CHAPITRE 1
Analyse Tridimensionnelle des Contraintes et Critères d’Écoulement
État de contrainte en 3D
Contraintes principales (cercle de Mohr)
Critère de défaillance Contrainte de cisaillement max. (Tresca)
Énergie de distorsion max. (Von Mises)
Contrainte normale max.
Notions de base utilisées
L'équilibre dans l’espace
Les notions de contraintes
Les notions de déformations
Les relations contrainte-déformation-température
Les critères de défaillance
Notions d’équilibre (statique)
DCL
Équation d’Équilibre
F=0
M=0
Notion de contrainte
Soit un point P appartenant au plan dont la normale est n est une force interne agissant sur une surface infinitésimale au pt P.
A
R
RF
V
A
P
n
Notions de contraintes
1. Contrainte normale
2. Contraintes de cisaillementnσ
AV
0Alimτ s
ns
AV
0Alimτ t
nt
AF
0Alimσ
n
ntns
F
V
A
P
n
Vt
Vs
t
s
Les notions de déformations(2D: dans le plan xy)
Déformation normales x y
Déformation de cisaillement xyy
xxvv
yyuu
yyvv
xxuu
x
y
xy2
u
v
x
y
A B
CA'
B'
C'
x
AB
AB'B'Alim
0xx
x
u
x
xuxx
uux
lim0x
x
y
v
y
yvyy
vvy
lim0y
y
y
u
x
vxy
Les notions de contraintes-déformations-température Loi de Hooke
x
x
y
y
z
z
T=T-To
/Eσνε/Eσνε
/Eσε
xz
xy
xx
/Eσνε/Eσε
/Eσνε
yz
yy
yx
E/E/E/
zz
zy
zx
ΔTαεΔTαεΔTαε
z
y
x
Les notions de contraintes-déformations-température Loi de Hooke - (suite)
Relation contraintes-déformationsxy
z
x
y
yx
xyyx
yz
zy
G
τγ xy
xy
Gτ
γ xzxz
G
τγ yz
yz
ΔTα )σσ(νσ E
1ε zyxx
ΔTα )σσ(νσ E
1ε xzyy
ΔTα )σσ(νσ E
1ε yxzz
G
τγ xy
xy
Gτ
γ xzxz
G
τγ yz
yz
État tridimensionnel
Soit P un parallélépipède infinitésimal
Tenseur de contrainte ij
P
x
y
z
x
xy
xz
x
xy
xzzxz
yx
y
yz
y
yz
yx
zy
zzx
y
x
z
σ τ τ
τ σ τ
τ τ σ
=
σ σ σ
σ σ σ
σ σ σ
= σ
zzyzx
yzyyx
xzxyx
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
ij
Équilibre des moments suivant z
0ΔxΔzΔyτΔyΔzΔxτyxxy
yxxyττ
zxxzττ
zyyzττ
Mz= 0
My= 0
Mx= 0
jisiσijij
jisiσσ
iij
j,iσσjiij
État Plan de Contrainte
x
xyx
xy
yx
yx
y
y
yyx
xyx
yFace
xFace
yxxy
x
xy
x
xy
yx
y
y
yx
y
x
facepositive
facenégative
x
xy
xzx
xyxz
zx
z
yx
y
yz
y
yzyx
zy
zzx
y
x
z
z
x
y
zy
z xz yz 0 Condition:
Contraintes suivant un plan incliné
P
P
F F
F F
Fn
Ft
section A
cos
AsinF
cosA
F
A
F tt
sincosA
F
cos
AcosF
cosA
F
A
F nn
2cosAF
AF
0
,0
Transformation des contraintes
F
y'x'
x
yx'
x'y'
x'
x'y'
y'x'y'
y'y'x'
Transformation des contraintes
x
xy
x
xy
yx
y
y
yx
x
xy
x'x'y'
y
yx
x'
y'y
x
A cos
A sin
A
x A cosx' A
x'y' A
x'
y'
y A sin
yn A sin
xy A cos
0
cossinAsincosA
sinsinAcoscosAA
xyxy
yx'x
0
sinsinAcoscosA
cossinAsincosAA
xyxy
yx'y'x
Équilibre en x’
Équilibre en y’
DCL
2222
sincos xy
yxyx
'x
222
cossin xy
yx
'y'x
2222
sincos xy
yxyx
'y
cossinsincos xyyx'x 222
22 sincossincos xyyx'y'x
22 sincossin
212
12 cossin
212
12 coscos
Équilibre en x’
Équilibre en y’
Trigonométrie
Transformation des contraintes
Transformation
x ' y ' x yx
Un réservoir sous pression de 2.5 m de diamètre est fabriqué à partir de plaques de 10mm soudées bout à bout et sont en forme d’hélice. Sachant que la pression maximale est de 1.2 MPa, calculer :
a) les contraintes générées, max
b) la contrainte normale et la contrainte de cisaillement tangentes à la ligne de soudure
t
30°
N
T
t
z
Exemple
