Chapitre 3: Caractérisation des systèmes
Performances d ’un système asservi Comportement d ’un « bon » système asservi :
– après un changement de consigne ou une perturbation, la mesure doit atteindre la consigne, le plus rapidement possible et sans oscillations intempestives
3 notions fondamentales à caractériser :– la précision statique (la mesure doit atteindre la consigne)
– la rapidité (le plus rapidement possible)
– la stabilité (sans oscillations intempestives)
La stabilité La stabilité : notion complexe étudiée
ultérieurement. Dans un premier temps, on caractérisera la « résonance ».
0 20 40 60 80 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Time (secs)
Am
plit
ude
Réponse indicielle d ’un système
instable
0 10 20 30 40 50 60 70-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Time (secs)
Am
plit
ude
Réponse indicielle d ’un système stable, mais pas
assez
Nécessité d ’une caractérisation
A partir de la connaissance de la FT ou d ’essais expérimentaux, il s ’agit de déterminer certaines grandeurs représentatives des performances du système asservi.
2 approches peuvent être utilisées :– temporelle– fréquentielle
3.1 Approches temporelle, fréquentielle et zéros-pôles
Evaluation des performances
2 approches sont possibles :– on utilise des entrées standardisées et à partir des tracés
d ’entrée-sortie on détermine un certain nombre de grandeurs caractéristiques :
• Approche temporelle ou indicielle (entrée = échelon)
• Approche fréquentielle ou harmonique (entrée =
sinusoïde à fréquence variable)
3.1.1 Approche temporelle
Approche temporelle
– Si le système ne comporte pas d ’intégration, 2 types de réponse sont possibles :
Systèmet
e(t) Ae(t) y(t) ?
0 2 4 6 8 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Time (secs)
Am
plit
ude
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
Time (secs)
Am
plit
ude
Réponse apériodique
Réponse oscillatoire amortie
Réponse temporelle
– La réponse peut être décomposée en deux parties :
t
y(t)
Régime
transitoire
Régime
permanent
Le gain - détermination temporelle
– Le gain K caractérise le régime permanent :
t
y(t)
t
e(t)
ey
e
yK
Autres caractéristiques temporelles Le régime transitoire peut être caractérisé par :
– le temps de montée, tm, temps nécessaire pour passer de 10 à 90 % de la valeur finale
– le temps de réponse, tr, temps nécessaire pour que la réponse se stabilise à plus ou moins 5 % de la valeur finale
Lorsque la réponse est oscillatoire amortie, on peut aussi utiliser :
– l ’amplitude du 1er dépassement, D1, (en % de la valeur finale) et le temps tD1 qui lui correspond
Exemple
– Attention à la détermination de tr et tD1 et D1 :
t
y(t)105 %
100 %95 %
trtD1
Ici D1 = 8 %
3.1.2 Approche fréquentielle
Approche fréquentielle On s ’intéresse :
– au rapport d ’amplitude (le gain) : – au déphasage : entre les signaux d ’entrée-sortie en fonction de la pulsation :
Le gain et le déphasage sont respectivement le module et l ’argument du nombre complexe H(j) correspondant à la FT H(p) :
)()()()( )( jYXejH j
Diagrammes
Dans l ’approche fréquentielle, on utilise 2 types de
diagramme :
– diagramme de Bode :
– diagramme de Nyquist :
Pour mémoire, il existe aussi :
– le lieu de Black-Nichols
)()()( jYXjH
)()()( jejH
Diagramme de Bode
2 courbes :– G, le module de H, exprimé en dB en fonction de – , le déphasage, exprimé en degré en fonction de
10-1
100
101
-40
-20
0
Frequency (rad/sec)
Ga
in d
B
10-1
100
101
-90
-180
0
Frequency (rad/sec)
Pha
se d
eg
10-1
100
101
-40
-20
0
Frequency (rad/sec)
Ga
in d
B
10-1
100
101
-90
-180
0
Frequency (rad/sec)
Pha
se d
eg
Le gain - détermination fréquentielle
Le gain statique, KdB, correspond au gain à la fréquence minimale
La bande passante Bande passante, B, domaine fréquentiel à l ’intérieur duquel
le module de H reste compris entre 2 bornes :
La pulsation correspondant à l ’atténuation de - 3 dB est appelée pulsation de coupure, c
plus la bande passante est élevée, plus le système est rapide
dBKGKouK
HK dBdB 3)(2
)(
10-1
100
101
-40
-20
0
20
Frequency (rad/sec)
Ga
in d
B
10-1
100
101
-90
-180
0
Frequency (rad/sec)
Pha
se d
eg
Le facteur de résonance
– Le facteur de résonance MdB n ’est présent que lorsque la réponse temporelle est oscillatoire amortie, c ’est la variation entre le gain statique et l ’amplitude maximale ; la pulsation de résonance est r
MdB
Diagramme de Nyquist
Ce lieu décrit en coordonnées polaires le point d ’affixe H(j) lorsque varie de 0 à l ’infini
-3 -2 -1 0 1 2 3-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Real Axis
Ima
g A
xis
)()()( jYXjH
Le lieu est gradué en Dans ce
diagramme, il ne faut
considérer que la courbe rouge
Ce diagramme est surtout utilisé pour évaluer la « stabilité » d ’un système
3.2 Systèmes du premier ordre
Remarque préalable Mathématiquement, un système du 1er ordre est régit par
une équation différentielle du 1er ordre :
Plusieurs formes sont possibles selon la valeur des coefficients. En Automatique, lorsque l ’on parle d ’un système du 1er ordre, il s ’agit, par défaut, d ’un système du 1er ordre sur la sortie.
