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IN302 Chapitre 3 Plus courts chemins
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Existence De : 1 3 4 5 2 6 7 8 9 2 6 6 1 3 2 -6 18 pas de
chemin pas de plus court chemin
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Existence pas de chemin pas de plus court chemin 1 3 4 5 2 6 7
8 9 2 6 6 1 3 2 -6 71 De :
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Existence chemins : (1,4), (1,3,4), (1,2,3,4) plus court chemin
: (1,2,3,4) 1 3 4 5 2 6 7 8 9 2 6 6 1 3 2 -6 14 De :
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Existence chemin : (3,4,6,5) longueur : 5 1 3 4 5 2 6 7 8 9 2 6
6 1 3 2 -6 35 De :
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Existence De : chemin : (3,4,6,5,7,6,5) longueur : 4 1 3 4 5 2
6 7 8 9 2 6 6 1 3 2 -6 35
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Existence De : chemin : (3,4,6,5,7,6,5,7,6,5) longueur : 3 1 3
4 5 2 6 7 8 9 2 6 6 1 3 2 -6 35
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Existence De : PAS DE PLUS COURT CHEMIN 1 3 4 5 2 6 7 8 9 2 6 6
1 3 2 -6 35
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Graphe des plus courts chemins 041 325 6 3 2 5 2 13 2 4 1
2
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En rouge : x est la longueur dun plus court chemin du sommet
i=0 au sommet x 041 325 6 3 2 5 2 13 2 4 1 2 0358 6 7
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Graphe des plus courts chemins Comment caractriser, grce aux
valeurs de les arcs qui font partie de plus courts chemins dans
(E,, l ) partir de i ? 041 325 6 3 2 5 2 13 2 4 1 2 0358 6 7
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Graphe des plus courts chemins u = (x,y) est dans un plus court
chemin dans (E,, l ) partir de i si et seulement si : y x l (u) 041
325 6 3 2 5 2 13 2 4 1 2 0358 6 7
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Graphe des plus courts chemins u = (x,y) est dans un plus court
chemin dans (E,, l ) partir de i si et seulement si : y x l (u) 041
325 6 3 2 5 2 13 2 4 1 2 0358 6 7
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Graphe des plus courts chemins 041 325 6 3 2 5 2 13 2 4 1 2
0358 6 7 c est un plus court chemin dans (E,, l ) partir de i si et
seulement si : c est un chemin dans (E, )
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Arborescence des plus courts chemins (E,A) est une arborescence
des plus courts chemins pour (E,, l ) de racine i si : (E,A) est
une arborescence de racine i, et E = {x E, x } (E,A) est un
sous-graphe du graphe des plus courts chemins pour (E,, l ) 041 35
6
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Arborescence des plus courts chemins = APMin ? 14 32 1 1 1
2
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14 32 1 1 1 2 APCC (relative au sommet 1)
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Arborescence des plus courts chemins = APMin ? 14 32 1 1 1 2
APMin
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Trouver un plus court chemin de i=0 d=6 041 325 6 3 2 5 2 13 2
4 1 2 0358 6 7
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Trouver un plus court chemin de i=0 d=6 041 325 6 3 2 5 2 13 2
4 1 2 0358 6 7 Partir de i ?
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041 325 6 3 2 5 2 13 2 4 1 2 0358 6 7 Trouver un plus court
chemin de i=0 d=6 Partir de i ?
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Trouver un plus court chemin de i=0 d=6 041 325 6 3 2 5 2 13 2
4 1 2 0358 6 7 Partir de d !
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Trouver un plus court chemin de i=0 d=6 041 325 6 3 2 5 2 13 2
4 1 2 0358 6 7 Partir de d !
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Trouver un plus court chemin de i=0 d=6 041 325 6 3 2 5 2 13 2
4 1 2 0358 6 7 Partir de d !
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Trouver un plus court chemin de i=0 d=6 041 325 6 3 2 5 2 13 2
4 1 2 0358 6 7 Partir de d !
