1
Modélisation par bond graph
Conception intégrée des systèmes dynamiques
Christophe Sueur
Laboratoire d’Automatique Génie Informatique et Signal
L.A.G.I.S. UMR CNRS 8219
École Centrale de Lille
Cité Scientifique, BP 48
59651 Villeneuve d’Ascq cedex, France
E-mail : [email protected]
Tel : 03 20 33 54 07
2
Préambule
Mécatronique
• MECAnique + élecTRONIQUE
• Remplacement par des composants électroniques de fonctions précédemment assurées
par des composants mécaniques
• Conception intégrée de systèmes pluridisciplinaires pilotés
Modélisation – Commande – Sûreté de fonctionnement - Prototypage
informatique, automatique, électronique, sciences physiques
3
Pour la conception de nouveaux produits
Pour l’amélioration des produits existants
• nouvelles organisations
en projets (véhicule hybride, atelier chaîne de traction, ...)
en équipes pluridisciplinaires (mécanique, hydraulique, thermique, automatique,
électronique, ....)
• nouvelles contraintes
ne pas gaspiller le savoir-faire
être meilleur que les concurrents
capitaliser, réutiliser le savoir-faire
travailler de manière incrémentale
mélanger les niveaux de vision (macro/micro)
Préambule
4
Nouvelles organisations
Organisation en projets
* prendre le problème dans sa globalité
* recherche amont prototype
* conception intégrée
* modélisation, commande, sûreté de fonctionnement, prototypage
Equipes pluridisciplinaires
* Besoin
- d’un langage commun
- d’une approche commune (systémique ou phénoménologique, statique ou dynamique, ..)
- d’outils communs pour la simulation
* Capitalisation du savoir-faire
- bibliothèques de modèles
- construction modulaire des modèles
- cohérence des modèles entre eux
- documentation (hypothèses, domaines de validité,...)
Préambule
5
Les Bond Graphs dans ce contexte
• langage unique, quel que soit le domaine physique, fondé sur la notion d’analogie
équipe pluridisciplinaire / communication
• décomposition en sous-systèmes
approche modulaire
• fondé sur l’étude des phénomènes physiques
besoin de l’expertise propre aux domaines physiques concernés
• pour la modélisation, l’analyse des propriétés du modèle, la simplification, commande,
surveillance
conception intégrée, projet
Freins
• demandent un apprentissage, mais l’informatique aussi !
• peuvent sembler « compliqués » (et non « complexes »)
• ce qui est compliqué, c’est la physique, pas le mode de représentation
Préambule
6
Plan du document
1 - Introduction
2 - Terminologie bond graph
3 - Procédures de construction de modèles bond graph
4 - Causalité
5 - Passage d'un bond graph à un schéma-bloc
6 - Modèles mathématiques issus d'un bond graph
6 – Remarques et conclusion
7
Ingénierie des Systèmes
• Système mécatronique : Système pluridisciplinaire piloté, avec des transferts
d’information et de puissance
Contrôle-commande
Chaîne d’actionnement
calculateur consignes capteurs
Sources
de puissance actionneurs processus
Lien d’information Lien de puissance
Sources
de puissance
1 - Introduction
ESILV 2010 8
• Exemples de système mécatronique :
– Contrôle moteur : injection, turbocompresseur,…
– Contrôle suspension : amortisseur piloté, suspension hydractive,…
– Contrôle freinage : ABS, ESP,…
– Contrôle direction : direction assistée, …
– Contrôle boîte de vitesse : bv automatique, robotisée,…
1 - Introduction
ESILV 2010 9
Exemple de système mécatronique : EHA A320
Réseau
Continu
ou alternatif
Thermique
Machine
Synchrone
à aimants
Thermique Thermique
Onduleur
de tension
MLI
Thermique
Pompe
volumétrique
Vérin hydraulique
Gouverne d’aileron
Contrôle I Contrôle Contrôle
Thermique
Hydraulique Chimie Electricité Mécanique Mécanique Hydraulique
Exemple « fiction » : actionneur de gouverne alimenté par APU à PAC 6 franchissements
de domaines physiques
1 - Introduction
10
Commande
Conception intégrée
Modélisation
Simulation
Analyse
Simplification de Modèle
Supervision
Détection
et Isolation de fautes
Analyse pour la commande
Conception de Commande
Choix d’un modèle utilisable pour toutes les étapes de la procédure: un modèle de connaissance avec
un vrai sens physique et un modèle de représentation pour la conception des lois de commande
L’outil bond graph est bien adapté pour ces objectifs
1 - Introduction
11
• Père des bond graphs : Henry Paynter (MIT
Boston)
1er ouvrage : 1961 (« birthday » : 25 avril
1955)
• arrivée en Europe : fin des 70s
– Pays-Bas (Twente Univ.)
