La mathématique des drapeaux
Van Geet Patricia
Congrès SBPMef
Mardi 25 Août 2015
Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux
Introduction
Lors d’un concours radiophonique, la question suivante aété posée : Tous les drapeaux européens sont-ils
rectangles ?
Réponse donnée : oui
Réponse attendue : non, deux drapeaux sont carrés, celuide la Suisse et celui du Vatican.
Réponse du mathématicien oui, car un carré est unrectangle !
Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux
Introduction
Lors d’un concours radiophonique, la question suivante aété posée : Tous les drapeaux européens sont-ils
rectangles ?
Réponse donnée : oui
Réponse attendue : non, deux drapeaux sont carrés, celuide la Suisse et celui du Vatican.
Réponse du mathématicien oui, car un carré est unrectangle !
Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux
Introduction
Lors d’un concours radiophonique, la question suivante aété posée : Tous les drapeaux européens sont-ils
rectangles ?
Réponse donnée : oui
Réponse attendue : non, deux drapeaux sont carrés, celuide la Suisse et celui du Vatican.
Réponse du mathématicien oui, car un carré est unrectangle !
Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux
Introduction
Lors d’un concours radiophonique, la question suivante aété posée : Tous les drapeaux européens sont-ils
rectangles ?
Réponse donnée : oui
Réponse attendue : non, deux drapeaux sont carrés, celuide la Suisse et celui du Vatican.
Réponse du mathématicien : oui, car un carré est unrectangle !
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Contexte
Lors d’une surveillance, un seul livre se trouve sur monbureau : le dictionnaire . . .
L’heure d’activités mathématiques en 1C . . .
Le thème du Congrès : les mathématiques européennes . . .
Le projet était né !
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Contexte
Lors d’une surveillance, un seul livre se trouve sur monbureau : le dictionnaire . . .
L’heure d’activités mathématiques en 1C . . .
Le thème du Congrès : les mathématiques européennes . . .
Le projet était né !
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Contexte
Lors d’une surveillance, un seul livre se trouve sur monbureau : le dictionnaire . . .
L’heure d’activités mathématiques en 1C . . .
Le thème du Congrès : les mathématiques européennes . . .
Le projet était né !
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Contexte
Lors d’une surveillance, un seul livre se trouve sur monbureau : le dictionnaire . . .
L’heure d’activités mathématiques en 1C . . .
Le thème du Congrès : les mathématiques européennes . . .
Le projet était né !
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Drapeaux à lignes
Consigne donnée aux élèves :
« Dessine le drapeau d’un de ces pays : Espagne, Lettonie,Estonie, Lituanie ». (Drapeaux à lignes horizontales)
Les élèves ont accès à Internet.
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Drapeaux à lignes
Les élèves ont été attentifs aux dessins et aux couleurs . . .Aucun d’entre eux ne s’est arrêté à l’information de type« 3 : 5 », c’est-à-dire le rapport entre le guidant soit la largeurdu drapeau et le battant soit la longueur du drapeau.
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Drapeaux à lignes
Nouvelle consigne :Dessine le drapeau de l’Espagne, la Lettonie, l’Estonie ou laLituanie (sans les armoiries)
le plus grand possible, sur une feuille A4 (21 cm/29 cm)
en respectant les rapports de chaque drapeau
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Drapeaux à lignes :Espagne
En 1981, le drapeau espagnolreprend son ancien dessin, di-visé en trois bandes horizon-tales rouge, jaune, rouge. Labande jaune, aussi haute queles deux rouges réunies, porteles armoiries d’Espagne ducôté du hissant.
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Drapeaux à lignes : Espagne
CADRE (2 : 3)
Proposition des élèves :l = 20 cm et L = 30 cm OU l = 18 cm et L = 27 cm
☞ Et entre les deux ?l = 19 cm et L = 19 + 9,5 = 28, 5 cm
☞ Et si l = 19,5 cm ?L = 19,5 + 9,75 = 29,25 cm
Dimensions gardées : l = 19 cm et L = 28,5 cm
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Drapeaux à lignes : Espagne
TRACÉS INTÉRIEURSComment placer 1/2 entre 1/4 et 1/4 ?Solutions proposées :
par pliage
par division de 19 cm par 4 soit 4,75 cm
en dessinant les bandes extérieures de 1/4 soit 4,75 cm
☞ Comment mesurer 4,75 cm ?
☞ Constructions successives de deux médiatrices
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Drapeaux à lignes :Lettonie
La couleur rouge du drapeaude la Lettonie est d’un tonsombre particulier, qui estconnu sous le nom de « rougeletton » dans le monde en-tier. Les couleurs du drapeausont disposées dans les pro-portions suivantes : 2 : 1 : 2
(les bandes rouges supérieures et inférieures sont toujours deuxfois plus larges que la bande blanche du milieu), et lacorrélation entre la largeur et la longueur du drapeau est de1 : 2.
