UNIVERSITE SAAD DAHLEB DE BLIDA
Facultรฉ des Sciences de lโIngรฉnieur
Dรฉpartement de Gรฉnie Civil
MEMOIRE DE MAGISTER
Spรฉcialitรฉ : Construction
EVALUATION DE LA REPONSE CYCLIQUE AXIALE DโUN PIEU
ISOLE DANS LE SABLE
Par
MOHAMMED KHOUAOUCI
Devant le jury composรฉ de :
Z. ZITOUNI Maรฎtre de confรฉrence, U. de Blida Prรฉsident
H. AFRA Directeur de recherches, CNERIB Examinateur
K. GRINE Maรฎtre de confรฉrence, U. de Blida Examinateur
A. BOUAFIA Professeur, U. de Blida Rapporteur
Blida, Septembre 2009
RESUME
Ce mรฉmoire traite de la rรฉponse cyclique axiale dโun pieu isolรฉ dans le sable. Dans la
premiรจre partie, une synthรจse des diffรฉrentes mรฉthodes de calcul des pieux sous
chargement monotone et cyclique est faite. La deuxiรจme partie prรฉsente le principe de
modรฉlisation physique en chambre dโรฉtalonnage, ainsi que le dispositif expรฉrimental
utilisรฉ. Une interprรฉtation des rรฉsultats de quelques essais rรฉalisรฉs par BEKKI H. en
chambre dโรฉtalonnage de lโENPC (France) est menรฉe, afin dโรฉtudier la dรฉgradation du
frottement latรฉral et de la rรฉsistance en pointe au cours du chargement cyclique. La
troisiรจme partie montre les rรฉsultats dโune รฉtude paramรฉtrique faite suite ร une
modรฉlisation numรฉrique par รฉlรฉments finis ร lโaide du logiciel PLAXIS dans le cas du
chargement monotone et du chargement cyclique. Dans la derniรจre partie, on a prรฉsentรฉ
une analyse par superposition modale du systรจme sol/pieu en vue de la dรฉtermination des
frรฉquences propres, ainsi que le coefficient dโamplification dynamique. Un programme en
langage Fortran, adoptรฉ PILDYN, a รฉtรฉ mis au point .Enfin, des conclusions et des
recommandations qui dรฉcoulent de ce travail sont prรฉsentรฉes.
Mots clรฉs : Pieu, Chargement monotone, Cyclique, Elรฉments finis, Superposition modale,
Chambre dโรฉtalonnage.
ABSTRACT
This dissertation deals with the cyclic axial response of a single pile in sand. In the first
part are summarized several pile foundation design methods under monotonic or cyclic
loads.
The second part presents the concept of the physical modeling in calibration chamber, as
well as a description of the experimental devices. The experimental results obtained in the
calibration chamber of the ENPC (France) are interpreted in order to study the degradation
of the skin friction as well as the tip resistance under cyclic loading.
The third part presents the results of a parametric study using the finite element method on
the basis of the software PLAXIS, under monotonic and cyclic loading.
In the last part, was presented a modal analysis of the pile/soil system in order to evaluate
the natural frequencies in addition to the dynamic amplification coefficient. A Fortran
program, called PILDYN, was written and validated for this purpose.
At the end, many findings and recommendations were highlighted.
Key words: Pile, Monotonic loading, Cyclic, Finite element method, Calibration chamber,
modal analysis.
ู ูุฎุต
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REMERCIEMENTS
Ce travail, rรฉalisรฉ au laboratoire de gรฉotechnique au sein du dรฉpartement de Gรฉnie Civil de
lโUniversitรฉ SAAD DAHLEB de BLIDA sous la direction du professeur A. BOUAFIA, ร
qui je tiens ร adresser tous mes sincรจres remerciements et profondes reconnaissances pour
son suivi et importants conseils durant la rรฉalisation de cette thรจse.
Je tiens ร exprimer mes vifs remerciements pour tous les enseignants du dรฉpartement de
Gรฉnie Civil, spรฉcialement ร ceux qui ont contribuรฉ ร ma formation. Je remercie aussi
Monsieur H. BEKKI, Chargรฉ de cours ร lโUniversitรฉ de Tiaret pour son aide, en particulier
dans lโinterprรฉtation des rรฉsultats expรฉrimentaux.
Je voudrais remercier รฉgalement les membres de jury qui ont eu la gentillesse dโassister ร
la soutenance et pour lโhonneur quโils mโont accordรฉ dโavoir acceptรฉ lโรฉvaluation de ce
mรฉmoire.
Je voudrais remercier particuliรจrement Monsieur A.ATTAR, K.GRINE, Z.ZITOUNI,
S.KENAI, M.BEN SAIBI, N. BOURAHLA, M.ABED pour leurs aides prรฉcieuses, leurs
encouragements et soutien durant les trois annรฉes dโรฉtude en post-graduation.
Que toutes les personnes, qui dโune faรงon ou dโune autre, mโont apportรฉ leurs concours
trouvent ici le tรฉmoignage de ma reconnaissance.
Enfin, je tiens ร rendre hommage ร mes parents qui mโont รฉpaulรฉ tout au long de ces
annรฉes de travail, ainsi que tous les membres de la famille pour leur soutien, tant moral que
technique.
LISTE DES ILLUSTRATIONS, GRAPHIQUES ET TABLEAUX
Figure 1.1 : Courbe de chargement axial dโun pieu 17
Figure 1.2 : Schรฉma du dispositif utilisรฉ dans lโessai de chargement statique sur pieu 19
Figure 1.3 : Dรฉtermination pratique de la charge de fluage Qc 21
Figure 1.4 : Exemples de mรฉcanismes de rupture selon les thรฉories classiques 25
Figure 1.5 : Schรฉma du principe de la mรฉthode transfert de charges 28
Figure 1.6 : Barre encastrรฉe portant sur son extrรฉmitรฉ libre une masse concentrรฉe
pour schรฉmatiser le pieu travaillant en pointe 30
Figure 1.7 : Solution de lโรฉquation (1.43) (dโaprรจs RICHART et al. 1970) 32
Figure 1.8 : Frรฉquences de rรฉsonance pour des oscillations verticales dโun pieu
travaillant en pointe et ancrรฉ dans un substratum rocheux et supportant
une charge W (dโaprรจs RICHART, 1962) 34
Figure 1.9 : Modรจle analytique dโun pieu flottant. (a) Systรจme sol-pieu, (b) modรจle
du systรจme mรฉcanique (MAXWELL et al., 1969) 36
Figure 1.10 : Pieu vertical et notations 38
Figure 1.11 : Paramรจtres Sw1, Sw2, Cw1, et Cw2 selon NOVAK, 1977 42
Figure 1.12 : Simulation du modรจle du pieu ; (a) modรจle rรฉel, (b) modรจle proposรฉ,
(b1) รฉlรฉment radial, (b2) รฉlรฉment fini 44
Figure 1.13 : Schรฉma de la plaque circulaire sous chargement vertical harmonique
dans un milieu poroelastic 46
Figure 1.14 : Comparaison des rรฉsultats de cette approche avec la solution de
KAYNIA et KAUSEL (1991) 47
Figure 1.15 : Diagramme de stabilitรฉ cyclique dโaprรจs POULOS, 1988 50
Figure 1.16 : Exemple dโun pieu en acier dans lโargile 51
Figure 1.17 : Diagramme de stabilitรฉ cyclique pour un pieu forรฉ dans lโargile avec
un nombre de cycles N = 100 52
Figure 1.18 : Dรฉplacements (a) et dรฉformations (b) du sol autour d'un pieu foncรฉ
dans le cas d'un massif sableux (ROBINSKI & MORRISON (1964)
et VESIC (1965)) 57
Figure 1.19 : Zones de dรฉformations du sol lors du fonรงage de modรจles de pieux
dans du sable; (a) dรฉplacements verticaux observรฉs (b) zones de sol
compactรฉ โ et de sol refoulรฉ โก autour des pieux et (c) zones de
dรฉplacements horizontaux du sol (SHAKIREV et al., 1996) 57
Figure 1.20 : Mobilisation du frottement latรฉral et de la rรฉsistance en pointe en
fonction du mode de mise en place (FORAY et al., 1989) 58
Figure 1.21 : (a) Evolution du coefficient de pression latรฉrale avec l'arrachement
statique : sable lรขche et sable dense (Puech et al. 1979) 60
Figure 1.21 (b) Evolution du coefficient de contrainte latรฉrale avec l'arrachement
statique : sable lรขche et sable dense (PUECH et al. 1979) 60
Figure 1.22 : Vue dโensemble de la chambre dโรฉtalonnage du CERMES (ENPC),
France 63
Figure 1.23 : Conditions aux limites applicables en chambre dโรฉtalonnage
(figure dโaprรจs BALACHOWSKI, 1995) 64
Figure 2.1: Schรฉma de principe de la chambre dโรฉtalonnage 67
Figure 2.2: Photo et schรฉma du micropieu modรจle instrumentรฉ 69
Figure 2.3 : Vue du groupe de cinq inclusions modรจle non instrumentรฉ (a) verticales
et (b) inclinรฉes (rรฉseau) 69
Figure 2.4 : Courbe granulomรฉtrique du sable de Fontainebleau 70
Figure 2.5 : Variables influenรงant la densitรฉ du massif lors de la pluviation
(DUPLA, 1995) 72
Figure 2.6 : Photos du dispositif de pluviation 72
Figure 2.7 : Fabrication de lโรฉprouvette :(a) remplissage du rรฉservoir ; (b) pluviation
du sable ; (c) รฉchantillon aprรจs arasage ; (d) aprรจs dรฉmoulage ; (e) la
cellule et lโembase supรฉrieur ; (f) mise en place du couvercle et des tiges 74
Figure 2.8: Matรฉriel utilisรฉ pour lโapplication des contraintes sur le sol 75
Figure 2.9: Systรจmes de pilotage pour lโapplication des charges et lโacquisition des
rรฉsultats 75
Figure 2.10 : (a) Schรฉma de principe de fonctionnement de lโensemble du dispositif
dโessai en chambre dโรฉtalonnage ;(b) : Partie du bรขti du chargement,
la cellule et le modรจle de micropieu dรฉjร installรฉ 76
Figure 2.11 : Essais sur le modรจle de micropieu instrumentรฉ : (a) fonรงage ;
(b) chargement 77
Figure 3.1 : Courbe dโenfoncement du pieu dans le massif #13 (Effort en tรชte) 80
Figure 3.2 : Courbe dโenfoncement du pieu dans le massif #13 (Rรฉsistance en
pointe) 80
Figure 3.3 : Courbe dโenfoncement du pieu dans le massif #13 ( Frottement latรฉral) 81
Figure 3.4 : Courbe typique de lโessai sur le massif # M13 :(a) Chargement
monotone ; (b) 1รจre
sรฉquence du chargement cyclique; (c) 2รจme
sรฉquence du
chargement cyclique 82
Figure 3.5 : Courbe de mobilisation de lโeffort en tรชte (a), de la rรฉsistance en pointe
(b) et du frottement latรฉral (c) lors dโun essai cyclique ร dรฉplacement
contrรดlรฉ 84
Figure 3.6 : Courbes de mobilisation de lโeffort en tรชte (a), de la pression en pointe
(b) et du frottement latรฉral (c) lors dโun essai cyclique ร dรฉplacement
contrรดlรฉ 88
Figure 3.7 : Evolution des facteurs de dรฉgradation au cours du chargement cyclique:
(a) effort en tรชte ; (b) rรฉsistance en pointe ; (c) frottement latรฉral
(cas oรน ฯc= ยฑ 0,5 mm) 89
Figure 4.1 : Exemple du maillage utilisรฉ 96
Figure 4.2 : Prรฉsentation du modรจle 3D et du modรจle axisymรฉtrique utilisรฉs 97
Figure 4.3 : Principe de lโajustement hyperbolique 102
Figure 4.4 : Courbes de chargement pour D/B=5 103
Figure 4.5 : Courbes de chargement pour D/B=10 103
Figure 4.6 : Courbes de chargement pour D/B=20 104
Figure 4.7 : Courbes de chargement pour D/B=50 104
Figure 4.8 : Courbes de variation de lโindice de tassement Iv en fonction de K et D/B 105
Figure 4.9: Courbes de chargement pour un รฉlancement D/B=50 ; K=100, 300 et 500 106
Figure 4.10: Courbe donnant la variation du tassement en tรชte et en pointe :
D/B=50 ; K=100 ; maillage R=25,5m et H=100m 106
Figure 4.11 : Dรฉplacement vertical du pieu pour D/B=10 et K=5000 107
Figure 4.12 : Dรฉplacement horizontal du pieu pour D/B=10 et K=5000 107
Figure 4.13 : Variation du tassement en fonction du temps lors du chargement
dynamique pour K=100 : (a) sans amortissement et (b) avec
amortissement 108
Figure 4.14 : Variation du tassement en fonction du temps lors du chargement
dynamique pour K=500 : (a) sans amortissement et (b) avec
amortissement 108
Figure 4.15 : Variation du tassement en fonction du temps lors du chargement
dynamique pour K=104 : (a) sans amortissement et (b) avec
amortissement 109
Figure 4.16 : Variation du tassement en fonction du temps lors du chargement
dynamique pour K=5x104 : (a) sans amortissement et (b) avec
amortissement 109
Figure 4.17: Variation du tassement en fonction du temps lors du chargement
dynamique pour K=100: (a) sans amortissement et (b) avec
amortissement 109
Figure 4.18: Variation du tassement en fonction du temps lors du chargement
dynamique pour K=500 : (a) sans amortissement et (b) avec
amortissement 110
Figure 4.19: Variation du tassement en fonction du temps lors du chargement
dynamique pour K=104 : (a) sans amortissement et (b) avec
amortissement 110
Figure 4.20: Variation du tassement en fonction du temps lors du chargement
dynamique pour K=5x104 : (a) sans amortissement et (b) avec
amortissement 110
Figure 4.21: Variation du tassement en fonction du temps lors du chargement
dynamique pour K=100 : (a) sans amortissement et (b) avec
amortissement 111
Figure 4.22: Variation du tassement en fonction du temps lors du chargement
dynamique pour K=500 : (a) sans amortissement et (b) avec
amortissement 111
Figure 4.23: Variation du tassement en fonction du temps lors du chargement
dynamique pour K=104 : (a) sans amortissement et (b) avec amortissement 111
Figure 4.24 : Courbes de variation du facteur de tassement Iv en fonction de la
compressibilitรฉ K pour une modรฉlisation par SAP2000 et par PLAXIS 113
Figure 4.25 : Variation du coefficient dโamplification en fonction de K et D/B 117
Figure 4.26: Exemple de variation du coefficient dโamplification dynamique en
fonction du rapport de frรฉquences pour diffรฉrentes valeurs de
lโamortissement dans le cas dโun oscillateur simple 118
Figure 5.1 : Principe de la thรฉorie de transfert de charges 122
Figure 5.2 : Rรฉsolution graphique de lโรฉquation aux valeurs propres 125
Figure 5.3 : Organigramme gรฉnรฉral du programme PILDYN 132
Figure 5.4 : Reprรฉsentation des rรฉsultats du programme PILDYN pour ๐ =0 rad/s 134
Figure 5.5 : Reprรฉsentation des rรฉsultats du programme PILDYN pour ๐ = 314 rad/s 134
Tableau 1.1 : Valeurs des coefficients intervenant dans le calcul de KVs 54
Tableau 2.1: Caractรฉristiques du sable de Fontainebleau utilisรฉ 70
Tableau 2.2 : Caractรฉristiques de lโessai rรฉalisรฉ 76
Tableau 4.1 : Propriรฉtรฉs des matรฉriaux utilisรฉs dans la modรฉlisation 100
Tableau 4.2 : Valeurs du facteur Iv dans le cas du chargement monotone 105
Tableau 4.3 : Amplitude du 1er cycle en fonction de la compressibilitรฉ K pour
D/B=10 114
Tableau 4.4 : Amplitude du 1er
cycle en fonction de la compressibilitรฉ K pour
D/B=20 115
Tableau 4.5: Amplitude du 1er cycle en fonction de la compressibilitรฉ K pour
D/B=50 115
Tableau 4.6: Valeurs du coefficient dโamplification dynamique en fonction de la
compressibilitรฉ K pour D/B=10 116
Tableau 4.7: Valeurs du coefficient dโamplification dynamique en fonction de la
compressibilitรฉ K pour D/B=20 117
Tableau 5.1 : Comparaison entre le tassement donnรฉ par le programme PILDYN et
celui calculรฉ manuellement 133
TABLE DES MATIERES
2 ...................................................................................................................................... ู ูุฎุต
RESUME ............................................................................................................................... 3
ABSTRACT .......................................................................................................................... 4
REMERCIMENTS ................................................................................................................. 5
TABLE DES MATIERES ...................................................................................................... 6
LISTE DES ILLUSTRATIONS, GRAPHIQUES ET TABLEAUX ..................................... 9
INTRODUCTION ................................................................................................................ 14
CHAPITRE 1 ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE ................................................................... 16
1.1. Introduction ................................................................................................................ 16
1.2. Dรฉfinitions- Notion de la charge limite et charge de fluage ...................................... 16
1.3. Mรฉthodes dโรฉvaluation de la capacitรฉ portante dโun pieu .......................................... 18
1.3.1. Interprรฉtation de lโessai de chargement statique sur pieu .................................... 18
1.3.2. A partir des essais in situ ...................................................................................... 21
1.3.3. Thรฉorie classique des corps rigides โ plastiques .................................................. 24
1.3.4. Thรฉorie de lโexpansion dโune cavitรฉ sphรฉrique .................................................... 25
1.4. Mรฉthodes dโรฉvaluation du tassement des fondations profondes ................................. 26
1.4.1. Les mรฉthodes empiriques ...................................................................................... 26
1.4.2. Les mรฉthodes dโรฉlasticitรฉ ....................................................................................... 27
1.4.3. Les mรฉthodes des courbes t-z, q-z (ou thรฉorie de transfert des charges) .............. 28
1.4.4. Mรฉthode des รฉlรฉments finis ................................................................................... 29
1.5. Comportement des pieux sous chargement dynamique ............................................... 29
1.5.1. Pieux sous vibrations verticales ............................................................................. 29
1.5.2. Analyse dynamique des pieux sous vibrations verticales dโaprรจs NOVAK ......... 37
1.5.3. Evaluation de la rรฉponse dynamique dโun pieu en utilisant des รฉlรฉments hybrides
(NOORZAD et MASSOUMI) ............................................................................. 43
1.5.4. Diagramme de stabilitรฉ cyclique (POULOS, 1988)) ............................................ 48
1.6. Modรฉlisation du chargement harmonique axial par la mรฉthode de GAZETAS ......... 52
1.7. Paramรจtres influenรงant le comportement d'une fondation profonde isolรฉe ................ 55
1.8. Modรฉlisation physique en chambre dโรฉtalonnage ........................................................ 61
1.8.1. Introduction............................................................................................................. 61
1.8.2. Principe de modรฉlisation en chambre dโรฉtalonnage ............................................... 62
1.8.3. Les conditions aux limites applicables en chambre dโรฉtalonnage .......................... 63
1.9. Conclusion ................................................................................................................... 64
CHAPITRE 2 PRESENTATION DES DISPOSITIFS EXPERIMENTAUX ................... 65
2.1. Introduction ................................................................................................................. 65
2.2. Prรฉsentation de la chambre dโรฉtalonnage du CERMES .............................................. 65
2.3. Pieux dโessai ................................................................................................................ 67
2.4. Matรฉriau sol utilisรฉ ...................................................................................................... 70
2.5. Instrumentation et acquisition des rรฉsultats expรฉrimentaux ........................................ 73
2.6. Caractรฉristiques de lโessai rรฉalisรฉ ................................................................................ 77
2.7. Conclusion ................................................................................................................... 78
CHAPITRE 3 INTERPRETATION DES RESULTATS EXPERIMENTAUX................. 79
3.1. Introduction.................................................................................................................. 79
3.2. Analyse de lโinstallation du pieu par fonรงage .............................................................. 79
3.3. Etude du comportement du pieu sous chargement monotone ..................................... 82
3.4. Comportement du pieu sous chargement cyclique ...................................................... 85
3.4.1. Introduction............................................................................................................. 85
3.4.2. Etude du comportement du pieu lors dโun essai cyclique ร dรฉplacement contrรดlรฉ 85
3.5. Conclusion ................................................................................................................... 90
CHAPITRE 4 MODELISATION PAR ELEMENTS FINIS DU COMPORTEMENT
MONOTONE OU CYCLIQUE DโUN PIEU ISOLE ................................ 92
4.1. Introduction.................................................................................................................. 92
4.2. Prรฉsentation du logiciel PLAXIS version 8.2 avec module dynamique ..................... 92
4.3. Dรฉfinition du modรจle axisymรฉtrique pieu/sol .............................................................. 93
4.3.1. Prรฉsentation du modรจle ........................................................................................... 94
4.3.2. Etude paramรฉtrique par รฉlรฉments finis (logiciel PLAXIS version 8.2 avec module
dynamique) ................................................................................................................ 98
4.4. Conclusion ................................................................................................................. 118
CHAPITRE 5 ANALYSE PAR SUPERPOSITION MODALE EN CAS DโUN SOL
HOMOGENE ............................................................................................. 120
5.1. Introduction................................................................................................................ 120
5.2. Prรฉsentation de la mรฉthode de superposition modale ................................................ 120
5.3. Principe de la mรฉthode de superposition modale ...................................................... 121
5.4. Evaluation du tassement du pieu sous charge dynamique axiale par la mรฉthode de
superposition modale .................................................................................................... 121
5.5. Mise en รฉquation ........................................................................................................ 122
5.6. Programmation de la solution obtenue ...................................................................... 131
5.7. Vรฉrification du programme PILDYN ....................................................................... 133
5.8. Conclusion ................................................................................................................. 134
CONCLUSION ................................................................................................................... 135
APPENDICE A : LISTE DES SYMBOLES ...................................................................... 137
REFERENCES ..................................................................................................................... 140
14
INTRODUCTION
Les fondations superficielles sont limitรฉes au cas de surcharges relativement
modรฉrรฉes correspondant ร des structures lรฉgรจres. Dans le cas dโouvrages lourds (tours,
ponts,โฆ), on a en gรฉnรฉral recours aux fondations profondes qui permettent de traverser les
couches superficielles relativement compressibles et transmettre les surcharges venant de
la superstructure vers des horizons plus rรฉsistants, en mobilisant lโeffort en pointe et le
frottement latรฉral le long du fรปt du pieu.
Les pieux sont soumis, en plus des sollicitations statiques permanentes, ร des
sollicitations cycliques de natures diffรฉrentes : vibrations des machines, le vent, la houle
sur les plateformes offshore, les chocs (battage, impact) โฆetc. Lโexpรฉrience montre que
lโapplication de ces sollicitations cycliques, mรชme de faibles amplitudes, peut fortement
altรฉrer lโรฉtat du matรฉriau constitutif du pieu au bout dโun certain nombre de cycles, et il est
important dโรฉtudier le comportement correspondant ร ce phรฉnomรจne connu souvent sous le
nom de "dรฉgradation cyclique". A cela vient sโajouter le phรฉnomรจne de rรฉsonance qui
nรฉcessite une attention particuliรจre vis-ร -vis de la pulsation dโexcitation.
Le prรฉsent travail, qui sโinscrit dans le cadre dโune coopรฉration entre lโuniversitรฉ de
Blida et le CERMES (Centre dโEnseignement et de Recherche en Mรฉcanique des Sols) ร
lโENPC (France), vise ร รฉtudier le comportement des pieux soumis ร des chargements
cycliques par diffรฉrentes mรฉthodes, en particulier la mรฉthode de transfert de charge, la
mรฉthode de superposition modale ainsi que la mรฉthode des รฉlรฉments finis (logiciel
PLAXIS V 8.2 avec module dynamique). Une interprรฉtation des rรฉsultats expรฉrimentaux
de quelques essais cycliques rรฉalisรฉs en chambre dโรฉtalonnage du CERMES sur des
modรจles rรฉduits de pieux est faite.
15
Le prรฉsent mรฉmoire se divise en cinq chapitres.
Le premier chapitre est consacrรฉ ร une synthรจse bibliographique, traitant les
mรฉthodes de calcul des pieux sous chargement monotone et cyclique, oรน on a exposรฉ le
concept thรฉorique et les principaux relations et formules obtenues. Une description
succincte du principe de modรฉlisation physique en chambre dโรฉtalonnage est rรฉsumรฉe en
fin de ce chapitre.
Le dispositif expรฉrimental ainsi que les procรฉdures dโessai associรฉes sont exposรฉs
dans le second chapitre. On a prรฉsentรฉ la chambre dโรฉtalonnage utilisรฉe au CERMES et
ses รฉquipements divers : les pieux dโessai, le matรฉriau utilisรฉ ainsi que la mรฉthodologie
dโinstrumentation et dโacquisition des rรฉsultats.
Le troisiรจme chapitre est rรฉservรฉ ร lโinterprรฉtation des rรฉsultats de quelques essais
rรฉalisรฉs en chambre dโรฉtalonnage du CERMES par BEKKI H. dans le cadre de sa thรจse de
Doctorat en cours. Les courbes rรฉsultantes des phases de fonรงage, de chargement
monotone et de chargement cyclique ont รฉtรฉ analysรฉes.
On a รฉtudiรฉ dans le quatriรจme chapitre la modรฉlisation numรฉrique par รฉlรฉments finis
du comportement monotone et cyclique du pieu. Une รฉtude paramรฉtrique par le biais du
logiciel PLAXIS est faite en variant les paramรจtres adimensionnels influenรงant le
tassement du pieu dans le cas du chargement monotone et dans le cas dโun chargement
harmonique, permettant ainsi de dรฉduire le facteur dโamplification dynamique.
Le dernier chapitre traite la mรฉthode de superposition modale en cas dโun sol
homogรจne. Un rรฉsumรฉ du dรฉveloppement mathรฉmatique et des principales formules
retrouvรฉes est exposรฉ. Ensuite, un programme en langage FORTRAN de la solution de
cette mรฉthode a รฉtรฉ รฉtabli.
Ces cinq chapitres sont complรฉtรฉs par une conclusion gรฉnรฉrale, soulevant les
principaux rรฉsultats obtenus et les perspectives de futures recherches.
19
Figure 1.2 : Schรฉma du dispositif utilisรฉ dans lโessai de chargement statique sur pieu [1]
b. Appareillage
Lโappareillage nรฉcessaire ร la rรฉalisation dโun tel essai comprend habituellement :
Un dispositif de rรฉaction : massif-poids constituรฉ de cuves remplies de gravillons
ou poutres de rรฉaction avec ancrages (pieux voisins pouvant รชtre sollicitรฉs ร
lโarrachement ou tirants prรฉcontraints) ;
Un dispositif de chargement : vรฉrin hydraulique transmettant lโeffort au pieu par
lโintermรฉdiaire dโune rotule et dโune plaque de rรฉpartition ;
Un dispositif de mesures :
- Mesure des charges : ร lโaide de manomรจtres branchรฉs sur le circuit
dโalimentation du vรฉrin ;
- Mesure des dรฉplacements en tรชte : ร lโaide de comparateurs ;
- Mesure des efforts ร diffรฉrents niveaux du fรปt : ร lโaide dโextensomรจtres
placรฉs ร diffรฉrentes profondeurs.
Il est recommandรฉ de laisser sโรฉcouler un dรฉlai de repos entre 1 ร 4 semaines entre la mise
en place du pieu et lโessai de chargement.
c. Prรฉparation de lโessai
Lโessai consiste ร appliquer en tรชte du pieu un effort axial de compression selon un
programme dรฉfini et mesurer le dรฉplacement axial de la tรชte du pieu.
20
d. Types dโessais
On distingue deux (02) types dโessai statique de compression axiale :
1. Essai ร la rupture (ou essai prรฉalable), qui doit รชtre rรฉalisรฉ sur un pieu qui ne peut,
en principe, รชtre utilisรฉ pour la fondation de lโouvrage. Le programme dโessai comporte
deux cycles de chargement-dรฉchargement :
Le premier cycle comprend un chargement jusquโร 0,5 Qmax par cinq (05) paliers de
0,1 Qmax, chacun รฉtant maintenu pendant une durรฉe de 5 min.