Contraintes principales en 3D
Soit un élément coupé OABC
Contrainte normale S(Sx, Sy, Sz) ou S(Sn, Ss)
Cosinus directeurs ℓ, m et n de la normale N
OD = = cos
OA
ODm = = cos
OB
ODn = = cos
OC
x x yx zx ( A) = ( A) + ( A)m + ( A)nS x x yx zx = + m + nS
y xy y zy = + m + nS
z xz yz z= + m + nS
0 = Fx
0 = Fy
0 = Fz
y
yz
yxzy
z
zx
x
xyxz
y
x
z
NS
B
A
C
O
D
Équilibre
Si S est parallèle à N, alors
Contrainte normale Sn ou S (Sx, Sy, Sz)
Ss = 0
x
n y
z
= S SS = m SS S
= n SS
x yx zx
xy y zy
xz yz z
( S) + m + n = 0
+ m ( S) + n = 0
+ m + n ( S) = 0
0 =
S
S
S
zyzxz
zyyxy
zxyxx
Solution non triviale
Déterminant soit nulÉquations d’équilibre
y
yz
yxzy
z
zx
x
xyxz
y
x
z
N
S=Sn
B
A
C
D
O
Équation cubique des contraintes(contraintes principales)
I1, I2 et I3 Invariants du tenseur de contrainte ijÉquations cubique des contraintes
0 I SI SI S 322
13
σ + σ + σ = I zyx1
) + + ( + + = I xzzyyx2zx
2yz
2xy2
) + + ( 2 + = I 2xyz
2zxy
2yzxzxyzxyzyx3 Solution pour S ou
Contraintes principales
État de contrainte en un point est définit par
Soit le tenseur de contrainte ij
Soit les invariants du tenseur de contrainte I1, I2 et I3
0 I σI σI σ 322
13
Contraintes principales
État général I1 I2 I3 0
3 contraintes principales
3 directions principales (ℓ, m, n) 1, 2, 3
si 3 directions distinctes
si = toutes les directions sont principales dans plan 1-2
si == état de contrainte hydrostatique
État uniaxial I2= I3= 0
Équation cubique se réduit à
2 racines nulles 2= 3 = 0 (et 1 = I1 = x)
0 I σ σ σI σ 122
13
État plan de contrainte I3= 0
z = 0 et zx = zy = 0
La direction principale associée à 3 est perpendiculaire au plan xy
0 0 0
0 σ τ
0 τ σ
=
0 0 0
0 σ τ
0 τ σ
= σ yyx
xyx
2221
1211
ij
Exemple
Déterminer les contraintes est les directions principales de l’état de contraintes illustré
Contrainte principales
1= 300 MPa
2= 100 MPa
3= 0 MPa
0 σ 300) (σ σ 100
100 100- 0
100- 200 100
0 100 100
=
σ τ τ
τ σ τ
τ τ σ
= σ
zzyzx
yzyyx
xzxyx
ij
0 =
σ100 100 0
100 σ200 100
0 100 σ100
Exemple (suite)
D’après les équations d’équilibre Contrainte principales
1= 300 MPa
2= 100 MPa
3= 0 MPa0 =
n
m
l
σ100 100 0
100 σ200 100
0 100 σ100
1
1
1
100 300 100 0 0
100 200 300 100 m = 0
0 100 100 300 0n
1
1 1
1
1/ 6
n = m = 2/ 6
n -1/ 6
Direction principale 1, n1
(65.9°, 35.3°, 114.1°)
2
2 2
2
1/ 2
n = m = 0
n 1/ 2
3
3 3
3
1/ 3
n = m = -1/ 3
n -1/ 3
Conditions sur n1, n2 et n3
n1 . n2 = 0
n2 . n3 = 0
n1 . n3 = 0
n1 x n2 = n3
Sachant que ℓ2 + m2 + n2 =1
Cercle de Mohr
Soit P un parallélépipède infinitésimal soumis à un tenseur de contrainte connu ij
x
xyxzzx
z
yx
y
yz zx
zy
y
x
z
x'
x'y' x'z'
z'x'
z'
y'x'
y'
y'z'z'x'
z'y'
y
x
z
y'
x'
z'
État connu ij
suivant (x, y, z)
État équivalent ’ij
suivant (x’, y’, z’)
Cercle de Mohr (suite)
3
1
2
y
x
z
1
3
2
2
max
13
min
(max)1-2
(max)2-3
(max)1-3
plan 1-2
plan 2-3
plan 1-3
Il existe toujours 3 axes orthogonaux 1, 2 et 3 suivant lesquels les contraintes sont principales. Les contraintes de cisaillement dans les plans perpendiculaires à ces axes sont nulles
2
σ ,σ ,σmin σ ,σ ,σmax τ 321321
max
Critère de défaillance
C’est le cisaillement qui provoque le mouvement relatif des plans d’atomes sans changer de volume.