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Drapeaux à lignes : Lettonie
CADRE (1 : 2)Proposition des élèves :l = 14,5 cm et L = 29 cm
TRACÉS INTÉRIEURSComprendre que 2 : 1 : 2 signifie respectivement 2/5, 1/5 et2/5 de la largeur.Il reste à partager 14,5 cm en 5 parts égales. . .
☞ Diviser un segment par Thalès
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Drapeaux à lignes : Estonie
Le drapeau national de l’Es-tonie est composé de troisbandes horizontales égales :de haut en bas, bleu, noir etblanc. La taille normale dudrapeau est de 105×165 cm.
Quel est le rapport l/L ?
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Drapeaux à lignes : Estonie
CADREBesoin de passer par la proportionnalité
l 105 7 21 ?L 165 11 33 29
La longueur de 33 cm n’est pas acceptable. La recherche de K,coefficient de proportionnalité, permet de trouver la largeurcorrespondant à une longueur de 29 cm, soit 18,4545. . .
Les mesures gardées sont : l = 18,5 cm et L = 29 cm
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Drapeaux à lignes : Estonie
TRACÉS INTÉRIEURS : Trisection d’une diagonale (1)☞ Pour partager un segment de 18,5 cm en 3 parts égales,commençons par partager la diagonale d’un rectangle en 3parts égales. |BN| vaut la moitié de |ND| donc le tiers de |BD|.
b b
bb
b
b
A B
CD
M
N
// //
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Drapeaux à lignes : Estonie
☞ Reste à adapter cette technique au côté de 18,5 cm. . .
A B
CD
E A B
CD
E
G
H
F F
I
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Trisection d’un segment
Trisection d’un segment (2)
//
b
b
A
B
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Trisection d’un segment
//
b
b
A
B
CD b
//
//
//
////
//
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Trisection d’un segment
//
b
b
A
B
CD bD b
Eb
//
//
//
////
//
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Trisection d’un segment
//
b
b
A
B
CD b
Eb
b O
//
//
//
////
//
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Trisection d’un segment
//
b
b
A
B
CD b
Eb
b O
//
//
//
////
//
Dans cette figure se trouvent deux triangles semblables OCAet OEB ainsi qu’une configuration de Thalès. On peut déduireque OA
OB= OC
OE= AC
BE= 1
2
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Trisection d’un segment
Trisection d’un segment (3)Le centre de gravité d’un triangle (médianes) partage chaquemédiane en deux segments de rapport 1
2
Trace un segment [AB], segment que l’on va trisecter.Place un point O n’appartenant pas à [AB].Construis C , image de A par la symétrie de centre O.Construis D, image de C par la symétrie de centre B .Trace le triangle ACD.[AB] est la médiane relative au segment [CD].Trace [OD], médiane relative au segment [AC].L’intersectionde ces médianes est le centre de gravité du triangle ACD.
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b
b
B
A
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Trisection d’un segment
b
b
bO
B
A
b Mb
b
C
D BM
MA= 1
2
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Si les drapeaux n’ont pas tous le même rapport l/L, commentfont-ils alors pour obtenir ceci . . . ?
Rapports rencontrés 1 : 1 1 : 2 2 : 3 3 : 57 : 11 8 : 11 28 : 37 5 : 8 11 : 18 13 : 15(Belgique)
Soit 1 0,5 0,666 0,6 0,6363 0,7272 0,7567 0,6250,6111 0,8666Drapeau du Salvador 189 : 335 ! (0,51642. . .)
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Le Secrétariat Général du Conseil de l’Union Européennem’informe que les drapeaux extérieurs au Juptis Lipsus (siègeprincipal du Conseil de l’UE et du Secrétariat général duConseil, rue de la Loi, 175) mesurent tous 3 m/5 m, tandis queles drapeaux au Lex (bâtiment abritant le service de traductiondu Secrétariat général du Conseil, rue de la loi 145) mesurent2 m/3 m). Le drapeau suisse fait exception. . .Néanmoins,lorsqu’il est aligné avec d’autres drapeaux, sa superficie nepeut jamais dépasser celle des autres drapeaux.Un fameux « problème » de non-proportionnalité !
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Drapeaux à croix
Dans un deuxième temps, j’invite les élèves à dessiner undrapeau comportant une croix, à partir de documents que jeleur fournis.
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Drapeaux à croix : Danemark
Ayant la mesure du cadre, un seul calcul est suffisant pourdessiner la croix de ce drapeau . . .
