VECTEURSenréalitéaugmentée

1HOUPERTN.

Problématiquespédagogiques:

Ø Commentconstruirelasommededeuxvecteurs?

Ø Commentdéterminerlescoordonnéesduvecteur𝐴𝐵dansunrepère?Ø Commentcaractériserunparallélogrammeàl’aided’uneégalitédevecteurs?Ø Commentmettreenévidencelacolinéaritédedeuxvecteurs?Ø Commentmontrerquetroispointssontalignés?Ø Commentmontrerquedeuxdroitessontparallèles?

Algorithmique:

Ø Analysed’unalgorithmesousXcasØ Algorithmedécidantd’unalignementde3points

Histoire:

Ø SimonStevinXVIèmesiècle

Achaquefoisquevousrencontrerezunpictogramme ,flashezleavecl’appliaurasma.Lecourssurlanotionapparaîtraenréalitéaugmentée.Prenezsoindemettrevosécouteursafindenepasperturbervoscamarades.

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2HOUPERTN.

SimonStevin,XVIème

Ingénieur,physicien,mathématicienetcomptable,SimonStevinestnéen1548àBruges.Ilinventeuneméthodepourretenirunearméed’envahisseurs:ilfaitinonderlesterresetcheminsenouvrantleséclusessituéesdansunedigue.Ilparticipeégalementàlaconstructiondefortifications,deports,d’écluses,demoulinsàvent…

Stevinreprendlestravauxd’ArchimèdedeSyracuse(-287;-212)etécritdesouvragesdemécaniqueetenparticulierd’hydrostatique.Dans«DeBeghinselenderWeeghconst»,publiéen1586etavantGalilée(1564;1642),ilénoncelethéorèmedutriangledesforcesquitraitedel’équilibred’unsolideposésurunplanincliné.C’estd’ailleurschezStevinquenousrencontronspourlapremièrefoislanotation𝐴𝐵nonpasencorepourdésignerunvecteurmaisuneforce.

En1585,Stevinpublieunepetitebrochuredetrente-sixpagesintitulée«LaTheinde».Letraitéestsurtoutconnusoussatraductionfrançaise«LaDisme».ElledatedelamêmeannéeetestdueaumathématicienfrançaisAlbertGirard(1595;1632).C’estparcetécritqueStevinmarqueradesonempreintel’histoiredesmathématiques.Sonsuccèsestconsidérableetsepropageàtraverstoutel’Europeenunedizained’années.Acetteépoque,lesnombresàvirgulen’existentpasencorebienquelanotiondedécimalesoitdéjàconnueparlesarabesetleschinois(voirHistoiredesnombres).EnEurope,leurécrituresefaitaumoyendefractions.L’idéedeStevinestdeprivilégierlesfractionsdécimales,liéesàlanumérationdepositionindiennepourserapprocherdelanotationactuelle…maissanslavirguleencore.L’avantagedecetteécrituredesnombresestd’éviterlescalculslourdsdefractionspourseramenerauxrèglesopératoiresd’arithmétiqueutiliséessurlesentiers.Pourfinir,illustronssurunexemplelanotationdueàStevin:Lenombre89,532senote:

pourdésigneraujourd’hui100(=1,l’unité)pourdésigner10-1(=0,1,ledixième)

pourdésigner10-2(=0,01,lecentième)

pourdésigner10-3(=0,001,lemillième)

Plustardcettenotationévoluerapourdevenir89o532,puis89.532etenfin89,532.Lavirguleseraitdueàl’écossaisJohnNeper(1550;1617),l’inventeurdeslogarithmes.

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3HOUPERTN.

1. Construirelesvecteursunitaires𝚤 𝑒𝑡 𝚥,supportsrespectifsdesaxesdesabscissesetdesordonnées.

2. Construirelesvecteurs𝐴𝐵,𝐶𝐷,𝐸𝐹,𝐺𝐻, 𝐼𝐽. 3. Donnerlescoordonnéesdecesvecteursdansleplanmunid’unrepère 𝑂, 𝚤, 𝚥 en

complétantletableauci-dessous:

Vecteurs Coordonnéesdanslerepère𝑂, 𝚤, 𝚥

Expressionenfonctionde 𝚤 𝑒𝑡 𝚥

𝐴𝐵 (3; 2) 𝐴𝐵 = 3𝚤 + 2𝚥

𝐶𝐷

Commentconstruirelasommededeuxvecteurs?

Niveaudecompétences

VECTEURSenréalitéaugmentée

4HOUPERTN.

𝐸𝐹

𝐺𝐻

𝐼𝐽

𝚤

𝚥

4. Réciproquement,construiredanslerepèreci-dessouslesvecteurssuivants:

𝐴𝐵(5,1)et𝐶𝐷 (−3,4).

