Memoire Magister 4

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE DE LENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

UNIVERSITE MOULOUD MAMMERI DE TIZI-OUZOU

FACULTE DE GENIE ELECTRIQUE ET DE LINFORMATIQUE DEPARTEMENT DELECTROTECHNIQUE

MEMOIRE DE MAGISTER

EN ELECTROTECHNIQUE

Option : Entrainements Electriques

Prsent par

Mr. Madjid MEZIANI Ingnieur dtat en lectrotechnique

Thme

Contribution la modlisation analytico-numrique des transformateurs

de puissance

Soutenu publiquement le 18/12/2011 devant le jury dexamen : Mr. Hassane MOHELLEBI Professeur UMMTO Prsident

Mr. Mhemed RACHEK Maitre de Confrences A UMMTO Rapporteur

Mr. Nacer Eddine BENAMROUCHE Professeur UMMTO Examinateur

Mr. Salah HADDAD Professeur UMMTO Examinateur

Mr. Tahar OTMANE CHERIF Maitre de confrences A UMMTO Examinateur

Remerciements

Jadresse des remerciements tout particuliers mon promoteur Monsieur Mhemed

RACHEK maitre de confrence A luniversit de Tizi-Ouzou, qui a rendu possible ce

travail de mmoire en me faisant profiter de ses vastes connaissances et de son exprience.

Je remercie profondment Monsieur Hassane MOHELLEBI professeur au

dpartement de llectrotechnique de lUMMTO de mavoir fait lhonneur daccepter de

prsider le jury de soutenance.

Cest pour moi un grand honneur de voire juger ce travail par monsieur Nacer

Eddine BENAMROUCHE professeur au dpartement de llectrotechnique de lUMMTO, je

voudrai lui tmoigner aussi, ma profonde gratitude et ma sincre reconnaissance.

Que Monsieur Salah HADDAD professeur au dpartement de llectrotechnique de

lUMMTO, soit vivement remerci pour lintrt quil accord au sujet et pour nous avoir

fait lhonneur daccepter lvaluation de ce travail.

Mes sincres remerciements vont galement Monsieur Tahar OTMANE CHERIF

maitre de confrences A luniversit de Tizi-Ouzou pour avoir accept de participer

dans le jury de soutenance.

Je tiens vivement remerci Monsieur Arezki DICHE enseignant lUMMTO, pour

ses conseils judicieux et sa sympathie.

Sommaire

Introduction gnrale

Chapitre I : Etat de lart sur la modlisation des transformateurs I.1 Introduction I.2 Principaux lments des transformateurs...

I.3 Principe de fonctionnement

I.4 Diffrents types de transformateurs..

I.4.1 Transformateur colonnes...

I.4.1.1 Les enroulements.....

I.4.1.2 Le circuit magntique..

I.4.1.3 Limitations des transformateurs colonnes....

I.4.2 Transformateur cuirass..............

I.4.2.1 Les enroulements

I.4.2.2 Les crans lectrostatiques.

I.4.2.3 Avantages et inconvnients du transformateur cuirass.....

I.4.3 Transformateur ordinaire de phase...

I.4.4 Transformateur immerg dans l'huile et transformateur sec...

I.4.4.1 Transformateur lhuile.....

I.4.4.2 Transformateur sec.....

I.5 Transformateurs triphass..

I.6 Groupe de couplage................ ...

I.6.1 Couplages normaliss...

I.6.1.1 Couplage toile toile..................

I.6.1.2 Couplage triangle toile

I.6.1.3 Couplage toile zigzag.

I.6-2 Choix du couplage dans les transformateurs usuels.

I.7 Contraintes subies par le transformateur

I.8 Rgimes de fonctionnement...

I.8.1 Rgime de surcharge

I.8.2 Rgime dsquilibr.....

I.8.3 Rgime transitoire

I.9 Protection des transformateurs contre les surtensions

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I.10 Diffrentes approches de modlisation des transformateurs

I.11 Schmas quivalent en tant que modle...

I.11.1 Schma classique

I.11.2 Phnomnes lectromagntiques.

I.11.2.1 Couplage parfait (transformateur idal)

I.11.2.2 Couplage imparfait.................................................

I.11.2.3 Pertes cuivre.

I.11.2.4 Calcul des rsistances ..

I.11.2.5 grandeurs magntiques.

I.11.2.6 Energie magntique emmagasine...

I.11.2.7 Pertes fer...

I.11.3 Phnomnes lectrostatiques

I.11.3.1 Pertes dilectriques...

I.11.3.2 Calcul des capacits..

I.11.3.3 Capacit entre enroulements

I.11.3.4 Capacit entre conducteurs

I.11.3.5 Capacit entre phases...

I.11.3.6 Capacit entre enroulement et cuve..

I.12 Modlisation par les mthodes semi-analytiques.

I.13 Modle dtaill (fin) bas sur le calcul des inductances et des rsistances.

I.13.1 Calcul des selfs inductances..

I.13.2 Calcul des inductances mutuelles..

I.13.3 Calcul des rsistances

I.14 Modlisation par la mthode des lments finis (MEF)

I.15 Conclusion.

Chapitre II : Modlisation lectromagntique des transformateurs II.1 Introduction...

II.2 Equations de Maxwell..

II.3 Lois de comportement des matriaux...

II.4 La loi dOhm.....

II.5 Relations de passage.....

II.6 Equations de Maxwell simplifies.

II.7 Modles lectromagntiques

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II.7.1 Modle magntostatique......

II.7.2 Modle magntodynamique

II.8 Le choix de la variable dtat...

II.9 Formulation en potentiel vecteur magntique...

II.10 Conditions de Jauge

II.11 Formulation bidimensionnelle en potentiel vecteur magntique..

II.11.1 Formulation 2D cartsien.....

II.11.2 Formulation 2D axisymtrique....

II.12 Les conditions aux limites..

II.13 Mthodes de rsolution..

II.13.1 Mthodes numriques..

II.13.1.1 Principe de la mthode des lments finis.....

II.13.2 Mthodes semi-analytiques..

II.13.2.1 Principe de la mthode des circuits coupls...

II.13.2.2 Interaction entre les lments de circuits

II.13.2.3 Alimentation sinusodale.

II.14 Conclusion

Chapitre III : Modlisation des transformateurs par une mthodologie mixte Circuits Electriques Magntiquement Coupls (CEMC) et Elments Finis(EF)

III.1 Introduction. III.2 Modle gomtrique

III.3 Discrtisation des enroulements..

III.4 Formulation en potentiel vecteur.

III.4.1 Equations caractristiques en axisymtrique

III.5 Expression de potentiel vecteur magntique

III.6 Prise en compte du circuit magntique.........................

III.6.1 Modlisation du noyau par des densits superficielles de courant

III.6.2 Expression intgrale caractristique du noyau.

III.7 Calcul analytique des paramtres inductifs du modle...

III.7.1 Inductance mutuelle..

III.7.2 Inductance propre...

III.8 Ncessit du couplage avec la mthode des lments finis..

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III.8.1 Technique mixte circuits coupls-lments finis....

III.8.2 Formulation lments finis des quations lectromagntiques du noyau...

III.8.3 Mthodes de rsolution des systmes algbriques

III.9 Conclusion...

Chapitre IV: Applications est validations IV.1 Introduction...

IV.2 Description du transformateur..

IV.3 Caractristiques du dispositif

IV.4 Dimensions gomtriques du transformateur...

IV.5 Caractristiques physiques

IV.6 Discrtisation de la structure.

IV.7 Calcul des pertes....

IV.7.1 Le processus de calcul des pertes dans les enroulements..

IV.7.2 Pertes en court-circuit..........................................

IV.7.2.1 Calcul des rsistances et selfs....

IV.7.2.2 Calcul des mutuelles et selfs de chaque conducteur

IV.7.2.3 Calcul des inductions et IV.7.3 Calcul des pertes vide...

IV.8 Interprtation des rsultats..

IV.9 Description du second transformateur

IV.10 Caractristiques du dispositif.

IV.11 Dimensions gomtriques du second transformateur.

IV.12 Essai en court-circuit.

IV.13 Essai vide...

IV.14 Conclusion

Conclusion gnrale....

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Introduction Gnrale

La modlisation des transformateurs de puissance traditionnellement occup

beaucoup dattention durant des annes, pour leur importances dans les systmes de

puissance, le grand intrt port ltude de ces dernier on permit de raliser un

dveloppement remarquable dans le domaine de la conversion, du transport et de la

distribution de lnergie lectrique. La comprhension des phnomnes lectromagntiques

qui rgissent leur fonctionnement et la dtermination des diffrentes pertes et les paramtres

lectriques constitue une tape dterminante pour une meilleure exploitation de ces

dispositifs. Ce qui permet galement de prdire sont comportement aux diffrentes contraintes

pour viter sa dtrioration, et largir sa dure de vie en vue de minimiser son cot

dexploitation. Il existe deux types de modlisations : la modlisation par calcul de champs

dite numrique ou semi-analytique et la modlisation par circuit lectrique quivalent dite

analytique.

