Introduction à l’automatisation
-ELE3202-
Cours #4: Conception d’un système de commande (2ième partie)
Enseignant: Jean-Philippe Roberge
Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
Cours # 4
Exercices: Diagrammes fonctionnels par Mason Bref rappel du cours #3:
Réponse en fréquence Analyse de la réponse en régime transitoire & permanent (1ère
partie)
Conception de boucles de commande (suite du dernier cours): Analyse de la réponse en régime transitoire & permanent (2e partie)
Présentation d’une application des systèmes de commande au
cas du cyclisme sur route (un de vos intérêts).
Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
2
Exercices (I)
3Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Mason
Exercices (III)
4Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Mason
Bref rappel du cours #3
Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
5
Réponse en fréquence (I)Le concept de la réponse en
fréquence
Important: En régime permanent, un système linéaire auquel on applique une entrée de type sinusoïdale génère aussi, à sa sortie, un signal sinusoïdal qui oscille à la même fréquence ω.
En effet, considérons un système T(s) stable auquel on applique une entrée sinusoïdale:
La sortie du système est donc:
6Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
2 2
1
cos sin
Et:
T stable, i.e.: p >0in
ii
sr t a t t R s
s
N ss
s p
1
2 2 2 21
1
... nn
ni
i
N s kks As BY s T s R s
s s p s p ss p
Réponse en fréquence (II)Le concept de la réponse en
fréquence
7
On s’intéresse à la réponse temporelle du système, donc, en prenant les transformées inverses:
On réalise déjà qu’en régime permanent, le système est oscillant:
Il peut alors être démontré (nous allons en faire la preuve dans les prochains transparents) que lorsque t→∞, le système est oscillant et:
Donc, la sortie du système oscille en effet à la même fréquence ω, mais à une amplitude et une phase généralement différentes de celles de l’entrée.Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
1
2 2 2 21
1
... nn
ni
i
N s kks As BY s T s R s
s s p s p ss p
1 11 2 2
0 lorsque
... np tp tn
t
As By t k e k e
s
L
1. . 2 2
lim limR P t t
As BY t y t
s
L
. . cosR PY t M t
>0 si le système est stableip
Réponse en fréquence (III)Le concept de la réponse en
fréquence
8
Prouvons maintenant que:
Par décomposition en fractions partielles:
Identifions maintenant les éléments K1 et K2:
Donc, on peut ré-écrire:
Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
1. . 2 2
lim lim cosR P t t
As BY t y t M t
s
L
1 22 2
expansion en frac. part. de K Ks s
Y s T s T s T ss s j s j s j s j
1
2
1 1
2 2 2
1 1
2 2 2
i Ti T
i Ti T
jj j i Ti T
s j
jj j i Ti T
s j
M MsK T s j T j M e M e e
s j
M MsK T s j T j M e M e e
s j
1 1. . 2 2
2 2i T i Tj ji T i T
R P
M M M Me eAs BY t
s s j s j
L L
*2 1
T
T
T
M T j
K K
j
Réponse en fréquence (IV)Le concept de la réponse en
fréquence
9
Ce qui ne fut pas démontré au dernier cours et qui est assez trivial:
On utilise la table standard de transformés de Laplace ainsi que l’identité d’Euler et on obtient:
Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
1. .
2 22 2
2 2 2
cos sin2
i T i T
i T i T
i T i T i T i T
j ji T i Tj jj t j ti T i T
R P
j t j t j t j ti ti T i T
i T
e
M M M Me e M M M MY t e e e es j s j
M MM M M Me e e e
M Mj
L
cos sin Or: sin sin et cos cos
Donc:
cos sin cos sin 2 cos cos2 2
cos
j j
j j
e
i T i Ti T
e e
i T i T
j
M M M Mj j M M
M M t
cos sin Identité d'Eulerjte t j t
Rappel du cours #3 (V)Réponse en fréquence
10
Donc, au cours précédent (voir transparents du cours #3), nous avions démontré, à l’aide de l’identité d’Euler, que:
On parvient à la conclusion suivante: La réponse en fréquence d’un système est entièrement déterminée par:
En effet, puisque:
la réponse en régime permanent à une entrée sinusoïdale est alors sinusoïdale avec la même fréquence, avec une amplitude |T(jw)| fois celle de l’entrée, et avec un déphasage de T(jw) par rapport à l’entrée.
Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
1. .
2 2i T i Tj ji T i T
R P
M M M Me eY t
s j s j
L
. . cosR P i T i TY t M M t
s j
T j T s
et T TM T j T j
2 2 1Où: tanT
XT j R X
R w
Rappel du cours #3 (VI)Réponse en fréquence
11Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Vu que la réponse en régime permanent est entièrement déterminée par la quantité complexe T(jw), on appelle T(jw) la réponse fréquentielle du système. La réponse fréquentielle est souvent représentée graphiquement sous forme de diagramme de Bode. Celui-ci comprend deux graphiques: Un graphique de |T(jw)| où |T(jw)| est en décibel (20 log10 |
T(jw)|) ; et Un graphique de T(jw) en degrés.
L’abscisse est à l’échelle logarithmique pour ces deux graphiques.
Rappel du cours #3 (VII)Réponse en fréquence
12Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Rappel du cours #3 (VIII)Réponse en fréquence
13Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Rappel du cours #3 (IX)Réponse en fréquence
14Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Considérons un système de premier ordre:
La fréquence 1/τ est la fréquence de coupure et le système est atténué de 3 décibels à cette fréquence. Pour les fréquences supérieures, la courbe |G(jw)| suit une asymptote de -20db/décade.
Le déphasage passe de 0 à -90 degrés, en passant par -45 degré à la fréquence de coupure.
Vous pouvez vous servir de tf() et ltiview dans matlab pour visionner directement la réponse en fréquence d’un système!
1
1G s
s
Rappel du cours #3 (X)Réponse en fréquence
15Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Considérons un système du deuxième ordre:
Que l’on peut ré-écrire:
2
2 22n
n n
G ss s
2
22 2
1
2 21
n
n n
n n
G ss s s s
Rappel du cours #3 (XI)Réponse en fréquence
16Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Pour il y a une fréquence de résonance (|G(jw)| > 1) :
et la valeur de |G(jw)| est donnée par:
Ainsi, pour de petites valeurs de < 0.5, on peut utiliser l’approximation :
Pour = 0.707, la fréquence wn est la fréquence de coupure avec une
atténuation de 3 décibels. Pour les fréquences supérieures, la courbe |G(jw)| suit une asymptote de -40db/décade. Le déphasage passe de
0 à -180 degrés, en passant à -90 degré à la fréquence wn.
21 2r n
2
1
2 1G j
1 0.7072
1
2G j
Rappel du cours #3 (XII)Réponse en fréquence
17Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Rappel du cours #3 (XIII)Réponse en fréquence
18Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Rappel du cours #3 (XIV)Réponse en fréquence -
Exemple Soit l’exemple suivant (enregistreur) tiré du site du
Colorado State University:
Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
19
Les équations sont les mêmes que celles d’un système masse-ressort avec frottement:
Dans le domaine de Laplace (C.I. nulles):
La fonction de transfert est donc:
mx t bx t kx t f t
2ms X s bsX s kX s F s
2 2
11X s mG sb kF s ms bs k s sm m
Rappel du cours #3 (XV)Réponse en fréquence -
Exemple
Aussi:
Vous faites à ce type de système et vous ne savez pas quelle est la masse, ni le coefficient de frottement et ni la constante de rappel du ressort. Vous pourriez penser à identifier le système à l’aide de la réponse
en fréquence...! Revisitons encore une fois ce principe, mais pour un système de
deuxième ordre...
Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
20
2
1 , =
2n
bm kG s mb k m ks sm m
Rappel du cours #3 (XVI)Réponse en fréquence -
Exemple
Vous faites varier la force à l’entrée du système selon un profil en sinus et vous tracer le diagramme de bode:
Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
21Frequency (rad/sec)
10-2
10-1
100
101
-180
-135
-90
-45
0
Pha
se (
deg)
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
Mag
nitu
de (
dB)
System: sysPeak gain (dB): 12.1At frequency (rad/sec): 0.492
Rappel du cours #3 (XVII)Réponse en fréquence -
Exemple À partir du diagramme de Bode, vous savez que vous avez
probablement affaire à un système du deuxième ordre et que:
Donc:
Aussi:
Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
22
10
0.492 rad/sec et
20 log 12.1 db
r
rG j
10
12.120
20 log 12.1 db
1 110 4.0272 0.1242
2 2 4.0272
r
r
G j
G j
2
2
2
1 2 0.492
0.4920.4998 0.500 0.25
1 2 0.1242
r n
n n
Rappel du cours #3 (XVIII)Réponse en fréquence -
Exemple
On peut donc écrire la fonction de transfert du système à l’aide de la réponse fréquentielle, en utilisant la forme standard des systèmes du deuxième ordre:
Donc:
Vous venez carrément d’obtenir la masse, le coefficient de frottement et la constante de rappel du ressort et ce simplement en faisant varier la force à l’entrée du système selon un sinus et en observant la sortie!!!Jean-Philippe Roberge - Janvier
201123
210.1242 , 0.25
2 4.0272 n
2
2 2 2 2
10.25
2 0.124 0.25
1 0.25 , 0.124 , 0.25
n
n n
mG sb ks s s s s sm m
b km m m
4 0.5 k=1m kg b
Rappel du cours #3 (XIX)Réponse en fréquence
24Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
La performance d’un système de commande est décrite en termes de plusieurs types de critères: 1) La stabilité: Les pôles sont-ils tous à partie réelle négative (demi-plan
gauche)? 2) Les spécifications de la réponse temporelle en régime transitoire:
P: dépassement (en %), en anglais : overshoot
Tp: Temps de dépassement
Ts: Temps de réponse à 2% (ou 5%)
Kp: Constante d’erreur de position (vis-à-vis l’échelon)
Kv: Constante d’erreur de vitesse (vis-à-vis rampe)
3) Les spécifications de la réponse fréquentielle: BW (Band Width): Bande passante
Mm: Gain à la résonance
4) L’atténuation des perturbations
Rappel du cours #3 (XX)Réponse en fréquence
25Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Rappel du cours #3 (XXI)Réponse en fréquence
26Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Rappel du cours #3 (XXII)Réponse en fréquence
27Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Rappel du cours #3 (XXIII)Réponse en fréquence
28Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Rappel du cours #3 (XXIV)Réponse en fréquence
29Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Cours #4
Conception de boucles de commande (I)
31Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Conception de boucles de commande (II)
32Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Conception de boucles de commande (III)
33Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
La performance d’un système de commande est décrite en termes de plusieurs types de critères: 1) La stabilité: Les pôles sont-ils tous à partie réelle négative (demi-plan
gauche)? 2) Les spécifications de la réponse temporelle en régime transitoire:
P: dépassement (en %), en anglais : overshoot
Tp: Temps de dépassement
Ts: Temps de réponse à 2% (ou 5%)
Kp: Constante d’erreur de position (vis-à-vis l’échelon)
Kv: Constante d’erreur de vitesse (vis-à-vis rampe)
3) Les spécifications de la réponse fréquentielle: BW (Band Width): Bande passante
Mm: Gain à la résonance
4) L’atténuation des perturbations
Conception de boucles de commande (IV)
34Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Conception de boucles de commande (V)
35Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Conception de boucles de commande (VI)
36Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Conception de boucles de commande (VII)
37Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Conception de boucles de commande (VIII)
38Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Conception de boucles de commande (IX)
39Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Conception de boucles de commande (XVI)
40Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Conception de boucles de commande (XVII)
41Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Conception de boucles de commande (XVIII)
42Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Conception de boucles de commande (X)
43Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Conception de boucles de commande (XI)
44Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Conception de boucles de commande (XII)
45Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Conception de boucles de commande (XIII)
46Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Conception de boucles de commande (XIV)
47Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Conception de boucles de commande (XV)
48Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Conception de boucles de commande (XVI)
49Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Conception de boucles de commande (XXVI)
50Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Conception de boucles de commande (XXVII)
51Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
En ce qui a trait à l’erreur de suivi de la rampe:
Conception de boucles de commande (XXVIII)
52Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Conception de boucles de commande (XVII)
53Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Conception de boucles de commande (XVIII)
54Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Conception de boucles de commande (XIX)
55Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Conception de boucles de commande (XX)
56Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Présentation d’une application des systèmes de commande:
Le cas du cyclisme sur route
Références (I)
58Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
[1] Yasuhito Tanaka and Toshiyuki Murakami, Self Sustaining Bicycle Robot with steering controller, The 8th IEEE International Workshop on Advanced Motion Control, 2004.
