BG-cours-CS

1

Modélisation par bond graph

Conception intégrée des systèmes dynamiques

Christophe Sueur

Laboratoire d’Automatique Génie Informatique et Signal

L.A.G.I.S. UMR CNRS 8219

École Centrale de Lille

Cité Scientifique, BP 48

59651 Villeneuve d’Ascq cedex, France

E-mail : [email protected]

Tel : 03 20 33 54 07

mailto:[email protected]



2

Préambule

Mécatronique

• MECAnique + élecTRONIQUE

• Remplacement par des composants électroniques de fonctions précédemment assurées

par des composants mécaniques

• Conception intégrée de systèmes pluridisciplinaires pilotés

Modélisation – Commande – Sûreté de fonctionnement - Prototypage

informatique, automatique, électronique, sciences physiques

3

Pour la conception de nouveaux produits

Pour l’amélioration des produits existants

• nouvelles organisations

en projets (véhicule hybride, atelier chaîne de traction, ...)

en équipes pluridisciplinaires (mécanique, hydraulique, thermique, automatique,

électronique, ....)

• nouvelles contraintes

ne pas gaspiller le savoir-faire

être meilleur que les concurrents

capitaliser, réutiliser le savoir-faire

travailler de manière incrémentale

mélanger les niveaux de vision (macro/micro)

Préambule

4

Nouvelles organisations

Organisation en projets

* prendre le problème dans sa globalité

* recherche amont prototype

* conception intégrée

* modélisation, commande, sûreté de fonctionnement, prototypage

Equipes pluridisciplinaires

* Besoin

- d’un langage commun

- d’une approche commune (systémique ou phénoménologique, statique ou dynamique, ..)

- d’outils communs pour la simulation

* Capitalisation du savoir-faire

- bibliothèques de modèles

- construction modulaire des modèles

- cohérence des modèles entre eux

- documentation (hypothèses, domaines de validité,...)

Préambule

5

Les Bond Graphs dans ce contexte

• langage unique, quel que soit le domaine physique, fondé sur la notion d’analogie

équipe pluridisciplinaire / communication

• décomposition en sous-systèmes

approche modulaire

• fondé sur l’étude des phénomènes physiques

besoin de l’expertise propre aux domaines physiques concernés

• pour la modélisation, l’analyse des propriétés du modèle, la simplification, commande,

surveillance

conception intégrée, projet

Freins

• demandent un apprentissage, mais l’informatique aussi !

• peuvent sembler « compliqués » (et non « complexes »)

• ce qui est compliqué, c’est la physique, pas le mode de représentation

Préambule

6

Plan du document

1 - Introduction

2 - Terminologie bond graph

3 - Procédures de construction de modèles bond graph

4 - Causalité

5 - Passage d'un bond graph à un schéma-bloc

6 - Modèles mathématiques issus d'un bond graph

6 – Remarques et conclusion

7

Ingénierie des Systèmes

• Système mécatronique : Système pluridisciplinaire piloté, avec des transferts

d’information et de puissance

Contrôle-commande

Chaîne d’actionnement

calculateur consignes capteurs

Sources

de puissance actionneurs processus

Lien d’information Lien de puissance

Sources

de puissance

1 - Introduction

ESILV 2010 8

• Exemples de système mécatronique :

– Contrôle moteur : injection, turbocompresseur,…

– Contrôle suspension : amortisseur piloté, suspension hydractive,…

– Contrôle freinage : ABS, ESP,…

– Contrôle direction : direction assistée, …

– Contrôle boîte de vitesse : bv automatique, robotisée,…

1 - Introduction

ESILV 2010 9

Exemple de système mécatronique : EHA A320

Réseau

Continu

ou alternatif

Thermique

Machine

Synchrone

à aimants

Thermique Thermique

Onduleur

de tension

MLI

Thermique

Pompe

volumétrique

Vérin hydraulique

Gouverne d’aileron

Contrôle I Contrôle Contrôle

Thermique

Hydraulique Chimie Electricité Mécanique Mécanique Hydraulique

Exemple « fiction » : actionneur de gouverne alimenté par APU à PAC 6 franchissements

de domaines physiques

1 - Introduction

10

Commande

Conception intégrée

Modélisation

Simulation

Analyse

Simplification de Modèle

Supervision

Détection

et Isolation de fautes

Analyse pour la commande

Conception de Commande

Choix d’un modèle utilisable pour toutes les étapes de la procédure: un modèle de connaissance avec

un vrai sens physique et un modèle de représentation pour la conception des lois de commande