Vu la complexit des caractristiques gomtriques et physiques des systmes

lectromagntiques rels, les mthodes disponibles sont alors des mthodes numriques ou

semi-analytiques qui font appel des techniques de discrtisations. Les outils numriques de

modlisation sont ncessaires pour traiter des problmes lis au fonctionnement du

transformateur en exploitation et aussi leur conception, cela offre une modlisation fine des

phnomnes physiques en permettant daccder aux variables locales et aux variations spatio-

temporelles des diffrentes grandeurs. Plusieurs mthodes ont ts dveloppes, chaque

mthode ses avantages et ses inconvnients, ses applications et ses limites. On peut citer la

mthode des volumes finis, mthode des diffrences finis et mthode des lments finis. Le

choix se fait selon plusieurs contraintes physiques et selon la complexit des gomtries des

dispositifs lectrotechniques, les proprits physiques des matriaux, et le cout en capacit

mmoire et en temps de rsolution.

Le but de notre travail est de mettre en uvre une mthode de modlisation, pour

retranscrire le comportement lectromagntique du transformateur de puissance dans les

diffrents tats oprationnels aussi bien en rgime permanent quen rgime transitoire.

On a opt pour la mthode des Circuits Electriques Magntiquement Coupls (CEMC)

qui se base sur des techniques de discrtisations. Une mthode qui offre beaucoup de

possibilits de modlisations locale des transformateurs et permet aussi lvaluation des

paramtres lectriques dans une large gamme de frquences. Cette dernire trouve ces limites

en regardant la gomtrie rel du transformateur et aux dtails (non linarit, hystrsis,

anisotropie de la permabilit magntique et conductivit lectrique du circuit magntique).

La prsence de circuit magntique complique lapproche semi-analytique, la mthode des

lments finis est une excellente alternative pour des gomtries complexes et caractres

physiques non linaires. Mais elle peut conduire des difficults pour la prise en compte de

grand nombre de conducteurs, et plus particulirement en prsence de conducteurs filaires.

Pour cette raison on adopt pour une mthodologie hybride pour la modlisation

lectromagntique qui sappuie sur des formulations analytiques et numriques bases

respectivement sur la thorie des circuits coupls et la mthode des lments finis.

Ce travail ce dcompose en quatre chapitres :

Le premier chapitre expose les diffrents types de transformateurs de puissances, leur

description et constitution ainsi que les mthodes de modlisation. Nous aborderons le

problme de modlisation en utilisant deux mthodes : la premire est base sur le schma

lectrique quivalent global et la deuxime mthode est une approche locale base sur un

calcul numrique ou bien semi-analytique effectu respectivement par la mthode des

lments finis (EF) et la mthode des circuits lectriques magntiquement coupls (CEMC).

Le deuxime chapitre a pour objet la description des phnomnes lectromagntiques

dans le cadre des hypothses de l'lectrotechnique. Le modle mathmatique, que nous allons

laborer comprendra les quations de Maxwell, les lois de comportement des matriaux et les

conditions aux limites. Puis, nous donnons les formulations, magntostatique et

magntodynamique en introduisant le potentiel vecteur magntique.

Le troisime chapitre est consacr lapplication de la mthode des circuits lectriques

magntiquement coupls sur un transformateur de puissance. La considration de contraintes

de conservation en courant et tension permet l'assemblage du systme matriciel

lectromagntique complet ncessaire au calcul de la distribution de densits de courant et

donc des pertes Joule dans les conducteurs.

La problmatique dtude ncessite une mthode mixte ou bien un couplage

analytico-numrique, cela nous permettra de tirer profit de deux mthodes, afin de pouvoir

retranscrire efficacement le comportement de cet quipement. Le circuit magntique rel sera

pris en charge travers le modle magntique formul numriquement par la mthode des

lments finis.

Le quatrime chapitre est consacr la validation ainsi que lexploitation des rsultats

obtenus avec le modle dvelopp. Ces derniers seront confronts aux mesures

exprimentales donnes par lentreprise Electro-Industries dAzzazga.

Chapitre I

tat de lart sur la modlisation des transformateurs

Chapitre I tat de lart sur la modlisation des transformateurs

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I.1 Introduction Les transformateurs sont des machines statiques induction lectromagntique

gnralement utiliss pour modifier les caractristiques de lnergie lectrique alternative afin

de la rendre aussi commodes que possible tous les stades, de la production, du transport

de la distribution et de lutilisation. Cet appareil est dun emploi absolument universel, en

effet il transforme les signaux des sources de tensions et de courants sinusodaux en signaux

de mme frquence mais de valeurs efficaces gnralement diffrentes.

La comprhension des phnomnes lectromagntiques qui rgissent le fonctionnement

des transformateurs et la dtermination de ses pertes, constitue une tape dterminante pour

lexploitation optimale de ces appareils et galement pour leur conception. La modlisation

des transformateurs est une tche trs difficile due l'introduction des caractristiques du

noyau magntique tel que la saturation, lhystrsis et les pertes par courants de Foucault,

aussi bien que de sa topologie et la configuration de ses enroulements. Ainsi, une varit de

mthodes pour sa modlisation et analyse de sont comportement pour diffrents tats

oprationnels ont t dveloppes. On peut distinguer deux approches de modlisation :

Approche locale oriente vers le calcul numrique ou bien semi-analytique. Approche globale oriente vers le calcul analytique bas sur un schma quivalent

lectrique ou magntique (rseau de rluctances).

I.2 Principaux lments des transformateurs D'une manire gnrale, un transformateur est constitu d'un circuit magntique feuillet

et d'un ensemble de bobines spares par des crans lectrostatiques qui entourent des noyaux

magntiques. Chaque bobine formant le milieu conducteur est organise en paquets de spires

et chaque spire tant constitue de brins lmentaires. Les diffrents types

de transformateurs se distinguent suivant la disposition gomtrique de leurs constituants,

de la forme de leur circuit magntique et du type de refroidissement.

I.3 Principe de fonctionnement

En vertu de la loi de Faraday, lorsquun flux dinduction magntique variable circule dans le circuit magntique, il induit dans chacun des enroulements une force lectromotrice

proportionnelle dans le temps aux taux de changement (/) et au nombre de spire que comporte cet enroulement.


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Lorsque le primaire est aliment par une source alternative, il circule dans le circuit

magntique un flux galement alternatif dont lamplitude dpend du nombre de spires du

primaire et de la tension applique. Ce flux induit dans lenroulement secondaire une tension

proportionnelle au nombre de spires du secondaire. La fermeture du secondaire sur une charge

provoque la circulation du courant secondaire.

Le noyau magntique fournit un chemin de canalisation de flux magntique tel que montr

par la figure (I-1)

I.4 Diffrents types de transformateurs

Il existe diffrents types de transformateurs, mais nous nous intresserons ltude

des transformateurs de puissances de rseaux lectriques car ils prsentent le plus grand

intrt dans le dveloppement de linterconnexion des rseaux.

du point de vue construction, deux principales technologies sont distingues, savoir les

transformateurs colonnes et les transformateurs cuirasss.

I.4.1 Transformateur colonnes

Le transformateur colonnes est constitu de deux enroulements concentriques par phase.

Ces enroulements sont monts sur un noyau ferromagntique qui se referme ses extrmits

via des culasses gnralement de sections circulaires afin d'assurer une bonne canalisation du

flux magntique. Dans cette technologie, ce sont les enroulements qui entourent le circuit

magntique (figure. I.2).


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Les enroulements sont constitus de spires dont le nombre est diffrent pour les enroulements

de haute et de basse tension respectivement primaire/secondaire. Les spires sont elles mmes

subdivises en plusieurs brins mis en parallle. Les conducteurs formant les enroulements

sont en cuivre ou en aluminium pour les puissances plus importantes. Ces matriaux sont ainsi

prfrs d'autres pour leurs bonnes conductivits thermiques. Selon la gamme de puissance

des transformateurs, les conducteurs peuvent tres sous forme de fils massifs, de section

circulaire ou carre, de type mplat, ou encore lamins en fines feuilles [Lef-2006].

I.4.1.2 Le Circuit magntique

Le noyau est compos dun empilage de tles ferromagntiques cristaux orients, isoles

lectriquement entres elles afin de rduire les pertes par courants de Foucault. Les tles de

circuit magntique de type (Fe-Si), grain orient lamin froid, ont une paisseur qui varie

de 0.15mm 0.3mm [Gue-1994]. Des joints enchevtrs et orthogonaux effectuent la liaison

entre les colonnes et les culasses sur les transformateurs de petite puissance. Ces joints qui

constituent une succession de stratifications jouent un rle important dans la performance du

noyau afin d'obtenir une stabilit mcanique plus leve, et diminuent galement le bruit des

vibrations pendant le fonctionnement du transformateur. [Nak-1982] [Oli-2003]. L'espace

dlimit par deux colonnes successives et les culasses est dnomm "fentre magntique" et

accueille donc les bobinages [Lef-2006].