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Trouver un plus court chemin de i=0 d=6 x = d ; C = (x) Tant
que x != i Soit y (x) tel que y x l ((y,x)) x = y ; C = x + C 041
325 6 3 2 5 2 13 2 4 1 2 0358 6 7
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Trouver un plus court chemin de i d x = d ; C = (x) Tant que x
!= i Soit y (x) tel que y x l ((y,x)) x = y ; C = x + C 041 325 6 3
2 5 2 13 2 4 1 2 0358 6 7
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Trouver un plus court chemin de i d x = d ; C = (x) Tant que x
!= i Soit y (x) tel que y x l ((y,x)) x = y ; C = x + C 041 325 6 3
2 5 2 13 2 4 1 2 0358 6 7
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Trouver un plus court chemin de i d x = d ; C = (x) Tant que x
!= i Soit y (x) tel que y x l ((y,x)) x = y ; C = x + C 041 325 6 3
2 5 2 13 2 4 1 2 0358 6 7
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Trouver un plus court chemin de i d x = d ; C = (x) Tant que x
!= i Soit y (x) tel que y x l ((y,x)) x = y ; C = x + C 041 325 6 3
2 5 2 13 2 4 1 2 0358 6 7
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Trouver un plus court chemin de i d x = d ; C = (x) Tant que x
!= i Soit y (x) tel que y x l ((y,x)) x = y ; C = x + C 041 325 6 3
2 5 2 13 2 4 1 2 0358 6 7
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Algorithme de Bellman
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3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 Algorithme de Bellman :
exemple i =
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3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 123456 00 11 k i =
Page 35
3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 123456 00 0 11 0 k 1 0 i
=
Page 36
3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 123456 00 0 11 0 k 1 0 i
=
Page 37
3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 123456 00 0 11 0 k 1 0 i
=
Page 38
3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 123456 00 0 11 0 7 k 1 0 i
=
Page 39
3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 123456 00 0 11 0 7 k 1 0 i
=
Page 40
3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 123456 00 0 11 0 78 k 1 0 i
=
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3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 123456 00 0 11 078 k 1 0 7
8
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3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 123456 00 0 11 078 k 1 0 7
8
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3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 123456 00 0 11 078 22 k 2 0 7
8
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3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 123456 00 0 11 078 22 k 2 0 7
8
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3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 123456 00 0 11 078 22 k 2 0 7
8 2 (6) =
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3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 123456 00 0 11 078 22 k 2 0 7
8 2 (6) = min(,
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3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 123456 00 0 11 078 22 k 2 0 7
8 2 (6) = min(, 7+2,
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3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 123456 00 0 11 078 22 k 2 0 7
8 2 (6) = min(, 7+2, 8+2) =
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3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 123456 00 0 11 078 22 9 k 2 0
7 8 2 (6) = min(, 7+2, 8+2) = 9
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3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 123456 00 0 11 078 22 9 k 2 0
7 8 2 (5) =
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3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 123456 00 0 11 078 22 9 k 2 0
7 8 2 (5) = min(,
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3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 123456 00 0 11 078 22 9 k 2 0
7 8 2 (5) = min(, 7+1,
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3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 123456 00 0 11 078 22 9 k 2 0
7 8 2 (5) = min(, 7+1, +3) =
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3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 123456 00 0 11 078 22 89 k 2 0
7 8 2 (5) = min(, 7+1, +3) = 8
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3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 123456 00 0 11 078 22 89 k 2 0
7 8 2 (3) =
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3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 123456 00 0 11 078 22 89 k 2 0
7 8 2 (3) = min(8,
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3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 123456 00 0 11 078 22 89 k 2 0
7 8 2 (3) = min(8, -2,
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3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 123456 00 0 11 078 22 89 k 2 0
7 8 2 (3) = min(8, -2, 0+8) =
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3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 123456 00 0 11 078 22 889 k 2
0 7 8 X 2 (3) = min(8, -2, 0+8) = 8
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3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 123456 00 0 11 078 22 81189 k
2 0 7 8 2 (4) = min(, +2, 7+4) = 11
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3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 123456 00 0 11 078 22 781189 k
2 0 7 8 2 (2) = min(7, 0+7, 8+2) = 7
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3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 123456 00 0 11 078 22 0781189
k 2 0 7 8 2 (1) = min(0) = 0
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3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 123456 00 0 11 078 22 0781189
k 2 0 7 8
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3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 123456 00 0 11 078 22 0781189
k 2 0 7 8
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3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 123456 00 0 11 078 22 0781189
33 k 3 0 7 8 9 8
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3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 123456 00 0 11 078 22 0781189
33 k 3 0 7 8 9 8
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3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 123456 00 0 11 078 22 0781189
33 0 k 3 0 7 8 9 8
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3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 123456 00 0 11 078 22 0781189
33 0 k 3 0 7 8 9 8
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3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 123456 00 0 11 078 22 0781189
33 07 k 3 0 7 8 9 8
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3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 123456 00 0 11 078 22 0781189
33 07 k 3 0 7 8 9 8
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3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 123456 00 0 11 078 22 0781189
33 076 k 3 0 7 8 9 8
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3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 123456 00 0 11 078 22 0781189
33 076 k 3 0 7 8 9 8
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3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 123456 00 0 11 078 22 0781189
33 07610 k 3 0 7 8 9 8 11
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3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 123456 00 0 11 078 22 0781189
33 07610 k 3 0 7 8 9 8 11
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3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 123456 00 0 11 078 22 0781189
33 076108 k 3 0 7 8 9 8 11
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3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 123456 00 0 11 078 22 0781189
33 076108 k 3 0 7 8 9 8 11
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3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 123456 00 0 11 078 22 0781189
33 0761089 k 3 0 7 8 9 8 11
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3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 123456 00 0 11 078 22 0781189
33 0761089 k 3 0 7 8 9 8 11
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3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 123456 00 0 11 078 22 0781189
33 0761089 44 k 4 0 7 6 9 8
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3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 123456 00 0 11 078 22 0781189
33 0761089 44 k 4 0 7 6 9 8
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3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 123456 00 0 11 078 22 0781189
33 0761089 44 8 k 4 0 7 6 9 8
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3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 123456 00 0 11 078 22 0781189
33 0761089 44 076 88 k 4 0 7 6 9 8
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3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 123456 00 0 11 078 22 0781189
33 0761089 44 076 88 k 4 0 7 6 9 8
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3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 123456 00 0 11 078 22 0781189
33 0761089 44 076 88 55 k 5 0 7 6 8 8
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3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 123456 00 0 11 078 22 0781189
33 0761089 44 076 88 55 076 88 k 5 0 7 6 8 8
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3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 123456 00 0 11 078 22 0781189
33 0761089 44 076 88 55 076 88 k 5 0 7 6 8 8
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3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 123456 00 0 11 078 22 0781189
33 0761089 44 076 88 55 076 88 k 5 0 7 6 8 8
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3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 0 7 6 8 8 10 Rsultat
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3 1 2 5 8 1 7 2 6 4 4 2 -2 2 3 2 0 7 6 8 8 10 Plus court chemin
de 1 3 ?
