1
Universitรฉ Claude Bernard-Lyon 1 Semestre dโautomne 2016-2017 Fondamentaux des mathรฉmatiques 1
Feuille 7 Fonctions usuelles
Exercice 1.
Soit ๐ la fonction numรฉrique dรฉfinie par : ๐(๐ฅ) = 2 sin(๐ฅ) + sin(2๐ฅ). 1. Dรฉterminer l'ensemble de dรฉfinition de ๐, sa pรฉriode et sa paritรฉ. En dรฉduire un ensemble d'รฉtude. 2. Calculer la dรฉrivรฉe de ๐ et dรฉterminer son signe. 3. Dresser le tableau de variation. 4. Tracer la courbe reprรฉsentative de ๐.
Exercice 2.
Soit ๐ la fonction dรฉfinie sur ๐ผ = โ par :
๐(๐ฅ) = sin2(๐ฅ) +12
cos(๐ฅ)
1. Etudier la paritรฉ de ๐ et sa pรฉriodicitรฉ, en dรฉduire un intervalle dโรฉtude.
2. Montrer quโil existe un unique ๐ฅ0 โ [๐3
, ๐2
] tel que cos(๐ฅ0) = 14
3. Etudier les variations de ๐ sur [0, ๐]. 4. Dresser le tableau de variation de ๐ et tracer le graphe de ๐.
Exercice 3.
On note ๐ la fonction dรฉfinie sur [0,1[ par ๐(๐ฅ) = (1 โ ๐ฅ) ln(1 โ ๐ฅ) + ๐ฅ et ๐ la fonction dรฉfinie sur ]0,1[
par ๐(๐ฅ) = โ ln(1โ๐ฅ)๐ฅ
. 1. Etudier les variations de ๐ sur [0,1[ et en dรฉduire que ๐ est ร valeurs positives. 2. Etudier les variations de ๐ sur ]0,1[. 3. Dรฉterminer les limites รฉventuelles de ๐(๐ฅ) pour ๐ฅ tendant vers 0 et pour ๐ฅ tendant vers 1.
Exercice 4.
Soit ๐ la fonction dรฉfinie sur โโ par ๐(๐ฅ) = ๐1๐ฅ.
1. Dรฉterminer les limites รฉventuelles ร gauche et ร droite de ๐(๐ฅ) en 0. La fonction ๐ est-elle prolongeable en une fonction continue dรฉfinie sur โ ?
2. Pour ๐ฅ dans โโ, calculer ๐โฒ(๐ฅ), puis dรฉterminer la limite ร gauche รฉventuelle de ๐โฒ(๐ฅ) en 0. 3. Dresser le tableau de variations de ๐, puis tracer sommairement le graphe de ๐.
Exercice 5.
Soit ๐ la fonction numรฉrique dรฉfinie par ๐(๐ฅ) = ๐ฅ โ ln(๐ฅ)๐ฅ
. 1. Soit ๐ la fonction numรฉrique dรฉfinie par ๐(๐ฅ) = ๐ฅ2 โ 1 + ln(๐ฅ). Dresser le tableau de variations de
cette fonction, et en dรฉduire quโil existe un et un seul rรฉel ๐ฅ0 tel que ๐(๐ฅ0) = 0, dรฉteminer ๐ฅ0. 2. En dรฉduire les variations de ๐. 3. Dรฉterminer les limites de ๐ aux bornes de son ensemble de dรฉfinition. 4. Dรฉterminer les asymptotes au graphe de ๐. 5. Tracer ce graphe et son asymptote en faisant figurer les tangentes remarquables.
2
Exercice 6. Soit ๐ la fonction numรฉrique dรฉfinie par ๐(๐ฅ) = (๐ฅ + 12) ๐โ๐ฅ2.
1. Dรฉterminer les limites รฉventuelles de ๐ en โโ et en +โ. 2. Etudier les variations de ๐. 3. Tracer sommairement la courbe reprรฉsentative de ๐.
Exercice 7. Montrer que pour tous ๐ฅ et ๐ฆ rรฉels distincts :
๐๐ฅ+๐ฆ
2 <๐๐ฅ + ๐๐ฆ
2
Exercice 8. Discuter en fonction de la valeur du rรฉel ๐ฅ de lโexistence de la valeur รฉventuelle de la limite de
๐ฅ๐ quand ๐ tend vers +โ.
Exercice 9. Etablir la formule suivante :
tan(๐ฅ โ ๐ฆ) + tan(๐ฆ โ ๐ง) + tan(๐ง โ ๐ฅ) = tan(๐ฅ โ ๐ฆ) tan(๐ฆ โ ๐ง) tan(๐ง โ ๐ฅ) Oรน ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง sont trois rรฉels pour lesquels les trois tangentes apparaissant dans la formule sont dรฉfinies. Indication : on pourra appliquer judicieusement la formule
tan(๐ + ๐) =tan(๐) + tan(๐)
1 โ tan(๐) tan(๐)
Exercice 10.
๐ข et ๐ฃ รฉtant deux rรฉels, รฉtablir les formules suivantes : ch2(๐ข) + sh2(๐ฃ) = sh2(๐ข) + ch2(๐ฃ) = ch(๐ข + ๐ฃ) ch(๐ข โ ๐ฃ) ch2(๐ข) โ ch2(๐ฃ) = sh2(๐ข) โ sh2(๐ฃ) = sh(๐ข + ๐ฃ) sh(๐ข โ ๐ฃ)
Exercice 11. Soit ๐ la fonction numรฉrique dรฉfinie par
๐(๐ข) =4 โ 5 ch(๐ข)
sh(๐ข)
1. Montrer que ๐ est bien dรฉfinie, continue et dรฉrivable sur โโ. Est-elle paire, impaire ? 2. Dรฉterminer les limites รฉventuelles de ๐ en +โ et en 0+. 3. Etudier les variations de ๐ sur โโ. On veillera ร donner une expression trรจs simple les points oรน ๐โฒ
sโannule. 4. Dresser le tableau de variation de ๐ et tracer sommairement son graphe.
Exercice 12.
Calculer les limites suivantes : lim
๐ฅโ+โ๐โ๐ฅ(ch3(๐ฅ) โ sh3(๐ฅ)
lim๐ฅโ+โ
(๐ฅ โ ln(ch(๐ฅ)))
Exercice 13.