L’outil bond graph est bien adapté pour ces objectifs

1 - Introduction

11

• Père des bond graphs : Henry Paynter (MIT

Boston)

1er ouvrage : 1961 (« birthday » : 25 avril

1955)

• arrivée en Europe : fin des 70s

– Pays-Bas (Twente Univ.)

– France (Alsthom)

H. Paynter R.Rosenberg D. Karnopp D. Margolis

International Conference on Bond Graph Modelling

Phoenix, Arizona, Janvier 2001

Enseigné de façon récurrente à ECLille, INSA Lyon, INSA Toulouse, Sup Elec Rennes,

ENSAM Paris,…

Des conférences d’initiation dans de nombreuses écoles d’ingénieurs

De nombreuses formations continues et séminaires pour ingénieurs

1 - Introduction

12

Exemples d’applications industrielles

Alstom

Airbus

Aerospatiale

Airbus

IFP

Renault, Ford, Toyota,

General Motors, EDF,

Thalès, CEA, Bosch,

Valeo, Siemens..

Sherpa Eng., CERTIA,

Virtual Dynamics…

1 - Introduction

13

1) Analyse fonctionnelle

Décomposition en sous-systèmes qui échangent de la puissance

Bond graph à mots

2) Analyse phénoménologique

Identification des composants et phénomènes physiques qui transforment la puissance fournie

en énergie stockée ou dissipée – bilans d’énergie, de masse –

Bond graph détaillé

3) Analyse

* causale : Visualisation des relations de cause à effet et analyse des conflits de causalité

Bond graph causal

* structurelle : Parcours de chemins sur le BG

architecture de commande, de mesures, de surveillance

4) Construction des modèles mathématiques associés

Démarche de modélisation


14

Principes

Représentation graphique des transferts de puissance

Langage unifié pour tous les domaines physiques (analogie)

Modèle BG d’un système :

entre le schéma physique et les modèles mathématiques

visualisation de la causalité

Hypothèse : paramètres localisés


15

Moteur DC

Arbre

Pignon

Crémaillère

Piston

Cylindre

Orifice

Moteur

DC

Arbre

Pignon

+

Crémail.

Piston

Cylindre

+ Orifice

u

i

F

V

P

Q

1T

1

2T

2

Penv

Q0

bond graph à mots

Électrique

+Mécanique

rotation

Mécanique

rotation

Mécanique

rotation+

Translation

Mécanique

translation+

Pneumatique

Pneumatique


16

Eléments du langage bond graph


Stockage

d’énergie

I, C

Sources

Se, Sf

Dissipation

d’énergie

R

Structure de

Jonction

(O, 1, TF, GY)

Détecteurs

De, Df

3 éléments passifs (reçoivent la puissance)

R : dissipation d’énergie

C , I : stockage d’énergie

2 éléments actifs (fournissent de la puissance)

Se , Sf : source d’effort , source de flux

4 éléments de jonction (conservatifs de

puissance)

0, 1, TF, GY

2 détecteurs supposés idéaux (ne

consomment pas de puissance

De, Df

17

Variables généralisées

1- variables de puissance

Puissance P(t) = e(t) . f(t) e(t) « effort » f(t) « flux »

2 - variables d’énergie

Energie E(t) = P() d p(t) = e() d" moment "

q(t) = f() d" déplacement "

