ROBOTIQUE -ELE4203- Cours #2: Exercices & introduction à la cinématique directe Enseignant: Jean-Philippe Roberge Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012

ROBOTIQUE-ELE4203-

Cours #2: Exercices & introduction à la cinématique directe

Enseignant: Jean-Philippe Roberge

Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012

Cours #2

Bref rappel des principales notions du cours #1

Fin de la matière sur les transformations homogènes:

Rotation autour d’un vecteur unitaire

Quelques exercices reliés au chapitre 2 – transformations

homogènes

Début du chapitre 3 – Cinématique directe:

Notions de bases sur les référentiels:

Pose relative des différents référentiels

Référentiels standards en robotiqueJean-Philippe Roberge -

Septembre 2012

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Cours #2

Notions de bases sur les référentiels (Suite):

Angles de roulis, tangage et lacet (Roll, Pitch et Yaw)

Exemple simple de la cinématique directe à l’aide d’un

robot-planaire:

Positionnement des repères

Construction des matrices de transformation permettant

l’élaboration de la cinématique directe.

3 Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012


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Bref rappel du cours #1 (1)

Quelques types de robots:

Robots statiques: Robots ayant

une base fixe (e.g. : les robots du

laboratoires, les robots typiques

d’une chaîne de production).

Robots mobiles: Robots qui se

déplacent dans l’espace de travail

(par exemple, les robots

explorateurs de planètes tels que

Curiosity, Spirit & Opportunity,

Sojourner, etc…)


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Quelques types de robots

(suite):

Robots sériels: Robots

composés d’un seul segment

articulé formant une chaîne

cinématique ouverte.

Robots parallèles: Robots

composés de plusieurs

segments articulés qui

composent ensemble une

chaîne cinématique fermée.


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Types d’automatisation:

Bref rappel du cours #1 (4)Types de joint

Dans le cadre du cours, nous utiliserons principalement deux types de joints:

Les joints prismatiques (Prismatic joint), notés P, permettent un déplacement

en translation.

Les joints rotoïdes (Revolute joint), notés R, permettent un déplacement en

rotation.


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Bref rappel du cours #1 (5)Géométrie PPP

Le robot PPP (communément appelé le manipulateur cartsien):

Jean-Philippe Roberge - Août 2012

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Bref rappel du cours #1 (6)Géométrie PRP ou RPP

Le robot PRP ou RPP, communément appelé le manipulateur cylindrique:


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Bref rappel du cours #1 (7)Géométrie RRP

Le robot RRP, communément appelé le manipulateur sphérique:


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Bref rappel du cours #1 (8)SCARA

Le robot SCARA (Selective Compliant Articulated Robot Arm), qui est aussi un RRP, mais toutefois différent du manipulateur sphérique ordinaire. Il est conçu spécifiquement pour des tâches d’assemblage.


11

http://www.youtube.com/watch?v=xM5iAhVDVR4&feature=related

http://www.youtube.com/watch?feature=endscreen&v=v5eR0eHknZk&NR=1

http://www.youtube.com/watch?v=xM5iAhVDVR4&feature=related



Bref rappel du cours #1 (9)Géométrie RRR

Le robot RRR (ici c’est un RRRR), communément appelés manipulateurs articulés:


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Bref rappel du cours #1 (10)Géométrie RRRRRR

Les robots RRRRRR sont souvent surnommés manipulateurs anthropomorphiques puisqu’ils s’inspirent partiellement du bras humain: ont dit souvent qu’ils ont un épaule, un coude et un poignet.

Leur enveloppe de travail est beaucoup plus complexe que les autres types de robots vu précédemments. Leur cinématique directe ainsi que leur dynamique est aussi plus compliqué. Jean-Philippe Roberge - Août

201213


(Terminologie et définitions)

Nombre d’axes d’un robot: Le nombre d’axes que possède un robot désigne le positionnement que ce dernier peut faire en x,y et z, ainsi qu’en Θx , Θy, Θz . Ceci est souvent relié au nombre de degrés de liberté du robot, mais c’est une notion bien différente, sachez la différencier.

Capacité, vitesse de déplacement, portée, débattement, répétabilité, justesse, résolution spatiale.


14**Tableau tiré de :http://www.perceptron.com/index.php/en/company/university-of-perceptron/80.html

http://www.perceptron.com/index.php/en/company/university-of-perceptron/80.html

http://www.perceptron.com/index.php/en/company/university-of-perceptron/80.html

Bref rappel du cours #1 (12) Coordonnées homogènes


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Note: De manière générale, w=1

Bref rappel du cours #1 (13) Transformations 2D -

translation


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Un point de coordonnées (x,y), après une translation de (a,b) possède les coordonnées (x+a,y+b). En coordonnées homogènes:

11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 22 23

31 32 33 31 32 33

On cherche la matricede transformation permettantde faire la translation

'

1 1

P TP

x a T T T x T x T y T

y b T T T y T x T y T

T T T T x T y T

Ceci implique:

Matrice de trans-formation d'unetranslation 2D.

