Schma de Bernoulli Loi binomiale

I) Epreuve et loi de Bernoulli

1) Dfinition

On appelle preuve de Bernoulli de paramtre , toute exprience alatoire admettant deux issues exactement :

Lune appele succs note dont la probabilit de ralisation est Lautre appele chec note ou dont la probabilit de ralisation est

Exemples

Exemples

1) Un lancer de pice de monnaie bien quilibre est une preuve de Bernoulli de paramtre ( le succs S tant indiffremment obtenir PILE ou obtenir FACE ).

2) Un lancer de d cubique bien quilibr dont les faces sont numrotes de 1 6, dans lequel on sintresse lapparition de S : obtenir un 1 est une preuve de Bernoulli de paramtre et la probabilit de est donc 1

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3) Extraire une carte dun jeu de 32 cartes et sintresser lobtention dun as est une preuve de Bernoulli de paramtre et la probabilit de est donc 1 p

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Illustration

Note historique : Jacques Bernoulli est un mathmaticien suisse (1654 1705)

2) Proprit : loi de Bernoulli

Dans une preuve de Bernoulli de paramtre , si on appelle X la variable alatoire prenant la valeur 1 en cas de succs et 0 en cas dchec, on dit que X est une variable de Bernoulli de paramtre , elle suit la loi de Bernoulli de paramtre :

1 0 P(X =)

Son esprance est E(X) = , sa variance est V(x) = et son cart type est (X) = .

II) Schma de Bernoulli

1) Dfinition 1 : Schma de Bernoulli

On appelle schma de Bernoulli comportant preuves ( entier naturel non nul) de paramtre , toute exprience consistant rpter fois de faon indpendantes une mme preuve de Bernoulli de paramtre .

Exemples

Exemples :

1) 5 lancers successifs dune pice bien quilibre, en appelant succs lobtention de

PILE constitue un schma de Bernoulli avec et de paramtre

2) 10 lancers de d cubique bien quilibr dont les faces sont numrotes de 1 6, en appelant succs lapparition de S : obtenir un 1 constitue un schma de Bernoulli avec 10 et de paramtre

Remarques :

Un schma de Bernoulli peut tre illustr par un arbre (ci-dessous cas de = 3) Un rsultat est une liste de issues ou ( par exemple {, , , , } dans un schma 5 preuves )

Le chemin cod est un chemin qui ralise 2 succs lors de 5 rptitions. Illustration :

2) Dfinition 2

On considre un schma de Bernoulli de preuves (entier naturel non nul), reprsent par un arbre. Pour tout entier naturel , On note le nombre de chemins de larbre ralisant succs lors des rptitions. Par convention = 1

Exemples

Exemple :

Dans larbre reprsent ci-dessus on a : = 3 et Pour = 0 , il y a 1 seul chemin ralisant 0 succs donc 30 = 1

Pour = 1 , il y a 3 chemins ralisant 1 succs donc 31 = 3

Pour = 2 , il y a 3 chemins ralisant 2 succs donc 32 = 3

Pour = 3 , il y a 1 seul chemin ralisant 3 succs donc 33 = 1

III) Proprits des 1) Proprit 1

Pour tout entier naturel , 0 , = 1 et = 1

Justification :

Dans un arbre, un seul chemin conduit 0 succs lors de rptitions cest . . donc 0 = 1 Dans un arbre, un seul chemin conduit succs lors de rptitions cest . donc = 1

2) Proprit 2

Pour tous entiers naturels et tels que =

Justification :

Si = 0, 0 donne = 0 , la proprit est vrifie grce la convention donne dans la dfinition plus haut.

Si > 0, alors sur larbre reprsentant le schma de preuves de Bernoulli est le nombre de chemins ralisant succs donc aussi checs. Par ailleurs, est le nombre de chemins ralisant succs.

Par symtrie de larbre, on a donc =

3) Proprit 3

Pour tous entiers naturels et tels que =

+

Justification :

est le nombre de chemins ralisant succs dans un schma de Bernoulli rptitions.