4 variables généralisées e, f, p, q


18

Variables généralisées

fdtq

Domaine Effort

e

Flux

f

Moment

Déplacement

Mécanique

Translation

Rotation

force

couple

vitesse

vitesse angulaire

moment

moment

angulaire

déplacement

angle

Electrique tension courant flux magnétique charge

Hydraulique pression débit volumique moment de

pression

volume

Chimique potentiel

chimique

flux molaire nombre de moles

Thermodynamique température flux d’entropie entropie

edtp

Variables de puissance Variables d’énergie


19

Eléments actifs et passifs

Elément

Symbole

Loi générique

Exemples

Comportement

Energétique

Eléments

actifs

Se

Sf

e indep de f

f indep de e

gravité,

générateur de tension

pompe

générateur de courant

Apport de

puissance

Eléments

Passifs

R

C

I

R ( e, f ) = 0

C ( e, q ) = 0

I ( p, f ) = 0

damping, friction,

résistance électrique

restriction hydraulique

ressort, réservoir

condensateur

élasticité,

compressibilité

masse, inertie,

bobine

Dissipation

d’énergie

(chaleur)

stockage d’énergie

(potentielle,

électrique)

stockage d’énergie

(cinétique,

magnétique)


20

Eléments de Jonction

Elément

Symbole

Loi générique

Exemples

Eléments de

Jonction

(conservative

de puissance)

0

1

TF

m

GY

r

e1 = e2 =...= en

ai fi = 0

f1 = f2 =...= fn

ai ei = 0

e1 = m . e2

f2 = m . f1

e1 = r . f2

e2 = r . f1

même force,

pression,

tension, …

même vitesse,

débit vol,

courant, …

levier, poulies

embrayages,

transfo elect.

transducteur

moteur,

capteur à effet

Hall

transducteur


21

Energie stockée dans les éléments I et C

Energie stockée dans un élément C )().( qdtfe CC dqdf .

tq

q

dqqeqE

0

).()( ))(( 0qE

Energie stockée dans un élément I )().( pdtef II e d dp.

tp

p

dppfpE

0

).()( ))(( 0pE


t

dfetE0

)().()( ))0(( E

e

p q

f

R

I

C

dt

dt

Tétraèdre de Paynter

22

Stockage d’énergie cinétique

2 - Terminologie bond graph : exemple éléments I,C

Volant d’inertie Masse Tube Bobine

Stockage d’énergie potentielle

Elément I

Elément C Ressort Réservoir Condensateur Four

Eléments à stockage d’énergie

23

2 - Terminologie bond graph : exemple Jonction 1

VVVV 321

1 P1

2VP3

1 3V

R:R1 R:R2

P3 -P2 1V

1V

P3

P1 -P3 P1 P2 P3

R1 R2

1V2V 3V

E C

R L

UR UL

UC i

1 E

i i

i

Se:E

E -UR -UL – UC=0

UR

R

L

C

UL

UC i

k x

M

F(t) b 1

F FR

FC

C:1/k

2xx

I:M

R:b

FM

F -Fk - FM – Fb=0

ESILV 2010 24

E

C

R

i i1

i2

1V

2V

3V

2x1x

F

0 E

i i1

E i2 E

R

C

Se:E

i - i1 - i2=0

0 F F

F

C:1/k

1x 2x

3x213 xxx

0 P

1V

P

2V

3V

P

321 VVV

2 - Terminologie bond graph : exemple Jonction 0

25

TF

:m

1u

1i

2u

2i2 1 mu u

TF

:b/a

21 .Fa

bF

F2 F1

1x 2x

u1 u2

i2 i1

Transformateur électrique

xF ,

VP ,

Piston hydraulique

TF

:1/A

P

V

F

xF

AP

1

puissance hydraulique transformée en puissance

mécanique

A : aire du piston

F2 F1

2x

1x

a b

Levier

2 - Terminologie bond graph : exemple transformateur TF

26

charge

Partie électrique Partie mécanique

au

fu

aifi

),( bJ

),( aa LR

« a » armature = induit

« f » field = inducteur

2 - Terminologie bond graph : exemple Moteur à courant continu

fi

MGY)( fikr

1

emT

JI :

bT

bR :

eT

JT

Charge 1 au

ai

au

arR :

aLI :

Rau

ai ai

aiLau

eu:Se

rfu1 fu

fu

fLI :

frR :fi

fiLfu

:Se

fi

afem iikT

fe iku

27

Systèmes électriques monophasés

Procédure

1- Fixer un sens de circulation pour le courant. Il sera pris comme sens de transfert de la

puissance.

2- Rechercher tous les nœuds de potentiels différents. Placer une jonction 0 par noeud.