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I.4.1.3 Limitations des transformateurs colonnes

Le circuit magntique des transformateurs colonnes est plus grand en volume que celui d'un

type cuirass. Par consquence, le nombre de spires et le rapport volumique entre les

matriaux conducteurs et ferromagntiques sont plus importants. Par ailleurs ce type de

construction qui fait ses preuves pour des puissances relativement faibles (environ jusqu

30 KVA), prsente quelque difficults pour des fortes puissances (plus de 100 KVA) et des

tensions plus leves. Pour des tensions suprieures 220 KV, certains constructeurs ont

abandonn la construction du transformateur colonne au profit de la structure cuirasse.

I.4.2 Transformateur cuirass

Dans cette technologie, le circuit magntique entoure les enroulements forms de bobines

rectangulaires axe horizontal. Le circuit magntique, de section rectangulaire est constitu

de tles poses plat. La cuve assure le calage du circuit magntique et des enroulements.

Ces transformateurs sont utiliss au sein des rseaux de transport et de rpartitions ou les

surtensions transitoires sont frquentes. Dans cet environnement, ils doivent se prmunir des

effets nfastes de ces surtension sur les enroulements. Pour cela des crans sont utiliss afin

de rduire les contraintes lies aux champs lectriques dans les bobinages.


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Dans ce type de construction la bobine qui est en fait une grande spirale rectangulaire

trs plate (galette), contient un certain nombre de spires, chaque spire tant elle mme

constitue dune ou de plusieurs couches de conducteurs. Les galettes sont alternes entre

la haute et la basse tension afin de diminuer les fuites magntiques et le gradient de tension.

En outre, cette topologie offre l'avantage d'engendrer des forces en opposition entre chaque

galette lors de court-circuit.

I.4.2.2 Les crans lectrostatiques

Des feuilles mtalliques haute rsistivit et de faible paisseur sont employes pour rduire

les contraintes entre les spires. Celles-ci sont insres entre les feuilles isolantes des bobines

haute tension. L'effet capacitif, uniformment distribu de cette manire permet alors de

mieux rpartir la tension sur toute la longueur de la bobine lors d'une onde de choc.

I.4.2.3 Avantages et inconvnients du transformateur cuirass

Le transformateur cuirass possde un circuit magntique plus court, ce qui permet davoir un

courant vide relatif plus faible et ses enroulements sont plus simples car le nombre de spires

est moins grand vu que la section du noyau dans un transformateur cuirass peut tre plus

grande que dans le transformateur colonnes. Mais il prsente aussi certains inconvnients :

ses enroulements sont moins accessibles lagent refroidissant, lexamen et la rparation sont

plus difficiles et demande davantage de matriaux isolants pour la haute tension.

Fig. I.4 : Transformateur triphas type cuirass [Kos-1979] [Lef-2006].

Conducteurs

Galette BT

Galette HT


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I.4.3 Transformateur ordinaire de phase

Du point de vue de leurs applications, les transformateurs ordinaires de phase (monophas,

biphas, et triphas), groups dans trois ou cinq colonnes se classent en trois catgories :

Les transformateurs pour les grands rseaux et les grandes centrales, leur puissance varie de 100 400 MVA.

Les transformateurs pour rseaux de rpartition qui alimentent les lignes moyenne tension, leur puissance varie de 5 30 MVA.

Les transformateurs de distribution destins lalimentation des utilisateurs de lnergie clectique en basse tension (380 ou 220V), leur puissance varie de 5 1000 KVA.

I.4.4 Transformateur immerg dans l'huile et transformateur sec

Selon le type de refroidissement on distingue : les transformateurs lhuile et les

transformateurs secs.

I.4.4.1 Transformateur lhuile

Pour prvenir laction nfaste de lair sur lisolation des bobines et amliorer

le refroidissement du transformateur, on place le noyau magntique avec les enroulements

dans une cuve remplie dhuile minrale. Malgr ces proprits avantageuses, lhuile de

transformateurs a deux dfauts principaux : elle est inflammable et sa vapeur forme avec lair

dans certaines conditions un mlange explosif.

En plus de son rle de rservoir au liquide dilectrique, la cuve assure le maintien mcanique

du circuit magntique et des enroulements. La construction de la cuve gnralement de forme

ovale est lie au calcul thermique du transformateur. Le refroidissement du transformateur est

dautant plus difficile raliser que la puissance du transformateur est grande. La cuve est

tapisse de shunts magntiques, dont on distingue deux types :

Les shunts magntiques forms dun empilement de tles magntiques semblable au noyau et qui canalise le flux de fuite.

les shunts amagntiques plus conomiques, constitus de plaque de cuivre ou aluminium ayant pour rle de repousser le flux de fuite.


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I.4.4.2 Transformateur sec

Les transformateurs immergs dans lhuile liquide base minrale ou de silicone sont plus

rpondus pour les plus fortes puissances et les niveaux de tension levs, mais prsentent

des risques de fuite, dincendie et la pollution de lenvironnement. Cela permis de laisser

la place aux transformateurs avec technologie sche, avec des enroulements enrobs

(imprgns). Le systme disolation lectrique est remplac par une rsine (poxyde) et lair.

Des rsines ont t dveloppes pour rsister aux tensions lectriques et aux contraintes

mcaniques, thermiques qui apparaissent dans un transformateur en service. Laspect

favorable est son comportement non inflammable et lger. Ce genre de transformateur

est le plus appropris pour la distribution de l'lectricit en degr lev de sret [Esl-2010].

I.5 Transformateurs triphass

Les transformateurs triphass sont prsents diffrents endroits dans les rseaux lectriques

pour adapter les valeurs efficaces des tensions aux niveaux souhaitables. De faon simplifie,

lnergie lectrique est produite dans les centrales sous des tensions moyennes. Le transport

longue distance exige des hautes tensions afin de limiter les pertes par effet Joule et rduire le

dimensionnement des conducteurs, et lutilisation demande des tensions basses ou moyennes.

Des transformateurs lvateurs sont ncessaires au dpart, et des transformateurs abaisseurs

sont indispensables larrive cot consommateurs.

I.6 Groupe de couplage

Le groupe de couplage dsigne lassociation des couplages des enroulements choisis pour la

haute tension et pour la basse tension. Lenroulement haute tension dun transformateur

triphas de nombre de spires peut tre connect en toile (symbole Y) ou en triangle (symbole D). Lenroulement basse tension avec un nombre de spires peut tre connect en toile (symbole y), en triangle (symbole d) ou en zigzag (symbole z). Les systmes des

tensions du primaire et du secondaire dun transformateur triphas sont en gnral dphass

avec un angle . Comme cette angle est multiple de 6 , on dfinit lindice horaire par : 6


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I.6.1 Couplages normaliss

Trois couplages sont particulirement utiliss en pratique : ce sont les couplages

normalissYy0,Dy11,Yz11.

I.6.1.1 Couplage toile toile

Pour le couplage toile toile, les tensions aux bornes des bobines du primaire est du

secondaire de la mme colonne sont des tensions simples (Fig. I.5-a). Ce qui permet de

construire le diagramme vectoriel (Fig. I.5-b). le rapport de transformation est / . Le dphasage de basse tension par rapport la haute tension est nul, ce qui donne un indice horaire I=0.

I.6.1.2 Couplage triangle-toile

Pour le couplage triangle-toile la tension aux bornes dune phase du primaire

est une tension compose, alors que la tension aux bornes de la phase correspondante

du secondaire est une tension simple (Fig. I.6-a). Le rapport de transformation

est 3. / . Le dphasage entre les tensions du primaire et le secondaire est de /6, ce qui veut dire lindice horaire est I=11. (Fig. I.6 -b)

Fig. I.5-a: Couplage Yy 0

Fig. I.5-b : Diagramme vectoriel


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I.6.1.3 Couplage toile zigzag

Pour le couplage toile zigzag (Fig. I.7-a), la tension aux borne dune phase du primaire est

une tension simple alors quune tension aux bornes dune phase du secondaire est la somme

des deux tensions aux bornes de demi bobines ce qui permet de construire le diagramme

vectoriel (Fig. I.7-b). Le rapport de transformation est 3. / . Le dphasage entre les tension est de /6, en choisissant la premire dtermination position positif de langle, ce qui veut dire lindice horaire est I=11.

I.6-2 Choix du couplage dans les transformateurs usuels.

