E C A M 40, montée Saint-Barthélemy 69321 LYON CEDEX 05

VIALA Serge

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ESSAIS DE VIBRATIONS SOMMAIRE

MESURE DES COURBES DE REPONSE EN FREQUENCE D'UN SYSTEME MECANIQUE

I - BASES DE L'ANALYSE EN FREQUENCE

1 - Utilisation d'un analyseur de réponse en fréquence........................... page : 03 2 - Utilisation d'un analyseur F.F.T. .......................................................page : 03 II - CAPTEURS

1 - Généralités - Capteurs piézoélectriques et piézorésistants................ page : 06 2 - Exemples de capteurs de force et d'accélération.........................…...page : 08 3 - Limites d'utilisation en hautes fréquences.................................….... page : 11 III - CONDITIONNEURS

1 - Généralités - Rôle d'un conditionneur......................................…......page : 18 2 - Amplificateur de charge pour capteurs piézoélectriques.........….... page : 18 3 - Pont de Wheatstone pour capteurs piézorésistants ou à jauges......... page : 20 IV - EXCITATEURS

1 - Pot vibrant électrodynamique.....….....................................………….. page : 22 2 - Marteau de choc................................................................................. page : 22 V - SIGNAUX D'EXCITATION

1 - Rapport signal / bruit..............….....................................………….. page : 23 2 - Moyenne synchrone........................................................................... page : 24 3 - Linéarité du système.......................................................................... page : 24 VI - UTILISATION D'UN ANALYSEUR F.F.T.

1 - Durée d'observation................................................................…....... page : 25 2 - Fenêtres de pondération..............................................................…... page : 26

a - Utilisation d'un générateur interne........................................…… page : 26 b - Utilisation d'un marteau de choc..........….................................… page : 27 c - Utilisation d'un générateur externe........................................……page : 30

APPLICATION : Comparaison de courbes de réponse mesurées 32

3 - Fonction de transfert...................................................................…... page : 28

a - Autospectres et interspectres...............................................…...... page : 33 b - Fonction de cohérence...........................................................…....page : 34 c - Estimations de la fonction de transfert..................................….... page : 36 QUE RETENIR DES PARAGRAPHES PRECEDENTS ?…………..…… page : 37

AUTRES TYPES D'ESSAIS DE VIBRATIONS

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MESURE DES COURBES DE REPONSE EN FREQUENCE D'UN SYSTEME MECANIQUE

I - BASES DE L'ANALYSE EN FREQUENCE Les courbes de réponse d'un système sont extraites de la mesure de ses grandeurs d'entrée et de sortie en utilisant soit un analyseur de réponse en fréquence, soit un analyseur de Fourier. L'emploi de ces types d'appareils n'est pas réservé au domaine de la Mécanique. Cependant, étant donné que les capteurs qui vont être présentés sont essentiellement destinés aux études vibratoires, nous nous placerons d'emblée dans ce cadre limité. Le lecteur comprendra que ces mêmes appareils permettent d'accéder aux courbes de réponse de systèmes d'autres natures.

Avant de détailler les composants (capteurs, conditionneurs, excitateurs), nous allons donner une vision globale des chaînes de mesure. 1 - Utilisation d'un analyseur de réponse en fréquence Un analyseur de réponse en fréquence (aussi appelé transféromètre) est un automate programmé pour piloter une excitation sinusoïdale sur une plage de fréquence et relever point par point les courbes de réponse du système étudié :

Analyseur

Capteur de force

Capteur d’accélération

Pot vibrant

Système Conditionneurs

Signal d'entrée

Signal de sortie

Signal d'excitation sinusoïdal

Ce procédé de mesure est d'une grande précision, mais il présente deux inconvénients :

- d'une part, le temps nécessaire pour balayer une gamme de fréquence peut être long, surtout lorsqu'il s'agit d'effectuer des relevés en basses fréquences, et d'autant plus qu'il est nécessaire d'attendre à chaque changement de fréquence qu'un régime permanent soit atteint,

- d'autre part, le système risque de ne pas supporter une excitation sinusoïdale permanente de fréquence proche d'une fréquence de résonance.

Pour réduire la durée des mesures, on a souvent recours à une excitation de type sinus balayé. Le relevé des courbes de réponse s'effectue toujours point pas point, mais les mesures ne sont plus effectuées en régime établi : la fréquence d'excitation est continument variable selon une loi linéaire, exponentielle ou hyperbolique. Les maximums localisés sur la courbe de réponse en amplitude apparaissent alors écrasés et étirés dans le sens du balayage, et ce d'autant plus que la vitesse de balayage est élevée. Dans le cas d'application aux vibrations, il en résulte une erreur sur les fréquences et les amplitudes de résonance ainsi que sur les taux d'amortissement.

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Pour réduire le risque de dommage à la résonance, on effectue quelquefois un premier balayage à bas niveau afin de pouvoir ensuite, adapter au mieux l'amplitude d'excitation en fonction de la fréquence. On a aussi recours à d'autres types de signaux d'excitation, non sinusoïdaux, mais dans ce cas, il est nécessaire de traiter les signaux de mesure au moyen d'un analyseur F.F.T. 2 - Utilisation d'un analyseur F.F.T. Les réponses en fréquence sont des caractéristiques des systèmes linéaires et invariants dans le temps. Pour ces systèmes le principe de superposition est vérifié. Injecter simultanément un ensemble de composantes sinusoïdales est donc un moyen de réduire la durée des mesures.

Séparer les composantes d'une somme de signaux sinusoïdaux peut être fait au moyen de filtres passe-bande. Cette technique analogique a été utilisée par le passé. Mais elle a été supplantée par un traitement numérique des signaux. Celui-ci est effectué au moyen d'un algorithme F.F.T. (Fast Fourier Transform). La base mathématique du traitement est une décomposition en série de Fourier. Les coefficients de la série sont calculés numériquement à partir de signaux de mesure échantillonnés. Ce procédé d'analyse est très performant, mais il ne peut être judicieusement mis en œuvre sans un minimum de connaissances théoriques. La difficulté n'est pas tant dans le traitement numérique des signaux qui est transparent pour l'utilisateur que dans la compréhension des raisonnements effectués pour étendre à des signaux quelconques un traitement a priori réservé aux signaux périodiques. Nous allons présenter ici le principe des mesures dans un cas simple. Le cas traité ne soulève aucune question. Le but est de faire comprendre la base de la démarche. Nous développerons les difficultés d'application de cette démarche, en fonction de la nature du signal d'excitation, dans un autre paragraphe. Considérons en entrée d'un système, un signal de durée finie (une impulsion par exemple) et plaçons nous dans le cas où la réponse du système est de durée finie :

signal d'entrée

Système

signal de sortie

Dans ce cas, une fois que le système a retrouvé son état de repos, si l'on applique à nouveau le signal d'entrée, on obtient à nouveau, en réponse, le signal de sortie. Répéter un signal d'entrée à l'identique, à des instants régulièrement espacés d'une durée T, est donc un moyen d'obtenir des signaux d'entrée et de sortie périodiques, de période T :

e(t)

T T T

Système

s(t)

T T T

On sait que la décomposition en série de Fourier d'un signal périodique consiste à l'exprimer sous la forme d'une somme de fonctions sinusoïdales de fréquences multiples de l'inverse de sa

période. Les signaux répétés sont donc équivalents à des superpositions de signaux sinusoïdaux de fréquences n.∆ν, avec : ∆ν = 1 / T, dont les amplitudes et les phases peuvent être calculées.

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La comparaison des amplitudes et des phases des composantes des signaux d'entrée et de sortie permet alors d'extraire d'une seule mesure, un équivalent des courbes de réponse en fréquence qui seraient relevées avec un pas de balayage ∆ν = 1 / T :

∑∞+

=ψ−ν∆+=

1nneneoe )t..ncos(.SS)t(e

Système

∑∞+

=ψ−ν∆+=

1nnsnsos )t..ncos(.SS)t(s

∀ν = n.∆ν, ne

nsSS

).n(G =ν∆ et nens).n( ψ−ψ=ν∆ϕ .

Remarques :

- Par définition, une fonction périodique est entièrement déterminée par ses variations au cours d'une période. En conséquence, la mesure d'une impulsion et de la réponse à cette impulsion sont suffisantes pour obtenir les coefficients de la décomposition en série de Fourier d'une répétition périodique de ces signaux. En d'autres termes :

l'utilisation d'un analyseur F.F.T. n'impose pas que les signaux de mesure soient réellement périodiques.

- En pratique, on aura le choix entre plusieurs méthodes d'excitation. Selon les contraintes et le matériel disponible, on utilisera un marteau d'impact ou un pot vibrant électrodynamique. Ce dernier sera alimenté, soit par un générateur interne à l'analyseur, soit par un générateur indépendant. Dans le cas d'un générateur interne, le signal d'excitation sera périodique ; dans le cas d'un générateur externe, il sera aléatoire et présentera une densité spectrale de puissance constante (en moyenne) sur la gamme de fréquence analysée (ce signal est appelé bruit blanc) :

Analyseur

Capteur de force

Capteur d’accélération

Marteau d'impact

Système Conditionneurs

Pot vibrant

F.F.T.

Générateur de bruit blanc

Signal d'excitation

Les avantages et les inconvénients de ces méthodes seront exposés dans un paragraphe consacré aux signaux d'excitation. On reviendra à cette occasion sur l'utilisation d'un analyseur F.F.T. et l'on exposera en détail les conséquences pratiques de l'adaptation de ce procédé de mesure en fonction du type de signal. ___________________________________________________________________________

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II - CAPTEURS Remarque :

Le but des paragraphes suivants n'est pas de présenter de manière exhaustive l'ensemble des capteurs qui existent, ni même l'ensemble des phénomènes physiques qui sont mis en œuvre pour la réalisation de capteurs. Il est seulement de donner au lecteur un nombre suffisant de points de repère qui lui permettent d'aborder sereinement la lecture d'un ouvrage plus complet ou de dialoguer avec un fournisseur dans le cas où il aurait à acheter du matériel de mesure. 1 - Généralités - Capteurs piézoélectriques et piézorésistants ou à jauges Pour caractériser un mouvement vibratoire, on a le choix entre mesurer un déplacement, une vitesse ou une accélération. Ces trois paramètres sont liés par des relations de dérivation par rapport au temps. Dans le cas d'un mouvement sinusoïdal pur, on vérifie :

x = α.cos(ω.t - ϕ) ⇒ x' = - α.ω.sin(ω.t - ϕ) ⇒ x" = - α.ω2.cos(ω.t - ϕ).

Dans ce cas, l'amplitude de la vitesse est égale à celle du déplacement multipliée par la valeur de la pulsation du mouvement et l'amplitude de l'accélération est égale à celle du déplacement multipliée par le carré de cette pulsation. Il en résulte qu'une mesure d'accélération donnera plus

de poids relatif aux composantes de fréquences élevées alors qu'une mesure de déplacement accordera plus d'importance aux composantes de fréquences basses.

Pour cette dernière raison, et bien qu'il soit toujours possible d'intégrer électroniquement un signal d'accélération pour obtenir un signal de vitesse ou de déplacement, on préfèrera mesurer directement le déplacement lorsque la pulsation du mouvement sera basse. On profitera ainsi d'une meilleure sensibilité (citons comme exemple, la mesure des déplacements sur les paliers lisses des groupes turboalternateurs qui est destinée à surveiller l'état d'usure de ces machines). La fonction de transfert d'un système mécanique est généralement relevée sur une plage de fréquence étendue. Pour ce type d'application, on mesurera le plus souvent une accélération. Nous ne décrirons dans la suite que des capteurs d'accélération. Notons toutefois que la mesure de vitesse par vélocimètre laser à effet Doppler est très répandue, notamment dans le domaine de l'automobile, car elle permet de scruter une surface et d'obtenir rapidement une cartographie. Le choix d'un type de capteur doit prendre en compte plusieurs paramètres :

- ses limites d'utilisation qui sont liées à la tenue de ses composants ou au principe de la mesure : tenue en température, résistance aux chocs, plages d'utilisation en amplitude et en fréquence, - sa sensibilité : un capteur trop sensible peut saturer la chaîne de mesure, un capteur trop peu

sensible risque de ne pas permettre d'obtenir un signal qui se détache nettement du bruit de fond de l'électronique de mesure,

- ses sensibilités transverses : idéalement, un capteur d'accélération ne devrait mesurer que l'accélération dans une direction privilégié et ne pas être sensible aux accélérations dans les directions orthogonales. De même, un capteur d'effort ne devrait être sensible qu'à une seule composante de force et insensible aux autres forces et moments qui peuvent le solliciter. Mais en pratique, on ne parvient pas à concevoir de tels capteurs. Les sensibilités transverses indiquent les sensibilités d'un capteur à des grandeurs autres que celle à mesurer, exprimée en pourcentage de la sensibilité maximale. Ce sont des données importantes car leur non prise en compte risque de conduire à des erreurs, lors de l'interprétation des résultats des mesures.