Rรฉsoudre dans โ : 3 ch(๐ฅ) โ sh(๐ฅ) โ 3 = 0 Exercice 14.
1. Calculer
ch (12
ln(3)) et sh (12
ln(3))
2. A lโaide de la formule ch(๐ + ๐) = ch(๐) ch(๐) + sh(๐) sh(๐)
3
Dรฉterminer les solutions de lโรฉquation : 2 ch(๐ฅ) + sh(๐ฅ) = โ3 ch(5๐ฅ)
Exercice 15.
Soit ๐ la fonction dรฉfinie par :
๐(๐ฅ) =8 ch(๐ฅ)4๐๐ฅ โ 3
1. Dรฉterminer lโensemble de dรฉfinition de ๐. 2. Calculer les limites de ๐ au bord de lโensemble de dรฉfinition. 3. Etudier les variations de ๐. 4. Dresser le tableau de variation de ๐. 5. Tracer le graphe de ๐.
Exercice 16. Soit ๐ la fonction dโune variable rรฉelle dรฉfinie par :
๐(๐ข) =3 + 4 sh(๐ข)
ch(๐ข)
1. Prรฉciser son domaine de dรฉfinition. 2. Prรฉciser ses limites quand ๐ข tend vers +โ et โโ. 3. Etudier les variations de ๐. On veillera ร fournir une expression trรจs simple de la valeur ๐ข0 pour laquelle
๐โฒ(๐ข0) = 0 (lโexpression attendue nโutilise pas de fonctions hyperboliques rรฉciproque (Hors programme)).
4. Tracer le graphe de ๐.
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Universitรฉ Claude Bernard-Lyon 1 Semestre dโautomne 2016-2017 Fondamentaux des mathรฉmatiques 1
Feuille 7 Fonctions usuelles
Exercice 1.
Soit ๐ la fonction numรฉrique dรฉfinie par : ๐(๐ฅ) = 2 sin(๐ฅ) + sin(2๐ฅ). 1. Dรฉterminer l'ensemble de dรฉfinition de ๐, sa pรฉriode et sa paritรฉ. En dรฉduire un ensemble d'รฉtude. 2. Calculer la dรฉrivรฉe de ๐ et dรฉterminer son signe. 3. Dresser le tableau de variation. 4. Tracer la courbe reprรฉsentative de ๐.
Correction exercice 1.
1. ๐ est dรฉfinie (continue et dรฉrivable) sur โ, 2๐ pรฉriodique et impaire (ce sont des รฉvidences quโil nโest pas nรฉcessaire de dรฉvelopper), on รฉtudiera ๐ sur lโintervalle [0, ๐], par paritรฉ on connaitra les variation de ๐ sur [0,2๐], puis par pรฉriodicitรฉ sur โ.
2. ๐โฒ(๐ฅ) = 2 cos(๐ฅ) + 2 cos(2๐ฅ) = 2(cos(x)+2 cos2(๐ฅ) โ 1) = 2(2 cos2(๐ฅ) + cos(๐ฅ) โ 1)
Le polynรดme 2๐2 + ๐ โ 1 admet ๐1 = โ1 et ๐2 =12 comme racine donc
2๐2 + ๐ โ 1 = 2(๐ + 1)(๐ โ 12), on en dรฉduit que ๐โฒ(๐ฅ) = 4(cos(๐ฅ) + 1)(cos(๐ฅ) โ 1
2)
Dressons un tableau de signe : ๐ฅ 0 ๐
3 ๐
cos(๐ฅ) + 1 + + 0
cos(๐ฅ) + 12 + 0 โ
๐โฒ(๐ฅ) + 0 โ 0 ๐ est croissante sur [0, ๐
3] et dรฉcroissante sur [๐
3, ๐].
3. On en dรฉduit le tableau de variation de ๐.
๐ (๐3) = 2 sin (
๐3) + sin (
2๐3) = 2
โ32+โ32=3โ32
๐ฅ 0 ๐
3 ๐
๐โฒ(๐ฅ) + 0 โ 0 ๐(๐ฅ) 3โ3
2
0 0 4.
2
Exercice 2.
Soit ๐ la fonction dรฉfinie sur ๐ผ = โ par :
๐(๐ฅ) = sin2(๐ฅ) +12cos(๐ฅ)
1. Etudier la paritรฉ de ๐ et sa pรฉriodicitรฉ, en dรฉduire un intervalle dโรฉtude.
2. Montrer quโil existe un unique ๐ฅ0 โ [๐3, ๐2] tel que cos(๐ฅ0) =
14
3. Etudier les variations de ๐ sur [0, ๐]. 4. Dresser le tableau de variation de ๐ et tracer le graphe de ๐.
Correction exercice 2.
1. ๐ est paire et 2๐ pรฉriodique, on รฉtudie ๐ sur [0, ๐]
2. ๐โฒ(๐ฅ) = 2 cos(๐ฅ) sin(๐ฅ) โ 12sin(๐ฅ) = 2 sin(๐ฅ) (cos(๐ฅ) โ 1
4)
โ๐ฅ โ [0, ๐], ๐โฒ(๐ฅ) = 0 โ {sin(๐ฅ) = 0
cos(๐ฅ) =14
Il y a deux valeurs qui annulent sin(๐ฅ) dans [0, ๐], ce sont 0 et ๐. Pour ๐ฅ โ [0, ๐], la fonction cos: [0, ๐] โฆ [โ1,1] รฉtant strictement dรฉcroissante, il sโagit dโune bijection, 14 admet un unique antรฉcรฉdent ๐ฅ0, sur le signe de cos(๐ฅ) โ 1
4 est positif sur [0, ๐ฅ0] et nรฉgatif sur [๐ฅ0, ๐].
๐ฅ 0 ๐ฅ0 ๐ sin(๐ฅ) 0 + + 0 cos(๐ฅ) โ 1
4 + 0 โ
๐โฒ(๐ฅ) 0 + 0 โ 0 ๐ est croissante sur [0, ๐ฅ0] ๐ est dรฉcroissante sur [๐ฅ0, ๐]
3.