Le second cycle se fait avec un chargement jusquโร 0,5 Qmax ou jusquโร la rupture
du sol, par cinq (05) paliers de 60 min. Le dรฉchargement se fait par quatre (04)
paliers maintenus pendant 5 min chacun. La charge 0,5 Qmax est donnรฉe comme
suit :
Qmax = 1,3. QL et Qmax โค 0,9 QG (1.5)
QG : charge limite รฉlastique des matรฉriaux constitutifs du pieu ;
QL : charge limite estimรฉe approximativement ร partir des donnรฉes gรฉotechniques (la
mรฉthode pressiomรฉtrique ou pรฉnรฉtromรฉtrique).
2. Lโessai de contrรดle, rรฉalisรฉ au cour des travaux sur un pieu de lโouvrage. Son but
est de vรฉrifier la qualitรฉ du pieu avant sa mise en service. Dans ce cas, le programme
dโessai ne comporte quโun seul cycle. Le chargement se fait par palier de 0,2 Ql jusquโร Ql.
Chaque palier est maintenu ร charge constante pendant 1 h. Le dรฉchargement se fait par
paliers de 0,2 Ql maintenu pendant 5 min.
Lโeffort maximal Ql est fixรฉ en fonction de lโeffort axial de compression appliquรฉ au pieu
en service, soit :
Ql โค 1,3 QELS (1.6)
e. Exploitation des rรฉsultats
Charge de fluage
La charge de fluage Qc correspond ร lโintersection des deux parties linรฉaires de la courbe
donnant la vitesse dโenfoncement v (prise entre 30 et 60 min) fonction de la charge
en tรชte Q (figure 1.3).
21
v(mm/h)
Q(kN)
0
1.6
1.2
0.8
0.4
Qc0 15001200900600300 13501050750450150
Figure 1.3 : Dรฉtermination pratique de la charge de fluage Qc
Charge limite
Elle est donnรฉe par lโabscisse de lโasymptote de la courbe de la figure 1.1, lorsque cette
asymptote est nettement apparente. Dans le cas รฉchรฉant, Ql correspondra ร un enfoncement
de la tรชte de ๐ต
10 (ou
๐ต๐
10 lorsque la section transversale du pieu nโest ni circulaire, ni carrรฉe,
ni rectangulaire).
1.3.2. A partir des essais in situ
1.3.2. 1.Mรฉthode pressiomรฉtrique du LCPC
Cette mรฉthode, adoptรฉe par le Laboratoire Centrale des Ponts & Chaussรฉes (LCPC), se
base sur le principe de remplacer le sol hรฉtรฉrogรจne par un autre homogรจne รฉquivalent
caractรฉrisรฉ par une pression limite รฉquivalente Ple* entourant le pieu ayant une fiche
รฉquivalente De. Cette pression limite รฉquivalente nette reprรฉsente la moyenne des valeurs
mesurรฉes dans une zone voisine de la pointe du pieu [3]. La rรฉsistance en pointe est donnรฉe
par consรฉquent comme suit :
ql = kp.Ple* (1.7)
Le facteur de portance pressiomรฉtrique kp est donnรฉ en fonction de la nature du sol et du
mode dโinstallation du pieu dans le sol [3].
Le frottement latรฉral limite qs est donnรฉ par des courbes en fonction de la pression limite
nette. Il dรฉpend de la nature du sol et du mode dโinstallation du pieu dans le sol [3].
22
La charge verticale limite totale reprรฉsente la somme de la charge de pointe et celle du
frottement latรฉral comme suit :
Ql = Qp + Qs = ๐.๐๐ + ๐. ๐๐ ๐ง .๐๐ง๐ท
0 (1.8)
S รฉtant la section du pieu et P le pรฉrimรจtre du fรปt.
1.3.2. 2.Mรฉthode pรฉnรฉtromรฉtrique du LCPC
Par analogie ร la mรฉthode pressiomรฉtrique, la rรฉsistance en pointe dโun pieu isolรฉ est
donnรฉe par la formule suivante :
ql = kc.qce (1.9)
Avec :
qce : rรฉsistance pรฉnรฉtromรฉtrique รฉquivalente.
Le facteur de portance pรฉnรฉtromรฉtrique kc est donnรฉ en fonction de la nature du sol et du
mode dโinstallation du pieu par le fascicule 62 [3].
Le frottement latรฉral qs ร la profondeur z est รฉgal ร la rรฉsistance pรฉnรฉtromรฉtrique ร cette
profondeur, divisรฉe par un facteur ฮฒ, sans dรฉpasser une valeur maximale qsmax
[3], [5].
1.3.2. 3.Mรฉthodes de calcul ร partir de lโessai de pรฉnรฉtration standard
1.3.2. 3.1.Mรฉthode de Mayerhof
a. Terme de pointe
MEYERHOF [2] a รฉtabli lโexpression suivante du terme de pointe en fonction du nombre
de coups :
๐ =1
2 ๐ ๐ท (T /ft
2) (1.10)
Qui est รฉquivalent ร :
๐ = 0,15 N D ( q exprimรฉ en MPa et D en m) (1.11)
23
Selon lโauteur, cette expression nโest pas confirmรฉe par lโexpรฉrience, et il propose par
contre dโadopter la relation suivante :
๐ = 4 N (T /ft 2) (1.12)
Ou encore :
๐ = 0,4 N (MPa) (1.13)
A noter que pour ๐ท
๐ต< 10, on peut interpoler lineairement de la semelle superficielle au cas
du pieu [2].
b. Frottement latรฉral
MEYERHOF [2] a รฉtabli la formule suivante [2] :
๐ =1
1 000 ๐๐ท (T /ft
2) (1.14)
Soit encore :
f = 0,33 ๐๐ท (f en kPa en D en m) (1.15)
Mais, identiquement au terme de pointe, cette expression nโest pas vรฉrifiรฉe par lโexpรฉrience
ce qui a ramenรฉ lโauteur ร la remplacer par la relation ci-dessous :
il a signalรฉ pour le terme en pointe
๐ =๐
50 (T /ft
2) (1.16)
Soit :
๐ = 2 ๐ (en kPa) (1.17)
Pour les pieux lisses (pieux mรฉtalliques ou pieux battus prรฉfabriquรฉs), il est conseillรฉ
dโadopter pour expression du frottement latรฉral, la moitiรฉ de la valeur prรฉcรฉdente [2].
1.3.2. 3.2. Autre mรฉthode utilisรฉe en pratique
La rรฉsistance en pointe est supposรฉe proportionnelle au nombre de coups N :
ql = ks.N (1.18)
ks : facteur de portance, ayant la dimension dโune contrainte.
24
De la mรชme faรงon, la contrainte limite qs du frottement latรฉral est aussi proportionnelle au
nombre N comme indiquรฉ par la formule suivante :
qs = ns.N (1.19)
ns : facteur de frottement latรฉral, ayant la dimension dโune contrainte.
N : Nombre de coups reprรฉsentatifs au niveau de la pointe [3].
1.3.2. 4. Mรฉthodes de calcul ร partir de lโessai au pรฉnรฉtromรจtre dynamique
Le pรฉnรฉtromรจtre dynamique lourd ne permet pas de procรฉder ร un calcul fiable de la charge
admissible du pieu [5]. On peut introduire directement le terme de pointe dynamique dans
les formules du pรฉnรฉtromรจtre statique en utilisant des corrรฉlations entre ces deux essais
(qc โ qd) mais ces mรฉthodes corrรฉlatives sont toutefois trรจs dangereuses et doivent รชtre
utilisรฉes avec prudence [2].
1.3.3. Thรฉorie classique des corps rigides โ plastiques
Les thรฉories classiques du calcul de la charge axiale limite dโun pieu reposent sur
lโhypothรจse du comportement rigide-plastique du sol, supposรฉ partout en รฉtat de rupture
dans une certaine zone autour du pieu. Les efforts rรฉsistants unitaires, a savoir la rรฉsistance
en pointe ql et le frottement latรฉral limite qs, ne dรฉpendent, dโaprรจs ces thรฉories, que des
caractรฉristiques mรฉcaniques de rupture du sol mesurรฉ au laboratoire (cohรฉsion c et angle de
frottement interne ฯ) [1].
La charge verticale limite reprise par le pieu est donnรฉe dโune maniรจre gรฉnรฉrale par :
QL = S. ql +P โซ qs ( z).dz (1.20)
Les paramรจtres S et P sont la surface et le pรฉrimรจtre du pieu respectivement. Les
expressions des termes de la rรฉsistance en pointe ql et du frottement latรฉral qs diffรจrent
suivant les auteurs et les mรฉcanismes de rupture proposรฉs.
Il faut toutefois signaler que ces mรฉthodes sont de moins en moins utilisรฉs, notamment
grรขce au dรฉveloppement des mรฉthodes empiriques basรฉes sur les rรฉsultats dโessais in-situ et
les rรฉsultats dโessais de pieux en vraie grandeur, mรฉthodes jugรฉes opรฉrationnelles et plus
25
fiables [1]. Nรฉanmoins, le lecteur est invitรฉ ร consulter les rรฉfรฉrences bibliographiques [2]
et [6] oรน il trouvera plus de dรฉtails concernant les expressions de ql et qs.
Figure 1.4. Exemples de mรฉcanismes de rupture selon les thรฉories classiques
1.3.4. Thรฉorie de lโexpansion dโune cavitรฉ sphรฉrique
Les thรฉories classiques utilisรฉes pour la prรฉdiction de la portance des fondations profondes
ne tiennent pas compte des propriรฉtรฉs de compressibilitรฉ des sols. Des รฉtudes
expรฉrimentales ont montrรฉ que la rรฉsistance en pointe dans deux sols ayant le mรชme angle
de frottement, mais des propriรฉtรฉs de dรฉformation diffรฉrentes nโest pas forcement la mรชme.
Donc, les caractรฉristiques de cisaillement (angle de frottement et cohรฉsion) ne sont pas les
seuls paramรจtres affectant la rรฉsistance en pointe. De ce fait, lโutilisation des mรฉthodes
faisant intervenir la dรฉformabilitรฉ du sol a connu un succรจs considรฉrable.
Toutes ces mรฉthodes reposent, en gรฉnรฉral, sur lโanalogie de la dรฉformation du sol sous une
fondation profonde avec lโexpansion dโune cavitรฉ sphรฉrique. Cette idรฉe a รฉtรฉ dรฉveloppรฉe
pour la premiรจre fois par BISHOP, HILL et MOTT (1945) pour lโรฉtude de poinรงonnement
dโun mรฉtal, et a รฉtรฉ appliquรฉe pour la premiรจre fois dans le calcul de la capacitรฉ portante
des pieux au sol cohรฉrent par GIBSON (1950) et SKEMPTON (1951) [6].
SKEMPTON et al. (1953) ont proposรฉ de relier la capacitรฉ portante dโune fondation ร une
profondeur donnรฉe ร la pression limite pls de lโexpansion dโune cavitรฉ sphรฉrique situรฉe ร la
mรชme profondeur dans un sol suivant une loi de comportement รฉlastoplastique, comme
suit :
ql = Nq.q (1.21)
26
Tel que Nq=๐๐
๐พ .๐ท(1 โ ๐๐๐ก๐ ๐ผ. ๐ก๐๐ ) (1.22)
Avec :
ฮฑ : demi angle de la pointe du pieu, รฉgal souvent ร 45ยฐ ;
๐ : angle de frottement interne du sol sous la pointe du pieu ;
Le paramรจtre Ps est donnรฉ par lโexpression suivante :
Ps = ๐พ.๐ท. [3
1+2๐
๐ธ
6๐0 1+๐
1+2๐
1โ๐]
2
3(1โ๐)
(1.23)
Et N= 1โsin ๐
1+sin ๐ (1.24)
1.4. Mรฉthodes dโรฉvaluation du tassement des fondations profondes
1.4.1. Les mรฉthodes empiriques
Ces mรฉthodes permettent dโestimer approximativement le tassement en se basant sur les
constatations faites sur des pieux rรฉels. On prรฉsente ci-aprรจs celles qui sont utilisรฉs le plus
souvent en pratique.
Recommandation de VESIC (1977), qui donne le tassement en tรชte du pieu dans un
sol pulvรฉrulent :
v0 = ๐ต
100 +โ๐ฟ (1.25)
โ๐ฟ : raccourcissement รฉlastique du pieu.
Mรฉthode de MEYERHOF (1956), utilisรฉe pour diffรฉrents types de sols, permet de
donner le tassement comme suit :
v0 = ๐ต
30 . ๐น๐ +โ๐ฟ (1.26)
En gรฉnรฉral, Fs est pris รฉgal ร 3.
Mรฉthode de FRANK (1995), qui permet dโestimer le tassement en tรชte dโun pieu
isolรฉ par les relations suivantes :
v0 = 0,6 % . B pour un pieu forรฉ ;
27
v0 = 0,9 % . B pour un pieu battu, en considรฉrant que la charge verticale est รฉgale ร 0,7.Qc.
1.4.2. Les mรฉthodes dโรฉlasticitรฉ
On considรจre dans ces mรฉthodes que le sol est un massif รฉlastique isotrope. Plusieurs
auteurs, ร savoir POULOS (1968), BANERJEE & BUTTERFIELD (1978) et
RANDOLPH (1978), ont proposรฉs des mรฉthodes basรฉes sur la solution fondamentale de
MINDLIN (1936) du problรจme dโune force verticale enterrรฉe dans un massif รฉlastique
semi-infini. Le tassement en tรชte du pieu est donnรฉ en gรฉnรฉral par :
v0 = ๐.๐ผ๐ฃ
๐ธ ๐ท .๐ต (1.27)
E(D) : module dโรฉlasticitรฉ du sol ร la base du pieu;
D : fiche du pieu ;
B : diamรจtre du pieu.
Iv : facteur de tassement. Il dรฉpend de la compressibilitรฉ relative sol /pieu K = Ep / E, de
lโรฉlancement du pieu D/B et du coefficient de Poisson ๐ . Ep reprรฉsente le module
dโรฉlasticitรฉ du pieu.
Une formulation analytique du facteur de tassement, รฉtablie par RANDOLPH et WORTH
(1978) pour le cas dโun sol homogรจne et un sol de GIBSON, est donnรฉe comme suit :
๐ผ๐ฃ = 4. 1 + ๐ .1+
8
๐ .๐ .๐ .(1โ๐) ๐ท
๐ต tanh (๐ .๐ท)
๐ .๐ท
4
1โ๐ .๐+
4.๐ .๐ฝ
๐ผ ๐ท
๐ต tanh (๐ .๐ท)
๐ .๐ท
(1.28)
Les expressions des facteurs ๐ผ, ๐ฝ, ๐, ๐ ๐๐ก ๐ sont donnรฉs en fonction de E, Eb, ๐, D et B [3].
Par soucis de simplification, les valeurs de Iv sont rรฉsumรฉes dans des tableaux pour le cas
dโun sol homogรจne et celui de GIBSON [3].
On peut citer dโautres mรฉthodes qui se basent sur lโรฉlasticitรฉ pour la dรฉtermination du
tassement des pieux ร savoir la mรฉthode de POULOS et DAVIS (1980), mรฉthodes de
RANDOLPH et WROTH (1978), mรฉthodes de BANERJEE et BUTTERFIELD (1971) et
la mรฉthode de CHRISTOULAS (1976) [6].
28
1.4.3. Les mรฉthodes des courbes t-z, q-z (ou thรฉorie de transfert des charges)
Lโinterface sol /pieu est discrรฉtisรฉ en une infinitรฉ de ressorts indรฉpendants qui reprennent
les contraintes de frottement latรฉral ๐ et les pressions verticales qp ร la base du pieu en
ignorant la continuitรฉ du sol (Figure 1.5). Le transfert de charges du pieu au sol se fait par
le biais de ces ressorts, les courbes de transfert de charge dรฉcrivent alors la relation entre la
rรฉsistance unitaire transfรฉrรฉe au sol qui entour le pieu et le dรฉplacement relative du pieu par
rapport au sol dans chaque couche. On suppose que les contraintes mobilisรฉes ร lโinterface
sol/pieu, ร une profondeur donnรฉe, sont proportionnelles aux tassements correspondants,
telles que :
๐(z)=B0(Z).v(Z) (1.29)
qp = R0.๐ฃ(๐ท)
๐ต (1.30)
D
R0
03B
0nB
B02
01B
Figure 1.5 : Schรฉma du principe de la mรฉthode transfert de charges
Lโรฉquilibre dโune tranche infinitรฉsimale du pieu se traduit par lโรฉquation diffรฉrentielle
suivante :
๐2๐ฃ
๐๐2 โ ๐2 . ๐ฃ = 0 (1.31)
29
๐ = 4.๐ต0
๐ธ๐ .๐ต (1.32)
Dans le cas dโun sol caractรฉrisรฉ par B0 constant avec la profondeur, le tassement en tรชte du
pieu est donnรฉ par :
๐ฃ0 = 4.๐
๐.๐ต.
1+ R 0.tanh (๐ .๐ท)
๐ .๐ต .๐ธ๐
๐ 0+๐ .๐ต.๐ธ๐ .tanh (๐.๐ท) (1.33)
Dans le cas dโun pieu incompressible ( ๐ธ๐
๐ธ= โ ), le tassement se rรฉduit ร la formule
suivante :
๐ฃ0 = 4.๐
๐.๐ต.
1
(๐ 0+4.๐ท.๐ต0) (1.34)
Certains auteurs ont recommandรฉ des corrรฉlations entre les paramรจtres B0 et R0 et le
module dโรฉlasticitรฉ du sol [3].
1.4.4. Mรฉthode des รฉlรฉments finis
La mรฉthode des รฉlรฉments finis (M.E.F.) est actuellement trรจs utilisรฉe dans les calculs
gรฉotechniques pour simuler des configurations compliquรฉes et permettre de manipuler un
nombre important de paramรจtres (caractรฉristiques du sol, lois de comportement,โฆetc.).
Malgrรฉ sa grande puissance inspirรฉe du dรฉveloppement des micro-ordinateurs, lโutilisation
de la M.E.F. nรฉcessite de donner une attention particuliรจre ร lโintroduction des donnรฉes et ร
lโinterprรฉtation des rรฉsultats obtenus pour se rapprocher au maximum du comportement
rรฉel du sol et mieux tenir compte de lโinteraction sol/pieu.
1.5. Comportement des pieux sous chargement dynamique
1.5.1. Pieux sous vibrations verticales [7]
BARKAN (1962) propose la dรฉtermination de la rigiditรฉ sol-pieu ร partir dโun chargement
cyclique vertical similaire ร un chargement cyclique sur une plaque. La relation entre la
charge P et le tassement รฉlastique z1 est une droite ayant lโรฉquation suivante :
P = k.z1 (1.35)
30
k รฉtant le coefficient de rรฉsistance รฉlastique du pieu. Il dรฉpend des propriรฉtรฉs du sol, des
caractรฉristiques du pieu (longueur,โฆetc.) et de la durรฉe que le pieu a restรฉ dans le sol. A
titre dโexemple, la rรฉsistance รฉlastique dโun pieu aura des valeurs diffรฉrentes pendant et
parfois aprรจs lโopรฉration de forage, surtout dans le cas des argiles molles.
La frรฉquence propre dโun pieu sous vibrations verticales est donnรฉe par :
๐ =1
2๐
๐
๐ (1.36)
Oรน m reprรฉsente la masse du pieu et la charge statique sur le pieu. On traite sรฉparรฉment les
deux cas de figures suivants :
Pieu travaillant en pointe ;
Pieu frottant ;
a) Pieu travaillant en pointe
Il sโagit de pieux forรฉs dans un sol mou, et ancrรฉs dans un substratum rocheux. Il nโaura
pas de dรฉformation de la base du pieu en lui appliquant un chargement dynamique. Le pieu
est alors considรฉrรฉ comme une barre รฉlastique encastrรฉe ร une extrรฉmitรฉ, et dont on fixe
une masse m ร lโautre extrรฉmitรฉ libre (figure 1.6).
Figure 1.6 : Barre encastrรฉe portant sur son extrรฉmitรฉ libre une masse concentrรฉe pour
schรฉmatiser le pieu travaillant en pointe
Si aucune masse nโest attachรฉe ร la tรชte, on aura ร faire ร une colonne rรฉsonante ayant pour
pulsation de rรฉsonance (PRAKASH et PURI, 1988) :
๐๐ = 2๐โ1 ๐ ๐ฃ๐
2๐ (1.37)
31
๐๐ : Pulsation propre (rad / sec) ;
๐๐ : vitesse de lโonde longitudinale qui se propage dans la barre ;
Ep : Module dโรฉlasticitรฉ du pieu ;
๐ =๐พ
๐โถ Densitรฉ du matรฉriau qui constitue le pieu ;
l : Longueur du pieu.
Pour n=1, on trouve rapidement :
๐1 =๐ฃ๐
4๐=
1
4๐
๐ธ๐
๐
Avec :
fn= la frรฉquence propre de la barre en Hz.
Le dรฉplacement u (= f(x,t)) dโune barre en vibration est donnรฉ par :
u = U (A cos ๐๐ t + B sin ๐๐ t) (1.39)
Dans le cas oรน le poids du pieu est nรฉgligeable devant la masse supportรฉe, la frรฉquence
propre est obtenue en appliquant les conditions aux limites ร une barre de masse nulle en
vibration :
U = 0 ร x = 0
Lโรฉquation diffรฉrentielle en fonction de x et t est donnรฉe par :
๐2๐ข
๐๐ก2 = โ๐๐2 U (A cos ๐๐ t + B sin ๐๐ t) (1.40)
U est une fonction de x, dรฉfinissant le dรฉplacement, et A et B sont des constantes
dโintรฉgration.
Pour une excitation longitudinale sur la barre, le dรฉplacement est nul ร lโextrรฉmitรฉ fixe, et
une force รฉgale ร lโinertie de la masse concentrรฉe est exercรฉe sur la barre. Lโรฉquation de
lโรฉquilibre dynamique sโรฉcrira alors :
F = ๐๐ข
๐๐ฅSE = - m
๐2๐ข
๐๐ก2 (1.41)
(1.38)
32
En remplaรงant lโรฉquation (1.40) dans (1.41) on aura :
๐๐ข
๐๐ฅSEp = m๐๐
2 U (1.42)
A la fin, on obtient :
SE ๐๐
๐๐ cos
๐๐ ๐
๐๐ =๐๐
2 m sin ๐๐ ๐
๐๐ (1.43 a)
Qui peut รชtre simplifiรฉe sous la forme suivante :
๐๐๐พ
๐ =
๐๐ ๐
๐๐ tan
๐๐ ๐
๐๐ (1.43 b)
Avec :
S.l. ๐พ : Poids de la barre ;
W : Poids de la masse ajoutรฉe.
La solution de lโรฉquation (1.43) est donnรฉe sur la figure 1.7, ร partir de laquelle la
frรฉquence propre en vibrations verticales peut รชtre dรฉterminรฉe.
Figure 1.7 : Solution de lโรฉquation (1.43) (dโaprรจs RICHART et al. 1970)
๐๐๐พ
๐
๐๐๐พ
๐
33
Afin dโillustrer lโinfluence du chargement axial sur la frรฉquence de rรฉsonance des pieux
ancrรฉs dans la roche, RICHART (1961) a introduit lโeffet de la charge axiale, la longueur
du pieu et le type de matรฉriau constitutif du pieu (figure 1.8). Les trois courbes en haut de
ce diagramme illustrent les frรฉquences de rรฉsonance de pieux non chargรฉs en acier, en
bรฉton et en bois respectivement, calculรฉes ร partir de lโรฉquation (1.43).
On constate que pour une longueur donnรฉe, la frรฉquence de rรฉsonnance diminue quand le
chargement vertical augmente (figure 1.8).
34
Figure 1.8 : Frรฉquences de rรฉsonance pour des oscillations verticales dโun pieu travaillant
en pointe et ancrรฉ dans un substratum rocheux et supportant une charge W
(dโaprรจs RICHART, 1962).
35
b) Pieux frottants (ou flottants)
Dans le cas des pieux frottants, et contrairement ร ceux travaillant en pointe, lโanalyse est
diffรฉrente. Parmi les mรฉthodes utilisรฉes pour dรฉterminer la rรฉponse des pieux flottants sous
charges verticales, on cite celles qui sont utilisรฉes le plus souvent en pratique ร savoir :
1. Lโanalyse tridimensionnelle, en utilisant la mรฉthode des รฉlรฉments finis (M.E.F.) par
exemple, qui considรจre la propagation des ondes ร travers le pieu et le sol.
2. Une analyse de la rรฉponse dโun systรจme composรฉ par une masse, un ressort et un
amortisseur schรฉmatisant le systรจme sol-pieu.
3. Une analyse รฉlastique dans laquelle on suppose que la propagation des ondes
รฉlastiques se fait uniquement horizontalement.
Lโanalyse tridimensionnelle est relativement onรฉreuse pour รชtre utilisรฉ ร chaque fois. Dans
le cas de pieux supportant les fondations des turbogรฉnรฉrateurs des stations nuclรฉaires, oรน
les tolรฉrances sont trรจs restreintes, de telles mรฉthodes sont utilisรฉes.
La solution des รฉquations dโune onde unidimensionnelle nโa pas รฉtรฉ utilisรฉe pour la
rรฉsolution du problรจme de la rรฉponse du pieu sous vibrations verticales (POULOS et
DAVIS, 1986). Des auteurs tels que BARKAN (1962) et MAXWELL et al. (1969)
utilisent le systรจme masse-ressort-piston, alors que dโautres chercheurs
(MADHAV et RAO, 1971) utilisent plutรดt un modรจle ร deux degrรฉs de libertรฉ.
La derniรจre approche, qui stipule que le sol est composรฉ de couches horizontales
infiniment รฉpais, donne une rรฉponse meilleure pour les vibrations verticales des pieux que
celle obtenue par MAXWELL et al. (1969).
Modรจle masse-ressort-piston de MAXWELL :
Dans la figure 1.9.a, on a schรฉmatisรฉ le pieu en vibration alors que son modรจle ร un degrรฉ
de libertรฉ est donnรฉ par la figure 1.9.b. La solution dโun tel systรจme est donnรฉe par
PRAKASH (1981) et PRAKASH et PURI (1988).
36
Figure 1.9 : Modรจle analytique dโun pieu flottant. (a) Systรจme sol-pieu, (b) modรจle du
systรจme mรฉcanique (MAXWELL et al., 1969).
๐0 =๐น0
๐โ๐๐2 2+(๐ถ๐)2 (1.44)
La masse m reprรฉsente lโensemble de la masse de lโoscillateur, le casque du pieu et la
charge statique au-dessus du sol.
c : coefficient dโamortissement
k : constante effective du ressort
m : masse รฉquivalente du systรจme
f : force pรฉriodique dโexcitation
f0 : magnitude de la force
dโexcitation
t : temps
z : dรฉplacement pรฉriodique
Az : amplitude du dรฉplacement
ฮฆ : dรฉphasage entre F0 et z
f : Frรฉquence (Hz)
37
1.5.2. Analyse dynamique des pieux sous vibrations verticales dโaprรจs NOVAK
Les principales hypothรจses utilisรฉes par NOVAK pour lโanalyse dynamique des pieux sous
vibrations verticales sont (NOVAK, 1974 et 1977a) :
La section du pieu est circulaire, et le matรฉriau du pieu ร un comportement
รฉlastique linรฉaire ;
Le pieu est de type " flottant " avec une parfaite connexion entre le pieu et le sol ;
Le mouvement est petit et lโexcitation est harmonique.
Sur la figure 1.10, on reprรฉsente un pieu รฉlastique sous vibrations verticales complexes
๐ค(z,t) (NOVAK, 1977) tel que :
๐ค ๐ง, ๐ก = ๐ค ๐ง ๐๐๐๐ก (1.45)
Avec :
๐ค ๐ง : amplitude complexe ร la profondeur z ;
i2 = -1
38
Figure 1.10 : Pieu vertical et notations
๐ โถ frรฉquence angulaire ;
t: temps.
Le mouvement du sol est repris par sa rรฉaction le long du pieu et une rรฉaction concentrรฉe ร
la tรชte. La rรฉaction du sol apparait dans lโรฉquation du mouvement dโun รฉlรฉment dz.
La rรฉaction rรฉpartie qui rรฉagie sur lโรฉlรฉment dz du pieu ร la profondeur z est donnรฉe par
(BARANOV, 1967 ; PRAKASH et PURI, 1988) :
๐ ๐ง, ๐ก ๐๐ง = ๐บ ๐๐1 + ๐๐๐2 ๐ค ๐ง, ๐ก ๐๐ง (1.46)
Oรน G est le module de cisaillement autour du pieu et :
39
๐๐1 = 2๐๐0๐ฝ1 ๐0 ๐ฝ0 ๐0 +๐1(๐0)๐0(๐0)
๐ฝ02 ๐0 +๐0
2(๐0) (1.47)
๐๐2 =4
๐ฝ02 ๐0 +๐0
2(๐0) (1.48)
Avec :
J0 (a0), J1 (a0) : Fonctions de BESSEL du 1er espรจce;
Y0 (a0), Y1 (a0) : Fonctions de BESSEL du 2 รจme
espรจce ;
Sฯ1 et Sฯ2 : fonctions de la frรฉquence adimensionnelle;
a0 = ๐0๐
๐๐
๐0: rayon du pieu
Vs = ๐บ
๐
๐ : densitรฉ massique du sol.
