MOUVEMENT D’UNE PARTICULE DANS UN CHAMP
MAGNETIQUEHugues OttMaître de Conférences à l’IUT Robert
Schuman Université de Strasbourg Département
Chimie
O
x
y
z
B
0v
• à t = 0 , la particule est en O x0 = y0 = z0 = 0
• le champ magnétique B est uniforme dirigé suivant Oz
• le vecteur vitesse initiale
– fait un angle a0 avec Oz
– est dans le plan Oxz
q
Conditions initiales :
Particule dans un champ magnétique
dt
vdm
)Bv.(q
amF
v).Bv.(q
v.dt
vdm
2vdt
d
2
1m
Ctev2
Ctevv 0
Multiplions par v les deux membres
0
u'.u
v,vcos.v.v
v.vv.v
Vecteur perpendiculaire à v
et à B
'u.u22
1
'2u2
1
Théorème du centre d’inertie :
Particule dans un champ magnétique
B).Bv.(q
B.dt
vdm
amF
B.vdt
dm
dt
vdm)Bv.(q
0Cte
CteB.v
Ctecos.B.v
Multiplions par B les deux membres
0
Champ uniforme
Vitesse constante
Champ uniforme
Théorème du centre d’inertie :
Vecteur perpendiculaire à v et à B
Particule dans un champ magnétique
OMdt
dv k.zj.yi.xOM
Vecteur vitesse
:
k.zj.yi.xdt
dv
kdt
dzj
dt
dyi
dt
dxv
kzjyixv
i.xdt
d j.y
dt
d k.z
dt
d
dt
idxi
dt
dx
dt
jdyj
dt
dy
dt
kdzk
dt
dz
x y z
Particule dans un champ magnétique
Produit vectoriel
1er vecteur
2e vecteur
Produitvectorie
l
Direction Sens
ji
perpendiculaire à jeti
Règle de la main droite
1
Norme
ji
)j,isin(j.i
1
ji
j
k
k
ki
k-j
j
kj
k
i
i
ii
kkjj
0
Oj
k
i
i
O
j
O
i
O
)i,isin(.i.i
2
1
ji
1 01ii
0Particule dans un champ
magnétique
amF
dt
vdm)Bv.(q
)kzjyix(q
.m
kiBx(q
kBix(q
)k.zj.yi.x.(m
)k.zj.yi.x.(m
m.(Ý Ý x .r i Ý Ý y .
r j Ý Ý z .
r k )
ixmiByq
jymjBxq
k.z0
ym
qBx
xm
Bqy
0z
Théorème du centre d’inertie
j
jBx(q
i
0
iBy
)0
yx
xy
0z m
qB
On pose
kzjyixv
le champ magnétique B est uniforme dirigé suivant Oz
)kB(
)k.zj.yi.x(
kzjyixvdt
d
kBjy
)kBkz
kjBy
)kkBz
Particule dans un champ magnétique
yx xy 0z
tcos.vz 00
Mouvement uniforme le long du champ magnétique
Par intégrationCte 00 cos.v z
O
x
y
z
B
0v
qPar intégration
Vitesse selon l ’axe Oz
Particule dans un champ magnétique
la solution est de la forme
xy 0xx 2
)tsin(Ax
0x Conditions initiales
0tà x cos.A
0
00 sin.vA
tsinsin.v
x 00
yx xy 0z
tcos.vz 00 Par intégration
xx 2
Equation différentielle 2e degré
sin.A
00 sin.v
tsinsin.v
y 00
Par intégration
y
Condition initiale
0tà 0y Ctesin.v 00
Cte
)1t(cossin.v
y 00
O
x
y
z
Br
0vq
A
0t
dériver
)tcos(Ax
0t
)tcos(Ax
00 sinv
)tcos(Cte
0t
00 sin.v
ytcos
00 sin.v
00 sinv )1t(cos 00 sinv
Particule dans un champ magnétique
2
002 sin.vyx
tcossin.vsin.v
y 0000
222 RRyx
00 sin.v
R
La trajectoire, dans le plan Oxy perpendiculaire à B, est un cercle de rayon R et de centre C (xC=0 et yC=-R )
0000 sin.v
tcossin.v
y
On développe
tsinsin.v
x 22
002
tcossin.vsin.v
y 22
00
2
00
On pose
tcostsinsin.v 22
2
00
On élève les 2 membres au carré
On élève les 2 membres au carré
On somme les 2 expressions
tsinsin.v
x 00
)1t(cos
sin.vy 00
Mouvement
uniforme suivant Oz
tcos.vz 00
12
00 sin.v
Particule dans un champ magnétique
MOUVEMENT HELICOIDAL
Période du mouvement hélicoïdal
qB
m2
00 sin.v
R2
y0xplanvitesse
parcouruecetandisT
00 sin.vR
2
La vitesse de la particule n’intervient pas directement dans l’expression de la période.
Mouvement circulaire dans le plan Oxy perpendiculaire à B
Mouvement uniforme suivant Oz le long du
champ B
Nature du mouvement
O
x
y
z
Br
0vq
m
qB
La circonférence décrit par la particule est appelée circonférence de Larmor (physicien anglais).La fréquence est dite fréquence de Larmor.
00 sin.v
tcos.vz 00 222 RRyx
Particule dans un champ magnétique
Le pas de l’hélice
Si 0 = / 2
qB
m2
00 sin.vR
T.zh
tcos.vz 00
00 cos.vz
Trajectoire = Cercle
qB
v.mR 0
m
qB
Distance parcourue par la particule dans la direction du champ lorsqu’elle effectue un tour complet sur la
circonférence.
qB
.m.2cosvh 00
Période
0h qB
v.m 0
0v
=0=1
(Vitesse selon Oz) . (Période)
2T
Particule dans un champ magnétique
Expression de la vitesse v0
00 sin.vR
00 cosv2
h
2h
222 hR4
2R
2222
220 hR4
4v
2220 hR4
m.2
B.qv
22R4
022
0
2
sinv2
022
0
2
cosv2
20
2
v2
0v
022
0
2
sin.v1
022
0
2
sin.v2
022
0
2
cosv2
222 hR42
)cos(sin 02
02
1
Particule dans un champ magnétique
Déplacement d’une particule dans un champ non uniforme
B.q
sin.v.mR 00
qB
cosv.m.2h 00
CteB.cos.v 00
Dans un champ croissant
Application : la ceinture de radiation de Van Allen.
Rayon de l’hélice Pas de l’hélice Vitesse selon B
La composante de la vitesse parallèle au champ décroît et va s’annuler si le champ s’étend suffisamment le pas de l’hélice décroît au fur et à mesure que la particule se déplace vers les champs croissants
la particule est obligée de revenir en arrière
B augmente
diminueB augmente
diminue
diminueB
augmentediminue
Le rayon de l ’hélice diminue
Particule dans un champ magnétique