๐(0) =12
๐(๐ฅ0) = sin2(๐ฅ0) +12cos(๐ฅ0) = 1 โ cos2(๐ฅ0) +
12ร14= 1 โ
116+18=16 โ 1 + 2
16=1716
๐(๐) = โ12
๐ฅ 0 ๐ฅ0 ๐ ๐โฒ(๐ฅ) 0 + 0 โ 0 ๐(๐ฅ) 17
16
12 โ1
2
-3
-2
-1
0
1
2
3
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8๐/3 ๐
๐ฆ
๐ฅ
3โ32
3
Exercice 3.
On note ๐ la fonction dรฉfinie sur [0,1[ par ๐(๐ฅ) = (1 โ ๐ฅ) ln(1 โ ๐ฅ) + ๐ฅ et ๐ la fonction dรฉfinie sur ]0,1[
par ๐(๐ฅ) = โ ln(1โ๐ฅ)๐ฅ
. 1. Etudier les variations de ๐ sur [0,1[ et en dรฉduire que ๐ est ร valeurs positives. 2. Etudier les variations de ๐ sur ]0,1[. 3. Dรฉterminer les limites รฉventuelles de ๐(๐ฅ) pour ๐ฅ tendant vers 0 et pour ๐ฅ tendant vers 1.
Correction exercice 3.
1. 0 โค ๐ฅ < 1 โ โ1 < โ๐ฅ โค 0 โ 0 < 1 โ ๐ฅ โค 1 Ce qui montre que ๐ est dรฉfinie, continue et dรฉrivable sur [0,1[
โ๐ฅ โ [0,1[, ๐โฒ(๐ฅ) = โ ln(1 โ ๐ฅ) + (1 โ ๐ฅ) รโ11 โ ๐ฅ
+ 1 = โ ln(1 โ ๐ฅ)
Ce qui montre que ๐โฒ(๐ฅ) est strictement nรฉgative pour 0 < ๐ฅ < 1 et nulle pour ๐ฅ = 0 et donc que ๐ est strictement croissante. Comme ๐(0) = (1 โ 0) ln(1 โ 0) + 0 = ln(1) = 0, pour tout ๐ฅ > 0 (et ๐ฅ < 1, bien sรปr)
๐(๐ฅ) > ๐(0) = 0 2. Pour tout ๐ฅ โ ]0,1[
๐โฒ(๐ฅ) = โโ11 โ ๐ฅ ร ๐ฅ โ 1 ร ln(1 โ ๐ฅ)
๐ฅ2= โ
โ๐ฅ โ (1 โ ๐ฅ) ln(1 โ ๐ฅ)(1 โ ๐ฅ)๐ฅ2
=๐ฅ + (1 โ ๐ฅ) ln(1 โ ๐ฅ)
(1 โ ๐ฅ)๐ฅ2
=๐(๐ฅ)
(1 โ ๐ฅ)๐ฅ2
Le dรฉnominateur est strictement positif et ๐(๐ฅ) aussi donc pour tout ๐ฅ > 0 et ๐ฅ < 1, ๐โฒ(๐ฅ) > 0 sur lโintervalle ]0,1[ donc ๐ est strictement croissante sur cet intervalle.
3. En 1, il sโagit dโune limite indรฉterminรฉe, on pose ๐ = 1 โ ๐ฅ๐ฅโ1โ 0
๐(๐ฅ) = ๐ ln(๐) + 1 โ ๐๐โ0โ 0
Car ๐ ln(๐) โ 0 lorsque ๐ โ 0 est une limite indรฉterminรฉe connue En 0, on rappelle que
lim๐ฅโ0
ln(1 + โ)โ
= 1
On pose โ = โ๐ฅ, alors
lim๐ฅโ0
ln(1 โ ๐ฅ)โ๐ฅ
= 1 โ lim๐ฅโ0
๐(๐ฅ) = 1
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
-15 -10 -5 0 5 10 15
4
Exercice 4.
Soit ๐ la fonction dรฉfinie sur โโ par ๐(๐ฅ) = ๐1๐ฅ.
1. Dรฉterminer les limites รฉventuelles ร gauche et ร droite de ๐(๐ฅ) en 0. La fonction ๐ est-elle prolongeable en une fonction continue dรฉfinie sur โ ?
2. Pour ๐ฅ dans โโ, calculer ๐โฒ(๐ฅ), puis dรฉterminer la limite ร gauche รฉventuelle de ๐โฒ(๐ฅ) en 0. 3. Dresser le tableau de variations de ๐, puis tracer sommairement le graphe de ๐.
Correction exercice 4.
1.
lim๐ฅโ0โ
1๐ฅ= โโ โ lim
๐ฅโ0โ๐1๐ฅ = 0 et lim
๐ฅโ0+1๐ฅ= +โ โ +โ
Donc ๐ nโest pas prolongeable en 0 par une fonction continue en 0, elle est simplement prolongeable ร gauche en 0 par une fonction continue ร gauche en 0, par ๐(0) = 0.
2. Pour tout ๐ฅ โ 0
๐โฒ(๐ฅ) =โ1๐ฅ2๐1๐ฅ
Lorsque๐ฅ โ 0โ, on pose ๐ = 1๐ฅ ๐ฅโ0โโ โ โ
๐โฒ(๐ฅ) = โ๐2๐๐โโโ 0
Car il sโagit dโune limite indรฉterminรฉe donc le rรฉsultat est connue en โโ. 3.
lim๐ฅโโโ
๐(๐ฅ) = 1; lim๐ฅโ0โ
๐(๐ฅ) = 0; lim๐ฅโ0+
๐(๐ฅ) = +โ; lim๐ฅโ+โ
๐(๐ฅ) = 1
๐ฅ โโ 0 +โ ๐โฒ(๐ฅ) โ 0 โ ๐โฒ(๐ฅ) 1 +โ
0 1
Exercice 5.
Soit ๐ la fonction numรฉrique dรฉfinie par ๐(๐ฅ) = ๐ฅ โ ln(๐ฅ)๐ฅ
.
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
-15 -10 -5 0 5 10 15
5
1. Soit ๐ la fonction numรฉrique dรฉfinie par ๐(๐ฅ) = ๐ฅ2 โ 1 + ln(๐ฅ). Dresser le tableau de variations de cette fonction, et en dรฉduire quโil existe un et un seul rรฉel ๐ฅ0 tel que ๐(๐ฅ0) = 0, dรฉteminer ๐ฅ0.