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(Signalons qu'il est théoriquement possible de mesurer toutes les composantes combinées de forces, moments ou d'accélérations et de retrouver à partir des sensibilités des capteurs et de leurs sensibilités transverses, toutes les composantes individuelles réelles, ceci en inversant le système d'équations qui exprime les résultats des mesures en fonction des grandeurs à mesurer. Mais cette approche exige de mesurer des grandeurs secondaires qui ne présentent pas d'intérêt en elles-mêmes. Elle est couteuse et réservée aux applications qui le justifient ).

Citons enfin les paramètres de facilité d'utilisation, d'encombrement et plus important de masse (la masse du capteur ne doit pas affecter le comportement dynamique de la pièce en vibration), et enfin de durée de vie (dans le cas où le capteur comporte des parties mobiles susceptibles d'être usées par frottement). Pour la mesure des fonctions de transfert de systèmes mécaniques, les capteurs les plus utilisés sont les capteurs de force et d'accélération. On a alors le choix entre deux catégories de capteurs, les capteurs piézoélectriques et les capteurs piézorésistants ou à jauges. A la base, la différence entre ces deux catégories de capteurs est le principe de conversion d'une grandeur physique (une force) en une grandeur électrique (généralement une tension). Cette conversion nécessite un conditionneur. Les capteurs piézoélectriques sont associés à un amplificateur de charge. Ce conditionneur peut être déporté dans un boitier indépendant ou logé dans le corps du capteur. Dans ce dernier cas, on parle de capteur à électronique intégrée. Les capteurs piézorésistants ou à jauges sont associés à un pont de Wheatstone. Ce conditionneur est identique à celui utilisé pour mesurer des contraintes car le principe de mesure est celui de mesures extensométriques.

Notons que pour ces deux catégories de capteurs, la mesure d'une accélération est effectuée par l'intermédiaire d'un système mécanique assimilable à un système masse - ressort - amortisseur. Ce système est contenu dans le corps du capteur et l'on mesure la force transmise à sa masse lorsque le corps du capteur est soumis à l'accélération à mesurer. De par ce principe, un capteur d’accélération diffère peu d’un capteur de force (on retrouvera les mêmes familles de capteurs). Dans le cas des capteurs piézoélectriques, le principe de conversion d'une force en un signal électrique est l'effet piézoélectrique, c'est-à-dire l'apparition de charges positives et négatives en certains endroits de la surface d'un matériau lorsque celui-ci est déformé. Ce matériau peut être un cristal (quartz), naturellement piézoélectrique (mais ceux-ci ont une faible sensibilité), un matériau ferromagnétique (le plus utilisé) ou une céramique (pour des applications exigeant une forte sensibilité ou une tenue à hautes températures) rendue piézoélectrique artificiellement.

Dans le cas des capteurs piézorésistants ou à jauges, la conversion force/tension repose sur une variation de résistance électrique. Selon le type de capteur, celle-ci est due à la variation de la résistivité d'un matériau piézorésistant ou aux variations des dimensions d'une jauge déformée. Les matériaux piézorésistants permettent d'obtenir des variations de résistance beaucoup plus élevées que les jauges. C'est entre autres pour cette raison qu'ils sont utilisés pour la réalisation de capteurs d'accélération. Les jauges sont elles destinées à la réalisation de capteurs de force. Avant de décrire la structure interne de quelques capteurs et de revenir sur les deux types de conditionneurs, il est important d'insister sur une différence fondamentale :

Les capteurs piézoélectriques n’autorisent pas de mesures en très basses fréquences (< 0,7 Hz) et a fortiori en statique. Pour celles-ci on doit utiliser des capteurs piézorésistants ou à jauges.

(cette limite pratique est justifiée dans le paragraphe sur les conditionneurs).

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2 - Exemples de capteurs de force et d'accélération

Capteurs de force Les capteurs de force sont montés de telle façon que la force à mesurer soit transmise au travers du capteur. Les plus utilisés sont les capteurs à jauges pour la mesure d’efforts statiques et les capteurs piézoélectriques pour l’étude des résonances de structures. Capteurs à jauges

Les capteurs à jauges comportent un corps d’épreuve qui est sollicité par la force à mesurer. Les déformations créées par l’application de cette force sont traduites électriquement au moyen de jauges collées, solidaires de la surface du corps d’épreuve. Le principe de mesure est exposé dans la partie "conditionneurs". On trouvera plus d'informations sur le nombre et la disposition des jauges dans le document de cours : "Etat plan de contraintes et mesures extensométriques".

La figure ci-dessous représente la coupe d’un capteur de force travaillant en compression :

Capteurs piézoélectriques

La constitution d’un capteur de force piézoélectrique est montrée sur la figure ci-dessous :

L’élément actif est constitué par un conducteur pris en sandwich entre deux disques de quartz et relié à l’aiguille recevant le câble de connexion. La vis intérieure sert en usine à introduire une force de précontrainte des disques dont l' utilité est de permettre la mesure d’efforts de traction sans qu’il soit nécessaire de coller les disques.

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Capteurs d’accélération Les capteurs d’accélération sont collés ou vissés sur la structure dont on étudie le mouvement. Les plus utilisés sont les capteurs piézorésistants et les capteurs piézoélectriques. Capteurs piézorésistants On donne ci-dessous un exemple d'accéléromètre piezorésistant. A l'intérieur de l'accéléromètre se trouve une poutre encastrée dans le corps du capteur. Lorsque le capteur est soumis à une accélération de direction perpendiculaire à l'axe de la poutre, cette dernière fléchie sous l'effet des forces d'inertie. La mesure d'accélération équivaut dans ce cas à une mesure de contraintes :

Deux jauges semi-conductrices sont montées sur les fibres supérieure et inférieure de la poutre. La sensibilité du capteur est accrue par deux entailles pratiquées sur les cotés vers le centre de la section de montage des jauges. Seule la partie centrale de la barre subsiste à cet endroit. Elle doit entraîner l'extrémité en translation mais présenter une souplesse en flexion élevée afin que ce soit les jauges qui contrent en majeure part la rotation de cette extrémité. Les efforts qui se répercutent sur les jauges induisent pour l'une, un allongement et pour l'autre, une diminution de longueur. La résistance d'une jauge augmente. Celle de la jauge opposée diminue d'autant. L'intérêt d'utiliser deux jauges est indiqué dans la partie "Conditionneurs". Remarques :

On obtient une meilleure sensibilité lorsqu'on augmente la masse en porte à faux, ainsi que la souplesse du tronçon entaillé, mais ce faisant, on crée un capteur plus vulnérable aux chocs et dont l'usage doit être limité à des mesures en basses fréquences.

La résistance aux chocs est améliorée par l'introduction de butées d'extrémités qui limitent la flexion de la poutre en cas de surcharge. Nous reviendrons sur la limite d'utilisation en hautes fréquences (cette notion sera développée dans un paragraphe dédié) mais notons déjà que le risque est de mettre en résonance le système à un degré de liberté : masse en porte à faux, tronçon de faible section qui joue le rôle de ressort.

POUTRE

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Capteurs piézoélectriques

Les accéléromètres piézoélectriques contiennent une masse qui sollicite des éléments en quartz.

Une grande variété de capteurs existe suivant qu’ils utilisent la compression ou le cisaillement comme mode de sollicitation du quartz. Quelques exemples sont regroupés ci-dessous : Exemples d'accéléromètres piézoélectriques

Montage à compression

Montage en cisaillement en delta

Montage en cisaillement annulaire

Chaque type de constitution a des avantages propres (simplicité, robustesse, insensibilité aux perturbations extérieures...).

Ces particularités ne seront pas exposées ici. Les fabricants de matériels (Brüel & Kjaer, Pcb piézotronics, DJB instruments et autres) sont soucieux de promouvoir leurs produits. Pour ce faire, ils mettent à la disposition de leurs clients potentiels tous les documents techniques nécessaires. Le lecteur pourra se référer à de tels documents le moment venu.

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3 - Limites d’utilisation en hautes fréquences Comme nous l'avons signalé et comme nous le développerons dans la partie 'Conditionneurs", les mesures en statique, voire en très basses fréquences, ne peuvent être réalisées au moyen de capteurs piézoélectriques. Par ailleurs, tous les capteurs qu'ils soient de types piézoélectriques, piézorésistants ou à jauges, présentent une limite intrinsèque d'utilisation en hautes fréquences.

Cette limite est visible sur la courbe de réponse en fréquence du capteur qui indique le rapport des amplitudes de la grandeur mesurée et de la grandeur à mesurer dans le cas où cette dernière varie avec le temps, selon une loi sinusoïdale. L'idéal serait de pouvoir résumer cette courbe par un facteur d'étalonnage, indépendant de la fréquence. Mais en réalité, le gain ne peut être considéré constant que pour des fréquences inférieures à une fréquence limite qui dépend du capteur, de son mode de fixation et de la précision voulue.

Pour comprendre l'origine de cette limite, il faut effectuer une modélisation du comportement mécanique du capteur . A titre d'exemple, nous allons traiter le cas des capteurs piézoélectriques. Ces capteurs sont constitués d'un composant piézoélectrique qui sépare deux parties métalliques D'un point de vue mécanique, lorsqu'on compare les masses et les raideurs respectives de ces éléments, il apparaît légitime de modéliser les parties métalliques par des masses indéformables et le composant piézoélectrique par un ressort. La liaison entre le capteur et la structure étudiée doit également être prise en compte dans le modèle. Du fait qu'elle autorise de par sa souplesse, un déplacement du capteur par rapport à la structure, cette liaison est assimilable à un ressort.

Dans le cas par exemple de la mesure classique de fonction de transfert représentée ci-dessous, cette modélisation mécanique des capteurs et de leur système de fixation permet de différencier : - la force F transmise au composant piézoélectrique, de la force R transmise à la structure, - l'accélération U" de la structure et l'accélération x" de la masse sismique de l'accéléromètre.

Excitateur Structure

Capteur de force Accéléromètre

F

R U

m.x"

x m

Nous allons traiter séparément le cas des capteurs de force et celui des capteurs d'accélération.

.

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Capteur de force Cas où l'on mesure une force d'excitation exercée sur une structure

Soit F(t) la force exercée au travers du composant piézoélectrique, R(t) la force transmise à la structure, mb la masse de la partie métallique du capteur soumise d'un coté à la force F(t) et de l'autre à une force de réaction - R(t), égale et opposée à la force transmise, et xb(t) la loi du mouvement de cette masse, supposée être de la forme : α.cos(ω.t). Le principe fondamental de la dynamique permet d'écrire : mb.xb" = F(t) - R(t). On en extrait la relation sur les amplitudes :

R..m

1RF 2

b αω−= .

mb

F

R

kf

Excitateur

Structure

xb

ma

kp

Si la fixation du capteur peut être considérée de raideur infinie, alors la masse mb est solidaire de la structure et son accélération xb" est égale à l'accélération de la structure au point de mesure de l'effort. Dans ce cas, la différence entre les forces R(t) et F(t) peut être interprétée en disant que la force mesurée F(t) représente la force exercée sur la structure à laquelle on a ajouté une masse mb au point de mesure (ce faisant on perturbe l'objet de la mesure, mais c'est inévitable). L'hypothèse d'une raideur infinie n'est acceptable que jusqu'à une certaine limite en fréquence au delà de laquelle le mouvement vibratoire de la masse mb diffère de celui du point de fixation du capteur et résulte d'un couplage dynamique entre le comportement vibratoire de la structure et celui d'un système à un degré de liberté constitué par la masse m et sa fixation de raideur kf.