En introduisant les rรฉactions du sol dรฉfinies par lโรฉquation (1.46), lโรฉquation diffรฉrentielle
des vibrations axiales amorties dโun pieu est donnรฉe par :
๐1๐2๐ค(๐ง,๐ก)
๐๐ก 2 + ๐๐๐ค (๐ง,๐ก)
๐๐กโ ๐ธ๐๐
๐2๐ค(๐ง,๐ก)
๐๐ง 2 + ๐บ ๐๐1 + ๐๐๐2 ๐ค ๐ง, ๐ก = 0 (1.49)
Avec :
m1 : masse du pieu par unitรฉ de longueur ;
c : coefficient dโamortissement du pieu ;
Ep : module dโYoung du pieu ;
S : section du pieu.
Lโรฉquation (1.49) se rรฉduit ร une รฉquation diffรฉrentielle classique du mouvement
harmonique donnรฉe par lโรฉquation suivante :
๐ค ๐ง [โ๐1๐2 + ๐๐๐ + ๐บ ๐๐1 + ๐๐๐2 โ ๐ธ๐๐
๐2๐ค ๐ง
๐๐ง 2 = 0 (1.50)
40
La solution gรฉnรฉrale de cette รฉquation est ainsi donnรฉe par :
๐ค ๐ง = ๐ต๐๐๐ A ๐
๐+ ๐ถ ๐ ๐๐ A
๐
๐ (1.51)
Oรน :
l : longueur du pieu ;
B, C : constantes dโintรฉgration.
Le paramรจtre de frรฉquence complexe A est donnรฉ par :
A = ๐ 1
๐ธ๐๐ด[๐1๐
2 โ ๐บ๐๐1 โ ๐(๐๐ + ๐บ๐๐2)] (1.52)
Notons que :
A0 = ๐ ๐1๐
2
๐ธ๐๐ ๐พ =
๐2๐บ
๐ธ๐ ๐ (1.53)
Qui pour un pieu de section circulaire devient :
A0 =1
๐0
๐๐
๐
๐บ
๐ธ๐๐0 =
1
๐0
๐๐
๐๐๐0 (1.54)
๐พ =1
๐
๐บ
๐ธ๐
1
๐0
2
=1
๐
๐
๐๐ ๐๐
๐๐
1
๐0
2
(1.55)
Et
Avec :
Vc = ๐ธ๐
๐๐ : vitesse de lโonde longitudinale ;
ฯp : densitรฉ massique du pieu ;
๐ = A02 โ๐พ๐๐1 ๐ = โ๐พ ๐๐
1
๐บ+ ๐๐2 (1.56)
Et
๐ = ๐2 + ๐2 ๐ก๐๐ ๐ =๐
๐ (1.57)
Le paramรจtre de frรฉquence A est donnรฉ conventionnellement par :
A A
A
A
A
A
A
A
41
A = A 1 + i A 2 (1.58)
Avec :
A1= ๐ ๐๐๐ ๐
2 A2= ๐ ๐ ๐๐
๐
2 (1.59)
Les constantes dโintรฉgration B et C sont donnรฉes par les conditions aux limites.
A la tรชte du pieu, le mouvement harmonique avec lโamplitude unitaire est supposรฉ รฉgale ร
w(0,t) = l.eiwt
. Cela permet de conclure la premiรจre condition ร la limite suivante :
w 0 = 1 (1.60)
Le mouvement du pieu gรฉnรจre une rรฉaction concentrรฉe du sol R(t) ร sa base, qui aura la
forme R(t) = R eiฯt
, et dont son amplitude R est donnรฉe par :
๐ = โ๐บ๐๐0 ๐ถ๐1 + ๐๐ถ๐2 ๐ค(๐) (1.61)
Avec :
Gb : module de cisaillement du sol sous la base du pieu ;
w(l) : amplitude complexe de la base du pieu ;
Cฯ1, et Cฯ2 : paramรจtres adimensionnels qui dรฉpendent de la frรฉquence a0 et du coefficient
de Poisson ฯ .
Quand Gb est trรจs grand (Gb โโ), le mouvement de la base tend a disparaitre,
correspondant ainsi au cas dโun pieu travaillant en pointe. Dans le cas oรน le sol et le pieu
ont des modules de cisaillement trรจs proches (Gb โG), le pieu devient flottant. La rรฉaction
du sol rรฉpartie P (z,t) contribue dans la rigiditรฉ et lโamortissement du systรจme dans les
deux cas (pieu travaillant en pointe ou flottant) mais ร diffรฉrents degrรฉs.
Les expressions polynรดmiales des paramรจtres Cฯ sont donnรฉes par les expressions
suivantes :
Pour ๐ = 0,25 on a :
๐ถ๐1 = 5,33 + 0,364 ๐0 โ 1,41 ๐02 (1.62 a)
๐ถ๐2 = 5,06 ๐0 (1.62 b)
A A A
A A
42
Pour ๐ = 0,5 on a :
๐ถ๐1 = 8,00 + 2,18 ๐0 โ 12,63 ๐02 + 20,73 ๐0
3 โ 16,47 ๐04 + 4,458 ๐0
5 (1.62 c)
๐ถ๐2 = 7,414 ๐0 โ 2,98 ๐02 + 4,324 ๐0
3 โ 1,782 ๐04 (1.62 d)
Les paramรจtres Cฯ et Sฯ sont donnรฉs sur la figure 1.11 en fonction de la frรฉquence
adimensionnelle. La force axiale positive (de traction) est donnรฉe par :
๐ ๐ = ๐ธ๐๐๐๐ค ๐ง
๐๐ง= ๐ธ๐๐ ๐
โ๐ต ๐ ๐๐ ๐ง
๐+ ๐ถ cos
๐ง
๐ (1.63)
En รฉgalisant la force dans le pieu avec la rรฉaction du sol donnรฉe par lโรฉquation (1.61), on
aura la condition ร la limite pour z=l, alors :
Figure 1.11 : Paramรจtres Sw1, Sw2, Cw1, et Cw2 selon NOVAK, 1977
๐ธ๐๐ ๐ โ๐ต ๐ ๐๐ + ๐ถ cos = โ๐บ๐๐0 ๐ถ๐1 + ๐๐ถ๐2 (๐ต๐๐๐ A +๐ถ ๐ ๐๐ A ) (1.64)
A partir des รฉquations (1.60) et (1.61) on obtient :
B = 1 (1.65)
A A A
A A A
43
La deuxiรจme constante dโintรฉgration est obtenue ร partir de lโรฉquation (1.64) :
๐ถ =๐พโฒ sin โ ๐ถ๐1+๐๐ถ๐2 cos
๐พโฒ cos + ๐ถ๐1+๐๐ถ๐2 ๐ ๐๐ ร 1 (1.66)
Et
๐พ โฒ =๐ธ๐๐
๐บ๐ ๐๐0 (1.67)
Pour un pieu circulaire, Kโ devient :
๐พ โฒ = ๐๐0๐ธ๐
๐๐บ๐= ๐
๐0
๐
๐
๐๐ ๐๐
๐๐
2
(1.68)
A partir des constantes dโintรฉgration, lโamplitude du dรฉplacement du pieu devient :
๐ค ๐ง = ๐ cos ๐ง
๐+ ๐ถ sin
๐ง
๐= ๐ค1 + ๐๐ค2 (1.69)
Tel que ๐ถ est donnรฉ par lโรฉquation (1.64).
Lโamplitude rรฉelle du mouvement est donnรฉe par :
๐ค ๐ง = ๐ค12 + ๐ค2
2 (1.70)
Et lโangle de dรฉphasage est donnรฉ par :
โ ๐ง = ๐ tan๐ค2
๐ค1 (1.71)
1.5.3. Evaluation de la rรฉponse dynamique dโun pieu en utilisant des รฉlรฉments hybrides
(NOORZAD et MASSOUMI,) [10]
1.5.3.1. Introduction
NOORZAD et MASSOUMI [10] ont proposรฉ une approche basรฉe sur la solution de
HANCUNO (1973) du problรจme de la rรฉponse dynamique dโun systรจme sol-pieu, en
considรฉrant le pieu comme une barre massique divisรฉe en piรจces assemblรฉes, et le sol
comme รฉtant un massif รฉlastique semi infini. Ce travail reprรฉsente une continuation des
travaux de KONAGAI et MATSUMOTO (1984), qui ont modifiรฉ lโapproche de
HANCUNO en remplaรงant la solution dynamique de MINDLIN (1964) par celle de
KELVIN en la combinant ร une technique qui satisfait approximativement les conditions
aux limites de contraintes libres en surface.
A A
A A A
A
A
A A A
A
44
1.5.3.2. Modรจle mathรฉmatique et formulation de la solution
On considรจre dans ce modรจle le pieu comme รฉtant une rangรฉe de disques rigides,
reprรฉsentant la propagation de lโonde du pieu vers le sol voisin. Les disques rigides sont
connectรฉs, dans le cas dโune excitation verticale, par des barres linรฉaires alors que dans le
cas dโune excitation horizontale ou flexionnelle, cette connectivitรฉ est assurรฉe par des
รฉlรฉments poutres (figure 1.12).
Figure 1.12 : Simulation du modรจle du pieu ; (a) modรจle rรฉel, (b) modรจle proposรฉ,
(b1) รฉlรฉment radial, (b2) รฉlรฉment fini
La rigiditรฉ dynamique du pieu ancrรฉ dans le sol peut รชtre obtenue analytiquement en
calculant la rigiditรฉ dynamique des disques rigides encastrรฉs (donnรฉe par NOORZAD et
KONAGAI, 1994), assemblรฉs par des รฉlรฉments poutres.
a. Rigiditรฉ dynamique verticale de la plaque circulaire
Le disque circulaire est considรฉrรฉ comme une plaque rigide de masse nรฉgligeable,
encastrรฉe dans un milieu poroรฉlastique (figure 1.13). La rigiditรฉ dynamique des disques
rigides est dรฉterminรฉe ร travers les รฉquations donnรฉes ci-dessous avec leurs conditions aux
limites correspondantes. Plus de dรฉtails sont donnรฉs par NOORZAD et KONAGAI (1994).
๐โโ2๐ข๐ + ๐โ + ๐โ + ๐๐ ๐ข๐,๐๐ + ๐๐๐ค๐ ,๐๐ = ๐๐ข ๐ + ๐๐๐ค ๐ (1.72 a)
๐๐ ๐ข๐ ,๐๐ + ๐ค๐,๐๐ = ๐๐๐ข ๐ +๐๐
๐๐ค ๐ + ๐๐ค ๐ (1.72b)
Avec :
ui : composante du dรฉplacement de la phase solide ;
wi : composante du dรฉplacement relative de la phase liquide par rapport ร la phase solide ;
๐โ = ๐(1 + 2๐๐ฝ) ; ๐โ = ๐(1 + 2๐๐ฝ)
45
ฮป et ฮผ : coefficients de Lamรฉ du sol en conditions drainรฉes ;
ฮฒ : coefficient dโamortissement hystรฉrรฉsis ;
i= โ1 ;
Qf : compressibilitรฉ du fluide, donnรฉe par : ๐๐ =๐๐๐๐
๐๐+ 1โ๐ ๐๐ ๐
kf : module dโรฉlasticitรฉ de la phase fluide ;
n : porositรฉ du sol ; s : degrรฉ de saturation ; Pa : pression de lโair ;
ฯf et ฯs : densitรฉs des phases fluide et solide respectivement ;
๐ =๐ ฯf n
๐ avec :
g : accรฉlรฉration de la gravitรฉ terrestre ;
k : coefficient de permรฉabilitรฉ du sol ;
Deux รฉtats de conditions aux limites sont associรฉs aux รฉquations (1.72 a) et (1.72 b):
A z=-h (contrainte libre et conditions drainรฉes) :
(๐๐ง๐ง)๐ผ = 0 ; (๐๐๐ง )๐ผ = 0 ; (๐)๐ผ = 0 (1.73)
p: pression de la phase fluide.
Le demi-espace est divisรฉ en deux zones (I et II), illustrรฉes ร la figure 1.13.
A z=0 :
(๐ข๐ง)๐ผ = (๐ข๐ง)๐ผ๐ผ , (๐ข๐)๐ผ = (๐ข๐)๐ผ๐ผ , (๐ค๐ง)๐ผ = (๐ค๐ง)๐ผ๐ผ, (๐ค๐)๐ผ = (๐ค๐)๐ผ๐ผ , (๐๐ง๐ง)๐ผ โ (๐๐ง๐ง)๐ผ๐ผ = ๐ ๐ ,
(๐)๐ผ = (๐)๐ผ๐ผ , (๐๐๐ง )๐ผ = (๐๐๐ง )๐ผ๐ผ (1.74)
Et ๐ ๐ =๐0
2๐๐0 1 โ
๐2
๐02
โ1
2 (1.75)
p0 : amplitude de la charge dans le disque encastrรฉ, transformรฉe de la charge dynamique de
la tรชte du pieu vers le point mentionnรฉ du mรชme pieu.
r0 : rayon du disque.
46
Figure 1.13 : Schรฉma de la plaque circulaire sous chargement vertical harmonique dans un
milieu poroelastic
b. Rigiditรฉ dynamique verticale du pieu
En rรฉsolvant lโรฉquation dynamique de la barre dans le domaine frรฉquentiel, la rigiditรฉ
dynamique du pieu est donnรฉe par :
๐พ๐ =๐ธ๐๐๐
sin (๐๐ฟ) cos(๐๐ฟ) โ1
โ1 cos(๐๐ฟ) (1.76)
Avec : ๐ = ๐๐2
๐ธ๐๐
1
2
m: masse par unitรฉ de longueur du pieu ;
Ep : module dโรฉlasticitรฉ du pieu ;
S : section du pieu.
ฯ : frรฉquence dโexcitation.
La solution en dรฉplacement peut รชtre donnรฉe come suit :
๐น๐ = ๐พ๐ ๐ข et ๐น๐ = ๐พ๐ ๐ข (1.77)
[Fp] et [Fs] : force transmise par le pieu et par le sol respectivement.
Dโaprรจs la figure 1.12, lโรฉquation dโรฉquilibre suivante peut รชtre รฉcrite :
47
๐น = ๐น๐ + ๐น๐ (1.78)
[F] : force externe.
En remplaรงant lโรฉquation (1.77) dans (1.78) on trouvera :
๐น = ๐พ ๐ข avec ๐พ = ๐พ๐ + ๐พ๐ (1.79)
Kp et Ks :rigiditรฉs relatives du pieu et du disque respectivement.
c. Validation
Les รฉquations รฉtablis dans lโapproche รฉvoquรฉe supra ont รฉtรฉ vรฉrifiรฉs en comparant les
rรฉsultats obtenus avec les solutions exactes dรฉveloppรฉes par dโautres chercheurs, a savoir
KAYNIA et KAUSEL (1991) pour le cas dโun pieu isolรฉ ancrรฉ dans le sol (figure 1.14).
[10]. Une bonne concordance est observรฉe entre les rรฉsultats obtenues par cette mรฉthode et
la solution existante ; la diffรฉrence, qui est remarquable dans le cas des frรฉquences รฉlevรฉes,
peut รชtre due aux multiples simplifications faites.
Figure 1.14 : Comparaison des rรฉsultats de cette approche avec la solution de KAYNIA et
KAUSEL (1991)
Cette approche a รฉtรฉ complรฉtรฉe par une รฉtude paramรฉtrique pour permettre dโรฉtudier
lโinfluence des diffรฉrents paramรจtres sur les rรฉsultats, en particulier le type de sol (mou ou
ferme), la permรฉabilitรฉ et la porositรฉ. On a constatรฉ que dans le cas dโun sol mou, la
fonction dโimpรฉdance du pieu ne change pas pour diffรฉrentes valeurs du coefficient de
permรฉabilitรฉ. Par contre, pour un sol ferme, lโeffet de la permรฉabilitรฉ sur la fonction
dโimpรฉdance est plus remarquable.
48
Finalement, cette mรฉthode, de par sa simplicitรฉ, offre une alternative aux solutions
rigoureuses.
1.5.4. Diagramme de stabilitรฉ cyclique (POULOS, 1988)) [8]
1.5.4.1. Notion du diagramme de stabilitรฉ cyclique pour les pieux chargรฉs axialement
Dans le but de dรฉfinir des critรจres de dimensionnement pour les pieux soumis ร des
chargements cycliques, POULOS (1988) a introduit un diagramme qui permet de synthรฉtiser la
rรฉponse dโun pieu soumis ร ce type de chargement.
Ce diagramme, dรฉfini pour un nombre de cycles N fixรฉ, est composรฉ de trois zones
(figure 1.15), dans lesquelles le pieu se comporte diffรฉremment :
Zone A : prรฉsentant une rรฉgion cycliquement stable, oรน la charge cyclique nโinflue
pas la capacitรฉ portante axiale du pieu.
Zone B : une rรฉgion cycliquement en รฉquilibre mรฉtastable, dans laquelle le
chargement cyclique cause une certaine dรฉgradation dans la capacitรฉ portante axiale
du pieu, sans quโil rentre en rupture, en deรงร dโun certain nombre de cycles.
Zone C : une rรฉgion dโinstabilitรฉ cyclique, dans laquelle le chargement cyclique
cause une importante rรฉduction de la capacitรฉ portante du pieu conduisant ร la
rupture ร moins dโun certain nombre de cycles.
Lโauteur estime que le pieu atteint la rupture sous chargement cyclique (et donc il le classe
dans la zone instable) quand lโaccumulation des dรฉplacements permanents dรฉpassent 1/10
du diamรจtre [9].
Le diagramme de stabilitรฉ permet notamment de mettre en รฉvidence le caractรจre dรฉfavorable de
ce type de chargement par rapport au chargement monotone ; la rupture pouvant se produire
pour des efforts appliquรฉs infรฉrieurs ร ceux nรฉcessaires ร lโobtention de la rupture dans le cas
monotone.
1.5.4.2. Construction du diagramme de stabilitรฉ cyclique
La limite supรฉrieure du diagramme de stabilitรฉ cyclique, schรฉmatisรฉe sur la figure 1.15 par
une paire de droites FC et TF, reprรฉsentent en effet les combinaisons entre les charges
normale et cyclique, causant la rupture sโil nโy aura pas de dรฉgradation dans la capacitรฉ
portante. Ces droites sont dรฉfinies par les relations suivantes :
49
- Rupture en compression (droite FC) :
pour P0= Qc, la rupture est obtenue pour Pc =0 ;
pour P0=0, la rupture est obtenue pour Pc = Qc.
On obtient ainsi pour la compression :
๐0
๐๐+
๐๐
๐๐= 1 (ou bien P0 + Pc = Qc ) (1.80)
- Rupture en traction (droite TF)
pour P0= Qt, la rupture est obtenue pour Pc =0 ;
pour P0=0, la rupture est obtenue pour Pc = Qt.
La droite limite en traction sโรฉcrit donc :
๐0
๐๐โ
๐๐
๐๐= โ
๐๐ก
๐๐ (ou bien P0 - Pc = - Qt ) (1.81)
Avec :
P0 : charge moyenne ;
Pc : amplitude de chargement cyclique;
Qc : capacitรฉ portante statique en compression ;
Qt : capacitรฉ portante statique en traction ;
Comme Qc est gรฉnรฉralement supรฉrieure ร Qt, le pique du diagramme (reprรฉsentรฉ par le
point F) est dรฉcalรฉ ร droite de lโorigine. De ce fait, lโamplitude maximale de la charge
cyclique est atteinte quand la charge verticale est de compression, et dont la valeur est
รฉgale ร (Qc โ Qt)/2. Par consรฉquent, les combinaisons de charges qui se situent ร droite du
point F causent une rupture du pieu en compression, alors que celles se trouvant ร gauche
donnent lieu ร des ruptures en traction.
Quand la dรฉgradation de la capacitรฉ portante aura lieu, la charge cyclique maximale qui
peut รชtre atteinte sans rupture est obtenue ร une charge moyenne รฉgale ร (Qc โ Qt)/2, qui
peut รชtre considรฉrรฉe comme un niveau de charge principal optimum.
Dans le cas des pieux ayant une grande capacitรฉ portante en pointe (ce qui signifie que Qc
est plus grande que Qt), il est possible dโamรฉliorer les performances cycliques du pieu en
augmentant la charge principale.
50
Un diagramme de stabilitรฉ cyclique, comme celui schรฉmatisรฉ sur la figure 1.15, reprรฉsente
le comportement du pieu pour un nombre spรฉcifiรฉ de cycles N ; en augmentant N, les
limites des zones stable et mรฉtastable vont dรฉplacรฉs, avec une augmentation de la zone
instable C.
Figure 1.15 : Diagramme de stabilitรฉ cyclique dโaprรจs POULOS, 1988 [8]
1.5.4.3. Exemple de diagramme de stabilitรฉ cyclique
Afin de concrรฉtiser les notions citรฉes supra, un exemple de diagramme de stabilitรฉ cyclique
est donnรฉ sur la figure 1.17. Dโautres exemples de diagrammes de stabilitรฉ rรฉsultant des
essais de chargement rรฉalisรฉs in situ et en laboratoire sont rรฉsumรฉs dans la rรฉfรฉrence [9].
Le pieu รฉtudiรฉ dans cet exemple est un tube en mรฉtal, foncรฉ dans une argile normalement
consolidรฉe dans laquelle la rรฉsistance au cisaillement et le module dโรฉlasticitรฉ augmentent
51
linรฉairement avec la profondeur. Les caractรฉristiques du pieu sont mentionnรฉes sur la
figure 1.16.
La figure 1.17 exprime la relation chargement-dรฉplacement sous une charge statique, qui
montre une relation linรฉaire, avec une charge statique limite en compression de
Qc = 51,3 MN et en traction de Qt = 47,7 MN. La figure 1.17 exprime le diagramme de
stabilitรฉ cyclique du pieu sous 100 cycles de chargement uniforme.
On remarque que pour les paramรจtres choisies, la charge cyclique maximale qui peut
รชtre supportรฉe pour un nombre de cycles de 100 est dโenviron 0,48 Qc, qui correspond ร
une charge verticale optimale de (Qc โ Qt)/2.
Figure 1.16 : Exemple dโun pieu en acier dans lโargile
Une assez bonne concordance a รฉtรฉ enregistrรฉe en comparant les rรฉsultats obtenus par
POULOS avec quelques essais sur des pieux sous chargement cyclique axial.
B = 1,50 m
L =
90 m
P0 ยฑPc
Argile normalement
consolidรฉe
๐๐๐ = ๐๐๐ = 2,5 z (en kPa)
Es = 1,5 z (en MPa)
Pieu sous forme de tube
dโรฉpaisseur e = 60 mm.
52
Charge cyclique normalisรฉe ยฑ P0 / Qc
Charge princpale normalisรฉe P0 / Qc
Lรฉgende:
Zone stable
Zone mรฉtastable
Zone instable
Figure 1.17 : Diagramme de stabilitรฉ cyclique pour un pieu forรฉ dans lโargile avec un
nombre de cycles N = 100.
1.6. Modรฉlisation du chargement harmonique axial par la mรฉthode de GAZETAS [12]
On se limitera ci-aprรจs aux travaux de recherche de GAZETAS, qui ont contribuรฉ ร la
comprรฉhension de lโinteraction dynamique pieu-sol-pieu sous un chargement harmonique.
Ces travaux sont basรฉs sur la modรฉlisation du problรจme par รฉlรฉments finis linรฉaires.
Les rรฉsultats de modรฉlisation du problรจme de chargement axial harmonique dโun pieu, par
la mรฉthode des รฉlรฉments finis, menรฉe par GAZETAS (1991), ont montrรฉ quโen deรงร dโun
certain รฉlancement D/B du pieu, la rigiditรฉ dynamique est รฉgale ร la raideur statique du
pieu pour des profils constant et parabolique du module de dรฉformation. Ce fait se
manifeste aussi pour un profil linรฉaire, quel que soit lโรฉlancement :
- Profil constant de Es(z):
1k v pour D/B < 15 (1.82)
0v a1k pour D/B โฅ 50 (1.83)
- Profil parabolique de Es(z):
1k v pour D/B < 20 (1.84)
0v a3
11k pour D/B โฅ 50 (1.85)
53
- Profil linรฉaire de Es(z):
1k v (1.86)
A rappeler que kv, appelรฉ coefficient dโimpรฉdance, reprรฉsente le rapport entre la raideur
dynamique et la raideur statique.
Pour des valeurs intermรฉdiaires de lโรฉlancement, il est possible dโinterpoler les valeurs de
kv [12].
Lโรฉvaluation de la raideur statique peut se faire ร partir de mรฉthodes citรฉes dans la
bibliographie.
La mรฉthode de GAZETAS (1991), applicable aux pieux flottants donne la raideur statique
vis ร vis du chargement axial qui dรฉpend de lโรฉlancement du pieu, de la compressibilitรฉ
relative pieu-sol, du diamรจtre du pieu, ainsi que du module de dรฉformation du sol. Elle est
donnรฉe comme suit :
c
p
b
sD
s
v KB
DBaEK
(1.87)
Les coefficients a, b et c sont donnรฉs au tableau 1.1 pour trois distributions du module
de dรฉformation du sol en fonction de la profondeur. EsD est le module de dรฉformation du
sol ร la base du pieu et Kp est la compressibilitรฉ relative pieu/sol, รฉvaluรฉe comme รฉtant le
rapport du module dโรฉlasticitรฉ Ep du pieu ร celui du sol ร la base du pieu.
A noter que lโamortissement gรฉomรฉtrique ne se manifeste quโau delร dโun certain seuil
de frรฉquence. Le coefficient Cpv de lโamortisseur, intervenant dans la partie imaginaire de
la fonction dโimpรฉdance en tรชte du pieu, a รฉtรฉ formulรฉ comme suit :
- Profil constant de Es(z):
sd
2.0
0
v
p VBDra2
3C
pour f >1.5fr (1.88)
Cpv=0 pour f โค fr (1.89)
- Profil parabolique de Es(z):
sHd
25.0
0
v
p VBDra4
3C
pour f >1.5fr (1.90)
Cpv=0 pour f โค fr (1.91)
54
- Profil linรฉaire de Es(z):
sHd
33.0
0
v
p VBDra3
2C
pour f >1.5fr (1.92)
Cpv=0 pour f โค fr (1.93)
La frรฉquence seuil fr est donnรฉe en fonction de la cรฉlรฉritรฉ analogique Vla de LYSMER,
pour une couche รฉpaisse de H, comme suit [12]:
H)1(4
V4.3
H4
Vf sla
r
(1.94)
Tableau 1.1 : Valeurs des coefficients intervenant dans le calcul de KVs
Profil de Es(z) a b c
Constant 1.90 0.67
pK
B/D
Linรฉaire 1.80 0.55
pK
B/D
Parabolique 1.90 0.60
pK
B/D
Le coefficient rd est un paramรจtre adimensionnel tenant compte des effets de la
compressibilitรฉ relative pieu/sol et de son รฉlancement sur lโamortissement, et est donnรฉ
par:
-Profil constant de Es(z) :
2
1B
D
K
d
p
er (1.95)
55
- Profil parabolique de Es(z) :
2
p
B
D
K5.1
d e1r (1.96)
- Profil linรฉaire de Es(z) :
2
p
B
D
K2
d e1r (1.97)
La compressibilitรฉ relative Kp est dรฉfinie dans ce cas comme รฉtant le rapport du module
dโYoung du pieu Ep, ร celui du sol ร la base de la couche รฉtudiรฉe (cโest ร dire ร la
profondeur H). La cรฉlรฉritรฉ VsH est aussi calculรฉe ร la base de la couche.
La frรฉquence adimensionnelle est dรฉfinie en faisant intervenir la cรฉlรฉritรฉ VsH :
BV
asH
0 (1.98)
1.7. Paramรจtres influenรงant le comportement d'une fondation profonde isolรฉe [9]
1.7.1. Mode d'installation des pieux
Il existe diffรฉrentes mรฉthodes d'installation des pieux. En France par exemple, on peut
distinguer cinq catรฉgories de fondations profondes (Fascicule nยฐ62 Titre V, 1993) : pieux
faรงonnรฉs ร l'avance (le plus souvent battus), pieux ร tube battus en place, pieux forรฉs, puits
et micropieux.
