MATHÉMATIQUES ET MUSIQUE
Nicolas Jacquet - Mathématicien
Constantin Rouits - Chef d’Orchestre
1. LA GAMME
Histoire et principe de construction
Vase grec en terre cuite, vers 475-465 avant J.-C. Le
dessin illustre un homme offrant une lyre et un ballon
à un jeune garçon. MET Museum/CC0
PRINCIPE DE LA CORDE VIBRANTE
Note Fondamentale La2 F0 = 110 Hz
Octave La3 F1 = 220 Hz
Octave + Quinte Mi4 F2 = 330 Hz
Double Octave La4 F3 = 440 Hz
Double octave + Tierce Do#5 F4 = 550 Hz
Double octave + Quinte Mi5 F5 = 660 Hz
Double octave + Septième Sol5 F6 = 770 Hz
LE CYCLE DES QUINTES -
CONSTRUCTION
CONSTRUISONS NOS 12 DEGRÉS DE PROCHE EN
PROCHE
(EN PARTANT D’UN DO, DE FRÉQUENCE F)
LA QUINTE DU LOUP
Après une construction du cycle des
quintes, le reste inhérent à la méthode
de calcul est rattrapé en raccourcissant
artificiellement la dernière quinte du
cycle, créant une irrégularité.
SOLUTIONS NON-ÉGALES
1726 1752 1722
SOLUTION MODERNE – LE TEMPÉRAMENT ÉGAL
S’affranchir de la notion de rapports
de longueurs (ensemble des rationnels)
Comment trouver une solution pour
calculer la fréquence de ½ tons égaux
sur toute la gamme ? Quel coefficient
(c) appliquer à une fréquence f0 pour
obtenir f1, fréquence d’un ½ ton
supérieur, et qu’après 12 étapes identiques, on retrouve l’octave pure ?
2. MUSIQUE ET SYMÉTRIES
GUSTAVE MAHLER
PREMIÈRE SYMPHONIE - 3ÈMEMOUVEMENT 1888
PLAN D’UNE FUGUE
Début d’une fugue
Sujet……………….
Réponse………… ……………………….
Sujet………… ……………………… Contre-sujet…..
JEAN-SÉBASTIEN BACHL’OFFRANDE MUSICALE - RICERCAR À 3 VOIX (1747)
NUMÉROTATION DES NOTES
TRANSPOSITION/TRANSLATION
RENVERSEMENT/SYMÉTRIE HORIZONTALE
SYMÉTRIE S
JEAN-SÉBASTIEN BACHL’OFFRANDE MUSICALE - CANON À DEUX - QUARENDO INVENIETIS
MOUVEMENT RÉTROGRADE/SYMÉTRIE
VERTICALE
JEAN-SÉBASTIEN BACHL’OFFRANDE MUSICALE - CANON DIVERS À DEUX
TRANSFORMATIONS FONDAMENTALES
Id : transformation qui ne change rien
s : renversement (symétrie horizontale)
r : mouvement rétrograde (symétrie verticale)
rs : s suivie de r
LIEN AVEC LE RECTANGLE
MUSIQUE DODÉCAPHONIQUE/SÉRIE
S : 10 . 4 . 6 . 3 . 5 . 9 . 2 . 1 . 7 . 8 . 11 . 0
Nombre de séries :
1211 10 … 1= 479 001 600
TECHNIQUE DE COMPOSITION
ARNOLD SCHÖNBERGVARIATIONS POUR ORCHESTRE OP.31(1928)
Phrase 1 Phrase 2 Phrase 3 Phrase 4
Mélodie S s-5(r(S)) r(S) s-5(S)
Harmonie s-5(S) r(S) s-5(r(S)) S
3. LA COMPOSITION
AUTOMATIQUE
UN CHORAL DE BACH?
Un choral (des chorals au pluriel) est un genre musical liturgique,
créé au XVIe siècle dans le cadre de la réforme protestante
luthérienne, pour être chanté en chœur par les fidèles pendant
le culte. La particularité est que les paroles sont uniquement en
langue vernaculaire. Il se veut simple afin d'être chanté et
retenu par les fidèles (Wikipédia)
CHORAL :ACH BLEIB BEI UNS HERR JESU CHRIST (1725)
POURQUOI LE CHORAL EST-IL UN BON
MODEL D’ÉTUDE
Une mélodie donnée
Une harmonisation à 4 voix strictes
Des rythmes très simples
Un fonctionnement cadentiel par sections
Un corpus témoin représentatif (300 chorals) -> Beaucoup de
modèles
LE PRINCIPE DU MACHINE-LEARNING
Un programme qui analyse des données
Des données dans un volume suffisant
Des données organisées
COMMENT CA MARCHE?
DEUX EXEMPLES : SAUREZ-VOUS
TROUVER L’IMPOSTEUR?
CONCLUSIONS