1 0

0 1

1 0 0 1 1 1

x a a x x a

y b b y y b

Bref rappel du cours #1 (14) Transformations 2D - Rotation


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Un point de coordonnées (x,y), après une rotation de Θ degrés, possède les coordonnées (x’,y’). En coordonnées homogènes:

'

' cos sin 0 cos sin

' sin cos 0 sin cos

1 0 0 1 1 1

P TP

x x x y

y y x y

Bref rappel du cours #1 (15) Concaténation de transformations


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Rappel, en général:

1 2 2 1TT T T

Bref rappel du cours #1 (16) Transformations 3D

Comme dans le cas à deux dimensions, on peut développer les matrices (de transformation) de translation et de rotation:


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1 0 0

0 1 0( , , )

0 0 1

0 0 0 1

a

bTRANS a b c

c

Translation:

Bref rappel du cours #1 (17) Transformations 3D


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1 0 0 0

0 cos sin 0,

0 sin cos 0

0 0 0 1

ROT x

Rotations:

cos 0 sin 0

0 1 0 0,

sin 0 cos 0

0 0 0 1

ROT y

cos sin 0 0

sin cos 0 0,

0 0 1 0

0 0 0 1

ROT z

Cours #2Rotation autour d’un vecteur

unitaire (1)

Au dernier cours, nous avons vu comment, en 2D, bâtir une matrice de transformation qui permet d’effectuer la rotation de point(s) en coordonnées homogènes autour d’un point de coordonnées (a,b) :


21


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Rotation autour d’un vecteur unitaire (2)

Généralisons maintenant ce concept dans le domaine 3D: bâtissons une matrice de transformation permettant la rotation de Θ degrés d’un point en coordonnées homogènes autour d’un vecteur unitaire. On effectuera cinq rotations:

1-Une rotation de α degrés en x2-Une rotation de β degrés en y

Ces deux rotations permettront d’enligner le vecteur avec l’axe z.

3-Une rotation de θ degrés en z

Finalement, les transformations inverses:

4-Une rotation de -β degrés en y5-Une rotation de -α degrés en x


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L’angle α et la transformation sont donnés par:

L’angle β et la transformation sont données par:


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Finalement, la rotation de θ autour de z, ainsi que les transformations inverses sont données par:

Donc, la matrice de transformation permettant d’effectuer une rotation de θ degrés autour d’un axe unitaire u est:

5 4 3 2 1 , , , , ,totT T T T T T ROT x ROT y ROT z ROT y ROT x


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Exercices du chapitre 2 (1)

Exercice #5 – Notions supplémentaires sur les matrices de rotation: 1) Les matrices de rotation sont dites “orthogonales”. En effet, de par leur

nature, la norme (euclidienne) de chacune de leur colonne est égal à 1. Similairement, la norme de chacune de leur ligne est aussi égal à 1.

2) Soit une matrice R1 orthogonale, alors: det(R1) = ±1. 3) Si on considère seulement les repères “main droite”, alors on dira de R qu’elle

est spéciale-orthogonale. Soit une matrice R2 spéciale-orthogonale, alors : det(R2) = 1.

Dans le cours, nous travaillerons uniquement avec les matrices spéciales-orthogonales.

4) Pour une matrice spéciale-orthogonale R2, (R2(θ))-1=R2(-θ)=R2T

Exercice #1, #2


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Exercices du chapitre 2 (2)

Exercice #3 – Notions supplémentaires: Soit une matrice de transformation T tel que:

Alors:

Exercice #10 (survol)

3 3 3 1 3 3 est une matrice spéciale-orthogonale où:

0 1 est de dimension 3X X XR d R

Td

1 3 3 3 3 3 1

0 1

T TX X XR R d

T


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Qu’est-ce que la cinématique directe?

La cinématique directe concerne la détermination de la position et de l’orientation de l’effecteur (pose de l’effecteur) du robot en fonction des positions des articulations du robot.

Il s’agit en fait de bâtir un modèle mathématique qui permet d’obtenir la pose de l’effecteur en fonction de ce que l’on appelle les “variables articulaires”. Pour bâtir ledit modèle mathématique, nous aurons recours aux

variables / transformations homogènes.