On prรฉsente tout dโabord lโinfluence des diffรฉrentes mรฉthodes d'installation sur le sol au
voisinage du pieu (dรฉformations, dรฉplacements, densification), ainsi que sur la capacitรฉ
portante du pieu.
ROBINSKI & MORRISON (1964) ont effectuรฉ une sรฉrie d'essais sur des modรจles de pieux
foncรฉs dans un sable lรขche et ont visualisรฉ les dรฉplacements du sol autour du modรจle par
radiographie. Ils ont constatรฉ des dรฉplacements importants et une densification du sol sous
la pointe qui sont suivis par un dรฉplacement du sol vers le bas (direction de fonรงage) ร
proximitรฉ du fรปt (figure 1.18 (a)). Le mouvement des grains est quantifiable jusqu'ร une
56
distance de 3 ou 4 diamรจtres de pieu dans la direction latรฉrale et de 2,5 ou 3,5 diamรจtres de
pieu sous de la pointe. VESIC (1965) a transformรฉ ces dรฉplacements en dรฉformations et on
peut ainsi observer des dรฉformations de compression pour le sol au dessous de la pointe et
des dรฉformations de traction pour le sol situรฉ au dessus (figure 1.18 (b)).
Dans le but de mieux comprendre la cinรฉmatique des mouvements du sol, SHAKHIREV et
al. (1996) ont prรฉsentรฉ une รฉtude sur le comportement d'un massif sableux lors du fonรงage
d'un pieu, qui a permis dโarriver aux conclusions suivantes :
(1) ร proximitรฉ du pieu de section constante, les dรฉplacements verticaux du sol sont
toujours dirigรฉs vers le bas et, ร une certaine distance du fรปt, le mouvement est plutรดt
ascendant (figure 1.19 (a)) ;
(2) le phรฉnomรจne (1) se traduit par la formation de deux zones (figure 1.19 (b)). La zone
(1) est une zone compactรฉe ร proximitรฉ immรฉdiate du pieu qui augmente avec la
profondeur. Elle est entourรฉe par la zone (2), qui est la zone d'inversion des dรฉplacements
verticaux et de refoulement du sol. De plus, les dรฉplacements horizontaux du sol
(figure 1.19 (c)) entraรฎnent รฉgalement la formation d'une zone comprimรฉe qui est
semblable ร la zone comprimรฉe dans la direction verticale.
(3) l'รฉtat de contrainte est รฉtudiรฉ par l'intermรฉdiaire de l'examen des zones de dรฉformation,
qui permet d'observer que lors du fonรงage, des contraintes verticales et horizontales de
compression apparaissent tant au niveau du fรปt qu'au dessous de la pointe.
57
Figure 1.18 : Dรฉplacements (a) et dรฉformations (b) du sol autour d'un pieu foncรฉ dans le
cas d'un massif sableux (ROBINSKI & MORRISON (1964) et VESIC (1965)) [9]
(a) (b) (c)
Figure 1.19 : Zones de dรฉformations du sol lors du fonรงage de modรจles de pieux dans du
sable; (a) dรฉplacements verticaux observรฉs (b) zones de sol compactรฉ โ et de
sol refoulรฉ โก autour des pieux et (c) zones de dรฉplacements horizontaux du sol
(SHAKIREV et al., 1996) [9]
Dโautres aspects plus complexes qui manifestent entre autres ainsi que le comportement de
lโinterface sol-pieu ne sont pas abordรฉs dans cette thรจse, nรฉanmoins ils sont expliquรฉs en
dรฉtail dans la rรฉfรฉrence [9].
58
En ce qui concerne le forage, peu de donnรฉes expรฉrimentales existent. Le comportement
des pieux forรฉs gravitaires est souvent considรฉrรฉ comme รฉtant รฉquivalent ร celui des pieux
moulรฉs en laboratoire (mode d'installation non refoulant), c'est ร dire mis en place avant la
mise en place du sol. Nรฉanmoins, de nombreuses techniques de forage (perforateur R-SOL,
forage avec pression d'injection, etcโฆ) produisent des phรฉnomรจnes de refoulement
analogues ร ceux produits lors du fonรงage.
La mรฉthode de fabrication d'un pieu ou d'un micropieu peut donc avoir une influence
significative sur sa rรฉponse mรฉcanique. En effet, dans le cas de modes d'installation
entraรฎnant un refoulement du sol (battage, fonรงage), les grandes dรฉformations du sol
occasionnรฉes peuvent entraรฎner des modifications de l'รฉtat de contraintes du sol au
voisinage de la pointe et du fรปt.
FORAY et al. (1989) ont effectuรฉ des essais en chambre d'รฉtalonnage afin de mettre en
รฉvidence l'influence du mode d'installation sur la capacitรฉ portante des pieux dans les
sables. Les inclusions, instrumentรฉes, ont รฉtรฉ installรฉes par moulage, fonรงage et battage,
puis chargรฉes. Les rรฉsultats en termes de frottement latรฉral moyen (fs) et de rรฉsistance en
pointe (qp) sont prรฉsentรฉs sur la figure 1.20 (a) et (b) . L'influence de la procรฉdure
d'installation sur les rรฉsultats est dรฉterminante. En effet, on constate que le frottement
latรฉral et la rรฉsistance en pointe les plus faibles sont obtenus pour l'inclusion moulรฉe. Ces
figures mettent aussi en รฉvidence l'influence de la contrainte verticale.
Figure 1.20 : Mobilisation du frottement latรฉral et de la rรฉsistance en pointe en fonction du
mode de mise en place (FORAY et al., 1989) [9]
59
1.7.2. Indice de densitรฉ et contrainte de consolidation
PUECH et al. (1979) ont rรฉalisรฉ des essais dโarrachement monotone sur un pieu modรจle
moulรฉ dans un sable et ceci pour deux indices de densitรฉ (0,20 et 0,70). La figure 1.21 (a)
prรฉsente lโรฉvolution du coefficient K au cours de lโarrachement. On observe une
augmentation de ce coefficient K (et donc de la contrainte normale), par rapport au
coefficient K0
au cours de lโarrachement, de lโordre de 300 % et 800 % pour les densitรฉs
faible et forte respectivement. Cette augmentation de la contrainte horizontale en cours
dโarrachement est expliquรฉe par le fait que le sol a tendance ร augmenter de volume,
tendance qui va se trouver empรชchรฉe par le massif environnant. Le phรฉnomรจne de dilatance
du sable est dโautant plus important que la densitรฉ est รฉlevรฉe et que la contrainte est faible.
FRANCIS (1997) a รฉgalement รฉtudiรฉ, grรขce ร une รฉtude rรฉalisรฉe en chambre d'รฉtalonnage,
l'influence de la contrainte de consolidation ainsi que l'influence de l'indice de densitรฉ sur
le frottement latรฉral, et a montrรฉ des rรฉsultats similaires ร ceux prรฉsentรฉs ci-dessus.
En ce qui concerne la rรฉsistance en pointe, de nombreux essais ont รฉtรฉ effectuรฉs en
chambre d'รฉtalonnage (SCHMERTMANN (1978), BALDI et al. (1981), HOULSBY and
HITCHMAN (1988), CANOU (1989), etcโฆ). La figure 1.21 (b) synthรฉtise les rรฉsultats
d'essais rรฉalisรฉs en chambre d'รฉtalonnage par HOULSBY et al. (1988). Ces auteurs
montrent que la rรฉsistance en pointe (qc) augmente avec l'indice de densitรฉ et qu'elle
dรฉpend davantage de la contrainte effective horizontale (ฯโh) que de la contrainte effective
verticale (ฯโv).
De mรชme, FRANCIS (1997) a trouvรฉ des rรฉsultats similaires pour l'influence de la
contrainte de consolidation et de l'indice de densitรฉ sur la rรฉsistance en pointe.
60
Figure 1.21 : (a) Evolution du coefficient de pression latรฉrale avec l'arrachement statique :
sable lรขche et sable dense (Puech et al. 1979) [9]
Figure 1.21 (b) Evolution du coefficient de contrainte latรฉrale avec l'arrachement statique :
sable lรขche et sable dense (PUECH et al. 1979) [9]
1.7.3. Traction et compression
De nombreuses รฉtudes ont permis d'observer que le frottement latรฉral limite mesurรฉ en
compression est souvent diffรฉrent de celui mesurรฉ en traction. FEDA (1976) a attribuรฉ ce
phรฉnomรจne ร l'effet de l'histoire du chargement et aux diffรฉrentes techniques de mise en
place. L'auteur a trouvรฉ que le rapport entre le frottement latรฉral moyen mesurรฉ en traction
le long du fรปt et celui mesurรฉ en compression est รฉgal ร l'unitรฉ dans le cas des pieux
moulรฉs et ร 1/2 et 2/3 dans le cas de pieux battus et foncรฉs.
61
1.7.4. Inclinaison des pieux
Quand les efforts horizontaux prรฉvus sont assez importants en tรชte de pieu, l'emploi des
pieux inclinรฉs est plus adรฉquat (moment flรฉchissant important). AWAD et PETRASOVITS
(1968) ont effectuรฉ une รฉtude sur le comportement des pieux isolรฉs (battus) verticaux et
inclinรฉs soumis ร des chargements verticaux et inclinรฉs, en compression, dans un sol
pulvรฉrulent dense. Ils ont trouvรฉ que, pour les pieux inclinรฉs soumis ร un chargement
vertical, la charge maximale รฉtait obtenue pour une inclinaison du pieu de 22,5ยฐ. De mรชme,
CHATTOPADHYAY et PISE (1989) ont รฉtudiรฉ le comportement mรฉcanique des pieux
inclinรฉs soumis ร des chargements verticaux, en arrachement et ont trouvรฉ que, pour trois
rapports L/D de pieux, le maximum de capacitรฉ portante รฉtait obtenu pour une inclinaison
de pieux comprise entre 15ยฐ et 22,5ยฐ.
1.7.5. Vitesse de chargement
L'influence de la vitesse de chargement est รฉgalement un paramรจtre ร prendre en compte,
celle-ci pouvant avoir une influence sur le comportement de l'interface sol-pieu et du sol
autour de la pointe. On prรฉsente, ici, quelques รฉlรฉments relatifs ร l'influence de la vitesse
sur la capacitรฉ portante des pieux.
En ce qui concerne la rรฉsistance en pointe, il a รฉtรฉ montrรฉ (DAYAL et ALLEN (1975),
JURAN & TUMAY (1989), DE GENNARO (1999)) que la vitesse de chargement avait
peu d'influence. Par contre, en ce qui concerne le frottement latรฉral, DE GENNARO
(1999) a effectuรฉ une รฉtude expรฉrimentale en chambre d'รฉtalonnage et a montrรฉ que
lorsque la vitesse de chargement augmentait de 0,1 mm/min ร 100 mm/min, le frottement
mobilisรฉ sur le modรจle de pieu diminuait.
1.8. Modรฉlisation physique en chambre dโรฉtalonnage
1.8.1. Introduction
Les dispositifs expรฉrimentaux de type chambre dโรฉtalonnage (ou chambre de calibration)
sont apparus il y a presque 50 ans, dans le domaine de la recherche en mรฉcanique des sols.
Ce sont des รฉquipements originalement introduits pour รฉtalonner des sondes dโessais in situ
62
(pรฉnรฉtromรจtres). Suivant leurs dimensions, on peut distinguer deux classes dโรฉquipements,
les chambres de grande taille et les chambres de taille plus rรฉduite (ฯ<0,6 m)
(DUPLA, 1995).
L'utilisation des chambres d'รฉtalonnage est devenue de plus en plus rรฉpandue dans lโรฉtude
des fondations profondes. L'avantage de ces dispositifs d'essai est de pouvoir rรฉaliser des
รฉtudes paramรฉtriques suffisamment complรจtes sur des expรฉrimentations, au lieu de rรฉaliser
des expรฉriences in situ qui demandent une mise en ลuvre beaucoup plus importante et par
consรฉquent un coup รฉlevรฉ. Ces รฉtudes paramรฉtriques peuvent ensuite permettre de cibler de
maniรจre optimale les quelques expรฉriences que l'on peut se permettre de rรฉaliser en vraie
grandeur.
1.8.2. Principe de modรฉlisation en chambre dโรฉtalonnage
Les simulations physiques en laboratoire peuvent รชtre dรฉcrites de la maniรจre suivante :
dans des massifs de sol suffisamment grands pour reprรฉsenter un massif semi-infini, des
inclusions instrumentรฉes simulent des pieux. Dans le cas de la centrifugeuse, on simule un
massif semi-infini dans lequel on installe des modรจles rรฉduits de pieux.
La chambre dโรฉtalonnage permet de reconstituer, par pluviation, des massifs de sable de
dimensions relativement importantes. Le massif de sol simule une tranche รฉlรฉmentaire de
sol aux conditions initiales donnรฉes (profondeur et indice de densitรฉ) et les inclusions
instrumentรฉes simulent le comportement de la ยซ tranche ยป de pieu correspondante. Ainsi, la
chambre dโรฉtalonnage permet de tester une tranche รฉlรฉmentaire du pieu et du sol
environnant, ร paramรจtres constants. De plus, il est possible dโimposer des conditions aux
limites en contrainte ou en dรฉplacement.
63
Figure 1.22 : Vue dโensemble de la chambre dโรฉtalonnage du CERMES (ENPC), France
(dโaprรจs H. BEKKI)
1.8.3. Les conditions aux limites applicables en chambre dโรฉtalonnage
En chambre dโรฉtalonnage, les conditions aux limites sont appliquรฉes ร une distance finie
sur un massif de sol de dimension aussi finie. Le respect de quelques conditions relatives ร
la taille de l'inclusion et du massif peut nous permettre de faire l'hypothรจse d'un massif de
sol semi-infini. Quatre (04) conditions aux limites sont principalement utilisรฉes
(figure 1.23).
La condition BC1 consiste ร maintenir les contraintes horizontales et verticales constantes.
En ce qui concerne la condition BC2, il sโagit de bloquer les dรฉformations du massif ร sa
pรฉriphรฉrie. La condition BC3 correspond ร l'รฉtat de contraintes existant dans un massif de
sol horizontal indรฉfini (รฉtat K0). La condition BC4 consiste ร maintenir une contrainte
horizontale constante et ร bloquer les dรฉformations verticales en partie supรฉrieure et
infรฉrieure du massif.
Une description plus dรฉtaillรฉe des รฉquipements utilisรฉs pour la modรฉlisation en chambre
dโรฉtalonnage est donnรฉe dans le chapitre suivant.
64
Figure 1.23 : Conditions aux limites applicables en chambre dโรฉtalonnage
(figure dโaprรจs BALACHOWSKI, 1995) [9]
1.9. Conclusion
On a prรฉsentรฉ dans ce chapitre une synthรจse bibliographique des diffรฉrentes mรฉthodes de
calcul des pieux isolรฉs chargรฉs axialement. Un rรฉsumรฉ des mรฉthodes les plus utilisรฉes en
pratique pour lโรฉvaluation de la capacitรฉ portante et du tassement des pieux isolรฉs sous
chargement monotone et harmonique. Une introduction ร la technique de modรฉlisation
physique dans la chambre dโรฉtalonnage a รฉtรฉ faite en fin de ce chapitre.
On exposera dans le chapitre suivant le dispositif expรฉrimental ainsi que les procรฉdures
dโessai associรฉes utilisรฉs en chambre dโรฉtalonnage.
65
CHAPITRE 2
PRESENTATION DES DISPOSITIFS EXPERIMENTAUX
2.1. Introduction
La chambre dโรฉtalonnage du CERMES (Centre dโEnseignement et de Recherche en
Mรฉcanique des Sols) ร lโENPC a รฉtรฉ initialement dรฉveloppรฉe dans le cadre dโune
collaboration entre lโUniversitรฉ de CLARKSON, lโUniversitรฉ de la Louisiane, aux Etats-
Unis, et le CERMES. Elle a tout dโabord รฉtรฉ utilisรฉe avec une application au pressiomรจtre
cyclique. Puis, le systรจme a รฉtรฉ complรฉtรฉ avec en particulier le dรฉveloppement dโun
dispositif de fonรงage et de chargement afin de pouvoir รฉtudier le comportement des pieux.
Rรฉcemment, des modifications ont รฉtรฉ apportรฉes afin de lโadapter ร des applications telles
que lโรฉtude des rรฉseaux dโinclusions (inclinรฉes), ainsi que pour lโรฉtude du comportement
des pieux sous chargement cyclique.
On prรฉsentera dans ce chapitre les principaux composants de la chambre dโรฉtalonnage
utilisรฉ dans le CERMES ainsi une description succincte de la procรฉdure dโessai suivie.
2.2. Prรฉsentation de la chambre dโรฉtalonnage du CERMES
Le dispositif de la chambre dโรฉtalonnage du CERMES (figure 2.1) permet de reconstituer
et de mettre sous contrainte des massifs de sol dโun diamรจtre de 524 mm et dโune hauteur
de 700 mm ร 1000 mm. La technique de fabrication des massifs de sable consiste ร la mise
en place du sable ร lโintรฉrieur dโune membrane en caoutchouc, de 2 mm dโรฉpaisseur, grรขce
66
ร un moule de maintien. Elle est assez rรฉsistante pour supporter des contraintes importantes
de consolidation et pour assurer une bonne รฉtanchรฉitรฉ du massif de sable. Le sol est placรฉ
entre deux embases (supรฉrieure et infรฉrieure). Les embases intรจgrent un systรจme de
drainage, recouvert dโun plastique poreux. Une double enceinte latรฉrale et un couvercle
supรฉrieur permettent la consolidation. La mise sous contrainte des massifs est rรฉalisรฉe
grรขce ร une pression dโeau latรฉrale appliquรฉe par lโintermรฉdiaire de la membrane et une
pression verticale appliquรฉe grรขce au piston infรฉrieur, qui constitue la base du dispositif,
une fois que lโembase supรฉrieure et le couvercle sont en contact. Le piston a une course de
300 mm et est composรฉ dโun cylindre creux sur lequel vient se poser lโembase infรฉrieure
du massif (piรจce nยฐ4). Lโรฉtanchรฉitรฉ entre lโembase et lโintรฉrieur du piston est assurรฉe par
un joint torique, qui est comprimรฉ par le poids de lโembase et du massif.
La contrainte verticale est appliquรฉe aprรจs que le contact entre lโembase supรฉrieure du
massif (piรจce nยฐ2) et le couvercle (piรจce nยฐ1) soit rรฉalisรฉ. On peut en particulier appliquer
des รฉtats de contrainte isotropes ou anisotropes au massif, avec, en particulier, des rampes
du type K0, grรขce ร un systรจme de double paroi ร contre-pression (piรจce nยฐ3). On peut
monter jusqu'ร des pressions maximales (verticale et horizontale) de 1 MPa, permettant de
simuler des profondeurs dรฉjร importantes.
Dans la gamme des faibles niveaux de contraintes, il est possible de descendre ร des
valeurs de 40 โ 50 kPa pour simuler de faibles profondeurs.
Des modifications ont toutefois รฉtรฉ apportรฉes sur la chambre dโรฉtalonnage de base afin
dโadapter le dispositif ร lโรฉtude du comportement des pieux sous chargement cyclique.
Lโรฉquipement complet de la chambre dโรฉtalonnage du CERMES comprend trois รฉlรฉments
principaux : la chambre dโรฉtalonnage et ses รฉquipements pรฉriphรฉriques, le dispositif
dโinstallation et de chargement des modรจles de pieux et les sondes instrumentรฉes [9].
67
Figure 2.1: Schรฉma de principe de la chambre dโรฉtalonnage [9]
2.3. Pieux dโessai
Les pieux dโessai sont montรฉs sur lโembase supรฉrieur, qui a subit des modifications
permettant dโรฉtudier le comportement des modรจles de pieux isolรฉs et en groupe pour deux
modes dโinstallation, le fonรงage et le moulage. Une รฉtude particuliรจre a รฉgalement รฉtรฉ
effectuรฉe dans le cas des rรฉseaux dโinclusions (inclinรฉes) [9].
2.3.1. Mode dโinstallation des modรจles de pieux
Les pieux utilisรฉs pour la modรฉlisation en chambre dโรฉtalonnage peuvent รชtre installรฉ par
fonรงage ou par moulage (ce dernier correspond au cas oรน le sol, autour de pieu, est peu
remaniรฉ aprรจs installation). Lโรฉtude des rรฉseaux de pieux est aussi possible.
68
2.3.2. Les pieux modรจles instrumentรฉs et non instrumentรฉs
En pratique, deux types de sondes ou de modรจles peuvent รชtre utilisรฉs :
(a) Le premier est un modรจle instrumentรฉ de 20 mm de diamรจtre et de longueur 735 mm
(figure 2.2). La sonde est รฉquipรฉe dโun capteur dโeffort en pointe et dโun manchon de
frottement instrumentรฉ, permettant ainsi d'avoir accรจs, sur le mรชme modรจle, ร la courbe de
mobilisation de la rรฉsistance en pointe ainsi quโร celle du frottement latรฉral (frottement
latรฉral moyen sur le manchon de 20 cm), mesurรฉes de maniรจre indรฉpendante. Le rapport
entre le diamรจtre de la chambre et le diamรจtre du modรจle est de 26,4.
Le capteur dโeffort miniature en pointe a une capacitรฉ de 5 kN et une prรฉcision de ยฑ 25 N
(soit 0,5 %). Le second capteur, placรฉ sur un corps dโรฉpreuve instrumentรฉ ( manchon de
frottement), constituant un capteur dโeffort en lui mรชme de capacitรฉ ยฑ 4 kN et une
prรฉcision de ยฑ 10,8 N (soit 0,27%) pour le premier modรจle et de ยฑ 24 N (soit 0,6 %) pour
le second modรจle. Le bas du manchon de frottement est situรฉ ร 6 diamรจtres de la pointe
(120 mm), ce qui permet dโavoir des mesures dรฉcouplรฉes et indรฉpendantes de ces deux
paramรจtres.
Pour assurer le contact entre le vรฉrin de chargement et les inclusions, deux adaptateurs ont
รฉtรฉ fabriquรฉs. Ce sont des capteurs dโeffort qui vont nous permettre de mesurer les efforts
en tรชte.
(b) Le second type de modรจle dโinclusions est un modรจle de diamรจtre ฮฆ10 mm et de
longueur 550 mm non instrumentรฉ, et a รฉtรฉ utilisรฉ dans le cadre de lโรฉtude des rรฉseaux
(inclusions inclinรฉes).
69
Figure 2.2: Photo et schรฉma du pieu modรจle instrumentรฉ [9]
(a) (b)
Figure 2.3 : Vue du groupe de cinq inclusions modรจle non instrumentรฉ (a) verticales et
(b) inclinรฉes (rรฉseau) [9]
70
2.4. Matรฉriau sol utilisรฉ
2.4.1. Caractรฉristiques du sable utilisรฉ
Le sol utilisรฉ est un sable de Fontainebleau pur, essentiellement siliceux, avec des grains
sub-arrondis. Les caractรฉristiques, qui sont donnรฉes par le fournisseur, sont prรฉsentรฉes ci-
dessous.
Tableau 2.1: Caractรฉristiques du sable de Fontainebleau utilisรฉ [9]
Sable D50
(mm) emax emin
ฯs
(g/cm3)
ฯdmin
(g/cm3)
ฯdmax
(g/cm3)
NF 0,20 0,94 0,54 2,65 1,33 1,73
Figure 2.4 : Courbe granulomรฉtrique du sable de Fontainebleau [9]
71
2.4.2. Dispositif de pluviation du sable
Le systรจme de pluviation dans lโair โ ou sous lโeau โ est le moyen le plus simple et celui
qui se rapproche le plus du dรฉpรดt naturel et, en ce moment, le plus utilisรฉ pour la
rรฉalisation de massifs de sable de grandes dimensions. Lโutilisation dโun dispositif de
pluviation (figures 2.5, 2.6) pour la mise en oeuvre du sable permet lโobtention de massifs
de sable suffisamment homogรจnes et ร densitรฉ contrรดlรฉe. La mรฉthode de pluviation du
sable est amplement utilisรฉe pour les essais en chambre dโรฉtalonnage et en centrifugeuse.
Elle fait appel ร des dispositifs assez variรฉs et est fondรฉe sur le fait que la densitรฉ du sable
obtenue aprรจs pluviation dรฉpend en grande partie du dรฉbit de sable et de la hauteur de
pluviation.
Le systรจme de pluviation est composรฉ de trois parties distinctes :
Un rรฉservoir qui contient le sable qui va รชtre mis en place. Son volume varie en
fonction du nombre de pluviations nรฉcessaire pour reconstituer lโรฉprouvette.
Une rehausse, qui permet de gรฉrer la hauteur maximale de chute de sable. La
vitesse des particules, juste avant leur dรฉpรดt, influence la densitรฉ du matรฉriau. Une
particule donnรฉe atteint une vitesse limite aprรจs avoir parcouru une certaine
distance verticale, que lโon appelle hauteur limite. La densitรฉ du matรฉriau sera
indรฉpendante de la hauteur de chute du sable, si celle-ci est toujours supรฉrieure ร
cette hauteur limite. La hauteur de chute maximale est รฉgale ร la hauteur de la
rehausse moins celle du diffuseur.
Un diffuseur, qui comprend au moins deux tamis parallรจles horizontaux dont
lโรฉcartement est rรฉglable. Il est utilisรฉ pour disperser les jets de sable tombant du
rรฉservoir (plaques perforรฉes) en une pluie de sable uniforme. Lors de la pluviation,
le diffuseur remonte ร vitesse constante en fonction du dรฉbit du sable. On garde
ainsi, pendant toute la durรฉe de la pluviation, une distance constante entre le
diffuseur et le sable dรฉjร dรฉposรฉ, qui correspond ร la hauteur de pluviation de sable.
On obtient de cette faรงon une รฉprouvette homogรจne (DUPLA, 1995).
72
Figure 2.5 : Variables influenรงant la densitรฉ du massif lors de la pluviation (DUPLA, 1995)
Figure 2.6 : Photos du dispositif de pluviation (dโaprรจs BEKKI H.)
73
2.5. Instrumentation et acquisition des rรฉsultats expรฉrimentaux
2.5.1. Essais dโรฉtalonnage
Avant de commencer les essais prรฉvus, il est nรฉcessaire dโeffectuer une sรฉrie dโessais
dโรฉtalonnage:
Etalonnage de la sonde instrumentรฉe
Etalonnage du dispositif de pluviation
Etalonnage de la courbe granulomรฉtrique du sable utilisรฉ
2.5.2. Procรฉdure dโessai
La procรฉdure dโessai de chargement de pieux modรจles en chambre dโรฉtalonnage comporte
les opรฉrations successives suivantes :
- fabrication du massif de sable ร la densitรฉ voulue ;
- mise sous contrainte du massif ;
- installation de lโinclusion par fonรงage ;
- rรฉalisation de l'essai de chargement et acquisition des donnรฉes ;
- dรฉmontage de l'essai ;
2.5.2.1. Prรฉparation du massif
La procรฉdure de la prรฉparation du massif comprend les รฉtapes suivantes :
a. Mise en place de la membrane en caoutchouc sur lโembase infรฉrieure.
b. Mise en place du moule et application du vide.
c. Pose du pluviateur sur le moule.
d. Remplissage du rรฉservoir de sable, puis pluviation.
e. Mise en place de lโembase supรฉrieure, et dรฉmoulage.
f. Mise en place de la cellule ensuite le couvercle.
g. Remplissage de la cellule avec de lโeau et mise sous contrainte du massif
74
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
Figure 2.7 : Fabrication de lโรฉprouvette :(a) remplissage du rรฉservoir ; (b) pluviation du
sable ; (c) รฉchantillon aprรจs arasage ; (d) aprรจs dรฉmoulage ; (e) la cellule et
lโembase supรฉrieur ; (f) mise en place du couvercle et des tiges
(dโaprรจs BEKKI H.)
75
Figure 2.8: Matรฉriel utilisรฉ pour lโapplication des contraintes sur le sol (dโaprรจs BEKKI H.)
Figure 2.9: Systรจmes de pilotage pour lโapplication des charges et lโacquisition des
rรฉsultats (dโaprรจs BEKKI H.)