– France (Alsthom)
H. Paynter R.Rosenberg D. Karnopp D. Margolis
International Conference on Bond Graph Modelling
Phoenix, Arizona, Janvier 2001
Enseigné de façon récurrente à ECLille, INSA Lyon, INSA Toulouse, Sup Elec Rennes,
ENSAM Paris,…
Des conférences d’initiation dans de nombreuses écoles d’ingénieurs
De nombreuses formations continues et séminaires pour ingénieurs
1 - Introduction
12
Exemples d’applications industrielles
Alstom
Airbus
Aerospatiale
Airbus
IFP
Renault, Ford, Toyota,
General Motors, EDF,
Thalès, CEA, Bosch,
Valeo, Siemens..
Sherpa Eng., CERTIA,
Virtual Dynamics…
1 - Introduction
13
1) Analyse fonctionnelle
Décomposition en sous-systèmes qui échangent de la puissance
Bond graph à mots
2) Analyse phénoménologique
Identification des composants et phénomènes physiques qui transforment la puissance fournie
en énergie stockée ou dissipée – bilans d’énergie, de masse –
Bond graph détaillé
3) Analyse
* causale : Visualisation des relations de cause à effet et analyse des conflits de causalité
Bond graph causal
* structurelle : Parcours de chemins sur le BG
architecture de commande, de mesures, de surveillance
4) Construction des modèles mathématiques associés
Démarche de modélisation
2 - Terminologie bond graph
14
Principes
Représentation graphique des transferts de puissance
Langage unifié pour tous les domaines physiques (analogie)
Modèle BG d’un système :
entre le schéma physique et les modèles mathématiques
visualisation de la causalité
Hypothèse : paramètres localisés
2 - Terminologie bond graph
15
Moteur DC
Arbre
Pignon
Crémaillère
Piston
Cylindre
Orifice
Moteur
DC
Arbre
Pignon
+
Crémail.
Piston
Cylindre
+ Orifice
u
i
F
V
P
Q
1T
1
2T
2
Penv
Q0
bond graph à mots
Électrique
+Mécanique
rotation
Mécanique
rotation
Mécanique
rotation+
Translation
Mécanique
translation+
Pneumatique
Pneumatique
2 - Terminologie bond graph
16
Eléments du langage bond graph
2 - Terminologie bond graph
Stockage
d’énergie
I, C
Sources
Se, Sf
Dissipation
d’énergie
R
Structure de
Jonction
(O, 1, TF, GY)
Détecteurs
De, Df
3 éléments passifs (reçoivent la puissance)
R : dissipation d’énergie
C , I : stockage d’énergie
2 éléments actifs (fournissent de la puissance)
Se , Sf : source d’effort , source de flux
4 éléments de jonction (conservatifs de
puissance)
0, 1, TF, GY
2 détecteurs supposés idéaux (ne
consomment pas de puissance
De, Df
17
Variables généralisées
1- variables de puissance
Puissance P(t) = e(t) . f(t) e(t) « effort » f(t) « flux »
2 - variables d’énergie
Energie E(t) = P() d p(t) = e() d" moment "
q(t) = f() d" déplacement "
4 variables généralisées e, f, p, q
2 - Terminologie bond graph
18
Variables généralisées
fdtq
Domaine Effort
e
Flux
f
Moment
Déplacement
Mécanique
Translation
Rotation
force
couple
vitesse
vitesse angulaire
moment
moment
angulaire
déplacement
angle
Electrique tension courant flux magnétique charge
Hydraulique pression débit volumique moment de
pression
volume
Chimique potentiel
chimique
flux molaire nombre de moles
Thermodynamique température flux d’entropie entropie
edtp
Variables de puissance Variables d’énergie
2 - Terminologie bond graph
19
Eléments actifs et passifs
Elément
Symbole
Loi générique
Exemples
Comportement
Energétique
Eléments
actifs
Se
Sf
e indep de f
f indep de e
gravité,
générateur de tension
pompe
générateur de courant
Apport de
puissance
Eléments
Passifs
R
C
I
R ( e, f ) = 0
C ( e, q ) = 0
I ( p, f ) = 0
damping, friction,
résistance électrique
restriction hydraulique
ressort, réservoir
condensateur
élasticité,
compressibilité
masse, inertie,
bobine
Dissipation
d’énergie
(chaleur)
stockage d’énergie
(potentielle,
électrique)
stockage d’énergie
(cinétique,
magnétique)
2 - Terminologie bond graph
20
Eléments de Jonction
Elément
Symbole
Loi générique
Exemples
Eléments de
Jonction
(conservative
de puissance)
0
1
TF
m
GY
r
e1 = e2 =...= en
ai fi = 0
f1 = f2 =...= fn
ai ei = 0
e1 = m . e2
f2 = m . f1
e1 = r . f2
e2 = r . f1
même force,
pression,
tension, …
même vitesse,
débit vol,
courant, …
levier, poulies
embrayages,
transfo elect.