C’est la présence des dislocations qui permet ce mouvement (déformation plastique).
Dislocation
Mouvement d’une dislocationsous l’effet du cisaillement
Critère de cisaillement maximalTresca
Le début de l’écoulement se produit lorsque la contrainte de cisaillement maximale atteint une valeur critique (Sy/2)
2
σ σ τ minxam
max
2
Sττ y
ymax
max min yσ σ S
Sy limite d’écoulement obtenue à 0.2 %
Sy
Sy1
2
-Sy
-Sy
seuil del'écoulement
état plan de contrainte (3 = 0)
321max σ ,σ ,σmax
321min σ ,σ ,σmin
ymax min
Sσ σ
FS
Conception
Critère de cisaillement maximalTresca (suite)
1
2
prismehexagonal
1 = 2 =
3
3
cas général (3 = 0)
2seuil de
l'écoulement
-Sy
Sy
Sy Sy
-Sy
-Sy
13
projection isometrique
Critère d’énergie de distorsion maximaleVon-Mises
Le début de l’écoulement se produit lorsque l’énergie de distorsion atteint une valeur critique
1
2
3
m
m
m=1+2+3
3
1-m
2-m
3-m
Énergie totale Ut = Énergie hydrostatique Uh + énergie de distorsion UD
= +
Critère d’énergie de distorsion maximaleVon-Mises (suite)
Énergie de distorsion (UD = Ut – Uh avec
332211t εσ2
1εσ
2
1εσ
2
1U
h t 1 2 3 m
1 1 2 3 m 2 3
U U avec σ σ σ σ
1 21σ σ σ σ
E E
2
13
2
32
2
21D σσσσσσ12G
1U
12
EG
Énergie hydrostatique Uh
Énergie totale Ut
Énergie de distorsion au début de l’écoulement pour le cas du chargement uniaxial
2y
*D S2
G12
1U
2321
2mh )σσ(σ
6E
21σ
2E
)23(1U
Critère d’énergie de distorsion maximaleVon-Mises (suite)
Le critère prédit que l’écoulement
se produit lorsque UD = U*D
Sy
Sy1
2
-Sy
-Sy
seuil del'écoulementVon Mises
état plan de contrainte (3 = 0)
Tresca
2
Von Mises
-Sy
Sy
Sy Sy
-Sy
-Sy
13
projection isometrique
Tresca
2
13
2
32
2
212y σσσσσσ
2
1S
1
2
axe ducylindre et de
l'hexagone
3 cas général (3 = 0)
Critère de la contrainte normale maximale
Le début de l’écoulement se produit lorsque la contrainte normale maximale atteint une valeur critique (Su)
321maxσ ,σ ,σmax σ
umaxSσ
Su contrainte à la rupture
1
2
3
Su
Su
1
2
-Su
-Su
seuil del'écoulement
état plan de contrainte (3 = 0)
Comparaison entre les critères de défaillance
Sy
Sy
1
2
-Sy
-Sy
état plan de contrainte (3 = 0)
torsion
Sy /2
Sy / 315% de
différence
Critère de rupture(matériaux fragiles)
Sut
Sut1
2
-Suc
-Suc
état plan de contrainte (3 = 0)
Mohr
Mohrmodifié