2.5.2.2. Installation du pieu et essai de chargement
a) Le dispositif dโinstallation et de chargement des modรจles de pieux
Ce dispositif mรฉcanique (figures 2.10 a, 2.10 b) est composรฉ dโun bรขti de 4 colonnes
รฉquipรฉ de deux vรฉrins hydrauliques : un vรฉrin longue course (1 m), situรฉ ร la partie
supรฉrieure du bรขti et installรฉ ร lโavant sur deux colonnes, pour assurer les opรฉrations de
mise en place des inclusions, et un servovรฉrin positionnรฉ sur la traverse principale du bรขti
et destinรฉ ร rรฉaliser les opรฉrations de chargement des inclusions.
Le bรขti de chargement est รฉquipรฉ ร sa base de deux rails qui permettent le dรฉplacement en
translation de la chambre dโรฉtalonnage selon les opรฉrations ร rรฉaliser, c'est-ร -dire la mise
en place du massif, la mise en place des inclusions et le chargement.
Mise en place des inclusions : ce dispositif est placรฉ sur une traverse bloquรฉe sur
deux montants. Il comprend un vรฉrin de fonรงage de grande course (1 m) et de
76
capacitรฉ 100 kN en compression et de 70 kN en traction, qui est contrรดlรฉ en
dรฉplacement. La vitesse de dรฉplacement du vรฉrin est rรฉglable en montรฉe et en
descente entre 0,1 et 100 mm par seconde. Cโest ce vรฉrin qui assure les opรฉrations
de mise en place des inclusions par fonรงage dans le massif.
Chargement des modรจles de pieux : ce dispositif est constituรฉ dโun systรจme MTS
composรฉ dโun ensemble contrรดlรฉ par une รฉlectronique dโasservissement. Cette
derniรจre est un systรจme Teststar constituรฉ par un contrรดleur digital, un logiciel
dโacquisition pour essais de matรฉriaux, un systรจme de pilotage et un module de
conditionnement pour les capteurs.
Sur la figure 2.10 b, on peut voir le bรขti de chargement, la cellule et le modรจle de pieu. La
photo est prise aprรจs le fonรงage et pendant le chargement du pieu.
(a) (b)
Figure 2.10 : (a) Schรฉma de principe de fonctionnement de lโensemble du dispositif dโessai
en chambre dโรฉtalonnage ;(b) : Partie du bรขti du chargement, la cellule et le
modรจle de pieu dรฉjร installรฉ [9]
b) Essais de fonรงage et chargement du modรจle du pieu
Lโensemble est dรฉplacรฉ sous le vรฉrin de fonรงage en alignant la piรจce de guidage avec lโaxe
du vรฉrin, ensuite on commence le fonรงage du modรจle. La verticalitรฉ de lโinclusion est
assurรฉe grรขce ร un systรจme ร rotule entre le vรฉrin et la tรชte de lโinclusion. Une fois le
77
niveau de fonรงage atteint, lโensemble est positionnรฉ sous le servovรฉrin et on programme le
logiciel de contrรดle pour commencer l'essai de chargement proprement dit.
(a) (b)
Figure 2.11 : Essais sur le modรจle de pieu instrumentรฉ : (a) fonรงage ; (b) chargement
(dโaprรจs BEKKI H.)
2.5.2.3. Dรฉmontage de lโessai
Pour dรฉmonter lโessai, les opรฉrations suivantes sont exรฉcutรฉes:
a. Annulation des contraintes appliquรฉes et vidange de la cellule.
b. Enlรจvement du couvercle puis lโembase supรฉrieure.
c. Pesรฉe du sable et nettoyage.
2.6. Caractรฉristiques de lโessai rรฉalisรฉ
Les caractรฉristiques de lโessai ร interprรฉter sont prรฉsentรฉes dans le tableau 2.2.
La Lรฉgende utilisรฉe pour le tableau indique les spรฉcifications suivantes :
essai de type CM : chargement monotone; DC : en dรฉplacement contrรดlรฉ; f : la frรฉquence;
N : le nombre de cycles; ฯc : amplitude du dรฉplacement cyclique.
78
Tableau 2.2 : Caractรฉristiques de lโessai rรฉalisรฉ
Type
dโessai
ID
Au moule
๐๐
(kPa)
๐๐
(kPa) K0
F
(Hz) N
๐๐
(mm)
CM 0,40 125 50 0,40
- - -
Cycl ร DC 0,03 100 0,50 ; 1
2.7. Conclusion
Dans ce chapitre, on a prรฉsentรฉ la chambre dโรฉtalonnage utilisรฉe au CERMES et ses
รฉquipements divers : les pieux dโessai, le matรฉriau utilisรฉ ainsi que la mรฉthodologie
dโinstrumentation et dโacquisition des rรฉsultats. Dโun projet de recherche ร lโautre, la
chambre dโรฉtalonnage du CERMES connait des amรฉliorations permettant dโรฉtudier
diffรฉrentes dispositions dโinclusions (rรฉseaux dโinclusions, inclusions inclinรฉsโฆetc). Dans
le chapitre suivant on prรฉsentera quelques rรฉsultats dโun essai type rรฉalisรฉ en chambre
dโรฉtalonnage pour voir lโintรฉrรชt de ce procรฉdรฉ de modรฉlisation.
79
CHAPITRE 3
INTERPRETATION DES RESULTATS EXPERIMENTAUX
3.1. Introduction
Dans ce chapitre on sโintรฉressera ร lโinterprรฉtation dโune partie des essais rรฉalisรฉs au
CERMES par BEKKI H. dans le cadre de sa thรจse de Doctorat en cours traitant du
comportement cyclique des pieux ร lโaide des essais rรฉalisรฉs en chambre dโรฉtalonnage. Il a
รฉtรฉ prรฉvu initialement de participer ร ces essais, mais le changement du programme de
dรฉplacement des chercheurs dans le cadre du CMEP ne lโร pas permis.
En premier lieu, on analyse la phase de fonรงage du pieu dans le massif de sol. Ensuite, on
interprรฉtera les courbes rรฉsultant de la phase de chargement cyclique, ร savoir la courbe de
chargement en tรชte, mobilisation de lโeffort en tรชte et celle du frottement latรฉral. Enfin, on
analyse la dรฉgradation de lโeffort maximum en tรชte et du frottement latรฉral aprรจs deux
sรฉquences cycliques dโamplitudes diffรฉrentes suite ร un chargement cyclique ร
dรฉplacement contrรดlรฉ.
3.2. Analyse de lโinstallation du pieu par fonรงage
La figure 3.1 prรฉsente la courbe de fonรงage en tรชte du modรจle de pieu, de diamรจtre B รฉgal ร
20 mm pour le massif #13. Lโindice de densitรฉ est รฉgal ร 0,40 pour cet essai et les
contraintes de consolidation verticale et horizontale sont respectivement de 125 kPa et
50 kPa.
80
0 100 200 300 400 500
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Eff
ort
en
tรช
te (
kN
)
Dรฉplacement en tรชte (mm) Figure 3.1 : Courbe dโenfoncement du pieu dans le massif #13 (Effort en tรชte)
(dโaprรจs BEKKI H.)
0 100 200 300 400 500
0
1
2
3
4
5
6
Rรฉ
sis
tan
ce
en
po
inte
(M
Pa
)
Dรฉplacement en tรชte (mm)
Figure 3.2 : Courbe dโenfoncement du pieu dans le massif #13 (Rรฉsistance en pointe)
(dโaprรจs BEKKI H.)
81
0 100 200 300 400 500
0
5
10
15
20
Fro
tte
me
nt
latรฉ
ral
(kP
a)
Dรฉplacement en tรชte (mm)
Figure 3.3 : Courbe dโenfoncement du pieu dans le massif #13 (Frottement latรฉral)
(dโaprรจs BEKKI H.)
En analysant les courbes donnรฉes par les figures 3.1, 3.2 et 3.3, on peut distinguer trois
(03) phases :
La premiรจre est caractรฉrisรฉe par la mรชme allure des courbes donnant lโeffort en tรชte
et la rรฉsistance en pointe en fonction de lโenfoncement en tรชte (figures 3.1 et 3.2).
Une augmentation rapide et proportionnelle ร lโenfoncement du pieu en tรชte est
enregistrรฉe, justifiรฉe par le dรฉbut de contact de la tรชte du pieu avec le massif de sol.
Le frottement latรฉral est non mobilisรฉ dans cette phase, du fait que le manchon nโa
pas encore pรฉnรฉtrรฉ dans le massif de sol, lโeffort total rรฉsulte seulement de la
pointe.
La deuxiรจme phase est marquรฉe par une valeur constante de la rรฉsistance en pointe
et le dรฉbut dโaugmentation du frottement latรฉral proportionnellement ร
lโenfoncement en tรชte, rendant compte de lโaugmentation progressive de la surface
frottante dans le massif, et cela pour une valeur du dรฉplacement en tรชte dโenviron
120 mm (correspondant ร la distance entre le bas du manchon et la pointe du pieu).
Dans la troisiรจme phase, on constate que la courbe dโenfoncement en tรชte (qui
reprรฉsente en effet la somme de lโeffort en pointe et du frottement latรฉral) et celle
du frottement latรฉral continuent ร รฉvoluer aprรจs la pรฉnรฉtration totale du manchon
(de 200 mm de longueur) contrairement ร la rรฉsistance en pointe qui enregistre un
82
palier obtenu aprรจs 10 cm dโenfoncement. Pour lโeffort en pointe, lโenregistrement
dโune valeur constante indique que le sol a mobilisรฉ le maximum de sa rรฉsistance
en pointe.
Selon LE KOUBY [9], le processus d'installation par refoulement du sol permet de vรฉrifier
la bonne homogรฉnรฉitรฉ du massif par lโintermรฉdiaire de la stabilisation de la rรฉsistance en
pointe. On constate aussi une stabilisation en fin de fonรงage du frottement latรฉral.
3.3. Etude du comportement pieu sous chargement monotone
La figure 3.4 ci dessous rรฉcapitule les phases de chargement monotone et celle du
chargement cyclique ร dรฉplacement contrรดlรฉ (DC).
0 2 4 6 8 10 12
-1
0
1
2
3
4
(c)(b)
Effo
rt e
n tรช
te (
kN
)
Dรฉplacement en tรชte (mm)
(a)
Figure 3.4 : Courbe typique de lโessai sur le massif # M13 :(a) Chargement monotone ;
(b) 1รจre
sรฉquence du chargement cyclique; (c) 2รจme
sรฉquence du chargement
cyclique (dโaprรจs BEKKI H.)
Aprรจs lโinstallation du pieu par fonรงage, on commence la phase de chargement. En premier
lieu, le pieu est chargรฉ jusquโร un dรฉplacement contrรดlรฉ fixรฉ (2 mm en gรฉnรฉral). Dans le
massif # M13, et pour des raisons liรฉes ร lโexpรฉrimentation, le chargement monotone a รฉtรฉ
menรฉ jusquโร un dรฉplacement contrรดlรฉ de 2,5 mm (dโaprรจs BEKKI H).
On prรฉsente ci-dessous les rรฉsultats de l'essai de chargement correspondant au massif # 13.
Les figures 3.4 ((a), (b) et (c)) montrent les rรฉsultats en terme de lโeffort en tรชte, de
83
rรฉsistance en pointe et de frottement latรฉral. La courbe de lโeffort en tรชte comporte trois
phases successives distinctes (figure 3.4 (a)) :
- une premiรจre phase quasi-linรฉaire, traduisant un comportement รฉlastique linรฉaire du sol
jusquโร un enfoncement dโenviron 0,40 mm (0,020B), qui correspond ร une charge รฉgale ร
80% de la charge ร la rupture ;
- une deuxiรจme phase marquรฉe par une non-linรฉaritรฉ croissante rendant compte dโune
irrรฉversibilitรฉ de plus en plus grande du comportement du systรจme sol-pieu ;
- une troisiรจme phase correspondant ร la rupture. La charge de rupture est atteinte pour un
enfoncement de 1,82 mm (0,090B), ce qui est en bonne concordance avec le critรจre de
rupture correspondant au tassement en tรชte de 0,1B adoptรฉe gรฉnรฉralement pour les
fondations profondes.
On prรฉsente sur les figures 3.4 (b) et (c) les courbes correspondantes de mobilisation de la
rรฉsistance en pointe et du frottement latรฉral au cours de cet essai. On remarque que les
deux grandeurs se mobilisent ร partir dโune valeur rรฉsiduelle, positive dans le cas de la
rรฉsistance en pointe et nรฉgative dans le cas du frottement latรฉral. Ces valeurs rรฉsiduelles
traduisent la rรฉaction du sol suite ร lโenfoncement dโune inclusion par refoulement. La
rรฉsistance en pointe rรฉsiduelle est la contrainte exercรฉe par le sol pour faire remonter le
pieu (positif) et le frottement latรฉral rรฉsiduel est la rรฉsistance, le long du fรปt, de ce mรชme
sol ร la remontรฉe de pieu.
En ce qui concerne la courbe de rรฉsistance en pointe, celle-ci est composรฉe de trois zones
distinctes : une premiรจre partie linรฉaire de faible ampleur, jusquโร un dรฉplacement de
0,18 mm, correspondant ainsi ร une rรฉsistance de 50% de celle du pic. La deuxiรจme partie
non linaire qui se termine par un palier horizontal dรฉfinissant la troisiรจme zone. Cette
courbe traduit initialement un comportement รฉlastique linรฉaire qui devient rapidement
รฉlastoplastique ; la rรฉsistance en pointe tend ร la fin vers une valeur constante.
Contrairement ร la courbe de rรฉsistance en pointe, la courbe de frottement latรฉral, qui
dรฉmarre dโune valeur nรฉgative, prรฉsente une premiรจre partie linรฉaire jusquโร 90% de la
valeur au pic pour un dรฉplacement dโenviron 0,40 mm (0,020B), suivie dโune lรฉgรจre
courbure aboutissant ร un palier horizontal remarquable ร partir dโun dรฉplacement de
0,60 mm (0,060B), au-delร duquel la valeur du frottement latรฉral demeure constante
signifiant que le sol a mobilisรฉ le maximum de frottement possible.
On remarque que, lorsque la rupture a รฉtรฉ atteinte, la charge se maintient ร une valeur
parfaitement constante (palier), rendant compte dโun problรจme stationnaire de plasticitรฉ
84
parfaite ร l'interface (valeurs constantes de rรฉsistances en pointe (qp) et de frottement
latรฉral (qs), dans un matรฉriau homogรจne). La surface de frottement active nโรฉvoluant pas
avec le fonรงage.
0 1 2 3
0
1
2
3
4
Eff
ort
en
tรช
te (
kN
)
Dรฉplacement (mm)
(a)
0 1 2 3
0
2
4
6
8
Rรฉ
sis
tan
ce
en
po
inte
(M
Pa
)
Dรฉplacement (mm)
(b)
0 1 2 3
-10
0
10
20
30
40
50
Fro
tte
me
nt
latรฉ
ral
(kP
a)
Dรฉplacement (mm)
(c)
Figure 3.5 : Courbe de mobilisation de lโeffort en tรชte (a), de la rรฉsistance en pointe (b) et
du frottement latรฉral (c) lors dโun essai cyclique ร dรฉplacement contrรดlรฉ
(dโaprรจs BEKKI H.)
85
Conclusions partielles
La rรฉsistance en pointe augmente jusquโร la fin du fonรงage alors que la rรฉsistance par
frottement latรฉrale augmente jusquโร une valeur constante pour un dรฉplacement dโenviron
0,03B, et cela pour un dรฉplacement ร la rupture de 0,1B.
3.4. Comportement du pieu sous chargement cyclique
3.4.1. Introduction
Le dimensionnement des pieux requiert la prise en compte de lโeffet des sollicitations
cycliques sur la capacitรฉ portante axiale. Ces effets se caractรฉrisent le plus souvent par une
dรฉgradation de la capacitรฉ portante et une accumulation des dรฉplacements permanents
croissante avec le nombre de cycles. Les dรฉplacements accumulรฉs peuvent atteindre des
valeurs de lโordre de 10% du diamรจtre du pieu.
Deux mรฉcanismes semblent donc contribuer ร la rupture des pieux sous chargement
cyclique axial :
- lโaccumulation des dรฉplacements permanents avec augmentation de lโamplitude du
chargement cyclique.
- La dรฉgradation cyclique de la capacitรฉ portante liรฉe ร celle de la rรฉsistance en pointe et du
frottement latรฉral.
Ces deux mรฉcanismes peuvent รชtre simulรฉs sur des modรจles de pieux en laboratoire ร lโaide
de deux types dโessai :
- Des essais ร force contrรดlรฉe pour lโรฉtude de la stabilitรฉ de la structure (accumulation de
dรฉplacement permanent).
- Des essais ร dรฉplacement contrรดlรฉ pour lโรฉtude de la dรฉgradation de la capacitรฉ portante.
On sโest intรฉressรฉ, dans ce travail, aux aspects les plus importants reliรฉs au comportement
des pieux sous chargement cyclique en รฉtudiant le cas dโun pieu isolรฉ installรฉ par fonรงage
et soumis ร un chargement cyclique ร dรฉplacement contrรดlรฉ.
3.4.2. Etude du comportement du pieu lors dโun essai cyclique ร dรฉplacement contrรดlรฉ
Dans le cadre des essais ร dรฉplacement contrรดlรฉ, il a รฉtรฉ รฉtudiรฉ surtout le cas des essais
symรฉtriques (ยฑฯc ) qui est le cas le plus dรฉfavorable en terme de dรฉgradation [9].
86
3.4.2.1. Programme expรฉrimental
Dans le but dโรฉtudier la dรฉgradation de la capacitรฉ portante du pieu et notamment celle
relative au frottement latรฉral, un certain nombre dโessais ร diffรฉrentes amplitudes de
dรฉplacement en utilisant deux procรฉdures ont รฉtรฉ rรฉalisรฉ. La procรฉdure gรฉnรฉralement suivie
est la suivante : un chargement monotone sur le modรจle ร dรฉplacement contrรดlรฉ
(0,1 mm/min) est effectuรฉ jusqu'ร un enfoncement de 2 mm. Ensuite, le chargement
cyclique ร dรฉplacement contrรดlรฉ correspondant ร un nombre de cycles donnรฉ est lancรฉ. La
troisiรจme phase consiste ร effectuer un rechargement monotone dans les mรชmes conditions
que le premier chargement. Les diffรฉrences observรฉes entre le premier et le deuxiรจme
chargement monotone constituent un moyen pour รฉvaluer la dรฉgradation induite par le
chargement cyclique. Celle-ci est quantifiรฉe par un facteur de dรฉgradation. Ceci constitue
la premiรจre procรฉdure utilisรฉe. Une seconde procรฉdure a รฉtรฉ utilisรฉe, et consiste en une
succession de sรฉquences cycliques ร dรฉplacement contrรดlรฉ avec, pour chacun des cas, un
rechargement monotone aprรจs chaque sรฉquence cyclique. Cette derniรจre procรฉdure nโest
pas traitรฉe dans ce mรฉmoire.
3.4.2.2. Rรฉsultats typiques
La figure 3.6 (a) prรฉsente l'รฉvolution de l'effort en tรชte en fonction du dรฉplacement. Les
figures 3.6 (b) et (c) prรฉsentent la rรฉponse du pieu en termes de frottement latรฉral et de
pression en pointe.
Une premiรจre constatation est lโampleur de la dรฉgradation des efforts provoquรฉs par le
chargement cyclique, et ceci autant au niveau du frottement latรฉral que de la pression en
pointe. La forte dรฉgradation se dรฉveloppe dรจs le premier cycle, en plus de la dรฉgradation
enregistrรฉe dโune sรฉquence cyclique ร lโautre.
En effet, le frottement latรฉral diminue d'une valeur de 35 kPa jusqu'ร une valeur de 32 kPa
au premier cycle. En ce qui concerne la pression en pointe, la diminution est beaucoup plus
accentuรฉe, oรน elle passe d'une valeur de 5,8 MPa ร la fin du premier cycle ร une valeur de
3,8 MPa ร la fin du second cycle (diminution dโenviron 35 %). Ensuite, les diminutions
sont moins marquรฉes.
Les figures 3.7 (b) et (c) prรฉsentent l'รฉvolution des facteurs de dรฉgradation relatifs au
frottement latรฉral et ร la pression en pointe, pour les valeurs maximales mobilisรฉes de ces
87
grandeurs sur chaque cycle. Chaque point correspond au rapport entre lโeffort maximum
mesurรฉ lors du premier cycle et la valeur maximale mesurรฉe lors du cycle i.
Ces facteurs de dรฉgradation intermรฉdiaires se dรฉfinissent de la maniรจre suivante :
โ๐,๐=๐๐ ,๐๐๐ฅ ,๐
๐๐ ,๐๐๐ฅ ,1
โ๐,๐=๐๐ ,๐๐๐ฅ ,๐
๐๐ ,๐๐๐ฅ ,1
Avec :
๐๐ ,๐๐๐ฅ ,๐ : Frottement latรฉral maximum mesurรฉ lors du cycle i,
๐๐ ,๐๐๐ฅ ,1 : Frottement latรฉral maximum mesurรฉ lors du premier cycle ,
๐๐ ,๐๐๐ฅ ,๐ : Pression en pointe maximale mesurรฉe lors du cycle i,
๐๐ ,๐๐๐ฅ ,1 : Pression en pointe maximale mesurรฉe lors du premier cycle ,
Les facteurs de dรฉgradation Dฯ et Dq se dรฉfinissent de la maniรจre suivante :
๐ท๐ =๐๐ ,๐๐
๐๐ ,๐๐๐
๐ท๐ =๐๐ ,๐๐
๐๐ ,๐๐๐
Avec :
๐๐ ,๐๐ : Frottement latรฉral limite mesurรฉ sur le pieu isolรฉ lors du chargement monotone
effectuรฉ aprรจs application de lโamplitude de dรฉplacement ฯc.
๐๐ ,๐๐๐ : Frottement latรฉral limite mesurรฉ sur le pieu isolรฉ lors du chargement monotone
initial.
๐๐ ,๐๐ : Rรฉsistance en pointe limite mesurรฉe sur le pieu isolรฉe lors du chargement monotone
effectuรฉ aprรจs application de lโamplitude de dรฉplacement ฯc.
๐๐ ,๐๐๐ : Rรฉsistance en pointe limite mesurรฉe sur le pieu isolรฉe lors du chargement
monotone initial.
88
4 6 8 10 12
0
2
4
Effo
rt e
n tรช
te (
kN
)
Dรฉplacement en tรชte (mm)
(a)
4 6 8 10 12
0
2
4
6
8
Pre
ssio
n e
n p
oin
te (
MP
a)
Dรฉplacement en tรชte (mm)
(b)
4 6 8 10 12
-20
-10
0
10
20
30
40
Fro
tte
me
nt la
tรฉra
l (k
Pa
)
Dรฉplacement en tรชte (mm)
(c)
Figure 3.6 : Courbes de mobilisation de lโeffort en tรชte (a), de la pression en pointe
(b) et du frottement latรฉral (c) lors dโun essai cyclique ร dรฉplacement contrรดlรฉ
(dโaprรจs BEKKI H.)
89
0 20 40 60 80 100
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
effort
en tรชte
Nombre de cycles
(a)
0 20 40 60 80 100
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
q
Nombre de cycles
(b)
0 20 40 60 80 100
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
fr
ot
Nombre de cycles
(c)
Figure 3.7 : Evolution des facteurs de dรฉgradation au cours du chargement cyclique : (a)
effort en tรชte ; (b) rรฉsistance en pointe ; (c) frottement latรฉral (cas oรน
ฯc= ยฑ 0,5 mm) (dโaprรจs BEKKI H.)
90
En รฉtudiant les facteurs de dรฉgradation relatifs au frottement latรฉral et ร la rรฉsistance en
pointe de la premiรจre sรฉquence cyclique (ฯc= ยฑ 0,5 mm), on remarque que pour celui de la
pression en pointe, une diminution rapide est constatรฉe dรฉs les premiers cycles, oรน il passe
de la valeur 1 au premier cycle ร 0, 38 aprรจs 10 cycles (chute de 62 %), puis la diminution
continue avec un taux plus faible jusquโร un nombre de cycles dโenviron 40 cycles au-delร
duquel une stabilisation est manifestรฉe pour une valeur du facteur de dรฉgradation oscillant
autour de 0,16.
Pour le frottement latรฉral, la diminution dans le facteur de dรฉgradation est moins accentuรฉe
et avec un taux relativement constant.
On constate aussi que la dรฉgradation se stabilise ร la mรชme valeur (0,2) pour la pression en
pointe et le frottement latรฉral au-delร de 50 cycles environ.
3.5. Conclusion
On a prรฉsentรฉ dans ce chapitre le principe de rรฉalisation des essais en chambre de
calibration ainsi que les rรฉsultats typiques de quelques essais. Afin de gรฉnรฉraliser les
rรฉsultats il faut rรฉaliser une compagne expรฉrimentale poussรฉe. En absence de cette
derniรจre, les quelques essais quโon a interprรฉtรฉ ont permis de dรฉduire les conclusions
partielle suivantes :
Lors du fonรงage du pieu on enregistre une augmentation de la pression en pointe et
du frottement latรฉral jusquโร la stabilisation ;
Pendant la phase de chargement monotone, la rรฉsistance en pointe augmente
jusquโร la fin du fonรงage alors que la rรฉsistance par frottement latรฉrale augmente
jusquโร une valeur constante pour un dรฉplacement dโenviron 0,03B ;
Pour la phase de chargement cyclique, on constate lโampleur de la dรฉgradation des
efforts provoquรฉs par le chargement cyclique, et ceci autant au niveau du
frottement latรฉral que de la pression en pointe. La forte dรฉgradation se dรฉveloppe
dรจs le premier cycle, dโun cycle ร lโautre en plus de la dรฉgradation enregistrรฉe
dโune sรฉquence cyclique ร lโautre. Pour les facteurs de dรฉgradation cyclique, on
constate une diminution rapide dรฉs les premiers cycles pour la pression en pointe
tandis que pour le frottement latรฉral, la diminution est moins accentuรฉe et avec un
taux relativement constant. En plus, les deux grandeurs se stabilisent ร la mรชme
valeur.
91
Le chapitre suivant traitera la modรฉlisation numรฉrique par รฉlรฉments finis ร lโaide du
logiciel PLAXIS V 8.2 (avec module dynamique) du comportement dโun pieu isolรฉ soumis
ร un chargement vertical monotone et cyclique. Une รฉtude paramรฉtrique sera prรฉsentรฉe
permettant de dรฉduire lโinfluence des diffรฉrents paramรจtres sur le comportement du pieu.
92
CHAPITRE 4
MODELISATION PAR ELEMENTS FINIS DU COMPORTEMENT MONOTONE
OU CYCLIQUE DโUN PIEU ISOLE
4.1. Introduction
Ce chapitre est consacrรฉ ร lโanalyse du comportement dโun pieu isolรฉ soumis ร un
chargement vertical monotone et cyclique dans un massif de sol, par le biais dโun calcul
non linรฉaire par รฉlรฉments finis en utilisant le logiciel PLAXIS V 8.2 (avec module
dynamique). On prรฉsentera dans ce qui suit une introduction au programme dโรฉlรฉments
finis PLAXIS, ensuite, on dรฉfinit le modรจle axisymรฉtrique pieu/sol ainsi que le type
dโรฉlรฉments, la nature du maillage et les conditions aux limites qui devront รชtre adรฉquates
pour la modรฉlisation du problรจme.
On รฉtudiera par la suite, lโeffet de la compressibilitรฉ relative pieu/sol et de lโรฉlancement sur
le tassement du pieu isolรฉ soumis au chargement vertical dans un sol homogรจne.
La derniรจre รฉtape de ce chapitre vise, suite ร lโapplication dโun chargement harmonique, ร
dรฉterminer le coefficient dโamplification dynamique du tassement. Une รฉtude paramรฉtrique
est faite pour conclure sur lโinfluence de certains paramรจtres sur les rรฉsultats.
4.2. Prรฉsentation du logiciel PLAXIS version 8.2 avec module dynamique
PLAXIS est un programme dโรฉlรฉments finis en deux dimensions spรฉcialement conรงu pour
rรฉaliser des analyses de dรฉformation et de stabilitรฉ pour diffรฉrents types dโapplications
gรฉotechniques. Les situations rรฉelles peuvent รชtre reprรฉsentรฉes par un modรจle plan ou
93
axisymรฉtrique. Le programme utilise une interface graphique pratique permettant aux
utilisateurs de gรฉnรฉrer rapidement un modรจle gรฉomรฉtrique et un maillage dโรฉlรฉments finis
basรฉs sur la coupe verticale de lโouvrage ร รฉtudier. Lโinterface dโutilisation de PLAXIS
comporte quatre (04) sous programmes ร savoir :
โ Le programme "INPUT" :
Lโutilisateur doit commencer par la gรฉnรฉration du modรจle numรฉrique et spรฉcifier les
propriรฉtรฉs des matรฉriaux, les conditions aux limites, la loi de comportement du sol, les
chargements et la gรฉnรฉration dโun maillage appropriรฉ.