2. En dรฉduire les variations de ๐. 3. Dรฉterminer les limites de ๐ aux bornes de son ensemble de dรฉfinition. 4. Dรฉterminer les asymptotes au graphe de ๐. 5. Tracer ce graphe et son asymptote en faisant figurer les tangentes remarquables.
Correction exercice 5.
1. ๐ est dรฉfinie, continue et dรฉrivable sur ]0, +โ[.
๐โฒ(๐ฅ) = 2๐ฅ +1๐ฅ> 0car๐ฅ > 0
lim๐ฅโ0+
๐(๐ฅ) = โโet lim๐ฅโ+โ
๐(๐ฅ) = +โ
๐ฅ 0 +โ ๐โฒ(๐ฅ) + ๐(๐ฅ) +โ
โโ On en dรฉduit que ๐ est une bijection de ]0, +โ[ sur โ, donc 0 admet un unique antรฉcรฉdent ๐ฅ0, comme ๐ฅ0 = 1 convient, cโest le seul.
2. ๐ est dรฉfinie, continue et dรฉrivable sur ]0, +โ[
๐โฒ(๐ฅ) = 1 โ1๐ฅ ร ๐ฅ โ 1 ร ln(๐ฅ)
๐ฅ2= 1 โ
1 โ ln(๐ฅ)๐ฅ2
=๐ฅ2 โ (1 โ ln(๐ฅ))
๐ฅ2=๐(๐ฅ)๐ฅ2
lim๐ฅโ0+
๐(๐ฅ) = โโet lim๐ฅโ+โ
๐(๐ฅ) = +โ
Car
lim๐ฅโ0+
๐(๐ฅ) = lim๐ฅโ0+
ln(๐ฅ)๐ฅ
= โโ
Nโest pas une forme indรฉterminรฉe.
๐(1) = 1 โln(1)1
= 1
๐ฅ 0 1 +โ ๐โฒ(๐ฅ) โ 0 + ๐(๐ฅ) โโ +โ
1 3. Voir 2. 4. Comme
lim๐ฅโ+โ
ln(๐ฅ)๐ฅ
= 0
lim๐ฅโ+โ
(๐(๐ฅ) โ ๐ฅ) = 0
Ce qui montre que la droite dโรฉquation ๐ฆ = ๐ฅ est asymptote au graphe de ๐ en +โ. 5.
6
Et mรชme si ce nโest pas clair sur le graphe, il y a un point dโinflexion pour ๐ฅ > 1, point qui annule la dรฉrivรฉe seconde.
Exercice 6. Soit ๐ la fonction numรฉrique dรฉfinie par ๐(๐ฅ) = (๐ฅ + 1
2) ๐โ๐ฅ2.
1. Dรฉterminer les limites รฉventuelles de ๐ en โโet en +โ. 2. Etudier les variations de ๐. 3. Tracer sommairement la courbe reprรฉsentative de ๐.
Correction exercice 6.
1. Si ๐ฅ < 0 on pose ๐ฅ2 = ๐ โ ๐ฅ = โโ๐, donc ๐(๐ฅ) = (โโ๐ + 12)๐โ๐
๐โ+โโ 0
lim๐ฅโโโ
๐(๐ฅ) = 0
Si ๐ฅ > 0 on pose ๐ฅ2 = ๐ โ ๐ฅ = โ๐, donc ๐(๐ฅ) = (โ๐ + 12)๐โ๐
๐โ+โโ 0
lim๐ฅโ+โ
๐(๐ฅ) = 0
Ceci dit dans ce cas les limites sont presque รฉvidentes. 2. ๐โฒ(๐ฅ) = ๐โ๐ฅ2 + (๐ฅ + 1
2) (โ2๐ฅ)๐โ๐ฅ2 = (โ2๐ฅ2 โ ๐ฅ + 1)๐โ๐ฅ2
Le polynรดme โ2๐2 โ ๐ + 1 admet ๐1 = โ1 et ๐2 =12 comme racines donc
โ2๐2 โ ๐ + 1 = โ2(๐ + 1)(๐ โ 12)
Donc ๐โฒ(๐ฅ) = โ2(๐ฅ + 1)(๐ฅ โ 12)๐โ๐ฅ2
On en dรฉduit le tableau de variation de ๐
๐ฅ โโ โ1 12 +โ
๐โฒ(๐ฅ) โ 0 + 0 โ ๐(๐ฅ) 0 ๐โ
14
โ1
2๐ 0
3. โ12๐โ โ0,2 en gros et ๐โ
14 โ 0,8 en gros.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 1 2 3 4 5 6
7
Exercice 7.
Montrer que pour tous ๐ฅ et ๐ฆ rรฉels distincts :
๐๐ฅ+๐ฆ2 <
๐๐ฅ + ๐๐ฆ
2
Correction exercice 7.
Pour tous ๐ฅ et ๐ฆ rรฉels distincts
๐๐ฅ + ๐๐ฆ
2โ ๐
๐ฅ+๐ฆ2 =
๐๐ฅ โ 2๐๐ฅ+๐ฆ2 + ๐๐ฆ
2=(๐๐ฅ2)2โ 2๐
๐ฅ2๐๐ฆ2 + (๐
๐ฆ2)2
2=(๐๐ฅ2 โ ๐
๐ฆ2)2
2> 0
Car ๐ฅ โ ๐ฆ On a bien
๐๐ฅ+๐ฆ2 <
๐๐ฅ + ๐๐ฆ
2
Exercice 8.
Discuter en fonction de la valeur du rรฉel ๐ฅ de lโexistence de la valeur รฉventuelle de la limite de ๐ฅ๐ quand ๐ tend vers +โ.
Correction exercice 8.
Si ๐ฅ < โ1 alors ๐ฅ๐ nโa pas de limite mais lim๐โ+โ|๐ฅ|๐ = +โ Si ๐ฅ = โ1 alors ๐ฅ๐ = (โ1)๐ nโa pas de limite. Si |๐ฅ| < 1 โ โ1 < ๐ฅ < 1 alors lim๐โ+โ ๐ฅ๐ = 0 Si ๐ฅ = 1 alors ๐ฅ๐ = 1 donc lim๐โ+โ ๐ฅ๐ = 1 Si ๐ฅ > 1 alors lim๐โ+โ ๐ฅ๐ = +โ Etablir la formule suivante :
tan(๐ฅ โ ๐ฆ) + tan(๐ฆ โ ๐ง) + tan(๐ง โ ๐ฅ) = tan(๐ฅ โ ๐ฆ) tan(๐ฆ โ ๐ง) tan(๐ง โ ๐ฅ) Oรน ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง sont trois rรฉels pour lesquels les trois tangentes apparaissant dans la formule sont dรฉfinies.
