le schéma de la forme canonique d'observabilité. Connaissant y=xn, on déduit les autres états en parcourant le schéma à l'envers et à partir de l'entrée

$ Observabilité et commandabilité sont intrinsèques au système et ne dépendent pas de la réalisation

Soit ),,,( cccc DCBA : la réalisation canonique de commandabilité

Soit ),,,( oooo DCBA : la réalisation canonique d'observabilité

On constate que ),,,(),,,( oTo

To

Tocccc DBCADCBA =

19Automatique


! Forme modale# Cas 1 : le système admet n pôles distincts réels

% Décomposition en éléments simple

% Choix des états

011

1

01)(asasas

bsbsbsH nn

n

mm

+++++++= −

− L

L

))(())(()(121

01λλλλ −−−−

+++=− ssss

bsbsbsHnn

mm

LL

∑ = −== ni

ii

ssUsYsH 1 )()()()( λ

µ ∑ = −= ni

ii s

sUsY 1 )()()( λµ

)()()(i

i ssUsX λ−= )()()( sUsXssX iii += λ

)()()( tutxtx iii += λ&

ni ,...,1=pour∑ == n

i ii txty 1 )()( µ

)(1

11

000

000

21

21

21

tu

x

xx

x

xx

nnn

+

=

MML

OOMMO

L

&M

&

&

λ

λλ

[ ]

=

n

n

x

xx

tyM

L 21

21)( µµµ

nii ,,1L=λ

20Automatique


! Forme modale# Remarques sur le cas 1

$ La représentation fait apparaître les pôles (ou modes) du système

$ La matrice A est diagonale " calcul simplifié de eAt

$ Soit (A, B, C, D) une réalisation. Si A admet n valeurs propres distinctes λi, A est diagonalisable et il existe une matrice de transformation T telle que

ATTAm1−= CTCm =

BTBm1−= DDm =

=

n

mA

λ

λλ

000

000

21

LOOM

MOL

avec

u+

y

∫

λ1

µ1

∫

λn

µn +

+

++

++

xn xn

x1 x1


T : matrice des vecteurs propres de A

Chaque état xi est indépendant des autres

21Automatique


! Forme modale# Cas 2 : le système admet n pôles distincts réels et complexes

% Décomposition en éléments simples

% Choix des états

Soit et les pôles complexes conjugués du systèmeωσλ j+=1 ωσλ j−=2

)()()(1 ωσ js

sUsX +−= )()()()( 11 sUsXjssX ++= ωσ

)()()(2 ωσ js

sUsX −−= )()()()( 22 sUsXjssX +−= ωσ

∑ = −+−−−++−

+= ni i

isjs

jbajs

jbasH 3 )()()()( λµ

ωσωσ

∑ = −+−−−++−+= ni i

i ssU

jssUjbajs

sUjbasY 3 )()(

)()()()(

)()()( λµωσωσ

On obtient des états à coefficients complexes qui ne signifient rien physiquement !!

uxjx ++= 11 )( ωσ&

uxjx +−= 22 )( ωσ&

)()()( tutxtx iii += λ&

ni ,...,3=pourPas de problème pour les pôles réels

22Automatique


! Forme modale : cas des pôles complexes conjugués% Transformation linéaire sur les états complexes

))()(()()()()(

21'

21'

2

1ssXssXjssX

ssXssXssX−=

+=)( 21

'21

'

2

1xxjx

xxx−=

+=)()()(

)(2)()()('''

'''

212

211

sXsXssX

sUsXsXssX

σω

ωσ

+−=

++=

∑ =+−++= ni ii sXsXjbasXjbasY 321 )()()()()()( µ

uxxx 2'''1 21 ++= ωσ&

'''2 21 xxx σω +−=&

Sortie

∑ =++= ni ii sXsbXsaXsY 3

'' )()()()( 21 µ ∑ =++= ni ii xbxaxy 3

''21 µ

)(

1

102

00000

000000

3

'

'

33

'

'

2

1

2

1

tu

x

xxx

x

xxx

nn

n

+

−

=

MML

OMMMO

LL

&M

&

&

λ

λσωωσ

[ ]

=

n

n

x

xxx

baty

M

L3

'

'

32

1

)( µµ

Couplage entre les états correspondants aux pôles complexes conjugués

23Automatique


! Forme modale : cas des pôles multiples

% Décomposition en éléments simples

% Choix des états

Soit λ1 un pôle réel d'ordre k et λk+1,…, λn des pôles réels simples

)()()()(

11

01

nkk

mm

sssbsbsbsH

λλλ −−−+++=

+ L

L ∑ +=− −+−+−

+−

= nki i

ikkk ssss

sH 1111

2

1

1)()()()(

)( λµ

λµ

λµ

λµ

L

∑ +=− −+−+−

+−

= nki i

ikkk s

sUs

sUs

sUs

sUsY 1111

2

1

1)()(

)()(

)()(

)()()( λ

µλ

µλ

µλ

µL

nkissUsX

ssUsX

ssUsX

ssUsX

ssUsX

ii

k

k

k

k

,,1,)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

1

21

1

11

2

11

L

M

+=−=

−=

−=

−=

−=

−

−

λ

λ

λ

λ

λ

nkissUsX

ssUsX

ssXsX

ssXsX

ssXsX

ii

k

kk

,,1,)()()(

)()()(

)()(

)()()(

)()()(

1

11

13

2

12

1

L

M

+=−=

−=

−=

−=

−=

−

λ

λ

λ

λ

λ

nkiuxxuxx

xxx

xxxxxx

iii

kk

kkk

,,1,1

111

3212

2111

L&

&

&

M

&

&

+=+=

+=

+=

+=+=

−−

λλ

λ

λλ

∑ == ni ii txty 1 )()( µ

24Automatique


! Forme modale : cas des pôles multiples

nkiuxxuxx

xxx

xxxxxx

iii

kk

kkk

,,1,1

111

3212

2111

L&

&

&

M

&

&

+=+=

+=

+=

+=+=

−−

λλ

λ

λλ

∑ == ni ii txty 1 )()( µ

)(

1

110

0

0

001

0001

1

1

1

11

1

1

1

1

1

tu

x

xx

x

x

x

xx

x

x

n

kk

k

n

k

n

kk

k

+

=

+

−

++

−

M

M

M

M

O

LOM

MOOL

&M

&

&

&M

&

λ

λλ

λ

λ

[ ]

=

nn

x

xty ML

11)( µµ

Bloc de Jordan

D'une façon générale, si le système admet r pôles d'ordre de multiplicité kr, tel que k1+…+ kr=n, la forme modale de la matrice d'état est

=

)(000

)(000)(

2

1

2

1

rk

k

k

rJ

JJ

A

λ

λλ

LOOM

MO

L

avec

=

i

ii

ikiJ

λ

λλ

λ00

10

001

)(

LOOM

MO iii

kkikJ ×∈ R)(λ

Bloc de Jordan

25Automatique

Passage représentation d'état """" FT (MT) : exemple 1

−−−

=−

LRL

csAsI

1

10

10

012

+

−=−

LRsL

csAsI

1

12

LcLRssAsI 1)()det( 2 ++=− LcRcssLcAsI 1)det(

22

++=−

−+=−

sc

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26Automatique

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Modélisation

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UV Automatique - Bienvenue dans le département ASIasi.insa-rouen.fr/enseignement/siteUV/auto/cours/cours10.pdf · Automatique 1 Liens entre fonction de transfert et représentations