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L E S O N D E S P L A N E S D A N S L E S P L A S M A S

S u r face de d i spers ion , r6f lex ion , r6 frac t ion , a p p l i c a t i o n a u x o n d e s g u i d 6 e s

p a F

Michel CAMUS,* lng6nieur des t616communications

SOMMAIRE. - - L'auteur rappelle sommairement les propridtds des ondes planes monochromatiques se propageanl dans un plasma /roid homog~ne anisotrope satisfaisant l 'approximation d'Applelon-Harlree sans collisions. L'dquation de dispersion de ces ondes peul gtre reprdsentde par une surface qu'on appelle surface de dispersion el dont l'auteur dtudie les caracldristiques. II utilise les renseignements /ournis par la connaissance de eette surface pour dludier la rdflexion des ondes planes sur un plan conducteur l imitant le plasma, puts leur rdflexion el leur rdfraction sur un plan sdparant le plasma d'un didleetrique. II en d~duit les indications sur les propri~t~s des ondes dans les guides ~ plasma, en parliculier sur leurs fr~quences de coupure et de

rdsonance el sur leur comportement au voisinage de ces frdquences.

PLAN. - - Introduction. Terminologie associde aux ondes planes. Approximat ion d'Appleton-Harlree sans collisions. �9 1 : Surface de dispersion des ondes planes 1.1. Equation de dispersion des ondes p lanes- ddfinition de la surface de dispersion; 1.2. Propridt~s g~n~rales de la surface de dispersion; 1.~. Iptersection de la surface de dispersion par un plan contenant O Y : courbes de dispersion des ondes planes homog~nes ; 1.4. Courbes Z : Cte, courbes X : Cte ; 1.5. Propridlds partieuli~res des ondes lentes-approximation quasi- slatique. �9 2 : R~flexion d'une onde plane sur un plan conducteur U m i t a n t le p l a s m a 2.1. Cas

d'un plan conducteur parall~le ~ Bo ; 2.2. Cas particuliers de l'incidence normale el de l'incidence rasante; ----N

2.3. Plan r~flecteur non parall~le ?t Bo. �9 3 : R~flexion-r~fraction sur un dioptre plan : p l a s m a d i ~ l e c t r i q u e 3.1. Gdn~ralit~s, incidence sous un angle quelconque; 3.2. Cas d'une incidence rasante. Frdquenees de rdsonance des ondes guiddes; 3.3. L'onde de surface. �9 Conclusion. �9 Bibliographie (3 r~f.).

INTRODUCTION

Pour dtudier la propagat ion des ondes dlectro-

magn6tiques dans un syst~me, il faut r6soudre les ~quations de Maxwell dans les divers mil ieux qui le cons t i tuent en t e n a n t compte des condit ions aux l imites sur les surfaces sdparant ces milieux.

Lorsque le syst~me n 'es t pas trop complexe, on peut consid6rer que les ondes qui s 'y propagent r6sul tent de la superposit ion d 'ondes planes se r6fl6- chissant sur les surfaces de s6paration : ceci revient , ma th6ma t iquemen t , h chercher la solution g6n~rale des 6quations de Maxwell comme une somme de solu- t ions particuli~res. Cette m6thode n 'appor te , en fait, aucune simplification h la r6solution ma th6mat ique du probl~me de la propagat ion ; elle permet n~anmoins de se faire plus ais6ment une id6e des ph6nom~nes physiques en les d6composant en ph6nom~nes plus

simples et, par consequent , mieux compr6hensibles.

C'est dans cet esprit qu 'es t r6dig6 le pr6sent article dans lequel, apr~s avoir rappel6 certaines propri6t6s 616mentaires mats fondamentales des ondes planes

se propageant clans un plasma homog~ne anisotrope satisfaisant l ' approx imat ion d 'Apple ton Har t ree sans

collisions, nous examinerons comment ces ondes se

r~fl6chissent sur les surfaces l imi tan t le plasma. Ce faisant, nous recueillerons des enseignements qui

pe rme t t ron t de pr6voir diverses propri6t6s g6n6rales

des guides h plasma.

TERNIINOLOGIE ASSOCI~E AUX ONDES PLANES

Toute grandeur physique associ6e h une onde plane monochromat ique varie, dans l 'espace et darts le temps, su ivant une lot de la forme :

--> --N

off F , r et ~" sont des grandeurs constantes. On ne consid~rera ici que des ondes de pulsa t ion r rdelle

positive. ->

Le vecteur y est le vecteur d 'onde : il peut toujours

6tre d6compos6 en deux vecteurs a e t ~ de coordonnfes

r6elles, tels que y = a -F- j~.

* Au C.N.E.T., Lannion, Ddpartement RECHERCHES SUR LES COMPOSANTS I~LECTRONIQUES

- - 31 - -

2/32 M. CAMUS

L e s q u a n t i t 6 s : F e x p - - e . r et ~ . r s o n t r e s p e c -

t i vemen t l ' ampl i tude et la phase de la grandeur /

au point r. L ' ampl i tude reste constante dans t ou t

p lan perpendiculaire h e (plan ~quiampli tude), tandis que la phase reste eons tan te dans tou t p lan perpendi-

culaire h t3 (plan isophase). On appelle plan de pro-

pagation de l 'onde le p lan eon tenan t e et 13.

Si e et 13 sont eolin~aires, on dit avoir affaire h une onde plane homog~ne se propageant dans la direction

commune de ~ et de 13. Les plans 6quiampli tudes et isophases d ' une telle onde sont confondus : on les appelle alors plans d 'onde. De plus, l 'onde est dite

progressive si ~ = 0 et dvanescente si 13 = 0.

L ' A P P B O X I M A T I O N D ' A P P L E T O N - H A R T I ~ E E

S A N S COLLISIONS

[ANNALES DES T~:LI'~CO,M,~IUNICATIONS

0)2

n q2 q -> et 0)c -- B0 off : ~ -- m r m

q = charge de l'~lectron, m = masse de l'61ectron,

n = densitd 6]ectronique moyenne.

0)p ---- est la frdquence de plasma. Elle est donn~e

l~ 2 r:

par la formule pratique :

/Puz = 9 0 0 0 ~/ndlectrons/cma)

}'c = 2 r: est la frdquence cyclotron dlectronique.

Elle est donnde par la formule pra t ique :

fCM~ z ~ 2 , 8 B0gauss "

Les deux premieres dquations de Maxwell s 'dcrivent donc, dans un tel p lasma :

(2) rot E = - - j ~ ~o H,

rot H = j0) ~o ~ E.

Nous adoptons les hypotheses suivantes :

1. Le p lasma est u n gaz ionisd 61ectriquement

neut re en l 'absence de per tu rba t ion .

2. Les vitesses moyennes des dlectrons et des ions

consti tut ifs du p lasma sont nulles.

3. On ndglige : - - l ' a g i t a t i o n thermiquc des particules, - - les collisions entre part icules (c'est-h-dire

que l 'on suppose la frdquence des ondes tres supdrieure /~ la frdquence des colli-

sions), - - l e s phdnomenes de recombinaison dlec-

t rons- ions et les phdnomenes de gaines.

4. On admet que les ions, peu mobiles, sont tr~s peu affect~s par la p ropaga t ion des ondes, et l ' on

n~glige par consdquent leurs mouvements .

On suppose, en outre, que les ondes dont on dtudie la propagat ion sont de faible ampli tude, ce qui permet de lindariser les dquat ions de mouvemen t des dlectrons. Darts ces condit ions, on peut mont re r que le p lasma

plongd darts une induc t ion magn~t ique uniforme B o se comporte vis-a-vis d ' une onde dlectromagndtique monochromat ique de pulsa t ion co comme un didlec- t r ique anisotrope et dispersif dont la permi t t iv i t6

relat ive est un tenseur ~. Dans un syst~me d 'axes

de coordonndes reetangulaires, tel que 0z soit parallele

fi B0, les coordonndes de ce tenseur s 'dcrivent :

I (1) ~ = [ - - j % e• 0 ,

I 0 0 ~11

avec :

(o2 ~ e 0)~ ( r ) e i =i + 0 ) , ~ _ _ 0 ) 8 ' c - = 0) 0 ) ~ _ 0 ) 2 '

i . SURFACE DE D I S P E R S I O N DES O N D E S P L A N E S

1.1. Equation de dispersion des ondes planes. D6finition de la surface de dispersion.

On se bornera h consid6rer ici des ondes dleetro- magn6t iques planes monochromat iques se propageant dans un p la sma homog6ne anisotrope avec un plan de propagation parall~le ~ l 'induction magn~tique

uni/orme B o .

Les champs 61ectriques et magndt iques associ6s une telle onde satisfont les 6quat ions de Maxwell :

.-> .-> -~

7 • E = ]0) t% H, ---> .-> .__>

"~ • H = - - j0) ~o r E.

Ces 6quations vectorielles cons t i tuen t un sys teme de 6 6quations lin6aires et homogenes re l iant les

.-~ ->

6 composantes de E et H. Leur r6solution n 'es t done possible que si une condi t ion de compatibi l i t6 est satisfaite, que l 'on pourra i t obtenir d i rec tement en a n n u l a n t le d6 te rminan t du syst6me. On prdfere

-->

eependant commencer par 61iminer H entre les

2 6quat ions (2) On obt ient ainsi l ' 6qua t ion vee- torielle :

(3) ~" x • = k 2 r E .

off k = r162 r 6tant la vitesse de la lumiere dans le vide.

Pour exploiter cette 6quation, on utilisera le

syst6me d'axes de eoordonn6es le mieux adapt6 au

probleme h r~soudre. Celui que l 'on emploiera pra-

t iquement toujours dans cette 6tude est tel que Oz +

soit parallele h B o et que le plan xOz soit le plan de

- - 3 2

t . 24 , n os 1-2, I!)(mj L E S O N D E S P L A N E S

propaga t ion de l 'onde (Fig. 1 ) ; on appel le ra alors V// et ys les projec t ions de y r e spec t ivement sur Oz et sur Ox. Cependant , lorsque l 'on a affaire ~ des ondes planes homog6nes, il peu t 6tre commode d 'u t i - l iser le syst6me Ox'gz' de la figure 1 duns lequel

--N

Oz' est parall61e au vec teur d ' onde y, le p l an x'Oz' §

con tenan t la d i rect ion de I ' induc t ion magn6t ique B o .

% I \ i

", i

\ ' , \ ~

�9 0

f

~u Bo

FI6. 1. - - Syst~mes de coordonn4es dans l 'espace Oxyz.

Dans le syst6me d 'axes Oxgz, l ' 6qua t ion vector ie l le

s '6cri t : (4)

k ~ ~• + V~

- - J k ~ ~ n

- - V s Vii

J kSgH - - Y.I. VII

k 2 ~ • v ~ + v~, o x

0 k ~ + ~ g~, V l

Ex

Ey = O ,

Ez

elle n ' a d m e t donc de solut ion non nulle que si le d6 t e rminan t de la mat r i ce ci-dessus est 6gal ~ z6ro, ce qui s '4cri t :

(5.1) (v~ + k~ ~//) [(ff~ § k s %) ( G + v~ + k~ % )

- - k ' ~ . ] - - ~ , ~ ~ ( i f , + ~ + ~ % ) = 0

Cette 6quat ion est l ' 6qua t ion de dispers ion des ondes planes. On peut encore l '6crire sous les formes sui- van tes qui en s impl i f ieront l ' i n t e rp r6 ta t ion (*) :

(5.2) ~,,/ Y4~ § "7~ [V~L(e// + % ) + 2 k ~ e • e//]

+ (v~ + ~~//) [ '4 % + ~(~ %)1~ = o,

(5.3) % "4 + "4 [~ / (~ / /+ %) + k~(~--%~

et enfin, en tenant eompte de ce que V,21 + V~_ = y2 :

(5.4) z// 17 'l q 2 y 2 k S r 1 7 7 ~ A4(e2_l.--r247 y ~ , ] X

~,~ (~. - ~ , ) 1 = o

Si o,, 7./ et ys sat isfont cet te condi t ion, les 6quat ions de Maxwell sont compat ib les , et a d m e t t e n t une infinit6

2 (*) Hemarque. -()I1 utilise le f a r quc r 1 7 7 - g// = r 1 6 2 1 7 7 �9 Ce signe typographi( iue indique les formules eneadr6es

sur le tnanuserit .

D A N S L E S P L A S M A S 3/32 de solutions d6finies ~ une cons tan te mu l t i p l i ca t i ve pr6s. Cela signifie qu 'h uu ensemble de valeurs (o , V//, V• solut ion de l ' 6qua t ion de dispersion, cor respond une/amille d 'ondes planes ; I ts composantes de champs 61ectromagn6tiques associ6s aux ondes de cet te famil le ne sont connues qu'fi une cons tan te pr6s. A une va leur donn@ de cet te cons tante , correspond une onde clout Ie champ est pa r f a i t emen t d6termin6 : on la caract6r isera au moyen de sa composan te Ey de champ 61ectrique. En fonct ion de Ev (que l 'on appellera plus s implement : ampl i tude de l 'onde) , les aut res composantes de champ s ' exp r imen t de la fa~on su ivante :

Ez

Ey

Ex

(6)

j k2 an V~r q- It2 Sll

)

Ey jk ~ %

i Hx J VII Uy = - - J~

Ey r ~o Ey , H z Y• I - j

.Ey o ~z o

~// Ez

Y.L Ey

Dans la suite, pour s implif ier les 6cri tures, on posera �9

Ez Ex

Ey Ey

Remarque. - - I1 nous a r r ivera souvent de ne pus diff~rencier les ondes d 'une m~me famille et de pa r l e r , impropremen t , de (~ l 'onde )~ cor respondant h (o , Y//, V• Cette cont rac t ion n ' i n t rodu i t en fa i t aucnne ambigui td lorsque l 'on s ' int6resse seu lement aux valeurs re la t ives des composantes de champs associ6s h ces ondes.

Toutes les 4quat ions et expressions ci-dessus r e s t en t valables pour tou t mod61e de p l a sma (ou de didlec- t r ique) auquel on peu t faire correspoudre une permi t t iv i t6 re la t ive appa ren te tensoriel le de la forme (1). On se l imi te ra cependant , duns ce qui suit , aux seuls p lasmas sa t i s fa isant l ' a p p r o x i m a t i o n d ' A p p l e t o n - H a r - t ree sans collisions. Pour simplif ier les ddve loppements des 6quat ions prdc6dentes, on peut alors normal i ser les grandeurs qu 'el les rel ient pa r r a ppo r t h la pu lsa t ion de p l a sma up.

On pose :

M = r176 O)p

c ~ (De . - - - , Y = ~ , x = - - y ~ / 2 ,

6)p

c 2 c 2 z = - v ~ ~ - ; ~ = x + z - v s - ~

off c est la vi tesse de la lumi6re duns le vide (les signes - - f igurant dans X, Z et ~ p e r m e t t e n t i~ ces quant i t6s d '6 t re posi t ives lorsque les cons tantes de p ropaga t ion y// et ys sont imaginaires pures, c 'es t - "h-dirt lorsque les ondes sont progressives) .

Aver ees nota t ions , les coordonn6es du teuseur per in i t t iv i t6 s '6cr ivent :

3 3 - -

4/32

(7) I + M ~ - - Y M

r = M 2 - - y ' Cn -- 4 V

Y - - 1 ~// = y '

tandis que l '6quat ion de dispersion peut se met t re sous plusieurs formes parmi lesquelles on re t iendra sur tout :

(8.1) X 2 ( y - - 1)(M 2 - - Y) -~- X[2 Y(I + M 2 - Y) X

(Z + 1 - - Y ) - - M~Z] + Y ( Z + 1 - - Y) X

[(Z + l - - Y ) ( 1 + M z - u O,

(8.2) Z 2 y ( 1 -Jc M 2 - Y) -~- Z[2Y(1 -5 M 2 - - Y) X

(X + 1 - - Y ) - - Me(x + Y)] + ( Y - - 1 ) X [M2(X__ y ) 2 Y(1 + X - Y)21 = O,

(8.3) Y ( Z -~- 1 -~ X - - y )2 (1 -~- M s - Y)

- - M e ( X + Y)(Z 4- 1 + X - - Y) + MeX = O.

Dans un systbme d'axes de coordonn4es rectangu- laire O X Y Z , l '~quat ion de dispersion est repr4sent4e

par une surface que l 'on appellera sur/ace de dispersion

et qui a la signification physique suivante : fl tou t point P de cette surface correspondent 4 familles d 'ondes planes de m~me pulsat ion : ~o = o ~ / y ,

dont les vecteurs d 'onde ont m~me ampl i tude :

~e = _ ( x + z)~/c ~

les constantes de propagat ion longitudinales et t ransversales de ces ondes sont :

+ j 4 ~ torte et • j 4 2 ~o~!c

Scion les signes de X et Z, ces ondes ont la na tu re suivante :

M. CAMUS

1

M ~ _ y '

Z > O

Z < O

X > O

Onde plane homog~ne progressive

Onde 6vanescente suivant Ox

Onde progressive suivant Oz

x ~ o

Onde progressive suivant Ox

Onde 6vanescente suivant Oz

Onde plane homogbne 6vanescente

Si le point P e s t dans une r4gion oti X et Z ont le m~me signe, les ondes planes correspondantes sont homog~nes ; leurs directions de propagat ion font, avec la direction de l ' i nduc t ion magn6t ique uniforme --> Bo, un angle 0 tel que tge0 = Z / X . Les vecteurs

d 'ondes de ces 4 ondes sont donc 2 ~ 2 oppos6s et

2 h 2 sym6triques par rappor t h B o. De plus, si l 'on appclle p la project ion de P sur le p lan X O Z , et Op

l 'abscisse de p sur l 'axe OX' (Fig. 2), on a :

COS (9) ~ ---- Op -- Op(cos = + sin =) =

cos ~ 0 Op

V/C~ 0 -[- sin 4 0

donc la mesure alg6brique de Op est 4gale, ~ un

changemerlt d'6chelle prb% au r du vecteur d 'onde.

[ANNALES DES T~LIECOMMUNICATIONS

Y

)<

z

FIG. 2. - - Syst~mes de coordonn6es utilis6s pour 6tudier la surface de dispersion O X Y Z .

La connaissauce de la surface de dispersion est

int4ressante h plus d ' u n point de r u e : elle permet, bien stir, de r6soudre divers probl6mes conceruant la propagat ion des ondes planes. Mais on verra qu'el le est aussi tr6s utile pour bien comprendre les propri~t~s

des ondes guid6es. C'est la raison pour laquelle on va m a i n t e n a n t 4tudier cette surface : on commencera par en examiner quelques propri6t~s g6n~rales et leur in terprdta t ion p h y s i q u e ; on d4terminera ensuite les

caract4ristiques des courbes obtenues en la coupant

par divers plans.

Z 1

i

1.2. Propri6t6s g6n6rales de la surface de dispersion.

La surface de dispersion est une surface du 4 e degr4

en X, Y, Z, d4pendant du param~tre M. Plus pr6- cis4ment, elle est du 4 e degr6 en Y, mais seulement du second degr4 en X et Z. I1 en r~sulte qu 'une droite parall~le h OY la coupe en 4 points : cela signifie qu ' i l existe en g4n6ral 4 ondes susceptibles de se propager darts le plasma avec une cons tan te de propagat ion donn4e (X et Z donn6s) ; ces 4 ondes ont g6n6ralement 4 fr~quences diff4rentes.