transducteur
moteur,
capteur à effet
Hall
transducteur
2 - Terminologie bond graph
21
Energie stockée dans les éléments I et C
Energie stockée dans un élément C )().( qdtfe CC dqdf .
tq
q
dqqeqE
0
).()( ))(( 0qE
Energie stockée dans un élément I )().( pdtef II e d dp.
tp
p
dppfpE
0
).()( ))(( 0pE
2 - Terminologie bond graph
t
dfetE0
)().()( ))0(( E
e
p q
f
R
I
C
dt
dt
Tétraèdre de Paynter
22
Stockage d’énergie cinétique
2 - Terminologie bond graph : exemple éléments I,C
Volant d’inertie Masse Tube Bobine
Stockage d’énergie potentielle
Elément I
Elément C Ressort Réservoir Condensateur Four
Eléments à stockage d’énergie
23
2 - Terminologie bond graph : exemple Jonction 1
VVVV 321
1 P1
2VP3
1 3V
R:R1 R:R2
P3 -P2 1V
1V
P3
P1 -P3 P1 P2 P3
R1 R2
1V2V 3V
E C
R L
UR UL
UC i
1 E
i i
i
Se:E
E -UR -UL – UC=0
UR
R
L
C
UL
UC i
k x
M
F(t) b 1
F FR
FC
C:1/k
2xx
I:M
R:b
FM
F -Fk - FM – Fb=0
ESILV 2010 24
E
C
R
i i1
i2
1V
2V
3V
2x1x
F
0 E
i i1
E i2 E
R
C
Se:E
i - i1 - i2=0
0 F F
F
C:1/k
1x 2x
3x213 xxx
0 P
1V
P
2V
3V
P
321 VVV
2 - Terminologie bond graph : exemple Jonction 0
25
TF
:m
1u
1i
2u
2i2 1 mu u
TF
:b/a
21 .Fa
bF
F2 F1
1x 2x
u1 u2
i2 i1
Transformateur électrique
xF ,
VP ,
Piston hydraulique
TF
:1/A
P
V
F
xF
AP
1
puissance hydraulique transformée en puissance
mécanique
A : aire du piston
F2 F1
2x
1x
a b
Levier
2 - Terminologie bond graph : exemple transformateur TF
26
charge
Partie électrique Partie mécanique
au
fu
aifi
),( bJ
),( aa LR
« a » armature = induit
« f » field = inducteur
2 - Terminologie bond graph : exemple Moteur à courant continu
fi
MGY)( fikr
1
emT
JI :
bT
bR :
eT
JT
Charge 1 au
ai
au
arR :
aLI :
Rau
ai ai
aiLau
eu:Se
rfu1 fu
fu
fLI :
frR :fi
fiLfu
:Se
fi
afem iikT
fe iku
27
Systèmes électriques monophasés
Procédure
1- Fixer un sens de circulation pour le courant. Il sera pris comme sens de transfert de la
puissance.
2- Rechercher tous les nœuds de potentiels différents. Placer une jonction 0 par noeud.
3- Placer une jonction 1 entre deux jonctions 0 et y attacher les éléments soumis à la
différence de potentiels correspondants
4- Relier les jonctions par des liens, en respectant le sens de transfert de la puissance.
5- Choisir un nœud de référence (ou plusieurs suivant les cas) et supprimer la (ou les)
jonction(s) 0 qui y est (sont) associée(s), ainsi que tous les liens qui y sont attachés.
Simplifier si possible.