โ Le programme "CALCULATION" :
Les calculs proprement dits sont effectuรฉs grรขce ร ce programme. Il est toutefois nรฉcessaire
de dรฉfinir au prรฉalable le type de calculs ร rรฉaliser. Ce programme distingue un calcul
plastique, une analyse de consolidation et une analyse de variables de Lagrange
actualisรฉes. Le processus de calcul peut รชtre divisรฉ en plusieurs รฉtapes. Pour chaque รฉtape,
une procรฉdure dโitรฉrations est effectuรฉe jusquโร fin de calcul.
โ Le programme "OUTPUT" :
Ce dernier contient tous les รฉlรฉments qui permettent de voir les rรฉsultats des donnรฉes
gรฉnรฉrรฉes et des calculs effectuรฉs.
Le programme "CURVES" :
Il sert ร gรฉnรฉrer des courbes de chargement โ dรฉplacement, des chemins de contrainte ou
de dรฉformation de points choisis dans la gรฉomรฉtrie [11].
4.3. Dรฉfinition du modรจle axisymรฉtrique pieu/sol
Une modรฉlisation est la recherche dโun mรฉcanisme simplifiรฉ qui permet de se rapprocher le
plus possible du comportement rรฉel dโun problรจme physique, en tenant compte le plus
correctement possible de toutes les propriรฉtรฉs mรฉcaniques et gรฉomรฉtriques du systรจme ร
รฉtudier.
La disponibilitรฉ du logiciel PLAXIS nous a permis de traiter le problรจme du pieu isolรฉ
soumis ร des charges verticales non seulement monotones mais aussi bien cycliques, une
tรขche assurรฉe grรขce au module dynamique. On prรฉsentera dans ce qui suit le modรจle et les
รฉlรฉments utilisรฉs avec les dimensions adoptรฉes pour lโanalyse.
94
4.3.1. Prรฉsentation du modรจle
4.3.1.1. Modรฉlisation de la pรฉnรฉtration du pieu dans le sol
Une modรฉlisation rigoureuse des รฉtats de contraintes et de dรฉformations gรฉnรฉrรฉes dans le
sol par la pรฉnรฉtration dโun objet cylindrique est difficile ร mettre en ลuvre, car celleโci
doit faire intervenir les grands dรฉplacements, et les glissements ร lโinterface sol/pieu.
En utilisant une loi de comportement non linรฉaire combinรฉe ร lโintroduction des รฉlรฉments
dโinterface, on essayera de rรฉaliser un modรจle qui se rapproche du problรจme rรฉel.
4.3.1.2. Modรฉlisation du matรฉriau constituant le pieu
Les pieux utilisรฉs en gรฉnie civil sont gรฉnรฉralement fabriquรฉs en bois, en bรฉton ou en mรฉtal.
Les caractรฉristiques รฉlastiques de ces matรฉriaux sont donc en gรฉnรฉral beaucoup plus
รฉlevรฉes que celle des sols ou des roches meubles.
Le pieu peut รชtre en premiรจre approximation considรฉrรฉ comme rigide par rapport au sol.
4.3.1.3. Choix du modรจle axisymรฉtrique pieu/sol
Le comportement du pieu isolรฉ chargรฉ verticalement peut รชtre modรฉlisรฉ par un systรจme
axisymรฉtrique dont lโaxe de symรฉtrie est celui du pieu. Cela traduit le fait que les points
diamรฉtralement opposรฉs, subissent les mรชmes รฉtats de contraintes et de dรฉformations.
Donc, en tenant compte de la symรฉtrie axiale du problรจme, on doit รฉtudier le demi-plan oรน
le pieu et le massif du sol entourรฉ sont reprรฉsentรฉs par des รฉlรฉments triangulaires
ร 15 nลuds, prรฉdรฉfinis par PLAXIS. Dans notre รฉtude, on applique un dรฉplacement imposรฉ
en tรชte du pieu sous forme dโincrรฉments jusquโร une valeur de B/10 et on obtient un effort
correspondant Q pour chaque incrรฉment. Lโeffort total de calcul du pieu est donc รฉgal ร
2.ฯ.Q.
Le nombre dโรฉlรฉments ainsi que le nombre de nลuds diffรจrent dโun cas ร lโautre en
fonction de lโรฉlancement D/B.
A titre dโexemple, on cite les cas suivants pour le cas du chargement monotone:
- D/B = 5 : le maillage contient 2132 รฉlรฉments avec 17417 nลuds.
- D/B = 10 : le maillage contient 2101 รฉlรฉments avec 17227 nลuds.
- D/B = 20 : le maillage contient 3007 รฉlรฉments avec 24675 nลuds.
- D/B = 50 : le maillage contient 2878 รฉlรฉments avec 23913 nลuds.
Dans le cas du chargement dynamique, on a constatรฉ que le temps de calcul dรฉpend
essentiellement du maillage choisi. De ce fait, on a adoptรฉ un maillage moins dense que
95
celui utilisรฉ dans le cas du chargement monotone afin dโaboutir ร un temps de calcul
"raisonnable" (a titre dโexemple, pour D/B=10 et K=100, et en utilisant le mรชme maillage
choisi dans le cas du chargement monotone, il faut un temps de calcul de plus de trois jours
pour obtenir les rรฉsultats !)
Les limites verticale et horizontale du maillage ont รฉtรฉ fixรฉes de telle faรงon quโau-delร de
ces limites, les dรฉplacements des nลuds en tรชte du pieu se stabilisent et ne varient plus
avec les dimensions du maillage. Dans ce mรฉmoire, on nโa pas fait une รฉtude de
dimensionnement pour choisir ces limites mais on a utilisรฉ les dimensions du maillage
trouvรฉes par N. YAรCH ACHOUR [6] dans le cadre de son mรฉmoire de magistรจre, du fait
quโelle a travaillรฉ sur le mรชme thรจme, et donc la prรฉsente thรจse reprรฉsente une continuation
de ces travaux.
Comme tout calcul par รฉlรฉments finis, des conditions en dรฉplacements ou en contraintes
doivent รชtre imposรฉes aux frontiรจres du maillage (conditions aux limites). Ces derniรจres
sont appliquรฉes automatiquement par PLAXIS en choisissant les blocages standards
(Standard fixities). Dans le cas du chargement dynamique, on ajoute les frontiรจres
absorbantes (Absorbent boundaries ), qui permettent dโempรชcher la rรฉflexion des ondes qui
perturbe le comportement de lโouvrage.
Par ailleurs, on sโintรฉresse surtout aux comportements de la pointe, de la tรชte et de
lโinterface sol/pieu. Il serait judicieux de serrer le maillage dans ces zones pour avoir plus
de nลuds et plus dโรฉlรฉments, et donc avoir des rรฉsultats plus dรฉtaillรฉs avec un maximum de
points ร interprรฉter notamment prรจs de la tรชte et de la pointe du pieu. Le maillage du
modรจle est moins dense en dehors de ces zones, comme le schรฉmatise la figure 4.1.
En plus, on a utilisรฉ des รฉlรฉments dโinterface pour modรฉliser la rugositรฉ qui existe ร
lโinterface sol/pieu.
92
Figure 4.1 : Exemple du maillage utilisรฉ
96
97
Les dimensions de la zone raffinรฉe sont les suivantes :
Horizontalement : 4B.
Verticalement : 3B.
Ces dimensions sont supposรฉes suffisantes pour couvrir la zone dโinfluence du pieu.
Thรฉoriquement, la zone dโinfluence pour les fondations profondes sโรฉtale sur 3B au
dessous de la base de la fondation, alors quโhorizontalement, le choix de 4B permet
dโรฉviter le problรจme dโinterfรฉrence de deux pieux adjacents, c'est-ร -dire lโeffet du groupe.
4.3.1.4. Dimensionnement du maillage
Le modรจle utilisรฉ prรฉsente une symรฉtrie par rapport ร lโaxe de chargement, uniquement un
demi-plan ร รฉtรฉ รฉtudiรฉ (figure 4.2).
Dans ce modรจle, on a utilisรฉ les limites du maillage qui ont รฉtรฉ trouvรฉes dans la rรฉfรฉrence
[6] et qui sont รฉgales ร R โ 25,5B dans la direction horizontale et (D+h) dans la direction
verticale, h รฉtant รฉgale ร 2 fois la fiche du pieu D.
Q/2
R
Q
B/2
R
D
hh
D
Figure 4.2 : Prรฉsentation du modรจle 3D et du modรจle axisymรฉtrique utilisรฉs
98
4.3.2. Etude paramรฉtrique par รฉlรฉments finis (logiciel PLAXIS version 8.2 avec module
dynamique)
La dรฉtermination du tassement des pieux sous la charge de service est un problรจme
complexe, ร cause de multiples facteurs dont certains sont difficiles ร dรฉterminer pour les
besoins de calcul, en particulier :
- la loi de comportement rรฉel du sol qui reste toujours difficile ร simuler,
- les propriรฉtรฉs de lโinterface sol/pieu (rugositรฉ du fรปt),
- le mode de travail du pieu (en pointe, flottant ou autre),
-le mode de mise en place du pieu. Lโรฉvolution de charge dans le pieu est trรจs
diffรฉrente selon quโon a un pieu moulรฉ en place ou un pieu battu.
Une รฉtude paramรฉtrique du tassement est menรฉe pour prรฉciser les effets des paramรจtres
clefs dans la manifestation du tassement du pieu et cela pour un sol homogรจne caractรฉrisรฉ
par un module Es.
4.3.2. 1. Analyse dimensionnelle
Pour analyser la variation du tassement dโun pieu isolรฉ soumis ร des charges verticales, on
a recours ร chercher des grandeurs adimensionnelles qui sont souvent dรฉterminรฉes par le
thรฉorรจme des ฯ de VASHY BUCKINGHAM, ร partir de plusieurs variables physiques du
problรจme.
a- Cas du chargement statique
Dans le cas du chargement monotone, la relation gรฉnรฉrale dรฉcrivant le comportement dโun
pieu aux petits dรฉplacements est de la forme suivante :
f( Q, B, D, Ep, Es, ฯ p, ฯ s, V0, B0, R0) = 0 (4.1)
Elle se transforme ร lโaide du thรฉorรจme des ฯ ร la relation adimensionnelle suivante :
g(ฯ1, ฯ2, ฯ3, ฯ4, ฯ5,
ฯ6,
ฯ7
) = 0 (4.2)
Oรน :
๐1 =๐ท
๐ต: lโรฉlancement relatif du pieu, (4.3)
๐2 = ๐พ =๐ธ๐
๐ธ๐ : la compressibilitรฉ relative pieu/sol en cas de sol homogรจne, (4.4)
๐3 = ฯ
s : coefficient de Poisson du sol, (4.5)
๐4= ฯ p : coefficient de Poisson du pieu,
99
๐5 =๐ต0 .๐ต
๐ธ๐ : cโest un facteur en fonction de la pente initiale de la courbe (ฯ-v) en cas du sol
homogรจne, (4.6)
๐6 =๐ 0
๐ธ๐ facteur en fonction de la pente initiale de la courbe (q
p-v/B) en cas de sol
homogรจne, (4.7)
๐7 = ๐ผ๐ฃ =๐0 .๐ธ๐ .๐ต
๐ : facteur dโinfluence du tassement en cas de sol homogรจne. (4.8)
b- Cas du chargement dynamique :
Pour le cas du chargement dynamique, lโanalyse dimensionnelle donne les mรชmes termes
en ฯ, sauf que le facteur dโinfluence de tassement dans le cas statique ๐ผ๐ฃ est remplacรฉ par le
terme suivant :
๐7 = ๐ผ๐ฃ0 =
๐0 .๐ธ๐ .๐ต
๐0 : facteur dโinfluence de lโamplitude du tassement. (4.9)
U0 : amplitude du tassement dans le cas dynamique.
En plus, on ajoute un autre terme tenant compte du comportement dynamique du sol :
๐8 = ๐0 =๐ .๐ต
๐๐ : frรฉquence adimensionnelle. (4.10)
Dans ce cas, on se base essentiellement sur la variation de lโamplitude du tassement en tรชte
du pieu U0 avec lโรฉlancement D/B et la compressibilitรฉ relative K pour une valeur
constante de la frรฉquence adimensionnelle ๐0.
100
Tableau 4.1 : Propriรฉtรฉs des matรฉriaux utilisรฉs dans la modรฉlisation
Paramรจtre Symbole Sable Pieu Unitรฉ
Model du matรฉriau
Type de comportement
Poids volumique au dessus
de la nappe
Poids volumique au dessous
de la nappe
Module dโYoung
Coefficient de Poisson
Cohรฉsion
Angle de frottement
Angle de dilatance
Rugositรฉ de lโinterface
Modรจle
Type
๐พ๐ข๐๐ ๐๐ก
๐พ๐ ๐๐ก
Eref
๐
C
๐
๐
Rinter
Mohr-Coulomb
Non drainรฉ
17
20
15
0, 33
1
30
0
0,7
Elastique
linรฉaire
Non poreux
25
-
Variable
0, 15
-
-
-
1,0 (Rigid)
-
-
kN/m3
kN/m3
MN/m2
-
kN/m2
ยฐ
ยฐ
-
4.3.2. 2. Dรฉfinitions des paramรจtres de lโรฉtude
a) Lโรฉlancement relatif du pieu D/B
On doit รฉtudier le comportement du pieu en fonction de lโรฉlancement qui est dรฉfini par le
rapport de la fiche du pieu D, et de son diamรจtre B. Pour cette รฉtude on a pris quatre
diffรฉrentes valeurs de D/B afin de montrer lโinfluence de ce paramรจtre et qui sont : 5, 10,
20 et 50.
Dans le cas dynamique, on รฉlimine le cas de D/B=5, qui reprรฉsente un puits (fondation
plutรดt semi-profonde) et dont lโรฉtude est beaucoup plus complexe.
b) La compressibilitรฉ pieu/sol K
Ce terme est dรฉfini comme รฉtant le rapport du module de dรฉformation du pieu et celui du
sol. Pour dรฉcrire lโinfluence de ce paramรจtre, plusieurs valeurs ont รฉtรฉ prises et qui sont :
100, 300, 500, 5000, 104, 5x10
4 , 10
5, 10
7. Ces valeurs sont obtenues en fixant les
caractรฉristiques du sol รฉtudiรฉ, et en variant le module dโYoung du pieu de telle sorte ร
obtenir les compressibilitรฉs citรฉes prรฉcรฉdemment.
101
Dans le cas dynamique, on utilise uniquement les valeurs de compressibilitรฉ relative
suivantes : 100, 500, 104 5x10
4. En effet, on a rรฉduit le nombre de paramรจtres ร รฉtudier
dans le cas dynamique, suite au temps de calcul requis.
c) Facteur de tassement Iv
Afin dโรฉtudier la variation du tassement en fonction de lโรฉlancement relatif D/B et de la
compressibilitรฉ K, on doit รฉtudier le terme adimensionnel Iv.
d) Frรฉquence adimensionnelle ๐0
Ce terme est utilisรฉ seulement dans le cas dynamique pour รฉtudier lโinfluence de la
pulsation dโexcitation sur le tassement du pieu. Dans notre cas, on a fixรฉ la valeur la
frรฉquence adimensionnelle ๐0 pour simuler lโopรฉration du vibrofonรงage du pieu, dans
laquelle la frรฉquence de chargement est couramment de 50 Hz.
4.3.2.3. Prรฉsentation des rรฉsultats
a) Cas du chargement statique (monotone)
Le facteur dโinfluence de tassement Iv est dรฉfini par la relation suivante :
๐ผ๐ฃ =๐0.๐ธ๐ .๐ต
๐
v0 : tassement en tรชte du pieu,
Es: module dโYoung du sol,
B : diamรจtre du pieu,
Q : charge verticale en tรชte du pieu.
Il faut rappeler que dans notre cas, pour calculer le facteur dโinfluence de tassement Iv, on a
fixรฉ dans la modรฉlisation numรฉrique un tassement en tรชte รฉgal au maximum ร B/10, ce qui
correspond conventionnellement ร la charge limite du pieu. On obtient ainsi par ajustement
hyperbolique de la courbe de chargement du pieu. Cette mรฉthode considรจre que la courbe ร
lโรฉquation suivante :
๐ฆ =๐ฅ
๐+๐ .๐ฅ avec :
xโ0 on a y=ฮฑ.x
102
xโโ on a y=yl
Lโรฉquation devient alors :
๐ฆ =๐ฅ
1
๐ผ+๐ฅ
๐ฆ๐
ฮฑ reprรฉsente la pente de la partie linรฉaire et yl la valeur de la capacitรฉ portante ql. Le facteur
dโinfluence de tassement est donnรฉ comme suit :
๐ผ๐ฃ =๐ธ๐ .๐ต
๐ผ
Figure 4.3 : Principe de lโajustement hyperbolique
Ci-dessous sont donnรฉes les courbes de chargement pour diffรฉrentes valeurs de
lโรฉlancement D/B et de la compressibilitรฉ pieu/ sol K.
x
yl
y
103
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
0
200
400
600
800
Ch
arg
e Q
(kN
)
Tassement en tรชte V0(m)
K=100
K=300
K=500
K=5E3
K=E4
K=5E4
K=E5
K=E7D/B=5
Figure 4.4 : Courbes de chargement pour D/B=5
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
Ch
arg
e Q
(kN
)
Tassement en tรชte V0(m)
K=100
K=300
K=500
K=5E3
K=E4
K=5E4
K=E5
K=E7
D/B=10
Figure 4.5 : Courbes de chargement pour D/B=10
104
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
2200
2400
2600
2800
3000
3200
Ch
arg
e Q
(kN
)
Tassement en tรชte V0(m)
K=100
K=300
K=500
K=5E3
K=E4
K=5E4
K=E5
K=E7
D/B=20
Figure 4.6 : Courbes de chargement pour D/B=20
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
Ch
arg
e Q
(kN
)
Tassement en tรชte V0(m)
K=5E3
K=E4
K=5E4
K=E5
K=E7
D/B=50
Figure 4.7 : Courbes de chargement pour D/B=50
Les valeurs de Iv calculรฉes, ainsi que les graphes correspondants, sont regroupรฉes dans le
tableau 4.2 et la figure 4.8. ci-dessous.
105
Tableau 4.2 : Valeurs du facteur Iv dans le cas du chargement monotone
K
D/B 100 300 500 5000 10
4 5x10
4 10
5 10
7
5 0.3191 0.2920 0.2905 0.2855 0.2851 0.2847 0.2847 0.2847
10 0.1678 0.1419 0.1343 0.1257 0.1253 0.1248 0.1248 0.1248
20 0.1735 0.1047 0.0884 0.0715 0.0627 0.0626 0.0624 0.0624
50 * * * 0.0546 0.0521 0.0495 0.0487 0.0488
101
102
103
104
105
106
107
0.00
0.04
0.08
0.12
0.16
0.20
0.24
0.28
0.32
I v
K
D/B=5
D/B=10
D/B=20
D/B=50
Figure 4.8 : Courbes de variation de lโindice de tassement Iv en fonction de K et D/B
Dans le cas oรน D/B = 50, et pour les valeurs de K รฉgales ร 100, 300 et 500, les remarques
suivantes ont รฉtรฉ enregistrรฉes :
- Lโallure de la courbe de chargement est une droite, contrairement ร lโallure
hyperbolique typique qui tend vers une asymptote horizontale donnant la capacitรฉ
portante du pieu (figure 4.6 ) ;
- Le tassement en tรชte est trรจs diffรฉrent de celui en pointe (environ 10 fois plus
grand) pour le cas de pieu compressible (K=100, 300 et 500) ;
106
En variant les dimensions du maillage dans les deux directions, les mรชmes rรฉsultats ont รฉtรฉ
constatรฉs. Par contre, en substituant le tassement imposรฉ de B/10=0,1 m par des valeurs
plus grandes, et ceci pour K=100, on a remarquรฉ que la courbe de chargement du pieu
commence ร prendre son allure typique (voir figure 4.10).
.
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
11000
Ch
arg
e Q
(kN
)
Tassement en tรชte V0 (mm)
K=500
K=300
K=100
Figure 4.9: Courbes de chargement pour un รฉlancement D/B=50 ; K=100, 300 et 500
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
0
5000
10000
15000
20000
25000
Ch
arg
e (
kN
)
Tassement (mm)
Tรชte
Pointe
Figure 4.10: Courbe donnant la variation du tassement en tรชte et en pointe : D/B=50 ;
K=100 ; maillage R=25,5m et H=100m
107
La figure 4.10 montre le poinรงonnement du sol sous la pointe du pieu avec un refoulement
dans sa pรฉriphรฉrie manifestรฉ par un dรฉplacement horizontal (figure 4.11). Ce mรฉcanisme de
rupture du pieu correspond bien aux mรฉcanismes exposรฉs dans lโรฉtude bibliographique.
Figure 4.11 : Dรฉplacement vertical du pieu pour D/B=10 et K=5000
Figure 4.12 : Dรฉplacement horizontal du pieu pour D/B=10 et K=5000
108
b) Cas du chargement dynamique
On prรฉsente ci-aprรจs les rรฉsultats du chargement dynamique du pieu pour diffรฉrentes
valeurs de lโรฉlancement D/B et de la compressibilitรฉ pieu/sol K pour le cas amorti ou non
amorti. Le chargement cyclique utilisรฉ est de la forme Q(t) = Q0.sin ๐ .t avec :
Q0 : amplitude du chargement, fonction de D/B ;
๐ : pulsation dโexcitation (รฉgale ร 314 rad/s dans notre cas).
On rappel que dans le cas amorti, on a introduit les coefficients dโamortissement de
Rayleigh, quโon note ici ฮฑam ฮฒam avec les valeurs suivantes :
ฮฑam = 0,001 et ฮฒam=0,01.
D/B=10
(a) (b)
Figure 4.13 : Variation du tassement en fonction du temps lors du chargement dynamique
pour K=100 : (a) sans amortissement et (b) avec amortissement
(a) (b)
Figure 4.14 : Variation du tassement en fonction du temps lors du chargement dynamique
pour K=500 : (a) sans amortissement et (b) avec amortissement
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-9e-4
-6e-4
-3e-4
0
3e-4
6e-4
Dynamic time [s]
Uy [m]
Chart 1
Point A tete
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-9e-4
-6e-4
-3e-4
0
3e-4
6e-4
Dynamic time [s]
Uy [m]
Chart 1
Point A
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-4e-4
-3e-4
-2e-4
-1e-4
0
Dynamic time [s]
Uy [m]
Chart 1
Point A
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-4e-4
-3e-4
-2e-4
-1e-4
0
1e-4
Dynamic time [s]
Uy [m]
Chart 1
Point A
109
(a) (b)
Figure 4.15 : Variation du tassement en fonction du temps lors du chargement dynamique
pour K=104 : (a) sans amortissement et (b) avec amortissement
(a) (b)
Figure 4.16 : Variation du tassement en fonction du temps lors du chargement dynamique
pour K=5x104 : (a) sans amortissement et (b) avec amortissement
D/B=20
(a) (b)
Figure 4.17: Variation du tassement en fonction du temps lors du chargement dynamique
pour K=100: (a) sans amortissement et (b) avec amortissement
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-3.5e-4
-3e-4
-2.5e-4
-2e-4
-1.5e-4
-1e-4
-5e-5
0
Dynamic time [s]
Uy [m]
Chart 1
Point A
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-3e-4
-2.5e-4
-2e-4
-1.5e-4
-1e-4
-5e-5
0
Dynamic time [s]
Uy [m]
Chart 1
Point A
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-3.5e-4
-3e-4
-2.5e-4
-2e-4
-1.5e-4
-1e-4
-5e-5
0
Dynamic time [s]
Uy [m]
Chart 1
Point A
0 0.2 0.4 0.6 0.8
-3e-4
-2.5e-4
-2e-4
-1.5e-4
-1e-4
-5e-5
0
Dynamic time [s]
Uy [m]
Chart 1
Point A
0 0.2 0.4 0.6 0.8
-1.5e-3
-1e-3
-5e-4
0
5e-4
1e-3
Dynamic time [s]
Uy [m]
Chart 1
Point A
0 0.1 0.2 0.3 0.4
-1.5e-3
-1e-3
-5e-4
0
5e-4
1e-3
Dynamic time [s]
Uy [m]
Chart 1
Point A
110
(a) (b)
Figure 4.18: Variation du tassement en fonction du temps lors du chargement dynamique
pour K=500 : (a) sans amortissement et (b) avec amortissement
(a) (b)
Figure 4.19: Variation du tassement en fonction du temps lors du chargement dynamique
pour K=104 : (a) sans amortissement et (b) avec amortissement
(a) (b)
Figure 4.20: Variation du tassement en fonction du temps lors du chargement dynamique
pour K=5x104 : (a) sans amortissement et (b) avec amortissement
0 0.2 0.4 0.6 0.8
-8e-4
-6e-4
-4e-4
-2e-4
0
2e-4
Dynamic time [s]
Uy [m]
Chart 1
Point A
0 0.2 0.4 0.6 0.8
-6e-4
-4e-4
-2e-4
0
2e-4
Dynamic time [s]
Uy [m]
Chart 1
Point A
0 0.3 0.6 0.9 1.2
-5e-4
-4e-4
-3e-4
-2e-4
-1e-4
0
Dynamic time [s]
Uy [m]
Chart 1
Point A
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-4e-4
-3e-4
-2e-4
-1e-4
0
Dynamic time [s]
Uy [m]
Chart 3
Point A
0 0.2 0.4 0.6 0.8
-5e-4
-4e-4
-3e-4
-2e-4
-1e-4
0
Dynamic time [s]
Uy [m]
Chart 2
Point A
0 0.2 0.4 0.6 0.8
-3.5e-4
-3e-4
-2.5e-4
-2e-4
-1.5e-4
-1e-4
-5e-5
0
Dynamic time [s]
Uy [m]
Chart 1
Point A
111
D/B=50
(a) (b)
Figure 4.21: Variation du tassement en fonction du temps lors du chargement dynamique
pour K=100 : (a) sans amortissement et (b) avec amortissement
(a) (b)
Figure 4.22: Variation du tassement en fonction du temps lors du chargement dynamique
pour K=500 : (a) sans amortissement et (b) avec amortissement
(a) (b)
Figure 4.23: Variation du tassement en fonction du temps lors du chargement dynamique
pour K=104 : (a) sans amortissement et (b) avec amortissement
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-0.01
-5e-3
0
5e-3
0.01
0.015
Dynamic time [s]
Uy [m]
Chart 1
Point A
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-0.01
-5e-3
0
5e-3
0.01
0.015
Dynamic time [s]
Uy [m]
Chart 5
Point A
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-4e-3
-2e-3
0
2e-3
4e-3
6e-3
8e-3
Dynamic time [s]
Uy [m]
Chart 4
Point A
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-4e-3
-2e-3
0
2e-3
4e-3
6e-3
8e-3
0.01
Dynamic time [s]
Uy [m]
Chart 1
Point A
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-1e-3
0
1e-3
2e-3
3e-3
4e-3
5e-3
Dynamic time [s]
Uy [m]
Chart 6
Point A
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-1e-3
0
1e-3
2e-3
3e-3
4e-3
5e-3
Dynamic time [s]
Uy [m]
Chart 1
Point A
112
4.3.2.4. Interprรฉtation des rรฉsultats
a) Cas du chargement monotone
Lโรฉtude paramรฉtrique du facteur de tassement Iv en fonction de lโรฉlancement du pieu D/B
et la compressibilitรฉ pieu/sol K a montrรฉ que :
Le facteur de tassement Iv diminue en augmentant lโรฉlancement relatif du pieu et
cela pour K fixรฉ, ce qui signifie que le tassement en tรชte dโun pieu court est
supรฉrieur ร celui du pieu รฉlancรฉ fabriquรฉ du mรชme matรฉriau. Cela peut รชtre dรป au
fait que le pieu รฉlancรฉ subi lui-mรชme une dรฉformation et encaisse une partie de la
charge appliquรฉe en tรชte alors que pour un pieu court, le pieu ne subit presque pas
de dรฉformation, et la charge est transmise en totalitรฉ au sol ci-dessous.
Selon la figure 4.6, pour des valeurs de K supรฉrieures ร 5000, le facteur de
tassement est constant et ne dรฉpend plus de la compressibilitรฉ relative. Dans le cas
contraire (K<5000), le tassement diminue en augmentant K.