La prsence du conducteur neutre dans une distribution basse tension permet de disposer

des deux types de tension ; la tension simple pour lusage domestique usuel, et le systme

triphas de tensions composes pour lusage artisanal ou industriel. De plus il est intressant,

cot haute tension de disposer dun couplage ayant un neutre et de mettre ce neutre, ainsi que

le circuit magntique et les parties mtalliques (cuve) du transformateur au potentiel de la

terre. Ceci permet de rduire les distances disolement des bobines hautes tensions[May2006].

Fig. I.6-a : Couplage Dy 11

/6



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Fig. I.7-a : Couplage Yz 11

/2/2


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Ce quil faut viter cest davoir le mme couplage au primaire et au secondaire dun

transformateur, ceci vite de transmettre intgralement le dsquilibre ventuel des grandeurs

(courants, tensions) dun cot du transformateur lautre. On voit donc apparatre lintrt

dun couplage Yz offrant un neutre des deux cots et des couplages diffrents.

I.7 Contraintes subies par le transformateur

Les transformateurs de puissance sont soumis plusieurs contraintes qui sont les effets

dactions physiques ou chimiques. Les contraintes normales sont celles qui entrainent une

usure et un vieillissement lent du matriel. Les contraintes anormales tant celles qui

provoquent un vieillissement prmatur ou destruction immdiate du matriel.

Les surtensions de foudre, de manuvre ou de court-circuit peuvent provoquer des dfauts

mcaniques comme les vibrations en rgime permanent ou les efforts lectrodynamiques

sur les bobinages.

Les pertes qui se dgagent dans le noyau et les enroulements du transformateur lors de son

fonctionnement se manifestent par de la chaleur qui induit lchauffement des parties

constitutives de lappareil. Son action se traduit par une destruction lente des isolants

ou la diminution de leur rigidit dilectrique pouvant par consquent amplifier le risque

davarie du matriel.

I.8 Rgimes de fonctionnement

Les rgimes de fonctionnement des transformateurs sont les rgimes de surcharge,

les rgimes dsquilibrs et les rgimes transitoires. [Gue-1994]

I.8.1 Rgime de surcharge Les transformateurs dinterconnexion de grandes puissances de rseau lectrique doivent

supporter les variations de la charge du rseau lectrique. Ils sont soumis des surcharges

plus ou moins fortes et sur des dures plus ou moins longues.

Llvation des courants de lignes lors des rgimes de surcharge induisent un accroissement

du flux de fuite, encore amplifi par la saturation du circuit magntique. Les pertes dans les

lments principaux : les bobinages, la cuve et les shunts sont accrues. Ces pertes contribuent

un accroissement de la temprature globale ou locale (points chauds) des lments

constitutifs et de lhuile de refroidissement de lisolation. Ainsi, la raction de dcomposition

des isolants cartonns baigns par lhuile se trouve acclre. ce qui peut diminuer sa dure de

vie et provoquer sa destruction terme.


14

I.8.2 Rgime dsquilibr

Le rgime dsquilibr correspond un incident sur lune des trois phases du rseau.

La composante homopolaire du courant dans les bobines devient importante, entrainant

un dsquilibre des ampres-tours du circuit magntique et par consquent une augmentation

des pertes supplmentaires dans le fer et le cuivre provoquant des surchauffes locales

considrables.

I.8.3 Rgime transitoire

Les phnomnes transitoires dans le transformateur sont causs dune part par

les enclenchements dautre part par les courts-circuits. Les enclenchements engendrent

des surtensions, qui peuvent dtriorer lisolation. Les courts- circuits crent des surintensits

qui engendrent des chauffements et des efforts lectrodynamiques importants au niveau des

enroulements.

I.9 Protection des transformateurs contre les surtensions

Depuis la construction des premires lignes haute tension le problme de protection

des transformateurs contre les surtensions prsentaient un intrt exceptionnel.

Ces protections peuvent tres intrieures ou extrieures. Les mesures de protections internes

sont le renfoncement adquat de lisolation des bobines dentre et dextrmit, o peuvent

apparaitre les plus grands gradients de tension. [Kos-1979]

Les mesures de protections extrieures ont pour but dattnuer londe qui arrive dans le

transformateur en diminuant son amplitude et en la rendant moins raide, au moyen dlments

capables dabsorber une grande partie de lnergie transporte par la surtension en lcoulant

vers la terre. On distingue les deux types rpondus : les parafoudres et les clateurs.

I.10 Diffrentes approches de modlisation des transformateurs

La modlisation des transformateurs consiste tablir une structure mathmatique qui dcrit

lensemble des phnomnes lectromagntiques qui sont rgis par les quations de Maxwell.

Celles-ci constituent un systme dquations aux drives partielles qui lient les phnomnes

magntiques aux phnomnes lectriques, la rsolution de ces quations est intimement lie

la gomtrie et aux caractristiques de la structure tudie.


15

Selon quon sintresse aux grandeurs locales ou globales diffrentes types de mthodes

peuvent se prsenter :

Mthodes bases sur le calcul numrique (mthode des Elments Finis) qui fait intervenir des grandeurs locales lectromagntiques.

Mthodes dites analytiques bases sur un schma quivalent lectrique ou magntique qui font intervenir des grandeurs globales.

Mthodes dites semi-analytiques bases sur un schma quivalent lectrique fin qui fait intervenir des grandeurs locales. La mthode la plus approprie est

la mthode des Circuits Electriques Magntiquement Coupls.

I.11 Schma lectrique quivalent en tant que modle

Un schma quivalent de transformateur s'articule autour d'lments modlisant les

phnomnes magntiques pour le circuit magntique, et les phnomnes lectromagntique

et lectrostatique pour les bobinages, en intgrant le couplage, les inductances, les rsistances

et les capacits. L'laboration d'un schma quivalent suppose de passer d'un problme

gomtrique dcrit dans un espace deux ou trois dimensions (ce que nous appelons un

modle spatial) seulement quelques paramtres caractristiques: les lments localiss d'un

schma lectrique [Rob-1999].

I.11.1 Schma classique

Un schma quivalent complet dcrit bien le fonctionnement du transformateur quon peut

prsenter comme suit :

Fig. I.8 : Schma quivalent dun transformateur rel [Lef-2006]


16

En dsignant par , , , les rsistances et inductances de fuites des enroulements primaire de spires et du secondaire de spires ; rsistance du circuit magntique et est la ractance de magntisation du circuit magntique correspondant ce flux., et sont des capacits parasites qui apparaissent en hautes frquences. Le transformateur est aliment sous une tensionvariable, dlivrant une tension et travers par les courants au primaire et au secondaire.

I.11.2 Phnomnes lectromagntiques

Il existe un champ magntique dans le bobinage d aux fuites de champ magntique.

Ces lments se traduisent, en plus des rsistances, par deux circuits prenant en compte ces

fuites inductances et .

Dans les enroulements, les phnomnes magntiques peuvent tre rsums par un coefficient

d'inductance liant le flux au courant qui lui donne naissance.

I. 1 I. 2

est le flux commun toutes les spires. Lorsque les frquences des courants lis la charge augmentent, le trajet des lignes de fuite

est modifi et diminue par la mme occasion les valeurs de inductances

Sachant quune tension variable, par l'intermdiaire du flux, induit une force lectromotrice

non seulement dans le conducteur qui porte ce courant mais galement dans tout conducteur

plac proximit. Ces forces sont donnes comme suit:

I. 3 I. 4

Un transformateur rel est fondamentalement caractris par le systme dquations

ci-dessous:

I. 5

I. 6

I. 7


17

La rluctance est l'analogue magntique de la notion de rsistance. Elle vaut classiquement

pour un tube de flux de longueur et de section constante:

I. 8

I.11.2.1 Couplage parfait (transformateur idal)

La fonction premire du transformateur est d'assurer un couplage entre ses deux

enroulements, couplage qui trouve son origine dans l'existence d'un flux commun ceux-ci.

Le couplage est parfait lorsque la totalit du flux est commun aux deux enroulements. Le

transformateur idal nglige les pertes cuivre, aucune hystrsis et les pertes de courant de

Foucault dans les enroulements, et assume le couplage idal [Dix-2004].

Les courants et tensions sont alors lis par le rapport de transformation, not et dfini par:

I. 9

I.11.2.2 Couplage imparfait

En pratique, il est impossible de coupler parfaitement deux enroulements: du fait que dans les

dispositifs rels il existe toujours un flux de fuite qui rduit le flux commun. L'importance

de cette rduction est caractrise par le coefficient de couplage dont la valeur dans ce cas est

infrieure l'unit.

I. 10

I.11.2.3 Pertes cuivre

Un schma quivalent doit galement modliser les effets dissipatifs dans les enroulements,

savoir les pertes cuivre, qui sont les pertes par effet Joule dans les enroulements,

elles sexpriment par la formule suivante :

, I. 11


18

I.11.2.4 Calcul des rsistances (grandeurs lectriques)

La rsistance de chaque enroulement est en fonction de la longueur de fil , de sa surface et de sa rsistivit. Sa relation gnrale est donne par :

. I. 12

Pour obtenir la rsistivit lectrique du matriau, comme on ne connat pas la temprature du cuivre ou laluminium a priori, lutilisateur doit lestimer en fonction

de la norme de lenroulement.