Par contre, une droite parall~le h OZ (X et Y donn4s) ne coupe la surface de dispersion qu ' en 2 points dont les ordonn~es Z~ et Z e , d6termin4es h par t i r de l '4quat ion (8.2) ont pour valeurs :

M 2 = Y - - X - - 1 + X

2(1 + M e - - Y)

+ ~ - - + : = : - ( v - - l ) ,

M 2 Z 2 = Y - - X - - I - F X

2(1 + M 2 - - Y)

1 + 1 - - + u 1) �9

Cela signifie qu'/i toute fr6quence, il existe 4 ondes planes se propageant dans le p lasma avec une m~me eonstante de propagat ion longi tudinale y// arbi t rai- rement donn6e : leurs cons tan tes de propaga t ion transversales sont respect ivement :

3 4 ---.

t . 24 , n ~ 1-2 , 1969] L E S O N D E S P L A N E S D A N S L E S P L A S M A S

(si ces 4 ondes sont homog~nes, leurs directions de propagat ion sont, par eons6quent, 2 h 2 sym6triques

par rappor t h l ' induc t ion magn6t ique B o (Fig. 3.a) Cependant , les ordonn6es Z1 et Z 2 ne sont r6elles que si la droite parall~le h OZ coupe effectivement la surface de dispersion ; il faut , pour cela, qu'elle soit ext~rieure au cylindre d '~quat ion.

4 (11) (X - - y)2 + M ~ X Y ( Y - - 1) = 0 .

5/32

FIG. 3. - - Directions de propagation des ondes de m~me pulsation ayant m~me constante de propagation : a) longitu-

dinales ; b) transversales.

Ce cylindre, de g6n6ratrices parallbles h OZ, est t angen t h la surface de dispersion. Sa section droite est repr&ent6e figure 4a pour diverses valeurs du parambtre M ; la figure 4b montre , pour une certaine valeur de M, la r6gion du cylindre (partie hachur6e)

h l ' in t6r ieur de laquelle ne se t rouve aucun point r6el de la surface de dispersion : par la suite, on appellera cette r6gion (, zone imaginaire pour Z ~. A une droite (X, Y) parallble h OZ situ6e clans cette zone correspondent 2 valeurs de Z complexes conjugu6es.

De la m6me fa~on, une droite parallble h OX ne coupe la surface de dispersion qu ' en deux points dont les ordonn6es X~ et X 2 sont solutions de l '6qua- t ion (8.1). D o n c :

X 1= [ M 2 Z - - 2 Y ( 1 4- M 2 - Y)(Z + l - - Y ) +

M~/ M2Z 2 +4 YZ(I--Y) +4 Y(I-- Y)']I2(Y--I) • (12) (M2- - y)'

X2 = [ M 2 Z - - 2 Y ( 1 § M 2 - Y) ( Z + I - - Y ) - -

M}/M2Z 2 +4 YZ(1-- Y) + 4 Y(1-- Y)2][2(Y-- l ) • (M 2 - Y).

A toute fr6quence, il existe donc 4 ondes planes se propageant dans le p lasma avec une m6me constante

)3 ( Y _ 1) = 0 X \ 4 Y FIG. 4a. - - Courbes 1 - - - ~ - _ § ~ - ~ -

pour diverses valeurs de M. 4b. - - Int~rieur de la zone imaginaire pour Z.

de propagat ion transversale ~'1 a rb i t r a i r ement donn6e : leurs constantes de propagat ion longi tudinales sont respect ivement :

• = 4- i 4.2 et • = • i 4X' " , , / " "

Si ces 4 ondes sont homog&nes, leurs vecteurs d 'onde sont 2 h 2 symdtriques par rappor t h u n plan perpen-

§ diculaire h B o (Fig. 3b). Cependant , les ordonn6es

X~ et X 2 ne sont r6elles que si la droite parall~le h OX coupe effectivement la surface de dispersion : il fau t pour cela qu'elle soit ext~rieure au cylindre d '6qua- t ion :

(13) M2Z 2 4- 4 Y Z ( 1 - - Y) 4- 4Y(1 - - Y) 2= O.

Ce cylindre de g6n6ratrices parall~les h OX est t a n g e n t h la surface de dispersion. Sa section droite est repr6-

35

6 / 3 2 M. CAMUS [ANNALES DES TELECOMMUNICATIONS

sen l6e f igure 5a p o u r d ive r se s v a l e u r s de M, t a n d i s

que la f igure 5b m o n t r e , p o u r u n e c e r t a i n e v a l e u r

de _M, la r~g ion i n t ~ r i e u r e d u c y l i n d r e ( p a r t i e h a c h u r 6 e )

d a n s l aque l l e ne se t r o u v e a u c u n p o i n t r6el de la

su r f ace de d i s p e r s i o n (~ zone i m a g i n a i r e p o u r X ~).

A u n e d r o i t e (Y , Z) p a r a l l ~ l e ~ O X s i tu~e darts c e t t e

z o n e c o r r e s p o n d e n t 2 v a l e u r s de X c o m p l e x e s c o n j u -

g u l e s .

Fro. 5a. - - Courbes M~Z ~ + 4 YZ(1-- ]I) + 4 Y(1 - - y ) 2 : 0 pour diverses vaIeurs de M.

5b. - - Int6rieur de la zone imaginaire pour X.

L a su r f ace de d i s p e r s i o n 6 t a n t du 4 e o rd re , u n p l a n

q u e l c o n q u e la c o u p e g 6 n ~ r a l e m e n t s u i v a n t u n e c o u r b e

d u 4 e degr~ : il e x i s t e c e p e n d a n t 2 f ami l l e s de p l a n s

f a i s a n t e x c e p t i o n h c e t t e r~gle. E n effet , le c6ne des

d i r e c t i o n s a s y m p t o t i q u e s a d m e t p o u r ~ q u a t i o n :

y2 (X + Z - y)2 = O.

I1 se d 6 c o m p o s e d o n c en d e u x p l a n s d o u b l e s d ' 6 q u a -

t i o n s : X + Z - - Y = 0 d ' u n e p a r t e t Y = 0 d ' a u t r e

p a r t . I1 en r~su l t e q u e t o u t p l a n pa ra l l~ l e ~ F u n ou

l ' a u t r e de ces p l a n s a s y m p t o t e s c o u p e la s u r f ace de

d i s p e r s i o n s u i v a n t u n e c o n i q u e ; p o u r u n p l a n d ' ~ q u a -

t i o n : X § Z - - Y = a (a = c o n s t a n t e ) , c e t t e c o n i q u e

es t u n e p a r a b o l e d o n t l a p r o j e c t i o n s u r le p l a n X O Y

a d m e t p o u r 6 q u a t i o n :

a M 2 X = Y(a § l ) [a(1 + M ~) + l - - Y ( a + 1 ) ] .

C e t t e p a r a b o l e es t d ' a i l l e u r s d6g6n6r6e en l a d r o i t e

( X = 0 ; Y = Z + 1) p o u r a = - - 1, e t en les d e u x

d r o i t e s ( Y = 0 ; X + Z = 0 ) e t ( Y = l ; X + Z = l )

p o u r a = 0. Ces d r o i t e s n e d 6 p e n d e n t p a s de l ' i n d u c t i o n

m a g n ~ t i q u e B o ; l a c o n i q u e i n t e r s e c t i o n de l a s u r f a c e

de d i s p e r s i o n p a r u n p l a n Y = c o n s t a n t e es t u n e

h y p e r b o l e d o n t les a s y m p t o t e s s o n t les d r o i t e s

d ' 6 q u a t i o n :

(14) Y = X + Z, e t

(15) Z Y ( 1 + M 2 - - Y) = X ( Y - - 1 ) ( Y - - M 2) -~

Y ( Y - 1)(2 + M 2 - Y),

q u e l ' o n 6c r i r a enco re :

(15 ' ) Z = P X + Q,

( Y - - 1 ) ( Y - - M 2) e/ / a v e c P = -- e t

Y(1 + M s - Y) e•

( Y - - l ) ( 2 + M s - Y) el~ / 2 e L - 1

Q= 1 + M ~ - - Y = ~ • ~ - - ~ /

C e t t e h y p e r b o l e es t d ' a i l l e u r s d~g~n~r~e en d e u x

d r o i t e s p o u r Y ----- 0 e t Y = 1, ~ s a v o i r :

p o u r Y = O, les d r o i t e s d ' 6 q u a t i o n : X = 0 e t

Z = - - X ,

p o u r Y = 1, les d r o i t e s d ' 6 q u a t i o n : Z = 0 e t

z = - - X + l .

Ces d r o i t e s s o n t i n d 6 p e n d a n t e s de l ' i n d u c t i o n

m a g n 6 t i q u e B o .

L ' 6 t u d e de la f ami l l e d ' h y p e r b o l e s Y = c o n s t a n t e

a 6t6 f a i t e p a r p l u s i e u r s a u t e u r s qu i en o n t d o n n 6

l ' i n t e r p r 6 t a t i o n p h y s i q u e (vo i r en p a r t i c u l i e r : Al l is

el al. [1]) : on ne r e v i e n d r a p a s ici su r les p r o p r i 6 t 6 s

de ces cou rbes . On r e t i e n d r a s i m p l e m e n t , p o u r ce q u i

v a s u i v r e , q u e p o u r des v a l e u r s de X e t Z s u f f i s a m m e n t

g r a n d e s , l ' u n e q u e l c o n q u e de ces h y p e r b o l e s es t t r b s

v o i s i n e de ses a s y m p t o t e s a v e c l e sque l l es o n p e u t l a

c o n f o n d r e en p r e m i 6 r e a p p r o x i m a t i o n . Cela v e u t d i r e

q u e p o u r X e t Z s u f f i s a m m e n t g r a n d s , l ' 6 q u a t i o n

r e l i a n t ces d e u x q u a n t i t d s p e u t 6 t r e d f i compos6e en

les d e u x 6 q u a t i o n s (14) e t (15). De so r t e que , p o u r

u n e f r 6 q u e n c e d o n n 6 e , les 4 o n d e s , se p r o p a g e a n t

a v e c u n e e o n s t a n t e de p r o p a g a t i o n l o n g i t u d i n a l e y//

m 3 6

t...'~(t, n ~ 1-2, 1969] L E S O N D E S P L A N E S

donn6e, imaginaire pure et h module inf iniment grand

(X inf iniment grand positif) adme t t en t pour cons-

tan tes de propagat ion t ransversales (en coordonn6es

r6duites) :

- - p o u r deux d 'ent re elles : Z -- X + Y,

quelle que soit la fr6quence (h condit ion qu 'el le

soit finie), cet te quant i t6 est inf in iment grande et

n 6 g a t i v e ; les deux ondes lui correspondant sont

6vanescentes suivant Ox et leur ampl i tude d6croit

inf iniment r i t e dans cet te d i r ec t i on ;

( Y - - l ) ( y _ _ 3 1 2 ) - - pour les deux autres : Z = X +

y'(~ + M ~ - Y)

( Y - 1)(2 q- ~I 2 Y) = P X + Q ,

I + M Z - - - y

suivant la valeur de Y, cette quant i t6 peut 6tre

posi t ive ou n6gative. Elle est g6ndralement inf iniment

grande, sauf si Y est voisin de 1 ou de M ~ (o

~0~9 0 U co ~ (Oc).

On t i rerai t des conclusions identiques pour les

ondes de fr6quence donn~e se propageant avec une

cons tante de propagat ion t ransversa le ~,• donn@

imaginaire pure ~ module infiniment grand : deux

de ees ondes sont 6vanescentes suivant Oz, leur

ampl i tudes d~eroissent inf iniment r i t e ; on ne peut

rien dire en g6n6ral des deux autres dont la constante

de propaga t ion longitudinale :

Y(1 + 3I 2 Y) X = Z

(Y - - 1 ) ( Y - - M e )

)'(2 + M ~ - Y) Z - - Q

( Y - - 3I 2) P

peut ~tre posi t ive ou n6gat ive su ivant la va leur de

Y, et n ' e s t finie que pour Y voisin de 0 ou de 1 q- M ~

+

On verra, par la suite, que ees propri6t6s sont tr6s

impor tan tes et, que leur eonnaissance permet de mieux

eomprendre les ph~nom~nes de r6sonance et la pro-

pagat ion d 'ondes lentes dans tes colonnes de plasma.

D A N S L E S P L A S M A S 7/32 On ob t iendra donc des renseignements sur la

surface de dispersion en 6tudiant les propri6t~s des

courbes de dispersion des ondes planes homog6nes se

propageant dans une direct ion faisant un angle 0

avee B 0 .

L '6qua t ion de ces courbes s'~crit, en coordonn~es

r6duites :

(1) ~ 2 [ y 2 Y(1 + M 2) ~- M 2 c o s 2 0 ] - ~Y[2Y 2 -

2 Y(2 + M ~) + 2 -? M2(1 + cos20)] + Y ( Y - - 1 ) X [ Y ~ - - Y(2 + M ~) + 1] = 0

On en d6duit les propri6t6s suivantes.

Points s ur l 'axe ~ : 0 ; fr~quences de coupure .

Les points des courbes de dispersion tels que ~ = 0

sont les points d ' in tersec t ion de la surface de disper-

sion et de l ' axe OY : ils sont done inddpendants de t'angle O. Leurs ordonn~es sont solutions de l '~quat ion :

Y ( Y - - 1) [y2 __ Y(2 + M a) + 1] = 0. Les fr~-

quenees correspondantes sont les [r~quenees de eoupure des ondes planes : elles sont ind@endantes de la direction de propagation de ces ondes.

En @ar tan t la fr6quenee z6ro, qui joue un r61e

part icul ier , on vol t qu ' i i y a trois fr6quences de

eoupure : l 'une est la fr6quence de p lasma ; les deux

autres sont solutions de l 'Oquation :

(17) y2 _ y (2 /- M 2) + 1 -- 0.

soit :

(17') ~ ~ 2 ~o + 6)c2[ § o~ = 0.

Dans la suite, on appellera % et o~ les pulsat ions

de eoupure :

1 - - -

- - + 4 ~o~- 2 [2r v ,

1 1 2 s o i t % - - 2 % § ~ X / ~ + 4O~p,

( 1 7 ' ) 1

- 2 [9. + + + 4

1 1 soit co 2 = ~ - r + ~ - ~/o)c ~ + 4 (o~,

1.3. Intersection de la surface de dispersion par un plan contenant O Y : courbes de disper- s ion des ondes planes homogbnes .

elles sont de par t et d ' au t re de la fr6quence de plasma ;

leurs var ia t ions en fonct ion de M 2 sont repr6sent@s

figure 6.

Les courbes obtenues en coupant la surface de dis-

persion par un plan contenant l ' axe O Y et situ~ darts

le di~dre X Z > 0 ont une signification phys ique

particuli~re. Ce sont, h u n changement d'6chelle pros,

les courbes de dispersion (~, Y) des ondes planes

homog6nes se propageant clans une direct ion faisant, ___%

avec l ' induet ion B 0 , un angle 0 te l que tg20 = ZIX. Comme on l 'a vu plus hauf , le changement d'Ochelle

ne porte d 'ai l leurs que sur l 'abseisse des courbes

[I.1. - 6quat ion (9)] (*).

(*) D'ailleurs, en projetant ces courbes sur le plan bissecteur X = Z, on obtient de nouvelles courbes (X", Y) qui se d6dui- sent des courbes de dispersion (~, Y) par le changement d'6chelle ~ = X" X/2,, ind@endant de l'angle 0 (volt figure 2).

\

/

t l ], ~ 5 4 : p

FIG. 6. - - Variation des fr6quences de coupure en fonction du champ magn6tique.

37

8/32

Asymptotes horizontales : fr~quences de r~sonance , ondes lentes.

Une courbe de dispersion admet deux asymptotes

horizontales dont les ordonnfes sont solutions de l '6quat ion :

(18) y 2 Y(1 + M 2) + M 2 cos20 = O,

soit :

2 cos~O = 0 (18') +

Lesfr6quences correspondantes sont les fr6quences

de rdsonance. Au voisinage de chacune de ces asymptotes , la

branche de courbe correspondante est toujours en

dessous de l ' a sympto te . Donc la vitesse de groupe

et la vitesse de phase ont le m6me sens et sont infini- merit petites, de sorte que les ondes correspondant aux points voisins des asymptotes sont des ondes lenles directes.

Les frdquences de r6sonance d6pendent h la fois :

des propri6t6s du plasma, de l ' induc t ion magn6t ique

B o e t de la direction de propagat ion. On a repr6sent6 figure 7 leurs var ia t ions en fonction du champ magn6-

t ique pour diverses valeurs de 0. Au voisinage des fr6quences de r6sonance, l '6quat ion

de dispersion peut se met t re sous la forme approch6e :

~ [ y 2 _ Y(1 + M 2) + M ~ COS20] + Y ( Y - 1) (2 + M 2 - Y) = O.

M . C A M U S

Y

3

Asymptote oblique : propagation d tr~s haute frdquence.

Lorsque r et Y t enden t s imul tan6ment vers l ' infini , la courbe de dispersion admet une asympto te oblique

[ A N N A L E S D E S T E L E C O M M I ) N I O A T I O N S

, ~ _

4 ~ 3 M t

FIo. 7. - - Variations des fr6quences de r6sonance en fonction de M S pour diverses valeurs de 0.

d '6qua t ion Y = ~ + 1. I1 y a deux branches de courbes si tufes respect ivement de par t et d ' au t re de cette a s y m p t o t e ; leurs 6quations peuven t s 'fcrire,

sous forme approch6e :

= Y - - 1 4- M cos o14 Les propri~t~s pr6c6dentes sont r~sum6es sur la

figure 8 off 1'on a trae6 une courbe de dispersion dans un eas partieulier. On a 6galement indiqu6 sur eette figure certaines propri~t~s des champs assoei~s aux ondes planes homog~nes. A ce sujet, rappelons que ces ondes sont t ransverses magn~tiques h polarisat ion elliptique. Le sens de ro ta t ion du plan de polar isat ion est direct si ~ > Y ou ~ < Y - - 1 ;

~ o ~ w t

J J

FIG. 8. - - Courbes de dispersion d ' u n e o n d e plane en eoordon n6es r6duites ( Y, 5) pour 0 donn6 ( o n a c h o i s i 0 = ~ [ 4 ) .

- - 3 8

t. 24, n ~ 1-2, 1969]

il es t inverse si ~ < Y < ~ + 1. D 'a i l l eu r s , les compo-

san tes de c h a m p s associ~s a u x ondes p lanes s '~cr iven t ,

dans le sys t&ne d ' axes de coordonn6es Ox'gz' de la

f igure I :

E S

(oc~ sin 0 cos 0 (1 + y2/k2) =

Ey

- - io)o)c sin 0 [(1 § y 2 / k 2 ) - - r 2]

o)2 { t( t + , 21k )-o);1 o2)12-(o):cos20/ o) (1 +

E x' Ey Jo) ~o a v e c H z' = O, et -- --

Hy H x' y

On p e u t m o n t r e r h p a r t i r de lh q u ' a u vo i s inage des

f rdquences de r6sonances , le c h a m p ~ l e c t r o m a g n ~ t i q u e ____>

se r~dui t h la c o m p o s a n t e E z de E darts la d i r ec t i on

de p r o p a g a t i o n . D ' a u t r e pa r t , au v o i s i n a g e de l ' a s y m p -

t o t e ob l ique , E z' est i n f i n imen t p e t i t pa r r a p p o r t h

E x' et Ey qui sont r e s p e c t i v e m e n t 6qu iva l en t e s h :

E x' ~ E o M 2 sin 0 cos 0,

Ey ~ • ] E o M 2 sin 0 cos 0.

On a done, ~ ce m o m e n t - l h , d e u x ondes T E M h pola-

r i sa t ion c i rcu la i re (une dro i te et une gmmhe).

Cas particuliers importants : propagationparal-

l~le et perpendiculaire d Bo.

I1 est in t4 ressan t de t r a i t e r ces cas en r e v e n a n t

d i r e c t e m e n t a u x 6qua t ions (4).

LES ONDES PLANES DANS LES PLASMAS 9/32 0 = 0 : propagat ion parall~le ~ l ' induction B o (Z = 0

ou ~,• = 0).

Dans ee cas, l ' ~ q u a t i o n de d i spers ion se d~eompose

e n :

Y = 1, soit o) = o)0 : e ' es t l ' o se i l l a t ion de p l a s m a h

l aque l le co r r e spond un c h a m p ~ lee t r ique por t~ pa r

Oz et un c h a m p m a g n ~ t i q u e nu l ;

(19) M 2 ( X - y ) 2 _ y (1 -~ X - y ) 2 = 0.

