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Mécanique des milieux continus · PDF fileChapitre VI. Étude des contraintes Annexe I. Éléments de calcul tensoriel ... 5 Tenseurs sur un espace vectoriel euclidien . . . . .

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  • Mcanique des milieux continus

    Tome IConcepts gnraux

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  • Ce logo a pour objet dalerter le lecteur sur la menace que reprsentepour lavenir de lcrit, tout particulirement dans le domaine univer-sitaire, le dveloppement massif du photocopillage.Cette pratique qui sest gnralise, notamment dans les tablissementsdenseignement, provoque une baisse brutale des achats de livres, aupoint que la possibilit mme pour les auteurs de crer des uvres nou-velles et de les faire diter correctement est aujourdhui menace. Nousrappelons donc que la production et la vente sans autorisation, ainsique le recel, sont passibles de poursuites.Les demandes dautorisation de photocopier doivent tre adresses lditeur ou au Centre franais dexploitation du droit de copie : 20, rue des Grands-Augustins , 75006 Paris. Tl. : 01 44 07 47 70.

    ditions de lcole Polytechnique - Septembre 200791128 Palaiseau Cedex

    Du mme auteur

    Thorie de la plasticit pour les applications la mcanique des sols Eyrolles - 1974 - 178 pages

    Application of the theory of plasticity in soil mechanics John Wiley and Sons Ltd - 1977 - 158 pages - ISBN 0-47174984-2

    Viscolasticit - Presses de lcole nationale des ponts et chausses1983 - 92 pages - ISBN 2-85978-051-3

    Calcul la rupture et analyse limite - Presses de lcole nationale des ponts et chausses1983 - 366 pages - ISBN 2-85978-059-9

    lastoplasticit - (B. Halphen et J. Salenon) Presses de lcole nationale des ponts et chausses - 1987 - 448 pages - ISBN 2-85978-094-7

    Mcanique des milieux continus - Ellipses - 1988Tome 1 - Concepts gnraux - 270 pages - ISBN 2-7298-8854-3Tome 2 - lasticit - Milieux curvilignes - 316 pages - ISBN 2-7298-8863-2

    Mcanique du continu - Ellipses - 1995Tome 1 - Concepts gnraux - 352 pages - ISBN 2-7298-4551-8Tome 2 - Thermolasticit - 286 pages - ISBN 2-7298-4565-8Tome 3 - Milieux curvilignes - 192 pages - ISBN 2-7298-5527-0

    Mcanique des milieux continus ditions de lcole Polytechnique - 2005Tome 1 - Concepts gnraux - 360 pages - ISBN 2-7302-1245-0Mcanique des milieux continus ditions de lcole Polytechnique - 2002Tome 2 - Thermolasticit - 316 pages - ISBN 2-7302-0961-1Tome 3 - Milieux curvilignes - 152 pages - ISBN 2-7302-0962-X

    Handbook of Continuum Mechanics Springer - 2001804 pages - ISBN 3-540-41443-6

    de llasto-plasticit au Calcul la rupture ditions de lcole Polytechnique - 2002262 pages - ISBN 2-7302-0915-8

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  • Mcanique des milieux continus

    Tome I. Concepts gnraux

    Avant-propos

    Chapitre I. Le milieu continu : une modlisation

    Chapitre II. tude des dformations du milieu continu

    Chapitre III. Cinmatique du milieu continu

    Chapitre IV. Les puissances virtuelles et la modlisation des efforts

    Chapitre V. Modlisation des efforts pour le milieu continu

    Chapitre VI. tude des contraintes

    Annexe I. lments de calcul tensoriel

    Annexe II. Oprateurs diffrentiels : formules essentielles

    Bibliographie

    Index alphabtique

    Tome II. Thermolasticit

    Chapitre VII. Le comportement thermolastique

    Chapitre VIII. volutions et quilibres thermolastiques

    Chapitre IX. Quelques thmes classiques en lasticit tridimensionnelle

    Chapitre X. Approches variationnelles en thermolasticit linarise

    Annexe III. lments dlasticit plane

    Bibliographie

    Index alphabtique

    Tome III. Milieux curvilignes

    Chapitre XI. Statique des milieux curvilignes

    Chapitre XII. Structures curvilignes thermolastiques

    Glossaire

    Bibliographie

    Index alphabtique

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  • Avant-propos

    Lchelle laquelle se place le mcanicien est, en gnral, qualifie de ma-croscopique. Guid par des applications qui descendent peu en dessous de lchellehumaine, il a en effet recours des modlisations qui, pour tre pertinentes, sontconstruites une chelle suffisamment proche de celle des applications concernes etdonc suprieure souvent de plusieurs ordres de grandeur, celle que lon serait tentdattribuer au physicien. Cest aussi en rfrence ces applications que le mcanicien,conscient des limites des modles quil conoit, si lgants soient-ils dans leur formu-lation mathmatique, procde leur validation exprimentale. Ceci nest pas exclusifdun intrt constant manifest par le mcanicien pour la connaissance intime desphnomnes quil modlise : recherche laquelle se livre le physicien et qui permetpar exemple dexpliquer divers aspects des comportements des matriaux.