Indication : on pourra appliquer judicieusement la formule tan(๐ + ๐) = tan(๐)+tan(๐)1โtan(๐) tan(๐)
Correction exercice 9.
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
-3 -2 -1 0 1 2 3
๐โ1/4
1/2๐
๐ฅ
0.5
๐ฆ
8
tan(๐ง โ ๐ฅ) = tan((๐ง โ ๐ฆ) + (๐ฆ โ ๐ฅ)) =tan(๐ง โ ๐ฆ) + tan(๐ฆ โ ๐ฅ)1 โ tan(๐ง โ ๐ฆ) tan(๐ฆ โ ๐ฅ)
โ tan(๐ง โ ๐ฅ) (1 โ tan(๐ง โ ๐ฆ) tan(๐ฆ โ ๐ฅ)) = tan(๐ง โ ๐ฆ) + tan(๐ฆ โ ๐ฅ)โ tan(๐ง โ ๐ฅ) (1 โ (โ tan(โ๐ง + ๐ฆ))(โ tan(โ๐ฆ + ๐ฅ))) = โ tan(โ๐ง + ๐ฆ) โ tan(โ๐ฆ + ๐ฅ)โ tan(๐ง โ ๐ฅ) (1 โ tan(๐ฆ โ ๐ง) tan(๐ฅ โ ๐ฆ)) = โ tan(๐ฆ โ ๐ง) โ tan(๐ฅ โ ๐ฆ)โ tan(๐ง โ ๐ฅ) โ tan(๐ง โ ๐ฅ) tan(๐ฆ โ ๐ง) tan(๐ฅ โ ๐ฆ) = โ tan(๐ฆ โ ๐ง) โ tan(๐ฅ โ ๐ฆ)โ tan(๐ง โ ๐ฅ) + tan(๐ฆ โ ๐ง) + tan(๐ฅ โ ๐ฆ) = tan(๐ง โ ๐ฅ) tan(๐ฆ โ ๐ง) tan(๐ฅ โ ๐ฆ)
Exercice 9. ๐ข et ๐ฃ รฉtant deux rรฉels, รฉtablir les formules suivantes :
ch2(๐ข) + sh2(๐ฃ) = sh2(๐ข) + ch2(๐ฃ) = ch(๐ข + ๐ฃ) ch(๐ข โ ๐ฃ) ch2(๐ข) โ ch2(๐ฃ) = sh2(๐ข) โ sh2(๐ฃ) = sh(๐ข + ๐ฃ) sh(๐ข โ ๐ฃ)
Correction exercice 10. Pour tout ๐ข et ๐ฃ deux rรฉels.
ch2(๐ข) + sh2(๐ฃ) = (๐๐ข + ๐โ๐ข
2)2
+ (๐๐ฃ โ ๐โ๐ฃ
2)2
=๐2๐ข + 2 + ๐โ2๐ข + ๐2๐ฃ โ 2 + ๐โ2๐ฃ
4
=๐2๐ข + ๐โ2๐ข + ๐2๐ฃ + ๐โ2๐ฃ
4
sh2(๐ข) + ch2(๐ฃ) = (๐๐ข โ ๐โ๐ข
2)2
+ (๐๐ฃ + ๐โ๐ฃ
2)2
=๐2๐ข โ 2 + ๐โ2๐ข + ๐2๐ฃ + 2 + ๐โ2๐ฃ
4
=๐2๐ข + ๐โ2๐ข + ๐2๐ฃ + ๐โ2๐ฃ
4
ch(๐ข + ๐ฃ) ch(๐ข โ ๐ฃ) =๐๐ข+๐ฃ + ๐โ๐ขโ๐ฃ
2ร๐๐ขโ๐ฃ โ ๐โ๐ข+๐ฃ
2
=๐๐ข+๐ฃ+๐ขโ๐ฃ โ ๐๐ข+๐ฃโ๐ข+๐ฃ + ๐โ๐ขโ๐ฃ+๐ขโ๐ฃ โ ๐โ๐ขโ๐ฃโ๐ข+๐ฃ
4=๐2๐ข + ๐โ2๐ข + ๐2๐ฃ + ๐โ2๐ฃ
4
On a bien ch2(๐ข) + sh2(๐ฃ) = sh2(๐ข) + ch2(๐ฃ) = ch(๐ข + ๐ฃ) ch(๐ข โ ๐ฃ)
ch2(๐ข) โ ch2(๐ฃ) = (๐๐ข + ๐โ๐ข
2)2
โ (๐๐ฃ + ๐โ๐ฃ
2)2
=๐2๐ข + 2 + ๐โ2๐ข โ (๐2๐ฃ + 2 + ๐โ2๐ฃ)
4
=๐2๐ข + ๐โ2๐ข โ ๐2๐ฃ โ ๐โ2๐ฃ
4
sh2(๐ข) โ sh2(๐ฃ) = (๐๐ข โ ๐โ๐ข
2)2
โ (๐๐ฃ โ ๐โ๐ฃ
2)2
=๐2๐ข โ 2 + ๐โ2๐ข โ (๐2๐ฃ โ 2 + ๐โ2๐ฃ)
4
=๐2๐ข + ๐โ2๐ข โ ๐2๐ฃ โ ๐โ2๐ฃ
4
sh(๐ข + ๐ฃ) sh(๐ข โ ๐ฃ) =๐๐ข+๐ฃ โ ๐โ๐ขโ๐ฃ
2ร๐๐ขโ๐ฃ + ๐โ๐ข+๐ฃ
2
=๐๐ข+๐ฃ+๐ขโ๐ฃ + ๐๐ข+๐ฃโ๐ข+๐ฃ โ ๐โ๐ขโ๐ฃ+๐ขโ๐ฃ โ ๐โ๐ขโ๐ฃโ๐ข+๐ฃ
4=๐2๐ข + ๐โ2๐ข โ ๐2๐ฃ โ ๐โ2๐ฃ
4
On a bien ch2(๐ข) โ ch2(๐ฃ) = sh2(๐ข) โ sh2(๐ฃ) = sh(๐ข + ๐ฃ) sh(๐ข โ ๐ฃ)
Exercice 10.