Les constructeurs testent leurs capteurs en prenant pour structure, un bloc rigide maintenu quasi immobile par son inertie propre, de sorte que le point de fixation peut être considéré fixe. Ils caractérisent ainsi leurs capteurs indépendamment de la structure sur laquelle ils seront montés. Dans ce cas, on sait que plus la fréquence d'excitation est proche de la fréquence de résonance du système formé par la masse mb et sa fixation de raideur kf, plus l'amplification apportée par la réponse dynamique de ce système est élevée et moins il faut d'effort exercé sur la masse pour obtenir un mouvement d'amplitude donnée. Le capteur perçoit alors moins d'effort que l'effort réellement transmis à la structure, de sorte que son gain tend vers zéro. On retrouve ce résultat en écrivant : Lorsque la structure est en mouvement, l'énergie communiquée par l'excitateur pour compenser les pertes par amortissement est représentée par le travail de la force R(t) exercée sur la structure. Mais si les déformations de la fixation du capteur ne sont pas négligeables, cette énergie peut être fournie au niveau du composant piézoélectrique par un effort plus faible, exercé sur une course plus grande. Le risque d'erreur de mesure existe.

Dans le cas général, la fréquence pour laquelle le gain du capteur tendra vers zéro est différente de celle mesurée dans les conditions de test. L'expression de la force exercée sur la structure et par réaction sur la masse mb du capteur est en effet : R = kf.(xmasse - xstructure), de sorte que l'on ne peut exprimer le mouvement de la masse m indépendamment du mouvement de la structure.

R = kf.xb ⇒ 2

f

2b n1

.k..m

1RF

−=α

αω−= , avec :

on

ωω

= et b

fo m

k=ω .

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Notons que la force F transmise au travers du composant piézoélectrique peut être très différente de la force réellement exercée par l'excitateur du fait de l'accélération de la masse ma du capteur. Dans le cas par exemple, où la masse ma et le composant piézoélectrique de raideur kp forment un système dont la fréquence de résonance est très inférieure à celle du système constitué par la masse ma et sa fixation de raideur kf, et où le point de fixation du capteur sur la structure est quasi immobile, la masse mb peut elle aussi être considérée quasi immobile lorsque le système formé par la masse ma et la composant piézoélectrique est en résonance. La force exercée par l'excitateur est alors amplifiée par la réponse de ce système à un degré de liberté, de sorte que l'effort transmis à la masse mb augmente. Toutefois, tant que la structure reste quasi immobile, l'équation du mouvement de la masse mb est inchangée. La force F(t) augmente donc, mais la relation entre les forces F(t) et R(t) est conservée. Le gain du capteur n'est donc pas modifié. On retiendra que dans le cas où l'on mesure une force transmise à une structure, la réponse en fréquence du capteur ne dépend pas de la masse ma du capteur ou de la raideur kp de l'élément piézoélectrique. Elle ne dépend que de la masse mb du capteur, de la raideur kf de sa fixation et de la réponse en fréquence de la structure. Cette derniè re intervient du fait que l'amplitude du mouvement du point de fixation du capteur sur la structure varie en fonction de la fréquence. En pratique, une étude du mouvement ne sera cependant pas un préalable au choix d'un capteur.

Concrètement, afin de pouvoir considérer que le gain d'un capteur de force est indépendant de la fréquence d'excitation, sans avoir à prendre en compte la structure instrumentée, on adoptera une limite commune d'utilisation, volontairement très basse, prise très inférieure à la fréquence de résonance mesurée dans le cas où le mouvement de la structure est d'amplitude négligeable. On supposera alors que la masse mb du capteur et sa fixation forment un ensemble indéformable. Cas où l'on mesure une force de réaction exercée par une structure sur son support Ce cas est similaire au précédent en ce sens que la différence entre la force R(t) exercée sur la structure et la force F(t) exercée sur l'élément piézoélectrique est fonction de l'accélération d'une masse, mais il en

diffère du fait que l'effort à mesurer est transmis de la structure au capteur et non du capteur à la structure. On obtient dans ce cas : ma.xa" = R(t) - F(t), alors que dans le cas précédent on avait : mb.xb" = F(t) - R(t). On en extrait :

R..m

1RF 2

a αω+= .

F

R

Support

Structure

xa

mb

kf

ma

kp

Cette relation indique qu'une augmentation de l'amplitude du mouvement de la masse ma sous l'effet de la force R(t) se traduira par une augmentation de la force F(t) perçue par le capteur. Le gain du capteur deviendra donc plus élevé alors que dans le cas précédent il tendait vers zéro.

Les constructeurs indiquent une fréquence de résonance appelée fréquence naturelle du capteur qui est celle du système à un degré de liberté formé par la masse ma du capteur et le composant piézoélectrique de raideur kp. Cependant, si la raideur de la fixation du capteur sur le support ou la raideur du support sont beaucoup plus faibles que la raideur du composant piézoélectrique, une résonance risque d'apparaître à une fréquence plus basse, correspondant à la résonance d'un système constitué par la masse totale du capteur montée sur sa fixation ou son support souple. Il faudra donc limiter l'utilisation du capteur à des fréquences très inférieures à celle indiquée.

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On retiendra que dans le cas où l'on mesure une force de réaction exercée par une structure sur son support, la réponse en fréquence du capteur ne dépend pas de la structure mais dépend des masses ma et mb, de la raideur kp du composant piézoélectrique, des raideurs des fixations du capteur et de la réponse en fréquence du support. C'est-à-dire de tous les paramètres qui conditionnent les mouvements des masses ma et mb du capteur lorsqu'on se donne la force R(t).

L'utilisation d'un capteur de force dont la fréquence propre est bien plus élevée que la fréquence maximale de la plage de mesure permettra de passer de la force F mesurée, à la force R exercée sur le capteur, sans avoir à tenir compte des variations du gain F/R en fonction de la fréquence.

Toutefois, même si l'effort obtenu est bien celui exercé sur la structure, cela ne sera pas suffisant pour garantir que le résultat est bien celui recherché. Toute mesure perturbe l'objet de la mesure. Dans le cas de la mesure d'un effort réaction, le risque est que l'introduction du capteur entre la structure et son support modifie leur interaction et que l'effort mesuré en présence du capteur ne soit pas celui existant en l'absence du capteur.

Comme on l'a exposé précédemment, un capteur de force peut être représenté par un système masses-ressorts formé des masses ma et mb et de ressorts de raideurs kp et kf. Dans le cas où la base de ce système est fixe, celui-ci se comporte comme un ressort tant que les forces liées aux accélérations des masses ma et mb sont faibles devant les forces transmises par les trois ressorts.

Si la raideur équivalente à ces ressorts est grande en comparaison de la raideur du support, la raideur totale du support et du capteur disposés en série sera peu différente de celle du support. A un déplacement donné de la structure correspondra alors une même force de réaction que le capteur soit ou non interposé. Dans ce cas, le déplacement de la base du capteur sera plus grand que les déplacements relatifs des masses ma et mb, de sorte que le capteur pourra être assimilé à une masse indéformable attachée à la structure. Par contre, si la mise place du capteur entre la structure et son support introduit une plus grande liberté de mouvement pour la structure, ou à l'inverse, si pour des raisons pratiques on doit introduire un capteur de force relativement rigide en lieu et place d'une liaison souple, il est alors évident que cela modifiera les interactions entre la structure et son support, et par conséquent le comportement vibratoire de la structure. En pratique, il faudra donc choisir un capteur de force en prenant en considération sa fréquence de résonance mais aussi sa raideur (attention : ces deux notions ne doivent pas être confondues ; s'il est vrai qu'une raideur plus forte correspondra à une fréquence de résonance plus élevée, la même fréquence de résonance pourra être obtenue avec une raideur plus faible si les masses sismiques du capteur sont elles aussi plus faibles).

Remarque :

Il n'est pas toujours possible d'intercaler un capteur de force entre la structure et son support. Dans le cas par exemple où la structure est un moteur d'automobile et le support est la caisse du véhicule, les contraintes d'encombrement sont trop sévères. Une solution consiste à ramener la mesure d'effort à une mesure de déplacements. Pour cela, les plots élastiques qui relient le moteur et la caisse sont tout d'abord caractérisés par une mesure de raideur dynamique. Celle-ci consiste à appliquer une force sur le plot au moyen d'un excitateur et à mesurer les accélérations en ses extrémités. On obtient ainsi la variation de la raideur du plot en fonction de la fréquence. Lorsque le moteur est en fonctionnement, on mesure les accélérations sur les extrémités du plot liées au moteur et à la caisse du véhicule. On peut alors calculer l'effort transmis entre les deux.

15

Capteur d'accélération

La limite d'utilisation en fréquence d'un capteur d'accélération est plus simple à comprendre que celle d'un capteur de force, du fait que ce type de capteur n'est attaché que par une extrémité.

Dans le cas où la raideur de la fixation du capteur

sur la structure peut être considérée infinie, il suffit de se référer à l'étude d'un système masse - ressort excité par un déplacement imposé à sa base.

Soit u(t) le déplacement du point de mesure sur la structure (considéré imposé à la masse mb) et x(t) le déplacement de la masse sismique ma du capteur .

kp x(t)

u(t)

ma

kf

mb

Lorsque le mouvement u(t) est de la forme αo.cos(ω.t), le mouvement x(t) est sinusoïdal et l'on démontre que son amplitude α est donnée par l'expression :

222

2

o )n1(

1

η+−

η+=

αα , avec :

on

ωω

= , a

po m

k=ω et η un coefficient d'amortissement.

Dans le cas des matériaux piézoélectriques, l'amortissement structural est négligeable.

Dans ce cas : η ≈ 0 et 2o n1

1

−≈

αα

Le graphe ci-contre traduit l'évolution de ce rapport en fonction de la pulsation réduite n

1/5 2/5 3/5 4/5 1 n

3 2 1 0

α /αo

Les accélérations étant en proportion des amplitudes des mouvements, ce rapport est aussi celui des accélérations mesurée et à mesurer. La courbe ci-dessus est donc aussi celle de la réponse en fréquence du capteur. La conclusion, c'est que l'on ne pourra caractériser un capteur par un gain constant que pour des valeurs de pulsations bien inférieures à une pulsation de résonance. Remarque :

La pulsation de résonance d'un accéléromètre peut être très inférieure à celle déterminée à partir des valeurs de la masse sismique du capteur et de la raideur du composant piézoélectrique. La fixation du capteur en est la cause. Au pire, si cette fixation présente une raideur très faible devant celle du composant piézoélectrique, on comprend que la masse totale du capteur et son attache sur la structure risquent de former un système masse - ressort à un degré de liberté. Dans ce cas, la pulsation de résonance sera )mm(/k baf + , donc très inférieure à ap m/k .

Le montage de plus forte raideur consiste à visser l’accéléromètre à l’aide d’un goujon en acier, sur une surface plane et lisse, mais on est parfois amené à utiliser, au gré des circonstances, d’autres techniques : aimant, adhésif double face, colle à séchage rapide ou fine couche de cire. En ne considérant que les ordres de grandeur, on retiendra qu'une fixation est adaptée jusqu'à 100 Hz dans le cas d'un adhésif double face, 1 KHz dans le cas d'un collage à l'Araldite, 10 KHz dans le cas où l'on utilise un goujon rapporté et 100 KHz si le goujon est solidaire du capteur. ___________________________________________________________________________

:

16

COMPLEMENT

La compréhension de la limite d'utilisation en fréquence d'un capteur de force piézoélectrique nécessite d'appréhender le comportement vibratoire des systèmes à un et à n degrés de liberté. Afin d'illustrer plus concrètement cette limite, on décrit ci-dessous le comportement vibratoire d'un système à trois degrés de liberté, utilisé pour représenter un système à un degré de liberté sur la masse duquel est fixé un capteur de force modélisé par deux masses et deux ressorts :

La masse M3 et le ressort de raideur K3 constituent le système à un degré de liberté dont on veut mesurer la réponse en fréquence. Les masses M1, M2 et le ressort de raideur K1 représentent le capteur de force dont l'attache sur le système étudié est de raideur K2.