Ik2)2}, A ce t t e 6 q u a t i o n c o r r e s p o n d e n t d e u x ondes T E M h

po la r i s a t i on c i rcula i re , l ' u n e droi te , l ' a u t r e gauche .

Ces ondes , b ien connues , on t r e s p e c t i v e m e n t p o u r

6 q u a t i o n de d i spers ion :

- - p o u r l ' o n d e o rd ina i re :

(19') [~2 C 2 = o)2 2 o~ o)p

o) -~- o)c

- - p o u r l ' o n d e e x t r a o r d i n a i r e :

o) o)~ (19") ~2 C 2 = o)2

O) - - O)C

On a t rac~, f igure 9, les courbes de d i spers ion de ces

ondes.

0 = ~/2 : propagat ion perpendiculaire fi I ' induct ion

B o (X = 0 ou y// = 0).

Dans ee cas, il y a encore d~compos i t i on de l '~qua-

t ion de d i spers ion en :

(20) Y = Z + 1 : ~ ee t t e ~qua t i on co r re spond une

onde T E M i n d ~ p e n d a n t e de l ' i n d u c t i o n m a g n ~ t i q u e B o

u

--> FIG. 9. - - Courbes de dispersion : propagation dans la direction de l 'induction B o .

3 9 - -

10132 M. CA.MUS [ANNALES DES TELECOMMU1NICATIONS

/ /

//"/ '

0 .

FIG. 10. - - Courbe de dispersion : propagation perpendiculaire fi l ' induction B o.

(21) (Z q- 1 - Y ) ( 1 q- M 2 - Y ) - M 2 = 0.

La courbe d~finie p a r c e t t e ~qua t ion est une hype rbo l e .

I1 lui c o r r e s p o n d une onde t r a n s v e r s e m a g n ~ t i q u e

a y a n t son c h a m p m a g n 6 t i q u e por t~ p a r B o , son c h a m p

~lec t r ique ~ t an t h p o l a r i s a t i o n e l l i p t i que darts le p l a n

p e r p e n d i e u l a i r e h B 0 .

On a r ep re sen t6 f igure 10 les eourbes de d i spe r s ion

de ces ondes .

1 . 4 . C o u r b e s Z --~ c o n s t a n t e - C o u r b e s X - -

c o n s t a n t e .

On appe l le courbes Z - - e o n s t a n t e , les courbes des

p lans (X, Y) d(!finies i m p l i e i t e m e n t p a r l ' d q u a t i o n

de d i spers ion (8) dans l aque l l e on laisse h Z une v a l e u r

eons tan te . Ce son t les p r o j e c t i o n s des eourbes o b t e n u e s

en c o u p a n t la su r face de d i spe r s ion p a r des p lans

d ' ~ q u a t i o n Z = eons t an t e . D ' ap r~s ee que l ' o n a d i t

p lus hau t , si Z e s t rdel, elles son t ex t~r ieures h la

(, zone i m a g i n a i r e p o u r Z " e t r ~ e i p r o q u e m e n t , p a r

t o u t p o i n t (X, Y) ext~!rieur h ce t t e zone p a s s e n t d e u x

courbes (Z = c o n s t a n t e ) c o r r e s p o n d a n t h d e u x va l eu r s

r~elles d i s t ine tes Z 1 et Z z de Z donn~ies p a r (10).

Les p r inc ipa les p ropr i6 tds des courbes Z = eons-

t a n t e son t les s u i v a n t e s :

- - elles son t du 2 ~ degr6 en X e t du 4 e en Y,

- - elles a d m e t t e n t p o u r e n v e l o p p e la eou rbe l i m i t a n t

la zone (~ i m a g i n a i r e p o u r ZX~>,

- - e l l e s a d m e t t e n t d e u x a s y m p t o t e s ho r i zon t a l e s

d 'ordonn~ies r e spee t i ve s 1 e t M 2 e t une a s y m p t o t e

o b l i q u e d ' d q u a t i o n Y = X q- Z q- 1. Les pos i t ions

des eourbes p a r r a p p o r t h ces a s y m p t o t e s sont r6su-

m~es sur le t a b l e a u I.

- - elles pa s sen t p a r les po in t s r e m a r q u a b l e s sui- r a n t s :

sur l ' a x e O X : X = 0 et X = - - Z,

sur l ' a s y m p t o t e Y = 1 : X = 1 - - Z (sauf

p o u r Z = 0),

s u r l ' a x e O Y ( X = 0 ) : Y = 0, Y = Z + 1,

Y1 et Y2 so lu t ions de l ' 6 q u a t i o n (21) qui

p e u t e n c o r e s ' f e r i r e :

y g . Y(2 + M 9" + Z) + Z(1 + M 2) -~ 1

----- 0~

(ees p o i n t s s o n t o b t e n u s d i r e c t e m e n t h p a r t i r

des eourbes de d i spe r s ion des ondes p lanes

homog~nes se p r o p a g e a n t pe rpend ieu l a i r e -

m e n t h la d i r ec t ion de l ' i n d u e t i o n magn6-

t i q u e B o - fig. 10),

sur l ' a s y m p t o t e Y = M 2 :

(Z nr 1 - - M 2) (Z Jr- 1 - - 2 M 2) X ~

2 M 2 - - 2 - - Z

sur la d ro i t e Y = 1 q- M ~ :

Z 1 X = - - ~ - :h --2- ~ Z 2 - - 4 ( 1 + M 2) ( Z - - M Z ) ,

sur l ' a s y m p t o t e Y = Z + X + 1 :

X = O; Y = Z + 1.

m 4 0 - -

t. 24, n '>~ I-2, 1969] L E S O N I ) E S P L A N E S D A N S L E S P L A S M A S

T A B L E A U I

11132

A s y m p t o t e X v o i s i n + o o X v o i s i n - - o o

Y = 1 J l 2 > 1

J l 2 < I

- - 1 < 0

- - 1 > 0

- - 1 > 0

- - 1 < 0

Y - 1 > 0

Y - - l < 0

Y - - l < 0

Y - - l > 0

Y -- M 2 < 0

Z > 0 Y

Z < 0 Y

Z > 0 Y

Z < 0 Y

Z > 2 ( M 2 - - 1) Y

Z < 2 ( M 2 - - 1) Y

Z > 2 ( M 2 - - 1) Y

Z < 2 ( M 2 - - 1) Y

- - M 2 > 0 M2 > I

- - M 2 < 0 Y - - M 2 > 0 Y = M 2 - - M 2 < 0

- - M 2 > 0

2 b r a n c h e s d e c o u r b e l ' u n e a u - d e s s u s , l ' a u t r e e n d e s s o u s d e l ' a s y m p t o t e

M2<. 1

Y = X + Z + I

Y - - M 2 > 0

y _ _ g,]2 < 0

.' i ' I,' / .I

/ , ~,' i / ~1 J l , I s .>~ iJ ~ / ~ , l l '

I I ~ / /' q r / I i / / i i i 1 I J

I J, ;/ / / / / ." / / /

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- ~ -5 -~ -~ 0 t i, it 4, S 6 X': ',,,u ~l

FiG. 11. - - E x e m p l e s d e r 6 s e a u x de c o u r b e s Z = Cte .

- - 4 1 - -

12132 ~.

Les divers 616ments ci-dessus pe rme t t en t de tracer les courbes Z = constante et de suivre leur 6volution quand, M res tant constant , on fait varier Z : on ob- t ient alors un r6seau de courbes que l 'on a partielle- men t repr6sent6 figure 11 pour M = 2. On t rouvera d 'aut res exemples de telles courbes dans divers

articles de Bevc [2] qui a 6galement examin6 ce qui se passe h l ' in t6r ieur de la ~ zone imaginaire en Z ,~

[31.

Application aux andes de fr~quence dann~e et de constante de propagation langitudinale donnde.

La connaissance du r~seau de courbes Z = c o n s t a n t e est trbs ut i le lorsque l 'on s'int~resse aux 4 families d 'ondes de pulsa t ion o donn6e se propageant avec une eonstante de propagat ion longi tudinale W/donn6e. E n effet, h ces ondes correspond un point (X, Y) ;

si done on eonnai t les courbes Z = Z~ et Z = Z z passant par ee point , on en d6duit imm6dia tement

leurs eonstantes de propagat ion transversales qui sont 6gales h :

On peut 6galement en d~duire les ampl i tudes des champs ~lectriques et magn6t iques associ6s aux ondes en u t i l i sant les relations (6). Dans la suite, on diff~- reneiera ces champs en les affeetant des indices :

N

+ I pour les ondes correspondant .~+y~i avec l i /

i = 1

! ~ i pour )es ondes correspondant h ~ y M ou 2. l i

On remarque en part icul ier que + - Eu~ Eb~ -

Ez e'est-h-dire que les rappor ts ~ = assoei~s aux

Eg

4 families d 'ondes on t les valeurs distinctes q- ~ et :t: ~ , avee :

(22) ~t __ YI/ YI' _Y~/ nu Y~i "J- k 2 e / ,

jk" e H Y~ r -~ k2 r soit, en coordo~ntes r4duites :

(22')

i I / - ~ X (X+Z,) (M ~ - Y)--Y(1 + M s - u

~' = ~ v - - r - z~ + ~-- r

Par eontre, E~ t E~ i , c 'est-h-dire que les rap-

E~ ports n = - - ~ , . assoei4s h 2 families de m6me in-

w

dice i ont re%me valeur :

(23) ~l = jk ~ eH ,

soit, en coordonn4es r4duites :

(23') ~i = ( ] / M ~ / ? ) [(X -1- Z) (Mi-- Y) - -

V (1 + M 2 - Y)l

Enf ln , signalons qn 'h d6faut de la connaissance complete du r6seau de courbes Z = constante , on aura d6j~ des rense ignements int6ressants sur la na tu re

C A M U S [ANNALES DBS T~LECDMMUNICATIONS

des andes ~ ~ et y/ /donn6s si l ' on peut t rouver simple- merit les signes de Z 1 et Z 2. A cet effet, on peut d6couper

le p lan (X, Y) en r6gions dans lesquelles Z 1 et Z 2 gardent respect ivement le m6me signe : ces r6gions sont limit6es par les courbes Z = 0 d 'une par t (voir

w 1.3.) et par la droite horizontale d 'ordonn6e Y ---- 1 -t- M 2, correspondant h Z infini d ' au t re part .

A t i t re d 'exemple, on a trac6 figure 12 les r6gions correspondant ~ denx valeurs de M.

0) z, > d

w:<~, - ~ - ~ ~ .~_<_~ i F <~

- - - - ~ - ; z . . . . . . . . . .

. / / / ) ~l <-o

7s7>>: 6 ~ <o ~ ~ ~ <o , . . . . . . . . i . . . . . . . . . . 7 - ' - ~

wp [,-__, ~0,5 i

l i ~

w : ~ l

S) 'i M

,:~_ ~'_rll >o

~' il,~l I l i~i l l l l t l llUr i;"

ZzL >o

0 ~ 2

,.-~ 17, ~ <o j~: <o

~ t ) t' > O

@ 7~: >o 3 , t <~

Fzo. 12a. - - Nature de Z z et Z~ dans les zones du plan

( I~-/--", o-~-) ( M > 1) num4rot~esdel h13. cop

12b. - - Nature de Z, et Z~ dans les zones du plan

o~ ~ (M < 1) num~rot6es d I ~ 13.

Courbes X = constante. Application aux andes o et YI dorm,s.

De la m6me fa~on que l 'on a 6tudi6 les courbes Z = constante , on peut 6tudier les courbes X = cons tante obtenues en coupant la surface de

- - 4 2 - -

t . 24, n ~ 1-2, 1969]

d i s p e r s i o n p a r des p l a n s para l l~ tes h Y O Z . P o u r des

v a l e u r s de X r6elles, ces eou rbes s o n t ex t6 r i eu res h

la , zone i m a g i n a i r e p o u r X ,~; r 6 c i p r o q u e m e n t , p a r

t o u t p o i n t (Y, Z) ex t6 r i eu r h e e t t e zone p a s s e n t

d e u x eou rbes X = e o n s t a n t e e o r r e s p o n d a n t h d e u x

va l eu r s r6elles d i s t i n c t e s de X.

Les p r ine ipa l e s p ropr i6 t6s des eourbes X = eons-

t a n t e s o n t les s u i v a n t e s :

L'RS O N D E S P L A N E S D A N S L E S P L A S M A , S 13/32 - - elles s o n t du 2 e degr6 en Z e t du 4 e degr6 en Y,

- - elles a d m e t t e n t p o u r e n v e t o p p e la f ron t i~re de

la (, zone imag ina i r e p o u r X " ,~,

- - e l l e s a d m e t t e n t d e u x a s y m p t o t e s h o r i z o n t a l e s

d ' o r d o n n 6 e s r e s p e c t i v e s 0 e t 1 + M s e t u n e a s y m p t o t e

ob l ique d ' ( !qua t ion Y = X 5- Z 5- 1. Les p o s i t i o n s

des cou rbes p a r r a p p o r t h ces a s y m p t o t e s s o n t r~su-

m6es sur le t a b l e a u II .

TABLEAU I I

Asymptote

Y = 0

I, i

Y ~ 1 + .~I 2

Z voisin de + o o

X > 0 Y > 0 X < 0 Y < 0

X > - - (1 + M ~) Y < 1 + M 2 X < - - (1 + M ~) g > 1 + M ~

y = X m Z 4 - 1 2 branches de courbe de part et d 'autre de

l 'asymptote

Z voisin de - - o0

Y < 0 Y > 0

Y > I + M ~ Y < I + M 2

I ne d6pend pas de la position relative de 1

et M z

Fro. 13. - - R6seau de courbes X = constante pour M = 2.

- - 4 3 - -

14/32 M. C*MUS

el!es passent par les points remarquables su ivants :

s u r l ' a x e O Z ( Y = O) Z oo et Z = - - X ,

s u r l a d r o i t e Y = 1 Z = 0 et Z = 1 - - X,

s u r l ' a x e O y ( Z = 0 ) Y = 1, les 3

(19) M s ( X - - Y ) 2 - - Y ( t + X - -

racines de

l '6quat ion

y)s = O,

(ces 3 points sont obtenus d i rec tement i~ par t i r des

courbes de dispersion des ondes planes homog6nes se

propageant paral l~lement h la direct ion de l ' induct ion

magn~tique B o - fig. 9), O

X + 2 - - 3 M ~ sur la d r o i t e Y = M s : Z = :E

2

1 C X S - - ' 2 X ( 2 - - M ~ ) + M s

2

sur l ' a sympto te : M ~ + M~ - - X~ ~ ~ <o Y = 1 + M s Z = X + 1 + M ~ ' ~ l

sur l ' a s y m p t o t e pas de point h distance

Y = Z + X + 1 : finie (sauf pour X = 0).

[ANNALES DES WELl'COMMUNICATIONS

5f I

(

X z 4 0

Xl r XZ r

x i ,,3 x z > O ~

X I a~ X I < 0

I

0 i ~ 3 u 5 ~o ~s

La connaissance des divers 616ments ci-dessus

permet de t racer les courbes X = constante et de suivre

leur 6volution quand, M res tant constant , on fait

var ier X. On a trac6, h t i t re d 'exemple , une par t ie

du rdseau de courbes obtenues pour M = 2 (Fig. 13).

Comme on l ' a fai t & propos des eourbes Z = cons-

tan te , on peut t racer les r6gions du plan YOZ h l ' in tdr ieur desquelles les valeurs X 1 et X 2 associ6es

chaque point gardent respec t ivement le m~me

signe. Ces r6gions sont limit6es d 'une par t par la

courbe X = 0, d ' au t r e pa r t par les droites horizontales

d 'ordonn6es 1 et M 2 correspondant ~ X infini. On a

trac6, figure 14, les r~gions correspondant fi deux

valeurs de M.

L ' int6r6t des courbes X ---- cons tante est dfl h ce

que leur connaissance facil i te l '6tude: des ondes de

fr6quence donn6e se p ropagean t avec u n e constante

de p ropaga t ion t ransversa le 7• donn6e.

o . . . . . . . . ] •215 :.

'.,<~ //

, / ~ ~ ~ ' = ~ " r ~ ~-~~ x, ~ ,,Z.r I , o l

xqx z ~0

1.5. Propri6t6s particuliSres des ondes lentes - Approx imat ion quas i -s tat ique .

FIG. 14a. - - Nature de X~ et X2 dans les zones du plan (X, Y) (M > 1).

14b. - - Nature de X 1 et X 2 darts les zones du plan (X ; Y) (M < D.

Pour te rminer ce t te 6tude des propri6t6s des ondes

planes se p ropagean t dans un p lasma anisotrope, nous

allons examiner les propri6t6s particuli~res des ondes

dont l ' une an moins des constantes de propaga t ion

longi tudinale YI, ou t ransversa le u a un module

inf in iment grand, c 'est-h-dire tel le que l 'une au moins

des quant i t6s X ou Z e s t inf in iment grande. On sait

(w 1.2.) qu 'h une fr6quence finie donn6e, exis tent

4 familles d 'ondes ayan t ce t te propri6t6. Les deux

premieres correspondent h l ' 6qua t ion de dispersion

approch6e (14) : X + Z = Y, les deux autres i~ l '6qua-

t ion (15) : Z ---- P X + O.

Nous allons d6terminer les propri6t6s des champs

61ectromagn6tiques associ6s h chacune de ces ondes.

I . O n d e s te l les que : X + Z = Y.

Si une onde associ6e h ce t te 6quat ion de dispersion

est progressive dans une direct ion (soit Oz') elle est

6vanescente h d6croissauce inf in iment rapide dans la

direct ion perpendiculaire (soit Ox'). En effet, si YL

est la project ion du vec teur d 'onde y sur Oz' et Yr

sa projec t ion sur Ox', on a :

4 ~ s : ~ + ~ : _ c~_ ( x + z ) =

ol s o1~o y = - - - - C 2 C s

Comme o1 est finie, cet te ~quat ion ne peut 6tre satis-

- - 4 4 - -

t. 24, n ~ 1-2, 19691

f a i t e que si X et Z son t i n f i n i m e n t g rands et de sightS

oppos6s �9 il en est de m ~ m e de @ et -;,.~.. Si done -& L

est imag ina i r e pur , Y'r est r6el et i n f i n i m e n t g r and :

Y-,.~ 4- f Y,.I.

I ,ES O N D E S P I , A N E S D A N S L E S P L A S M A S

'5, Ey ( c o m m e [y~[ Ey). Hx

D'autre part : Ey

Champs associds d celte onde.

E n se r e p o r t a n t a u x express ions (6) de E z l E y =

et E y ] E x = ~, on o b t i e n t p o u r une te l le onde :

j 6) Ix o

et

tandis que : Hy = - jto % -

1 5 / 3 2

Hz Y. I

H y y//

~// E z

Y..,.

Ex to

i Ey -- "q ~" ]o~ c

Ez Y// Y•

i - Ex Y~ + k ~ ~// Y•

toe

I1 en r6sul te que les e o m p o s a n t e s de c h a m p 61ectrique

son t t o u t e s du m 6 m e ordre de g r a n d e u r (saul p o u r

to ~ 0), et que la p r o j e c t i o n de ce c h a m p sur le p l an

de p r o p a g a t i o n est h po l a r i s a t i on e i reula i re .

D ' a u t r e pa r t , on a :

J YI I Hz Y• H z -- Ey, et -- ,

(o ~'o Hy Y/ I

t and i s que :

H,/ = - - jto z o ~/ / GI~" • �9

D o n c la p r o j e c t i o n du c h a m p m a g n 6 t i q u e sur lc

p lan de p r o p a g a t i o n est i n f i n i m e n t g r ande pa r r a p p o r t

au c h a m p 61ectrique ; d i e est pe r l )end icu la i re h ce

c h a m p , donc 6 g a l e m e n t h po l a r i s a t i on c i rcula i re . P a r

con t re , la c o m p o s a n t e de H p e r p e n d i c u l a i r e au p lan

de p r o p a g a t i o n est i n f i n i m e n t petite par r a p p o r t au

c h a m p 61ectr ique (sauf peu t -6 t r e p o u r to ~ 0). Ainsi ,

p o u r une onde te l le que X § Z -- Y, le c h a m p 61ectro-

m a g n f t i q u e se rddui t p r a l i q u e m e n t 5 la c o m p o s a n t e

de c h a m p m a g n 6 t i q u e dans le p l an de p r o p a g a t i o n .