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Drapeaux à croix : Norvège
Le drapeau de la Norvège est rouge, avec unecroix bleue bordée de blanc s’étendant jus-qu’aux limites du drapeau. Le centre de la croixest décalé vers la hampe du drapeau, de telle
sorte que la branche flottante de la croix soit plus longue queles trois autres. Cette particularité est destinée à corriger l’effetd’optique qui aurait fait paraître plus courte la branche de lacroix la plus agitée par le vent.Proportion 8 : 11Les proportions des éléments figurant sur le drapeau sont :
En largeur et de gauche à droite, de 6 − 1 − 2 − 1 − 12
En hauteur et de haut en bas, de 6 − 1 − 2 − 1 − 6
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Drapeaux à croix : Suède
Les dimensions et la position de la croix sontdonnées par la loi suédoise. La barre verticaledoit être placée entre les 5/16e et les 7/16e
de la largeur du drapeau, tandis que la barre horizontale doitêtre placée entre les 4/10e et les 6/10e de la hauteur dudrapeau.
Proportion 5 : 8
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Drapeaux à croix : Finlande
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Drapeaux à croix : Suisse
La forme du drapeau suisse, habituellement car-rée, n’est pas prescrite par la loi mais fait partiede la tradition. Par contre, sa couleur est défi-nie précisément depuis le 1e janvier 2007 : rougePantone 485, soit 100% de magenta et 100%de jaune.
Les dimensions de la croix sont également définies : un décretdatant de 1889 stipule que les bras de la croix doivent êtred’égale longueur et un sixième plus longs que larges.
« Le modèle contenu dans l’annexe à la présente loi estdéterminant pour la forme, la couleur et les proportions ».https ://www.ige.ch/fileadmin/user_upload/Juristische_Infos/f/j10805.pdf
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Drapeaux à croix : Suisse
Le rapport entre la longueur « du bras horizontal de la croix »et la largeur du drapeau est de 5 : 8, ce qui correspondapproximativement aux proportions du rectangle d’or. Ledrapeau comporte 4 axes de symétrie.
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Drapeaux à croix : Suisse
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Drapeaux à croix : La Grèce
Observe. . .puis dessine. . .
Proportion 2 : 3
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Drapeaux à 5 croix : Géorgie
Ce drapeau comporte cinq croix : une croix de Saint Georgeset quatre croix dites « croix de la Grappe » ou croix de laSainte Chrétienne de Géorgie (symbole de l’Église orthodoxede Géorgie).
Programme de construction
Trace un rectangle de 16 cm sur24 cm
Construis une croix de 4 cm delarge, partageant le rectangle enquatre petits rectangles égaux
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Drapeaux à 5 croix : Géorgie
Dans chaque petit rectangleConstruis, en son centre, un carré de 4 cm de côté, dontles côtés sont parallèles à ceux du rectangleNote A,B,C et D les sommets du plus petit carré surpointe comportant ce carréÀ partir du sommet A, trace deux arcs de cercle àl’intérieur du carré, le premier de rayon
√13 cm et le
second de√
5 cm. Fais de même à partir des sommets B,C et D.
Efface les deux carrés
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Drapeaux à 5 croix : Géorgie
A
B
C
D
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Drapeau Royaume Uni : superposition de trois croix
Le drapeau du Royaume Uni combine la croix de saint Georgesdu drapeau anglais et la croix de saint André du drapeauécossais. Après l’Union de 1801, ce drapeau fut augmenté dela croix de saint Patrick pour représenter l’Irlande.
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Drapeau Royaume Uni : superposition de trois croix
Proportion 1 : 2Dimensions conseillées : 12 cm/24 cm
☞ Quelle fraction représente la mesure 6 par rapport à lalargeur du drapeau ?
☞ Quelle fraction représente la mesure 10 par rapport à lalargeur du drapeau ?
Utilise ces fractions pour dessiner la croix de saint Georges etla croix de saint André.Pour partager la croix de saint André en six fines bandesobliques de même largeur, utilise le théorême de Thalès.
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Drapeaux à blason : Le Portugal
Rapport 2 : 3
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Drapeaux à blason : Le Portugal
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Drapeau à blason : Croatie
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Drapeau à blason : Croatie
Commencer par dessiner le blason.Prends ta feuille A4 dans le sens « paysage »Trace un rectangle ABCD de 5,5 cm sur 3,6 cm, sachantque |AB|= 5,5 cm et |BC|= 3,6 cm. Le point A est placédans le coin supérieur gauche et les autres points notésdans le sens horloger ; place-le au centre de ta feuillePlace le point O à même distance des points C et D, et à3,3 cm de la droite AB, à l’intérieur du rectangle ABCD
Trace un arc de cercle de centre O, reliant les points C etD ; cet arc se construit en dehors du rectangle ABCDConstruis la droite perpendiculaire à CD passant par O.Elle coupe l’arc de cercle au point P.Partage le côté AB en 5 parts égales et note les pointsrespectivement E, F, G et HPartage le côté BC en 3 parts égales et note les points Iet J
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Drapeaux à blason : Croatie
À partir des points E, F, G et H , trace les droitesparallèles à AD
À partir des points I et J, trace les droites parallèles à AB
À partir du point P, trace six segments de 8,4 cm, lepremier passant par A, le deuxième par E, le troisième parF, le quatrième par G, le cinquième par U et le sixièmepar B. Note les extrémités de ces segmentsrespectivement A’, E’, F’, G’, H’ et B’.