F1(t) = F1.cos(ω.t) est la force exercée sur l'ensemble par un excitateur.

Les déplacements des masses M1, M2, M3 sont notés respectivement U1, U2 et U3. On note par ailleurs : F = K1.(U1 - U2) l'effort transmis par le composant piézoélectrique et R = K2.(U2 - U3) l'effort transmis à la structure.

Les calculs sont effectués en prenant les valeurs : M1 = 0.01 Kg , M2 = 0.01 Kg , M3 = 0.1 Kg , K1 = 200000 N/m, K2 = 50000 N/m, K3 = 5000 N/m On détermine les courbes de réponse ci-dessous :

U2

K3

M3

U1

F1

K1

M1

M2

K2

U3

U1/F1

U2/F1

U3/F1 U3/F

U3/R

F/F1

F/R 1

On observe un premier mode pour une pulsation ωr sensiblement égale à K3/M3. Au voisinage de cette pulsation, les mouvements des masses M1 et M2 sont identiques à celui de la masse M3. L'effet du capteur se réduit alors à une masse ajoutée. La fonction de transfert mesurée U3/F apparaît en conséquence décalée par rapport à la fonction de transfert exacte donnée par U3/R. Pour des pulsations supérieures à ωr, l'amplitude du mouvement de la masse M3 devrait décroître en fonction du carré de la pulsation, du fait de son inertie. Cependant pour une pulsation voisine de K2/(M1+M2), on observe un second mode de vibration. D'après les amplitudes calculées, on peut alors considérer que la masse du capteur et la raideur de sa fixation forment un système en résonance qui amplifie l'effort transmis à la masse M3, ce qui a pour conséquence d'accroître l'amplitude de son mouvement. Notons que cette résonance n'est pas perceptible sur la courbe de réponse mesurée, du fait que l'effort F mesuré par le capteur est l'effort R réellement transmis à la structure, et non l'effort F1 exercé par l'excitateur. Par contre, on observe sur cette courbe un second pic de résonance pour une pulsation de l'ordre de K2/M2 alors qu'il n'y a pas pour cette pulsation, d'amplification des mouvements des masses. C'est la réponse du capteur qui est en cause : du fait que le gain F/R tend vers zéro, l'effort transmis à la masse M3 est sous estimé.

17

Rappel : un mode propre est caractérisé par des mouvements en phase ou en opposition de phase et de même pulsation pour toutes les masses. La pulsation et les amplitudes des mouvements des masses sont sensiblement liées par la relation de conservation de l'énergie totale du système. Dans le cas du système à trois degrés de liberté précédent, celle-ci s'écrit :

233

2322

2211

23

23

22

22

21

21 U.K.

21

)UU.(K.21

)UU.(K.21

U..M.21

U..M.21

U..M.21

+−+−=ω+ω+ω .

Les expressions des pulsations propres données dans le cas d'application de ce système à la simulation d'une mesure par capteur de force ne constituent que des expressions approchées qui sont justifiées en comparant les ordres de grandeur des déplacements calculés dans ce cas. Selon le mode, les valeurs numériques des amplitudes U1, U2, U3 permettent, soit d'égaliser des amplitudes, soit de négliger un des termes de la somme, afin de réduire le nombre de ces termes.

18

III - CONDITIONNEURS 1 - Généralités - Rôle d'un conditionneur Le rôle d’un conditionneur est de réaliser l’interface entre le capteur et l’instrument de mesure.

Dans le cas des capteurs piézoélectriques, le signal électrique est directement généré par le composant piézoélectrique qui produit des charges lorsqu'il est soumis à une action mécanique. Cependant le signal charge obtenu doit être amplifié pour pouvoir être transmis sur de grandes distances sans être perturbé par des sources de bruits parasites. C'est le rôle du conditionneur. Celui-ci utilise sa propre source d'alimentation pour générer un signal électrique en fonction des charges délivrées par le capteur. En outre, il peut comporter des fonctions annexes de traitement du signal : filtrage, détection de seuils, intégration simple ou double pour générer un signal de vitesse ou de déplacement à partir d'un signal d'accélération. Il est parfois placé dans le corps du capteur qui doit alors être alimenté par une source de courant (capteur à électronique intégrée).

Dans le cas des capteurs piézorésistants ou à jauges métalliques, le conditionneur est une source de tension stabilisée qui permet de mettre en évidence les variations des résistances électriques. Nous allons décrire plus en détails la constitution interne de ces conditionneurs.

2 - Amplificateur de charge pour capteurs piézoélectriques Un capteur piézoélectrique génère de lui même des charges électriques proportionnelles à une action mécanique. Ces charges stockées dans un condensateur créent une différence de potentiel Le problème posé par la mesure est double :

- d’une part, les deux fils conducteurs qui passent dans le câble de liaison entre le capteur et l'appareil de mesure forment une capacité qui peut absorber une partie des charges générées par le composant piézoélectrique (en l'absence d'amplificateur de charges, cette capacité parasite affecterait la relation entre la quantité de charges électriques et la différence de potentiel, de sorte que l'étalonnage du capteur devrait être spécifié pour une longueur et un type de câble), - d’autre part, lorsqu’on relie le câble à un appareil de mesure, des charges électriques doivent circuler au travers de la chaine de mesure pour que l'on puisse en déduire une tension. Si les charges qui ont circulé ne sont pas remplacées par d'autres, la différence de potentiel mesurée diminue (les charges produites par l'application d'un force qui est ensuite maintenue constante disparaissent ainsi jusqu'à ce qu'il n'y ait plus de différence de potentiel, ce qui interdit toute mesure d'une grandeur statique, une autre fonction du conditionneur est alors de présenter une forte impédance d'entrée afin d'étendre au maximum la plage de mesure en basses fréquences).

.

19

Le problème de la limite basse d'utilisation en fréquence d'un capteur piézoélectrique est illustré ci-dessous par l'étude de la loi de décharge d’un condensateur au travers d’une résistance :

C V

i

R

Cette loi est déterminée par l’égalité : VC

i dt R i= =∫1

. . . .

Elle doit donc satisfaire à la condition : dVV R C

dt=1.

. .

La solution de cette équation est : t.

C.R1

o e.V)t(V−

=

Le produit R.C est une constante de temps. D'après l'expression de V(t), sur une durée t = R.C, la valeur de la tension aux bornes du condensateur chute d’environ 60 % (Vo.e-1 ≈ 0,37.Vo). En raison de ce phénomène, la tension V(t) ne suivra correctement les variations de la quantité de charges générées par le composant piézoélectrique que lorsque ces variations s'effectueront, tantôt en positif, tantôt en négatif, et sur une échelle de temps telle que les charges soient créées et annulées au sein du capteur plus vite qu'elles ne circulent au travers de la chaîne de mesure. Autrement dit, seules les variations sinusoïdales de périodes bien plus petites que la constante de temps de la chaîne de mesure pourront être correctement observées. Lorsqu'on utilisera un amplificateur de charge, la limite basse d'utilisation en fréquence sera de l'ordre du millihertz. Le schéma électrique d'un circuit de mesure et le principe de fonctionnement d'un amplificateur de charge sont les suivants :

Amplificateur de charge

Capteur Câble

C1 C2

C3

Vsortie

Ve

Ve

Un amplificateur opérationnel à fort gain puise sur son alimentation électrique pour maintenir sur son entrée (-) une tension égale à celle existant sur son entrée (+). Ce faisant, il maintient une différence de potentiel nulle aux bornes des condensateurs de capacités C1 et C2 représentant respectivement les pouvoirs capacitifs du composant piézoélectrique et du câble de connexion. En conséquence, il ne peut y avoir accumulation de charges électriques dans ces condensateurs.

Un condensateur de capacité C3, interne au conditionneur , permet d'accumuler instantanément les charges qui ne peuvent l'être ailleurs. La différence de potentiel qui en résulte à ses bornes modifie la valeur du potentiel sur l'entrée (-) de l'ampli op. Celui-ci réagit en produisant une

variation contraire de la tension Vsortie, de façon à conserver la valeur de tension sur son entrée. Ainsi, la capacité parasite du câble de liaison n'intervient pas et les variations de la tension de

sortie de l'amplificateur sont proportionnelles à la quantité des charges générées par le capteur.

20

3 - Pont de Wheatstone pour capteurs piézorésistants ou à jauges métalliques Considérons par exemple un capteur à jauges. Ce type de capteur contient au minimum deux jauges. Ces jauges sont disposées sur un corps d’épreuve, de telle façon que lorsque le capteur est sollicité, leurs résistances électriques varient, l'une augmentant, l'autre diminuant d'autant. Pour convertir ces variations de résistance en un signal électrique, les deux jauges sont câblées en série, une tension d'alimentation est appliquée aux bornes de ce circuit et on relève la tension en son point milieu (voir ci-dessous) :

Valim

i

R + ∆R

R - ∆R Vsortie

L'expression de la tension de sortie est alors :

Vsortie R R i= −( ).∆

avec :

iVa

R R R RVa

R=

+ + −=

lim( ) ( )

lim.∆ ∆ 2

soit :

VsortieVa Va R

R= −

lim lim.

2 2∆

Le premier terme de cette expression est indépendant de la grandeur à mesurer. Il n'est pas utile de le conserver. Il est même préférable de l'éliminer afin de mieux observer les variations de la tension de sortie. En pratique, on s'affranchie de cette composante continue inutile en constituant un second diviseur potentiométrique. Celui-ci est formé par deux résistances de valeurs figées qui sont alimentées sous la même tension que les jauges. La mesure est effectuée entre les points milieux des deux branches (voir ci-dessous) :

VBVA

R - ∆R

R + ∆R

R

R

ValimVsortie

L’expression de la tension de sortie devient :

Vsortie V VA B= − avec :

V R RVa

RA = −( ).lim

.∆

2

V R.Va

RB =lim

.2

soit :

VsortieVa R

R= −

lim.

2∆

Les quatre résistances ainsi câblées forment ce que l’on appelle un pont de Wheatstone .

21

Remarques :

- Les variations de résistance ∆R, induites par la grandeur mesurée par le capteur, peuvent être du même ordre de grandeur que les dispersions de fabrication sur les valeurs des résistances. L'avantage du pont de Wheatstone est qu'il suffit de disposer d'une résistance réglable sur l'une de ses branches pour pouvoir compenser un déséquilibre initial de tension. Ce circuit électrique offre donc une possibilité de réglage du zéro.

- Si on n’utilisait qu’une seule jauge et trois résistances de valeurs figées, la tension de sortie

du pont serait donnée par l’expression :

Vsortie R RVa

R R RR

VaR R

= −+ −

−+

( ).lim

( ).

lim∆

∆= −

−

−( ).lim

. ..

limR R

Va

RRR

Va∆

∆2 1

22

.

Dans le cas où ∆R << R, cette expression peut être simplifiée grâce au développement limité : (1 - ε)-1 ≈ ( 1 + ε) à condition que ε << 1. On obtient dans ce cas :

VsortieR R

RRR

VaRR

RR

RR

Va≈−

+

−

= − + −

( ).

..

. lim.

. . . lim∆ ∆ ∆ ∆ ∆

21

212 2

14

14

2.

Si on néglige ensuite le terme d'ordre deux devant celui d'ordre un, il reste finalement :

VsortieVa R

R≈ −

lim.

4∆

Lorsqu'on compare cette expression à celle obtenue dans le cas de l'utilisation de deux jauges, il apparaît que la sensibilité de la chaîne de mesure serait donc divisée par deux.

- L’utilisation de deux jauges n’a pas seulement pour but d'améliorer la sensibilité de la mesure.

Elle permet également de limiter les conséquences des variations de résistance des jauges avec la température. Pour comprendre comment, il faut remarquer que lorsque les résistances qui constituent une des branches d'un pont de Wheatstone ont des valeurs égales, la tension du point milieu de cette branche est toujours égale à la moitié de la tension appliquée à ses bornes. Il en résulte que la tension de sortie d'un pont de Wheatstone n’est sensible qu’à des variations de résistance qui déséquilibrent ses branches.