Soit ๐ la fonction numรฉrique dรฉfinie par
๐(๐ข) =4 โ 5 ch(๐ข)sh(๐ข)
1. Montrer que ๐ est bien dรฉfinie, continue et dรฉrivable sur โโ. Est-elle paire, impaire ?
9
2. Dรฉterminer les limites รฉventuelles de ๐ en +โ et en 0+. 3. Etudier les variations de ๐ sur โโ. On veillera ร donner une expression trรจs simple les points oรน ๐โฒ
sโannule. 4. Dresser le tableau de variation de ๐ et tracer sommairement son graphe.
Correction exercice 11.
1. ๐ est dรฉfinie, continue et dรฉrivable si et seulement si sh(๐ข) โ 0, donc sur โโ.
๐(โ๐ข) =4 โ 5 ch(โ๐ข)sh(โ๐ข)
=4 โ 5 ch(๐ข)โ sh(๐ข)
= โ๐(๐ข)
De plus lโensemble de dรฉfinition est symรฉtrique par rapport ร 0 donc ๐ est impaire. 2.
{lim๐ขโ0+
(4 โ 5 ch(๐ข)) = โ1
lim๐ขโ0+
sh(๐ข) = 0+ โ lim๐ขโ0+
๐(๐ข) = โโ
Limite en +โ Premiรจre mรฉthode, on pose ๐ = ๐๐ข
๐(๐ข) =4 โ 5๐
๐ข + ๐โ๐ข2
๐๐ข โ ๐โ๐ข2
=8 โ 5(๐๐ข + 1
๐๐ข)
๐๐ข โ 1๐๐ข
=8 โ 5๐ โ 5๐๐ โ 1๐
=8๐ โ 5๐2 โ 5๐2 โ 1
=โ5๐2 + 8๐ โ 5
๐2 โ 1
lim๐ขโ+โ
๐(๐ข) = lim๐โ+โ
โ5๐2 + 8๐ โ 5๐2 โ 1
= โ5
Deuxiรจme mรฉthode
๐(๐ข) =4
sh(๐ข)โ 5
ch(๐ข)sh(๐ข)
=4
sh(๐ข)โ 5
1th(๐ข)
{lim๐ขโ+โ
4sh(๐ข)
= 0
lim๐ขโ+โ
th(๐ข) = 1โ lim
๐ขโ+โ๐(๐ข) = โ5
3. Pour tout ๐ข > 0.
๐โฒ(๐ข) =โ5 sh(๐ข) ร sh(๐ข) โ (4 โ 5 ch(๐ข)) ร ch(๐ข)
sh2(๐ข)=โ5 sh2(๐ข) โ 4 ch(๐ข) + 5 ch2(๐ข)
sh2(๐ข)
=5(ch2(๐ข) โ sh2(๐ข)) โ 4 ch(๐ข)
sh2(๐ข)=5 โ 4 ch(๐ข)sh2(๐ข)
On cherche la ou les valeur(s) de ๐ข > 0 qui annule ๐โฒ(๐ข) et on pose ๐ = ๐๐ข
5 โ 4 ch(๐ข) = 0 โ 5 โ 4๐๐ข + ๐โ๐ข
2= 0 โ 5โ 2๐ โ
2๐= 0 โ โ2๐2 + 5๐ โ 2 = 0
Le discriminant vaut ฮ = 25 โ 4(โ2)(โ2) = 9
Il y a donc deux solutions
๐1 =โ5 โ 3โ4
= 2et๐1 =โ5 + 3โ4
=12
On revient en ยซ ๐ข ยป
๐ข1 = ln(2) > 0et๐ข2 = ln (12) = โ ln(2) < 0
Ensuite comme ๐ข โ 4 โ 5 ch(๐ข) est dรฉcroissante sur โ+ 0 < ๐ข < ln(2) โ 4 โ 5 ch(๐ข) > 4 โ 5 ch(๐๐(2)) = 0 โ ๐โฒ(๐ข) > 0 ln(2) < ๐ข โ 4 โ 5 ch(ln(2)) < 4 โ 5 ch(๐ข) = 0 โ ๐โฒ(๐ข) < 0
4. ๐ข 0 ln(2) +โ
10
๐โฒ(๐ข) + 0 โ ๐(๐ข) ๐(ln(2))
โโ โ5 Avec
๐(ln(2)) =4 โ 5 ch(ln(2))sh(ln(2))
ch(ln(2)) =54
sh(ln(2)) =๐ln(2) โ ๐โln(2)
2=2 โ 122
=34
Par consรฉquent
๐(ln(2)) =4 โ 5 ร 54
34
= โ93= โ3
Exercice 11.
Calculer les limites suivantes : lim๐ฅโ+โ
๐โ๐ฅ(ch3(๐ฅ) โ sh3(๐ฅ)
lim๐ฅโ+โ
(๐ฅ โ ln(ch(๐ฅ)))
Correction exercice 12.
๐โ๐ฅ(ch3(๐ฅ) โ sh3(๐ฅ)) = ๐โ๐ฅ ((๐๐ฅ + ๐โ๐ฅ
2)3
โ (๐๐ฅ โ ๐โ๐ฅ
2)3
)
=๐โ๐ฅ
8(๐3๐ฅ + 3๐๐ฅ + 3๐โ๐ฅ + ๐โ3๐ฅ โ (๐3๐ฅ โ 3๐๐ฅ + 3๐โ๐ฅ โ ๐โ3๐ฅ))
=๐โ๐ฅ
8(6๐๐ฅ + 2๐โ3๐ฅ) =
34+14๐โ4๐ฅ
Donc
lim๐ฅโ+โ
๐โ๐ฅ(ch3(๐ฅ)) โ sh3(๐ฅ)) =34
๐ฅ โ ln(ch(๐ฅ)) = ๐ฅ โ ln (๐๐ฅ + ๐โ๐ฅ
2) = ๐ฅ โ ln(๐๐ฅ
1 + ๐โ2๐ฅ
2) = ๐ฅ โ ln(๐๐ฅ) โ ln (
1 + ๐โ2๐ฅ
2)
= โ ln (1 + ๐โ2๐ฅ
2)
lim๐ฅโ+โ
1 + ๐โ2๐ฅ
2=12
Donc
-15
-10
-5
0
5
10
15
-6 -4 -2 0 2 4 6
11
lim๐ฅโ+โ
(๐ฅ โ ln(ch(๐ฅ))) = โ ln (12) = ln(2)
Exercice 12.