0
1
ou
0
1
ou
3 - Procédures de construction de modèles bond graphs: systèmes électriques
28
Exemple de système électrique
R1R2
E
L1
R3
C1
L2
a b c
d
e
f
g
h
0 a 0 b 0 c
0 d
0 e 0 f
0 g
1
1
1
1
1 1
1
1 T F
0 h 1 S e : E
R : R 1
R : R 2
R : R 3
C : C 1
I : L 1
I : L 2
3 - Procédures de construction de modèles bond graphs: systèmes électriques
29
Exemple de système électrique (suite)
R1R2
E
L1
R3
C1
L2
Se : E 1 0
1
1
0 TF 1
R:R1
I:L1
R:R2
R:R3
I:L2
C:C1
3 - Procédures de construction de modèles bond graphs: systèmes électriques
30
U0
i1
i
iL
L
C I
i2
i3
R1 R2
R3
iC
Exercice: Exemple électrique
3 - Procédures de construction de modèles bond graphs: systèmes électriques
31
Systèmes mécaniques 1D
Procédure
1- Fixer un axe de référence pour les vitesses.
2- Rechercher toutes les vitesses différentes (vitesses absolues pour les masses et inerties,
vitesses relatives pour les autres). Placer une jonction 1 par vitesse différente. Y
attacher les éléments correspondants.
3- Exprimer les relations entre vitesses. Placer une jonction 0 par relation entre les
jonctions 1 associées aux vitesses intervenant dans la relation.
4- Relier les jonctions par des liens, en respectant le sens de transfert de la puissance.
5- Supprimer les jonctions 1 associées à une vitesse nulle, ainsi que tous les liens qui y
sont attachés. Simplifier si possible:
3 - Procédures de construction de modèles bond graphs: systèmes mécaniques 1D
32
Exemples: mécanique translation
3 - Procédures de construction de modèles bond graphs: systèmes mécaniques 1D
k1
b
g M
k2
M K b2 F(t)
b1
33
Exemples: mécanique rotation
3 - Procédures de construction de modèles bond graphs: systèmes mécaniques 1D
34
Exemple : suspension 1/4 véhicule (technologie mécanique)
M
K
k
b
z M
z m
g
z
m
S f : d z / d t
0
1
1
0
S e : - M g
S e : - m g
C : 1 / k
C : 1 / K
I : M
I : m
1
R : b
3 - Procédures de construction de modèles bond graphs: systèmes mécaniques 1D
35
Exercice : train sur une pente
M1
M2
M3
k1 k2
b
a
3 - Procédures de construction de modèles bond graphs: systèmes mécaniques 1D
36
Exemple : système bielle - manivelle
x
a
b
P,V
q
MTF
[f -1(q)]
TF F
v
P
1/Ap
2/1222 )sin(cos qq abax
q
qqqqq
)(
22/1222 ]cossin)sin(sin[
fv
aabax
V
3 - Procédures de construction de modèles bond graphs: systèmes mécaniques 1D
37
Systèmes hydrauliques
Procédure
1- Fixer un sens de circulation pour le fluide. Il sera pris comme sens de transfert de la
puissance.
2- Rechercher tous les nœuds de pressions différentes. Placer une jonction 0 par noeud.
3- Placer une jonction 1 entre deux jonctions 0 et y attacher les éléments soumis à la
différence de pressions correspondantes.
4- Relier les jonctions par des liens, en respectant le sens de transfert de la puissance.
5- Choisir une pression de référence (pression atmosphérique en général) et supprimer les
jonctions 0 qui y sont associées, ainsi que tous les liens qui y sont attachés. Simplifier si
possible:
3 - Procédures de construction de modèles bond graphs; systèmes hydrauliques
38
Systèmes hydrauliques: quelques rappels
3 - Procédures de construction de modèles bond graphs; systèmes hydrauliques
Elément R Dissipation d’énergie: restriction
1P1
2P
vq vq
vq
kR /1:
21 PP Ecoulement laminaire:
Ecoulement turbulent
)( 21 PPkqv
)( 21 PPfqv
Elément I stockage d’énergie: tube
dt
dvA
dt
dqAvq v
v
dt
dq
A
LPP v
)( 21
dt
dvALAPPF )( 21
A
LI
1P1
2P
vq vq
vq
A
LI
:
21 PP
39
Elément C stockage d’énergie: réservoir
Systèmes hydrauliques: quelques rappels
SLBCSLB
V
VP
dP
dV
VB
11
3 - Procédures de construction de modèles bond graphs; systèmes hydrauliques
Pour un fluide compressible: B = Coefficient de compressibilité
A
gC
A
gVghP
P
vqAgC /:
Transformateur TF conservation d’énergie
Pompe
Vérin
Amplificateur Pression
0V
CTF
P
vqV0: Cylindrée
A
FTF
P
V vqA: Section
m
1FTF
1V
2F
2V2
1
A
Am
40
Exemple : distributeur hydraulique 4 voies
P : Alimentation
T : Retour
A et B : Utilisations
A B
P T
.