1 1 I. 13 : Conductivit lectrique du milieu .

: est la rsistivit lectrique du matriau 0C 1.72 10pourlecuivre

2.69 10pourlaluminium .

: est le coefficient de temprature du matriau soit 3.93 10pourlecuivre

4.03 10pourlaluminium

La dpendance frquentielle des pertes dans le conducteur de lenroulement est lie

aux courants de Foucault. Ces derniers sont dus la variation dans le temps du champ

magntique. En effet les courants de Foucault engendrent une augmentation des pertes

et une rduction du flux magntique total. Ces pertes peuvent se dcomposer suivant deux

origines : les pertes propres dues leffet de peau par le biais du champ magntique cr par

le conducteur sur lui-mme et celles dues aux effets de proximit par le biais dun champ cre

par les autres conducteurs. Leffet de peau et de proximit sont la source de pertes Joule

additionnelles. Les pertes augmentent alors la temprature des enroulements et par consquent

leurs rsistances.

I.11.2.5 grandeurs magntiques

Ceci est schmatis par une ractance en parallle aux bornes du primaire du transformateur. La ractance est lie la rluctance quivalente de circuit magntique par la

relation suivante :

. . 1I. 14

2I. 15


19

I.11.2.6 Energie magntique emmagasine

Lnergie stocke dans linductance magntisante a pour expression :

12 12 .

.

I. 16

Le thorme dampre appliqu au circuit magntique permet dcrire :

I. 17

Ce qui nous conduit lexpression :

2I. 18

est la longueur du circuit magntique, sa section et la permabilit magntique absolue du matriau le constituant, est linduction magntique. Lnergie stocke dans le circuit magntique est inversement proportionnelle la permabilit

magntique du matriau constituant le circuit magntique. Si on veut limiter cette nergie

on a intrt choisir un matriau de permabilit magntique leve.

I.11.2.7 Pertes fer

Les pertes fer sont souvent modlises par une simple rsistance en parallle sur

l'inductance de magntisation. Elles rsultent de la variation du flux dans le circuit

magntique et se composent des pertes par courant de Foucault ( et les pertes par hystrsis ( . Pour des faibles frquences les pertes fer sont dfinies par la formule semi-empirique

suivante : [Sho-2004]

I. 19 Dans celle-ci, les coefficients dpendent des particularits de fabrication de la tle mais galement de la frquence et de la valeur de l'induction. Les coefficients reprsentent respectivement le volume du noyau et l'paisseur des tles ferromagntiques,

tandis que est coefficient de Steinmetz (1.7 2). A hautes frquences, quand l'paisseur de peau devient trs infrieure l'paisseur des tles, les pertes par courant de Foucault sont alors proportionnelles la frquence [Lef-2006].


20

Dans les matriaux ferromagntiques feuillets les pertes fer sont donnes par la formule :

2

.

I. 20

la rsistivit du matriau, permabilit relative et permabilit du vide ( 4. 10 ).

Pourleshautesfrquences 1.4; Pourlesbassesfrquences 1.4[Fre-2009].

I.11.3 Phnomnes lectrostatiques

Dans le transformateur il ya diffrentes capacits distribues le long des enroulements ; entre

conducteurs ; entre enroulement haute et basse tension ; entre bobinages et cran ou masse

mcanique. Ces lments sont la consquence du champ lectrostatique dont leffet est

beaucoup accentu en haute frquence.

I.11.3.1 Pertes dilectriques

Les pertes dilectriques dues des courants de dplacement dans les isolants sont pour

la plupart du temps ngligeables par rapport aux autres pertes. Le facteur

de dissipationestdelordre1010. Ces pertes sont importantes lorsque les lments actifs interviennent, car leur isolation contient une teneur dhumidit leve

[Oli-2003], et peuvent tres modlises par un rseau de rsistances et de condensateurs en

cascade et en parallle [Ahm-92], leur expression est de la forme suivante :

. . . I. 21

: est la tension en volt. C : est la capacit (F). : est la pulsation (rad/s).

I.11.3.2 Calcul des capacits (grandeurs lectrostatiques)

Le calcul des ces capacits dpend de la gomtrie et des caractristiques lectriques des

spires des enroulements (Fig. I.12). [Ven-2009].

Certaines de ces capacits sont calcules avec des formules gomtriques simplifies et

dautres sont calcules avec des formulations semi-empiriques.


21

I.11.3.3 Capacit entre enroulements

Les enroulements n'tant rien d'autre que des conducteurs proches ports des potentiels

diffrents, ils introduisent des effets capacitifs dont les principales manifestations sont

des rsonances avec les inductances du transformateur.

En considrant une configuration cylindrique la capacit entre une spire de lenroulement

haute tension et lenroulement basse tension est calcule au moyen : [Ven-2009]

2 I. 22

: Capacit entre enroulement de BT et HT : Rayon de lenroulement BT : Rayon de lenroulement HT : Permittivit relative du milieu considr : Permittivit du vide ( 10 36 )

I.11.3.4 Capacit entre conducteur

La capacit entre conducteurs dune mme spire ou bien entre conducteurs de spires

diffrentes est approche par lquation suivante :[Ven-2009]

I. 23

Enroulement HT

Enroulement BT

Noyau

Fig. I 8 : Reprsentation de leffet lectrostatique par diffrentes capacits [Ven-2009]


22

I.11.3.5 Capacit entre phases

La formule suivante est applique pour capacits entre de jambes adjacentes.

1

I. 24

Avec

b : la distance entre deux enroulements adjacent (centre-centre), est le diamtre de lenroulement.

I.11.3.6 Capacit entre enroulement et cuve

La capacit entre lenroulement et la cuve peut tre calcul partir de lquationI. 24, avec un facteur rduit de 0.25 pour une configuration cylindrique [Bje-2005] :

0.25.

1

I. 25

D est la largeur interne de la cuve. . La capacit entre lextrmit de la phase et la cuve peut tre approche par [Bje-2005] :

Cela pour un facteur rduit de 0.75 (si la cuve nest pas compltement circulaire).

0.75.

I. 26

Fig. I 10 : Dimension entre deux enroulements adjacents et entre lenroulement

et la cuve [Bje-2005]


23

I.12 Modlisation par la mthode semi-analytique

La mthode semi-analytique est base sur des techniques de discrtisation numriques en

petits lments, sur lesquelles on applique des formules analytiques. Cette mthode nous

permet davoir un modle de schma lectrique fin et dtaill et le calcul des ces paramtres

est plus prcis. Parmi ces mthodes on peut citer la mthode des circuits lectriques

magntiquement coupls. Elle est dun emploi restreint aux milieux linaires, et dispositif

avec gomtrie simple et homogne [Bje-2005].

I.13 Modle dtaill (fin) bas sur le calcul des inductances et les rsistances

La mthode est base sur un rseau dlments compos des selfs et des inductances

mutuelles. Quel que soit le type de reprsentation, les lments sont calculs en fonction des

caractristiques gomtriques du bobinage ainsi que des caractristiques gomtriques du

noyau magntique. Lobjectif de cette mthode cest dtablir un modle dun circuit

lectrique quivalent dtaill et fin des enroulements illustr sur (Fig. I.11). [Ahm-1992]

[Bje-2005] [Ras-2008]

Fig. I.11 : Modle dun circuit lectrique quivalent

de lenroulement primaire [Bje-2005]

,


24

I.13.1 Calcul des selfs inductances

Pour le calcul de la self-inductance d'une spire de section rectangulaire on peut utiliser

une formule approximative base sur la gomtrie des enroulements donne comme suit:

ln 8 2 I. 27 : rayon moyen de la spire : rayon gomtrique moyen de la spire donn par Grover : [Rah-2003] [Bje-2005] :

ln 23

23

12 1

12 1

2512I. 28

Les paramtres , et sont respectivement le rayon moyen, la hauteur et la largeur de la spire.

I.13.2 Calcul des inductances mutuelles

Une formule exacte pour la mutuelle inductance entre llment et dsign par est donne par Maxwell en utilisant les intgrales elliptiques: [Shi-2004] [Bje-2005]

. 2 2

I. 29

4 I. 30 et rayons de llment et ; integrales lyptiques de 1er et 2eme ordre.

Fig. I.13 : Mutuelle inductance entre deux lments filamentaires circulaires [Shi-2004]

Fig. I.12 : Dimension dune spire de section rectangulaire


25

I.13.3 Calcul des rsistances

La rsistance dune spire lmentaire est calcule au moyen :

I. 31 :rsistivit de llment i ; et sont respectivement la longueur et la section de llment.

I.14 Modlisation par la mthode des lments finis (MEF)

La mthode des lments finis est une mthode incontournable lorsque l'on traite

la modlisation des milieux continus. Son domaine d'application trs tendu fait probablement

d'elle le premier outil de conception. Ainsi, applique au domaine de l'lectromagntisme, elle

permet d'tudier des problmes aux formes complexes, avec des matriaux linaires ou non,

des couplages circuits, du mouvementetc. Du fait de sa prise en compte des phnomnes au

niveau local, sans injection de connaissance a priori, elle est la mthode utiliser pour

comprendre finement les phnomnes physiques en jeu dans un dispositif. Lobstacle souvent

rencontr par cette mthode dans beaucoup dapplications est la prise en compte des

conditions aux limites existant linfini : lutilisation dun maillage pour approcher le

problme rel demande un nombre de nuds important et prjudiciable au temps de calcul.