En conséquence, si l’on prend soin d’apparier les jauges d'un capteur, de sorte qu'une variation de la température ambiante entraînent des variations de leurs résistances électriques égales, on obtiendra un signal de mesure qui ne sera pas affecté par des changements de température.

- Pour information : une étude complète du fonctionnement d'un pont de Wheatstone et des

exemples plus complexes, de câblages de jauges destinés à la réalisation de capteurs de force, sont donnés dans le document intitulé : "Etat plan de contraintes et mesures extensométriques".

___________________________________________________________________________

22

IV - EXCITATEURS 1 - Pot vibrant électrodynamique La vue en coupe ci-dessous expose la constitution interne d'un pot vibrant électrodynamique :

Une force électromagnétique est générée au moyen d’une bobine conductrice placée dans le champ magnétique d’un aimant permanent et parcourue par un courant électrique. Les spires de cette bobine sont alors soumises à une force dirigée selon l’axe du bobinage et d'intensité proportionnelle à celle du courant.

Cette force est transmise au système étudié par un équipage mobile solidaire de la bobine et mesurée par un capteur de force, placé à l'extrémité d'une tige de poussée.

Les avantages d'un pot vibrant sont qu'il autorise toute forme de signal d'excitation, (impulsion, excitation périodique ou non) et qu'il offre un bon contrôle de l'amplitude des forces exercées. Son inconvénient (en comparaison du marteau d'impact décrit ci-dessous) est qu’il nécessite un support afin d'être placé à proximité d'un point d'excitation et dans une direction déterminée.

Remarques :

- Pour générer des forces très importantes, on a parfois recours à des excitateurs hydrauliques.

- Le pot vibrant génère une force sur l'équipage mobile et une force de réaction égale et opposée sur le corps de l'excitateur. Seule la force exercée sur l'équipage mobile et mesurée par le capteur doit être transmise au système étudié. Afin d'éviter que l'effort de réaction soit lui aussi transmis, une solution consiste à suspendre le pot vibrant à des fils de grandes longueurs :

De cette façon, l'effort de réaction exercé sur le corps du pot vibrant est compensée par une force d'inertie et non pas transmis à son support. Il faut pour cela que la masse de l'excitateur et la raideur de sa fixation constitue un système vibrant dont les fréquences de résonance soient très basses devant les fréquences auxquelles on effectue les mesures.

2 - Marteau de choc Il s’agit d’un marteau dont l’extrémité est munie d’un capteur de force.

Les avantages et inconvénients de ce mode d'excitation sont à l'inverse de ceux énoncés dans le cas d'une excitation par pot vibrant. Changer le point d’application ou la direction de l’effort est immédiat, mais en contrepartie, on ne peut générer qu'un signal de type impulsion et la forme de ce signal (amplitude, durée, absence de rebond) est fonction de la dextérité du manipulateur. Signalons qu'en pratique on a la possibilité d'utiliser des embouts filetés de différentes duretés. Un embout plastique s'écrase et prolonge la durée du contact, un embout métallique donne un choc plus bref. Ce paramètre est important car il conditionne l'étendue de la gamme d'analyse et le niveau d'excitation. Au mieux, pour un choc très bref, la décomposition en fréquence du signal ne fera pas apparaître de composantes d'excitation de fréquences supérieures à 5000 Hz.

23

V - SIGNAUX D'EXCITATION 1 - Rapport signal / bruit Lorsqu'on doit choisir entre utiliser un pot vibrant ou un marteau, il ne suffit pas de considérer le coté commode de la chose : bien qu'en principe une impulsion puisse conduire aux mêmes résultats qu'une excitation périodique quelconque, les signaux parasites inévitables en pratique, affecteront plus fortement les résultats des mesures dans le cas où l'on utilise un marteau de choc

Pour justifier cette différence, considérons un signal somme d'un signal aléatoire permanent et d'une impulsion de courte durée. Dans ce cas, même si dans le domaine temporel l'impulsion se détache notablement du bruit de fond, cela ne signifie pas qu'il en est de même dans le domaine des fréquences. En effet, les amplitudes de chacun des termes d'une série de Fourier sont déterminées par une intégration sur la période du signal. Il en résulte qu'un signal temporel de faible niveau, mais permanent, peut se traduire par une amplitude spectrale plus élevée que celle d'un signal transitoire de plus forte amplitude temporelle, si ce dernier est de courte durée. Il n'est pas immédiat de jongler avec les représentations temporelle et fréquentielle d'un signal. Nous nous contenterons ici d'un calcul simple qui permet cependant de démontrer l'essentiel.

Considérons le signal périodique représenté ci-contre, par la répétition d'une impulsion :

Notons que ce signal est pair, mais que cela ne nuit en rien à la généralité des conclusions L'intérêt d'avoir un signal pair est un calcul plus rapide des amplitudes des harmoniques. Celles-ci sont alors données par l'expression

( )∫∆+

∆−ν∆π=

2t

2tn dt.t..n..2cos.a.T2

S

⇒

ν∆∆π

ν∆∆π∆ν∆=

.n.t.).n.t.(sin

).t.a.(.2Sn .

T T

a

∆t t

0 1 / ∆t 2 / ∆t ν

Sn

Deux paramètres importants ressortent de l'examen du spectre des amplitudes ainsi calculées. En absolu, toutes les amplitudes spectrales sont proportionnelles à la surface a.∆t de l'impulsion. En relatif, le spectre des amplitudes décroît jusqu'à une valeur nulle pour une fréquence d'autant plus faible que la durée ∆t de l'impulsion est grande. L'amplitude calculée est alors celle du bruit. Pour que les amplitudes spectrales du signal utile se détachent de celles des signaux parasites, il faut par conséquent que l'impulsion présente une surface a.∆t élevée. Cette surface pourra être

accrue en jouant soit sur l' intensité du choc, soit sur la durée du contact marteau / structure. Cependant, plus longue sera la durée de l'impulsion, plus basse sera la fréquence pour laquelle le rapport signal/bruit tend vers zéro (cette solution ne sera donc envisageable que dans le cas de mesures limitées à de basses fréquences). Par ailleurs, on ne pourra accroître l'amplitude de la force exercée sur la structure sans risquer de mettre en évidence un comportement non linéaire.

En conclusion : L'utilisation d'un marteau de choc ne permettra pas d'augmenter à volonté le rapport signal/bruit, et dans tous les cas on n'obtiendra pas de résultats précis, voire exploitables, au delà d'une fréquence déterminée par l'inverse de la durée de la plus brève impulsion réalisable

.

.

:

.

24

2 - Moyenne synchrone Les signaux parasites sont le plus souvent aléatoires et non corrélés avec les signaux de mesure. C'est pourquoi, leur influence est réduite lorsqu'on effectue des moyennes sur plusieurs mesures. Ces moyennes portent généralement sur les résultats calculés dans le domaine des fréquences (voir les paragraphes : autospectres et interspectres, fonction de cohérence). Mais dans le cas où l'on utilise un générateur intégré, on peut aussi moyenner directement les signaux temporels.

En effet, on observe à chaque mesure, une période de signaux périodiques d'entrée et de sortie. De plus, le générateur et l'analyseur sont synchrones. Il en résulte que les signaux relevés lors de mesures successives sont théoriquement identiques. En pratique, ce n'est pas le cas, du fait de la présence de signaux parasites, mais comme ces derniers sont aléatoires, la superposition d'un grand nombre de signaux mesurés permet de faire ressortir la forme répétée dans ces signaux alors que le bruit tend en moyenne vers zéro. On accroît ainsi le rapport signal / bruit :

Première mesure ......................... nième mesure Signal temporel moyen

T

T T

3 - Linéarité du système Un signal sinusoïdal injecté à l'entrée d'un système non linéaire génère en sortie un signal non sinusoïdal, mais périodique. La réponse à ce signal d'entrée se retrouve donc à des fréquences multiples de la fréquence d'excitation et pas seulement à cette fréquence. Ce résultat montre clairement que pour définir une réponse en fréquence, il faut que le système étudié soit linéaire.

Il importe de pouvoir tester cette hypothèse lorsqu'on caractérise le comportement d'un système. Un moyen simple est de vérifier que le gain est indépendant de l'amplitude spectrale du signal d'entrée. Ceci peut être fait en même temps que l'on mesure les courbes de réponse en fréquence, mais à condition que le signal d'entrée varie en forme ou en amplitude d'une mesure à l'autre.

Lorsqu'on utilise un marteau, la variation du signal d'entrée est naturelle du fait que l'opérateur ne peut produire deux chocs parfaitement identiques. Il en est évidemment de même lorsqu'on utilise un signal d'excitation aléatoire. Le problème se pose dans le cas où l'on utilise un signal d'excitation périodique, puisque par définition ce signal se répète à l'identique. Dans ce cas, l'invariance du gain est synonyme de répétitivité des mesures et non de linéarité du système.

Pour permettre de tester la linéarité d'un système tout en conservant les avantages propres à une excitation périodique, certains analyseurs peuvent générer des séquences pseudo-périodiques :

T T T

Chaque séquence comporte plusieurs répétitions d'un même signal. Seule la dernière répétition de chaque séquence est traitée. Les autres servent à la transition entre deux régimes permanents.

⇒ .......

25

VI - UTILISATION D'UN ANALYSEUR F.F.T. 1 - Durée d'observation Il a été expliqué dans le paragraphe I-2, comment la réponse en fréquence d'un système linéaire pouvait être extraite de l'observation de ses signaux d'entrée et de sortie sur une durée finie T. Quelle que soit la nature de ces signaux, qu'ils soient périodiques, transitoires ou aléatoires, le principe de fonctionnement d'un analyseur F .F.T. est de traiter les signaux mesurés sur une durée d'observation T, comme s'ils représentaient une période de signaux périodiques, de période T. L'utilisation correcte d'un analyseur F.F.T. passe par la connaissance des éléments suivants :

- La durée d'observation n'est pas un paramètre réglable à volonté. Les paramètres accessibles sont le nombre d'échantillons temporels Nt et la plage d'analyse en fréquence [νmin, νmax].

- L'algorithme F.F.T. impose que le nombre d'échantillons temporels soit une puissance de deux. - La fréquence d'échantillonnage est fixée en proportion de la largeur de la plage d'analyse en

fréquence. Sur la majorité des analyseurs F.F .T., le facteur de proportionnalité est égal à 2.56. - Les Nt échantillons temporels représentent un signal de durée T, égale au produit du nombre

de ces échantillons par l'espacement temporel Te entre deux échantillons. D'où l'expression :

Te.NtT = avec : min)max.(56,2

1e

1Te

ν−ν=

ν= , soit :

min)max.(56,2Nt

Tν−ν

=

- La décomposition en série de Fourier d'un signal périodique permet de l'exprimer sous la forme

d'une somme de fonctions sinusoïdales de fréquences multiples de l'inverse de sa période. En conséquence, la comparaison des décompositions en série de Fourier des signaux d'entrée et de sortie du système, observés sur une durée T considérée comme la période de ces signaux, ne permettra d'obtenir la réponse du système que pour les fréquences n.∆ν avec : ∆ν = 1 / T. C'est-à-dire que d'après le principe des calculs, les valeurs calculées de la réponse en fréquence le seront pour des fréquences espacées d'un pas ∆ν égal à l'inverse de la durée d'observation.

Exemples d'application :

Paramètres choisis Durée d'observation Pas de calcul 128 échantillons temporels plage de fréquence [0, 1000 Hz] s05,0

)1000.(56,2128

T == Hz2005,01

==ν∆

1024 échantillons temporels plage de fréquence [0, 1000 Hz] s4,0

)1000.(56,21024

T == Hz5,24,0

1==ν∆

1024 échantillons temporels plage de fréquence [0, 1000 Hz], facteur de zoom 5

s2)5/1000.(56,2

1024T == Hz5,0

21

==ν∆

Remarques :

- Pour représenter les courbes de réponse en fréquence par plus de points sur une plage donnée, il faudra accroître la durée d'observation (nombre d'échantillons temporels, facteur de zoom).