5. Construirelesvecteurs𝑢 = 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷,𝑣 = 𝐴𝐵 − 𝐶𝐷,𝑤 = 2𝐴𝐵,𝑟 = −3𝐶𝐷.

Commentdéterminerlescoordonnéesd’unvecteur𝑨𝑩dansunrepère?

Niveaudecompétences

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5HOUPERTN.

𝐴 𝐵 𝐴𝐵(5; 3) (2; 6) (−1; 4) (−3; 12) (0; 5) (2; 0) (4; 17) (−2;−2) (3;−3) (0;−6) (10;−1) (2; 5)

Caractériserunparallélogramme

1. ConstruirelepointI,telqueFIHGsoitunparallélogramme.2. Quelleségalitésvectoriellespeut-onextraireàpartirdelaconfiguration?

Caractérisationvectorielleduparallélogramme:

3. DéterminerlescoordonnéesdumilieuKdusegment 𝐹𝐻 .

Commentcaractériserleparallélogrammeà

l’aided’uneégalitédevecteurs?

Niveaudecompétences

VECTEURSenréalitéaugmentée

6HOUPERTN.

4. MontrerqueKestaussilemilieudusegment 𝐺𝐼 .5. Endéduireuneautrecaractérisationduparallélogramme.

DémontreravecdeségalitésdevecteursABCDetABDEsontdeuxparallélogrammes.

1. Donnerdeuxvecteurségauxà𝐴𝐵.EndéduirequeDestlemilieude[𝐸𝐶].2. SoitFlesymétriquedeBparrapportàD.QuelleestlanaturedeDFEA?

ABCD,CDEFetEFGHsonttroisparallélogrammes.

1. Citerdeuxvecteurségauxà𝐶𝐷.2. QuelleestlanaturedeAHGB?

TraceruntriangleRSTetconstruirelespoints:

a. EimagedeTparlatranslationdevecteur𝑅𝑆 ;b. FimagedeRparlatranslationdevecteur𝑇𝑆 ;c. Donnerdeuxvecteurségauxà𝑇𝑅.Justifier.d. EndéduirequeSestlemilieude 𝐸𝐹 .

Al’aidedelaformule𝒖 = 𝒌𝒗

𝑢 𝑣 Colinéaires Noncolinéaires(2; 3) (4; 6) (−1; 4) (−3; 12) (1; 5) (2; 6) (4; 7) (−12;−21)

(−2;−3) (4;−6) (10; 25) (2; 5)

Commentmettreenévidencelacolinéaritéde

deuxvecteurs?

Niveaudecompétences

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7HOUPERTN.

Al’aidedelaformule𝒙𝒚! − 𝒚𝒙! = 𝟎

𝑢 𝑣 Colinéaires Noncolinéaires(2; 21) (

47; 6)

(−13; 4) (−3; 36)

(1; 3) (89;238)

(32; 7) (−12;−56)

(−25;−

35) (4;−6)

(103; 25) (2; 15)

Soit𝐴 5,−2 ,𝐵 8,2 ,𝐶 −1,−10 .

1. Calculerlescoordonnéesdesvecteurs𝐴𝐶 𝑒𝑡 𝐶𝐵.2. LespointsA,B,Csont-ilsalignés?

Soit𝐴 −2,3 ,𝐵 2,1 ,𝐶 4,0 .

1. LespointsA,B,Csont-ilsalignés?

Commentmontrerquetroispointssont

alignés?

Niveaudecompétences

Commentmontrerquedeuxdroitessontparallèles?

Niveaudecompétences

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8HOUPERTN.

Soit𝐴 −4,−3 ,𝐵 8,1 ,𝐶 4,4 ,𝐷(−2,2).

1. Déterminerlescoordonnéesdesvecteurs𝐴𝐵,𝐴𝐶 𝑒𝑡 𝐶𝐷.2. LespointsA,B,Csont-ilsalignés?3. Démontreralorsquelesdroites 𝐴𝐵 𝑒𝑡 (𝐶𝐷)sontparallèles?

Soit𝑀 −2,−1 ,𝑁 6,4 , 𝑆 9,8 ,𝑇(−4,0).

1. Lesdroites 𝑀𝑁 𝑒𝑡 (𝑆𝑇)sont-ellesparallèles?

Leplanestmunid’unrepèreorthonormal(𝑂, 𝚤, 𝚥).Onconsidèrelespoints𝐴(−5 ; 1) ,𝐵(3 ; 6),𝐶(−3 ;−2) 𝑒𝑡 𝐷(𝑥; 3)où𝑥estunréel.