Ce t t e c o m p o s a n t e est h po l a r i s a t i on c i reula i re .

2. O n d e s assoc i~es d l 'dquat ion Z -~- P X : Q.

Dive r s cas son t ~ cons id6rer s u i v a u t que P e s t f ini , nul ou i n f i n i m e n t grand .

a) P fini. - - Cela en t r a iue que X et Z son t s imul - t a n f m e n t i n f i n i m e n t grands .

O n a a l o r s : Y ( Y - - 1 ) ( Y - - - 3 1 2 ) (1 q- 3 1 2 - Y) ~ : 0

done a u e u n e des q u a n t i t 6 s r , c , et ~// n ' e s t nu l le ni i n f i n i m e n t grandc . Dans ces cond i t i ons :

X + Z Y z • X q Z

- - j V e n - - j Y r

x ( P + ~)

- - j Y c H

Ez Y// t and i s que - - ~ - -

z ( P + 1)

J Y r P '

Ey Y_L

I1 en r6sul te que E z ct E x sont du m 6 m e ordre de

g randeur , tous d e u x i n f i n i m e n t g rands pa r r a p p o r t

donc H x, Hy et H z son t du m 6 m e o rd re de g r a n d e u r ,

i n f i n i m e n t plus p e t i t que E z et E x, mais i n f i n i m e n t

plus g r and que Ey.

A ce cas a p p a r t i e n n e n t les ondes p lanes h o m o g 6 n e s

p rogress ives tr~s lentes p o u r lesquel les P e s t pos i t i f ;

X et Z son t alors de m ~ m e signe et te l s que Z I X =

P = tgS0 (0 = ang le de la d i r ec t ion de p r o p a g a t i o n

a v e c B0). y• et y// sont donc de m ~ m e n a t u r e et les

r6su l ta t s p r6c6dents s ' 6noncen t a insi : le c h a m p 61ectro-

m a g n 6 t i q u e se r6dui t p r a t i q u e m e n t h la c o m p o s a n t e

de c h a m p 61ectr ique darts la d i r ec t ion de p r o p a g a t i o n .

Si p a r c o n t r e P 6 ta i t n @ a t i f , le c h a m p se r6du i r a i t

la c o m p o s a n t e de c h a m p 61eetr ique darts le p l a n de

p r o p a g a t i o n , ce t t e c o m p o s a n t e 6 t an t h p o l a r i s a t i o n

c i rcula i re .

b) P v o i s i n d e O . - - ( Y ~ l o u Y ~ M s , s o i t t o ~ t o v

OH to ~ top) .

X est i n f i n i m e n t g rand , mais Z e s t p e u t 6tre fini

ou infini .

to ~ toy : P o u r Z i n f i n i m e n t g rand , on a b o u t i t a u x

m 6 m e s conc lus ions que ci-dessus.

P o u r Z fini, on a t o u j o u r s : ~ i n f i n i m e n t g r a n d

c o m m e X, mais E z l E x est i n f i n imen t g r and c o m m e

~/X, de sor te que :

E z >> E x >> Ey.

D ' a u t r e p a r t : H z ~ Ey ; H x ~ ~/}2 Ey t a n d i s

que Hy .~ r E z . C o m m e Xc// est fini, ce t t e derni6re 6 q u i v a l e n c e

en t r a lne : Hy ~ E z X .

D'o/1 il r6sul te que : H x et H v son t t ous d e u x

6qu iva l en t e s ~ E z l X , t and i s que H z est 6 q u i v a l e n t

.a d o n e udx/,7 . to ~ toc : On a alors e . et c u i n f i n i m e n t grands .

Si Z e s t i n f i n i m e n t g rand :

Y X

Z + X - - Yej_ M 2 - Y

- - i r - - j M'I(M - - r )

X ( M s - - Y ) - M s

- - j M s

Z done : ~ ~ j ( M s - - 1) '

t and i s que E z J E x ~ y / / J y . : on a b o u t i t a u x m6mes conc lus ions que pour P fini.

Si, pa r cont re , Z est fini, P X est f i n i ; done

l ' 6 q u a t i o n approch6e Z = P X § Q en t r a tne : ,~

( z - - Q) M s X

( M = - 1) ( Y - - M s)

- - 4 5 - -

16/32 M. CAMUS

TABLEAU III

[ANNALES DES TI~L~COMMUNICATIO1NS

Ondes associ6es /l : Z + X = Y : Hx et Hz >> Ex, Ey et Ez >> Hy

Ondes associ6es h : Z = P X + Q : P tint Ez et Ex >> Hx, Hy et Hz >> Ey

P n u l - - Z tint : co ~ toy : Ez >> Ex >> Hx et Hy >> Ey et Hz co # toe : Hx, Hy et Ez >> Ex, Ey et Hz

P infini - - X tint ca #6 4~-~ -~- to~c : Ex ~ Ez et Hz >> Ey, Hx et Hy

Q - - Z + M s d e s o r t e q u e : ~ ~ j ( M s - l ) res te tint, t an -

Ez g/: Y• dis que : -- est i n f i n imen t grand.

Ex Y~ + k s r

On a donc alors : E z >> E x et Ey .

Q u i n t au champ magn~t ique, il est tel que

H x et Hy sont de l ' o r d r e de E z, H z est de l ' o r d r e

de E x.

c) P in f in iment grand. ~ ( Y ~ 0 ou de 1 + M2):

On n ' e x a m i n e r a que le cas : Y ~ 1 + M s, soit .

CO ~ -2 i- t o C ,

z est inflniment grand, mats X peut 6tre tint ou infini.

Si X est i n f i n i m e n t g r a n d , m e m e s conc lus ions que

p o u r P tint.

St, p a r con t re , X est fini, on a t o u j o u r s ~ i n f i n i m e n t

g rand c o m m e Z, mats E z / E x = ' ~ / / / y j . est i n f i n imen t

p e t i t : o n a d o n c : E x >> E u >> E z, tand is que H x et

H u sont i n f i n i m e n t p e t i t s c o m m e Eu, et H z de l ' o rd r e

de E z. Ces diff6rents r6su l ta t s son t r6sum6s d i n s le

t a b l e a u III.

3. Comparaison avec l'approximation quasi- statique.

L ' a p p r o x i m a t i o n q u a s i - s t a t i q u e , va l ab l e pour des

ondes tr6s lentes , cons is te ~ 6crire la p r emie re

6 q u a t i o n de Maxwe l l : ro t E = 0, de sor te que l ' o n

p e u t poser E = - - g rad q). P o u r des ondes planes ,

v a r i a n t en : exp (jtot - - "~• - - ~,,,z), cela condu i t

l ' ~ q u a t i o n de d i spers ion :

( 2 4 ) �9 ~• + ~// y~! = 0

soi t , a v e c nos n o t a t i o n s : Z = P X .

D ' a u t r e pa r t ,

on a t o u j o u r s :

E y ~ 0 ,

Ez YII

E z Y,.

Y/I Hy = ]to r r ,

tandis que YII

- - Ey ,

H x ]to ~o

Y.L E .

H , - - jto Iz0

On en d6dui t que :

1. l ' a p p r o x i m a t i o n quas i s t a t i q u e ne fa i t pas a p p a r a i t r e les ondes des d e u x p remie re s fami l les p o u r

lesquel les X + Z = Y ;

2. p o u r les ondes des au t re s famil ies , elle es t v a l a b l e

sauf p o u r to ~ toc en p r o p a g a t i o n p r e sque para l l~ le

h B o et p o u r o) ~ r + r en p r o p a g a t i o n p r e sque ---->

p e r p e n d i c u l a i r e ~ B o. D i n s les d e u x cas, el le c o n d u i t

une 6qua t ion de d i spers ion approch6e d i n s l aque l le

m a n q u e le t e rme :

( Y - - 1 ) ( 2 + M s - Y) Q =

1 + M ~ - - Y

+ -

~/I 2 ~• -- 1

~j_ 1 - - ~11

qu i p e u t ne pas e t re n6gl igeable . De plus, elle c o n d u i t

/~ des o rdres de g r a n d e u r compar6s i nexac t s des

c o m p o s a n t e s de c h a m p .

Ces diff6rences se ron t c e r t a i n e m e n t sensibles q u a n d

on 6 tud i e r a la p r o p a g a t i o n d ' ondes guid6es.

Pot, r compl6 t e r les d ivers r e n s e i g n e m e n t s reeuei l l is

sur la sur face de d i spers ion et les concretiser, on a

f i na l emen t r6alis6 une m a q u e t t e de ce t t e su r face p o u r

une v a l e u r pa r t i cu l i~ re de M ( M = ~J2-) d i n s le demi -e space Y > 0 c o r r e s p o n d a n t h to rdel. Le module

o b t e n u est repr6sent6 f igure 15.

2. I ~ F L E X I O N D ' U N E O N D E P L A N E S U R U N P L A N C O N D U C T E U R

L I M I T A N T L E P L A S M A

On consid~re un p l a s m a h o m o g ~ n e sa t i s f a i san t les

hypo th6ses adopt6es d i n s le p a r a g r a p h e p rdcdden t , __>

plong6 d i n s une i n d u c t i o n m a g n 6 t i q u e u n i f o r m e B o

et o c c u p a n t un demi -e space l imi t6 p a r un p l a n par -

f a i t e m e n t conduc t eu r . On se p ropose d ' 6 t u d i e r la

r f f l ex ion sur ce p l a n d ' u n e onde p l ane h o m o g ~ n e

m o n o c h r o m a t i q u e d o n t le p l a n d ' i n c i d e n c e c o n t i e n t

la d i r ec t ion de l ' i n d u c t i o n B o . Cela r e v i e n t h c h e r c h e r les propr i6 t6s des ondes rff l fchies q u ' i l f a u t supe rpose r

h l ' o n d e i nc iden t e p o u r sa t i s fa i re les cond i t i ons a u x

l imi tes imposdes p a r le sys t6me, h savo i r :

- - h l ' inf ini , t o u t e s les g r a n d e u r s phys iques , eu

. - - 46

t . 24, n o' 1-2, 1969] L E S O N D E S P L A N E S

part iculier le champ 61ectrique, doivent ~tre finics ou nulles ;

- - h distance finie, sur le p lan de r6flexion suppos6 par fa i tcment conducteur, la composante tangentiel le de champ ~lectrique dolt ~tre nulle en tout point et

chaque ins tant .

Pour que cette derni~re condit ion soit satisfaite, il faut que les ondes r~fl6chies soient planes monochromatiques, de m~me pulsat ion que l 'onde incidente, et que leurs vectcurs d 'onde aient la m~me projection. sur le plan de r6flcxion.

D A N S L E S P L A S M A S 17/32 Pour cela, choisissons le syst6me d'axes de coor-

donn6es de la figure 15 dans lequel le p lan de r6flexion

est le p lan yoz, l ' i nduc t ion B o est parall61e h Oz et le p lasma occupe le dcmi-espace x > 0. Consid6rons alors une onde incidente de pulsat ion co dont le p lan de propagat ion est le p lan xoz et dont les constantes de propagat ion longitudinales et t ransversales sont respect ivement -,.// et y . . (~o, y// et . : . sont des grandeurs donn6es satisfaisant l '6quat ion de dispersion

(5)).

FIG. 16. - - Position de l'onde incidente par rapport au plan r~flecteur.

Fla. 15. - - Maquette de la surface de dispersion.

-.__>

2.1. Cas d'un plan conducteur parallble ~t Bo.

Commengons par examiner le cas, sensiblement plus

simple, 0~ le plan de r6flexion est lui-m6me parall$1e

h B o ,

Compte t enu de ce qui pr6c~de, les ondes r6fl~chies qu ' i l faut lui superposer ont le m~me plan de propa-

gation, et adme t t en t la m~mc pulsat ion co et la m~me constante de propagat ion longi tudinale •//. Or, on salt qu ' au couple (o~, y//) donn~, correspondent 4 fa-

milies d 'ondes planes dont les constantes de propagation transversales sont respect ivement 5= Y,1 et • T• (cf. w 1.2 et 1.4). L 'onde incidente appar t ien t h l 'unc de ces familles : c'est donc parmi lcs trois

autres qu ' i l faut chercher les ondes r~fl6chies. Pour cela, on va d 'abord r6soudre lc probl~me plus

g~!n~ral su ivant : p renan t une onde dans chacune des familles correspondant h u n couple (co, ~//) donn~, comment choisir ces 4 ondes pour que le champ 61ectro-

magn~tique r6sul tant de leur superposit ion satisfasse

les condit ions aux limites ? Soit E l , E 7, E~ et E 2 les ampli tudes de ces 4

ondcs. Les composantes Ey et E z du champ r~sul tant

sont @ales ~ :

Ey = (E 1 e - u • E1 ey_t_~x +

E + e -YJ-''x + E~ ef ~-'x) e j c ~ y//z ,

= - y . , x e Y*'x) +

(off ~l est d~fini par l '6quat ion 22). Les condit ions aux limites sur le plan de r6fiexion

(x = 0) se t raduisent par les relations :

I Ey(x= 0) = 0 soit : E I + E T § 2 4 7 1 6 3

(25) i Ez(x=~ = 0 soit :

~(E~ + - E ~ ) + ~(E~ + - E ~ ) = o .

Quant aux condit ions ~ t ' infini (x in f in iment grand

> 0), elles s e t raduisen t diff~remment selon que

47

18/32 Y~ et Y~2 sont r6cls, imaginaires ou trois cas sont h dis t inguer :

M. CAMUS [ANNALES DES TELI~COMMUNICATIONS

complexes ; condit ions aux limites impos6es par le syst6me, il faut superposer au moins trois ondes planes.

1. 7.LI et 7.1.2 r~e/s (Z 1 et Z~ < O) ou complexes (Z, et Z, complexes conjugu~s).

Supposons d 'abord Z~ et Z~ n6gatifs, done 7L1 et 7,~ r~els.

Si l 'on appelle 7.~1 et y,~ les racines positives de l '~quat ion de dispersion, on doit avoir E~- ---- E~ = 0

pour que les champs res tent finis fi l ' infini . Les 6qua-

tions (25) deviennent alors :

e ; + = 0,

E ; + : 0.

Ce syst~me n ' a d m e t de solution non nulle quc si

~1 = ~2 = ~' ce qui ent ra ine 7.~ = Y.~ : 7 ; mais alors, en tout point du plasma, on aura :

I = + = 0 ,

( E z = (E~ + E~) e lr176 ---- 0.

II n'y a done pas de solution possible pour un couple (r 7//) tel que Z~ et Z~ soient simultan6ment n6gatifs. On aboutirait aux mfimes conclusions pour Z 1 et Z 2 complexes conjugufis.

2. Une des grandeurs 7 ~ ou 7• est r~elle, l'autre ima~inaire pure (Z~ Z~ < 0).

Supposons par exemple que Z 1 > 0 > Z 2 e t q u e

7j.~ soit r~el positif. Pour que les champs res tent fn i s h l ' inflni , il faut que E2 = 0. Les trois autres ampli tudes satisfont alors le systbme :

+ E i - + 0 ,

L ( E ; - - E l - ) + ~ E~ = O,

qui admet toujours une solution (d6finie h une constante multiplieative pros) pour laquelle on peut 6erire :

E + E~ E~ +

Done h tou t couple (r 7//) tel que Z1Z~ < 0 correspond un syst~me de 3 ondes planes satisfaisant le probl6me pos6. Ce syst6me 6tant d6fini h une constante mult i - plicative pr6s, on peut se donner une de ces ondes : les deux autres seront alors parfa i tement d6termin6es.

3. Les deux grandeurs 7 ~ et 7.~ sont imugi- naires pures (Z l et Z~ > 0).

Darts ce eas, les condit ions aux limites h l ' inf ini sont toujours satisfaites et n ' in t roduisen t , par consequent , aucune relat ion suppl6mentaire entre les ampli-

tudes El+... E~ qui ne sont li~es que par les ~quations (25). Il y a done une infinit~i de solutions possibles correspondant h la superposit ion de 4 ondes ; chacune de ces solutions n 'es t d~finie qu'h une constante mult i- plicativc pr~s.

Dans t o u s l e s cas, on voit que pour satisfaire les

Application & la rdflexion d'une onde plane homog~ne progressive.

On peut m a i n t e n a n t r6soudre s implement le problbme part ieulier su ivant : supposons que l 'on excite dans le p lasma une onde plane homogbne progressive de pulsat ion r a r r ivant sur le p lan de r6flexion sous

un angle d ' incidenee 0. De quelle fa~on cette onde se

r6fl6ehit-elle sur le plan eondueteur ?

Puisque l 'on s ' impose la pulsat ion co et l 'angle 0, la constante de propagat ion Y de l 'onde ineidente est une des racines imaginaires de l '6quat ion de

dispersion D (co, 0, Y) = 0. Nous donner l 'onde incidente, cela signifie : choisir une de ees racines. Lorsque cela est fait , la constante de propagat ion longi tudinale 7// est fix6e. Au couple (r 7//) ainsi d6termin6 correspondent 4 eonstantes de propagat ion transversales ;

l 'une d'elles est celle de l 'onde ineidente : elle est

obl igatoirement imaginaire pure. On est donc ramen6 h F un des eas 2 ou 3 du problbme pr6e6dent.

Plus pr6eis6ment, supposons que la eomposante Ey de t 'onde inc iden te soit de la forme :

Ey = E~ exp ( j t o l - y,,z + 7.1x)

avee 7~1 = j ~,1, ~-1 r6el et positif ( l 'onde incidente vient vers le p lan x = 0).

Si 7.2 est r6el, on est ramen6 au eas 2.

Si Y.2 est imaginaire , on est ramen6 au cas 3, avec

la condit ion suppl~m entaire que seule l 'onde incidente se dirige vers le p lan de r6flexion.

Dans les 2 cas, il faut done ajouter h l 'onde incidente

2 ondes r6fl6chies :

E1 ~ exp ( j~ t - - 7//z - - 7.1x) avee 7~.~ r6el positif, E+exp(icot--y//z--7~j.x) ou Y~.2= ] ~.2 et ~• r6el > 0, les ampli tudes de ces deux ondes 6 tant pa r fa i t emen t d6termin6es h par t i r de l ' ampl i tude de l 'onde inc idente par les relations :

E + - 2 ~ E I [ ( ~ - - ~) �9

La premi6re onde r6fl6ehie, ayant Y,I pour constante de propagation transversale est plane, homog~ne et progressive ; son vecteur d'onde est sym6triqne de celui de l'onde incidente par rapport au plan de r6flexion. On peut l'appeler : onde rc}fl6chie normale (puisqu'elle suit la lot de r6flexion elassique : angle de r~flcxion = angle d'ineidence).

La deuxi~me onde r~fl6chie peu[ 6tre 6ga]ement plane homog6ne et progressive : elle fair alors un angle de r6flexion diff6rent de l'angle d'ineidenee (Fig. 17). Mats elle peut aussi 6ire progressive suivant Oz et 6vaneseente suivant Ox; son amplitude est alors maximale sur le plan de r6flexion et d6croR exponentiellement quand on s'61oigne de ee plan : c'est une onde de sur/ace.

A par t i r de lh, on peu[ 6v idemment compl6ter l '6tude de la r6flexion en r6solvant d ivers probl6mes.

- - 4 8 - -

19/32 t..~,'~6 n ~ 1-2. 19691 L E S 0 N D E S P L A N E S D A N S L E S P L A S M A S

FIG. 17. - - Position des ondes r6fl6chies par rapport au plan r~flecteur.

1) Trouver la loi de var ia t ion de l 'angle de r6flexion

de la deuxi~me onde r6fl6chie en fouct iou de l 'angle

d ' inc idence pour une fr6quence donn~e, ou au con-

t ra i re en fonct ion de la fr6quence pour une incidence

donn@. Ce probl6me ne pr6sente pas de difficult~s

si l 'on connaR la surface de dispersion.