[2] Ko Iuchi, Hiroshi Niki and Toshiyuki Murakami, Attitude Control of Bicycle Motion by Steering Angle and Variable COG Control, 31st Conference on Industrial Electronics, 2005.
[3] Ko Iuchi and Toshiyuki Murakami, An Approach to fusion control of stabilization control and human input in Electric Bicycle, IEEE 32nd Conference on Industrial Electronics, 2006.
[4] Limebeer, D.J.N., Sharp, R.S., Bicyles, Motorcycles and Models, IEEE Control Systems Magazine, 2006.
[5] Yasuhito Tanaka and Toshiyuki Murakami, A Study on Straight-Line Tracking and Posture Control in Electric Bicycle, IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2009.
[6] D. Higashi, T. Imai, A. Ueno, and O. Miyashita, A Wearable Capacitive Heart-Rate Monitor for Controlling Electrically Assisted Bicycle, Electrical Machines and Systems, 2009.
Références (II)
59Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
[7] Lychek Keo and Masaki Yamakita, Controller Design of an Autonomous Bicycle with Both Steering and Balancer Controls, 18th IEEE International Conference on Control Applications, 2009.
[8] Lei Guo, Qizheng Liao, Shimin Wei, Yufeng Zhuang, Design of Linear Quadratic Optimal Controller for Bicycle Robot, Proceedings of the IEEE International Conference on Automation and Logistics, 2009.
[9] Fu-Kuang Yeh, Jian-Ji Huang, Chia-Wei Huang, Adaptive-Sliding Mode Semi-Active Bicycle Suspension Fork, SICE Annual Conference, 2010.
[10] Vito Cerone, Davide Andreo, Mats Larsson, and Diego Regruto, Stabilization of a Riderless Bicycle: A Linear-Parameter-Varying Approach, Control Systems Magazine, Vol. 30, Issue 5, 2010
Exemple d’application – Cyclisme sur route (I)
Diagramme fonctionnel du cyclisme
60Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Lorsque vous conduisez une bicyclette, vous faites partie d’une boucle de contrôle:
Ceci est l’application la plus « directe » et la plus simple de la théorie du contrôle. La question que nous pouvons alors se poser est la suivante: Existe-t-il des contextes où la contribution de la théorie du contrôle pour le cyclisme est plus significative?
Conducteur: Cerveau, bras, jambes, etc...
Trajectoire désirée: Position, vitesse &
accélération
Trajectoire réelle
Bicyclette:Guidon, pédales,
dynamique de la bicyclette
Conducteur:Vision
Perturbations: Vent, nids-de-poule,
pentes, etc...
Exemple d’application – Cyclisme sur route (II)
61Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
La réponse est oui. Une bicyclette nécessite l’action humaine pour garder l’équilibre, par contre, des chercheurs ont déjà conçu des boucles de contrôle pour stabiliser non seulement la pose d’une bicyclette sans conducteur, mais aussi l’erreur de suivi de trajectoire.
α1, α2 : angles de glissement, φ: Angle de braquage. L’angle de cambrage dépend de l’angle de braquage.
Tiré de [5]
Exemple d’application – Cyclisme sur route (IV)
62Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
ξ: Angle de direction, v: vitesse de la bicyclette
Tiré de [5]
sin
Si l'angle de direction ( ) est petit:
x v
x v
Exemple d’application – Cyclisme sur route (V)
Contrôle de la posture
63Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Puisque l’angle de cambrage θ dépend de l’angle de braquage φ, par conséquent, l’angle de cambrage désiré θd est déterminé par l’angle de braquage désiré φd. Ainsi, avec un contrôleur de type PD (Proportionnel-Dérivé), on peut choisir la commande telle que:
Ainsi, dans le domaine de Laplace la fonction de transfert de l’angle de cambrage devient alors:
Cette équation peut se ré-écrire ainsi:
1 2d dK K
2
12 2 2
2 1
où: et d
BK Mgh MhvA B
s BK s A BK I Mh L I Mh
2
2 22n
n n
AG s
s s
Exemple d’application – Cyclisme sur route (VI)
Contrôle de la posture
64Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Notez qu’à partir de cette dernière équation, les gains permettent de déterminer la fréquence naturelle ainsi que le coefficient d’amortissement, en effet:
On peut aussi choisir une commande pour l’angle de braquage, telle que:
On peux démontrer que la fonction de transfert devient alors:
2
1 2
2 et
n nA
K KB B
2
12 2 2
2 1
2
n
d n n
BK AG s
s BK s A BK s s
ref d v d p dK K
21
2 22 1
v p
d v p
s K s K BK
s K s K s BK s A BK
Exemple d’application – Cyclisme sur route (VII)
Contrôle de la posture
65Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
On peut choisir les gains de sortent à ce que la fonction de transfert ait tous ses pôles dans le demi-plan gauche du plan complexe.