Pour un รฉlancement relatif รฉgal ร 50, et pour les valeurs de K รฉgales ร 100, 300 et
500, la courbe de chargement prรฉsente uniquement la partie linรฉaire, sans palier
horizontal apparent. Cette allure peut รชtre justifiรฉe par le fait que le pieu est
relativement compressible par rapport au sol, et il a tendance ร manifester un
tassement sous lโeffet de la charge appliquรฉe, en plus du tassement du sol. La
charge limite du pieu est obtenue par consรฉquent pour un tassement imposรฉ en tรชte
supรฉrieur ร B/10.
Comparaison des rรฉsultats avec les travaux de N. YAรCH ACHOUR, 2004 [6]
Dans le cadre de son mรฉmoire de magistรจre, N. YAรCH ACHOUR a รฉtudiรฉ le
comportement dโun pieu isolรฉ soumis ร un chargement vertical dans un sol homogรจne et
dans un sol de Gibson par le biais du logiciel SAP2000. On sโintรฉresse surtout au cas du
sol homogรจne.
On a utilisรฉ le mรชme maillage et les mรชmes caractรฉristiques des matรฉriaux (pour le pieu et
le sol), la diffรฉrence rรฉside dans la loi de comportement utilisรฉe pour modรฉliser le matรฉriau
sol, qui est une loi รฉlastoplastique au lieu de la loi รฉlastique linaire adoptรฉe par N. YAรCH
ACHOUR, ainsi que la possibilitรฉ dโintroduire des รฉlรฉments dโinterface dans la
modรฉlisation par PLAXIS. Les diffรฉrentes courbes de variation du facteur dโinfluence du
113
tassement en fonction de la compressibilitรฉ relative K et de lโรฉlancement D/B pour les deux
รฉtudes sont reprรฉsentรฉes sur les figures ci-dessous.
10 100 1000 10000 100000 1000000 1E7
0.18
0.20
0.22
0.24
0.26
0.28
0.30
0.32
D/B=5
PLAXIS
SAP
I v
K10 100 1000 10000 100000 1000000 1E7
0.12
0.14
0.16
0.18
0.20
0.22
0.24
0.26
0.28
0.30
0.32
D/B = 10 PLAXIS
SAP
I v
K
10 100 1000 10000 100000 1000000 1E7
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
0.16
0.18
0.20
0.22
0.24
0.26
0.28
0.30
0.32
D/B= 20
PLAXIS
SAP
I v
K
10 100 1000 10000 100000 1000000 1E7
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
0.16
0.18
0.20
0.22
0.24
0.26
0.28
0.30
0.32
I v
K
PLAXIS
SAP
D/B= 50
Figure 4.24 : Courbes de variation du facteur de tassement Iv en fonction de la
compressibilitรฉ K pour une modรฉlisation par SAP2000 et par PLAXIS
On remarque :
Une allure similaire est constatรฉe commenรงant par une premiรจre partie dรฉcroissante
suivie dโun palier horizontal ;
Pour le cas oรน D/B=5 (pieu court ou puits), une remarquable diffรฉrence est
constatรฉe avec lโenregistrement de grandes valeurs du facteur Iv. Cette diffรฉrence
peut รชtre justifiรฉe par la diffรฉrence entre les lois de comportement utilisรฉes. En
effet, pour le mรชme niveau de chargement, les dรฉplacements dans le cas de la loi
รฉlastoplastique sont plus importants que ceux induits par un comportement
รฉlastique linรฉaire. En plus, lโรฉtude des fondations de type "puits" (correspondant au
cas D/B=5) reste jusquโร lโheure actuelle un sujet de scientifique non tranchรฉ vu
114
que ce type de fondations reprรฉsente une transition entre les fondations profondes et
superficielles.
Pour le cas oรน D/B=10, D/B=20 et D/B=50, une bonne concordance est remarquรฉe
dans les rรฉsultats donnant la variation du facteur de tassement Iv en fonction de la
compressibilitรฉ pieu/sol.
b) Cas du chargement dynamique (harmonique)
Dโprรฉs les courbes donnant la variation du tassement en fonction du temps, on constate
que :
Pour D/B=10, et ร partir de K=500, le pieu manifeste un tassement seulement ;
Pour D/B=20, et ร partir de K=104, le pieu manifeste un tassement seulement ;
Pour D/B=50, et pour toutes les valeurs de K, le pieu manifeste dans les premiers
cycles des tassements, ensuite un soulรจvement.
b.1. Effet de la compressibilitรฉ relative K
On donne dans les tableaux ci-dessous pour diffรฉrentes valeurs de D/B et de K, lโamplitude
du tassement (ou soulรจvement) du premier cycle dans le cas du chargement amortie ou non
amortie. Lโamplitude รฉtudiรฉe correspond ร la valeur du tassement (ou soulรจvement) du
premier cycle comptรฉe ร partir de la valeur zรฉro.
Tableau 4.3 : Amplitude du 1er cycle en fonction de la compressibilitรฉ K pour D/B=10
K 100 500 104 5x10
4
Tassement
(mm)
S.A. 0.7 0.18 0.12 0.12
A.A. 0.7 0.18 0.075 0.075
Soulรจvement
(mm)
S.A. 0.3
A.A. 0.3
Lรฉgende :
S.A. : Sans Amortissement
A.A. : Avec Amortissement
115
Tableau 4.4 : Amplitude du 1er cycle en fonction de la compressibilitรฉ K pour D/B=20
K 100 500 104 5x10
4
Tassement
(mm)
S.A. 1.2 0.36 0.15 0.15
A.A. 1.2 0.36 0.09 0.11
Soulรจvement
(mm)
S.A. 0.5 0.18
A.A. 0.5 0.11
Tableau 4. 5 : Amplitude du 1er cycle en fonction de la compressibilitรฉ K pour D/B=50
K 100 500 104 5x10
4
Tassement
(mm)
S.A. 7 2.2 0.5
A.A. 7 2.2 0.5
Soulรจvement
(mm)
S.A. 2 0.09 0.1
A.A. 4.5 1.5 0.1
A partir des tableaux donnรฉs supra on conclu que pour toutes les valeurs de D/B,
lโamplitude en tassement ou en soulรจvement est inversement proportionnelle ร la
compressibilitรฉ K.
Conclusion
En pratique, dans les projets de fondations sur pieux sous un ouvrage industriel, il faut
concevoir des pieux de haute valeur de K afin de rรฉduire les amplitudes des dรฉplacements.
b.2. Effet de lโรฉlancement D/B
En analysant les rรฉsultats donnรฉes dans les tableaux prรฉcรฉdents on constate que pour
nโimporte valeur de la compressibilitรฉ K, lโamplitude en tassement ou en soulรจvement est
proportionnelle ร lโรฉlancement D/B.
Conclusion
En pratique, en phase de conception, il faut rรฉduire lโรฉlancement afin de rรฉduire les
amplitudes des vibrations du pieu.
116
b.3. Effet de lโamortissement spatial
On remarque que pour K=100, il nโy a pas dโeffet dโamortissement spatial.
Pour les valeurs plus grandes de K, lโamplitude du tassement diminue avec
lโamortissement.
Lโeffet de lโamortissement sur le soulรจvement nโa pas รฉtรฉ bien dรฉgagรฉ.
Conclusion
En pratique, il est recommandรฉ dโutiliser des pieux incompressibles pour profiter de lโeffet
de lโamortissement spatial du sol dans la rรฉduction de lโamplitude des vibrations des pieux.
b.4. Effet de la frรฉquence de vibration
Lโeffet de ce paramรจtre nโa pas รฉtรฉ analysรฉ, suite aux limites du temps allouรฉ ร la partie
modรฉlisation numรฉrique dans ce travail.
b.5. Etude du coefficient dโamplification dynamique ฮ
Dans cette partie, on calcule le coefficient dโamplification dynamique pour diffรฉrents cas.
Le tassement dynamique considรฉrรฉ correspond ร lโamplitude du tassement au premier
cycle alors que celui du cas statique reprรฉsente la valeur correspondante de lโamplitude du
chargement dynamique ร considรฉrer dans la courbe de chargement du cas statique. Comme
lโon a citรฉ auparavant, la frรฉquence du chargement dynamique utilisรฉe est 50 Hz
(correspondant ร ๐ = 314 rad.s-1
).
D/B=10
Amplitude appliquรฉe dans la modรฉlisation par nลud =7 kN.
Amplitude rรฉelle =132 kN.
Tableau 4.6: Valeurs du coefficient dโamplification dynamique en fonction de la
compressibilitรฉ K pour D/B=10
K V0
(mm) Statique Dynamique ฮ= V0 dy/ V0 stat
100 1.47 0.6 0.41
500 1.18 0.18 0.15
104 1.10 0.12 0.11
5x104 1.10 0.12 0.11
D/B=20
Amplitude appliquรฉe dans la modรฉlisation par nลud =25 kN.
Amplitude rรฉelle =470 kN.
117
Tableau 4.7: Valeurs du coefficient dโamplification dynamique en fonction de la
compressibilitรฉ K pour D/B=20
K V0
(mm) Statique Dynamique ฮ= V0 dy/ V0 stat
100 5.44 1.2 0.22
500 2.77 0.42 0.15
104 1.97 0.14 0.07
5x104 1.97 0.14 0.07
D/B=50
Dans ce cas, on nโa pas รฉtudiรฉ la variation du facteur dโamplification vu que le pieu a
manifestรฉ en majoritรฉ des cas un soulรจvement alors quโon statique on a obtenu un
tassement.
100 1000 10000 100000
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
D/B=10
D/B=20
Co
eff
icie
nt
d'a
mp
lifi
ca
tio
n d
yn
am
iqu
e
K
Figure 4.25 : Variation du coefficient dโamplification en fonction de K et D/B
Dโaprรจs la figure 4.25 on constate que :
Les valeurs du coefficient dโamplification sont tous infรฉrieures ร 1. Cela peut รชtre
justifiรฉ par le fait quโon a choisi une frรฉquence de chargement relativement grande
par rapport ร la frรฉquence propre du systรจme pieu/sol (voir figure 4.26) ;
118
Pour la mรชme valeur de lโรฉlancement D/B, le coefficient dโamplification
dynamique est inversement proportionnelle ร K jusquโร une valeur de 10000, ร
partir de laquelle il devient constant. Cela signifie que les pieux compressibles ont
tendance ร manifester un tassement plus grand que ceux peu compressible sous
lโeffet dโun chargement dynamique.
Figure 4.26: Exemple de variation du coefficient dโamplification dynamique en
fonction du rapport de frรฉquences pour diffรฉrentes valeurs de
lโamortissement dans le cas dโun oscillateur simple
4.4. Conclusion
On a รฉtudiรฉ dans ce chapitre le comportement dโun pieu isolรฉ soumis ร un chargement
vertical monotone et cyclique dans un massif de sol, par le biais du logiciel PLAXIS V 8.2
(avec module dynamique). Suite ร lโรฉtude paramรฉtrique faite, les conclusions suivantes
peuvent รชtre donnรฉes :
119
- Sous chargement monotone, le tassement est inversement proportionnel ร
lโรฉlancement pour la mรชme compressibilitรฉ pieu/sol ;
- Sous chargement dynamique, lโamplitude en tassement ou en soulรจvement est
inversement proportionnelle ร la compressibilitรฉ K. En plus, lโamplitude en
tassement ou en soulรจvement est proportionnelle ร lโรฉlancement D/B pour
nโimporte valeur de la compressibilitรฉ K.
- Lโamortissement spatial permet de rรฉduire lโamplitude des vibrations pour les pieux
incompressibles.
On exposera dans le chapitre suivant la mรฉthode de superposition modale qui permet
dโรฉtudier les pieux sous vibrations verticales.
120
CHAPITRE 5
ANALYSE PAR SUPERPOSITION MODALE EN CAS DโUN SOL HOMOGENE
5.1. Introduction
Les logiciels de calcul en รฉlรฉments finis sont de plus en plus utilisรฉs dans les calculs des
ouvrages gรฉotechniques. On a essayรฉ dans ce chapitre dโรฉlaborer un programme en langage
Fortran permettant dโรฉvaluer les modes propres, le tassement statique et le tassement sous
chargement dynamique par le biais de la mรฉthode de superposition modale, en considรฉrant
la thรฉorie de transfert de charge.
On prรฉsente tout dโabord le dรฉveloppement mathรฉmatique aboutissant ร la relation donnant
le tassement en tรชte du pieu. Ensuite, lโorganigramme gรฉnรฉral et les variables entrant en jeu
dans lโรฉlaboration du programme sont prรฉsentรฉs. Enfin, des exemples pour la vรฉrification
du bon fonctionnement du programme sont exposรฉs.
5.2. Prรฉsentation de la mรฉthode de superposition modale
La stratรฉgie de rรฉsolution la plus couramment adoptรฉe en dynamique est la mรฉthode de
superposition modale qui convient aux structures linรฉaires dont les premiers modes propres
sont susceptibles d'รชtre excitรฉs. Cette mรฉthode peut รชtre subdivisรฉe en deux classes suivant
la nature des modes propres utilisรฉs pour exprimer les รฉquations du mouvement. Le cas des
structures ร amortissement รฉlevรฉ et non uniforme nรฉcessite l'utilisation comme base de la
solution des modes propres complexes [CLOUGH & al, 1993], solutions propres du
systรจme avec amortissement. Heureusement, dans de nombreux problรจmes, les structures
121
รฉtudiรฉes sont faiblement amorties, ce qui permet d'รฉviter le calcul des modes propres
complexes, qui constitue dans bien des cas une opรฉration longue et coรปteuse. On utilise
donc comme base de la solution les modes propres rรฉels. L'utilisation de ces mรฉthodes
conduit souvent ร nรฉgliger l'influence des termes non diagonaux d'amortissement modal.
Sous ces conditions, l'รฉtude de la rรฉponse dynamique se ramรจne ร la rรฉsolution d'un certain
nombre d'รฉquations diffรฉrentielles linรฉaires du second ordre dรฉcouplรฉes pour lesquelles on
dispose de solutions analytiques.
5.3. Principe de la mรฉthode de superposition modale
Cette mรฉthode est basรฉe sur les modes propres de vibration libre de la structure. Ces modes
traduisent en fait n allures de dรฉplacement indรฉpendantes, dont les amplitudes peuvent
servir de coordonnรฉes gรฉnรฉralisรฉes pour reprรฉsenter une forme quelconque de la structure.
On notera au passage, que les modes de vibration jouent le mรชme rรดle que les termes d'un
dรฉveloppement en sรฉrie de Fourier et qu'ils prรฉsentent les mรชmes propriรฉtรฉs avantageuses:
orthogonalitรฉs des modes,
reprรฉsentation satisfaisante des dรฉplacements ร l'aide d'une approximation limitรฉe ร
quelques termes seulement.
On exprime donc le mouvement de la structure dans la base des modes propres rรฉels [13].
5.4. Evaluation du tassement du pieu sous charge dynamique axiale par la mรฉthode de
superposition modale
On commence par lโapplication de la thรฉorie de transfert de charge qui se base sur la
discrรฉtisation du sol, formant un milieu continu, en une infinitรฉ de ressorts indรฉpendants
schรฉmatisant le comportement รฉlastique de lโinterface sol-pieu. Le transfert des contraintes
se fait du pieu au sol par lโintermรฉdiaire de ces ressorts (figure 5.1).
122
Figure 5.1 : Principe de la thรฉorie de transfert de charges
5.5. Mise en รฉquation
En รฉcrivant lโรฉquilibre dynamique ๐น๐ฃ = ๐. ๐ฃ (5.1)
On obtient :
๐ โ ๐ + ๐๐ โ ๐๐๐ต๐๐ = ๐๐๐๐.๐2๐ฃ
๐๐ก 2 (5.2 )
On pose :
๐ = 4.๐ผ
๐ต.๐ธ๐ ; ๐ถ =
๐ธ
๐ ; ๐ผ =
๐
๐ฃ .
Avec :
B : diamรจtre du pieu
Aprรจs rรฉarrangement on obtient lโรฉquation diffรฉrentielle suivante :
๐2๐ฃ
๐๐ง 2 โ ๐2 . ๐ฃ โ๐บ
๐ถ2 =1
๐ถ2 .๐2๐ฃ
๐๐ก 2 (5.3)
G : accรฉlรฉration de la gravitรฉ
Equation des ondes de compression :
Simplifiant lโรฉquation (5.3) (prรฉcรฉdente) en nรฉgligeant le terme ๐บ
๐ถ2 = ๐๐บ
๐ธ pour pouvoir
dรฉcoupler lโรฉquation. Cette simplification est vรฉrifiรฉe pour les pieux utilisรฉs couramment
en gรฉnie civil :
.
123
Pieu en acier : ๐๐บ
๐ธ=
7850
2.1011 = 4. 10โ8
Pieu en ciment : ๐๐บ
๐ธ=
2000
3,5.108 = 7. 10โ7
Pieu en B.A : ๐๐บ
๐ธ=
2500
3.1010 = 8. 10โ8
Dรฉtermination des modes et frรฉquences propres
Posons : ๐ฃ ๐ง, ๐ก = ๐ ๐ก . ๐(๐ง). Aprรจs dรฉrivation de ๐ฃ ๐ง, ๐ก par rapport ร z et ร t, lโรฉquation
(3) devient
๐๐2๐
๐๐ง 2 โ ๐2 . ๐. ๐ =1
๐ถ2 . ๐.๐2๐
๐๐ก 2 (5.4)
En multipliant les deux membres de lโรฉgalitรฉ par le terme 1/fg, on obtient :
๐ถ2 1
๐
๐2๐
๐๐ง 2 โ ๐2 =1
๐.๐2๐
๐๐ก 2 (5.5)
Les deux membres de lโรฉgalitรฉ ne dรฉpendent pas des mรชme variables, รฉgalisons les ร une
constante -๐2, on obtient ainsi les deux รฉquations diffรฉrentielles suivantes :
1
๐.๐2๐
๐๐ง 2 =โ๐2
๐ถ2 + ๐2 (5.6)
๐2๐
๐๐ก 2 + ๐. ๐2 = 0 (5.7)
Considรฉrons lโรฉquation (5.6) :
๐ =๐
๐ถโ
๐2๐
๐๐ง 2 = 0 โ๐๐
๐๐ง= ๐๐ก๐ โ ๐ = ๐ + ๐๐ง โ Une seule frรฉquence propre: ๐1 = ๐. ๐
๐ >๐
๐ถโ on a un nombre fini de modes propres : cas non intรฉressant.
๐ <๐
๐ถ โ a un nombre infini de modes propres : cโest le cas intรฉressant.
Posons : ๐บ2 =๐2
๐ถ2 โ ๐2 . La solution de lโรฉquation (5.6) est donc :
๐ ๐ง = ๐ด. cos ๐บ๐ง + ๐ต sin ๐บ๐ง (5.8)
La solution de lโรฉquation (5.7) est de la forme :
๐ ๐ก = ๐. cos ๐๐ก + ๐. sin ๐๐ก (5.9)
Conditions aux limites :
En tรจte :
๐ 0 = 0 โ ๐ = ๐ธ. ๐.๐๐ฃ
๐๐ง= ๐ธ. ๐. ๐.
๐๐
๐๐ง
124
๐ 0 = 0 โ๐๐
๐๐ง= 0 โ โ๐ด. ๐บ sin(๐บ. 0) + ๐ต๐บ cos(๐บ. 0) = 0 (5.10)
โ ๐ต = 0
En pointe,
On ร : ๐๐ = ๐ฝ. ๐ฃ๐ โ๐(๐ง=๐ท)
๐= ๐ฝ. ๐ฃ(๐ง = ๐ท)
โ โ๐ธ๐ ๐
๐. ๐ ๐ก .
๐๐
๐๐ง ๐ง=๐ท
= ๐ฝ. ๐(๐ก). ๐ ๐ง = ๐ท (5.11)
Aprรจs transformations et rรฉarrangements on obtient :
๐ฝ. ๐ ๐ง = ๐ท + ๐ธ๐
๐๐
๐๐ง
๐ง = ๐ท = 0, โ๐ก
๐ฝ. ๐ด cos ๐บ๐ท โ ๐ธ๐๐บ. ๐ด. sin ๐บ๐ท = 0
๐ฝ. ๐ด cos ๐บ๐ท = ๐ธ๐๐บ. ๐ด. sin ๐บ๐ท (5.12)
๐ด = 0 โ ๐ฃ ๐ง, ๐ก = 0 โ๐ก ๐ ๐๐๐ข๐ก๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐ โ ร ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
๐ด โ 0 โ ๐ก๐ ๐บ๐ท =๐ฝ
๐บ .๐ธ๐ Equation aux valeurs propres.
Rรฉsolution de lโรฉquation aux valeurs propres :
๐ก๐ ๐บ๐ท =๐ฝ
๐บ .๐ธ๐ (5.13)
๐บ2 =๐2
๐ถ2 โ ๐2
Quโon peut รฉcrire sous la forme : ๐ฅ. ๐ก๐๐ฅ = ๐ ๐รน ๐ฅ = ๐บ. ๐ท
๐ = ๐ฝ .๐ท
๐ธ๐
La rรฉsolution se fait graphiquement, et on utilise pour cela les mรฉthodes numรฉriques.
125
Figure 5.2 : Rรฉsolution graphique de lโรฉquation aux valeurs propres
Rรฉsolution de lโรฉquation (5.13) pour des cas particuliers
Pieu colonne : pointe encastrรฉe ฮฒ = โ
โ cos ๐บ. ๐ท = 0 โ ๐บ๐ . ๐ท = 2๐ + 1 ๐
2โ ๐บ๐ =
1
๐ท 2๐ + 1
๐
2 ๐ โฅ 0
๐บ๐2 =
๐๐2
๐ถ2โ ๐2
Pieu flottant :
๐๐ = 0 โ ๐ ๐ง = ๐ท = 0 โ โ๐ธ๐ . ๐. ๐. ๐๐
๐๐ง ๐ง=๐ท
= 0 โ ๐ด ๐บ. ๐ธ๐ . ๐. sin ๐บ. ๐ท = 0 โ
sin ๐บ. ๐ท = 0 โ ๐บ๐ =1
๐ท๐๐ ๐ โฅ 0 (Ce qui se retrouve de lโรฉquation des valeurs
propres en mettant ฮฒ = 0.)
Pieu travaillant en pointe seulement : a = 0 โ ๐๐ = ๐. ๐บ๐
Dans tout les cas, le mode propre associรฉe est : ๐๐ ๐ง = ๐ด๐ . cos ๐บ๐๐ง
Etude du systรจme forcรฉ :
On applique le principe variationnel de HAMILTON
โ ๐ โ ๐ ๐๐ก + โ๐ค๐๐ . ๐๐ก = 0๐ก2
๐ก1
๐ก2
๐ก1 (5.14)
Avec :
T : รฉnergie cinรฉtique totale
V : รฉnergie potentielle = รฉnergie de dรฉformation et potentielle des forces conservatrices
extรฉrieures.
Wnc : travail des forces non conservatrices agissant sur le systรจme.
126
ฮ : variation subie pendant lโintervalle de temps considรฉrรฉ.
Energie cinรฉtique du pieu :
๐ =1
2๐๐ฃ 2 =
1
2 ๐. ๐. ๐๐ง . ๐ฃ 2
๐ =1
2 ๐. ๐
๐ท
0
๐๐ฃ
๐๐ก
2
. ๐๐ง (5.15)
Energie potentielle de dรฉformation : ๐๐ =1
2 ๐. ๐. ๐ ๐ฃ๐๐๐ข๐๐
๐๐ ๐๐๐๐ข =1
2. ๐ธ๐ . ๐2 ๐. ๐๐ง
๐ท
0=
1
2. ๐ธ๐ . ๐
๐ท
0
๐๐ฃ
๐๐ง
2
๐๐ง
๐๐ ๐๐๐๐ข =1
2. ๐ธ๐ . ๐
๐๐ฃ
๐๐ง
2
๐๐ง๐ท
0 (5.16)
๐๐ ๐ ๐๐ = ๐๐ ๐๐๐๐๐ก๐ + ๐๐ ๐๐๐๐ก๐ก๐๐๐๐๐ก ๐๐๐กรฉ๐๐๐
๐๐ ๐ ๐๐ =1
2. ๐ฝ. ๐. ๐ฃ๐
2 +1
2 ๐. ๐๐ต. ๐๐ง. ๐ฃ
๐ท
0 (5.17)
Energie potentielle due au poids du pieu :
๐๐ =1
2. ๐. ๐บ. ๐ง.
๐๐ฃ
๐๐ง. ๐. ๐๐ง =
1
2
๐ท
0. ๐. ๐บ. ๐
๐๐ฃ
๐๐ง. ๐ง. ๐๐ง
๐ท
0 (5.18)
G : accรฉlรฉration de la gravitรฉ
Travail des forces externes :
๐ค๐๐ = ๐ 0, ๐ก . ๐ฃ(0, ๐ก)
๐ฃ ๐ง, ๐ก = ๐๐
๐โฅ0
๐ง . ๐๐ ๐ก ๐ฃ 0, ๐ก = ๐๐
๐โฅ0
0 . ๐๐ ๐ก
๐๐ฃ
๐๐ง= ๐๐ .
๐๐๐
๐๐ง
๐2๐ฃ
๐๐ง 2 = ๐๐ (๐ก).๐2๐๐
๐๐ง 2
๐๐ฃ
๐๐ก= ๐๐(๐ง) .
๐๐๐
๐๐ก
Alors :
โ๐ = 2.1
2. ๐. ๐.
๐๐ฃ
๐๐ก โ
๐๐ฃ
๐๐ก
๐ท
0. ๐๐ง (5.19)
โ๐ = โ๐๐๐๐๐๐ข + โ๐๐
๐ ๐๐ + โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐ข
127
Donc :
โ๐ =1
2. ๐ธ๐ . ๐. โ.
๐๐ฃ
๐๐ง
2
. ๐๐ง +2
2
๐ท
0. ๐ฝ. ๐. ๐ฃ๐ . โ๐ฃ๐ +
1
2๐ผ๐๐ต 2๐ฃโ๐ฃ ๐๐ง +
๐ท
0
1
2. ๐. ๐บ. ๐ โ
๐๐ฃ
๐๐ง . ๐ง. ๐๐ง
๐ท
0 (5.20)
โ๐ค๐๐ = ๐ 0, ๐ก . โ๐ฃ(0, ๐ก)
Principe de HAMILTON :
โ ๐ โ ๐ . ๐๐ก +๐ก2
๐ก1 โ๐ค๐๐ . ๐๐ก = 0๐ก2
๐ก1
โ๐. ๐๐ก = ๐. ๐. ๐๐ . ๐ ๐ .
๐โฅ0
๐๐ . โ๐ ๐
๐ท
0
๐ก2
๐ก1
๐ก2
๐ก1
๐๐ง = ๐. ๐ ๐ ๐ . โ๐
๐ . ๐๐2 .
๐ท
0๐โฅ0
๐ก2
๐ก1
๐๐ง
โ๐. ๐๐ก = ๐ฝ. ๐. ๐๐ ๐ท . ๐๐ .๐โฅ0 ๐๐(๐ท). โ๐๐ ๐ก2
๐ก1
๐ก2
๐ก1๐๐ก +
1
2๐ผ. ๐ ๐ต ๐๐๐๐ . ๐๐ . โ๐๐
๐ท
0๐โฅ0๐ก2
๐ก1+
1
2. ๐ธ๐ . ๐ 2
๐๐๐
๐๐ง
2๐ท
0๐โฅ0๐ก2
๐ก1๐๐ . โ๐๐ . ๐๐ง +
1
2๐. ๐บ. ๐ ๐ง.
๐๐๐
๐๐ง.
๐ท
0๐โฅ0๐ก2
๐ก1โ๐๐ . ๐๐ง (5.21)
โ๐ค๐๐ . ๐๐ก = ๐(
๐ก2
๐ก1
0, ๐ก). ๐๐ 0 . โ๐๐ . ๐๐ก๐โฅ0
๐ก2
๐ก1
๐ ๐
๐ก2
๐ก1. โ๐
๐ . ๐๐ก = ๐ ๐ . โ๐๐
๐ก1
๐ก2โ ๐
๐๐ก2
๐ก1. โ๐๐ . ๐๐ก
Hypothรจse de HAMLTON : ฮfn sโannule entre les bornes t1 et t2 : ๐ ๐ . โ๐๐
๐ก1
๐ก2= 0
โ๐. ๐๐ก = ๐ฝ. ๐. ๐๐2 ๐ท . ๐๐
๐ก2
๐ก1
. โ๐๐ . ๐๐ก
๐โฅ0
๐ก2
๐ก1
+๐ผ๐๐ต
2 2. ๐๐
2 . ๐๐ . โ๐๐ . +1
2. ๐ธ๐ . ๐. 2
๐๐๐
๐๐ง
2
๐๐ง ๐๐ . โ๐๐ . ๐๐ก๐ก2
๐ก1
๐ท
0๐โฅ0
๐ก2
๐ก1
๐ท
0๐โฅ0
+1
2. ๐. ๐บ. ๐ ๐ง.
