ENIVL 2006-2007 29/01/2007 1ère année Examen Partiel Mathématiques Module 2
Calculatrice autorisée. Documents interdits.
Exercice 1 : 5 pts
1. Résoudre dans l’équation 3 22 3z z iz i 0− − + − = sachant que l’une des solutions est réelle.
2. Montrer que les solutions sont affixes des sommets d’un triangle rectangle isocèle.
Exercice 2 : 5 pts
1. On considère la fonction 2: 2 1g x x x−a . Déterminer son ensemble de définition puis établir son tableau de variations. Préciser les extrema de g sur son ensemble de définition.
2. Déduire du 1. l’ensemble de définition de ( )2: arcsin 2 1f x x −a x .
3. Déterminer l’ensemble des points où f est dérivable. En ces points, montrer
que ( )2
2 2
2 1 2 1'( )1 2 1
xf x
x x
−= ×
− −.
4. Calculer 2sin7
f π⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
.
Exercice 3 : 5 pts
1. Rappeler les formules d’Euler. 2. Soit et α β deux nombres réels et e et eia b iα β= = . Mettre le nombre complexe
z a b= + sous forme trigonométrique.
Indication : on pourra poser et 2 2
u vα β α β+ −= = .
3. Ecrire ( )( )cos k n kα β+ − en fonction de . Puis simplifier et a b
( )( )0
cosn
k
nk n k
kα β
=
⎛ ⎞+ −⎜ ⎟
⎝ ⎠∑ .
Exercice 4 : 5 pts Pour , soit a∈R af la fonction définie par ( ) arctan
1aa xf x
ax+
=−
1. Quel est le domaine de définition de la fonctionaD af ?
1
2. Montrer que af est dérivable sur et que : aD ( ) (, arctana ax D f x′ ) 0∀ ∈ − = 3. Déterminer lim ( ) et lim ( )a ax x
f x f→+∞ →−∞
x
4. Déduire des résultats précédents, une expression plus simple de af sur (distinguer suivant les intervalles).
aD
5. Question bonus : Montrer que :
( ) 2, , arctan arctan arctan 11a ba b a b ab
ab+⎛ ⎞∀ ∈ + = ⇔ <⎜ ⎟−⎝ ⎠
R
Rappel :
10,arctan arctan2
10,arctan arctan2
x xx
x xx
π
π
⎛ ⎞∀ > + =⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞∀ < + = −⎜ ⎟⎝ ⎠
Fin du sujet
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