Journée « Hydraulique » du CFMS 23 janvier 2002PARIS
IDENTIFICATION DES PARAMÈTRES HYDRODYNAMIQUES DES SOLS NON SATURÉS :
méthodes "directe" et inverse
Adel ABDALLAHLAEGO – ENSG Nancy
01Plan de l’exposé
Introduction
Équations de l’écoulement non saturé
Détermination des propriétés hydrodynamiques
Synthèse & conclusion
02Applications de l’Hydrodynamique des sols non saturés
Géotechniqueet
Environnement
• Écoulements dans les digues/barrages et les talus• Stockage de déchets ménagers ou industriels• Transport des polluants
Alvéole de stockage de déchets ménagers en surface
Barrière argileuse
DéchetsCouche filtrante
Géomembrane
Gravier
Déchets
Sol de fondation
Tube perforé
Nappe phréatique
03Applications de l’Hydrodynamique des sols non saturés
Aménagement Urbain et Génie
Rural
• Infiltration des eaux pluviales (techniques alternatives)
• Gestion des ressources en eaux
enrobé drainant
structure réservoir
Eau stockée
Infiltration sous chaussée
Chaussée à structureréservoir
Tranchée d’infiltration
sol
infiltration
ruissellement
stockage canalisation
Fossé d’infiltration
Hydrogéologie • Écoulements vers et à partir des aquifères
Agronomie • Irrigation• Transport des fertilisants
04Équations de l’écoulement non saturé
( ) HHkq ∇=rr -
Loi de Darcy :
z - Ψ=Hq
t∇= -
∂∂θ
Loi de continuité :
Équation de l’écoulement non saturé :
( ) ( )( )zkt
−Ψ∇Ψ∇= ∂∂θRichards
1928 – 1931 :
Écoulement unidimensionnelde haut en bas ( )
−
∂
Ψ∂Ψ
∂
∂=
Ψ∂
Ψ∂= 1
zk
ztt ∂
∂θ
∂
∂θ
θ (Ψ) : Courbe de rétention de l’humidité
k (Ψ) : Courbe de conductivité hydraulique
05Résolution de l’équation de l’écoulement non saturé
1
2
3
n_maille-1
n_maille
n_maille+1
C.L supérieure
C.L inférieure
C.I.
Méthode des Différences Finies / Volumes Finis :
=
Ψ
ΨΨΨ
n
3
2
1
n
3
2
1
nn
333
222
11
y....
yyy
.
.
.
.
ba.
..
.cba
cbacb
Équation discrétisée + CL + CI
+ facilité de mise en œuvre+ rapidité des calculs
- géométrie simple
06Résolution de l’équation de l’écoulement non saturé
Méthode des Éléments Finis :
{ }HNh . ><=Fonctions d’interpolation aux nœuds :
Équation E.F. : [ ]{ } [ ]{ } { }QHMHK . . t, =+
+ flexibilité (géométrie)+ 2D – 3D
- calcul plus lourd
07Propriétés hydrodynamiques des sols non saturés
Caractérisation hydrodynamique des sols non saturés :
θ (Ψ) : courbe de rétention de l’humidité
k (Ψ) : courbe de conductivité hydraulique
In Situ
Laboratoire • effet d’échelle• remaniement du sol
• variabilité spatio-temporelle• coût
Modélisation• Améliorer l’interprétation des résultats • Réduire le nombre d’essais• Affiner la caractérisation du milieu
Expérimentation
08Propriétés hydrodynamiques des sols non saturés
Détermination de la courbe de rétention au laboratoire :
Mini tensiomètreMini tensiomètre
ÉchantillonÉchantillon
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0 1 10 100 1000
Succion (kPa)
θ/θ s
09Propriétés hydrodynamiques des sols non saturés
Détermination expérimentale de k(Ψ):
Imposition dela succion
- sols grossiers à forte perméabilitéEn régime permanent
- couplage hydro-mécanique- mesures globales- échantillon de faible dimension
En régime transitoire
Moteur pas à pasVérin
Source de pression d'air
Contrôleur pression volume
Contrôleur pression volume
CP " = 0"
Pierre céramique
Filtre
Contrôle et commande par ordinateur
Sigma 3
Méthode à surpression d’air (Ed Diny 1993)
Tamis
Pompe
PEG 20000
Membranes
semi -perméables
Solution
Contrôle d'échange d'eau