Rรฉsoudre dans โ 3 ch(๐ฅ) โ sh(๐ฅ) โ 3 = 0
Correction exercice 13.
On pose ๐ = ๐๐ฅ
3 ch(๐ฅ) โ sh(๐ฅ) โ 3 = 0 โ 3๐ + 1๐2
โ๐ โ 1๐2
โ 3 = 0 โ 3(๐2 + 1) โ (๐2 โ 1) โ 6๐ = 0
โ 2๐2 โ 6๐ + 4 = 0 โ ๐2 โ 3๐ + 2 = 0 โ ๐ = 1ou๐ = 2 โ ๐ฅ = 0ou๐ฅ = ln(2) Exercice 13.
1. Calculer
ch (12ln(3)) et sh (
12ln(3))
2. A lโaide de la formule ch(๐ + ๐) = ch(๐) ch(๐) + sh(๐) sh(๐)
Dรฉterminer les solutions de lโรฉquation : 2 ch(๐ฅ) + sh(๐ฅ) = โ3 ch(5๐ฅ)
Correction exercice 14.
1.
ch (12ln(3)) =
๐12 ln(3) + ๐โ
12 ln(3)
2=๐โ3 + ๐โโ3
2=โ3 + 1
โ32
=3 + 12โ3
=2โ3=2โ33
sh (12ln(3)) =
๐12 ln(3) โ ๐โ
12 ln(3)
2=๐โ3 โ ๐โโ3
2=โ3 โ 1
โ32
=3 โ 12โ3
=1โ3=โ33
2.
2 ch(๐ฅ) + sh(๐ฅ) = โ3 ch(5๐ฅ) โ2โ33ch(๐ฅ) +
โ33sh(๐ฅ) =
โ33ร โ3 ch(5๐ฅ)
โ ch (12ln(3)) ch(๐ฅ) + sh(
12ln(3)) sh(๐ฅ) = ch(5๐ฅ) โ ch (
12ln(3) + ๐ฅ) = ch(5๐ฅ)
โ {
12ln(3) + ๐ฅ = 5๐ฅ
12ln(3) + ๐ฅ = โ5๐ฅ
โ {4๐ฅ =
12ln(3)
6๐ฅ = โ12ln(3)
๐ = {18ln(3) , โ
112ln(3)}
Exercice 14. Soit ๐ la fonction dรฉfinie par :
๐(๐ฅ) =8 ch(๐ฅ)4๐๐ฅ โ 3
1. Dรฉterminer lโensemble de dรฉfinition de ๐. 2. Calculer les limites de ๐ au bord de lโensemble de dรฉfinition. 3. Etudier les variations de ๐.
12
4. Dresser le tableau de variation de ๐. 5. Tracer le graphe de ๐.
Correction exercice 15.
1. ๐ est dรฉfinie, continue et dรฉrivable si et seulement si 4๐๐ฅ โ 3 โ 0 โ ๐๐ฅ โ 34โ ๐ฅ โ ln (3
4)
๐ท๐ = โ โ {ln (34)}
2. En โโ,
lim๐ฅโโโ
(4๐๐ฅ โ 3) = โ3
lim๐ฅโโโ
ch(๐ฅ) = +โ
Donc
lim๐ฅโโโ
8 ch(๐ฅ)4๐๐ฅ โ 3
= โโ
En +โ On pose ๐ = ๐๐ฅ
๐(๐ฅ) =8ch(๐ฅ)4๐๐ฅ โ 3
=8๐ + 1๐2
4๐ โ 3=8(๐2 + 1)2๐(4๐ โ 3)
=8๐2 + 88๐2 โ 6๐
lim๐ฅโ+โ
๐ = +โ
Donc
lim๐ฅโ+โ
๐(๐ฅ) = lim๐โ+โ
8๐2 + 88๐2 โ 6๐
= lim๐โ+โ
8๐2
8๐2= 1
lim๐ฅโ+โ
๐ = +โ
En ln (34)โ
, ch (ln (34)) > 1 > 0
lim๐ฅโln(34)
โ(4๐๐ฅ โ 3) = 0โ
lim๐ฅโln(34)
โ
ch(๐ฅ)4๐๐ฅ โ 3
= โโ
En ln (34)+
, ch (ln (34)) > 1 > 0
lim๐ฅโln(34)
+(4๐๐ฅ โ 3) = 0+
lim๐ฅโln(34)
+
ch(๐ฅ)4๐๐ฅ โ 3
= +โ
3.
๐โฒ(๐ฅ) = 8sh(๐ฅ) (4๐๐ฅ โ 3) โ 4 ch(๐ฅ) ๐๐ฅ
(4๐๐ฅ โ 3)2= 8
4๐๐ฅ(sh(๐ฅ) โ ch(๐ฅ)) โ 3 sh(๐ฅ)(4๐๐ฅ โ 3)2
On pose ๐ = ๐๐ฅ
13
๐โฒ(๐ฅ) = 0 โ 4๐๐ฅ(sh(๐ฅ) โ ch(๐ฅ)) โ 3 sh(๐ฅ) = 0 โ 4๐(๐ โ 1๐2
โ๐ + 1๐2) โ 3
๐ โ 1๐2
= 0
โ 4๐((๐2 โ 1) โ (๐2 + 1)) โ 3(๐2 โ 1) = 0 โ 8๐(โ2) โ 3๐2 + 3 = 0โ โ3๐2 โ 8๐ + 3 = 0
Le discriminant de cette รฉquation est : ฮ = (โ8)2 + 4 ร 3 ร 3 = 64 + 36 = 100
Les racines sont
๐1 =8 โ 10โ6
=13
Et
๐2 =8 + 10โ6
= โ3
Or ๐ = ๐๐ฅ > 0 donc ๐โฒ(๐ฅ) = 0 nโa quโune solution ๐๐ฅ = 13โ ๐ฅ = ln (1
3) = โ ln(3)
Il reste ร dรฉterminer le signe de 4๐๐ฅ(sh(๐ฅ) โ ch(๐ฅ)) โ 3 sh(๐ฅ), cette fonction est continue et ne sโannule quโen โ ln(3), on prends une valeur simple 0, 4๐0(sh(0) โ ch(0)) โ 3 sh(0) = โ4 < 0 Donc pour tout ๐ฅ < โln(3) 4๐๐ฅ(sh(๐ฅ) โ ch(๐ฅ)) โ 3 sh(๐ฅ) < 0 et pour tout ๐ฅ > โln(3), 4๐๐ฅ(sh(๐ฅ) โ ch(๐ฅ)) โ 3 sh(๐ฅ) > 0, il faut quand mรชme faire attention au fait que ๐ nโest pas dรฉfinie
en ln (34)
Comme 13< 34 alors ln (1
3) < ln (3
4), on dรฉduit de tout cela que :
Pour tout ๐ฅ โ] โ โ, ln (13) [, ๐ est dรฉcroissante.