De plus cette mthode trouve ses limites lorsque le domaine dtude prsente de singularits.

I.15 Conclusion

Ce premier chapitre nous a permis de prsenter les principaux types de transformateurs,

leurs rgimes de fonctionnement. Du point de vue modlisation, diffrentes mthodes on ts

dveloppes entre autres le schma lectrique quivalent. Ce modle permet de reproduire

certains comportements lectromagntiques du transformateur. Mais masque en ralit des

phnomnes plus complexes et comme tout modle souffre d'hypothses simplificatrices. Ces

hypothses conduisent cependant des paramtres de reprsentation trop idaliss pour les

applications industrielles actuelle. Les difficults de modlisation ncessitent le recours aux

mthodes numriques ou semi-analytique de discrtisation en petits lments de circuit telles

que la mthode des lments finis, et la mthode des circuits coupls. Ces modles sont les

plus rpandus et utiliss, l'heure actuelle, pour modliser un transformateur. Quel que soit le

type de reprsentation, les lments sont calculs en fonction des caractristiques

gomtriques et dilectriques du bobinage ainsi que des caractristiques gomtriques du

noyau magntique.

Le prochain chapitre sera consacr la modlisation lectromagntique des transformateurs.

Chapitre II

Modlisation lectromagntique des transformateurs

Chapitre II Modlisation lectromagntique des transformateurs

26

II.1 Introduction

Nous prsentons dans ce deuxime chapitre, les bases mathmatiques des quations lectromagntiques pour la modlisation dun problme lectrotechnique, travers le rappel des quations de Maxwell, ainsi que les diffrentes formulations magntostatiques et magntodynamiques qui en rsultent. Ces formulations conduisent des quations aux drivs partielles auxquelles il faut associer des conditions aux limites et des conditions dinterfaces. La rsolution analytique de telles quations ncessite gnralement des hypothses simplificatrices fortes, et ne rend donc pas compte de la ralit des phnomnes physiques. Dans le souci de prendre en considration la complexit des structures des systmes lectromagntiques (non linarit, phnomnes coupls, gomtrie 3D), on a recours soit aux mthodes couples analytico-numrique soit purement numriques.

II.2 Equations de Maxwell

La rpartition spatiale et temporelle des champs magntique et lectrique est donne par les quations de Maxwell: [Dha-2005] [Ped-2003] [Hen-2004]

. . . . II. 1" #$% $&' ()(& * '. & ). . II. 2" ,-&- . ) 0 ). . 0 II. 3" 123$ $&4 56 7 ((& * 4 85 7 ((& 9 ..6 II. 4" Avec :

4 : Champ magntique ;A/2> ) : Induction magntique ;T> ' : Champ lectrique ;V/2> : Induction lectrique ;A/2B> 56 : Densit de courant de conduction ;1/2B> : Densit de charge volumique ;A/2C> & : Le temps ;> : charge contenue dans le volume V ;A> : Elment de surface ;2B> : Elment de volume ;2C> : Elment de longueur ;2> Ces quations sont associes aux relations constitutives des matriaux qui sont en gnral, anisotropes ou non linaires


27

II.3 Lois de comportement des matriaux

Une relation constitutive dcrit localement le comportement des grandeurs lectromagntiques dans un matriau donn. Elles sont donnes dans le cas le plus gnral

Dans un milieu dilectrique

DEFEG H' 2 -$ &$3 II. 5" KH, %, M"K ' 2 -$ -&$3 II. 6" HO'P' 2 -- -$ &$3 II. 7"

R

Dans un milieu magntique DEFEG ) S4 7 )T -$ &$3 II. 8" ) KS , %, M"K 4 7 )T -$ -&$3 II. 9" ) SO4P4 7 )T -- -$ &$3 II. 10"

R

H : Permitivit lectrique absolue ;F/2> S : Permabilit magntique absolue ;4/2> )T : induction rmanente ;X>

II.4 La loi dOhm

Cest la loi exprimant, dans un milieu conducteur la densit de courant 5 en fonction du champ lectrique ' , la loi sapplique tout milieu prsentant une conductivit lectrique.

Y5, Z' 2 ,-,&$ II. 11" 5, Z' 7 5 2 ,-,&$ , $, II. 12"R 5 : Densit de courant source ;1/2B>


28

II.5 Relations de passage

Les champs lectriques et magntiques des diffrents milieux sont lis linterface par des relations de continuit. Soient deux milieux [\ et [B, et soit -\B le vecteur normal la surface dirig du milieu [\ vers le milieu [B. (Figure II.1)

La discontinuit du milieu de la composante tangentielle du champ magntique 4 due aux densits de courants surfaciques ] . O4\ 4BP ^ - ] II. 13" La conservation de la composante tangentielle du champ lectrique ' O'\ 'BP ^ - 0 II. 14" La discontinuit de la composante du dplacement lectrique due aux charges surfaciques . O\ BP. - II. 15" La conservation de la composante normale de linduction magntique ) O)\ )BP. - 0 II. 16"

Fig. II-1 : Interface entre deux milieux [Doi-2007]

La frontire entre [\ et [B

[\ [B -\B

Z\ H\ HB ZB SB S\


29

II.6 Equations de Maxwell simplifies

Les hypothses simplificatrices gnralement poses dans le traitement des quations de modlisations des problmes Electrotechniques sont :

Dans le domaine de llectrotechnique, les frquences de travail sont infrieures aux radios frquences qui sont de lordre 1012 Hz, ce qui nous permet de ngliger les courants

de dplacement 5_ ( (& devant les courants de conductions 5, dans lquation II. 4", le systme est quasi-stationnaire.

Les charges despace dans les conducteurs sont ngliges dans lquation II. 1", ainsi pour les conducteurs le rapport (H/Z) est trs faible, de lordre de 10a\ba\. ce qui est ngligeable devant celui quon considre pour les frquences infrieures 10\B Hz.

En considrant les hypothses simplificatrices prcdentes, les quations de Maxwell scrivent sous la forme suivante : 0 II. 17" $&' () (& II. 18" ) 0 II. 19" $&4 Z' 7 5 II. 20"

II.7 Modles lectromagntiques

Sur la base des quations de Maxwell simplifies II. 17 20" relatives au domaine de llectrotechnique nous dfinirons les modles magntostatique et magntodynamique.

II.7.1 Modle magntostatique

Dans le cas de la magntostatique, on supose que le champ magntique est produit

par des sources de courant indpendantes du temps. Le terme (()/(&) est nul et les champs lectrique ' et magntique ) sont dcoupls. Le systme d'quations rgissant les phnomnnes magntostatiques s'crit :

) 0 II. 21" $&4 5 II. 22" A ce systme, on peut ajouter la loi de comportement des matriaux magntiques II. 8", ainsi que les conditions aux limites.


30

II.7.2 Modle magntodynamique

Dans le cas magntodynamique, les sources de tension ou de courant varient en fonction du temps, cela veut dire que les courants induits rsultants feront le couplage du champ lectrique et magntique. Le systme dquations rgissant les phnomnes magntodynamiques scrit :

$&' ()(& II. 23" $&4 Z' 7 5 II. 24" Il faut ajouter ce systme les lois de comportement des matriaux lectriquesII. 5) et magntiquesII. 8" et les conditions aux limites.

II.8 Choix de la variable dtat

Pour traiter les quations magntostatique et magntodynamique diffrentes formulations mathmatiques du problme peuvent tres obtenues, soit en utilisant les champs magntiques ou lectriques comme variables principales, ou en introduisant de nouvelles variables que sont les potentiels lectriques ou magntiques. A chacune de ces grandeurs magntiques et lectriques correspond une quation aux drives partielles.

Les formulations en champs prsentent un inconvnient majeur, qui est la discontinuit aux interfaces et lutilisation dlments darrtes dans la discrtisation. De plus les vecteurs ont gnralement trois composantes, augmentant par-l le nombre dinconnues, ce qui entraine un temps de rsolution plus important. Pour remdier ces inconvnients on fait appel aux potentiels vecteur/scalaire lectriques ou magntiques.