3- Placer une jonction 1 entre deux jonctions 0 et y attacher les éléments soumis à la

différence de potentiels correspondants

4- Relier les jonctions par des liens, en respectant le sens de transfert de la puissance.

5- Choisir un nœud de référence (ou plusieurs suivant les cas) et supprimer la (ou les)

jonction(s) 0 qui y est (sont) associée(s), ainsi que tous les liens qui y sont attachés.

Simplifier si possible.

0

1

ou

0

1

ou

3 - Procédures de construction de modèles bond graphs: systèmes électriques

28

Exemple de système électrique

R1R2

E

L1

R3

C1

L2

a b c

d

e

f

g

h

0 a 0 b 0 c

0 d

0 e 0 f

0 g

1

1

1

1

1 1

1

1 T F

0 h 1 S e : E

R : R 1

R : R 2

R : R 3

C : C 1

I : L 1

I : L 2


29

Exemple de système électrique (suite)

R1R2

E

L1

R3

C1

L2

Se : E 1 0

1

1

0 TF 1

R:R1

I:L1

R:R2

R:R3

I:L2

C:C1


30

U0

i1

i

iL

L

C I

i2

i3

R1 R2

R3

iC

Exercice: Exemple électrique


31

Systèmes mécaniques 1D

Procédure

1- Fixer un axe de référence pour les vitesses.

2- Rechercher toutes les vitesses différentes (vitesses absolues pour les masses et inerties,

vitesses relatives pour les autres). Placer une jonction 1 par vitesse différente. Y

attacher les éléments correspondants.

3- Exprimer les relations entre vitesses. Placer une jonction 0 par relation entre les

jonctions 1 associées aux vitesses intervenant dans la relation.


5- Supprimer les jonctions 1 associées à une vitesse nulle, ainsi que tous les liens qui y

sont attachés. Simplifier si possible:

3 - Procédures de construction de modèles bond graphs: systèmes mécaniques 1D

32

Exemples: mécanique translation


k1

b

g M

k2

M K b2 F(t)

b1

33

Exemples: mécanique rotation


34

Exemple : suspension 1/4 véhicule (technologie mécanique)

M

K

k

b

z M

z m

g

z

m

S f : d z / d t

0

1

1

0

S e : - M g

S e : - m g

C : 1 / k

C : 1 / K

I : M

I : m

1

R : b


35

Exercice : train sur une pente

M1

M2

M3

k1 k2

b

a


36

Exemple : système bielle - manivelle

x

a

b

P,V

q

MTF

[f -1(q)]

TF F

v

P

1/Ap

2/1222 )sin(cos qq abax

q

qqqqq

)(

22/1222 ]cossin)sin(sin[

fv

aabax

V


37

Systèmes hydrauliques

Procédure

1- Fixer un sens de circulation pour le fluide. Il sera pris comme sens de transfert de la

puissance.

2- Rechercher tous les nœuds de pressions différentes. Placer une jonction 0 par noeud.

3- Placer une jonction 1 entre deux jonctions 0 et y attacher les éléments soumis à la

différence de pressions correspondantes.


5- Choisir une pression de référence (pression atmosphérique en général) et supprimer les

jonctions 0 qui y sont associées, ainsi que tous les liens qui y sont attachés. Simplifier si

possible:

3 - Procédures de construction de modèles bond graphs; systèmes hydrauliques

38

Systèmes hydrauliques: quelques rappels


Elément R Dissipation d’énergie: restriction

1P1

2P

vq vq

vq

kR /1:

21 PP Ecoulement laminaire:

Ecoulement turbulent

)( 21 PPkqv

)( 21 PPfqv

Elément I stockage d’énergie: tube

dt

dvA

dt

dqAvq v

v

dt

dq

A

LPP v

)( 21

dt

dvALAPPF )( 21

A

LI

1P1

2P

vq vq

vq

A

LI

:

21 PP

39

Elément C stockage d’énergie: réservoir

Systèmes hydrauliques: quelques rappels

SLBCSLB

V

VP

dP

dV

VB

11


Pour un fluide compressible: B = Coefficient de compressibilité

A

gC

A

gVghP

P

vqAgC /:

Transformateur TF conservation d’énergie

Pompe

Vérin

Amplificateur Pression

0V

CTF

P

vqV0: Cylindrée

A

FTF

P

V vqA: Section

m

1FTF

1V

2F

2V2

1

A

Am

40

Exemple : distributeur hydraulique 4 voies

P : Alimentation

T : Retour

A et B : Utilisations

A B

P T

.