1 2d dK K
ref d v d p dK K
Tiré de [5]
Exemple d’application – Cyclisme sur route (VIII)
1ère solution: Contrôle de la vitesse latérale
66Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Le contrôleur de posture que l’on vient de développer permet de stabiliser la posture de la bicyclette sans considérer la trajectoire.
Le fait de stabiliser la posture peut causer des oscillations et même de l’instabilité au niveau du suivi de trajectoire.
Pour réaliser la stabilité au niveau du suivi de trajectoire, la première des solutions proposée par [Yasuhito Tanaka et al.] est de contrôler la vitesse latérale de la bicyclette:
Tiré de [5]
Exemple d’application – Cyclisme sur route (IX)
2ième solution: Contrôle du braquage
67Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Une deuxième solution est de déterminer directement l’angle de cambrage désiré en contrôlant le braquage:
Où: 1
(Courbure)R
Tiré de [5]
Exemple d’application – Cyclisme sur route (X)
Résultats issus de simulations et d’essais pratiques
68Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Avant de montrer les résultats, présentons les paramètres:
Tiré de [5]
Exemple d’application – Cyclisme sur route (XI)
Résultats issus de simulations et d’essais pratiques
69Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Tirés de [5]
Exemple d’application – Cyclisme sur route (XII)
Résultats issus de simulations et d’essais pratiques
70Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Tirés de [5]
Exemple d’application – Cyclisme sur route (XIII)
Résultats issus de simulations et d’essais pratiques
71Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Tirés de [5]
Exemple d’application – Cyclisme sur route (XIII)
Résultats issus de simulations et d’essais pratiques
72Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
http://www.jproberge.net/
--> Étudiants du cours ELE3203
--> Robot Bicyclette
--> Robot Bicyclette avec conducteur
Exemple d’application – Cyclisme sur route (XIV)
73Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Autre exemple d’application tiré des travaux de [D. Higashi et al.]: Contrôle de l’assistance électrique d’une bicyclette en fonction du
rythme cardiaque du conducteur:
Tiré de [6]
Exemple d’application – Cyclisme sur route (XV)
74Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Principe de fonctionnement:
Tirés de [6]
Exemple d’application – Cyclisme sur route (XVI)
75Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Principe de fonctionnement (suite):
Tiré de [6]
Diagramme fonctionnel:
Exemple d’application – Cyclisme sur route (XVII)
76Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
ContrôleurRythme
cardiaque désiré
Ex: 130-140 battements par minute pour le
travail en endurance
Rythme cardiaque
réel
Assistance électrique
de la bicyclette
« Heart rate Detector »
Perturbations: Vent, nids-de-poule,
pentes, etc...
Dynamique de la
bicyclette & physionomie du cycliste
Aide à la propulsion
Exemple d’application – Cyclisme sur route (XVIII)
77Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Autre application: suspension active à l’aide d’une caméra embarquée à l’avant de la bicyclette.
Toutes ces innovations pourraient être intégrées indépendamment sur la même bicyclette.
Prochain cours
78Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Conception de contrôleurs
Références
79Jean-Philippe Roberge - Janvier
2011
Modern Control Systems – Richard C. Dorf & Robert H. Bishop
Control Systems Engineering – Norman S. Nise
Notes de cours (ELE3202) – Richard Gourdeau & John Thistle
Linear System Theory – Wilson J. Rugh