Cinématique directe (1)


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Aperçu très peu exhaustif de la démarche:

Pour réaliser la cinématique directe des robots que nous étudierons, nous nous intéresserons tout d’abord à apposer des repères au niveau des joints du robot, par exemple:



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Aperçu très peu exhaustif de la démarche (suite):

Par la suite, nous nous intéresserons à trouver les transformations qui lient chacun des repères ensemble. Dans le cas d’un robot sériel à six degrés de liberté, on déterminera:

La cinématique directe est alors contenue dans la matrice de transformation totale:


0 1 2 3 4 51 2 3 4 5 6, , , , ,

où : est la matrice de transformation

homogène du repère j par rapport au repère i

ij

T T T T T T

T

0 0 1 2 3 4 56 1 2 3 4 5 6T T T T T T T


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Suite et fin du survol: exemple de la cinématique directe du robot Kuka:



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À quoi sert la cinématique?

Comme vous devez vous en doutez, il est nécessaire de connaître la position et l’orientation de l’effecteur pour effectuer une panoplie de tâches.

Concrètement: Des encodeurs donnent les valeurs des différentes variables

articulaires. Par exemple, pour des joints rotoïdes, les encodeurs permettront d’obtenir directement les angles de chacune des articulations.

Connaissant ces valeurs et ayant réaliser la cinématique directe du robot, il est alors possible de connaître la position et l’orientation de l’effecteur.

Nous verrons dans les heures qui suivent comment réaliser efficacement la cinématique directe.



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Commençons par introduire certains concepts liés aux référentiels. Considérons les référentiels et le point suivant:

Cinématique directe (6)Référentiels

La question que nous nous posons d’abord est:Étant donné un point A exprimé en coordonnés du repère B, comment faire pour exprimer ce point dans le repère C?


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Voici les étapes de la solution. Tout d’abord, il faut déterminer la matrice de rotation qui

permet de “passer” du repère C au repère B. Nous noterons celle-ci : CTB

Les transformations qui permettent de passer du repère C au repère B sont des rotations et une translation, donc:



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Rappel sur les coordonnées homogènes: Un vecteur en coordonnée homogène: peut subir

une translation et/ou une rotation lorsque pré-multiplié par une matrice de transformation.

Un vecteur en coordonnée homogène: ne peut subir qu’une rotation lorsque pré-multiplié par une matrice de transformation.

Une matrice de transformation homogène identité :

est une matrice de transformation qui représente un système de coordonnées qui coïncide avec le référentiel de base (aucune transformation).


1 1T

v x y z

2 0T

v x y z

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

IT


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36



37


Voici quelques propriétés de la matrice de rotation et de la matrice de transformation:


38


Maintenant que nous avons introduit certains concepts de base concernant les référentiels, étudions les référentiels souvent discutés en robotique:

Référentiel U: il est surnommé le référentiel universel. Dans certains ouvrages, on peut aussi parler du référentiel de travail.

Référentiel R: C’est le référentiel associé à la base du robot.

Référentiel H: il est surnommé le référentiel “Hand”, c’est le référentiel associé à la main (porte-outil).

Référentiel E : il est surnommé le référentiel effecteur. Il est associé à l’outil.

Référentiel P: Référentiel associé à la pièce.


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Maintenant que nous avons introduit certains concepts de base concernant les référentiels, étudions les référentiels souvent discutés en robotique:


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Tel que mentionné, l’ordre de multiplication est important lorsqu’il s’agit de multiplier des matrices de transformation homogènes.

De plus, lorsque les matrices de transformation sont utilisées pour décrire la pose de différents repères les uns par rapport aux autres il faut se rappeller de ceci:

Lorsqu’on pré-multiplie, la transformation se fait par rapport au repère fixe.

Lorsqu’on post-multiplie, la transformation se fait par rapport au repère mobile.


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Il existe plusieurs façon pour décrire l’orientation d’un repère. Pour représenter l’orientation de l’outil, une convention est d’utiliser les angles de roulis (roll), tangage (pitch) et lacet (yaw).


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Cinématique directe (17)Exemple du robot planaire

Pour terminer le cours, effectuons la cinématique directe d’un robot “simple”, puisqu’il s’agit d’un robot-planaire à trois degrés de liberté:


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Au prochain cours…

Suite et fin de la cinématique directe

On introduira une manière assez simple et surtout efficace

d’effectuer la cinématique directe basée sur les paramètres de

Denavit-Hartenberg.

On étudiera par la suite des exemples de robot un peu plus

complexe.

Le robot PUMA (six degrés de liberté – tous des joints rotoïdes)

Le robot Stanford (six degrés de liberté – cinq joints rotoïdes et un

joint prismatique)

Références

[1] Absolute Beginner’s Guide to Building Robots, Gareth Branwyn, 2003

[2] http://spectrum.ieee.org/automaton/robotics/robotics-software/10_stats_you_should_know_about_robots Notes de cours (ELE3202) – Richard Gourdeau & John Thistle

[3] http://www.geekologie.com/2008/12/thats-it-im-moving-robotic-sta.php

[4] Robot Modeling and Control, Mark W. Spong et al.,2006.

[5] Notes de cours (Manipulateurs) - ELE4203, Richard Gourdeau, juillet 2012.

Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

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