- On retiendra que la durée d'observation des signaux est conditionnée par les paramètres de leur traitement numérique et non par les signaux eux-mêmes. En pratique, pour améliorer les résultats on pourra adapter le signal d'excitation aux paramètres de l'analyse, mais pas l' inverse

.

26

2 - Fenêtres de pondération Lorsqu'on traite un signal de mesure comme s'il constituait une période d'un signal périodique, alors la série de Fourier calculée à partir de ce signal est la décomposition du signal périodique obtenu en répétant le signal observé à l'identique et sans laisser d'intervalle entre les répétitions.

La comparaison des décompositions en série de Fourier calculées à partir des signaux observés en entrée et en sortie d'un système ne donnera la fonction de transfert exacte de ce système que dans le cas où la réponse du système à une répétition périodique du signal observé en entrée s'identifie ou s'identifierait effectivement à une répétition périodique du signal observé en sortie. Dans le cas contraire, les résultats obtenus ne constitue ront qu'une estimation de la fonction de transfert dont la précision devra être améliorée par l'application d'une fenêtre de pondération.

Plusieurs cas sont à considérer : a - Utilisation d'un générateur interne à l'analyseur F.F.T. Ce type de générateur est utilisé pour produire un signal d'excitation périodique dont la période est automatiquement ajustée pour être égale à la durée d'observation des signaux. Dans ce cas, les répétitions des signaux observés en entrée et en sortie du système s'identifient aux signaux réels d'entrée et de sortie du système en fonctionnement :

Signaux réels d'entrée et de sortie

Système

Signaux observés

Système

Signaux représentés par les séries de Fourier

Système

Ce cas est idéal. Si le principe de superposition est vérifié, le traitement numérique des mesures permet d'obtenir, en une fois, des courbes identiques à celles que donneraient par balayage, un analyseur de réponse en fréquence. Le gain de temps est évident et il ne se fait pas au détriment de la précision. Cependant, tous les analyseurs F.F.T. n'ont pas de générateur de signaux intégré. Par ailleurs, on peut vouloir s'affranchir des contraintes d'utilisation d'un pot vibrant (support).

27

b - Utilisation d'un marteau de choc Lorsqu'on transmet une force d'excitation au moyen d'un marteau de choc, le signal d'entrée est une impulsion de courte durée et le signal de sortie est une réponse impulsionnelle. Ces signaux ne sont pas périodiques. Cependant, lorsque les répétitions périodiques des signaux observés s'identifient aux signaux que l'on obtiendrait réellement en entrée et en sortie du système dans le cas où l'on reproduirait périodiquement le signal d'entrée, alors on peut en extraire les courbes de réponse du système comme si les mesures avaient été faites avec une excitation périodique.

Deux cas sont à considérer :

b-1 - L'impulsion génère un signal de sortie de durée inférieure à la durée d'observation :

Signaux réels d'entrée et de sortie

Système

Signaux observés

Système

Signaux représentés par les séries de Fourier

e(t)

T T T

Système

s(t)

T T T

Dans ce cas, le système a retrouvé son état de repos avant que cesse l'observation, de sorte que si l'on appliquait juste en fin de la durée d'observation, une impulsion identique à celle qui a été observée en entrée, on obtiendrait à nouveau la réponse impulsionnelle qui a été observée alors.

Par extension, dans le cas d'une répétition périodique du signal d'entrée de période égale à la durée d'observation, la réponse du système serait donc représentée par une répétition de même période du signal observé en sortie. Il en résulte que les signaux périodiques, formés à partir des signaux observés, constituent des signaux réels d'entrée et de sortie du système, même s'ils n'ont pas été réalisés, et qu'à ce titre ils sont liés par les courbes de réponse en fréquence du système.

Lorsque l'impulsion génère un signal de sortie de durée inférieure à la durée d'observation, tout se passe finalement comme si l'on observait une période de signaux périodiques sans avoir à ajuster la période de ces signaux à la durée d'observation. S'il faut chercher une différence, on la trouvera dans la valeur du rapport signal/bruit qui conditionne la précision des résultats. Nous reviendrons sur ce point dans le paragraphe : "Avantages et inconvénients des signaux".

28

b-2 - L'impulsion génère un signal de sortie de durée supérieure à la durée d'observation :

Signaux réels d'entrée et de sortie

Système

Signaux mesurés

Système

Dans ce cas, de l'information est perdue : on ne dispose pas de toute la réponse à l' impulsion, de sorte que l'on ne peut établir une relation exacte d'entrée/sortie à partir des signaux observés. Bien sûr, on peut toujours considérer des répétitions juxtaposées de ces signaux, mais une impulsion répétée en entrée, avec un espacement égal à la durée d'observation, ne génèrerait pas en sortie, un signal réellement représenté par une répétition du signal de sortie qui a été observé.

En effet, lorsque la réponse à une impulsion est de durée supérieure à la durée qui sépare deux impulsions, les réponses dues aux impulsions successives se superposent comme ci-dessous :

Réponse à une première impulsion : Réponse à une deuxième impulsion :

Réponse à une troisième impulsion : .......................................................... .......................................................... Somme des réponses :

Dans ce cas, lorsque l'impulsion est répétée, la réponse sur une période du régime périodique établi, n'est pas une simple reproduction de la réponse observée lorsque l'impulsion est unique

+

+

=

T T T

.

=

29

Dans le cas où l'on applique une impulsion unique, si la visualisation des signaux temporels enregistrés par l'analyseur révèle que le signal de sortie a été tronqué, on a alors le choix entre les actions suivantes :

- modifier les conditions de l'essai

Le but est de retrouver des conditions idéales de mesure. Deux solutions sont envisageables :

- augmenter la durée d'observation jusqu'à ce qu'elle soit supérieure à la durée de la réponse Ceci peut être fait : • soit en augmentant le nombre d'échantillons temporels, • soit en diminuant la plage d'analyse en fréquence.

On retrouve alors le cas b-1. Mais le choix des paramètres d'une analyse est souvent figé en raison d'autres considérations.

- répéter l'application de l'impulsion avec une périodicité égale à la durée d'observation On retrouve alors le cas a) où l'on observe une période de signaux réellement périodiques. Cependant la répétition à l'identique de l'impulsion et le contrôle de la périodicité impose d'utiliser un générateur et un pot vibrant. On perd donc la souplesse d'emploi d'un marteau.

- pondérer les signaux tronqués

Cette solution consiste à appliquer un traitement mathématique supplémentaire aux signaux de

mesure, afin d'en extraire au mieux l'information disponible. Elle ne permet pas d'obtenir les courbes de réponse exactes du système, puisque l'information manquante fait toujours défaut, mais c'est la solution la plus souvent retenue pour des raisons pratiques : les signaux analysés ne sont pas les signaux tels qu'ils ont été observés, mais des signaux pondérés, c'est-à-dire multipliés par des fonctions définies sur la durée d'observation et choisies selon l'application.

Dans le cas où la réponse à une impulsion est de durée excessive on multiplie cette réponse par

une exponentielle décroissante : (pondération Force / Réponse)

Signal observé Pondération Signal pondéré

T

T

T

Cet artifice permet de retrouver le cas où le signal de sortie est de durée inférieure à la durée d'observation, sans avoir à modifier les conditions de l'essai, mais au détriment de la précision. En effet, lorsqu'on sait qu'une réponse impulsionnelle est décroissante selon une exponentielle dont l'exposant est fonction de l'amortissement du système, on conçoit que le signal pondéré est de même forme que la réponse réelle du système, mais comme sa décroissance d'amplitude est plus rapide, les courbes de réponse qui en seront extraites surestimeront l'amortissement. Remarque :

L'activation d'une pondération Force / Réponse n'agit pas que sur le signal de sortie. Le signal mesuré en entrée est quant-à- lui multiplié par une fonction Porte dont on modifie la largeur pour l'ajuster à la durée de l'impulsion

Signal mesuré Pondération Signal pondéré

T

T

T

Dans ce cas, le but est d'éliminer des parasites de mesure afin d'améliorer le rapport signal/bruit.

× = ,

× =

:

30

c - Utilisation d'un générateur externe Lorsque le générateur de signal fonctionne indépendamment de l'analyseur F.F.T., le risque est que l'on excite le système à des fréquences discrètes et que l'on calcule sa réponse à d'autres, auxquelles il n'est pas excité. Afin d'éviter cette situation, on utilise alors un signal d'excitation aléatoire au lieu de périodique. La forme irrégulière du signal aléatoire équivaut à une excitation continue sur une large gamme de fréquence. Le système est donc excité à toutes les fréquences.

Signaux réels d'entrée et de sortie

Système

Signaux mesurés

Système

Pour concevoir qu'il soit possible d'obtenir les courbes de réponse en fréquence à partir d'une excitation quelconque, il faut se référer aux notions de réponse impulsionnelle et de convolution. L'application d'une impulsion de durée infiniment petite génère une réponse impulsionnelle. Un signal d'entrée de forme quelconque peut être décomposé en une succession d'impulsions. On montre ainsi que l' incidence d'une valeur prise par le signal d'entrée à un instant t, est limitée dans le temps à la durée de la réponse impulsionnelle, et inversement, que la valeur prise par le signal de sortie à un instant t, ne dépend que des valeurs prises par le signal d'entrée sur un intervalle de temps de durée égale à celle de la réponse impulsionnelle.

Système

Lorsqu'on observe les signaux d'entrée et de sortie d'un système sur un même intervalle de temps il en résulte que les premières valeurs du signal observé en sortie sont la réponse à un signal d'entrée passé, dont on n'a pas connaissance, et que les dernières valeurs du signal observé en entrée contribuent à une réponse que l'on tronque nécessairement lorsqu'on arrête l'observation. Cependant, si l'on excepte les valeurs relevées au début et à la fin de l'intervalle d'observation, sur une durée égale à la durée de la réponse impulsionnelle, les signaux observés sont bien liés par les relations d'entrée/sortie du système. On dispose donc d'une information, mais incomplète

? ?

,

.

31

Remarque :

La durée de réponse impulsionnelle dépend du système et la durée d'observation dépend des paramètres de l'analyse en fréquence. Lorsqu'on effectue un zoom sur une plage de fréquence réduite, la durée d'observation des signaux est augmentée en proportion du facteur de zoom. La durée de la réponse impulsionnelle est inchangée. Il en résulte que la relation entrée/sortie du système est présente sur une plus large part des signaux observés, d'où de meilleurs résultats. Lorsqu'on traite les signaux observés comme s'il s'agissait d'une période de signaux périodiques, on peut toujours en extraire des courbes de réponse en fréquence. Cependant, ces courbes n'ont une réalité physique que dans le cas où la réponse du système à un signal représenté par une répétition du signal observé en entrée serait une répétition du signal observé en sortie. Mais pour que cela soit vrai, il faudrait que les premières valeurs mesurées en sortie soient une réponse du système à un signal d'entrée identique à celui enregistré en fin d'observation et que la réponse du système aux dernières valeurs relevées en entrée soit un signal de sortie identique à celui relevé au début de l'observation. Ce qui n'est pas le cas, puisque le signal d'entrée est aléatoire :

Signaux observés, reproduits à l'identique

Système

Par ailleurs, comme les valeurs de début et de fin d'observation des signaux ne sont pas égales, les signaux représentés par des répétitions des signaux observés présentent des discontinuités. Si elles étaient réelles, ces discontinuités engendreraient une réponse du système autre que celle qui a été observée dans les conditions d'essais. Il est évident que les discontinuités des signaux répétés ne sont pas liées par la relation d'entrée/sortie du système et qu'elles faussent les résultats Pour ces raisons, on n'analyse pas directement les signaux de mesure. On les multiplie par une fenêtre de pondération. Dans le cas d'une excitation aléatoire on utilise une fenêtre de Hanning. Cette fenêtre est une fonction cosinus, définie sur la durée d'observation par l'expression : p(t) = 1 - cos(2.π .t / T).

T

De par sa forme, la fenêtre de Hanning donne plus de poids aux valeurs au centre de l'intervalle et elle égalise les valeurs de début et de fin d'observation, ce qui supprime les discontinuités :

Signaux pondérés, reproduits à l'identique

Système

Avec les explications fournies, on doit concevoir que la relation entre les signaux ci-dessus est plus proche de la relation entrée/sortie du système que lorsque les signaux ne sont pas pondérés.