2) Est- i l possible que l 'onde r~fl6chie normale dispa-

raisse, l 'onde incidente donnant seulement naissance

h la deuxi~me onde r~fl6chie ?

Pour cele que se produise, il faut que ~1 -~ ~2 = 0.

Tenan t compte des expressions de ~1 et ~2 (22),

cet te condi t ion entra lne :

M 2 x - - Y(1 + M 2 - Y ) ( X + 1 - - v) v/Z1 Z2 = Y(1 -~- ~[2 y)

Z~ et Z 2 (!tant solutions de l 'dquat ion de dispersion

(8), cet te relat ion ne peut elle-m6me 6tre satisfaite

que si X et Y sont solutions de l 'dquat ion :

( 2 6 ) X 2 ( . ~ / 2 - Y ) - 2 X Y ( 1 A- M 2 - Y) -~ y2

( 1 -[- M 2 - Y ) = 0 .

Dans le plan (X, Y), cet te 6quat ion est repr6sent6e

par une courbe h tou t point de laquelle correspondent

deux racines Z 1 et Z 2 satisfaisant la condi t ion ci-dessus,

donc deux angles d ' incidences 0x et 02, tels que :

tg20~ = Z I I X , et tg202 = Z 2 I X ,

pour lesquels il n ' y a pas d 'onde rdfl6chie normale

la pulsat ion co = o ) ~ / y .

On a t ra@, figure 18, la eourbe d '6qua t ion (26)

pour une eertaine valeur de M. On eonstate qu 'e l le

est situ~e dans les r6gions du plan (X, Y) off Z~Z 2 > O,

Z a et Z~ n '~ tan t respee t ivement positifs que si :

1 < Y < 1 + 3,I 2 .

I1 n ' y a done de solution au probl6me pos6 que si :

<

3) Est- i l possible que la deuxi6me onde r6fl@hie

disparaisse, l 'onde r6fldchie normale subsis tant seule ?

Cela ne peut se produire que si ~1 = 0, ou encore

Z X = 0, c 'est-h-dire : soit h l ' ineidence normale , soit

h l ' incidence rasante. On va examiner ma in t enan t en

d~tail ces deux cas tr~s int~ressants, en supposant

toujours bien entendu que le plan de rdflexion est __>

parall~le h l ' induct ion B 0 .

FIG. 18. - - Courbe d'6quation X 2 ( M 2 - - Y ) - - 2 XY(1 + M ~ - - Y) + Y~(1 + M ~ - Y) = 0, lieu des points pour lesquels

l'onde r6fl6chie normale disparaR.

2 . 2 . C a s p a r t i c u l i e r s d e l ' i n c i d e n c e n o r m a l e

e t d e l ' i n c i d e n c e r a s a n t e .

I. Incidence normale : [r~quences de coupure des ondes guid~es.

Dans ce cas, on doit avoir 7// : 0 et les ondes

r6fl~chies se p ropagent aussi perpendicula i rement au

plan de r6flexion. Or, on sait (w 1.3) qu '~ y// = 0

correspondent 2 familles d 'oudes planes, toutes

homog~nes, ayan t les propri~t6s suivantes :

- - h la premiere, appar t iennent des ondes TM __>

dont le champ magn~t ique est parall~le h B 0 et le

champ 6lectrique parall~le au plan xOg (Fig. 10 ) ;

leur ~quation de dispersion est, en coordonn6es r6duites

(21) (Z -~- 1 - Y)(1 + M 2 - Y ) - M 2 = 0 ;

- - h la seconde, appar t i ennen t des ondes T E M

dont le champ magn6t ique est parall~le h Og et le

champ ~lectrique parall~le h Oz (Fig. 10) ; leur ~qua-

t ion de dispersion est, en coordonn~es r~duites :

(20) Y = Z + 1.

E t a n t donn6 les or ientat ions des champs ~lectriques

dans les dcux cas, il est dvident que l 'on ne pourra

satisfaire les conditions aux limites sur le plan de

r~flexion qu 'en associant deux par deux les ondes

d 'une m6me famille. I1 en r~sulte qu 'une onde inci-

dente donn~e, qui appar t ien t obl iga to i rement h une

de ces families, ne donne naissance qu 'h une onde

r~fl~chie et celle-ci appar t ien t h la m6me famille.

a) Si le champ magndtique de l'onde incidente est

parall~le dt B o .

On a, en reprenant les notat ions du paragraphe

pr~!c6dent :

- - 4 9 - -

20/32

pour l 'onde incidente : l Ev= E exp(jo)t + %.x),

E z = O,

i E v = - - E exp(jtot - - y.x), pour l 'onde r6fl6chie : Ez= O,

doric, pour le champ dlectromagndtique r6sul tant :

i EY = 2 E sin(IYxXl) exp j ( t o t - ~:/2),

I E z = O.

Les plans x = cons tante sont des plans ~qui-

ampl i tude du r6gime d'oscil lations r6sultant . E n particulier, darts tous les plans tels que [~..Ix = qT:

(avec q entier > 0), on a : Eu = E z = 0, c'est-/~-dire que, si l 'on mat6rialise un tel plan par une surface parfa i tement conductrice, les condit ions aux limites y sont satisfaites.

On reconnai t lh le ph6nom~ne de propagat ion (, h la

eoupure ~> entre deux plans eondueteurs parall61es. Les fr6quenees eorrespondant h ee mode de propagat ion (fr6quenees de coupure) sont li6es h la dislmnce a s~parant ces deux plans par l '~quat ion : [y• = q= ;

comme ~.. est solution de (21), on voit qu ' i l y en a une double infinit6, qui sont les solutions de cette meme 6quat ion (21) darts laquelle on fait :

C2 ( q~ C ) 2 z - Y§ = a

Sous une autre forme, les pulsat ions de coupure se d~duisent de celles qne l 'on aurai t , en l 'absence de

plasma, par la relat ion [d~duite de (21)] :

t o , - to (2 4 + + + 4 + ~ q ( % + to~)= 0, (off r = T:ela est la qe pulsat ion de coupure darts le vide entre les deux plans), fiquation dont les solutions sont :

1 (27) to~ = ~ (2to~ + r + to~) •

2

__1 2

Ces solutions peuven t 6tre obtenues graphiquement h par t i r de la figure 10, qui repr6sente la courbe de dispersion (d 'dquat ion 21) des ondes se propageant

___> perpendicula i rement h B o .

b) Si le champ magndtique de l'onde incidente est per-

pendiculaire & B o .

On retrouve un ph6nombne identique, le champ 61ectromagn6tique r6sul tant 6tant tel que :

1 E~ = 0,

E z 2 E sin (7~.x) exp j to t ,

off ~ . est cette fois solution de l '6quat ion (20) :

Y = Z + 1. Darts la propagat ion entre deux plans parall61es dis tants de a, on obt ient doric une autre infinit6 de pulsat ions de coupnre, solutions de l'(!qua- t ion ci-dessus, darts laquelle :

Z = [ art c ] ~" a 6ap

M. CAMUS [ANNALES DES TELI~COMMUNICATIONS

Sous une autre forme, ces pulsat ions se d6duisent

% = q=c]a par la r e l a t i o n : to = \/to$ + ~ . l

de

2. Incidence rasante : fr~quences de rdsonance des ondes guid~es.

On se propose d '6tudier m a i n t e n a n t la r6flexion d 'une onde plane homogbne progressive de fr6quenee finie a r r ivan t sur le p lan gOz sous une incidence rasante, c'est-h-dire avec tg20 = Z / X ~ 0. A cette onde sont associ6es des valeurs de X et Z positives, telles que :

ou bien X est fini et Z in f in iment p e t i t ; ou bien Z e s t fini et X inf in iment grand.

Pla~ons-nous darts ce deuxi~me eas : on sait (d 'aprbs w 1.3) qu 'h un couple (Y fini, X inf in iment grand > 0)

correspondent 2 racines

6quivalentes h :

X

Z, et Z 2 respect ivement

( Y - - I O Y - - M2) +

I + M ~ - - Y

( Y - - 1 ) ( 2 + M 2 - Y)

l + M 2 y

Z 2 ~ - - X T Y.

La racine Z~ est inf in iment grande et < 0 : les ondes

lui correspondant ne sont pas homog~nes ; l ' onde incidente est doric obl igatoirement associ(!e h la racine

Z 1 et, de plus, on doit avoir Y voisin de 1 ou de M 2 pour que Z 1 soit rink On se t rouve alors darts le cas n o 2 du paragraphe 2.1 (ZIZ 2 < 0).

1. Frdquence voisine de la /rdquence de plasma.

Supposons d 'abord que l 'on ait Y y~ 1 et posons Y = 1 + e (e inf in iment petit). On a :

1 -- M ~ 1 + M ~ 1 -- M 2 Z, ~ X ~ M2 + e M ~ ~ X a M---- Y -

Comme Z, doit etre positif, il faut que : e(1 - - M 2) > O,

c'est-h-dire :

r > 0 pour 1 > M 2 soit r > top pour top > r e < 0 pour 1 < M 2 soit to < cop pour O)p < toc.

I1 - - M 2 D a n s l e s deux cas, ~1 ~-~ J X i / ' - - est imagi-

V naire et a un module inf in iment grand. L 'onde incideute et l 'onde rdfl~chie correspondant h Z 1 ou t doric une composante de champ ~lectrique E z pr6pond~rante et inf in iment grande par rappor t h la composante Ey (cf. w 1.5). A la limite, on peut d 'ai l leurs consid6rer

que leurs composantes Ey sont nulles puisque Ez+ et

E z- doivent rester finies. La deuxibme onde rdfl~chie a doric sa composante

Ev + nulle puisque Ey + -= - - ( E y + -~ Eyl). Comme ~2, ~quivalent h l /M , est fini, il en r~sulte que :

= + = 0 et de m e m e Ex t = 0 .

Ainsi, il ne reste qu 'une seule onde rdfl~chie, plane homogbne et progressive, qui se superpose h l 'onde incidente en dormant un r~gime d 'ondes s ta t ionnaires su ivant Ox. Les composantes de champ associ6es ces ondes s o n t :

- - 50 - -

t . 24 , n ~ 1-2, 1969]

- - p o u r l ' o n d e i nc iden t e :

E z = EaT exp(jCOt - - . ' r / / z + ~,• x),

E x I

E y = 0 et E x = 0 (pu i sque / x in-

f i n i m e n t pet i t ) .

jco b~o H y -- E z ~ exp(jCOt - - .(// z + . r . z x ) .

H z = t I z = O;

- - p o u r l ' o n d e r6fl~ehie :

;, + E z Iiz~ I

','_L1 Ez+l i exp(jCOt--,;// z - - T , ~ x ) , H y -- jCO bto 1

E x = E y = H x = H y = 0 ,

a v e c E z + -- E'~ ,

de sor te que le c h a m p r~su l t an t se rddu i t i~ :

L E S O N D E S P L A N E S

E z = E z ; sin (l ll x) j

H y ]r - Ez l s in ( ] ya.z I x) t exp(j o~t-- ~ / /z).

Les p lans x = c o n s t a n t e son t des p lans ~qui-

a m p l i t u d e . E n pa r t i cu l i e r , sur e e u x p o u r lesque ls

Iy.11x = q=, on a E y = E z = 0 ; on p e u t done les ma t~r i a l i s e r pa r des surfaces p a r f a i t e m e n t eonduc -

t r ices sans a l td rer les cond i t ions a u x l imi tes .

On t r o u v e ainsi la p r o p a g a t i o n d ' o n d e s guid~es

trbs lentes en t r e 2 p lans e o n d u c t e u r s paral lbles

l ' i n d u e t i o n B 0 . L ' ~ q u a t i o n de d i spers ion approch~e

de ees ondes est l ' ~ q u a t i o n (15) dans l aque l l e Y est

vois in (te 1 et Z = (qr:alc%~)2.

Elle p e a t s 'dcr i re sous une au t r e fo rme :

CO2(@ + ~ _ _ ~) (28) /3 ~ C e coq - - 2 % ( ~ - - ~)(~ _ _ ~ ) '

= - - O)~ E / ,

avec O~q = (qr~]a) e (qe p u l s a t i o n de coupure en pro-

p a g a t i o n sans p lasma) .

2. Frt!quc~lce voisbze de Ia /rdquence cyclotron.

Supposons m a i n t e n a n t que l ' on air Y ~ M 2 et

posons Y = M e -i- e ' (e' i n f i n i m e n t pe t i t ) , on a :

M ~ - - 1 Z 1 ~ X e' Me + 2 ( M 2 - 1 ) .

L a c o n d i t i o n Z z > 0 en t ra tne :

X E ' 312

+ 2 ( M ~ - 1) > O .

Soi t : si M 2 > 1 : X ~' > - - 2 M 2, c o n d i t i o n qu i

n ' i m p o s e pas de s igne h ~' ; on p e u t done avo i r o) > %

ou co < % lo r sque % > tOp ;

si M ~ < 1 : X ~ < - - 2 M ~ < 0 done ~' < 0,

c 'es t - 'a-dire : CO < % lo r sque coc < r176

D A N S LES PLASMAS 21/32 On p e u t vo i r a lors que ~i a encore un m o d u l e infi-

n i m e n t g rand (sauf peu t -~ t r e dans le eas p a r t i c u l i e r

X r + M ~ = 0) alors que ~ est r6el et fini (cf. w 1.5).

On a b o u t i t donc a u x m 6 m e s conc lus ions que dans le

cas prdc6dent , h savo i r : une seule onde r6fl6ehie qui

se superpose h l ' o n d e i nc iden t e p o u r d o n n e r darts le

p l a s m a un r~gime d ' ondes s t a t i o n n a i r e s a d m e t t a n t

les p lans x = c o n s t a n t e c o m m e p lans 6 q u i a m p l i t u d e s .

Les c h a m p s 6 l ec t romagn~ t iques se r6du i sen t encore

h leurs c o m p o s a n t e s E z et H y , E z 6 tan t nu l sur Per-

t a ins p lans 6 q u i a m p l i t u d e s : on p e u t ma td r i a l i s e r ces

p lans p a r des surfaces conduc t r i ce s sans r ien modi f ie r .

On r e t r o u v e ainsi la p r o p a g a t i o n d ' ondes guidSes

tr~s len tes en t r e 2 p lans c o n d u c t e u r s para l l~les h -->

B o au vo i s inage de la f r6quence cyc lo t ron . Si a est la

d i s t ance des d e u x plans , l ' ~ q u a t i o n de d i spe r s ion

approch~e de ces ondes est l ' ~ q u a t i o n (15) dans

l aque l l e Y est vo i s in de M = et Z = (q=cla%)=. El le s '6cr i t :

(29) ~C ~ = e.L 2 ( ~ - - co---~-~ , a v e c (oq = - - C. el~ a

3. A p p l i c a t i o n a u x ondes gu id&s .

L ' 6 t u d e de la r~f lexion d ' ondes p lanes h o m o g ~ n e s

sur un p l a n e o n d u e t e u r para l l~ le fi B o p e r m e t a insi

de p r6vo i r ce r t a ines propr i~t~s des ondes guid~es se -->

p r o p a g e a n t p a r a l l ~ l e m e n t h B o dans un p l a s m a l imi t~

pa r d e u x p lans e o n d u e t e u r s e u x - m ~ m e s para l l5 les

B o .

a) Le r~gime d 'osc i l l a t ions e x i s t a n t /~ l ' i n t~ r i eu r

d ' u n tel sys t~me r~sul te g6n~ra l emen t de la super -

pos i t ion de 4 ondes p lanes coupldes : on ne p e u t d o n c

pas avo i r d ' ondes p u r e m e n t T E ou p u r e m e n t TM,

e o m m e ee se ra i t le eas avee un d i6 lee t r ique i so t rope .

Ce ph6nom~ne , e x i s t a n t avee n ' i m p o r t e que l di61ee-

t r i q u e an i so t rope a y a n t une p e r m i t t i v i t 6 r de la

fo rme (1), se t r a d u i t p a r le fa i t que les 6 q u a t i o n s de

p r o p a g a t i o n , d6dui tes des 6qua t ions de Maxwel l , son t

d e u x 6qua t ions diff6rent ie l les eoupldes. Ce coup lage

d i spa raR c e p e n d a n t au vo i s inage des f r~quenees de c o u p u r e et de r6sonance .

b) I1 ex i s t e t ro is famil les de pu l sa t ions de coupu re ;

on les t r o u v e en 6 t u d i a n t la r6f lexion sous inc idence

n o r m a l e :

- - h la p r e m i e r e a p p a r t i e n n e n t des pu l s a t i ons qui

se d~duisen t des pu l sa t i ons coa de eoupure en I 'a!)senee

de p l a s m a pa r la r e l a t i o n : co = \/co~-~~o~ : ('lles sont ,

p a r eons6quen t , t o u t e s sup tMeures ~ COp 21 inddpen- -__>

d a n t e s de l ' i n d u e t i o n B 0 . Les ondes e o r r e s p o n d a n t e s

son t t r a n s v e r s e s m a g n 6 t i q u e s au vo i s inage de la

coupu re ;

- - a u x d e u x au t res a p p a r t i e n n e n t les pu l sa t i ons

d6dui tes de COq pa r la r e l a t ion (27) : les unes sont

t ou t e s sup~r ieures h CO~, les au t r e s compr i ses en t r e

% et ~ / @ + co~ , e e t t e p u l s a t i o n e o n s t i t u a n t p o u r

elles un p o i n t d ' a e e u m u l a t i o n ( % et co 2 son t les

- - 5 1 - -

22/32

pulsat ions de coupure des ondes planes dans le plasma,

donn6es par les relations (17"). Ces pulsat ions de coupure peuvent 6tre obtenues graphiquement h par t i r de la courbe de dispersion des ondes planes se

propageant perpendicula i rement h B 0 .

c) I1 existe deux pulsat ions de r6sonance, ~v et %, on les t rouve en 6 tudian t la r6flexion sous incidence rasante. Au voisinage de ces pulsat ions, les ondes

sont quasi transverses magn6t iques et leurs vitesses de phase et de groupe sont inf in iment petites (ondes

tr6s lentes) :

- - au voisinage de ~o v, ces ondes sont directes pour (% < % et inverses pour % < (%, leur 6quation

de dispersion approch6e est l '6quat ion (28) ; - - au voisinage de ,%, elles sont toujours directes

si % < ~v, mais peuven t ~tre directes ou inverses si % > o~ v. Leur 6quat ion de dispersion approch6e

est l '6quat ion (29). Les courbes de dispersion de ces ondes tr6s lentes-

trac6es dans le syst6me d'axes (X, Y) sont pra t ique 2

men t confondues avec les courbes : Z = (q~clao~v), au voisinage de ces r4sonances.

2 . 3 . P l a n r 6 f l e c t e u r n o n p a r a l l b l e ~t B o.

Ayan t 6tudi6 en d6tail la r6flexion sur un plan --+

conducteur parall61e h B0 , on pent m a i n t e n a n t examiner plus rap idement ce qui se passe lorsque le plan r6fleeteur a une posit ion relative diff6rente par rapport ~ l ' indue t ion magn4tique.

2.3. I . Plan r~flecteur perpendicula ire d B o.

Adoptons un syst6me d 'axes de coordonn6es dans lequel le plan r6flecteur est le plan xOy et l ' induc t ion

magn6t ique B o est parall61e h Oz. Les ondes incidente et r6fl6chies, de m~me pu lsa t ion o), admet ten t xOz comme plan de propagat ion et leurs constantes de propagat ion transversales yj. sont les m~mes. On va faire le m6me ra i sonnement que pr6c6demment h par t i r d ' un couple (co, y~) donn6 (c'est-h-dire Y et Z donn6s) auquel correspondent deux racines X 1 et X 2, c 'est-h-dire 4 constantes de propagat ion longitudinales :

• �9 i 4X'dc et 4 dc.