๐ท
0๐โฅ0
๐๐๐
๐๐ง๐๐ง. โ๐๐ . ๐๐ก
๐ก2
๐ก1
โ๐. ๐๐ก =๐ก2
๐ก1 ๐ฝ. ๐. ๐๐2 . ๐ท + ๐ผ๐๐ต ๐๐
2 . ๐๐ง +๐ท
0๐โฅ0 ๐ธ๐ . ๐. ๐๐๐
๐๐ง
2๐๐ง
๐ท
0 . ๐๐ . โ๐๐ . ๐๐ก +
๐ก2
๐ก1
๐ .๐บ .๐
2 ๐ง.
๐๐๐
๐๐ง๐๐ง
๐ท
0
๐ก2
๐ก1. โ๐๐๐๐ก (5.22)
128
โ(๐ โ ๐)๐๐ก = ๐. ๐. ๐๐2๐๐ง. โ๐
๐ . โ๐๐๐๐ก๐ก2
๐ก1
๐ท
0
๐โฅ0
๐ก2
๐ก1
โ ๐ฝ. ๐. ๐๐2 ๐ท + ๐ผ๐๐ต ๐๐
2๐ท
0
๐๐ง โ ๐ธ๐ . ๐. ๐๐๐
๐๐ง
2
๐๐ง๐ท
0
. ๐๐ . โ๐๐ . ๐๐ก
๐ก2
๐ก1
โ ๐. ๐บ . ๐
2 ๐ง.
๐๐๐
๐๐ง๐๐ง
๐ท
0
. โ๐๐ . ๐๐ก๐ก2
๐ก1
โ ๐ โ ๐ ๐๐ก = ๐๐โ . โ๐
๐ โ ๐พ๐๐โ . ๐๐ โ ๐๐๐
โ ๐๐ก๐ก2
๐ก1๐โฅ0๐ก2
๐ก1 (5.23)
โ๐ค๐๐
๐ก2
๐ก1
. ๐๐ก = ๐๐
๐โฅ0
(0) โ๐๐๐ 0, ๐ก . ๐๐ก
๐ก2
๐ก1
โ๐๐โ . ๐
๐ โ ๐พ๐๐โ . ๐๐ โ ๐๐๐
โ . โ๐๐ + ๐ 0 . ๐๐ 0 . โ๐๐ . ๐๐ก = 0
๐ก2
๐ก1๐โฅ0
โ โ๐๐โ . ๐
๐ โ ๐พ๐๐โ . ๐๐ + ๐๐๐
โ + ๐. ๐๐ 0 โ๐๐ . ๐๐ก = 0๐ก2
๐ก1๐โฅ0 (5.24)
โ๐๐ est arbitraire, le terme entre crochets doit alors sโannuler quelque soit n :
๐๐โ . ๐
๐ โ ๐พ๐๐โ . ๐๐ + ๐๐๐
โ = ๐ 0, ๐ก . ๐๐ 0 (5.25)
๐๐๐โ = ๐๐ ๐๐
2 ๐ง ๐๐ง โถ ๐ท
0 masse gรฉnรฉralisรฉe du pieu au mode n.
๐พ๐๐โ = ๐ฝ. ๐. ๐๐
2 ๐ท + ๐ผ๐๐ต ๐๐2๐๐ง โถ
๐ท
0 raideur gรฉnรฉralisรฉe du sol au mode n.
๐พ๐๐โ = ๐ธ๐๐
๐๐๐
๐๐ง
2
๐๐ง๐ท
0 : raideur gรฉnรฉralisรฉe du pieu au mode n.
๐๐โ ๐ก = ๐ 0, ๐ก ๐๐ 0 โถ force gรฉnรฉralisรฉe au mode n.
๐ ๐ +
๐พ๐๐โ +๐พ๐๐
โ
๐๐โ . ๐๐ +
๐๐๐โ
๐๐โ =
๐๐โ(๐ก)
๐๐โ (5.26)
๐๐ ๐ โถ ๐๐ ๐ง = ๐ด๐ cos(ฮฉ๐ , ๐ง) dโoรน :
๐๐โ = ๐. ๐ ๐๐
2. ๐๐ง = ๐. ๐. ๐ด๐2 ๐๐๐ 2 ฮฉ๐๐ง ๐๐ง =
๐ท
0
๐ท
0๐. ๐. ๐ด๐
2 1+๐๐๐ 2ฮฉ๐ ๐ง
2 ๐๐ง
๐ท
0 (5.27)
129
๐๐โ = ๐. ๐. ๐ด๐
2 ๐๐๐ 2 ฮฉ๐๐ง ๐๐ง =๐ท
0
๐ .๐.๐ด๐2
2 ๐ท +
1
2ฮฉ๐sin 2ฮฉ๐ . ๐ท
๐๐โ =
๐ .๐.๐ด๐2 .๐ท
2 1 +
sin 2 ฮฉ๐ .๐ท
๐ (5.28)
Oรน :
๐ =๐ฝ๐ท
๐ธ๐ sans dimension
[ฮฉ] : longueur -1
๐พ๐โ = ๐ฝ. ๐. ๐ด๐
2 . ๐๐๐ 2ฮฉ๐ . ๐ท +๐ผ๐๐ต๐ท
2. ๐ด๐
2 1 +sin 2 ฮฉ๐ .๐ท
๐ (5.29)
๐พ๐โ = ๐ธ๐ . ๐. ๐ด๐
2 โฮฉ๐ sin(ฮฉ๐ . ๐ง) 2๐๐ง = ๐ธ๐ . ๐. ๐ด๐
2 . ฮฉ๐2 . ๐ท
2 1 โ
sin2 ฮฉ๐ . ๐ท
๐
๐ท
0
๐พ๐โ =
๐ธ๐ .๐.๐ด๐2 .ฮฉ๐
2 .๐ท
2 1 โ
sin 2 ฮฉ๐ .๐ท
๐ (5.30)
On a :
๐พ๐โ
๐๐โ +
๐พ๐โ
๐๐โ =
๐ฝ .๐.๐ด๐2 .๐๐๐ 2ฮฉ๐ .๐ท+
๐ผ๐๐ต๐ท
2.๐ด๐
2 1+sin 2 ฮฉ๐ .๐ท
๐ +
๐ธ๐ .๐ .๐ด๐2 .ฮฉ๐
2 .๐ท
2 1โ
sin 2 ฮฉ๐ .๐ท
๐
๐ .๐ .๐ด๐2 .๐ท
2 1+
sin 2 ฮฉ๐ .๐ท
๐
(5.31)
๐พ๐โ
๐๐โ +
๐พ๐โ
๐๐โ =
2๐ฝ
๐๐ท.
๐๐๐ 2ฮฉ๐ .๐ท
1+sin 2 ฮฉ๐ .๐ท
๐
+๐ผ๐๐ต
๐ .๐+
๐ธ๐ ฮฉ๐2
๐. 1โ
sin 2 ฮฉ๐ .๐ท
๐
1+sin 2 ฮฉ๐ .๐ท
๐
๐ =๐๐ต2
4 ;
๐ธ๐
๐= ๐ถ2; ฮฉ๐
2 =๐๐
2
๐ถ2โ ๐2
ฮฉ. ๐2 =4๐ผ
๐ต. ๐ธ๐โ ๐2 โ
๐ธ๐ . ฮฉ๐2
๐= ๐๐
2 โ ๐2 . ๐ถ2
Alors : ๐๐2 โ
4๐ผ
๐ต.๐ธ๐.๐ธ๐
๐= ๐๐
2 โ4๐ผ
๐ต.๐ (5.32)
๐พ๐โ
๐๐โ +
๐พ๐โ
๐๐โ =
2๐ฝ๐๐ท
. ๐๐๐ 2(ฮฉ๐ . ๐ท) +4๐ผ๐ต. ๐
. 1 +sin2 ฮฉ๐ . ๐ท
๐ + ๐๐
2 โ4๐ผ๐ต. ๐
. 1 โsin2 ฮฉ๐ . ๐ท
๐
1 +sin2 ฮฉ๐ . ๐ท
๐
๐พ๐โ
๐๐โ +
๐พ๐โ
๐๐โ =
2๐ฝ
๐๐ท.๐๐๐ 2(ฮฉ๐ .๐ท)+
8๐ผ
๐ต .๐.
sin 2 ฮฉ๐ .๐ท
๐ + ๐๐
2 . 1โsin 2 ฮฉ๐ .๐ท
๐
1+sin 2 ฮฉ๐ .๐ท
๐
(5.33)
Cas particuliers :
1-) Pieu flottantโ ๐ฝ = 0: ๐พ๐
โ
๐๐โ +
๐พ๐โ
๐๐โ = ๐๐
2
130
2-) Pieu colonne sans frottement latรฉral ๐ผ = 0, ๐๐ ๐ท = 0
โ ๐พ๐
โ
๐๐โ +
๐พ๐โ
๐๐โ = ๐๐
2 ๐ โ โ
On aura ainsi, en posant : ๐พ๐
โ
๐๐โ +
๐พ๐โ
๐๐โ = ๐๐
2
๐ ๐ + ๐๐
2. ๐๐ =๐๐
โ ๐ก
๐๐โ
Soit un effort axial appliquรฉ au pieu : ๐ 0, ๐ก = ๐0. cos ๐๐ก
๐: ๐๐ข๐๐ ๐๐ก๐๐๐ ๐โฒรฉ๐ฅ๐๐ก๐๐ก๐๐๐
Solution de lโรฉquation homogรจne ๐ ๐ + ๐๐
2. ๐๐ = 0
โ ๐๐๐ = ๐๐ . sin ๐๐๐ก + ๐๐ cos ๐๐๐ก
Solution particuliรจre : on รฉcrit sous la forme :
๐๐๐ = ๐๐ . cos ๐๐ก โ ๐๐ . ๐2. cos ๐๐ก + ๐๐
2 ๐๐ cos ๐๐ก =๐0 .cos ๐๐ก .๐๐ (0)
๐๐โ (5.34)
๐๐ =๐0. ๐ด๐
(๐๐2 โ ๐2).
๐. ๐. ๐ด๐2 . ๐ท
2 1 +
sin2 ฮฉ๐ . ๐ท๐
๐๐๐ข๐ ๐๐ โ ๐
Aprรจs dรฉveloppement de lโexpression de ฮธn on obtient:
๐๐2 =
sin 2ฮฉ๐ .๐ท .๐๐
2
ฮฉ๐ .๐ท+๐๐
2 1โsin 2 ฮฉ๐ .๐ท
๐
1+sin 2 ฮฉ๐ .๐ท
๐
=2
sin 2 ฮฉ๐ .๐ท
๐ ๐๐
2 +๐๐2 โ
๐๐2 sin 2 ฮฉ๐ .๐ท
๐
1+sin 2 ฮฉ๐ .๐ท
๐
(5.35)
En effet :
sin 2ฮฉ๐ .๐ท
ฮฉ๐ .๐ท=
2.sin ฮฉ๐ .๐ท .cos ฮฉ๐ .๐ท
๐.
sin ฮฉ๐ .๐ท
cos ฮฉ๐ .๐ท =
2.sin 2 ฮฉ๐ .๐ท
๐
๐๐2 = ๐๐
2
Soit : ๐ฝโฒ =๐
๐๐
โ ๐๐ =2.๐0
๐ .๐.๐ท.๐ด๐ + 1+sin 2 ฮฉ๐ .๐ท
๐ 1โ๐ฝ โฒ 2
.๐๐2 (5.36)
๐๐ ๐ก = ๐๐๐ ๐ก + ๐๐
๐ ๐ก = ๐๐ . sin ๐๐๐ก + ๐๐ cos ๐๐๐ก + ๐๐ . cos ๐๐ก (5.37)
Position de repos ร ๐ก = 0 โ ๐๐ 0 = ๐ ๐ 0 = 0 โ ๐๐ 0 = 0 โ ๐๐ = โ๐๐
131
๐ ๐ 0 = 0 โ ๐๐ = 0 โ ๐๐ ๐ก = ๐๐ . cos ๐๐ก โ cos ๐๐๐ก
๐ฃ ๐ง, ๐ก = ๐ฃ0๐ . cos ฮฉ๐ . ๐ง . cos ๐๐ก โ cos ๐๐๐ก (5.38)
๐ฃ0๐ =
2๐0
๐ .๐.๐ท. 1โ๐ฝ โฒ 2 .๐๐
2 . 1+sin 2 ฮฉ๐ .๐ท
2ฮฉ๐ .๐ท (5.39)
๐ฝโฒ =๐
๐๐, ฮฉ๐
2 =๐๐
2
๐ถ2โ ๐2 , ๐๐
2 = ๐ถ2(ฮฉ๐2 + ๐2)
Cas dโun chargement statique : ๐ = 0, ๐๐ = 1 โ ๐๐ ๐ ๐ข๐๐๐๐๐๐ cos ๐๐๐ก
๐ฃ0 = ๐ฃ0๐ =
2๐0
๐ .๐.๐ท.
1
๐๐2 . 1+
sin 2 ฮฉ๐ .๐ท
๐
๐โฅ0๐โฅ0 (5.40)
5.6. Programmation de la solution obtenue
On a รฉtabli un programme en langage Fortran, nommรฉ PILDYN permettant de calculer la
solution obtenue par la mรฉthode de superposition modale retrouvรฉe dans la section prรฉcรฉdente.
La figure 5.3 ci-dessous reprรฉsente lโorganigramme gรฉnรฉral utilisรฉ dans la programmation.
132
Figure 5.3 : Organigramme gรฉnรฉral du programme PILDYN
Introduction des donnรฉes :
Sol : Es, ฮฑ, ฮฒ
Pieu :Ep, ฯp, D, B
Chargement : N0, ๐ , T (durรฉe de vibration)
OUI
Initialisation des variables :
t=0.01 ; V =0 ; k=1 ; ฮt=0.01
NON
OUI
๐ฃ๐ < 5% .V
t < T
NON
k=k+1
t=t+ฮt
Calcul du tassement statique:
๐ฃ0๐ =
2๐0
๐ .๐.๐ท
1
๐๐2 . 1+
sin 2 ฮฉ๐ .๐ท
๐
V = V + ๐ฃ0๐
Calcul du tassement dynamique en tรชte (z=0):
๐ฃ0๐ =
2๐0
๐ .๐.๐ท. 1โ๐ฝ โฒ2 .๐๐2 . 1+
sin (2 ฮฉ๐ .๐ท)
2ฮฉ๐ .๐ท
๐ฃ๐ 0, ๐ก = ๐ฃ0๐ . cos ๐๐ก โ cos ๐๐๐ก
V=V+๐ฃ๐
๐ฃ0๐ < 5% .V
k=k+1
OUI OUI
๐ฅ๐ . ๐ก๐๐ฅ๐ = ๐ ๐รน
๐ฅ๐ = ๐บ๐ . ๐ท
๐ = ๐ฝ. ๐ท
๐ธ๐
Rรฉsolution de lโรฉquation aux valeurs propres:
Dรฉduire les pulsations propres ๐๐ sachant que :
๐ = 4.๐ผ
๐ต.๐ธ๐ ; ๐ถ =
๐ธ
๐ ; ๐๐
2 = ๐ถ2(ฮฉ๐2 + ๐2) ; ๐ฝโฒ =
๐
๐๐
๐ =0
V =0 ; k=1
NON NON
Affichage: t(k) et V(t=k)
133
5.7. Vรฉrification du programme PILDYN
Afin de sโassurer du bon fonctionnement du programme et des rรฉsultats obtenus, on a
effectuรฉ manuellement les calculs des dix premiers termes et cela pour deux incrรฉments de
temps.
Donnรฉes :
Sol : Es = 20 MPa ; ๐=0,33 ; ฮฑ= 0,42 Es=8,4 MPa ; ฮฒ= 4,5*E/B=60 MPa/m.
Pieu :Ep= 2,1.105 MPa ; D=30 m ; B=1,5 m ; ๐p = 7850 kg/m
3 ; D/B=20 ;
Chargement dynamique : Q(t)=Q0 .cos ๐ t avec :
Q0=1000 kN ; ๐ =314 rad/s (correspondant au cas du vibrofonรงage du pieu dont la
frรฉquence est de 50 Hz)
Rรฉsultats :
Tableau 5.1 : Comparaison entre le tassement donnรฉ par le programme PILDYN et celui
calculรฉ manuellement
Temps (s) 0.1 0.2
V0 (t) calculรฉ
manuellement
3,8979.10-2
mm
2,8329.10-2
mm
V0 (t) calculรฉ par
le programme
3,8981.10-2
mm
2,8428.10-2
mm
V0 statique
calculรฉ
par le programme 0,7975 mm 0,7975 mm
Interprรฉtation :
On trouve pratiquement les mรชmes rรฉsultats donnรฉs par le programme en effectuant un
calcul manuel. On peut conclure que le programme รฉtabli fonctionne correctement.
Exemples de rรฉsultats :
Les rรฉsultats donnรฉs par le programme dans un fichier pour pouvoir les reprรฉsenter sur un
graphique. Les figures ci-dessous illustrent les graphes correspondant ร lโexemple
prรฉcรฉdent pour une durรฉe dโexcitation de 1 s.
134
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
Ta
ssem
en
t V
(t)
(m
m)
Temps
Figure 5.4 : Reprรฉsentation des rรฉsultats du programme PILDYN pour ๐ =0 rad/s
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
-0.06
-0.04
-0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
Ta
ssem
en
t V
(t)
(mm
)
Temps (s)
Figure 5.5 : Reprรฉsentation des rรฉsultats du programme PILDYN pour ๐ = 314 rad/s
5.8. Conclusion
On a traitรฉ en dรฉtail dans le prรฉsent chapitre la mรฉthode de superposition modale. Un
programme en langage Fortran a รฉtรฉ รฉtabli sur la base de cette mรฉthode. Ce programme,
nommรฉ PILDYN, permet en outre la dรฉtermination des frรฉquences propres du systรจme
sol/pieu, lโestimation rapide du tassement statique et dynamique et de dรฉduire le coefficient
dโamplification correspondant.
135
CONCLUSION
Les pieux sont soumis, en plus des sollicitations statiques permanentes, ร des
sollicitations cycliques de natures diffรฉrentes qui nรฉcessitent dโรชtre prises en compte par les
concepteurs vu les consรฉquences que peut causer ces sollicitations : dรฉgradation de la
capacitรฉ portante, arrachement du pieu, problรจme de rรฉsonance,โฆetc.
Ce travail, qui portait sur lโรฉvaluation de la rรฉponse cyclique dโun pieu isolรฉ dans
le sable, a permis dโรฉtudier le comportement des pieux soumis ร des chargements cycliques
par diffรฉrentes mรฉthodes, en particulier la mรฉthode de transfert de charge, la mรฉthode de
superposition modale ainsi que la mรฉthode des รฉlรฉments finis (logiciel PLAXIS V 8.2 avec
module dynamique). Une interprรฉtation des rรฉsultats expรฉrimentaux de quelques essais
cycliques rรฉalisรฉs en chambre dโรฉtalonnage du CERMES sur des modรจles rรฉduits de pieux
est faite.
Ci-dessous sont regroupรฉs les principaux rรฉsultats tirรฉs de cette รฉtude.
Pour lโรฉtude du pieu en chambre dโรฉtalonnage on a constatรฉ que :
Lors du fonรงage du pieu on enregistre une augmentation de la pression en pointe et
du frottement latรฉral jusquโร la stabilisation ;
Pendant la phase de chargement monotone, la rรฉsistance en pointe augmente
jusquโร la fin du fonรงage alors que la rรฉsistance par frottement latรฉrale augmente
jusquโร une valeur constante;
Pour la phase de chargement cyclique, la forte dรฉgradation au niveau du frottement
latรฉral et de la pression en pointe se dรฉveloppe dรจs le premier cycle, en plus de la
dรฉgradation enregistrรฉe dโune sรฉquence cyclique ร lโautre. Pour les facteurs de
136
dรฉgradation cyclique, on constate une diminution rapide est dรจs les premiers cycles
pour la pression en pointe tandis que pour le frottement latรฉral, la diminution est
moins accentuรฉe et avec un taux relativement constant. En plus, les deux grandeurs
se stabilisent ร la mรชme valeur.
Concernant la modรฉlisation numรฉrique par le logiciel PLAXIS, on conclut que :
Sous chargement monotone, le tassement est inversement proportionnel ร
lโรฉlancement pour la mรชme compressibilitรฉ pieu/sol ;
Sous chargement dynamique, lโamplitude en tassement ou en soulรจvement est
inversement proportionnelle ร la compressibilitรฉ K. En plus, lโamplitude en
tassement ou en soulรจvement est proportionnelle ร lโรฉlancement D/B pour
nโimporte valeur de la compressibilitรฉ K. Ces conclusions nous amรจnent ร suggรฉrer
que dans la pratique, il est recommandรฉ lors du dimensionnement des pieux
soumises ร des chargements dynamiques de choisir les pieux incompressibles de
faibles รฉlancements.
Dans la derniรจre partie de ce mรฉmoire, on a exposรฉ la mรฉthode de superposition modale oรน
on a รฉlaborรฉ un programme en langage Fortran permettant de faire un calcul rapide des
frรฉquences propres, des tassements (statiques ou dynamiques) et dโรฉvaluer le coefficient
dโamplification dynamique sans avoir recours au mรฉthodes des รฉlรฉments finis qui
nรฉcessitent un temps de calcul important surtout dans le cas dynamique.
Pour les futurs travaux de recherche on propose de :
Varier la frรฉquence de chargement dans le calcul en รฉlรฉments finis et dโรฉtudier son
influence ;
Amรฉliorer le programme PILDYN et lโutiliser pour faire une comparaison avec les
rรฉsultats donnรฉs par PLAXIS.
137
APPENDICE A
LISTE DES SYMBOLES ET DES ABREVIATIONS
a0 : frรฉquence adimensionnelle
B : diamรจtre du pieu
B0 : pente initiale de la courbe ฯ-v
Be : diamรจtre รฉquivalent dโun pieu ni rectangulaire ni circulaire
c : cohรฉsion du sol
D : fiche du pieu dans le sol
De : fiche รฉquivalente du pieu dans le sol homogรจne รฉquivalent
Em : module presiomรจtrique
Ep : module de Young du pieu
Eref : module dโYoung dans PLAXIS
Es : module de Young du sol
fn : frรฉquence propre
Fs : facteur de sรฉcuritรฉ
g : accรฉlรฉration de la gravitรฉ terrestre ;
G : module de cisaillement du sol
h : hauteur de la partie du pieu dans la couche rรฉsistante du sol
I0
v : facteur dโinfluence de lโamplitude du tassement
Iv : facteur dโinfluence du tassement
K : compressibilitรฉ relative pieu/sol (Ep/Es)
K0 : coefficient de pression des terres au repos ;
kc : facteur de portance pรฉnรฉtromรฉtrique
kp : facteur de portance pressiomรฉtrique
ks : facteur de portance ร partir du pรฉnรฉtromรจtre standard
m : masse
138
N : nombre de coups dรฉduits de lโessai de pรฉnรฉtration standard au niveau de la pointe
n : porositรฉ du sol ;
ns : facteur de frottement latรฉral ร partir du pรฉnรฉtromรจtre standard
P : pรฉrimรจtre du pieu
p(z ,t) : rรฉaction rรฉpartie
p*le (z) : pression limite รฉquivalente nette
Pa : pression de lโair ;
pl : pression pressiomรจtrique limite
Ple : pression limite รฉquivalente
pls : la pression limite de lโexpansion dโune cavitรฉ sphรฉrique
Q : charge verticale appliquรฉe en tรชte du pieu
Q0 : amplitude du chargement dynamique
Qc : charge de fluage (ou charge critique)
qc(z) : pression pรฉnรฉtromรจtrique
qce : rรฉsistance pรฉnรฉtromรฉtrique รฉquivalente.
QG : charge limite รฉlastique des matรฉriaux constitutifs du pieu
ql : pression limite en pointe du pieu
QL : charge verticale limite en tรชte du pieu
qp : contrainte normale ร la base du pieu
Qp : charge verticale limite en pointe du pieu
Qs : charge verticale limite du frottement latรฉral
qs : contrainte limite du frottement latรฉral
qsmax
: valeur maximale du frottement latรฉral
R0
: pente initiale de la courbe qp-v/B
Rinter : rugositรฉ de lโinterface
s : degrรฉ de saturation ;
S : section du pieu
st : tassement
t , t1, t2 : temps
u : dรฉplacement
U : amplitude de dรฉplacement
U0 : amplitude du tassement dans le cas dynamique
ui : composante du dรฉplacement de la phase solide ;
139
v0 : tassement en tete du pieu
Vc : vitesse de lโonde longitudinale
Vs : vitesse des ondes de cisaillement
wi : composante du dรฉplacement relative de la phase liquide par rapport ร la phase
solide
z : profondeur
z1 : tassement รฉlastique
๐๐ : รฉpaisseur infinitรฉsimale du sol
๐๐ก : incrรฉment de temps
ฮฑ : demi angle de la pointe du pieu
ฮฒ : facteur de rรฉduction du frottement latรฉral
L : raccourcissement รฉlastique du pieu.
: poids volumique du sol
๐๐ : masse volumique du pieu
ฮป et ฮผ : coefficients de Lamรฉ
ฯ p : coefficient de Poisson du pieu
ฯ s : coefficient de Poisson du sol
๐ : pulsation dโexcitation
๐๐ : pulsation propre
ฯ : angle de frottement interne du sol
๐ : angle de dilatance
1 , 2 , : termes en de lโanalyse dimensionnelle
ฯโh : contrainte effective horizontale ;
ฯโv : contrainte effective verticale ;
ฯ(z) : contrainte de frottement latรฉral
ฮ : coefficient dโamplification dynamique
140
REFERENCES
1. FRANK, R., (1999) " Calcul des Fondations Superficielles et Profondes ", Techniques de
lโIngรฉnieur et presse de lโENPC,.
2. CASSAN, M., (1978) "Les Essais in situ en Mรฉcanique des Sols, Tome II : Applications et
Mรฉthodes de Calcul", Edition Eyrolles.
3. BOUAFIA, A. (2003) " Introduction aux Calculs des fondations ", Sociรฉtรฉ Algรฉrienne
Boudaoud, Alger, 144 pages.
4. NF P94-150-1, 1999, " Essai statique de pieu isolรฉ sous un effort axial- Partie 1 : en
compression " Norme Franรงaise.
5. PHILIPPONNAT, G. et HUBERT B. (1997), " Fondations et Ouvrages en Terre ",
Edition Eyrolles, France, 548p.
6. YAรCH ACHOUR, N. (2004), " Paramรจtres de transfert de charges des fondations
profondes-analyse dโune banque de donnรฉes ", Mรฉmoire de Magistรจre ร lโUniversitรฉ Saad
Dahleb de Blida, Algรฉrie.
7. PRAKASH, " Comportement dynamique des pieux sous chargement cyclique "
8. POULOS, H.G. (1988) "Cyclic stability diagram for axially loaded piles". Journal of
Geotechnical Engineering Division, Research Report Nยฐ. R574, Vol. 114, Nยฐ 8, pp. 877-895
9. LE KOUBY, A., (2003) " Etude du comportement mรฉcanique de micropieux sous
chargements monotones et cycliques verticaux. Application aux effets de groupe ", thรจse de
Doctorat de l'Ecole Nationale des Ponts et Chaussรฉes, Spรฉcialitรฉ: Gรฉotechnique.
141
10. A. NOORZAD & H.R. MASSOUMI, " Dynamic response of a single pile embedded in
semi-infinite saturated poroelastic medium using hybrid elements "
11. Manuel PLAXIS 8.2 avec module dynamique.
12. BOUAFIA, A (2010) "Introduction ร la dynamique des sols-Tome II: Calcul dynamique
des ouvrages gรฉotechniques", Editions OPU, (sous presses de lโOPU), PP:220-224.
13. OLIVIER, P. (1998)," Modรฉlisation du comportement dynamique des ouvrages grรขce ร
des รฉlรฉments finis de haute prรฉcision", Thรจse de Doctorat de L'Universitรฉ Joseph Fourier -
Grenoble 1, France.