    On propose ici une prsentation des concepts gnraux de la mcanique des milieuxcontinus, de la thorie de la thermolasticit et des milieux curvilignes.

    Le mode dexpos est caracteris par le choix de la Mthode des puissances vir-tuelles pour la construction des modles mcaniques et la modlisation des efforts.On peut reconnatre parmi les avantages de cette mthode le fait quelle met bien envidence le rle premier jou par la modlisation gomtrique, quelle permet des pr-sentations mcaniquement cohrentes, quelle a un caractre systmatique, et que, enobligeant une pense rigoureuse et lexplicitation des hypothses, elle fait, malgrune apparence axiomatique, ressortir la part de linduction et la ncessit de la vali-dation. De plus, bien acquise, elle constitue pour le lecteur un outil fcond, utilisablepour ses recherches personnelles ultrieures. Lesprit de dualisation ainsi implant estmis en uvre dans le chapitre consacr aux mthodes variationnelles de rsolution enthermolasticit. Ltude des milieux curvilignes illustre le caractre systmatique dela mthode des puissances virtuelles sur un cas o lintroduction dune microstruc-ture dont on suit lorientation se rvle ncessaire pour aboutir une modlisationpertinente.

    Cette approche par les puissances virtuelles, qui structure la dmarche suivie, nevise en aucune faon au dogmatisme. Cest ainsi par exemple quen ce qui concernela modlisation des efforts les prsentations classiques ne sont pas occultes parla mthode des puissances virtuelles, pas plus quailleurs on na sacrifi lexpos desmthodes de rsolution directes des problmes de thermolasticit au profit des ap-proches variationnelles malgr lvidente prminence actuelle de celles-ci. Enfin, la

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    prsentation unifie atteinte travers la mthode des puissances virtuelles pour lamodlisation des efforts intrieurs ne doit pas faire oublier, du point de vue physique,la varit des phnomnes dinteraction sous-jacents.

    On a cherch, par la prsentation matrielle du document, faciliter autant quepossible la tche du lecteur. Une liste des mots-cls, un bref rsum synthtique etle tableau des principales notations nouvelles prcdent chaque chapitre ; celui-ci setermine par un rcapitulatif des formules essentielles et par des exercices proposs,dont le niveau de difficult est variable, et pour lesquels des lments de rponse plusou moins dtaills sont fournis. La typographie, par une hirarchie des corps de carac-tres, vise distinguer deux niveaux de lecture : une premire lecture laissera de ctles parties en petits caractres, destines lapprofondissement. Enfin, le plus souvent,on sest attach prsenter un cas particulier ou des rsultats exprimentaux avantlexpos dune thorie ou dune modlisation gnrale.

    Remerciements

    aux collgues enseignants et anciens collgues du dpartement de mcanique lcole polytechnique, en particulier Michel Amestoy, Jean-Michel Delbecqet Pierre Suquet pour leurs avis, suggestions ou conseils ;au personnel de limprimerie et du service audiovisuel de lcole polytechniquepour son dvouement et sa comptence ;aux organismes cits qui ont contribu lillustration.

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  • Sommaire

    I Le milieu continu : une modlisation 91 chelle, modlisation, validation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Les concepts et leur formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Description lagrangienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 Description eulrienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Rcapitulatif des formules essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    II tude des dformations du milieu continu 391 Transport, transformation, dformation . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 Transport convectif en transformation homogne . . . . . . . . . . . . 463 Dformation en transformation homogne . . . . . . . . . . . . . . . . 514 Dformation dun milieu continu : cas gnral . . . . . . . . . . . . . . 585 Transformation infinitsimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636 Compatibilit gomtrique dun champ de dformation linarise . . . 667 Remarques finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71Rcapitulatif des formules essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

    III Cinmatique du milieu continu 871 Prsentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 932 Cinmatique lagrangienne du m

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