A
B
T P
RPA RAT
RBT RPB
A
PA 1 0
0
RPA
P
1
0
PB
1
1
RAT
RBT RPB
T
B
QPA
QAT
QPB QBT
0
0
3 - Procédures de construction de modèles bond graphs; systèmes hydrauliques
41
Exemple : suspension 1/4 véhicule (technologie oléopneumatique)
M
S f : d z / d t
0
1
1
0
S e : - M g
S e : - m g
C : 1 / k
I : M
I : m
T F S
1
C : C s p h
R : R a m g
3 - Procédures de construction de modèles bond graphs: exemple
42
cylC:C
0
P
envP- :Se
Moteur DC
arbre
Pignon
Crémaillère
Piston
Cylindre
Orifice
TF
: Ap
P
0Q
1
orifR:R
10
shk/1:C
2
1 2
TF
: rp
mF2
cremm:I
V 1
F1
1
motJ:I
motB:R
1 ri
rL:I
rR:R
GY
: k
Se : u
mcc arbre pignon + crémaillère piston cylindre+orifice
3 - Procédures de construction de modèles bond graphs: exemple
43
Systèmes mécaniques 2D
* Variables géométriques de base qC : Vecteur des déplacements définissant l’énergie potentielle
(associée aux éléments C)
qk : Vecteur des déplacements cinématiques
(ou coordonnées généralisées au sens de Lagrange)
vI : Vecteur des vitesses définissant l’énergie cinétique
(associée aux éléments I)
3 - Procédures de construction de modèles bond graphs: systèmes mécaniques 2D
Procédure
1- Ecrire les relations géométriques entre variables
2- Dériver pour obtenir les relations cinématiques
3- Appliquer la procédure de la mécanique 1D
* Calcul des relations entre vitesses
* Construction de la structure de jonction
0, MTF 0, MTF
1
1
1
1
1
1
I
I
C
C
1Cq
mCq
1kq
pkq
1Iv
nIv
44
Exemple: oscillateur masse - ressort
x
y m
k
l
x
y
k
l
yk ym
xm
a kC
k
k
yq
yq
a
.01 .01 k
T
CkCC qqqyq
Ck
kmy
mx
km
m
ylyv
lxv
yly
lx
aa
aa
a
a
sin
cos
cos
sin
3 - Procédures de construction de modèles bond graphs: systèmes mécaniques 2D
y
x
I v
vv
45
Exemple: oscillateur masse – ressort – modèle bond graph
MTF MTF 1
1
1 0 1
1
I:m
I:m
1/k:C
Cy ky
a
xv
yv
MTF
MTF
MTF
0
MTF 0
acosl
asinl
0
1 0
1
3 - Procédures de construction de modèles bond graphs: systèmes mécaniques 2D
1
1
1
1 I:m
C ky
a
xv
yv
MTF
MTF
MTF 0
acosl
asinl
0
1
Se : mg
I:m
46
Exercice: pont roulant (schéma physique simplifié)
M1
M2
F
Schéma physique Variables géométriques clé
q
z
x
z1
l
x1 x2
z2
O
3 - Procédures de construction de modèles bond graphs: systèmes mécaniques 2D
47
Exercice: suspension voiture
3 - Procédures de construction de modèles bond graphs: systèmes mécaniques 2D
48
Exercice: pont roulant
3 - Procédures de construction de modèles bond graphs: systèmes mécaniques 2D
49
f
f
f
1
2
3
1 12 13
21 2 23
31 32 3
1
2
3
L M M
M L M
M M L
i
i
i
é
ë
êêê
ù
û
úúú
é
ë
êêê
ù
û
úúú
é
ë
êêê
ù
û
úúú
1u
1i
3u
3i
2u
2i
u 1 i 1
u 2
i 2 u 3 i 3
3 - Procédures de construction de modèles bond graphs: extension multiport et pseudo bond graph
I
i V
Fu
u
i
F
V
ICi x
E
L x
F xE
x
dL x
dx L x
( , )( )
( , )( )
( )
f
f
f
f
f
2
22
),,( mSVUQ Q
VP ,
ST , ST , i
n
iimTdSPdVdU
1
Équation de Gibbs
C P
V
T
S
1 n
1m nm
i
SV
i dmm
U
,
ESILV 2010 50
Exemple : transfert de chaleur
T1 T2
Q.