A

B

T P

RPA RAT

RBT RPB

A

PA 1 0

0

RPA

P

1

0

PB

1

1

RAT

RBT RPB

T

B

QPA

QAT

QPB QBT

0

0


41

Exemple : suspension 1/4 véhicule (technologie oléopneumatique)

M

S f : d z / d t

0

1

1

0

S e : - M g

S e : - m g

C : 1 / k

I : M

I : m

T F S

1

C : C s p h

R : R a m g

3 - Procédures de construction de modèles bond graphs: exemple

42

cylC:C

0

P

envP- :Se

Moteur DC

arbre

Pignon

Crémaillère

Piston

Cylindre

Orifice

TF

: Ap

P

0Q

1

orifR:R

10

shk/1:C

2

1 2

TF

: rp

mF2

cremm:I

V 1

F1

1

motJ:I

motB:R

1 ri

rL:I

rR:R

GY

: k

Se : u

mcc arbre pignon + crémaillère piston cylindre+orifice

3 - Procédures de construction de modèles bond graphs: exemple

43

Systèmes mécaniques 2D

* Variables géométriques de base qC : Vecteur des déplacements définissant l’énergie potentielle

(associée aux éléments C)

qk : Vecteur des déplacements cinématiques

(ou coordonnées généralisées au sens de Lagrange)

vI : Vecteur des vitesses définissant l’énergie cinétique

(associée aux éléments I)


Procédure

1- Ecrire les relations géométriques entre variables

2- Dériver pour obtenir les relations cinématiques

3- Appliquer la procédure de la mécanique 1D

* Calcul des relations entre vitesses

* Construction de la structure de jonction

0, MTF 0, MTF

1

1

1

1

1

1

I

I

C

C

1Cq

mCq

1kq

pkq

1Iv

nIv

44

Exemple: oscillateur masse - ressort

x

y m

k

l

x

y

k

l

yk ym

xm

a kC

k

k

yq

yq

a

.01 .01 k

T

CkCC qqqyq

Ck

kmy

mx

km

m

ylyv

lxv

yly

lx

aa

aa

a

a

sin

cos

cos

sin


y

x

I v

vv

45

Exemple: oscillateur masse – ressort – modèle bond graph

MTF MTF 1

1

1 0 1

1

I:m

I:m

1/k:C

Cy ky

a

xv

yv

MTF

MTF

MTF

0

MTF 0

acosl

asinl

0

1 0

1


1

1

1

1 I:m

C ky

a

xv

yv

MTF

MTF

MTF 0

acosl

asinl

0

1

Se : mg

I:m

46

Exercice: pont roulant (schéma physique simplifié)

M1

M2

F

Schéma physique Variables géométriques clé

q

z

x

z1

l

x1 x2

z2

O


47

Exercice: suspension voiture


48

Exercice: pont roulant


49

f

f

f

1

2

3

1 12 13

21 2 23

31 32 3

1

2

3

L M M

M L M

M M L

i

i

i

é

ë

êêê

ù

û

úúú

é

ë

êêê

ù

û

úúú

é

ë

êêê

ù

û

úúú

1u

1i

3u

3i

2u

2i

u 1 i 1

u 2

i 2 u 3 i 3

3 - Procédures de construction de modèles bond graphs: extension multiport et pseudo bond graph

I

i V

Fu

u

i

F

V

ICi x

E

L x

F xE

x

dL x

dx L x

( , )( )

( , )( )

( )

f

f

f

f

f

2

22

),,( mSVUQ Q

VP ,

ST , ST , i

n

iimTdSPdVdU

1

Équation de Gibbs

C P

V

T

S

1 n

1m nm

i

SV

i dmm

U

,

ESILV 2010 50

Exemple : transfert de chaleur

T1 T2

Q.

T1>T2

échange de chaleur à travers une paroi

(résistance thermique)

"vrai" bond graph

SH T T

T

SH T T

T

11 2

1

21 2

2

( )

( )

T2

R

T1

1

T1-T2 Q.