1. PlacerlespointsA,BetCdanslerepèreorthonormal(𝑂, 𝚤, 𝚥).Calculer,enfonctionde𝑥,lescoordonnéesdesvecteurs𝐴𝐵 𝑒𝑡 𝐶𝐷.

2. Endéduirelavaleurde𝑥pourquelesdroites(𝐴𝐵)et(𝐶𝐷)soientparallèles.Onpourrautiliserlanotiondecolinéaritédevecteurs.Compléterlafigureaveclavaleurde𝑥trouvée.

3. Enutilisantlacaractérisationvectorielledesparallélogrammes,montrerquelequadrilatèreABDCestunparallélogramme.

4. DéterminerlescoordonnéesducentreIduparallélogrammeABDC.5. Déterminerlafonctionaffinefdontlareprésentationgraphiqueestladroite(𝐴𝐵).

Problèmedesynthèse(1)

Leplanétantmunid’unrepèreorthonormal(𝑂; 𝚤, 𝚥),ondonne:A(−1; 4) ,𝐵(−4;−2) 𝑒𝑡 𝐶(1; 0).

1. CalculerlescoordonnéesdupointDtelqueABCDsoitunparallélogramme.2. CalculerlescoordonnéesdupointMintersectiondesdiagonalesduquadrilatèreABCD.3. Soit𝐸(6; 2).DémontrezqueB,CetEsontalignés.4. Soit𝐹(−7; 4).Démontrez(𝐵𝐹)estparallèleà(𝐴𝐶)etque (𝐴𝐹)estparallèleàl’axedes

abscisses.5. SoitGlepointdéfinipar3𝐺𝐸 + 4𝐺𝐹 = 0.MontrezqueG,EetFsontalignés.6. CalculezlescoordonnéesdupointG.7. MontrezqueGappartientàladroite(𝐴𝐵).

Problèmedesynthèse(2)

Leplanétantmunid’unrepèreorthonormal(O; 𝚤, 𝚥),ondonneA(−1; 6) ,𝐵(5; 9) ,𝐶(5;−6) 𝑒𝑡 𝐷(1; 2).

1. Faireunefigure.2. DémontrezqueletriangleABCestrectangle.3. Démontrezquelesvecteurs𝐶𝐷et𝐶𝐴sontcolinéairesenprécisantlavaleurducoefficient

decolinéarité𝑘telque𝐶𝐷 = 𝑘×𝐶𝐴.

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9HOUPERTN.

4. Laparallèleà(AB)passantparDcoupe(BC)enE.DéterminezlescoordonnéesdeE.5. FestleprojetéorthogonaldeAsurladroite(BC).DémontrezqueA,E,F,Dsontsituéssur

unmêmecercle.Précisezsoncentreetcalculezsonrayon.

Letriangleetladroited’EulerSoituntriangleABCdéfiniparlespointsA,BetCdecoordonnéesrespectives𝐴(−2 ; 1),𝐵(0 ; 4),𝐶(2 ; 2).

1. Construireletriangledanslerepèreci-contre.ConstruirelecentredegravitéGdutriangle.Complétezlesrelationsvectoriellesàl’aidedespropriétésducentredegravité:onnoteA’lemilieude 𝐵𝐶

𝐴𝐺 = …×𝐴𝐴′ 𝐴𝐺 = 2×… 𝐺𝐴 + 2×… = 0

2. ConstruirelecentreducerclecirconscritdutriangleABC.3. Construirel’orthocentredutriangleABC.4. Qu’endéduisez-vous?

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10HOUPERTN.

Englishcorner

Exercise1

Fromthegrid:

1. ExpressthetranslationthatmapsshadeFontoshadeGintermsofvectors𝐿𝑀and𝐿𝑈.2. ExpressthetranslationthatmapsshadeFontoshadeHintermsofvectors𝐿𝑀and𝐿𝑈.

Exercise2

Inavideogame,thescreenis100unitsby100units.Eachplayerhastoenteravectortogivethedirectiontheballwilltravel.TheballstartsatO(0;0).Maxentersthevector𝑢(10,20)andtheballmoves,makinganangle𝑎°with 𝑂𝐴 .

1. Whatisthevalueof°?2. ComputethecoordinatesofpointK

wheretheballhitside 𝐵𝐶 .3. Whentheballshitsside 𝐵𝐶 ,it

reboundssothatthenewpathisdefinedbyvector𝑣(20,−10).ComputethecoordinatesofpointLwheretheballhitside 𝐵𝐴 .

Exercise3

Let𝐴 −2,4 ,𝐵 −3,5 ,𝐷(4,6)be.FindthecoordinatesofpointCsuchthatABCDisaparallelogram.