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Savoir factoriser
Bruno DELACOTE
Collège de MASEVAUX
Type d ’activité : leçon illustrée
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Conseils et méthode de travailUne feuille s’ouvre sur une série d’exercices :
A chaque clic (gauche) tu obtiendras des aides ou des indications et finalement la solution.
Il faut absolument éviter de cliquer trop rapidement
Prépare l’exercice avant de visionner la solution.Vérifie (sans tricher !)
Si tu as commis des erreurs, ne les corrige pas avant d ’avoir compris pourquoi tu t’es trompé.
Pour naviguer dans la présentation tu peux utiliser les boutons ci dessousou le clic droit de la souris.
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Som
mai
reLes rudiments et le vocabulaire
Le facteur commun est une variable
Le facteur commun est une expression
Avec les identités remarquables.
Le facteur commun est caché
Factoriser pour résoudre une équation
4
3x + 6 est une expression développéePour retrouver la forme factorisée de 3x + 6 il suffit de remarquer que 3x + 6 = 3 x x + 3 x 2 d'où 3x + 6 = 3( x + 2)
3 est appelé le facteur commun
Pour factoriser les expressions suivantes
3x + 124x - 209 - 18x16x - 425x + 1512x -990x - 60y
On pense et On écrit
433 x )4(3 x
544 x )5(4 x
x299 )21(9 x1444 x )14(4 x5355 x )35(5 x3343 x )34(3 x
yx 230330 )23(30 yx
)4(3 x
)5(4 x
)21(9 x)14(4 x)35(5 x)34(3 x
)23(30 yx
5
x² + 6x est une expression développéePour retrouver la forme factorisée de x² + 6x il suffit de remarquer que x² + 6x = x x x + x x 6 d'où x² + 6x = x( x + 6)
x est le facteur commun
Pour factoriser les expressions suivantes
x² + 2x4x3 - 20x²9x - 8x²16x5 - 4x²
25x² + 15x12x7 - x5
90x3 - 60x
On pense et On écrit
2 xxx
xxxxx 454
xxx 891444 232 xxx
xx 5355 1²12 55 xxx
230²330 xxx
)2( xx
)5²(4 xx
)89( xx )14²(4 3 xx
)35(5 xx)112( 25 xx
)2²3(30 xx
résoudre l'équation x(x + 6) =0
6
Pour retrouver la forme factorisée de (x + 1)² + 2(x + 1) il suffit de remarquer que (x + 1 )² + 2(x +1) = (x + 1) x (x + 1) + (x + 1) x 2 d'où (x + 1 )² + 2(x +1) = (x + 1) x [(x + 1) + 2] = (x +1)(x+3)
x + 1 est le facteur commun
Méthode :On peut souligner le facteur commun Pour écrire
= (x +3)[x+2 - 2x + 5)]
= (x +3)[ -x+7]
Attention : pour enlever un couple de parenthèses précédé du signe - il faut changer les signes à l'intérieur du couple de parenthèses !
On peut vérifier la factorisation en développant les deux expressions. Les expressions développées sont identiques.
(x +3) x (x+2) - (x + 3) x (2x -5) = (x +3) x [(x+2) - (2x -5)]penser
(x +3)(x+2) - (x + 3)(2x -5) = (x +3)[(x+2) - (2x -5)]
résoudre l'équation...
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Quelques exercices
)12()12)(63( xxx
)5()43(6
)5)(43(6
xx
xx
)2)(3()3)(54( xxxx
)]52()53)[(2( xxx
]5253)[2( xxx]10)[2( xx
Pas de problème !)52)(2()53)(2( xxxx
1)12()12)(63( xxx
]1)63)[(12( xx
)73)(12( xx
Attention !
)]5(6)23)[(43( xxx
]30623)[43( xxx
]323)[43( xx
)2)(3()3)(54( xxxx
)]2()54)[(3( xxx
]254)[3( xxx
]35)[3( xx
Attention !)5)(43(6)23)(43( xxxx
Attention !
)2)(3(soit
)]2)(3([devient
)2)(3 donc
)3(3
xx
xx
x-x-(
xx
Résoudre l'équation ...= 0
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Mettre les expressions suivantes sous forme d'un produit de deux facteurs du premier degré.