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3 1 2 5 3 1 5 1 6 4 7 4 -3 3 3 1 Excuter Bellman (i = 1) 7 -2 5
2
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Algorithme Circuit-Niveaux
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7 4 1 3 2 5 6
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7 4 1 3 2 5 6 N 0 i 0 E0E0
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7 4 1 3 2 5 6 0 2 1 2 3 2 2 N 0 i 0 x 1234567 E0E0
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7 4 1 3 2 5 6 0 2 1 2 3 2 2 N 0 i 0 x 1 E0E0
Page 96
7 4 1 3 2 5 6 0 2 1 2 3 2 N 0 i 0 x 1 E0E0 1 2
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7 4 1 3 2 5 6 0 2 1 2 3 2 N 1 i 0 E0E0 2
Page 98
7 4 1 3 2 5 6 0 2 1 2 3 2 N 1 i 0 E0E0 E1E1 2
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7 4 1 3 2 5 6 0 2 1 2 3 2 N 1 i 0 E0E0 E1E1 x 1 2
Page 100
7 4 1 3 2 5 6 0 2 1 2 3 2 N 1 i 0 E0E0 E1E1 x 1 y 2 2
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7 4 1 3 2 5 6 0 2 1 2 3 2 N 1 i 0 E0E0 E1E1 x 1 y 2 1 2
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7 4 1 3 2 5 6 0 1 2 3 2 N 1 i 0 E0E0 E1E1 x 1 y 2 1 2
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7 4 1 3 2 5 6 0 1 2 3 2 N 1 i 0 E0E0 E1E1 x 1 y 2 1 3 2
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7 4 1 3 2 5 6 0 1 2 3 2 N 1 i 0 E0E0 E1E1 x 1 y 2 1 3 0 2
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7 4 1 3 2 5 6 0 2 3 2 N 1 i 0 E0E0 E1E1 x 1 y 2 1 3 0 E1E1 2
2
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7 4 1 3 2 5 6 0 2 3 2 N 0 i 0 E0E0 x 1 y 2 1 3 0 E1E1 21 2
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7 4 1 3 2 5 6 0 2 3 2 N 0 i 0 E0E0 1 0 E1E1 21 2
Page 108
7 4 1 3 2 5 6 0 2 3 2 N 0 i 0 E0E0 1 0 E1E1 21 E2E2 2
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7 4 1 3 2 5 6 0 2 3 2 N 0 i 0 E0E0 1 0 E1E1 21 E2E2 x 3 2
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E2E2 3 2
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2 2
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2
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1 2
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7 4 1 3 2 5 6 0 2 2 1 Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E3 2
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7 4 1 3 2 5 6 0 2 2 1 Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E3 x 2
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1 2
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0 2
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4 2
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43 2
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7 4 1 3 2 5 6 0 1 1 0 Ni E0E0 0 E1E1 1 0 E2E2 32 E3E3 43 E4E4
2
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x 6
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x 6 y 4
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x 6 y 4 0
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x 6 y 4 E4E4
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y 4 E4E4 5
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y 4 E4E4 5 0
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y 4 E4E4 5 E4E4 6
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y 45 E4E4 4
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4
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4 E5E5
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4 E5E5 x 4
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4 E5E5 x 4 y 7
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4 E5E5 x 4 y 7 1
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4 E5E5 x 5
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4 E5E5 x 45 y 7
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4 x 45 y 7 E5E5 7
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4 x 45 y 7 E5E5 75
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7 4 1 3 2 5 6 E0E0 E1E1 E2E2 E3E3 E4E4 E5E5 Rsultat
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