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Déformations et élasticitév 7.1

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compressioncisaillement

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Types de déformations

compression traction

On peut soumettre les corps rigides à 3 types d'effortqui provoquent des déformations

cisaillementN.B. : torsion ≡   cisaillement

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Régimes de déformationConsidérons le cas d'un objet solide soumis à traction, p. ex. un cylindre de métal de longueur d et section droite A. Il est fixé au mur sur un côté et on applique une force F de traction sur l'autre. Si la force n'est pas trop forte, on observe un allongement δ qui est proportionnel à d et à F: c'est le régime linéaire.Au- delà, la proportionnalité n'est pas respectée.Si l'on relâche la traction et le cylindre revient à sa forme de départ,la déformation était élastique, plastique sinon.Si la force est trop forte le corps peut se casser (corps cassant, p. ex. du verre) ous'allonger très rapidement (corps ductile) avant de se casser.

d δF

δ ∝ Fδ ∝ d

On a:

On tient compte de la proportionnalité de δ avec d en introduisant la déformation (relative) ε (sans dimension) : ε = δ / d

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Relation force - déformationConsidérons le cas d'un objet solide soumis à traction, fixé au mur sur un côté et on applique une force F de traction sur l'autre. On observe un allongement δ.On constate que la force nécessaire pour obtenir le même δ sur une barre de section droite identique, mais de forme circulaire ou carrée ou autre, est essentiellement la même. En effet seulement la section entre dans le calcul de déformations par traction et compression.

On est amenés à introduire l'effort: σ = F/A

d δF

A

[σ] = N/m2

On tient compte de la proportionnalité de δ avec d, δ ∝ d , en introduisantla déformation (relative) ε (sans dimension) :

ε = δ / d

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Relation force - déformation .2

La proportionnalité entre déformation élastique et effort s'exprimepar le module d'Young E (N/m2) :

ε = σ/Ε

Dans le cas de corps homogènes (ex. : les métaux),E est le même pour traction et compression.

Figure: dans la région AB le régime est linéaireet le module de Young E correspond à 1/pentede la droite.

ε

σ

compression

traction

A

B cassure€

δ =1EFAdDonc:

Exemples: Al: E = 7 x 1010 Nm−2

acier: 20, brique: 2

Hooke avait étudié la proportionnalité entre force F et la déformation δpour les objets élastiques (en particulier les ressorts). La loi d'Hooke pourun objet de constante d'élasticité (ou du ressort) k:

F = k δ

On peut relier k au module de Young E. De la définition d'effort σ = F/A et déformation ε = δ/d on tire:

σ = F/A = kδ/Α = (d/d)kδ/A = (kd/A) δ/d = (kd/A)ε => σ/ε = kd/A

de la définition E = σ/ε : Ε = kd/A et k = EA/d

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La constante d'élasticité

d δF

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La flexion

N=w/2

w

N=w/2

d

ab

Barre rigide de section a × b et longueur d, appuyée sur les bordset soumise à son poids w.

Après flexion, on a approximativementun arc de cercle de rayon R

R

R →∞ quand w →0

On observe que la partie supérieure de la barre est en compression,celle inférieure en traction

z

x

y

z

x

y

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La flexion .2Le système est symétrique par rapport au centre (la barre est homogène).Considérons la moitié gauche. La surface supérieure est plus petite qu' enl'absence de flexion, la surface inférieure est dilatée. A l'intérieur ducorps il existe la surface neutre, qui n'a pas changé de valeur.La partie droite exerce des forces sur la partie gauche commequalitativement indiqué sur la figure.

w/2

N=w/2

On a la présence d'un moment de forcesinternes qui cherche à mettre en rotationantihoraire la partie gauche (horaire la droite).

On trouve que le rayon de courbure Ret le moment des forces τ sont liés par:

τ = E Is / R

E module d'Young, Is est le "momentd'inertie de la section"

z

x

y

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Moment d'inertie de la section...à ne pas confondre avec le moment d'inertie !!

€

I = r2∫ dm

€

Is = z2∫ dS = z2−a / 2

a / 2

∫ (bdz) = b z2−a / 2

a / 2

∫ dz = bz3

3a/2−a/2

=a3b12

Exemple: section rectangulaire de hauteur a et largeur b calcul de IS par rapport à l'axe z. a

b

y

za/2

-a/2

€

Is =πR4

4

€

Is =π(a4 − b4 )

4ba

Cylindre plain Tube

[Is]=cm4

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Considérons une planche de section 1x10 cm2, posée sur deux supports,soumise uniquement à son poids. a)Dans le cas a) où elle est posée à plat, Is = 13x10/12 = 0.83 cm4

Par contre, si elle est placée surla tranche b) Is = 1x103/12 = 83 cm4. b)

Puisque le poids est le même dans les deux cas, le moment des forces internesdoit être le même. On en déduit pour les rayons de courbure: Rb/Ra = 100 On s'attend donc à une déformation moindre dans b).

La flexion .3

ab

€

Is =a3b12

La connaissance de la forme de la section droite (et pas seulement sa surface) est donc nécessaire pour définir le comportement en cas de flexion.

Dans le cas de la section rectangulaire:

De la formule τ = E Is / R on déduit que, si l'on fixe τ, il faut augmenter Is

pour diminuer augmenter la courbure R.

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CisaillementLe parallélépipède de la figure subit un cisaillement qui incline les faceslatérales d'un angle α:

+F

-F

α

h

δc

A

L'effort de cisaillement est σc = F/A N/m2

La déformation due au cisaillement εc = δc/h = tan α (pas de dim.)Le module de cisaillement G = σc / εc N/m2

Exemples:Al: G = 2,4 1010 N m−2

Acier: 8,4 W: 11,4

h

A

A

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TorsionLe cylindre de rayon R et longueur h est soumis à un couple de forces,de moment τ = 2RF. Il subit une torsion d'angle α:

α

h

-F

+Fh

Chaque couche de rayon r et épaisseur δr se déplaced'une longueur ~αr.Il y a donc un cisaillement entre couches: δc ~ α δr.On s'attend à une liaison avec le module decisaillement G. En effet on trouve l'expression:

€

τ =GIpαh

Ici Ip est le moment d'inertie polaire. Dans le cas ducylindre plein on trouve: Ip = πR4/2 (unité m4)