NOM Prénom : ………………………………….. DS 2 Novembre 2019 M.DUTRIEVOZ 2nde 3

Calculatrice personnelle autorisée Documents interditsVous soignerez la rédaction de chaque résolution. Les exercices 4 et 7 sont à faire sur l'énoncé et les autres sur votre copie. Les étapes de calcul doivent être détaillées. Le barème indiqué est susceptible d'être modifié.

Exercice 1 : Montrer que la somme de deux nombres impairs est un nombre pair. /3

Exercice 2   : Soient x et y deux réels tels que :  1 x 3 et 0 y 1.  Encadrer x y./1,5

Exercice 3 : Résoudre dans l’inéquation suivante : 2(x + 1) 7x > 5 x. /1,5

Exercice 4   : Représenter sur une droite numérique la condition |x−1|≤ 7, puis compléter par un intervalle :/3

…………………………………………………………………………………………………x∈……………

Retrouver ce résultat en résolvant l’inéquation |x−1|≤ 7 par le calcul :

……………………………………………………………………………….………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………….

Exercice 5 : Un camion pèse une tonne à vide. On le remplit avec des sacs de sable de 50 kg. Combien de sacs peut-on mettre au maximum dans ce camion si on veut pouvoir passer sur un pont supportant 9 tonnes ? /2

Exercice 6 : ALGORITHME : Maël et sa sœur Jeanne ont respectivement 8 et 12 bonbons. Maël en achète 3 de plus tandis que Jeanne en mange 2, puis ils les donnent à leur grand frère Arthur pour les conserver.Après avoir nommé trois variables, donner la suite des instructions décrivant cette situation. /3

Exercice 7 : La pyramide du Louvre est une pyramide régulière à base carrée de 35,4 m de côté et de 21,6 m de haut. Donner sans justifier son volume en m3 arrondi au dixième près : ………………... /1

Exercice 8 : COURS : Démontrer que, pour tout angle  : cos²Â + sin²Â = 1. /2

Exercice 7   : VRAI ou FAUX : Parmi les expressions suivantes, lesquelles sont égales à la distance entre les nombres réels π et –3 ? Barème : 0,5 point par bonne réponse, 0 point pour une absence de réponse ou une réponse pas claire, –0,25 pour une réponse fausse, le total ne pouvant pas être négatif. /3

VRAI FAUXπ + 3 |π+3| |−3−π|-3 - π|π−3|3 – π

TOURNER =>Exercice 10   : Questionnaire à choix multiples /10

Pour chacune des questions 1 à 10, indiquer sans justifier en bas de page la lettre correspondant à l’unique réponse exacte parmi A, B, C ou D. Attention aux réponses au hasard : +1 point par réponse correcte ; 0,5 par réponse fausse ; 0 point si absence de réponse ou réponse ambiguë.

Vos réponses :

1. ….. 2. ….. 3. ….. 4. ….. 5. …..

6. ….. 7. ….. 8. ….. 9. ….. 10. …..

O est le projeté orthogonal de J sur la droite (NP)

En cm : MQ = 5 ; MN = 2 et BC = 4. L’angle DBC mesure 64°.

√0,913

3,8 cm

En cm : AN = 3 ; NB = 1 ; AM = 3,8 et MC = 1,2.

l’aire du triangle ABC

est 6 cm²

BAC≈ 36,9 °

NH 1,8 cm

Pour les questions 5 à 7, ABC est un triangle rectangle en B. M et N sont les points des segments [AC] et [AB]. H est le projeté orthogonal de N sur la droite (AC). En cm : AN = 3 ; NB = 1 ; AM = 3,8 et MC = 1,2.

Pour les questions 8 à 10, EFG est un triangle rectangle en E tel que FG = a, avec a >0 et cos ( EFG )=0,3.

√0,910,3

CORRECTION DS 2 secondeExercice 1   : /3 Soient m et n deux nombres impairs. Ils s’écrivent sous la forme : m = 2k + 1 et n = 2k’ + 1 où k et k’ sont deux entiers relatifs.m + n = 2k + 1 + 2k’ + 1 = 2k + 2k’ + 2 = 2(k + k’ + 1). En posant K = k + k ‘+ 1, m + n s’écrit sous la forme 2K avec K entier donc m + n est bien un nombre pair.