Si E +, E~-, E~ et E~ sont les ampli tudes de 4 oades correspondant chacune fi une de ces valeurs de ,;//, le

champ r6sul tant de la superposit ion de ces ondes est

tel que :

E v = ( (E~ e - - Y"~ = + E~- 0 Y / I ' z + E+ e- - Y//'~ z +

E~- e Y/7~ z) e J ~ t - - y . x

E x = [ 711 { E + e--'(ll~ z + E1 e Ylh z) +

+

Pour ce que champ satisfasse les condit ions aux limites sur le plan de rfflexion (z = 0), il faut que :

Ev(z = 0) = 0 soit E~ + E~- + E~ + E~- = 0,

~I . C A ~ U S [ANNALG~ DES Ti~LECOMMUN|GA'I'IO.NS

et :

Ez ( z = 0 ) = 0 soit ~I[E++E-~]+~2[E~+E-~] = O.

Ces conditions ne peuven t ~tre satisfaites que si

l 'on a E~ + E~ = 0, et E~ + E~ : 0. I1 en r6sulte qu ' une onde incidente ne donnera

cette fois naissance qu'A une onde r6fl6chie de m6mc na ture qu'elle et qui suivra la loi classique de la r6- fex ion (angle de r6flexion = angle d' incidence).

Cette conclusion permet de pr6voir que dans l '6 tude de la propagat ion d 'ondes guid6es, dans un plasma, entre deux plans conducteurs perpendicu-

laires ~ B 0, on doit t rouver deux modes de propagation ind@endants (ce qui n '6 ta i t pas le cas pour deux plans

conducteurs parall61es h B0). Ces modes ind6pendants ne sont d 'ail leurs pas pu remen t TE ou pu remen t TM :

il n ' en reste pas moins que cette impor tan te propri6t6 doit simplifier consid6rablement l '6 tude de la propagation des ondes guid6es dans un tel syst6me ; elle dolt se t raduire par le fait que les 6quations de pro-

pagat ion peuvent y 6tre d6compos6es en deux 6qua-

t ions ind6pendantes. Les pulsations de coupure de ces modes sont fournies

par l '6 tude de la r6flexion sous incidence normale et

peuven t 6tre d6termin6es graphiquement h par t i r de la courbe de dispersion des ondes planes se propageant

p arall61ement h B 0 . On peut voir sur la figure 9 qu ' i l y a trois familles

de pulsat ions de eoupure : - - l ' une correspond aux ondes ordinaires et eom-

prend une infinitd de pulsat ions toutes sup6rieures

(o i et donn6es par l '6quat ion :

(o 3 ~ = 0 (D -~- 6) c

(off COq = q=e/a ; q entier > O; a distance entre les

2 plans) ; - - les deux autres correspondent aux ondes extra-

ordinaires ; elles sont donn6es par l ' 6qua t ion :

O~ 2 t O - - r e

La premi6re comprend des pulsat ions toutes sup6- rieures ~ o 2, la seconde des pulsat ions comprises en t re 0 et co c , la pulsat ion cyclotron 6tant , pour elles, u n

point d 'accumula t ion . On t rouvera les pulsations de rdsonance de ees modes

en examinan t la r4flexion d 'ondes planes homog6nes incidence rasante, pour lesquelles Z e s t in f in iment

grand r6el et positif, et X fini positif. La re la t ion

approeh6e (15) exis tant alors entre X et Z mont re

que cette condit ion n ' e s t satisfaite que si Y est voisin de 0 ou de 1 + M 2 (pulsat ions voisines de 0 ou de

V/~v + co2c). Par un ra i sonnement ident ique ~ celui d6jh fait plus haut , on t rouvera i t les r6sultats su ivan ts .

Au voisinage de Y = O.

L'6quat ion de dispersion approch6e des ondes lentes en coordonn6es r6duites dans le syst6me d 'axes

- - 5 2 - -

t. 24. n ',s I-2, 1969]

(Y, Z) est l ' d q u a t i o n (15) dans laquel le Y est vois iu

de 0 et X = ( qr~ c ) ~ (/ t op

El le peu t encore s '6erire :

(to2 to~) (to., to~) ( 3 0 ) ~2C2 2, :=

= % to2(to~ + to~ _to',) ~i/ q~c

---- t o ~ - - , a v e c toq : E.a" (l

Au voisinage de Y = 1 + 31 "~.

La cond i t i on X > 0 pour Z i n f i n i m e n t g r and > 0 impose Y < 1 + M ~. L ' 6 q u a t i o n de d i spers ion appro- ch6e des ondes len tes est encore l ' 6 q u a t i o n (15), mais avec ce t te fois Y ~ 1 + M 2.

On p e u t l '6crire :

~// (31) ~2C2 ~ _ _ _ _ ( 6 ) 2 i1_ t o 2 ) .

Au vo is inage des a s y m p t o t e s c o r r e s p o n d a n t "h e e s

deux f r6quences de r6sonance , les courbes de d i spers ion

des ondes tr6s len tes p e u v e n t p r a t i q u e m e n t ~tre con-

fondues (dans le p l an Y, Z) avee les eourbes :

c 1 ' X = II est ~ no t e r que le c h a m p 61ee- a COp

t r o - m a g n ~ t i q u e de ces ondes tr6s len tes se r6dui t p r a t i q u e m e n t ~t la c o m p o s a n t e E z de c h a m p 61ec- t r i q u e dans la d i ree t ion de p ropaga t i on .

2.3. 2. Plan rgflecteur d'inclinaison quelconque ___>

par rapport d B o.

Les choses sont , cet te lois, s e n s i b l e m e n t p lus eompl iqu6es . P o u r e x a m i n e r ce qui se passe, p la$ons-

nous dans le sys t6me d ' axes de coordonn6es O x ' w ' de la figure 19 dans lequel le p l a n c o n d u c t e u r est le p l a n yOz', le p l a sma o c c u p a n t le demi-espace x ' < 0. Le p l a n x'Oz' est le p l a n de p r o p a g a t i o n de l ' onde inc iden te d o n t le vec t eu r d ' o n d e a pou r p ro jec t ions

71. sur Oz' et 7-r sur Ox'.

Fro. 19. - D6finition des angles ~ et 0 et des composantes 71. et 7t de 7.

Les ondes r6fl6chies, de m6me pu l sa t i on to que

l ' onde inc iden te , a d m e t t e n t ~ga lemen t x'Oz' c o m m e

p l a n de p r o p a g a t i o n et 7/. comme c o n s t a n t e de pro- p a g a t i o n s u i v a n t Oz'.

Au eouple (to, ,&) co r r e sponden t 6 v i d e m m e n t

4 cons t an t e s de p r o p a g a t i o n s u i v a n t Ox' , qui son t les

L F S O X D E S P L A N E S D A N S L E S I ' I , A S M A S 23/32 solu t ions de l ' 6 q u a t i o n de d i spers ion D(to, 7L , 7r ) = 0 d6du i t e de l ' 6 q u a t i o n (5) D(to, 7//, "G.) = 0 en rempla -

gan t 7// et 7 . pa r :

~71/ = 7/. cos ~ - 7r s in (p ,

i y • - - "5. sin ~p -t ",'r cos ? .

Cet te 6 q u a t i o n s '6cri t :

"i'~" [ z / , s i n 2 ~? + e • cos 2 ~] +

2 7 / . sin 9 cos ~p (e --- ~11) 7,~ +

l ] Y~" _ ~ (z// ~• +ell ~• sin 2 9 + ~ cos2 9 - -

~ c ~ ~) + "~(z / / + ~• +

2 y/ 7.rsiu ~ c o s ~ ,/. -1- ~ - - ~"• (32)

( m _ L - - c / / ) - - -

X

to2 j c 2 ~ t +74(~//c~ ~c~.sin2~)+

to2 ,,2 ____ [c (1 + c o s % ) + ; L C2 ~ / I .

to4 ( ~ - z~,) sin2~l + ~ - e (~//~ - - z~j)= 0.

Mais, alors que l ' 6qua t i on (5) D(to, 7//, 7• = 0 est biearr6e en y// et y . , il Wen est pas de m~me de la nouve l l e 6qua t ion ob tenue . I I e n r6sul te q u ' a u c u n e re la t ion s imple n ' ex i s t e a priori en t re les 4 rae ines "[7'

eo r r e spondan t A u n couple (to, 7i. ) donn6. On ne p e u t done pas d o n n e r de rbgle s imple de la r6flexion. E n

par t icu l ie r , on ne t r o u v e r a pas cet te fois d ' o n d e r6fl6chie no rma le tel le que l ' ang le de r~flexion soit 6gal h l ' ang le d ' i ne idenee : eela supposera i t que deux des racines de l ' 6 q u a t i o n (32) soient oppos6es, ce qu i

n ' e s t g~n6ra lement pas le cas.

Une simplif i ication a p p a r a i t c e p e n d a n t h l ' i nc idence

normale , pour laquel le l ' 6 q u a t i o n en 7r r e d e v i e n t bicarr6e et admet , par eons6quen t , des rac ines A= 7-rl

et • 7 r 2 2 A 2 oppos6es : eet te 6 q u a t i o n est l ' 6 q u a t i o n de d ispers ion des ondes p lanes se p r o p a g e a n t para l - 161ement h Ox', c 'es t -h-dire , en eoo rdonn@s r6dui tes , l ' 6 q u a t i o n (16) darts laquel le on fai t : 0 = n[2 + ~p (Fig. 19). L ' e x a m e n de la courbe de d ispers ion de ces ondes (Fig. 8) nous m o n t r e que : 2 ondes c o r r e s p o n d a n t /t A= 7 r l on t u n p l a n de po la r i sa t ion qui t o u r n e darts u n sens t a n d i s que 2 ondes e o r r e s p o n d a n t ~= 7r2 on t u n p l an de po la r i sa t ion qui t o u r n e darts le

sens inverse. De sorte que, pour sat isfaire les cond i t i ons aux l imi tes sur le p l a n de r6flexion, on ne peu t assoeier ces ondes que par couples c o r r e s p o n d a n t fi 2 rae ines ,& oppos6es : done une onde ine iden te ne d o n n e na i s sance q u ' h u n e onde r6fi6chie a y a n t mSme ampl i - t u d e el, en module , m~me c o n s t a n t e de p r o p a g a t i o n s u i v a n t Ox'. Ondes inc iden te et r~fl6chie se super-

posen t en d o n n a n t u n r~gime d 'ondes s t a t i o n n a i r e s

qui ne sera pas modif i6 si l ' on mat6r ia l i se pa r une

surface conduc t r i ce u n p l an ~ q u i a m p l i t u d e paral l~le

!a yOz' off E u et E z' sont nu ls : on t r o u v e a insi les f r~quences de coupure darts la p r o p a g a t i o n darts le

- - 5 3 - -

2 4 / 3 2

p la sma en t re deux plans paral le les inclines pa r r a p p o r t

h B 0 . Ces frdquences sont les solut ions de l ' equa t ion

(16) d a n s t a q u e l l e o n f a i t : ~ = ( q~: ~ ) ~ (q ent ier ,

a = d is tance en t re les 2 plans) ; elles peuven t etre obtenues g r aph iquemen t ~ pa r t i r de la courbe de dispers ion des ondes p lanes se p ropagean t dans une direct ion fa isant un angle : : [2 + ~ avec l ' induc t ion

B o. On peu t voi r qu ' i l y en a 4 familles ; chacune comprend une infini te de frequences de coupures dont la d i s t r ibu t ion a p p a r a l t sur le g raph ique de la figure 8.

Examinons m a i n t e n a n t comment on peu t in t rodui re la p r o p a g a t i o n d 'ondes t res lentes entre deux plans

parall~les inclines p a r r a p p o r t h B o . De tel les ondes cor respondent ~ la superpos i t ion d 'ondes p lanes tel les que ~,~. soit imagina i re pur/~ module inf in iment grand. Soit donc une onde inc idente de pu l sa t ion donnee, a y a n t une cons tan te de p r o p a g a t i o n ~ su ivan t 0z ' imag ina i re pure h module inf in iment grand. A cet te onde cor respondent des va leurs de y// et y~ (donc de X et Z) inf in iment grandes. Or, si X et Z sont inf iniment grands, on sai t qu ' i l s sont lids : s o i t pa r l '6qua t ion approchee (14) X + Z = Y h laquel le cor respondent des ondes 6vanescentes su ivan t Ox', /k ddcroissance inf in iment rap ide , soit pa r l '~quat ion approchee (15) : Z = P X + Q. On re t rouve ainsi des c i rconstances ident iques h celles du pa r ag rap he 2.2, qui conduisent aux memes conclusions, h savoir que l 'onde inc idente ne donne p r a t i q u e m e n t naissancs qu '~ une onde reflechie, et que ces deux ondes sont tou tes deux ~ associer h l ' equa t ion (15).

A p a r t i r de 1~, on peu t d6duire s implement l ' equa t ion de dispers ion approchee des ondes lentes : en effet, dans l ' equa t ion (15), rempla~ons :

"~/I c2 C2

X pa r r r ([3L cos ~ - - [3r sin 9) 2 ,

y2 C2 C2 ..L

et Z par o)~o o~ (~L sin 9 -k ~3r cos 9) 2.

El le devient alors :

(33) ~ ( P c0s29 - - s i n 2 9 ) - - 2 ~L ~T sin ~ cos ~(P + 1)

+ [32, (P sin29 - - C0S29) -~ Q = 0 �9

Consideree comme equa t ion en $T, cet te equa t ion a d m e t deux racines Sx et [3~ auxquel les cor respondent deux ondes :

exp - - i~ l z ' I exp - - j[32X' exp j ( r ~L Z').

/

Pour que la superpos i t ion de cos deux ondes donne un champ sa t i s fa i san t des condi t ions aux l imites ident iques sur deux p lans perpendicula i res /~ Ox' s t d i s tan ts de a, il fau t e v i d e m m e n t que : {~ ~ [~ ----- 2 qr:/u, re la t ion qui s ' exp r ime au moyen de la somme s s t du p rodu i t p des quant i t~s ~ et [32 sous la forms :

( ~ __ [3~)2 = 4 (q~/a) ~ -= s ~ - - 4 p, avec A = (qr:/a) 9".

M. CAMUS [ANP~ALES DES TELECOMMUNICATIONS

E t si l 'on expr ime s e t p au moyen des coefficients de l ' equa t ion en [3r ci-dessus, on ob t ien t f inalement l '~qua t ion de dispersion cherch~e :

(34) [32 = ( p sin~9 __ cos29) • [Q q- A (P sine9 - - cos29) ] /P .

Cette 6quat ion n ' es t va lab le que pour [3~. inf in iment g rand : on dolt donc avoir , soit P vois in de 0, soit P inf in iment grand.

1) P voisin de 0 enlra~ne : Y ~ 1 ou Y ~ M 2.

A c o s 4 9 si Y ~ 1, on a [3L 2 ~ . p ,

cos2~ (A cos29 - - Q) - - s i Y ~ 3 / / 2 , o n a [3~ ~ p

2) P in f in iment grand enlra~ne : Y , ~ 0 ou Y ~ 1 + M ~.

- - si Y ~ 0, on a {32 ~ A P sin~% - - si Y ~ l + M 2 , ona[32 ~ sin2~(Q -b A P sin29).

( L ' a p p r o x i m a t i o n quasi s t a t ique condui ra i t aux memes equat ions pour Y ~-- 0 ct Y ~ I seulement .)

Conclusion

On vol t qu 'a ins i la p r o p a g a t i o n d 'ondes lentes entre deux p l ans paral l~les inclinds pa r r a p p o r t h

B o peu t se faire au vois inage de 4 fr~queuces : la frdquence zdro, la fr~quence de p lasma , la frdquence

/ cyclo t ron e t l a fr~quence hyb r ide ~ /o~ -k o)c ~ �9 Les equat ions approch~es pr~c~dentes donnent des rense ignements sur la pos i t ion des courbes de dispersion de ces ondes au vois inage des 4 a sympto t e s horizon- ta les cor respondantes . Ces rcnseignements sont resu- mes f g u r e 20.

3 . B ~ F L E X I O N - ~ F R A C T I O N S U R U N D I O P T R E P L A N :

l a L A S M A - D I ~ L E C T B I O U E

On consid~re m a i n t e n a n t le sys t~me const i tu6 p a r un p l a sma et un di~lectr ique de cons tan te d ie lec t r ique K, occupant chacun un demi-espace de pa r t et d ' au t r e d ' u n p l an de s~para t ion . Le p lasma, qui sa t is fa i t tou jours les m~mes hypo theses , est plac~ dans une

induc t ion magn~t ique un i forme B o . On se propose d '~ tudier la r~flexion e t l a re f rac t ion sur ce p lan d 'une onde p lane monoc h roma t ique inc idente du c6te du p l a sma ou du c6t~ du di~lectr ique et don t le p l an de p r o p a g a t i o n est pe rpend icu la i re au p l an de s @ a r a t i o n

et cont ien t la d i rec t ion de B 0. Cela rev ien t h chercher les propr idtds des ondes r~flechies et rdfractees qu ' i l fau t superposer h l ' onde inc idente pour sat isfaire les condi t ions aux l imiles impos@s pa r le sys teme, fi savoir :

- - ~t l ' infini , tou tes les g randeur s phys iques doivent 6trs finies ou nulles ;

- - sur le p l an s~parant les 2 mi l ieux , les composan te s

5 4

t. 24_ . . . . . 1-2, 1969] L E S O N D E S P L A N E S D A N S Lts P L A S M A S 25/32

JJ A = (q , : /a )~

t~p.~ __I ~p

]

C j

FIG. 20. - - Propagation entre deux plans parall~les inclin6s'par rapport h B o. Position des branches de courbes de dispersion par rapport aux asymptotes.

tangentiel les des champs 61ectriques et magn6tiques

exis tant de par t et d 'au t re doivent se raccorder en tou t point et ~ chaque ins tant .

Pour que cette deuxibme condit ion soit satisfaite, il faut, l~ encore, que les ondes r~fl6chies et r~fract~es soient planes mouochromatiques , qu'elles aient m6me pulsa t ion que l 'onde incidente et qne leurs vecteurs d 'ondes aleut la m6me project ion sur lc plan de s6pa- ration.

3 . 1 . G 6 n 6 r a l i t 6 s . I n c i d e n c e s o u s u n a n g l e q u e l c o n q u e .

Examinons pour commencer le cas off le p lan de

sSparation est parall5le h l ' i nduc t ion magn~tique B o et choisissons alors le syst~me d'axes de coordonn6es de la figure 21 dans lequel le p lan de s~paration est

le p lan yOz, l ' induct iou B o est parall~le h Oz, le p lasma occupe le dcmi-espace sup~rieur (x > 0) et le di61ec- l r ique le demi-espace inf6rieur (x < 0).

D'aprbs ce qui pr6c~de, les ondes incidentes, r6f16-

chies et r6fract6es ont le m6me plan de propagat ion

(le plan xOz), la m6me pulsat ion r et la ln6me cons- t an te de propagat ion longi tudinale y//. Or, on sait qu '~ un couple (co, y//) donn~ correspondent :

/ ~ . . . . o / ~

~.r' // Di41ac~riq~a (K)

Fro. 21. - - Position de l'onde ineidente par rapport au dioptre plasma di61ectrique.

- - dans le p lasma : 4 familles d 'ondes planes, dont les constantes de propagat ion t ransversales sont respect ivement ~= Yj.z et y~e, solutions de l '~qua- t ion (5) ;

- - dans le di6lectrique : 4 familles d 'ondes planes 6galement si l 'on t i en t compte des diff6rentes polari-

- - 5 5 - -

2 6 / 3 2

sa t ions ; leurs c o n s t a n t e s de p r o p a g a t i o n t r a n s v e r s a l e s

~'a son t so lu t ions de l ' ~ q u a t i o n des ondes p lanes clans

le d i~ lec t r ique :

L ' o n d e ine iden te a p p a r t i e n t h l ' une de ces 8 fami l les :

c ' e s t p a r m i les au t re s qu ' i l f au t ehe rehe r les ondes

r6fl6ehies et rdfraet6es .

