Ecole Polytechnique MAP 431 - Mini-Projet (2011)

Dynamique de populations stucturees en age

Modele de McKendrick-Von Foerster

Sujet propose par Xavier Dupuis xavier.dupuis@cmap.polytechnique.fr

On s’interesse dans ce mini-projet a l’evolution d’une population ou les in-dividus sont differencies par une variable : leur age. La modelisation conduita une EDP structuree en age. Cette equation apparaıt en epidemiologie, endemographie, ou encore dans des modeles du cycle de division cellulaire.

1 EDP et equation integrale

Le modele porte sur la densite de population. Precisement, on note ρ(a, t)la densite d’individus d’age a a l’instant t. a∗ est l’age maximal :

(a, t) ∈ [0, a∗]× R+ .

Le modele de McKendrick-Von Foerster est donne par :

∂ρ

∂a(a, t) +

∂ρ

∂t(a, t) + µ(a)ρ(a, t) = 0 (1)

ρ(0, t) =∫ a∗

0

β(a)ρ(a, t)da (2)

ρ(a, 0) = φ(a) (3)

(1) est une equation de transport lineaire, (2) est la condition de renouvellement(a la naissance), et (3) est la condition initiale (au temps zero).

Les fonctions µ, β, φ sont donnees. Les hypotheses sont les suivantes :– µ ≥ 0, µ ∈ C0([0, a∗)),

∫ a∗

0µ(α)dα = +∞,

– β ≥ 0, β ∈ C1([0, a∗]),– φ ≥ 0, φ ∈ C1([0, a∗]).

Question 1. 1. Interpreter biologiquement les fonctions µ et β, ainsi queP , definie a chaque instant par :

P (t) :=∫ a∗

0

ρ(a, t)da .

1

2. En utilisant la methode des caracteristiques, montrer qu’une solution C1

ρ de (1)-(3) satisfait :

ρ(a, t) = ρ(0, t− a)e−R a0 µ(α)dα pour a ≥ t ,

ρ(a, t) = φ(a− t)e−R a

a−tµ(α)dα pour t < a .

On note pour la suite

B(t) := ρ(0, t) ,

π(a) := e−R a0 µ(α)dα (π(a∗) = 0) .

Question 2. 1. Etablir l’ equation integrale de renouvellement verifiee parB :

B(t) = ψ(t) +∫ t

0

β(a)π(a)B(t− a)da , (4)

ou ψ est une fonction (ne dependant ni de ρ ni de B) a determiner.2. Montrer que reciproquement, on peut construire une solution du modele de

McKendrick-Von Foerster (1)-(3) a partir d’une solution C1 de l’equationde renouvellement (4).

Les questions d’existence de cette derniere equation peuvent se traiter parthereme de point fixe ou par transformation de Laplace. On ne s’y interesserapas dans le cas general.

2 Forme speciale de solutions

On cherche dans cette partie des solutions sous la forme particuliere (stableage distribution) : ρ(a, t) = A(a)T (t), avec

∫ a∗

0A(a)da = 1.

Question 3. 1. Que represente T (t) ? A(a) ?2. Supposons qu’il existe une telle solution, C1 et strictement positive. Etablir

alors deux equations differentielles ordinaires non couplees sur T et A,puis les resoudre.

La condition de renouvellement (2) s’ecrit dans ce cas :∫ a∗

0

β(a)π(a)e−p0ada = 1 , (5)

ou p0 est naturellement apparu dans les deux equations differentielles precedentes.(5) est l’equation de Lotka-Sharpe pour p0.

Question 4. 1. En etudiant l’integrale a parametre p 7→∫ a∗

0β(a)π(a)e−pada,

montrer que l’equation de Lotka-Sharpe (5) admet une unique solutionp0 ∈ R.

2. Prouver la proposition suivante (exprimer φ et ρ) :

Proposition. A µ et β fixees, il existe une unique solution ρ du modele deMcKendrick-Von Foerster (pour une certaine condition initiale φ) de la forme’stable age distibution’, C1 et strictement positive.

2

3 Simulations numeriques

On fixe un temps final T et on considere notre probleme (1)-(3) sur le rec-tangle 0 ≤ a ≤ a∗, 0 ≤ t ≤ T . On discretise l’age et le temps avec le meme pasconstant h :

h =a∗

M=T

N, M,N ∈ N ,

et on note ρnj notre approximation de ρ(aj , tn) := ρ(jh, nh). On utilise pour

l’equation de transport (1) le schema suivant :

ρnj − ρ

n−1j−1

h+ µjρ

nj = 0 j, n ≥ 1 , (6)

et pour la condition de renouvellement (2) la somme de Riemann suivante :

ρn0 =

M−1∑j=0

βjρnj h n ≥ 1 . (7)

On complete le schema par une discretisation de la condition initiale (3) :

ρ0j = φj j ≥ 1 . (8)

Question 5. 1. Montrer que le schema (6) est precis a l’ordre 1 (considererρ le long des caracteristiques).

2. Donner la condition sur h imposee par (7).

On veillera a ce que cette condition soit bien satisfaite pour les implementationsa venir. Pour les simulations, on choisit :

– a∗ = 1 et T = 3– µ(a) = 1

1−a– β(a) = β > 0 une constante que l’on fera varier

– φ(a) ={

(1− 2a)3(1− a) a ∈ [0, 12 ]

(2a− 1)3(1− a) a ∈ [ 12 , 1]

Question 6. (β = 2)1. Ecrire un code en Scilab implementant le schema (6)-(8).2. Montrer que la solution de l’equation de Lotka-Sharpe (5) est p0 = 0.3. Tracer sur des memes graphes la solution ’stable age distribution’ (pour

p0 = 0) et la solution du schema, en fonction de l’age pour differentstemps fixes, puis en fonction du temps pour differents ages fixes.

Question 7. (β = 6)1. Adapter le code precedent.2. Montrer que resoudre l’equation de Lotka-Sharpe (5) revient a resoudre :

6(e−p − 1 + p) = p2 pour p > 0 . (9)

3. Ecrire un code en Scilab base sur l’algorithme de Newton pour trouver unesolution de (9) a 0.01 pres.

4. Tracer sur des memes graphes la solution ’stable age distribution’ (pour p0

obtenu par Newton) et la solution du schema, en fonction de l’age pourdifferents temps fixes, puis en fonction du temps pour differents ages fixes.

Question 8. (β = 1) Reprendre la question precedente pour β = 1.

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