Il existe plusieurs types de potentiels, parmi les quels, on peut citer le potentiel vecteur magntique et le potentiel scalaire lectrique. La rsolution des quations en potentiel vecteur magntique, savre tre particulirement intressante dans des configurations axisymtriques, car seule la composante azimutale est non nulle. La condition de Jauge de continuit qui assure lunicit du potentiel vecteur magntique A est naturellement vrifie [Lef-2005] [Doi-2007].


31

II.9 Formulation en potentiel vecteur magntique

Cette formulation est base sur lexistence dun potentiel vecteur magntique A issu de lquationII. 3", tel que : ) $&1 II. 25" La combinaison des quations II. 2" et II. 25" conduit :

c ^ 8' 7 (1(& 9 0 II. 26"

La relation II. 26" nous permet de dduire quil existe un potentiel lectrique scalaire V tel que :

' (1(& d$ " II. 27"

partir des quations II. 4", II. 25" et II. 27" nous pouvons crire :

$& g1S $&1h DEEFEEGZ 8(1(& 9 Z. d$ i&- 2d-&%-2i II. 28"

Z 8(1(& 9 i&- 2d-&%-2i - $, II. 29"Z. d$ i&- 2d-&&&i , $, II. 30" 0 i&- 2d-&&&i - $, II. 31"R

Lquation II. 28" reprsente la formulation magntodynamique en terme de 1 tenant compte du terme source.

II.10 Conditions de Jauge

Les champs lectromagntiques dfinis par lensemble des quations de Maxwell ne sont pas uniques. En effet les champs divergence sont dfinis un rotationnel prs et les champs rotationnel sont dfinis un gradient prs. Il convient donc dimposer une condition supplmentaire afin dassurer lunicit de la solution issue de la rsolution du systme

dquations II. 28"-II. 31" . Cette condition, appele condition de Jauge est gnralement exprime sous deux formes [Doi-2007].


32

1" 0 jd A2k II. 32" 1" 7 l ((& 0 jd $-&M II. 33"

II.11 Formulation bidimensionnelle en potentiel vecteur magntique

Le terme gauche de lquation II. 28" scrit : Y$&Om $&1P nOm d$ 1P 7 d$Om n 1P m 1S II. 34" R En adoptant la condition de Jauge de Coulomb donne parII. 32", lquation II. 34" devient : $&Om $&1P nOm d$ 1P Z 8(1(& 9 7 5 II. 35" Si on considre que la source est harmonique sinusodale lquation II. 35" scrit : nOm d$ 1P 7 Zjo1 5 II. 36" II.11.1 Formulation 2D cartsien

Dans le cas dun problme 2D cartsien , %" , le potentiel vecteur magntique 1 et la densit de courant 5 nayant quune seule composante suivant oz. Ces derniers sont de la forme : 1 0,0, 1p" et 5 0,0, 5p".

En coordonnes cartsiens nous avons :

$&1 qq r s(( ((% ((M0 0 1pqq II. 37"

, r, s : Vecteurs unitaires.

$&1 t(1p"(% u 7 t (1p"( u r II. 38" $&Om $&1P t (( gm. (1p( h ((M gm. (1p"(% hu p II. 39"


33

Lquation II. 36" devient : (( gm. (1p( h ((% gm. (1p(% h Z. j. o. 1p 7 5p II. 40"

II.11.2 Formulation 2D axisymtrique

Dans le cas dun problme 2D axisymtrique$, M", le potentiel vecteur magntique 1 et la densit de courant 5 nayant quune seule composante azimutale. 1 0, 1v, 0" et 5 0, 5v, 0". En coordonnes cylindriques axisymtriques nous avons :

$&1 1$ . qT $v p(($ ((w ((M0 $1v 0 q II. 41"

$&Om $&1P t (($ gm$ . ($1v"($ h ((M gm. (1v"(M hu v II. 42" Lquation II. 36" devient :

((M gm. (1v"(M h (($ gm$ . ($1v"($ h Z. j. o. 1v 7 5v II. 43" II.12 Les conditions aux limites

Les valeurs dun champ 1 la frontire du domaine satisfait principalement deux relations simples. Le champ peut tre soit de valeur connue, soit normal la surface, ce qui de traduit par :

R1|y 1z ,-&- $,{& II. 44" R(1(-|y 1z ,-&- }2-- II. 45" Les conditions de Dirichlet et de Neumann sont dites homognes si les valeurs imposes 1z sont nulles. Elles sont dites non homognes dans le cas contraire.


34

II.13 Mthodes de rsolution

II.13.1 Mthodes numriques

Lutilisation des mthodes numriques de discrtisation pour la rsolution des quations mathmatiques tablies, consiste ramener la rsolution des quations aux drives partielles dans le domaine dtude, compte tenu des conditions aux limites, celle dun systme dquations algbriques dont la solution donne les valeurs et la distribution des grandeurs recherches. Parmi ces mthodes on trouve la mthode aux diffrences finies, la mthode des volumes finis et la mthode des lments finis. La mthode des lments finis est sans doute la plus utilise car elle est mieux adapte pour traiter les gomtries complexes et les milieux non linaires.

II.13.1.1 Principe de la mthode des lments finis

Dans les formulations prsentes, il sagit de rsoudre des quations aux drives partielles

sur le domaine , auxquelles sont associes des conditions aux limites sur la frontire . La mthode des lments finis ne sapplique pas directement pour la rsolution des quations aux drives partielles, mais une formulation intgrale du problme, en utilisant lune des deux approches suivantes :

La mthode variationnelle exige la connaissance au pralable de la fonctionnelle dnergie du systme tudi, elle sexprime par :

#1" . . II. 46" 6 : Lagrangien construit partir de la diffrence entre lnergie cintique et lnergie potentielle du systme tudier.

La mthode des rsidus pondrs ou mthode projective qui consiste minimiser le rsidu induit par lapproximation de la fonction inconnue. Cest une mthode plus gnrale, son application ne ncessite pas la connaissance de la fonctionnelle dnergie du systme, elle traite directement lquation aux drives partielles quon veut rsoudre. Lquation rsoudre tant :

(#1"(1 0 (.1"(1\ (.1"(1B (.1"(1 0 II. 47" -: Nombre de nuds du domaine dtude 1 : Inconnu au nud du domaine.


35

Linconnue A du problme est approxime sur les lments de maillage par la fonction

dinterpolation r telle que : 1r r . 1r.r II. 48" r : dpend des coordonnes des nuds correspondant chaque lment de maillage. II.13.2 Mthodes semi-analytiques

Parmi les mthodes intgrales dites semi-analytiques, on distingue la mthode des circuits lectriques magntiquement coupls (CEMC), et la mthode des intgrales de frontires. Contrairement aux modles bass sur les mthodes purement numriques qui incluent lair environnant dans le domaine de rsolution, les mthodes semi-analytiques saffranchissent de la discrtisation de lair. La mthode des circuits coupls est une mthode de rsolution semi analytique qui sapplique quaux milieux conducteurs. Applique notamment pour ltude des systmes induction structure asymtrique, dont le fonctionnement est bas sur les courants de Foucault [Meu-2002].

II.13.2.1 Principe de la mthode des circuits coupls

La mthode des circuits lectriques magntiquement coupls consiste subdiviser le conducteur en lments de circuits circulaires et coaxiaux fictifs, dont la forme et les dimensions sont telles que la densit de courant peut tre suppose constante dans chacun de ces lments. La subdivision peut se faire en mailles non rgulires selon la pice modlise, zone de forte variation des grandeurs physiques, effet de peau important.

Fig. II.2: Dcoupage des conducteurs en lments [Lef-2006]

Axe de symtrie

Elments de discrtisation - de la

spire } \ B Spire lmentaire


36

III.13.2.2 Interaction entre les lments de circuits lectriques

Chaque lment du circuit lectrique est reprsent par sa rsistance lectrique et son inductance, ces lments forment entre eux un systme de circuits mutuellement coupls [Mao-1996] [Che-1994] [Doi-2007]. La discrtisation par la mthode des circuits coupls est reprsente dans la (Fig.II.3), o tout conducteur d'une bobine est forme de N spires principales en srie et chacune de ces spires est constitues de n spires lmentaires en parallles.