Q H T T

( )1 2

Q T S T S

1 1 2 2

lois non linéaires loi linéaire

R T2 T1

1S 2S

3 - Procédures de construction de modèles bond graphs: extension multiport et pseudo bond graph

e.fP

dt

dSf

Te

entropied'flux :

etempératur: « pseudo" bond graph

e.fP

dt

dQf

Te

chaleur deflux :

etempératur:

51

Causalité

• visualisation, au sens schéma - bloc, des relations

– de cause à effet

– entrée - sortie

– donnée – inconnue

4 - Causalité

e

f e

f A B A B

A B A B e

f

Convention: le trait causal est placé près (loin) de l’élément pour lequel l’effort (le flux) est une donnée

e

f

BA

AB

ff

ee

• un des avantages majeurs de la technique bond graph

– écrire systématiquement les équations

– détecter des incohérences dans les équations

– parcourir le bond graph comme un graphe

BA

AB

ee

ff

52

Règles d'affectation de la causalité

4 - Causalité

53

Règles d'affectation de la causalité

4 - Causalité

54

Procédure d'affectation de la causalité

1 - Affecter la causalité (obligatoire) aux sources et aux R non linéaires et répercuter sur

l'environnement.

2 - Mettre les I et C en causalité intégrale préférentielle et répercuter sur l'environnement.

3 - Affecter les causalités aux éléments R linéaires en respectant les restrictions de

causalité aux jonctions.

4 - En cas de conflit à une jonction, rechercher l'élément I ou C cause du conflit et le

mettre en causalité dérivée. Boucler en 3 -.

4 - Causalité

55

Exemples

Se

R C

R

Pas de problème de simulation!

4 – Causalité: exemple

Se 1

R : R1 R : R2

0TF GY

C : C2

I : I2

I : I1C : C1

0

R : R3choix

Se 1

R : R1 R : R2

0TF GY

C : C2

I : I2

I : I1C : C1

0

R : R3Autre choix

Non déterminisme Problèmes de simulation!

56

Causalité non déterministe

E

R1

R2Se 1

R : R1 R : R2

0

C : C1

L1

I : L1C1

R, C, I

l: inductance du fil

Prix à payer :

- valeur de l ?

- très petite constante de temps


57

Causalité dérivée

k a b

F(t)

M1 M2

1 T F 1 S e : F

I : M 1

C : 1 / k

I : M 2

c a u s a l i t é d é r i v é e

b / a

1 T F S e : F

I : M 1 C

0 1

C : 1 / k

I : M 2

1

I : M

S e : F T F 1

C : 1 / k Se : Mg

M= M1+(b/a)2M2

VM2=b/a VM1

Relation de contrainte cinématique


Masse équivalente Ajout raideur

58

Moteur

DC

Arbre

Pignon

+

crémaill

Piston

Cylindre

+

Orifice

u

i

F

V

P

Q

1

1

2

2

-Penv

Q0

Moteur DC

arbre

Pignon

Crémaillère

Piston

Cylindre

Orifice

0

shk/1:C

2

2

1

orifR:R

TF

Ap

P

cylC:C

0

0Q

P envP

1 TF

: rp

mF2

V

1

cremm:I

F

V 1

1GY 1

motJ:I

motB:R

1

AL:I

AR:R

u

i


59

1 0

e e

f f f

e

c h e m i n c a u s a l

C : C 1 0 1 R : R 1

e e e

f f f

b o u c l e c a u s a l e

c h a î n e d ' a c t i o n S e 0 1 s o r t i e

e

5 - Modèles mathématiques associés au modèle bond graph

Modèles mathématiques déduits du bond graph

- Fonction de transfert (cas linéaire uniquement)

- Equation d’état linéaire ou non linéaire

Utilisation de plusieurs concepts liés à la causalité : chemin causal, boucle causale…