)()( 0101 tybdt
dybtea
dt
dea
3.2.1 Systèmes du premier ordrede type K/(1+Tp)
Fonction de transfert Système régit par une équation différentielle du 1er ordre sur
la sortie :
Exemple : filtre RC
– K : gain statique– T : constante de temps
)()( 010 tybdt
dybtea
Tp
KpH
1)(
Réponse indicielle
Echelon d ’amplitude A : )1()( TteAKty
ppH
31
2)(:Exemple
0 2 4 6 8 10 12 14 160
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Time (secs)
Am
plit
ude
résonancedepas
3Ttr Régime permanent Transitoire
rt
Réponse à une rampe
Rampe de pente A : TtTeTtAKty )()(
0 5 10 15 200
5
10
15
20
25
30
35
Time (secs)
Am
plit
ude
Entrée
Sortie
Pour le dessin K = 1
Régime permanent Transitoire
Transitoire
Erreur de traînage
Retard
ATtraînagedeerreur
Ksi
T
,1
retard
Diagramme de Bode
10-2
10-1
100
101
-40
-20
0
20
Frequency (rad/sec)G
ain
dB
10-2
10-1
100
101
-30
-60
-90
0
Frequency (rad/sec)
Pha
se d
eg
2 asymptotes qui se coupent pour = 1/T = c
-20 dB / décade
Le déphasage évolue entre 0 et - 90°
(c) = - 45°
33,0131
2)(
Tw
ppH c
Diagramme de Nyquist
ppH
31
2)(
0 0.5 1 1.5 2-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Real Axis
Ima
g A
xis
Ici, le gain vaut 2
C ’est un demi-cercle de rayon 1
0
3.2.2 Autres systèmes du premier ordre
Système de type K(1+Tp)
Les systèmes de ce type ne représentent pas des systèmes
physiques ; ils correspondent à des filtres ou des
correcteurs. Dans ce contexte, ils ne sont pas utilisés seuls.
Pour obtenir le diagramme de Bode, il suffit de changer
les signes du gain et du déphasage des résultats obtenus
pour K/(1+Tp)
Système intégrateur Equation différentielle :
Exemple :
Système « instable »
Système de type 1 (une intégrale)
1/pVitesse axe moteur
Position axe moteur
t
e(t) A
t
y(t) At
dt
dybtea 10 )(
p
KpH )(
Système intégrateur Diagramme de Bode :
– pente -20 dB/décade
– déphasage = -90°
10-1
100
101
-20
0
20
40
Frequency (rad/sec)
Ga
in d
B
10-1
100
101
-91
-90
-89
Frequency (rad/sec)
Pha
se d
eg
pp
KpH
2)(
Gain statique en dB dB02.6)2(log20 10 dBK
Gain statique K
Système intégrateur
Diagramme de Nyquist
-1 -0.5 0 0.5 1-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2x 10
7
Real Axis
Ima
g A
xis
Demi-droite sur l ’axe imaginaire négatif 0
Système dérivateur
Equation différentielle :
Exemple : Génératrice tachymétrique
– Pour obtenir le diagramme de Bode, il suffit de changer les signes du gain et du déphasage des résultats obtenus pour K/p. De même pour Nyquist : demi-droite sur l ’axe imaginaire positif.