Exercice 2 : Soient x et y deux réels tels que :  1 x 3 et 0 y 1 /1,5

1 y 0 (car 1 < 0) et 1 x 3 donc en ajoutant membre à membre ces deux inégalités de même sens : 0 x – y 3.

Exercice 3 : /1,52(x + 1) 7x > 5 x 2x + 2 7x > 5 x 5x + 2 > 5 x 5x + 2 + x > 5 x + x 4x + 2 > 5

4x + 2 2 > 5 2 4x > 3 1

−4׿x¿<

1−4

× 3 (car 1

−4 < 0) x ←34 . S = ] – ;

−34 [.

Exercice 4   : 7 7 /3

Ou par le calcul : 7 x 1 7 7 + 1 x 7 + 1. Donc x [ –6 ; 8]

Exercice 5   : Soit x le nombre de sacs cherchés. x est un nombre entier positif. /2

Mise en inéquation : 1000 + 50x 9000

Résolution : 1000 – 1000 + 50x 9000 – 1000 50x 8000 x ≤8000

50 car 50>0 x 160.

Réponse : Il pourra transporter au maximum 160 sacs.

Exercice 6   : On pose M le nombre de bonbons de Maël, J le nombre de bonbons de Jeanne et A celui d’Arthur. /3

M 8 Exercice 7: Le volume de la pyramide du Louvre est : 13

×35,42× 21,6=9022,752m3./1

J 12 Exercice 8   : Soit la mesure d’un angle aigu (90°). Soit ABC un triangle rectangle en A

M M + 3 tel que ABC=α . cos2() + sin2() =( ABBC )

2

+( ACBC )

2

= AB2+ AC 2

BC2 or le triangle ABC est /2

J J – 2 rectangle en A. D’après le théorème de Pythagore : BC2 = AB2 + AC2 donc

A J + M cos2() + sin2() = BC 2

BC 2=1

Exercice 9 : /3 VRAI FAUX

π + 3 |π+3| |−3−π| -3-π |π−3| 3 – π

Exercice 10   : B D C C A A C B A B /10

1. B. En effet, les diagonales du rectangle MNPQ ont même longueur et se coupent en leur milieu J donc le

triangle JNP est isocèle en J, donc dans ce triangle la médiane (JO) est aussi la hauteur relative au côté [NP] donc

(JO) est perpendiculaire à (NP) en O.

2. D. En effet, les diagonales [AB] et [NP] se coupent en leur milieu O.

3. C. En effet, dans le triangle MNP rectangle en N :tan ( MPN )= MNNP

=25 . puis on utilise la calculatrice.

4. C. En effet, dans le triangle BDC rectangle en C, les angles DBC et BDC sont complémentaires donc BDC

mesure 26°, et cos(26°) =cos ( BDC )= DCDB et sin(64°) = sin ( DBC )= DC

DB .

5. A. En effet, dans le triangle ABC rectangle en B, on peut appliquer le théorème de Pythagore : AC² = AB² +

BC² BC² = AC² AB² BC² = 5² 4² = 9 BC = 3 car BC positive. Notez que B est faux puisque :

etANAM

= 33,8

≈ 0,789 et donc, d’après la contraposée du théorème de Thalès, (MN) et (BC) ne sont

pas parallèles.

6. A. En effet, dans le triangle ABC rectangle en B :cos ( BAC )= ABAC

=45 puis on utilise la calculatrice.

7. C. En effet, dans le triangle AHN rectangle en H :sin (NAH )=NHNA

= NH3 d’où : NH = 3sin ¿.

8. D. En effet, sin2 ( EFG )=1−cos2 ( EFG )=1−0,32=0,91 et sin ( EFG ) est positif.

9. A. En effet, tan ( EFG )= sin ( EFG)cos ¿¿

.

10. B. En effet, dans le triangle EFG rectangle en E :cos ( MPN )= EFEG

=0,3= EFa .