échantillon
Méthode osmotique (Delage 1992)
10Propriétés hydrodynamiques des sols non saturés
Essai d’infiltration au laboratoire (Amraoui 1996)
-80
-60
-40
-20
0 0 50 100 150 200
Temps (h)
Succ
ion
(kPa
)
z = 3.4 cm
z = 7.4 cm
z = 11.2 cm
z = 15.1 cm
z = 19.2 cm
-80
-60
-40
-20
0 0 50 100 150 200
Temps (h)
Succ
ion
(kPa
)
z = 3.4 cmz = 3.4 cm
z = 7.4 cmz = 7.4 cm
z = 11.2 cmz = 11.2 cm
z = 15.1 cmz = 15.1 cm
z = 19.2 cmz = 19.2 cmz = 19.2 cmz = 19.2 cm
Alimentation en eau
Éprouvette
Mini-tensiomètre
Embase d’une Cellule triaxiale
11Propriétés hydrodynamiques des sols non saturés
θ w(c
m3 /c
m3 )
z = 9 cmz = 12 cm
z = 15 cmz = 18 cm
ρdini=1,44 g/cm3
Temps (h)0 10 20 30 40 50
0,000,050,100,150,200,250,300,350,400,450,50
z = 6 cm
θ w(c
m3 /c
m3 )
z = 9 cmz = 12 cm
z = 15 cmz = 18 cm
ρdini=1,44 g/cm3
Temps (h)0 10 20 30 40 50
0,000,050,100,150,200,250,300,350,400,450,50
z = 6 cmz = 9 cmz = 9 cmz = 12 cmz = 12 cm
z = 15 cmz = 15 cmz = 18 cmz = 18 cm
ρdini=1,44 g/cm3
Temps (h)0 10 20 30 40 50
Temps (h)0 10 20 30 40 50
0,000,050,100,150,200,250,300,350,400,450,50
z = 6 cmz = 6 cm
Essai d’infiltration au laboratoire (Tabani 1999)
Systèmed ’acquisition
DétecteurSources
Colonnede sol
Systèmed ’acquisition
DétecteurSources
Colonnede sol
12Propriétés hydrodynamiques des sols non saturés
Détermination expérimentale de k(Ψ):
• infiltration ou drainage• mesures locales de succion/teneurs en eau• échantillon de plus grande dimension
Mesure dela succion
Méthode des profils instantanés
Régime transitoire
Profils de succion
Profils de teneuren eau
Gradient decharge
hydraulique
Débit Unitaire
q -k ( ) grad ( - z)w θ ψiz t, =q -k ( ) grad ( - z)w θ ψiz t, = -k ( ) grad ( - z)w θ ψiz t,iz iz t, t, =
Courbe derétention ?
13Propriétés hydrodynamiques des sols non saturés
Modèles théoriques :
empiriques : • relations mathématiques simples • origine purement expérimentale
macroscopiques : • sol considéré à l’échelle de Darcy• analogie entre les grandeurs définie à l’échelle despores et des grandeurs macroscopiques
• base semi-empirique• concernent surtout la conductivité hydraulique
statistiques : • calcul des flux à l’échelle des pores • distribution statistique des rayons des pores • généralisation par intégration à l’échelle macroscopique
14Propriétés hydrodynamiques des sols non saturés
Modèles empiriques
Auteur (Année) Equation Paramètres à déterminer
Richards (1931)
k = aΨ + b
a et b
Wind (1955)
k = a |Ψ-n
|
a et n
Gardner (1958)
kr = exp[αΨ]
k = a
+ b n
ψ
α, a, b et n
Brooks & Corey (1964)
k = ks pour Ψ ≤ Ψcr k= (Ψ/Ψcr)
-n pour Ψ ≥ Ψcr
ks ,n et Ψcr
Rijtema (1965)
k = ks pour Ψ ≤ Ψcr kr = exp[-α (Ψ-Ψcr)] pour Ψcr ≤ Ψ ≤ Ψr k = ks(Ψ/Ψr)-n pour Ψ > Ψr
α, n, Ψcr et Ψr
15Propriétés hydrodynamiques des sols non saturés
Modèles statistiques
Référence Equation Définitions
Burdine (1953)
( )
Ψθ
Ψθ
=θ ∫∫θ
θ
θ
θ
s
rr
22erddSk l
l , est un paramètre de connectivité des pores qui décrit la tortuosité des cheminsd’écoulement. Burdine proposune valeur de 2.
Mualem (1976)
( )2
er
s
rr
ddSk
Ψθ
Ψθ
=θ ∫∫θ
θ
θ
θ
l
l , est ici aussi, le paramètre deconnectivité des pores qui décrit la tortuosité. Mualem suggère qu’une valeur de 0,5 conviendrait pour la majorité des sols.
Fredlund et Xing (1994)
( )
( )
( )∫
∫
Ψ
Ψ
θθ−θ
θΨθ−θ
=Ψ b
)ln(
yy
sy
b
)ln(
yy
y
r
a
dy)e('e
e
dy)e('e)e(
k
b = ln(106) ; Ψa : succion au point d’entrée d’air ; y : variable d’intégration.