Le systme rsultant est alors rgi par - } quations, - } inconnues qui sont - courants et les } tensions . Chaque spire lmentaire est soumise une tension identique la tension la quelle est soumise la spire principale. Lapplication de la loi de Kirchhoff au schma quivalent de la (Fig. II.3) nous permet dcrire :

Dans la spire 1

DEEFEEG \ \\\\ 7 \\

\\& 7 \\,s s&\s\...\ \\ 7 \ \& 7 \,s s&\s\ II. 49" R

Fig. II.3: Schma lectrique quivalent pour le primaire [Lef-2006]

\\ B\

\

\B

B

BB \ B

\

\\ B\

\B

\

\ B BB

B

\\ B\

\

B \

BB B

\\

B\,\

3$"1" 3$"2" 3$"}"

\ B


37

Dans la spire 2

DEEFEEG B \B\B 7 \B

\B& 7 \B,s s&\s\...B BB 7 B B& 7 B,s s&\s\ II. 50" R

Dans la spire N

DEEFEEG \\ 7 \

\& 7 \,s s&\s\... 7 & 7 ,s s&\s\ II. 51" R

l dsigne la spire lmentaire et est la spire principale et lensemble des quations de circuit II. 49" II. 51" conduit au systme dquations diffrentielles linaire suivant : ;>;> 7 ;> ((& ;> ;> II. 52" ;> : Vecteur des courants dans les spires filiformes ;> : Vecteur de tension dans les spires filiformes ;> : Matrice diagonale, ses lments reprsentent les rsistances des spires lmentaires ;> : Matrice inductance pleine, llment de la diagonale reprsente linductance propre de la spire lmentaire et llment hors diagonale r reprsente linductance mutuelle entre la spire et la spire j.


38

III.13.2.3 Alimentation sinusodale

Dans le cas des phnomnes lectromagntiques sinusodaux, le systme dquations obtenu est linaire et coefficients complexes, il est de forme :

;>;> ;> II. 53" Les diffrents oprateurs de diffrentiation temporelle sont remplacs par le coefficient

jo . ;> 0 0 7 jo

s II. 54" ;> : Matrice impdance de dimension -} -}" : Rsistance de la spire ; : Inductance propre de la spire s : Mutuelle inductance entre la spire et la spire l II.14 Conclusion

Les quations gnrales rgissant les phnomnes lectromagntiques sont dcrites par des quations aux drives partielles. La rsolution de ces quations permet de connaitre lvolution du champ en tout point de lespace. Nous nous somme intresss dune faon particulire aux modles magntostatique et magntodynamique qui sont obtenus laide du potentiel vecteur magntique. Ces quations peuvent tes rsolues par des mthodes analytiques ou mthodes numriques ou bien semi-analytiques. Parmi ces mthodes on retiendra la mthode des circuits lectriques magntiquement coupls, et un modle numrique bas sur une approche lments finis qui prend en compte la non linarit et lanisotropie des matriaux, les grandes lignes de ces deux mthodes ont ts prsentes.

Dans le chapitre qui suit nous dtaillerons la mthode des circuits lectriques magntiquement coupls et lappliquerons notre dispositif.

Chapitre III

Modlisation des transformateurs par une mthodologie mixte

Circuits Electriques Magntiquement Coupls (CEMC) et Elments

Finis(EF)

Chapitre III Modlisation des transformateurs par une mthodologie mixte Circuits Electriques Magntiquement Coupls (CEMC)

et lments finis (EF)

39

III.1 Introduction La mthode des circuits lectriques magntiquement coupls est base sur une discrtisation

numrique du domaine conducteur en lments de circuit. Chaque lment ou spire

lmentaire est reprsent par sa rsistance et son inductance. Pour cela les bobinages HT et BT sont discrtiss en lments lectriques correspondant une portion (spires lmentaires) auxquels sapplique des expressions analytiques des grandeurs lectromagntiques, dduites

de la loi de Biot et Savart. Le calcul de diffrents effets rsistifs et inductifs, propres et

mutuels entre ces multiples spires et ventuellement le circuit magntique est exprim partir

de lexpression analytique du potentiel vecteur magntiqueA.

III.2 Modle gomtrique

Notre dispositif est un transformateur triphas, colonnes, pour lequel on modlise

le bobinage dune colonne latrale. Le dispositif est ainsi approch par un systme

axisymtrique est ayant une symtrie de rvolution, permettant de prendre en considration

une partie du domaine dtude tel que reprsent par la Fig. III.1.

Zoom

Circuit magntique

Phase C Phase B Phase A

Enroulement HT Enroulement BT

Primaire

Noyau magntique

Fig. III.1.b : Domaine dtudeFig. III.1.a : Architecture du transformateur

[Hoc-2009]

Secondaire

Air



40

III.3 Discrtisation des enroulements

Classiquement il existe deux modles de conducteurs : les conducteurs filamentaires et les

conducteurs massifs. Cependant un nouveau type de conducteur trs efficace est appliqu

aux transformateurs, il sagit de feuilles denroulements, rsistant aux efforts axiaux et aux

tempratures leves dues aux courts circuits [Ger-2001].

On peut distinguer deux sortes de discrtisations : dans le cas ou lpaisseur de peau est trs

faible (hautes frquences), on ne discrtise que le pourtour de la section du conducteur

(Fig.III.2), et dans le cas contraire en (basses frquences), on discrtise toute la section

(Fig.III.3).

Si lpaisseur de peau est grande par rapport aux dimensions des conducteurs et pour des

frquences gales 50 Hertz, les densits de courant sont pratiquement uniformes comme

cest le cas pour les rgions filaires pour lesquels toute la section du conducteur est

discrtise. Par contre lorsque lpaisseur de peau est petite par rapport aux dimensions des

conducteurs, dans ce cas les pertes produites par les flux de fuite dominent, on ne discrtise

pratiquement que le pourtour de ces derniers.

Fig.III.2 : Discrtisation linique de la frontire du conducteur

Fig.III.3 : Discrtisation totale de la section du conducteur [Mao-1996]Section rectangulaire Section circulaire

Section rectangulaire Section circulaire



41

III.4 Formulation en potentiel vecteur magntique

Cette mthode consiste formuler la loi dOhm pour chaque lment, de faon aboutir

un systme dquations diffrentielles, faisant intervenir les chutes de tension rsistives et

inductives correspondant dune part linductance propre et dautre part aux mutuelles

inductances avec tous les autres lments.

Pour la mise en uvre de cette mthode, des hypothses ont t faites :

La gomtrie tudie est symtrie de rvolution.

Lhlicit des enroulements est nglige.

Les matriaux utiliss sont proprits physiques isotropes et linaires.

Les modles diffrent selon la manire dintroduire la source, le premier suppose

une source de courant et le second prend comme source une tension. Chacun de ces modles

est formul suivant la frquence dexcitation, des caractristiques lectriques, magntiques

et gomtriques du problme. Le modle dexcitation en tension pour objectif

la dtermination de la rpartition de la densit de courant circulant dans chaque spire.

III.4.1 quations caractristiques en axisymtrique

Pour dcrire le phnomne lectromagntique, nous choisissons de ramener les quations

de Maxwell un systme de deux quations exprimant le couplage entre la densit du courant

et le potentiel vecteur magntique, les quations de Maxwell mnent au systme suivant :

quations II. 36 et III. 1 [Mao-2006] [Mao-2009] [Esl-2010]

III. 1

densitdecourantinduit



42

Le fait que le courant circule le long du primtre moyen de la spire on ramne le potentiel

scalaire lectrique la variation angulaire tel que :

1 III. 2

La variation de la tension suivant le rayon est nulle lquationIII. 2 devient :

1 III. 3

La tensionU au borne de la spire est donne par :

2. III. 4

En utilisant le thorme de stockes (quationIII. 1) on peut crire :

12.

2. III. 5

A partir des quationsIII. 2, III. 3, III. 4,III. 5 on obtient lquation gnrale pour un lment de circuit.

2. 2. III. 6

En rgime harmonique III. 6 scrit :

2. 2. III. 7

Fig.III. 4: Coupe transversale et radiale dune spire [Mao-2006]

Spire



43

On reconnat lexpression de la tension aux bornes dune spire lmentaire utilise

dans la formulation de la mthode des circuits coupls, exprime en termes de densit

de courant et du potentiel vecteur. Le terme 2. correspond la chute de tension rsistive, alors que le terme 2. reprsente la chute de tension inductive. Le potentiel vecteur magntique comprendrait la contribution du courant de la spire

elle-mme (inductance propre), ainsi que la contribution des courants circulant dans les autres

spires (inductances mutuelles), cela est reprsent sur la (Fig.III.5) :

LexpressionIII. 8, peut tre crite pour toute spire lmentaire de la spire avec la contribution des courants circulant dans les spires lmentaires de la spire comme suit : [Lef-2005]

2 ,

,

III. 8

, : Nombre de spire des enroulements primaire /secondaire , Nombre de discrtisation par spire primaire / secondaire*

Fig.III.5: Schma lectrique quivalent des deux enroulements HT et BT

,

,

,,



44

III.5 Expression du potentiel vecteur magntique

Nous considrons le cas de la (fig. III.7), dans lair, qui exprime le potentiel cre par la spire

de contour parcourue par un courant au point . est la distance entre lments du contour .

Fig.III.6 : Reprsentation des spires lmentaires et [Leo-1992]

Spire

Spire

Fig. III.7: Potentiel vecteur magntique cre par une spire filiforme [Mao-1996] [Cha-2003]

Chapitre III Modlisation des transformateurs par une mthodologie mixte Circuits Electr

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