T1>T2
échange de chaleur à travers une paroi
(résistance thermique)
"vrai" bond graph
SH T T
T
SH T T
T
11 2
1
21 2
2
( )
( )
T2
R
T1
1
T1-T2 Q.
Q H T T
( )1 2
Q T S T S
1 1 2 2
lois non linéaires loi linéaire
R T2 T1
1S 2S
3 - Procédures de construction de modèles bond graphs: extension multiport et pseudo bond graph
e.fP
dt
dSf
Te
entropied'flux :
etempératur: « pseudo" bond graph
e.fP
dt
dQf
Te
chaleur deflux :
etempératur:
51
Causalité
• visualisation, au sens schéma - bloc, des relations
– de cause à effet
– entrée - sortie
– donnée – inconnue
4 - Causalité
e
f e
f A B A B
A B A B e
f
Convention: le trait causal est placé près (loin) de l’élément pour lequel l’effort (le flux) est une donnée
e
f
BA
AB
ff
ee
• un des avantages majeurs de la technique bond graph
– écrire systématiquement les équations
– détecter des incohérences dans les équations
– parcourir le bond graph comme un graphe
BA
AB
ee
ff
52
Règles d'affectation de la causalité
4 - Causalité
53
Règles d'affectation de la causalité
4 - Causalité
54
Procédure d'affectation de la causalité
1 - Affecter la causalité (obligatoire) aux sources et aux R non linéaires et répercuter sur
l'environnement.
2 - Mettre les I et C en causalité intégrale préférentielle et répercuter sur l'environnement.
3 - Affecter les causalités aux éléments R linéaires en respectant les restrictions de
causalité aux jonctions.
4 - En cas de conflit à une jonction, rechercher l'élément I ou C cause du conflit et le
mettre en causalité dérivée. Boucler en 3 -.
4 - Causalité
55
Exemples
Se
R C
R
Pas de problème de simulation!
4 – Causalité: exemple
Se 1
R : R1 R : R2
0TF GY
C : C2
I : I2
I : I1C : C1
0
R : R3choix
Se 1
R : R1 R : R2
0TF GY
C : C2
I : I2
I : I1C : C1
0
R : R3Autre choix
Non déterminisme Problèmes de simulation!
56
Causalité non déterministe
E
R1
R2Se 1
R : R1 R : R2
0
C : C1
L1
I : L1C1
R, C, I
l: inductance du fil
Prix à payer :
- valeur de l ?
- très petite constante de temps
4 – Causalité: exemple
57
Causalité dérivée
k a b
F(t)
M1 M2
1 T F 1 S e : F
I : M 1
C : 1 / k
I : M 2
c a u s a l i t é d é r i v é e
b / a
1 T F S e : F
I : M 1 C
0 1
C : 1 / k
I : M 2
1
I : M
S e : F T F 1
C : 1 / k Se : Mg
M= M1+(b/a)2M2
VM2=b/a VM1
Relation de contrainte cinématique
4 – Causalité: exemple
Masse équivalente Ajout raideur
58
Moteur
DC
Arbre
Pignon
+
crémaill
Piston
Cylindre
+
Orifice
u
i
F
V
P
Q
1
1
2
2
-Penv
Q0
Moteur DC
arbre
Pignon
Crémaillère
Piston
Cylindre
Orifice
0
shk/1:C
2
2
1
orifR:R
TF
Ap
P
cylC:C
0
0Q
P envP
1 TF
: rp
mF2
V
1
cremm:I
F
V 1
1GY 1
motJ:I
motB:R
1
AL:I
AR:R
u
i
4 – Causalité: exemple
59
1 0
e e
f f f
e
c h e m i n c a u s a l
C : C 1 0 1 R : R 1
e e e
f f f
b o u c l e c a u s a l e
c h a î n e d ' a c t i o n S e 0 1 s o r t i e
e
5 - Modèles mathématiques associés au modèle bond graph
Modèles mathématiques déduits du bond graph
- Fonction de transfert (cas linéaire uniquement)
- Equation d’état linéaire ou non linéaire
Utilisation de plusieurs concepts liés à la causalité : chemin causal, boucle causale…
60
Gain d'un chemin causal direct
jil
j
j
k
i
i
nnrmT )()()1( 10
flux) (resp.effort variablelasuit on quand
1) (resp. 0 jonctionsaux liens desn orientatiod' schangement de nb :10 nn
1 2
1 2
1
1
1
1 2
f1 = f2
e1 - e2 = 0
f1 = f2
e1 + e2 = 0
f1 = f2
- e1 - e2 = 0
1 2
1 2
0
0
1 2
e1 = e2
f1 - f2 = 0
e1 = e2
f1 + f2 = 0
e1 = e2
- f1 - f2 = 0
0
effort inchangé, signe du flux lié à l'orientation des liens flux inchangé, signe de l'effort lié à l'orientation des liens