)(01 tybdt
dea
K pPosition arbre Tension génératrice
pKpH )(
3.3 Systèmes du deuxième ordre
Forme générale Système régit par une équation différentielle du 2ème ordre sur
la sortie :
Exemple : partie mécanique d ’un galvanomètre• : angle de déviation• J : moment d ’inertie• k : coefficient de raideur du ressort• f : coefficient de frottement• : couple exercé sur le galvanomètre
)()( 012
2
20 tybdt
dyb
dt
ydbtea
kdt
df
dt
dJt
2
2
)(
0 10 20
Fonction de Transfert• K : gain statique
• n : pulsation propre non amortie
• Z : facteur d ’amortissement
121
)(2
2
pZ
p
KpH
nn
Selon Z, le dénominateur admet :• 2 racines réelles, c ’est un système apériodique
• 2 racines complexes conjuguées, c ’est un système résonant
)1(4 2
2 Z
n
1Z
1Z
3.3.1 Réponse temporelle
Réponse indicielle
)(1)( btat eety
2 comportements distincts selon Z :
1:amortireoscillatoiSystème Z1:eapériodiquSystème Z
0 5 10 15 20 25 300
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Time (secs)
Am
plit
ude
0 5 10 15 200
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Time (secs)
Am
plit
ude
)sin(1)( d
ctety
*- {
}--
Mode non oscillatoire
Mode oscillatoire
amorti
Système apériodique Produit de 2 systèmes du 1er ordre :
Réponse à un échelon d ’amplitude A :
Temps de réponse :
)(
11)( 21
2121
TtTt eTeTTT
AKty
Régime permanent Transitoire
)1)(1()(
21 pTpT
KpH
nr
ZtZ
25.6:aon,2pour
Pseudo-pulsationPseudo-pulsation
Système oscillatoire amorti
Echelon d ’amplitude A :
Temps de réponse :
Amplitude et temps du 1er dépassement :
)cosArc1sin(1
11)( 2
2ZtZe
ZAKty n
tZ n
Régime permanent Transitoire
nr Z
tZ3
:aon,7.0pour
211 100(%) Z
Z
eD
211
Zt
n
D
Réponse indicielle en fonction de Z
0 10 20 30 40 500
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Time (secs)
Am
plit
ude
5,4,3,2,1,7.0,5.0,3.0,1.0
,1
,1
Z
K
n
Il n ’existe pas de relation simple pour exprimer le temps de réponse tr. Il est minimum pour Z = 0.7
Z < 0.7 0.7 1 >2
tr 3/Zn 3/n 5/n 6.25Z/n
Z = 0.1
Z = 5
Réponse indicielle en fonction de n
0 5 10 15 20 250
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Time (secs)
Am
plit
ude
3.0
3,1,3.0
,1
Z
K
n
Plus la pulsation est grande, plus le système est rapide
n = 1 n = 0.3
n = 3
La tangente à l ’origine
0 5 10 15 20 25 30 35 400
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Time (secs)
Am
plit
ude
1er ordre : tangente verticale 2ème ordre : tangente horizontale
ppH
71
1)(
)51)(41(
1)(
pppH
3.3.2 Réponse fréquentielle
Grandeurs caractéristiques
221 Znr
Pulsation de coupure
Pulsation de résonance
Facteur de résonance
222 )21(121 ZZnc
)12
1log(20
2ZZM dB
10-2
10-1
100
101
-50
0
50
Frequency (rad/sec)G
ain
dB
10-2
10-1
100
101
-90
-180
0
Frequency (rad/sec)
Pha
se d
eg
Diagramme de Bode Système apériodique
2 asymptotes qui se coupent pour = n
les asymptotes sont toujours « sur » la courbe
- 40 dB/décade
Le déphasage évolue entre 0 et - 180°
(n) = - 90°
)81)(21(
5
11016
5)(
2 pppppH
n
Diagramme de Bode Système oscillatoire amorti
10-1
100
101
-20
0
20
Frequency (rad/sec)G
ain
dB
10-1
100
101
-90
-180
0
Frequency (rad/sec)
Pha
se d
eg
2 asymptotes qui se coupent pour = n
- 40 dB/décade
Le déphasage évolue entre 0 et - 180°
(n) = - 90°
13.025.0
5)(
2
pppH
n
r
Diagramme de Bode fonction de Z
10-2
10-1
100
101
102
-100
-50
0
50
Frequency (rad/sec)
Ga
in d
B
10-2
10-1
100
101
102
-90
-180
0
Frequency (rad/sec)
Pha
se d
eg
Z = 0.1
5,2,1,7.0,3.0,1.0
1
5
Z
K
n
Z = 5
Z = 0.1Z = 5
Diagramme de Bode fonction de n
10-2
10-1
100
101
-40
-20
0
20
Frequency (rad/sec)
Ga
in d
B
10-2
10-1
100
101
-90
-180
0
Frequency (rad/sec)
Pha
se d
eg3.0
3,1,3.0
5
Z
K
n
n = 0.3
n = 1
n = 3
n = 3n = 0.3
n = 1
Diagramme de Nyquist
-10 -5 0 5 10-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Real Axis
Ima
g A
xis
Limite de résonance
13.025.0
5)(
2
pppH
)81)(21(
5)(
pppH
Apériodique :
Oscillatoire amorti :
Tangente horizontale pour
Diagr. de Nyquist fonct. de Z et n
-15 -10 -5 0 5 10 15-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
Real Axis
Ima
g A
xis
2,1,7.0,3.0,1.0
1
5
Z
K
n
Z = 0.1
Z = 0.3
À Z et K constants, le tracé ne change en fonction de n