P o u r cela, e x a m i n o n s d ' a b o r d quel les r e l a t ions doi-

v e n t ex i s t e r en t r e les a m p l i t u d e s de 8 ondes , pr ises

ehaeune dans une des 8 fami l les ei-dessus, p o u r que

le c h a m p d l e e t r o m a g n 6 t i q u e r6 su l t an t de leur super-

pos i t ion sa t is fasse les cond i t i ons a u x l imi tes du

sys t6me. Les e o m p o s a n t e s Ey, E z, Hy et H z de ee

c h a m p r6su l t an t p e u v e n t s 'dcr i re :

dans le plasma :

E~- e u e J~t - - y//z,

E z = ~a [ ( E + e - u 1 7 7 - - E~- e Y• +

+

( E ; o -':a-zx + E f o Y l Z X ) / el ~ ~ y//z ; ~:..t.2 A

1 ["/'d.i ( E + e--7'x--E~ e Y~-'x) + Hz - - jo~ ~z o

"~'• (E2 ~ e - y ' z x - E ; e Y - ~ x ) ] e j~ - -y / / z ;

dans le diHeclrique :

E u = (Ey+ e - y a x + E u- e ydx) e l r 1 7 6

Ez = (Ez+ e--Vax + Ez_ oVdX) e | o~ t - -y / / z ,

H u = - - jo~ a~ ( E z + e - u 7a

E z - eYaX) eJCOt--y//z,

( E y + e - Y ~ x - - E y - e 7~x) e l~ Yd Hz -- j'-co

P-o

M. CAMUS [AnNA1,ES DES TIkI, I::I:OMMt:NIGATIONS

Les cond i t ions a u x l imi tes sur le p l an de s @ a r a t i o n

( x = 0) i m p o s e n t p a r c o n s f q u e n t les r e l a t ions s u i v a n t e s

+ Ey, + en t re les 8 a m p l i t u d e s E-~, E~, E~, E~, E u, E z et E~- des ondes c o m p o s a n t e s (*) :

eont inu i t6 de Ey : E+ 2 + lz'~ + E+2 + E~ =

E+ E;,

e o n t i n u i t 6 de E z : ~I(E+--E~) + ~2(E+--E)-~ = E+ + E;,

(35) eon t inu i t6 de +

( E + + E~)I = K (Ez+__ Ez) , u J Va

e o n t i n u i t 6 de H z : u (E~ + - - E~-) +

- - = v d - -

A c e s q u a t r e 6qua t ions , il f a u t a j o u t e r celles impos~es

p a r les cond i t ions h l ' in f in i qu i d 6 p e u d e n t de la n a t u r e

des cons t an t e s de p r o p a g a t i o n t r a n s v e r s a l e s et qui

son t r & u m 6 e s clans le t a b l e a u IV.

Ainsi , les 8 q u a n t i t & E + ... E z d o i v e n t sa t i s fa i re

f i n a l e m e n t 4, 5, 6, 7 ou 8 6 q u a t i o n s l in6aires s u i v a n t

les va l eu r s de ~ et ~-//.

- - D a n s le de rn i e r cas, on ne p o u r r a t r o u v e r de

so lu t ions non nul les que si co et ,;// s a t i s fon t une

r e l a t i o n e x p r i m a n t q u e l e s 8 6 q u a t i o n s s o n t c o m p a -

t i b l e s . Les ondes e o r r e s p o n d a n t h ces cas sont t o u t e s

h eonstantes de propagation transversales r~etles ou complexes. Si leur c o n s t a n t e de p r o p a g a t i o n long i tu -

d ina le 7// es t i m a g i n a i r e pure , leur supe rpos i t i on

donne une onde de surface d o n t nous 6 tud ie rons plus

lo in en ddtai l l ' ~ q u a t i o n de dispers ion.

- - Darts le eas off e x i s t e n t moins de 8 6 q u a t i o n s

en t r e les 8 a m p l i t u d e s , il semble q u ' i l y a i t ind6ter -

ru ina t ion . E n faR, il n ' e n est r ien, car l o r s q u ' o n s ' im-

(*) Remarque. - - Lorsque ces quatre conditions sont satis- fares, on peut v~rifier que, sur la surface de s~paration, il y a bien continuit6 de la composante normale de champ magn~tique, mais que la composante normale de champ ~lectrique est discontinue : il y a done apparition d'une charge de surface.

TABLEAU I V

Nature des constantes de propagation

Y J-1 et Y-z

Y.t., et Ya_~ imaginaires

Ya., imaginaire Ya.z r6el > 0, (Z,, Zz < 0)

Ya_, et Ya.2 r~els > 0 ou complexes conjugu6s

Z 1 et Z2 < 0 ou complexes conjugu6s

Conditions impos6es h l'infini pour

x > 0 x < 0 Td

+ o Yd r6el > 0 Ey =

u imaginaire

Yd r6el > 0

Yd imaginaire

Yd r6el > 0

Yd imaginaire

E ~ = 0

E T = 0

E~ = E 2 = 0

ET = E~- = 0

+ E z = 0 Ey =

"+ E z = 0 E y =

2

3

4

5

6

- - 5 6 - -

�9 2 ' i , n "s I -2 , l!lii!~}

pose un probl~me physique donn6 (par exemple, on se donne l 'onde incidente), on ajoute aux 6quations d6jh existantes des 6quations suppl6mentaires qui t raduisent les condit ions particuli~res dans Iesquelles on se place.

Application au cas d'une onde incidente plane, hornogdne et progressive.

LES O N D E S P L A N E S D A N S L I d S P L A S M A S 27/32 sont inhomog6nes ; pour d6terminer leurs ampli-

tudes, on t i endra eompte de ce que 7• et Y12 6tant complexes eonjugufs, ~1 et ~2 le sont aussi. On voit f inalement l ' int6r6t de connal t re en ehaque

point du plan (X, Y) les signes respeetifs de Z 1 et Zz. En effet, on peut en d6duire imm6dia tement la na tu re des ondes r6fract@s eorrespondant h une onde incidente donnde (X et Y donn6s).

1. L 'onde ineidente esl du edtd du didlectrique.

On suppose que la seule source d'6nergie 61eetro- magn6t ique dans le systbme est eelle qui engendre l 'onde plane ineidente, ce qui impose 2 condit ions

suppl6mentaires. En effet, si l 'on appelle Y.1 et YI~ les raeines de l '6quat ion de dispersion, dans le plasma,

telles que :

Yla > 0 (ou YI~ > O) si 7.1 (ou ";1~) est r6el, e'est- h-dire si Z~ < 0 (ou Zz < 0),

Jr11 < 0 (ou ]Y12 < O) si 711 (OU Y.L2) est imaginaire pur, c'est-h-dire si Z 1 > 0 (ou Zz > 0),

" ( / 1 = ~ ~- J ~ et y• = a - j ~3 avee ~ > 0 si Ya.e et YI~ sont complexes, e'est-h-dire si Z 1 et Z 1 sont complexes conjugu6s.

On vdrifie que l 'on doit avoir dans t o u s l e s cas E~- =

E~- = 0. Supposons, d ' au t re part , que l 'onde incidente soit

d6composable en une onde h polarisat ion horizontale d ' ampl i tude Ey + et une onde h polarisat ion vertieale d ' ampl i tude E +. I1 reste f inalement h d6terminer les

4 ampli tudes E +, E +, Ey et E z qui sont solutions du

syst~me :

~11 \Y.l_l ' + - - "[3.2

=

E -+- - - E z - -

Ya Ya _ _ _ E + Z '

Ce syst~me admet, en g~n~ral, une solution unique, e 'est-h-dire que l 'onde ineidente donne naissance h :

- - deux ondes r6fl6ehies dans le di61eetrique dont la somme est une onde plane homog~ne progressive en g6n6ral h polarisat ion elliptique, m~me si l 'onde ineidente est h polarisat ion ree t i l igne ; l 'angle de r6flexion est ~gal h l 'angle &inc idence ;

- - deux ondes r~fraet6es dans le plasma, dont la na tu re d~pend de la pulsat ion to et de la eonstante y// de l 'onde ineidente. Plus pr6eis~ment, si les raeines Z~ et Z~ eorrespondant h (~, y//) sont :

toutes 2 positives : les 2 ondes r6fraet~es sont homog~nes et progressives et se propagent dans

deux directions diff~rentes (saul si Z 1 = Z~), l ' une positive, l ' au t re n6gative : une onde r6-

fract6e est homog~ne et progressive, l ' au t re est (~ de surface ,~ (progressive su ivan t Oz, ~vaneseente

su ivan t Ox),

les 2 n6gatives : les 2 ondes r~fract~es sont de surface,

complexes conjugu6es : les 2 ondes r6fract6es

2. L 'onde incidenle est du e6t~ du plasma.

Un ra i sonnement ident ique mont re ra i t qu 'alors , en g6n6ral, l 'onde ineidente donne naissanee h :

- - deux ondes r~fraet6es dans le di61ectrique, dont la superposit ion peut 6tre une onde homog~ne progressive h polarisat ion elliptique, ou une onde de surface (progressive su ivant Oz et 6vanescente su ivant Ox),

- - deux ondes r6fl6ehies dans le plasma, dont l ' une est l'onde r~/l~ehie normale (onde plane homog~ne progressive avec angle de r6flexion = angle d ' ineidenee), l ' au t re pouvan t 6tre soit homog~ne progressive, soit de surface.

Les eonsid6rations pr6efdentes se simplif ient dans le cas d 'une incidence normale (y// = 0). En effet, on sait qu 'alors les ondes dans le p lasma se d6eompo- sent en :

- - d e s ondes TEM, d '6quat ion de dispersion :

2 C 2 Y~ = to~o--to~,avecE x = Ey = 0 e t H x = H = O,

- - des ondes d '6quat ion de dispersion :

y• ~ = t o ~ - to~-- o~2o + toe~__ to~ avec

E z = 0 et H x = H y = O.

Le syst~me d '6quat ions (36) se d6eompose alors en deux syst6mes ind6pendants :

- - au premier, correspondent des ondes TEM dans le p lasma et de di61eetrique, les seules composantes

de champ r6sul tant 6tant E z et Hy. - - au second, correspondent des ondes ayan t pour

seules eomposantes E ~ , Ey et H z.

Ces consid6rations, appliqu6es h la propagat ion (, h la eoupure , entre 2 plans condueteurs parall~les

h B o con tenan t un (~ sandwich , di61eetrique-plasma- di6lectrique (Fig. 22) conduisent h pr6voir que dans

/ J

D,~I,~,.~ _~q~o~!~,~,~,~

I;'Io. 22. - - Sch6ma de principe d'une ligne h ~( plans parall6les ,, contenant un plasma.

un tel syst6me, o n a u r a trois families de fr6quences de eoupure, la premi6re correspondant aux ondes

- - 5 7 - -

28/32

TEM ci-dessus, les deux autres h l ' au t re type d 'ondes. On pourra i t 6tudier, en ut i l i sant la m~me m6thode,

la r6flexion et la r6fraction sur un plan de s@ara t ion

inclin6 par rappor t ~ B o . On t rouvera i t des ph6uo-

m6nes de m6me na ture , compliquds toutefois dans le cas d ' une incl inaison quelconque, par le fait que dans le plasma, h une fr6quence donn6e, les 4 vecteurs d 'ondes ayan t m~me project ion sur le plan de s6pa- ra t ion n ' o n t entre eux aucune re la t ion simple.

3.2. Cas d'une incidence rasante. Fr6quences de r6sonance des ondes guid6es.

Reprenons, pour commencer , le mod6le de la figure

21 dans lequel le p lan de s~paration est parall~le h

l ' induc t ion B o , et 6tudions la r6flexion et la r6fraction d 'une onde plane homog~ne progressive ar r ivant , du

cSt~ du plasma, sous incidence rasante, en nous pla~ant dans le cas oh cette incidence est obtenue avec X inf in iment grand et Z fini (X et Z positifs). Comme on l 'a vu plus haut , cela ne pent se produire que si Y est voisin de 1 ou de M ~ (c'est-h-dire co ~ top ou to ~. toc)- Les 2 racines correspondant au couple (X, Y) sont

alors respect ivement 6quivalentes aux expressions (14) et (15). D ' au t re par t , la cons tante de propagat ion t ransversale ~0 dans le di~lectrique est r6elle et infi- n imen t grande, puisqu 'e l le satisfait la relat ion :

6)2 to~0

~ : - - ~ / - - K C~-- c ~ ( X - - ~)-

On est donc dans le cas (3) du tableau IV, de sorte quc E~ = Ey = E + = O.

Examinons ce que dev iennen t les relations entre le~ autres ampl i tudes en nous pla~ant successivement au voisinage de Y ----- 1, puis de Y = M ~.

1. Fr~quence vois ine de la [r~quence de p l a s m a .

Les expressions approch6es de 711 , ~ 1 , 7]2 et ~ ddduites de (6) m o n t r e n t que l 'on a alors (cf. w 1.5) :

- - pour l 'onde incidente et l 'onde r6fl6chie normale :

I E z >> Ez >> E v , H x et H v m E z / X , H x ~ E y ;

- - pour la deuxi~mc ondc r6fl@hie dans le p lasma :

E z, E z et E u du m~me ordre,

I H x et H z ~ , ~ E v,

i Ez Ez HV ~ - - ~ ~// ~ X ~/---~ ~ Ev ;

- - p o u r l 'onde r~fract6e dans le di61ectrique :

Ex H x e t H z ~ f f 'X Ey d 'une part , et Hv ~ , - - ~ ~-.

Ez ~/---~ d ' au t re part .

T e n a n t compte de ces ordres de grandeurs, on r~sout alors le syst~me d '~quat ions (35), ce qui conduit aux

conclusions suivantes : toutes les composantes de

M. CAMUS [AN1NALES DES TIs

champ associ6es aux diverses ondes sont nulles, h l ' except ion des composantes E z de l 'onde incidente et de l 'onde r6fl6chie normale qui ont m6me ampl i tude

et dont la somme s'annule sur la surface de s@aration. Le champ ~lectromagn6tique r&u l t an t a donc les

propri6t6s suivantes :

- - dans le di61ectrique, il est p ra t iquement nul, - - dans le plasma, onde incidente et onde r6fl6chie

se superposent pour donner un r6gime d 'ondes sta- t ionnaires su ivant Ox, dans lequel le champ magn& t ique cst nul et le champ 6lectrique cst parall~le h Oz. Les plans x = constante sont des plans 6quiampli tude

de ce r6gime d'oscillations ; en part iculier , sur ceux

pour lesquels 17• [ x = q= (q enticr positif), le champ 61ectriquc cst nul.

Le champ r~sul tant n 'es t donc pas perturb6 si l 'on modifie la topographic du syst6me du cSt~ du di~lectr ique, par exemple si on l imite le di61ectrique par un plan par fa i tement conducteur parall~le h yOz. I1 n 'es t pas non plus perturb6 si l 'on remplace par un di61ec- t r ique le p lasma situ6 au-dessus d ' u n plan d '6quat ion :

x = qql •

Ainsi, on peut pr6voir que dans une s t ructure semblable h celle de la figure 22, consti tu6e par deux

--> plans conducteurs parall61es h B o entre Icsquels se t rouve un sandwich : di~lectrique-plasma-di61ectrique,

des ondes tr~s lentes peuvcn t se propager parall61ement ---N

B o au voisinage de la fr6quence de plasma qui est une fr~quence de r6sonance. Les propri~t6s de ces ondes ne d6pendent p ra t iquemen t que du plasma et non du milieu qui l 'entoure. On obt iendra i t l '6quat ion de dispersion approch6e de ces ondes h par t i r de

l '~quat ion 15 dans laquelle on fait Z = <_~__~_~)2

(off q entier et a = @aisseur du plasma), ce qui exprime que le champ E r & u l t a n t est nul sur les

2 plans l imi tan t le plasma. On obt ient ainsi la m6me conclusion que si le plasma est d i rectement en contact avec les plans conducteurs.

2. Fr~quence voisine de la [r~quence cyclotron Les ordres de grandeurs des composantcs de champs

associ6s aux diverses ondes sont m a i n t e n a n t : (cf. w 1.5)

- - pour l 'onde incidente et l 'onde r6fl6chie normale :

E x et Ey du meme ordre ) E z ~ , ~ X - E v I Ez >> Ex et Ev,

H x et Hv ~ ~/X Ey ~ E z ,

H z ~ E y ;

- - pour la deuxi6me onde r6fl~chie darts le p lasma �9

Ex, Ey et E z du m6me ordre,

H x et H z ~ VX- Ev tandis que Hy ~ Ez/~/X- ,

- - d a n s le di~lectrique : H x et H z ~-~ ~ / X Ey d 'une par t ; U u ~ ed4- E=N - d 'au t re part . Ceci entraine, apr6s r&olu t ion du syst~me (35), que les seules composantes non nulles de champ sont :

- - 5 8 - -

t . 24, n ~ 1-2, 1969i

H y et E z associ6es h l 'onde incidente et l 'onde rdllg, chie

normale dans le p lasma ; E z associ6 h l 'onde r6fractde

dans le di~lectrique.

La continuit6 de Hy h la surface de s6parat ion

impose que l 'onde incidente et l 'onde rdfldchie aient

m~me ampli tude, la rdsultanle de leur champ magn~tique

dtant nulle sur la surface de s@aration. La supcrposit ion

de ces 2 ondes va donner dans le p lasma un r6gime

d 'ondes s ta t ionnaires suivant O.r, le champ 61ectro-

magn6t ique r6sul tant se r6duisant ~ H~ et E z.

On remarque cet te fois que le champ 61ectrique E z

n 'es t plus nul sur la surface de s6paration, non plus

que dans le di61ectrique Oil il d6croit cependant infi-

n imen t r i t e d6s que l 'on s'61oigne de cet te surface

(puisque ~,a inf in iment grand r6el).

Ces r6sultats pe rme t t en t de pr6voir que darts une

s t ructure semblable h celle de la figure 22, des ondes

tr6s lentes peuven t se propager parall61ement h B 0

au voisinage de la fr6quence cyclotron. Les propri6t6s

de ces ondes ne d@endent p ra t iquemen t clue du plasma

et non du milieu qui r en tou re ; l e u r 6quat ion de dis-

persion approch@ se ddduit de (15). Mais il faut cet tc

fois expr imer que le champ H y rdsultanl es[ t~ul sur les

2 plans l imi tan t le plasma, alors qu ' au voisinage de la

frdquence de plasma, c 'est le champ E z qu' i l faudrai t

annuler sur ces plans (c 'est 6galement E z qu ' i l faudrai t

annuler si le p lasma (~tait d i rec tement en contact

avec les plans conducteurs).

Des ra isonnements tout h fait identiques peuven t

~tre faits lorsque le plan de s@ara t ion est perpendi-

culaire h B 0 . Ils conduisent aux r6sultats suivants

lorsque la fr6quence est voisine de la fr6quence hybr ide

~/[~2 ~ /c 2 (*) : l 'onde h incidence rasante donne nais-

sance h une seule onde r~fl~chie dans le plasma, qui

est l 'onde r~fi6chie normale ; ces 2 ondes ont m6me

ampl i tude et se superposent pour donner un r~gime

d 'ondes s ta t ionnaires clans la direct ion de B 0, c 'est-

Z-dire perpendicula i rement au plan de s6parat ion.

Darts ce r6gime, subsistent seules une composan te de

champ ~lectrique parall~le h la direct ion de propaga-

t ion de l 'onde incidente et une composante de champ

magn~t ique qui est perpendiculaire h ce t te direct ion

et qui s 'annule sur le plan de s6paration. Dans le di61ectrique, le champ 61ectrique se r6duit h sa compo-

sante parall~le h la direction de propagat ion dont

l ' ampl i tude ddcro~t inf iniment r i t e quand on s'~loigne

du plan de s6paration.