.

32

APPLICATION

_________________________________________________________________________________________________________________

Comparaison de courbes de réponse en fréquence mesurées dans différentes conditions

Les courbes de gain ci-dessous ont été mesurées sur un système à plusieurs degrés de liberté en utilisant successivement un générateur intégré, un générateur indépendant et un marteau de choc

1

1

2

2

3

3

Les résultats les plus proches de la réalité sont ceux obtenus au moyen du générateur intégré. Celui-ci permet de générer un signal d'excitation périodique dont la durée d'une période est égale à la durée traitée par l'analyseur comme une période des signaux (c'est le cas de figure idéal).

La comparaison des tracés amène à formuler les remarques suivantes : - les courbes de réponse obtenues selon les moyens mis en œuvre présentent des écarts localisés

dans les zones de variations rapides du gain en fonction de la fréquence (pics de résonance), - les fréquences de résonance mesurées diffèrent quelque peu selon que l'on utilise un générateur

ou un marteau. Les faibles écarts observés sont imputables à la masse du capteur de force : lorsqu'on utilise un pot vibrant, ce capteur est solidaire de la structure et affecte sa réponse, lorsqu'on utilise un marteau, il est attaché à l'extrémité et ne vibre donc pas avec la structure.

Les deux autres courbes ci-dessous montrent l'importance du choix d'une pondération adaptée en fonction de la nature du signal d'excitation :

1

2

1

2

On parle de pondération Rectangle lorsque les signaux sont traités tels qu'ils ont été observés.

1 - Périodique, non pondéré

2 - Impulsion, pondération Force / Réponse

3 - Aléatoire, pondération Hanning

1 - Aléatoire, pondération Hanning

2 - Aléatoire, pondération Rectangle

Remarque :

:

33

VI - FONCTION DE TRANSFERT

1 - Autospectres et interspectres Rappels et remarque :

Pour obtenir la décomposition en série de Fourier d'une fonction périodique f(t), de période T, on calcule les coefficients complexes :

).n(F.Cn ν∆ν∆= , avec : T1=ν∆ et ∫ νπ−=νT

t...2.j dt.e).t(f)(F .

Lorsqu'un système linéaire et invariant dans le temps est soumis à une excitation périodique, les décompositions en série de Fourier des signaux e(t) et s(t), entrée et de sortie de ce système, sont liées par la relation :

).n(.jnens e)..n(G.CC,n ν∆ϕ−ν∆=∀ . On en déduit : ).n(H)..n(E).n(S,.n ν∆ν∆=ν∆ν∆∀ .

Dans le cas où le système est soumis à une excitation sinusoïdale, de fréquence ν quelconque, la relation ci-dessus est utilisée pour déterminer la fonction de transfert H(ν) à cette fréquence. Nous allons raisonner sur des fonctions de la fréquence ν, plutôt que sur des valeurs discrètes. _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

La fonction de transfert d'un système linéaire : H(ν) = S(ν) / E(ν) peut être écrite sous la forme :

21)(E

)(E).(S)(H

ν

νν=ν ou

)(S).(E)(S

)(H2

2 ννν

=ν .

En pratique, quel que soit le type de signal d'excitation (périodique, aléatoire ou impulsionnel), on traite successivement plusieurs tranches d'observation de durée T. On remplace dans ce cas le numérateur et le dénominateur des rapports ci-dessus, par les grandeurs moyennes suivantes

∑=

ν=νk

1i

2iTee )(E .

k1

)(G ∑=

ν=νk

1i

2iTss )(S .

k1

)(G

)(G)(E.)(S .k1

)(G se

k

1iiTiTes ν=νν=ν ∑

=

On calcule alors : )(ee

)(es1 G

G)(H

ν

ν=ν ou )(se

)(ss2 G

G)(H

ν

ν=ν

Les fonctions Ges(ν) et Gse(ν) sont des fonctions complexes conjuguées l'une de l'autre, appelées interspectres des signaux d'entrée et de sortie. Les fonctions Gee(ν) et Gss(ν) sont des fonctions réelles appelées autospectres. Remarques :

- On ne moyenne pas plusieurs estimations des fonctions de transfert H1(ν) et H2(ν). On calcule ces fonctions de transfert à partir de moyennes sur les caractéristiques spectrales des signaux d'entrée et de sortie, même si ces caractéristiques ne sont pas identiques d'une mesure à l'autre.

- Nous allons montrer que les expressions H1 et H2(ν) ne donnent pas toujours le même résultat.

] [

34

2 - Fonction de cohérence

La définition d'une réponse en fréquence repose sur l'hypothèse que le système est linéaire et invariant dans le temps. Une mesure donne toujours un résultat. Mais l'assurance de sa validité impose de tester les propriétés du système. La fonction de cohérence participe à cette validation. Elle est définie par l'expression :

)(G).(G)(G

)(ssee

2es2

ννν

=νγ

Notons Ei et Si les modules |ET(ν)|i et |ST(ν)|i calculées à la fréquence ν, à partir d'une mesure i. Si d'une mesure à l'autre les amplitudes Ei varient, alors on peut tester la linéarité du système. En effet, quelle que soit l'amplitude Ei , on devrait avoir : Si = |H(ν)|.Ei. Le report des couples (Ei, Si) sur un graphe devrait donc faire apparaître un ensemble de points situés sur une droite. Afin de vérifier cette hypothèse et de quantifier la dispersion du nuage de points, on considère un écart quadratique moyen ε :

|ST(ν)|

|ET(ν)| Ei

K.Ei Si

22 )E.KS( −=ε avec 0dKd 2

=ε .

Les valeurs K.E sont les amplitudes théoriques dans le cas où le rapport de proportionnalité est supposé égal à K. La deuxième condition donne la valeur de la pente K qui minimise l'écart ε. On détermine ainsi la droite qui passe au plus prés de l'ensemble des points. On chiffre ensuite l'écart qui subsiste.

Du développement : 2222 E.KS.E.K.2S +−=ε = 222 E.KS.E.K.2S +− ,

on déduit : 0E.K.2S.E.2dKd 2

2=+−=

ε ⇒

2E

S.EK = .

L'expression de la valeur minimale de l'écart quadratique moyen est donc :

22

2222 E.

E

S.ES.E.

E

S.E.2S

+

−=ε =

−

22

22

S.E

S.E1.S

On extrait de cette expression le terme ci-contre :

Ce dernier est appelé : coefficient de corré lation. Lorsqu'il est égal à un, c'est qu' il existe une droite telle que l'écart quadratique moyen est nul. Dans ce cas, tous les rapports Si / Ei correspondent

à une même valeur du module |H(ν)|. A l'inverse, plus ce coefficient est proche de zéro, plus les valeurs des rapports Si / Ei sont dispersées.

=

∑∑

∑

==

=

k

1i

2i

k

1i

2i

2k

1iii

22

2

S .k1

.E .k1

S.E .k1

S.E

S.E

35

Lorsqu'on compare l'expression d'un coefficient de corrélation et celle de la fonction de cohérence γ2 qui est développée ci-contre, il apparaît que ces expressions sont de formes analogues.

La différence provient d'un terme de déphasage : Mais lorsqu'on considère le cas où les déphasages calculés sur différentes mesures sont tous égaux, les deux expressions se confondent :

=νγ

∑∑

∑

==

ψ−ψ

=

k

1i

2i

k

1i

2i

2).(j

k

1iii

2

S .k1

.E .k1

e).S.E( .k1

)(

EiSi

ESEiSi,i ψ−ψ=ψ−ψ∀ ⇒ ).(jk

1iiies

ESe..S.E .k1

)(G ψ−ψ

=

=ν ∑ ⇒

2k

1iii

2es S.E .

k1

)(G

=ν ∑

=

.

Dans ce cas particulier, la fonction de cohérence possède donc les mêmes propriétés qu'un coefficient de corrélation : à chaque fréquence ν, sa valeur est comprise entre zéro et un ; elle quantifie la dispersion sur les modules de la fonction de transfert obtenus à cette fréquence. Enfin, dans le cas où le déphasage varie d'une mesure à l'autre, on montre que la fonction de cohérence est de valeur plus faible encore que lorsque cette dispersion est inexistante. En effet :

EiSi , ψψ∀ : ∑∑=

ψ−ψ

=≤

k

1iii

).(jk

1iii )S.E( .

k1

e).S.E( .k1 EiSi .(voir le premier schéma ci-dessous)

Ges(ν)

Re

Im

Ei.Si

ψSi - ψEi

Ges(ν)

Re

Im Ei.Si

ψSi - ψEi

La cohérence est donc une fonction de la fréquence qui quantifie sur une échelle de zéro à un, fréquence par fréquence, les dispersions sur les résultats d'une mesure de fonction de transfert. Remarques :

- Lorsque les signaux e(t) et s(t) ne sont pas liés, le déphasage ψSi - ψEi évolue aléatoirement (voir le second schéma ci-dessus). Dans ce cas, plus le nombre de mesures augmente, plus les parties réelle et imaginaire de l'interspectre tendent vers zéro. La cohérence s'effondre donc et ceci sur toute la gamme des fréquences. On dit que les signaux e(t) et s(t) sont non corrélés.

- La non linéarité d'un système se traduit par une faible cohérence pour toutes les fréquences. - Lorsqu'une faible valeur de la cohérence est due à la présence d'un bruit important, cela ne

signifie pas que la fonction de transfert obtenue soit imprécise puisque le but du calcul des moyennes est de faire converger le résultat vers la valeur exacte de la fonction de transfert, malgré la présence du bruit.

- A l'inverse, lorsqu'on réitère une mesure dans des conditions identiques, une valeur élevée de la cohérence traduit la répétitivité de la mesure mais ne garantie pas que le résultat soit juste.

ψSi - ψEi .

36

3 - Estimations de la fonction de transfert

La fonction de transfert d'un système linéaire peut être déterminée en utilisant l'une ou l'autre des expressions ci-dessous :

)(ee

)(es1 G

G)(H

ν

ν=ν ou )(se

)(ss2 G

G)(H

ν

ν=ν

La fonction de cohérence est définie par

)(H)(H

)(G).(G)(G

)(2

1

ssee

2es2

νν

=νν

ν=νγ

Dans le cas où cette dernière n'est pas égale à un, les deux expressions de la fonction de transfert H1(ν) et H2(ν) ne conduisent donc pas au même résultat. Quelle que soit l'expression utilisée, on obtient la même courbe de phase. Par contre, les gains calculés varient dans le rapport γ2(ν). Les analyseurs F.F.T. affichent généralement l'estimation H1(ν) dont l'expression est analogue à celle de la pente optimale d'une droite de régression : Cette expression constitue la meilleure approximation du module au sens des moindres carrés. __________________________________________________________________________________________ Remarque : Choix d'un des estimateurs H1(ν) ou H2(ν)

Considérons le cas où une cohérence différente de l'unité ne serait expliquée que par la présence de signaux parasites. Notons e(t) + be(t) et s(t) + bs(t) les signaux de mesure, avec e(t) et s(t) les signaux d'entrée et de sortie du système, be(t) et bs(t) des signaux parasites. On peut alors écrire :

∑∑==

+++=++=ν

k

1iieieii

2ei

2i

k

1ieiieiiee E.BB.EBE.

k1

)BE).(B(E.k1

)(G

∑∑==

+++=++=ν

k

1iisisii

2si

2i

k

1isiisiiss S.BB.SBS.

k1

)BS).(B(S.k1

)(G

( )∑∑==

+++=++=νk

1isieiieisiiii

k

1isiieiies B.BS.BB.ES.E.

k1

)BS).(B(E.k1

)(G .

Si les signaux parasites sont non corrélés entre eux et non corrélés avec les signaux d'entrée et de sortie du système, les moyennes des termes croisés tendront toutes vers zéro à l'exception du terme de corrélation entrée / sortie. Il apparaît donc que sur un grand nombre de mesures, les bruits affecteront exclusivement les autospectres des signaux de mesure. Il reste en effet :

∑∑==

+=νk

1i

2ei

k

1i

2iee B.

k1

E.k1

)(G , ∑∑==

+=νk

1i

2si

k

1i

2iss B.

k1

S.k1

)(G , ∑=

=νk

1iiies S.E.

k1

)(G .