Ces succs sont obtenus : dune part en ralisant 1succs lors des 1premires preuves suivis dun succs lors de la dernire preuve ce qui reprsente 1 1 x 1 chemins dans larbre. Dautre part en ralisant succs lors des 1 premires preuves ce qui reprsente 1 chemins dans larbre. Do =

1 1 +

1

Remarque importante:

Ces trois proprits permettent de calculer les valeurs de pour tout entier naturel et pour tout tel que Exemple

Calculer 53

53=42

43

31

32

32

33 proprit 3

= 32 32

32 1 proprit 2 et proprit 1

= 3 32 1 = 3 21 3

22 1 proprit 3

= 3 10 3 11 3 1 proprit 3 et proprit 1

= 3 + 3 +3 +1 = 10 proprit 1

On comprend que ces calculs peuvent devenir fastidieux, cest pourquoi on se servira du rsultat tabli par Blaise Pascal dans le triangle suivant :

IV) Triangle de Pascal

Ce tableau triangulaire donne la valeur des pour tout entier naturel et pour tout tel que lintersection de la ligne portant la valeur de n et de la colonne portant la valeur de .

Remarque :

Ce tableau peut tre poursuivi pour toutes valeurs de et de

k n

0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 7 1 7 21 35 35 21 7 1

Valeur de 64 Proprit 1 Proprit 3 Proprit 1 6 + 4 = 10

La proprit 2 est illustre par la symtrie existant sur chacune des lignes du tableau

V) Loi binomiale

1) Proprit

Dans un schma de preuves de Bernoulli de paramtre , la variable alatoire qui prend pour valeurs le nombre de succs obtenus pour loi de probabilit :

P( ) = pour tout entier tel que On dit que suit une loi binomiale de paramtres et , note B( , )

Justification :

Dans un schma de preuves de Bernoulli la variable qui compte les succs prend pour valeurs 0, 1, 2,., Pour un entier compris entre 0 et , lvnement (=) est reprsent dans larbre par les chemins qui comportent succs et checs, il y en a Chacun de ces chemins comporte fois et fois et a donc pour probabilit : 1 Il en rsulte que P(= ) = x1

Exemples :

1) On considre lexprience suivante : On lance 10 fois de suite un d bien quilibr dont les faces sont numrotes de 1 6. On appelle X la variable alatoire qui prend la valeur correspondant au nombre de fois o la face 1 apparat.

a) Quelle est la loi suivie par la variable ? b) Quelle est la probabilit de lvnement = 3 ? c) Quelle est la probabilit que la face 1 apparaisse au moins 1 fois ?

Solution :

a) Les lancers tant identiques et indpendants suit une loi binomiale de paramtres = 10 et = B(10 ,

)

b) P( = 3) = 103 163 56

7 = 120 x 5

7

610 0,155 c) Lvnement la face 1 apparat au moins une fois correspond lvnement 1 qui a pour vnement contraire = 0

Donc on a P( 1 ) = 1 P ( = 0 ) = 1 100

0,838

2) Deux joueurs Alain et Bernard saffrontent dans un tournoi de tennis. Alain et Bernard jouent 9 matchs. La probabilit quAlain gagne un match est 0,6.Le vainqueur est celui qui gagne le plus de matchs. Soit la variable alatoire donnant le nombre de matchs gagns par Bernard.

a) Quelle est la loi suivie par ? b) Ecrire lvnement Bernard gagne le tournoi laide de puis calculer sa probabilit.

Solution :

a) Les matchs tant identiques et leurs rsultats indpendants suit une loi binomiale de paramtres = 9 et = 0,4 B(9 , 0,4) b) Bernard gagne le tournoi si il gagne au moins 5 matchs, donc si lvnement 5 est ralis

Or P( 5) = P( = 5) + P(= 6 ) + P( = 7) + P( = 8) +P( = 9) P( 5)=950,4

0,6 +960,40,6+970,4

0,6+980,40,6+990,4

P(X 5) 0,267

2) Esprance, Ecart type

Lesprance de la variable alatoire X suivant une loi binomiale de paramtres et est E(X) = et son cart type est (X) =

Exemples

Dans lexemple 1) prcdent

E() = 10 x = 1,67 et ( ) = 10

=

1,18

Dans lexemple 2) prcdent

E() = 9 0,4 = 3,6 et () = 9 0,4 0,6 = 2,16 1,47