En appl iquant ces rdsultats h la propagat ion dans

un syst6me semblable h celui de la figure 22, mais

dans lequel B 0 serait perpendiculaire aux plans

conducteurs , on about i ra i t aux conclusions suivantes :

des ondes tr6s lentes peuven t se propager dans ce

syst~me au voisinage de la fr~quence hybr ide qui est

une fr~quence de r~sonance, lenrs propridt6s d6pen-

(*) Remarque. - On n'examine pas le ('as de fr6quences voisines de z6ro qui est de moindre int6r~t, en particulier parce qu'alors les hypoth6ses adopt6es pour le plasma ne sont certainement plus valables.

L E S O N D E S P L A N E S D A N S L E S P L A S M A S 29/32 dant cssentiel lement du p lasma et p r a t i quem en t pas

du milieu qui l ' en toure ; leur 6quat ion de dispersion

s 'obt ient h par t i r de (15) en ~crivant que le champ

61ectrique r~sultant est nul sur le bord du plasma.

L 'd tude de la rdflexion et de la rdfraetion sur un

plan de s6paral ion faisant un angle quelconque avec

B 0 conduirai t v ra i semblab lement h des r6sultats de

m6me nature et mont re ra i t clue des ondes tr6s lentes

peuven t encore se propager dans un syst6me semblable

h eelui de la figure 22, pour une inclinaison queleonque

de B o , au voisinage des fr6quences fv, fc et ~ / ~ § [c ~

Les propri6tds de ces ondes d@enden t essent iel lement

des caractdrist iques de la lame de plasma et tr6s peu

du milieu qui l 'entoure.

3 .3 . L ' o n d e de s u r f a c e .

Nous allons revenir h l '6tude de la r6flexion et de la

r6fraction sur un plan de sdparation parall61e h B o

(Fig. 21) pour un couple (~o, ~(//) tel que : d 'une part ,

la constante de propaga t ion t ransversalc dans le

di61ectrique soit r(!elle, ce qui suppose : 0) 2

~C2 + K - C ~ < 0 (soit X > K Y ) ' , d 'au t re part , les

constantes t ransversales :~j.t ct ::jz dans le plasma

soient r6elles (Z~ et Z2 r6els < 0) ou complexes 'Z 1 et Z2

complexes conjugu6s). On a vii que, dans ce cas, il

existe 8 6quations lin6aires et homog~nes rel iant les

ampli tudes de 8 champs pris chacun dans une des

families d 'ondes associ6es au couple (r V/l) de fagon

�9 h satisfaire les conditions aux limites. Ces 8 6quations

ne sont compat ibles que si une condit ion est satisfaite,

qui s ' expr ime au moyen d 'une relat ion entre r et 7//-

Nous allons explici ter cet te relat ion, qui est l '6quat ion

de dispersion d 'une (~ onde de surface ,), caractdris6e

par le fait que l ' ampl i tude du champ ~lectromagn6-

t ique associ6 est maximale sur la surface de s@ara t ion

et d~cro~t quand on s'61oigne de par t et d ' au t re de cet te surface.

Equat ion de dispersion de l' onde de surface pour un p lan

de sdparation parall~le ~ B o .

Supposons remplies les conditions ci-dessus

( X > K Y ; Z 1 et Z 2 r6els < 0 ou complexes conjugu6s) et adoptons les convent ions suivantes : on appelle Ya

la constante de propagat ion t ransversale r6elle posi t ive

dans le di~lectrique et Y1 et ~'2 les constantes t ransversales dans le plasma telles que :

~'1 et V2 positifs si Z 1 et Z 2 r@ls < 0,

~,1 = ~ § J[~ et ~'2 = ~ - - j~ avec ~ > 0 si Z 1 et Z 2 complexes conjug@s.

Dans ces conditions, les ampl i tudes E~-, E~, E +

et E + sont nutles puisque les champs doivent 6tre fn i s

h l ' infini. Les 4 autres ampl i tudes sont li6es par les

6quations :

5 9 - -

30/32

+ = E ; ,

'! i) , , Y2 Ya

,:lZ + + + -

6quations qui ne sont ~videmment compatibles que si le d6 te rminant du syst6me est nul, ce qui s '6crit :

":1 721 -~- ":d ~'2 ":2 -~- Yd

soit encore :

,:2 + y2/ ~_ keE.t. KY1 ~- E// Yd (37) =

y2 _~_ k2 ~// Y1 -~- Yd

v~ + v~/ + k er177 Kve + % v~ y2 ~_ k 2 2 r y~ -k Ya

Cette 6quation, dans laquelle ~h, Y2 et 7d peuven t ~tre exprim6s en fonct ion de co et y// est l '6quat ion de dispersion de l 'onde de surface.

Elle ne peut admet t re de solution y// que pour des fr6quences inf6rieures h la fr6quence de plasma : cela est 6vident si Z 1 et Z e sont complexes conjugu6s, car

la (~ zone imaginaire pour Z ~) est en dessous de la droite d 'ordonn~e Y = 1 (co = COp) pour X > 0. Si Z 1 et Z~ sont r6els, et 6) > toy, on peut mont re r que ~ et ~e sont de signes contraires, de m6me que les deux membres de l '~quat ion de dispersion qui ne

peut alors admet t re de solution.

Donc l 'onde de surface ne peut exister qu'/~ une fr6quence inf6rieure h la fr~quenee de plasma et sa courbe de dispersion trac6e dans le syst~me d'axes de coordonn6es r6duites (X, Y) est dans une r~gion

telle que X > K Y ; Y < 1 ; Z~ et Z e < 0 ou Z~ et

Z e complexes conjugu6s.

Cherehons si cette eourbe admet une asympto te horizontale. L ' examen de la figure 12 nous mont re

que ceci n ' es t possible que si 31 < 1, e 'est-h-dire

pour co c < ~op.

Si une asympto te horizontale existe, on doit avoir h son voisinage : X inf in iment grand positif et Y fini (avec de plus 1 > Y > Me), donc Z~ et Z e r~els et donn6s par les expressions approch~es (14) et (15). De sorte que les 2 membres de l '6quat ion de dispersion sont respect ivement 6quivalents h :

Me I Y - - 1 1 er membre : 2 (Y - - 1) y 4-

K ~ / / : ( 1 - - Y ) ( Y - - M e ) ] / I +" Y(1 § M e- Y) ~ ~ J ;

2 e membre : 2 X Y + K 2.

Le deuxi~me membre est inf in iment pet i t : il ne peut done y avoir de solution que si le premier membre est lui-m6me inf in iment peti t , ce qui entra ine :

1 - - Y / ( 1 - - Y ) ( Y - - M * ) - - K ~k Y(1 ~- M e Y) y y / / __

M. CAMUS

soit :

(38)

ou encore :

]ANN,",I,ES lIES TI~LI:N:(CM31UNICA]IONS

~/~// Ca. ~ K,

(38') Ye(Ke--1) ~- Y(2 A- M e - - K e M e ) - - ( 1 ~- M e) = 0.

Cette ~quation du second degrd en Y admet une racine comprise entre 1 et M e, qui est l 'ordonn@ de

l ' a sympto te horizontale cherch6e et qui s'6crit :

1 (38") Y = 2 (K e - - 1) [K2~!2 - - (2 -? .l~l e) -~-

V [ Ke~/Ie - - (2 -f- ;~/e)] ,~ 4 (1 ~- 31e) (K 2 - - 1)].

La pulsat ion correspondante, qui est la pulsation de rdsonance de l'onde de surface, a pour valeur :

i 1 [Ke6)~c__(2~o + ~o2c) + (39) co = 2(K e - l )

~:/[K2(o2c--(2co~o +COec)] e ~- 4((0~ + c%~)(Ke--i)6)~ 1I 1 2,

soit, si le di~lectrique est le v ide (K = 1) :

= + co /2

On peut mont re r qu ' au voisinage de la pulsa t ion de rdsonance, l '6quat ion de dispersion (37) de l 'onde de surface peut se met t re sous la forme approchc!e sui- van te lorsque le di61ectrique est le vide :

(40) ~eCe--

"1

co~ - - 3 ~c2J.

On a tracfi, figure 23, un exemple de courbe de dispersion d 'une onde de surface pour une certaine valeur (inf6rieure h 1) du rapport M = ~c](op. Sur eette m6me figure, on a @alement traed une part ie de la courbe d '~quat ion (40) pour mont re r le domaine de validit6 de cette 6quat ion approeh6e.

I1 eonvient de remarquer que l 'onde de surface existe 6galement en l 'absence d ' indue t ion magn6t ique

FIG. 23. - - Courbe de dispersion de l'onde de surface et courbe approch6e.

- - 6 0 - -

I. 24, n ~ 1-2, 1969j L E S O N D E S P L A N E S

B o. Son ~quation de dispersion s'~erit alors plus

s implement :

~// K o ~ - - o~o - - + ~ O, avec ,2 _~ 7~ / + c ~ O.

Sa courbe de dispersion admet l ' a sympto fe horizontalc

d 'ordonn~e ~.A/1 + K. Plus g~n6ralement, on peut

mont re r qu 'une onde de surface peut se propager lc

long d 'un plan de s6paration entre deux di~leetriques

isotropes de constantes di~lectriques K 1 et K s

condit ion que ees eonstantes soient de signes opposes.

L ' a s y m p t o t e que l 'on a t rouv6e ci-dessus correspond

K 1 ~ - - K~. Ainsi, une onde de surface pourra i t

se propager le long d 'un plan s~parant deux plasmas

homog~nes et isotropes de pulsat ions de p lasma

ca)p1 et (op2 , a des fr~quences comprises entre o)vl et o)p2

(pour que e//1 et she soient de signes contra i res) ; la courbe de dispersion de ces ondes tendra i t vers

l ' a sympto t e horizontale d6finic par la relat ion :

r - - - r

La fr6quence de r~sonance eorrespondante a u r a r

/,o 1 + (*) pour valeur: co s :

2

Propridtds des champs dlectromagn~liques associds i~ l'onde de sur[aee.

Comme Ya est r6el positif, l ' amp l i t ude du champ

d6eroit dans le di61eetrique (plae6 du e6t~ x < 0)

suivant la loi exponentiel le : exp Tax. Cette d~crois-

sanee est d ' au t an t plus rapide que 7a est plus grand,

e 'est-h-dire que l 'on se rapproehe de la fr~quenee de

r6sonanee de l 'onde de surface.

Dans le plasma, on about i t aux m~mes conclusions

pour les deux ondes planes composantes lorsque Z 1

et Z 2 sont r6els n6gatifs. Si Z 1 et Z~ sont complexes

conjugu6s, " h e t ,,,~ le sont aussi, ainsi que ~1 et ~ . I1 en r~sulte que :

E+ _ "(a + ",'t _ - - Ya @ 71 _ e'4+, E+ Yd + V~ Va -[- Y~+

si l 'on pose ~ = arg(7 a -~ 71).

La composante Ey de champ 61ectrique dans le plasma

s'6crit done :

= E + [e -j~x - - e ][~x+2j~] exp(jo~l - - y//z) e x p ( - - ~x);

soit : EV = C sin(~x + ~)e - ~ e <j+t-'':'').

(*) Bemarque. - - On sait que l'on peut essayer d'~tudier la propagation le long d'une lame de plasma inhomog~ne transversalement en d6eoupant eette lame en feuillets, d'6pais- seur tr~s petite, ehaque feuillet contenant un plasma homo- g~ne. Les considerations ci-dessus am~nent h penser que dans un tel module, on dolt trouver des ondes de surface se propageant le long des plans s6parant deux feuillets voisins, le nombre de ces ondes augmentaut ind6finiment lorsque l'on augmente ind6finiment le nombre de feuillets tout en dimi- nuant leur 6paisseur. Le passage h la limite, pour retrouver .~ partir d'un tel module, le plasma inhomog~ne, souli, ve done quelques difficult~s.

D A N S L E S P L A S M A S 31/32 (les aut res eomposantes de champ auraient la m~me

forme). Ainsi, le champ 61ectromagn6tique dans le

plasma appara i t sous la forme d 'une oscillation sta-

t ionnaire su ivant la normale au plan de sgparation,

l ' ampl i tude de ce t te oscillation d@roissant quand on

s'~loigne de ce plan.

Application d la propagaliol~ d'ondes guid~es.

Pour des points de la eourbe de dispersion voisine

de l ' a sympto te , l ' ampl i tude du champ 61ectromagn~-

t ique assoei6 h l 'onde de surface d6crolt inf in iment

r i t e de par t et d ' au t re du plan de s6paration. Ce champ

ne sera done p ra t i quemen t pas affect6 par ce qui se

t rouve h quelque distance de ce plan, aussi bien du

c6t6 du p lasma que du c6t6 du di61ectrique.

On en d6duit que, dans la propagat ion d 'ondes

guid6es dans un systbme semblable h celui de la

figure 22, des ondes de surface doivent ce r t a inemen t

exister sur les surfaces de s6parat ion plasma-di61ec-

tr ique. Leur courbe de dispersion admet une a s y m p t o t e

horizontale dont l 'ordonn6e ne d6pend que des carac-

t6rist iques du plasma et du di61ectrique et non des

dimensions g6om6triques du systbme : elle est donn6e

par l 'expression (38) ei-dessus. Au voisinage de cet te

asympto te , leur 6quat ion de dispersion peut 6tre

remplac6e, avee une bonne approximat ion , par l '6qua-

t ion (37).

Ces conclusions res tent vraies mdme si la lame de" plasma n'esl pas homog~ne transversalemenl : ce qu ' i l

faut prendre en compte h ce moment- lh , c 'es t la fr6-

quence de plasma sur le bord de la lame, c 'est-h-dire

l ' endroi t off le p lasma est en contact avee le di61ee-

trique.

Cas d'un plan de sdparalion non parall~le d B o .

Dans le cas d 'un plan de s~parat ion perpendicula i re

B0 , un ra i sonnement ident ique peut ~tre fail , qui

permet d ' in t rodui re une onde de surface dont l '~qua-

t ion de dispersion s '~crit eet te fois :

s// 7 1 7 a - K(Y~L + ks s/l) (~,~ + 7~ + k~ ~.) "(1 - ]- "~'a

s,'/ ~ ' ~ - K(~ ~, + k2 s//)

V2 + 7a

Dans cet te ~quation, Yx est la eonstante de pro-

pagat ion t ransversa le (parall~le au plan de s~paration),

Yo est la constante de propagat ion longi tudinale dans

le di~lectrique, ~'1 et 72 sont les constantes de propa-

gat ion longi tudinales dans le plasma.

Cette onde n 'ex is te que si Ya est r~el (Z > K Y ) et

71 et 72 r6els ou complexes (X 1 et X 2 r@ls n6gatifs

ou complexes conjugu6s). Sa courbe de dispersion,

trac~e cet te fois dans le syst~me d 'axes de coordonn6es

r6duites (Y, Z) est en dessous de la droite d 'ordonn~e

Y = 1(co = top) et t end encore, pour M ~ < 1(o% < ~op)

vers une a sympto te hor izontale dont l'ordonnde a la mdme valeur que ci-dessus : 6quat ion (38). Les pro-

pri6t6s de l 'onde de surface sont qua l i t a t ive ineu t les

m6mes que dans le cas d 'un plan de s6parat ion paral-

6 1 - -

32/32

161e ~ B o . On en tire les m6mes conclusions quant ~ la propagat ion d 'ondes guid6es.

Enfin, il est vraisemblable que dans le cas d ' u n plan

de s6paration oblique par rappor t ~ B o , on obt iendra i t 6galement une onde de surface dont on n ' a pas explicit6

l '6quat ion de dispersion (elle est cette fois plus compliqu6e). On a s implement montr6 que, si une telle onde cxiste, elle admet une [r~quence de rdsonance qui

est la mdme que lorsque le plan de sdparation est paralldle

ou perpendiculaire it B o .

Pour terminer , il eonvient d ' insis ter sur le f a r que l 'onde de surface est li6e h une diseontinuit6 entre le plasma et le milieu qui le l imite : elle n 'exis te quc pour au t an t que cette diseon':inuit6 existe.

M. CAMUS [ANNALES DES TI~Ls

lement leur comportement au voisinage de leurs

fr~quences de coupure et de r~sonance. Nous avons montr6, sur quelques exemples simples,

comment on peut effectivement util iscr la surface de dispersion : los r6sultats que nous avons ainsi obtenus ont une port@ g6n6rale et peuvent ~tre 6tendus h des syst6mes de g~omdtrie plus compliqude.

Ce qui semble impor tant , h t ravers ces exemples, c'est d 'apprendre h reconnaRrc tous les renseignemcnts que cont ient la surface de dispersion et ~ bien lcs utiliser. C'est h cela que nous nous sommes essenticl-

lement at taches dans cet article.

Manuscrit recu le 20 ddcembre 1968.

BIBLIOGRAPH IE

C O N C L U S I O N

La connaissance de la surface de dispersion des ondes ~lectromagn~tiques planes monochromat iques

se propageant dans un plasma froid anisotrope est un outil int~ressant dont l 'u t i l i sa t ion permet de r~soudre de nombreux probl~mes de propagation. Elle permet en particulier de pr6voir et de mieux comprendre certaines propri~t6s des guides h plasma, principa-

[1] ALLIS (W. P.), BUCHSBAUM (S. J.), BEas (A.). Waves in anisotropic plasmas (Ondes dans les plasmas aniso- tropes). M.I.T., Press (1963).

[2] BEvc (V.), EVERHART (T. E.). Fast wave propagation in plasma filled waveguides (Propagation d'ondes rapides dans les guides ~t plasma). J. of Electron. and Control, G. B. Vol. XIII , n ~ 3 (sept. 1962), pp. 185-212.

[3] BEvc (V.). Behavior of separation constants for finite gyromagnetic plasmas (Propri~tds de s@aration des constantes dans un plasma gyromagn6tique de dimensions finies). I.E.E.E. Trans., AP, U. S. A., 13, n ~ 6 (nov. 1965), pp. 918-926.

COMPTES R E N D U S DE L I V R E S

D u r 6 e de v i e , f i a b i l i t 6 ,

d i s p o n i b i l i t 6 d e s m a t 6 r i e l s *

de B. LANGLOIS-BEBTHELOT

Ce petit ouvrage, clair, d 'un abord facile dans une prdsentation adrde, a pour but essentiel de prdsenter le concept de fiabilitd et surtout d'en donner une notion prdcise et ddtaillde.

Cependant, l'exposd des diverses lois bien connues en statistique et des formules classiques (distribution de Pearson, de Student, etc.) ne ndcessite gu6re pour le lecteur qu'un niveau moyen en mathdmatiques.

Ce livre se divise en deux grandes parties : - -Not ions gdndrales communes : L'auteur donne de

nombreuses ddfinitions sur la statistique, les lois de distribution, la ddfaillance et la fiabilitd d 'un matdriel, les associations de composants, la disponibilitd et la mainte-

nance, et il se penche sur les divers probl6mes en les expliquant et en les ddtaillant de fa~on tr6s pragmatique.

--Quelques particularitds de diverses applications : L'auteur se place ici dans les domaines de la technique et de l'industrie, qu'il connalt bien : rdseaux d'dnergie 61ec- trique H T ; syst6mes dlectromdcaniques, ~lectroniques et mdcaniques ; petits materiels divers de la vie courante. I1 est principalement question de l'aspect qualitatif dans cette partie assez r6duite.

L'impression se ddgageant de ce livre tr6s clair est que l 'auteur cherche - - et rdussit pleinement - - h nous sensi- biliser ~t l'idde fondamentale de la fiabilitd et de ses pro- bl6mes. Ce livre, abordant la fiabilit6 sous les deux aspects qualitatif et quantitatif, fair acqudrir au lecteur - - quelle que soit sa formation - - l 'dtat d'esprit des calculs de fiabilit6 e t a le grand mdrite d'apporter ~ chacun lapossi- bilitd d'adapter la notion de fiabilitd au cas qui lui est soumis.

C. KACZMARECK.

* Ed. Dunod, Paris (1968), I vol. 15• xiii -~- 139 p., nombr, lig. et taN. - - Prix : 25,75 F. - - Ouvrage regu en service de presse, annone6 dans le Bulletin signaldtique des tdldeommunieations (oetobre 1968), sous la cote L 9488.

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