(Le facteur commun caché apparaît au premier clic)
xxx
xxxx
xxx
xxxxxx
xxxx
xxxx
37)4)(37(
)3)(1()27)(1(
)7)(96()²32(
)3)(315()4)(210()5)(23(
)68)(7()2)(34(
)42)(13()5)(63()2( x
)34( x
)5( x
)32( x
)1( x)37( x
)133)(2( xx
)123)(43( xx
)192)(5( xx)18)(32( xx
)10)(1( xx
)3)(37( xx
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Avec les identités remarquables
)14²4()23)(12( xxxx
(2x)² +2x2xx1+1²
)²12()23)(12( xxx
)12()12()23()12( xxxx
)]12()23)[(12( xxx
]1223)[12( xxx
)15)(12( xx
Il faut savoir reconnaître a² + 2ab + b² = (a + b)²
Ne pas oublier que (2x+1)² = (2x + 1)(2x + 1)
9x² + 24x + 16 = (3x)² + 2 x 3x x4 + 4²= (3x + 4)²
donc
Résoudre l'équation0)15)(12( xx
10
Avec les identités remarquables
)14)(23()412²9( xxxx
(3x)² - 2x3xx2+ 2²
)14)(23()²23( xxx
)14()23()23()23( xxxx
)]14()23)[(23( xxx
]1423)[23( xxx
)3)(23( xx
Reconnaître a² - 2ab + b² = (a - b)²
Ne pas oublier que (3x-2)² = (3x - 2)(3x - 2)
Attention au signe - placé devant la
parenthèse
Résoudre l'équation0)3)(23( xx
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Avec les identités remarquables
)14)(43()16²9( xxx
(3x)² - 4²
)14)(43()43)(43( xxxx
)14()43()43()43( xxxx
)]14()43)[(43( xxx
]1443)[43( xxx
)3)(43( xx
Reconnaître a² - b² = (a - b)( a+ b)
Attention au signe - placé devant la
parenthèse
Résoudre l'équation0)3)(43( xx
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Mettre les expressions suivantes sous forme d'un produit de deux facteurs du premier degré. (Reconnaître une identité remarquable dans l'expression encadrée)
)12²(1²
²449)27)(1(
)7)(96()912²4(
²)1025()5)(23(
)68)(2(²)4(
)42)(13()16²9(
xxx
xxx
xxxx
xxxx
xxx
xxxx
)²13( x
)2)(2( xx
)²5( x
)²32( x
)27)(27( xx
)²1( x
)3)(13( xx
)65)(2( xx
)72)(5( xx
)24)(32( xx
)6)(72( xx
)1(2 xx
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On utilise le théorème :Pour qu'un produit soit nul il faut et
il suffit que l'un des facteurs soit nul.
METHODEPour résoudre certaines équations il faut mettre l'expression sous forme d'un produit égal à zéro.
(2x +3)(x - 5) = x² - 10x + 25
(2x +3)(x - 5) = (x - 5)²
(2x +3)(x - 5) - (x - 5)² = 0
(x - 5)[(2x + 3) - (x - 5)] = 0
(x - 5)[2x + 3 - x + 5] = 0
(x - 5)(x + 8 ) = 0
(x - 5) = 0 ou (x + 8 ) = 0
L' équation admet deux solutions qui sont x = 5 et x = - 8
On cherche un facteur commun
On regroupe tous les termes dans un membre et on factorise
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Résoudre les équations suivantes (un clic sur l'équation permet de revoir la factorisation)
0)12()12)(63( xxx
0)2)(3()3)(54( xxxx
0)52)(2()53)(2( xxxx
0)5)(43(6)23)(43( xxxx
x² + 6x = 0(x + 1)² + 2(x + 1) = 0(x + 3)(x+ 2) - (x + 3)(2x -5) = 0
0)14²4()23)(12( xxxx
0)14)(23()412²9( xxxx
0)14)(43()16²9( xxx
x = 0 et x = - 6 x = - 1 et x = -3 x = -3 et x = 7
x = 2 et x = 10
x = 0,5 et x = - 7/3
x = - 4/3 et x = - 32/3
x = 3 et x = 0,6
x = - 0,5 et x = 0,2
x = 2/3 et x = - 3
x = 4/3 et x =3
Revoir la méthode
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0)12()12)(63( xxx
0)2)(3()3)(54( xxxx
0)52)(2()53)(2( xxxx
0)5)(43(6)23)(43( xxxx
x² + 6x = 0(x + 1)² + 2(x + 1) = 0(x + 3)(x+ 2) - (x + 3)(2x -5) = 0
0)14²4()23)(12( xxxx
0)14)(23()412²9( xxxx
0)14)(43()16²9( xxx
Revoir la méthode
Résoudre les équations suivantes après avoir mis les expressions sous forme d'un produit de facteurs du
premier degré.
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On utilise le théorème :Pour qu'un produit soit nul il faut et
il suffit que l'un des facteurs soit nul.
METHODEPour résoudre certaines équations il faut mettre l'expression sous forme d'un produit égal à zéro.
(2x +3)(x - 5) = x² - 10x + 25
(2x +3)(x - 5) = (x - 5)²
(2x +3)(x - 5) - (x - 5)² = 0
(x - 5)[(2x + 3) - (x - 5)] = 0
(x - 5)[2x + 3 - x + 5] = 0
(x - 5)(x + 8 ) = 0
(x - 5) = 0 ou (x + 8 ) = 0
L' équation admet deux solutions qui sont x = 5 et x = - 8
On cherche un facteur commun
On regroupe tous les termes dans un membre et on factorise