5 - Modèles mathématiques associés au modèle bond graph
jjjj
iiii
GYlGYr
TFkTFm
du causalité lasuivant 1 ,du module :
du causalité lasuivant 1 ,du module :
Gain d'un chemin causal indirect
e
e
l
j
j
k
i
i
nngrmT ji )()()1( 10
Elément = R, C ou I
ance)(transmitt : élément gain de l'ge
C 0 1 TF 1 GY 0 R
élément
e f e
61
Gain d'un élément R, C, I
CssE
sF
dt
deCf
)(
)(
CssF
sEfdt
Ce
1
)(
)(1
5 - Modèles mathématiques associés au modèle bond graph
C en causalité intégrale
IssE
sFedt
If
1
)(
)(1
C en causalité dérivée
I en causalité intégrale Is
sF
sE
dt
dfCe
)(
)( I en causalité dérivée
Rfe R en causalité résistance e
Rf
1R en causalité conductance
Gain d'une boucle causale
e
e
l
j
j
k
i
i
nngrmB ji )()()1( 2210
0 1 R :
R1
C : C1
e
f
)1
)(1
()1(11
01
RsCB
1 TF I : I1 R : R1
e
f
))(1
()1( 11
210 RsI
mB
62
Fonction de transfert
Règle de Mason
Y s
E s
T s D s
D s
i i
i( )
( )
( ). ( )
( )
D s B B B B B Bi
i
i
i j
j i
i j k
j k( ) ......, , ,
1
Bi
i
: somme des gains des boucles causales prises 1 à 1
B Bii j
j
,
: somme des produits 2 à 2 des gains de boucles causales disjointes
T si ( ) : gain de la ième
chaîne d’action
D si ( ) : se calcule comme D(s) quand on a enlevé la ième
chaîne d’action
Boucles causales disjointes: pas de lien ni de jonction en commun parcourus en suivant la même variable
5 - Modèles mathématiques associés au modèle bond graph
63
Equation d'état
5 - Modèles mathématiques associés au modèle bond graph
Variables d’état associées aux éléments I et C: variables d’énergie
C
I
q
px
C
I
f
ex
u Variables de commande associées aux sources d’entrée: MSe et MSf
De et Df si mesurées
Variables de perturbations associées aux sources d’entrée: Se et Sf
yd
Variables de sorties à commander associées aux détecteurs de sortie
De* et Df * si non mesurées mesurées
Variables de sorties mesurées associées aux détecteurs de sortie: De et Df z
),,(
),,(
),,(
duxgz
duxgy
duxfx
z
y
dRuRxCz
dDuDxCy
HdBuAxx
duz
duy
cas NL
Cas linéaire: EDO
dRuRxCz
dDuDxCy
HdBuAxxE
duz
duy
Cas linéaire:
Equations algébro-différentielles
Eléments en causalité dérivée
64
Schéma fonctionnel (schéma bloc)
5 - Modèles mathématiques associés au modèle bond graph
1 e1 e3
e4
e2 f2
f3
f4
f1
f4
f1
f3
f2
_
e3
e1
e2
e4
0 e1 e3
e4
e2 f2
f3
f4
f1
e1
e3
e4
e2 _
f4
f1
f2
f3
34
32
31
4213
ff
ff
ff
eeee
43
42
41
3214
ee
ee
ee
ffff
65
S e 1
R : R 1 R : R 2
0
C : C I : L
5 - Modèles mathématiques associés au modèle bond graph
Exemple: Schéma fonctionnel (schéma bloc)
E
L R 1
R 2 C
e1
e3
e4
e2
_
e1
f4
f2
f1
e6
e4
e5
e3
e2
U
f3 f6
f5 f6
f5
f2
Ls
1
_
1R
e1
e5
_
_
f4
Cs
1
f3
2R
De
Y
66
Exemple électrique (cas linéaire)
E
L R 1
R 2 C
xC
evz
xL
fiy
Ex
CRL
CL
R
x
C
L
úû
ùêë
é
úû
ùêë
é
úû
ùêë
é
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
1
5
2
12
1
1
10
01
0
1
11
1
1
xp
q q
I
C
L
C
1
x
q
e
f
L
C1
2
5
MS e : E 1 0
I : L
R : R 1 R : R 2
C : C 1
1
2
3
4
5
6
De : vC1
capteur
Df*:iL Non mesuré
À commander
4312
242321
eeee
ffffff
* Lois de structure
Jonction 1:
Jonction 0 :
645
5654
fff
eeee
Ee
qe
ef
f
fe
CC
R
LL
R
1
5
61
6
2
33
)(
)(
)(
)(
11
2
1
f
* Lois élémentaires
f6=1/R2 e6
e3=R1 f3
E e 1
q e5=1/C1 C 1
f2=1/L L f
5 - Modèles mathématiques associés au modèle bond graph
u
67
Modélisation
langage de représentation unifié
structure la démarche de modélisation
facilite le dialogue entre spécialistes de domaines physiques différents
simplifie la construction de modèles pluridisciplinaires
fait apparaître explicitement les transferts de puissance