60

Gain d'un chemin causal direct

jil

j

j

k

i

i

nnrmT )()()1( 10

flux) (resp.effort variablelasuit on quand

1) (resp. 0 jonctionsaux liens desn orientatiod' schangement de nb :10 nn

1 2

1 2

1

1

1

1 2

f1 = f2

e1 - e2 = 0

f1 = f2

e1 + e2 = 0

f1 = f2

- e1 - e2 = 0

1 2

1 2

0

0

1 2

e1 = e2

f1 - f2 = 0

e1 = e2

f1 + f2 = 0

e1 = e2

- f1 - f2 = 0

0

effort inchangé, signe du flux lié à l'orientation des liens flux inchangé, signe de l'effort lié à l'orientation des liens


jjjj

iiii

GYlGYr

TFkTFm

du causalité lasuivant 1 ,du module :

du causalité lasuivant 1 ,du module :

Gain d'un chemin causal indirect

e

e

l

j

j

k

i

i

nngrmT ji )()()1( 10

Elément = R, C ou I

ance)(transmitt : élément gain de l'ge

C 0 1 TF 1 GY 0 R

élément

e f e

61

Gain d'un élément R, C, I

CssE

sF

dt

deCf

)(

)(

CssF

sEfdt

Ce

1

)(

)(1


C en causalité intégrale

IssE

sFedt

If

1

)(

)(1

C en causalité dérivée

I en causalité intégrale Is

sF

sE

dt

dfCe

)(

)( I en causalité dérivée

Rfe R en causalité résistance e

Rf

1R en causalité conductance

Gain d'une boucle causale

e

e

l

j

j

k

i

i

nngrmB ji )()()1( 2210

0 1 R :

R1

C : C1

e

f

)1

)(1

()1(11

01

RsCB

1 TF I : I1 R : R1

e

f

))(1

()1( 11

210 RsI

mB

62

Fonction de transfert

Règle de Mason

Y s

E s

T s D s

D s

i i

i( )

( )

( ). ( )

( )

D s B B B B B Bi

i

i

i j

j i

i j k

j k( ) ......, , ,

1

Bi

i

: somme des gains des boucles causales prises 1 à 1

B Bii j

j

,

: somme des produits 2 à 2 des gains de boucles causales disjointes

T si ( ) : gain de la ième

chaîne d’action

D si ( ) : se calcule comme D(s) quand on a enlevé la ième

chaîne d’action

Boucles causales disjointes: pas de lien ni de jonction en commun parcourus en suivant la même variable


63

Equation d'état


Variables d’état associées aux éléments I et C: variables d’énergie

C

I

q

px

C

I

f

ex

u Variables de commande associées aux sources d’entrée: MSe et MSf

De et Df si mesurées

Variables de perturbations associées aux sources d’entrée: Se et Sf

yd

Variables de sorties à commander associées aux détecteurs de sortie

De* et Df * si non mesurées mesurées

Variables de sorties mesurées associées aux détecteurs de sortie: De et Df z

),,(

),,(

),,(

duxgz

duxgy

duxfx

z

y

dRuRxCz

dDuDxCy

HdBuAxx

duz

duy

cas NL

Cas linéaire: EDO

dRuRxCz

dDuDxCy

HdBuAxxE

duz

duy

Cas linéaire:

Equations algébro-différentielles

Eléments en causalité dérivée

64

Schéma fonctionnel (schéma bloc)


1 e1 e3

e4

e2 f2

f3

f4

f1

f4

f1

f3

f2

_

e3

e1

e2

e4

0 e1 e3

e4

e2 f2

f3

f4

f1

e1

e3

e4

e2 _

f4

f1

f2

f3

34

32

31

4213

ff

ff

ff

eeee

43

42

41

3214

ee

ee

ee

ffff

65

S e 1

R : R 1 R : R 2

0

C : C I : L


Exemple: Schéma fonctionnel (schéma bloc)

E

L R 1

R 2 C

e1

e3

e4

e2

_

e1

f4

f2

f1

e6

e4

e5

e3

e2

U

f3 f6

f5 f6

f5

f2

Ls

1

_

1R

e1

e5

_

_

f4

Cs

1

f3

2R

De

Y

66

Exemple électrique (cas linéaire)