Lorsqu'on se réfère aux positions des termes Gee(ν) et Gss(ν) dans les expressions H1(ν) et H2(ν), il devient évident que l'expression H1(ν) sous estimera H(ν) alors qu'au contraire l'expression H2(ν) sur estimera cette fonction. De plus, selon que le signal d'entrée sera plus fortement bruité que le signal de sortie ou l'inverse, l'estimation la plus juste sera donnée soit par H2(ν), soit par H1(ν). On aura par exemple intérêt à utiliser H2(ν) au voisinage des fréquences de résonance pour lesquelles le signal de sortie est amplifié et de forte amplitude, et H1(ν) au voisinage des antirésonances pour lesquelles la faible réponse du système risque de ne pas émerger du bruit.

.ES.EK 2=

37

QUE RETENIR DES PARAGRAPHES PRECEDENTS ?

Un analyseur F.F.T. est un outil d'acquisition et de traitement numérique qui permet de mesurer la réponse en fréquence d'un système linéaire et invariant dans le temps.

Le principe est de considérer que les signaux d'entrée et de sortie observés sur une durée finie se répètent à l’identique en dehors de cette durée. La base des calculs est une décomposition en série de Fourier des signaux périodiques ainsi obtenus.

Par cette méthode, on détermine les gains et les déphasages pour des fréquences espacées de l'inverse de la durée d'observation. Cette durée est conditionnée par les paramètres du traitement numérique des signaux. Elle peut être augmentée en diminuant la largeur de la plage d'analyse en fréquence ou en augmentant le nombre d'échantillons temporels traités par le calculateur.

Dans le cas où les signaux de mesure s'identifient à des périodes entières de signaux périodiques ou lorsqu'ils contiennent la totalité de signaux non périodiques, cette méthode trouve son cadre d'application idéal. Dans les autres cas, la répétition des signaux de mesure fait apparaître des discontinuités qui doivent être gommées par des fenêtres de pondération choisies en fonction du type d'excitation (fenêtre Force/Réponse pour des mesures au marteau, fenêtre de Hanning pour des mesures en bruit blanc). L'idéal est de pouvoir générer un signal d'excitation périodique dont la période soit égale à la durée d'observation des signaux. Dans ce cas, il n'est pas utile de pondérer les signaux. Pour désigner ce choix, on parle par commodité de pondération rectangle .

Les courbes de réponse en fréquence sont toujours calculées en effectuant des moyennes sur plusieurs mesures. La fonction de cohérence indique par une valeur comprise entre zéro et un la répétitivité des résultats. L' interprétation des valeurs de cette fonction est souvent complexe :

A une fréquence donnée, une cohérence égale à un indique une répétitivité parfaite des résultats, module et phase, obtenus à cette fréquence. Mais il ne faut pas confondre répétitivité et justesse.

Une erreur peut être répétitive alors que la moyenne de résultats non répétitifs peut être juste.

Une cohérence faible sur toute une gamme de fréquence révèle généralement une non linéarité du système mais elle peut aussi être due à la présence de signaux parasites d'amplitudes élevées. La différence peut être faite en augmentant l'amplitude du signal d'excitation. Si la faiblesse de la cohérence est due à une non linéarité, cette dernière ressortira plus fortement et la cohérence chutera, si elle est expliquée par un rapport signal / bruit trop faible, la répétitivité sera accrue.

Lorsque le signal d'excitation est aléatoire, une faible cohérence localisée aux voisinages des fréquences de résonance est le signe que la durée d'observation des signaux est trop faible par rapport à la durée de la réponse impulsionnelle du système. Dans ce cas, la cohérence augmente lorsqu'on accroît la durée d'observation.

Une cohérence égale à zéro indique l'absence de relation entre les phases des signaux de mesure.

_____________________________________________________

38

39

AUTRES TYPES D'ESSAIS DE VIBRATIONS

La mesure des fonctions de transfert d'un système mécanique a généralement pour objectif de vérifier la validité d'un modèle mathématique servant à la mise au point ou au développement d'un produit. Dans le cas le plus courant, le modèle mathématique est un modèle de calcul en éléments finis dont on extrait les caractéristiques modales que l'on désire comparer, soit au minimum les fréquences de résonance de la structure. On parle d'analyse modale expérimentale. D'autres mesures / essais de vibrations ont des finalités différentes : - Il peut être question de "recetter un produit ", c'est-à-dire de détecter des défauts latents.

Ceci est fait en sortie de chaîne de fabrication sur des produits de série, comme des machines tournantes dont on analyse les vibrations lors de leur mise en rotation, ou sur des machines de production dont on relève la signature vibratoire "machine en bon état" afin de surveiller tout changement ultérieur concernant ses composantes spectrales (de tels changements sont le reflet d'une modification, soit des forces générées par les éléments tournants, soit des fonctions de transfert vibratoires de la structure ; leur détection permet le diagnostic précoce de défauts). Dans le cas d'une recette, les résultats des mesures sont comparés à des valeurs ou des gabarits limites prédéfinis. - Il peut aussi être question de "qualifier un produit ", c'est-à-dire de démontrer sa capacité, soit

à fonctionner, soit à résister mécaniquement, lorsqu'il est dans un environnement vibratoire.

C'est le cas pour le matériel embarqué à bord des véhicules de transport (trains, automobiles et à plus forte raison, fusées et missiles). Plusieurs types d'essais peuvent être spécifiés en fonction de l'environnement vibratoire rencontré par le produit (voir page ci-contre).

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Essai de type : aléatoire

C'est l'essai le plus répandu car un environnement réel est le plus souvent par nature aléatoire.

Un signal aléatoire est un signal permanent qui se caractérise par sa non-répétitivité. La valeur instantanée d'un signal aléatoire est par conséquent imprévisible. Cependant, dans certains cas, un tel signal peut être caractérisé par des propriétés statistiques qui se retrouvent à l'identique d'une analyse à l'autre, à condition que celles-ci portent sur des longueurs de signal suffisantes. Il s'agit : - de la densité de probabilité des valeurs instantanées, dans le domaine temporel, - de la densité spectrale de puissance dans le domaine des fréquences.

Une distribution d'amplitude selon une Gaussienne est représentative de la plupart des signaux aléatoires rencontrés dans un environnement vibratoire réel.

Un processus Gaussien est complètement déterminé par la donnée d'une moyenne et d'un écart type. Toutefois, si l'on prend l'exemple de la norme européenne NF EN 61373, consacrée au domaine ferroviaire, celle-ci caractérise l'intensité d'un signal aléatoire par une valeur efficace (racine carrée de la valeur moyenne du carré de sa valeur instantanée) et un facteur de crête (rapport de la valeur maximale à la valeur efficace du signal).

L'intérêt d'une norme est de réglementer les niveaux de sollicitations à imposer lors des essais. La norme citée en exemple distingue un niveau d'essai fonctionnel qui permet de vérifier que le matériel est capable de fonctionner lorsqu'il est soumis aux conditions de service et un niveau d'endurance plus sévère que le niveau réel qui permet de garantir que le matériel présentera une durée de vie minimale, tout en réduisant la durée de l'essai de fatigue à une durée raisonnable. Essai de type : choc

Les essais de chocs sont destinés à simuler des événements de courtes durées, généralement rares, mais de fortes amplitudes. Le but est de s'assurer qu'ils n'occasionnent pas de dommage immédiat au matériel. Parmi les différentes formes de chocs utilisées lors de ces essais, on peut citer : le choc en demi-sinus, le choc rectangulaire, le sinus amorti.... Essai de type : sinus quasi statique

Une excitation sinus est qualifiée de quasi-statique lorsqu'elle est de fréquence très inférieure à la fréquence du premier mode de déformation du matériel testé. Sous réserve que cette condition soit respectée, les effets d'une excitation sinusoïdale sont, à chaque instant, équivalents à ceux d'une excitation constante de même valeur. Ce type d'excitation est utilisé pour vérifier la tenue des attaches d'un matériel embarqué lorsqu'il est soumis à une accélération maximale constante.

Remarque : la difficulté pratique est d'atteindre une accélération suffisante sur une faible course. En effet, on sait que l'amplitude d'une loi d'accélération sinusoïdale est égale au produit de l'amplitude du déplacement et du carré de la pulsation du mouvement. De fait, pour atteindre une valeur donnée d'accélération, plus la pulsation sera basse, plus il faudra que l'amplitude du déplacement soit élevée. Le risque est de ne pouvoir atteindre la valeur d'accélération voulue en raison de la course limitée de l'excitateur et de l'obligation d'une excitation en basse fréquence. Essai de type : sinus balayé

Un signal sinusoïdal de fréquence continument variable est souvent utilisé pour mesurer des fonctions de transfert (voir utilisation d'un analyseur de réponse en fréquence). Mais il peut également présenter un intérêt pour simuler les sollicitations d'équipements placés à proximité de machines tournantes, au cours de phases transitoires de démarrage et d'arrêt de ces machines.

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Remarque : conditions aux limites lors des essais Lors d'un essai de qualification, le matériel doit être tester dans des conditions les plus proches possibles de ses conditions réelles d'utilisation. Dans le cas par exemple d'une excitation de type déplacement par la base, on n'aura donc pas d'autre choix que de fixer le matériel sur une table vibrante comme il le serait en situation réelle.

Par contre, dans le cas d'une analyse modale, le but n'est pas de reproduire l'environnement du spécimen, il est de caractériser le spécimen.

Dans ce cas, l'excitation peut être de type sinus balayé alors que l'excitation réelle est aléatoire. De même, on peut choisir d'effectuer des essais au mo yen d'une excitation de type force alors que l'excitation réelle est de type déplacement. L'essentiel est de pouvoir comparer, dans des conditions identiques, des résultats de calcul et des résultats de mesure. Une fois que le modèle de calcul aura ainsi été validé on pourra à loisir relancer la simulation dans d'autres conditions. Dans le cas où l'on opte pour une excitation en force, on a le choix entre étudier le matériel couplé à une structure porteuse ou l'étudier dans des conditions dites libre- libre (par allusion à une poutre dont les deux extrémités seraient libres). Si l'on opte pour la première solution, il est nécessaire d'englober dans le modèle de calcul le comportement dynamique de son support à moins que celui-ci ne soit suffisamment rigide et suffisamment massif pour que les points de fixation puissent être considérés fixes. Mais cette dernière condition est difficile à réaliser. Il suffit en effet que les déformations du support permettent des déplacements du même ordre de grandeur ceux correspondant aux déformations de la structure pour que la corrélation calcul

expérience soit faussée. En pratique, il est plus facile de tendre vers des conditions libres- libres.

La solution consiste à accrocher le spécimen à un système de suspension souple. On reproduit dans ce cas des conditions libre- libre réalistes, sous réserve que les fréquences des six modes de suspension soient nettement en dessous de la fréquence du premier mode de déformation de la structure libre. Dans ce cas, la seule différence est que les fréquences des six modes de corps rigide ne sont pas nulles mais de faibles valeurs au regard des autres fréquences de résonance. On pourrait conclure de ce qui précède que les essais de caractérisation d'une structure devraient toujours être réalisés dans des conditions libre-libre. Cependant, il n'est pas toujours possible de suspendre une structure, ceci pour des problèmes évidents de poids ; on peut aussi vouloir tester un matériel dans des conditions de fixation proches de ses conditions réelles d'utilisation. Pour finir, on notera que les caractéristiques dynamiques d'une structure mesurées en libre- libre permettent de déterminer par calcul les caractéristiques vibratoires de cette structure assemblée avec d'autres ou liée à un support dont on connaît le comportement vibratoire, alors que l'inverse n'est pas possible. On parle dans ce cas d'étude par sous-structuration. Les composants d'une sous-structuration peuvent être des composants réels qui ont fait l'objet d'une analyse modale et des composants virtuels modélisés par éléments finis. Dans ce cas le modèle est dit hybride. ___________________________________________________________________________