permet de faire des bilans énergétiques
fait apparaître explicitement les relations de cause à effet
permet une écriture systématique des modèles mathématiques associés au bond
graph
6 – Remarques et conclusion
Différentes étapes dans la conception intégrée : modélisation,
identification, analyse, simulation, commande, surveillance…
Identification
pas de modèle "boîte noire"
identification des paramètres inconnus de phénomènes physiques connus
sens physique du modèle mathématique obtenu
68
mise en évidence des problèmes de causalité, et donc de "simulabilité" numérique
étude de la stabilité asymptotique ( fonctions de Ljapunov)
estimation de dynamiques du modèle et identification des variables lentes et rapides
• choix du pas de calcul, des capteurs adaptés à la dynamique
• multicadençage des commandes
étude des propriétés liées à l'architecture du système
• aide pour la conception du système de commande et d'observation
• choix et positionnement des capteurs et des actionneurs
6 – Remarques et conclusion
Différentes étapes dans la conception intégrée : modélisation,
identification, analyse, simulation, commande, surveillance…
Analyse
Commande
sens physique des variables du modèle mathématique associé
validité physique des observateurs construits à partir des modèles d'état issus du bond graph
détermination de lois à partir de modèles simplifiés issus d'une modélisation plus fine
69
Surveillance
détermination graphique
• des propriétés de "surveillabilité"
• du nombre de capteurs
– pour que le modèle soit surveillable (localisation et détection des défauts)
construction de système de surveillance (équations de redondance analytique)
détermination des éléments "sensibles" d'un système
6 – Remarques et conclusion
Différentes étapes dans la conception intégrée : modélisation,
identification, analyse, simulation, commande, surveillance…
Simulation
logiciels spécifiques (20sim, CAMPG+ACSL, ENPORT, MS1, ARCHER , ...)
connaissance a priori des problèmes numériques (équations algébro-différentielles, équations
implicites) grâce à la causalité
accès à toutes les variables physiques associées aux phénomènes retenus dans la
modélisation
étude du fonctionnement en mode dégradé
intervient le plus tard possible après une analyse soignée (causale, structurelle) du modèle
=> le langage demande un apprentissage (comme l'informatique)
=> l'utilisateur de l'outil bond graph ne peut rien sans la connaissance PHYSIQUE du système
70
Quelques références bibliographiques
• H. Paynter "Analysis and design of engineering systems", MIT Press, 1961
• D. Karnopp, R. Rosenberg "Systems dynamics : a unified approach", John Wiley &
sons, 1975, 1991 (2nde édition)
• R. Rosenberg, D. Karnopp "Introduction to physical system dynamics", series in
mechanical engineering, Mac Graw Hill, 1983
• J. Thoma "Introduction to bond graphs and their applications", Pergamon Press, 1975
• P. Borne, G. Dauphin-Tanguy, J.P. Richard, F. Rotella, I. Zambettakis "Modélisation et
identification des processus", Méthodes et pratiques de l'ingénieur, éditions Technip,
volume 3, tome 2, 1992
• G. Dauphin-Tanguy " Les bond graphs et leur application en mécatronique " Techniques
de l ’Ingénieur, S 7 222-1 à 24, 1999
• "Les bond graphs "ouvrage collectif, G. Dauphin-Tanguy coordinateur, collection IC2,
Hermès, septembre 2000
• M. Vergé, D. Jaume "Modélisation structurée des systèmes avec les bond graphs",
Méthodes et pratiques de l'ingénieur, éditions Technip, volume 12, 2004