Trace deux arcs de cercle de 1 cm, l’un de centre A’ etl’autre de centre E’ : note S le point d’intersection le pluséloigné du rectangle ABCD, S. Trace [A’S] et [E’S]
Trace deux arcs de cercle de 1 cm, l’un de centre E’ etl’autre de centre F’ : note T le point d’intersection le pluséloigné du rectangle ABCD, T. Trace [E’T] et [F’T]
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Drapeaux à blason : Croatie
Fais de même entre les paires de points F’et G’, G’ et H’,H’ et B’
Trace un arc de cercle de centre P, reliant les points A à B
Prolonge [AB] de 12 cm de chaque côté et note X et Yles extrémités de ce nouveau segment
Trace les parallèles à [XY], distantes de 4,9 cm ; le blasonest centré dans le drapeau
Construis le drapeau comportant ce blason sachant qu’ilest constitué de trois bandes horizontales d’égale distanceet que son rapport l/L est 1 : 2
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Drapeau « soleil » : République de Macédoine
Rapport 1 : 2
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Drapeau à une étoile : la Turquie
Ce drapeau est consisté d’une lune décroissante et d’une étoileà cinq branches, les deux de couleur blanche, sur un fondrouge.Proportion 2 : 3 Dimensions proposées : 16 cm/24 cm
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Drapeau à une étoile : la Turquie
Le calcul des mesures s’effectue par groupe, en fonction desdimensions choisies pour le drapeau.
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Drapeaux à triangle : la Tchèquie
Dessiner l’intérieur du drapeau en utilisant uniquement lecompas et la règle non graduée.
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Drapeaux non-européens
Un seul drapeau a, pour proportion, le nombre d’Or . . .
Le drapeau du Togo (proportion 1 : 1, 618)
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Drapeaux non-européens
Drapeau comportant trois losanges, en forme de V
Saint-Vincent-et-les-Grenadines (Etat des petites Antilles, dansles Caraïbes)
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Drapeaux non-européens
Drapeau en éventail, non symétrique
Drapeau des Seychelles
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Drapeaux non-européens
Comparaison des angles
//
//
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Drapeaux non-européens
Le seul drapeau national non-rectangulaire, qui est plus hautque large.
Drapeau du Népal
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Mon drapeau
Merci pour votre écoute et votre
participation !
Et un remerciement particulier à Cédric de Fougerolle,secrétaire général de la Société française de vexillologie.
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Bibliographie
https ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau _ de _ l’estoniehttp ://svowebmaster.free.fr/drapeaux _ Espagne.htmwww.bibliomonde.com/donnee/lettonie-drapeau-442.htmhttps ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau _ de _ la _ lituaniehttps ://fr.wikipedia.org/wiki/Croix_ scandinavehttp ://svowebmaster.free.fr/drapeaux_ suede.htmhttp ://svowebmaster.free.fr/drapeaux_ danemark.htmhttps ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau_ de_ la_ Finlandehttp ://tavmjong.free.fr/INKSCAPE/MANUAL/html_fr/AShortExample.html
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Bibliographie
https ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau_ de_ la_ Norvegehttp ://www.vtg.admin.ch/internet/vtg/fr/home/themen/internationale_kooperation/MP/organisation_von_besuchen.parsysrelated1.7593.downloadList.80882.DownloadFile.tmp/51340f.p(annexe page 49)https ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau_ de_ la_ Grecehttps ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau_ de_ la_ Georgiehttps ://fr.wikipedia.org/wiki/Croix_ de_ la_Grappehttps ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau_ du_ Royaume-Unihttp ://www.jdawiseman.com/papers/union-jack/union-jack.htmlhttp ://www.collegeleseyquems.fr/IMG/jpg/consignes_drapeau.jpg (à modifier, mais une bonne base pour démarrer)https ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau_ de_ la_ Macedonie
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Bibliographie
https ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau_ de_ la_ Turquiehttps ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau_ de_ la_Republique_ Tchequehttps ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau_ du_ Togohttps ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau_ de_Saint-Vincent-et-les-Grenadineshttps ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau_ des_ Seychelleshttp ://statistique.blogs.sciencesetavenir.fr/archive/2015/05/06/le-drapeau-du-nepal-23256.html (version officielle :http ://www.servat.unibe.ch/icl/np01000_.html)https ://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b8/Flag_of_Phttp ://www.portugalmania.com/savoir/drapeau.htmLe Secrétariat Général du Conseil de l’Union Européenne
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