E

L R 1

R 2 C

xC

evz

xL

fiy

Ex

CRL

CL

R

x

C

L

úû

ùêë

é

úû

ùêë

é

úû

ùêë

é

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

1

5

2

12

1

1

10

01

0

1

11

1

1

xp

q q

I

C

L

C

1

x

q

e

f

L

C1

2

5

MS e : E 1 0

I : L

R : R 1 R : R 2

C : C 1

1

2

3

4

5

6

De : vC1

capteur

Df*:iL Non mesuré

À commander

4312

242321

eeee

ffffff

* Lois de structure

Jonction 1:

Jonction 0 :

645

5654

fff

eeee

Ee

qe

ef

f

fe

CC

R

LL

R

1

5

61

6

2

33

)(

)(

)(

)(

11

2

1

f

* Lois élémentaires

f6=1/R2 e6

e3=R1 f3

E e 1

q e5=1/C1 C 1

f2=1/L L f


u

67

Modélisation

langage de représentation unifié

structure la démarche de modélisation

facilite le dialogue entre spécialistes de domaines physiques différents

simplifie la construction de modèles pluridisciplinaires

fait apparaître explicitement les transferts de puissance

permet de faire des bilans énergétiques

fait apparaître explicitement les relations de cause à effet

permet une écriture systématique des modèles mathématiques associés au bond

graph


Différentes étapes dans la conception intégrée : modélisation,

identification, analyse, simulation, commande, surveillance…

Identification

pas de modèle "boîte noire"

identification des paramètres inconnus de phénomènes physiques connus

sens physique du modèle mathématique obtenu

68

mise en évidence des problèmes de causalité, et donc de "simulabilité" numérique

étude de la stabilité asymptotique ( fonctions de Ljapunov)

estimation de dynamiques du modèle et identification des variables lentes et rapides

• choix du pas de calcul, des capteurs adaptés à la dynamique

• multicadençage des commandes

étude des propriétés liées à l'architecture du système

• aide pour la conception du système de commande et d'observation

• choix et positionnement des capteurs et des actionneurs




Analyse

Commande

sens physique des variables du modèle mathématique associé

validité physique des observateurs construits à partir des modèles d'état issus du bond graph

détermination de lois à partir de modèles simplifiés issus d'une modélisation plus fine

69

Surveillance

détermination graphique

• des propriétés de "surveillabilité"

• du nombre de capteurs

– pour que le modèle soit surveillable (localisation et détection des défauts)

construction de système de surveillance (équations de redondance analytique)

détermination des éléments "sensibles" d'un système




Simulation

logiciels spécifiques (20sim, CAMPG+ACSL, ENPORT, MS1, ARCHER , ...)

connaissance a priori des problèmes numériques (équations algébro-différentielles, équations

implicites) grâce à la causalité

accès à toutes les variables physiques associées aux phénomènes retenus dans la

modélisation

étude du fonctionnement en mode dégradé

intervient le plus tard possible après une analyse soignée (causale, structurelle) du modèle

=> le langage demande un apprentissage (comme l'informatique)

=> l'utilisateur de l'outil bond graph ne peut rien sans la connaissance PHYSIQUE du système

70

Quelques références bibliographiques

• H. Paynter "Analysis and design of engineering systems", MIT Press, 1961

• D. Karnopp, R. Rosenberg "Systems dynamics : a unified approach", John Wiley &

sons, 1975, 1991 (2nde édition)

• R. Rosenberg, D. Karnopp "Introduction to physical system dynamics", series in

mechanical engineering, Mac Graw Hill, 1983

• J. Thoma "Introduction to bond graphs and their applications", Pergamon Press, 1975

• P. Borne, G. Dauphin-Tanguy, J.P. Richard, F. Rotella, I. Zambettakis "Modélisation et

identification des processus", Méthodes et pratiques de l'ingénieur, éditions Technip,

volume 3, tome 2, 1992

• G. Dauphin-Tanguy " Les bond graphs et leur application en mécatronique " Techniques

de l ’Ingénieur, S 7 222-1 à 24, 1999

• "Les bond graphs "ouvrage collectif, G. Dauphin-Tanguy coordinateur, collection IC2,

Hermès, septembre 2000

• M. Vergé, D. Jaume "Modélisation structurée des systèmes avec les bond graphs",

Méthodes et pratiques de l'ingénieur, éditions Technip, volume 12, 2004

Documents

BG-cours-CS