16Propriétés hydrodynamiques des sols non saturés
Modèle combiné de van Genuchten (1980) – Mualem (1976) :
( ) ( )( ) r
m
nrs θα
θθθ 1
1
+
Ψ+−=ΨCourbe de rétention de l’humidité
( ) ( ) ( )[ ]( )( )[ ]
Ψ+
Ψ+Ψ−=Ψ
−−
2/
2 1
1
1 1
mn
mnn
skkα
ααCourbe de conductivité hydraulique
θs, teneur en eau volumique saturée
θr, teneur en eau volumique résiduelle
ks, conductivité hydraulique saturée
α, inversement relié de la pression d’entrée d’air
m et n, paramètres liés à la distribution des rayons des pores
Restrictions usuelles :n
m 1 1 −=n
m 2 1 −= ∞→m
17Propriétés hydrodynamiques des sols non saturés
Démarche de la méthode inverse :
Problèmedirect
Problèmeinverse
Essais d’infiltration / drainage
Modèles
Expérience
Paramètres
18Propriétés hydrodynamiques des sols non saturés
Principe de l’inversion :
Problème direct [ ] [ ]( )PO Φ=
Variables observablesΨ(t) ; θ(t) ; I(t) ; etc.
Paramètres du modèleα ; m ; ks ; etc.
Problème inverse [ ] [ ]( )( )OP 1−ΦΓ=
Problème bien posé• identifiable• unique• stable
la solution est
19Propriétés hydrodynamiques des sols non saturés
Technique d’inversion :
Fonction objectif à minimiser ( )2N
1i
*ii
2 OO])P([ ∑=
−=χ
Algorithme de Levenberg-Marquardt
ii P
OG∂∂
=
ji
2
ij PPOH∂∂
∂=
[ ] GP.)D1.(H =∆λ+
])P([])PP([ 222 χ−∆+χ=χ∆
Fin
non
oui
Pi = Pi(0)
λ = 0,001
∆χ2 > 0
λ = λ/10
Pi = Pi +∆Pi
λ = 10.λ
convergenceoui
non
20Propriétés hydrodynamiques des sols non saturés
Faisabilité – validité de l’inversion :
Problème mal posé
0.8 0.9 1.0 1.1 1.2
m
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
ks
0
1
2
3
4
5
10
20
40
60
80
100
Problème bien posé
0.8 0.9 1.0 1.1 1.2
α
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
ks
0
1
2
3
4
5
10
15
20
21Propriétés hydrodynamiques des sols non saturés
-80
-60
-40
-20
00 50 100 150 200
Temps (heures)
Pres
sion
cap
illai
re (
kPa)
Expérience
Simulation (paramètres initiaux)
Simulation (paramètres finals)
Résultats de l’étude du problème inverse :
Courbe de rétention de l’humidité
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0 1 10 100 1000 10000
Succion (kPa)
θ/θ s
Méthode inverse
Expérience
Courbe de conductivité hydraulique
1E-16
1E-14
1E-12
1E-10
1E-08
1E-060 1 10 100 1000 10000
Succion (kPa)
k (m
/s)
Méthode inverse
Expérience
22Synthèse & Conclusion
Caractérisation hydrodynamique des sols non saturés :
• essais lents, délicats et coûteux ;
• grand nombre d’essais sur site ;
• nécessité de déterminer θ(Ψ) séparément.
Apports de la méthode inverse :
• optimisation des essais nécessaires ;
• applicabilité aux milieux hétérogènes;
• détermination simultanée de θ(Ψ) et de k(Ψ);
• vérification de la pertinence du modèle théorique.
23Liens utiles
Logiciels – Écoulement non saturé :
Logiciels – Identification des paramètres des sols non saturés :
Sites web :
PEST Problème inverse http://www.ozemail.com.au/~wcomp/ UCODE Problème inverse http://www.mines.edu/igwmc/ RETC Ajustement modèle/données http://www.scisoftware.com/ SoilVision Base de données http://www.scisoftware.com/ UNSODA Base de données http://www.epa.gov/ada/
GMS Éléments Finis 2D/3D http://www.bossintl.com/ FEFLOW Éléments Finis 2D/3D http://www.wasy.de/ FEMWATER Éléments Finis 1D/2D/3D http://www.nea.fr/html/dbprog/ SEEP /W Éléments Finis 2D http://www.geo-slope.com/ SVFlux 2D Éléments Finis 2D/3D http://www.scisoftware.com/
ASCE Geo-institute http://emrl.byu.edu/gicac/ Geotechnical & GeoEnvironmental Software Directory
http://www.ggsd.com/