Pour tout ๐ฅ โ] ln (13) , ln (3
4) [, ๐ est croissante.
Pour tout ๐ฅ โ] ln (34) ,+โ[, ๐ est croissante.
4. ๐ฅ โโ ln (1
3) ln (3
4) +โ
๐โฒ(๐ฅ) + 0 โ โ ๐(๐ฅ) โ8 +โ
โโ โโ 1 Car
๐ (ln (13)) =
8 ch (13)
4๐ln(13) โ 3
= 4๐ln(
13) + ๐โln(
13)
43 โ 3
= 413 + 3
โ53=40โ5
= โ8
5.
14
Exercice 15. Soit ๐ la fonction dโune variable rรฉelle dรฉfinie par :
๐(๐ข) =3 + 4 sh(๐ข)ch(๐ข)
1. Prรฉciser son domaine de dรฉfinition. 2. Prรฉciser ses limites quand ๐ข tend vers +โ et โโ. 3. Etudier les variations de ๐. On veillera ร fournir une expression trรจs simple de la valeur ๐ข0 pour laquelle ๐โฒ(๐ข0) = 0 (lโexpression attendue nโutilise pas de fonctions hyperboliques rรฉciproque (Hors programme)).
4. Tracer le graphe de ๐.
Correction exercice 16.
1. ๐ข โ 3 + 4 sh(๐ข) est dรฉfinie sur โ. ch(๐ข) โ 0 pour tout ๐ข โ โ et ch est dรฉfinie sur โ donc ๐ est dรฉfinie sur โ.
2. Premiรจre mรฉthode
๐(๐ข) =3 + 4 sh(๐ข)ch(๐ข)
=3
ch(๐ข)+ 4 th(๐ข)
lim๐ขโ+โ ch(๐ข) = +โ donc lim๐ขโ+โ3
ch(๐ข)= 0 et lim๐ขโ+โ th(๐ข) = 1 donc lim๐ขโ+โ ๐(๐ข) = 4
lim๐ขโโโ ch(๐ข) = +โ donc lim๐ขโโโ3
ch(๐ข)= 0 et lim๐ขโโโ th(๐ข) = โ1 donc lim๐ขโ+โ ๐(๐ข) = โ4
Deuxiรจme mรฉthode
๐(๐ข) =3 + 4 sh(๐ข)ch(๐ข)
=3 + 4๐
๐ข โ ๐โ๐ข2
๐๐ข + ๐โ๐ข2
=6 + 4(๐๐ข โ ๐โ๐ข)
๐๐ข + ๐โ๐ข=6๐๐ข + 4(๐2๐ข โ 1)
๐2๐ข + 1
En multipliant le numรฉrateur et le dรฉnominateur par 2, puis par ๐๐ข. On pose ๐ = ๐๐ข,
๐(๐ข) =6๐ + 4(๐2 โ 1)
๐2 + 1=4๐2 + 6๐ โ 4๐2 + 1
si ๐ข โ +โ alors ๐ โ +โ
lim๐ขโ+โ
๐(๐ข) = lim๐โ+โ
4๐2 + 6๐ โ 4๐2 + 1
= lim๐โ+โ
4๐2
๐2= 4
๐ฅ
๐ฆ
โln 3
ln 3/4 1
โ8
15
si ๐ข โ โโ alors ๐ โ 0
lim๐ขโโโ
๐(๐ข) = lim๐โ0
4๐2 + 6๐ โ 4๐2 + 1
= โ4
3. Premiรจre mรฉthode
๐โฒ(๐ข) =4 ch(๐ข) ch(๐ข) โ (3 + 4 sh(๐ข)) sh(๐ข)
ch2(๐ข)=4 ch2(๐ข) โ 3 sh(๐ข) โ 4 sh2(๐ข)
ch2(๐ข)
=4(ch2(๐ข) โ sh2(๐ข)) โ 3 sh(๐ข)
ch2(๐ข)=4 โ 3 sh(๐ข)ch2(๐ข)
๐โฒ(๐ข0) = 0 โ 4 โ 3 sh(๐ข0) = 0 โ sh(๐ข0) =43โ ๐ข0 = argsh (
43) = ln(
43+ โ(
43)2
+ 1)
= ln(43+ โ
169+ 1) = ln(
43+ โ
259) = ln (
43+53) = ln(3)
Deuxiรจme mรฉthode
sh(๐ข0) =43โ๐๐ข0 โ ๐โ๐ข0
2=43
On pose ๐0 = ๐๐ข0
sh(๐ข0) =43โ๐0 โ
1๐0
2=43โ ๐0 โ
1๐0=83โ ๐02 โ 1 =
83๐0 โ ๐02 โ
83๐0 โ 1 = 0
Le discriminant vaut
ฮ =649+ 4 =
1009= (103)2
๐0,1 =83 โ
103
2= โ
13< 0
๐0,2 =83 +
103
2= 3
Donc ๐๐ข0 = 3 โ ๐ข0 = ln(3)
๐ข โโ ln(3) +โ ๐โฒ(๐ข) + 0 โ ๐(๐ข) 5
โ4 4
ch(ln(3)) =๐ln(3) + ๐โln(3)
2=3 + 132
=53
๐(ln(3)) =3 + 4 ร 43
53
= 5
4. Graphe de ๐ฃ = ๐(๐ข)
16
-5-4-3-2-10123456
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
๐ข
๐ฃ
ln(3)