1
MASTERE SPECIALISE
TUNNELS et OUVRAGES SOUTERRAINSDe la conception à l’exploitation
Module 1. Connaissances de base
1.2. Comportement mécanique des sols1.2. Comportement mécanique des sols
Denis BRANQUEENTPE
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CONNAISSANCES DE BASES: Comportement mécanique des sols
CONTENU1. Définition géotechnique des sols2 Identification physique des sols2. Identification physique des sols3. Déformations et contraintes dans les sols (rappels de MMC)( pp )
4. Hydraulique des sols5. Consolidation et tassement des sols6. Résistance au cisaillement des sols
INSA Lyon ‐ ENTPE MS TUNNELS ET OUVRAGES SOUTERRAINS 2013‐2014
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CONNAISSANCES DE BASES: Comportement mécanique des sols
H d li d lHydraulique des sols Hypothèses générales
l’eau interstitielle est incompressible et sa masse se conserve- l eau interstitielle est incompressible et sa masse se conserve
- le squelette du sol est considéré comme indéformable. (Cette hypothèse peut être levée dans les modèles plus complexes de la mécanique des milieux poreux).
l t i t t t l l t i t ff ti t l i d’ t lié l l ti d- les contraintes totales, les contraintes effectives et la pression d’eau sont liées par la relation de Terzaghi
- l’eau qui circule dans les interstices du sol présente de la viscosité
- l’action de la pesanteur est pris en compte.
- les écoulements d’eau sont permanents; c’est-à-dire la vitesse de l’eau est en tout point indépendante du temps.
Références:
F. Shlosser, 1988, Elements de mécanique des sols. Presse ENPC.
C. Plumelle, 2013, Théorie et pratique de la géotechnique. Ed. Le Moniteur.
INSA Lyon ‐ ENTPE MS TUNNELS ET OUVRAGES SOUTERRAINS 2013‐2014
B. Das, 1985, Advanced soils mechanics. Ed. McGraw Hill.
O. Coussy, 2004, Poromechanics. Ed. John Wiley & Sons.
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Exemple d’écoulement souterrain permanent: cas d’un barrage
écoulement
uw = wH uw = (référence atm.)
Roche imperméable
sol
L’eau “libre” dans un sol a tendance à s’écouler sous l’effet des actions combinées:
• du gradient des pressions d’eau interstitielle: des fortes vers les faibles pressions• du gradient des pressions d eau interstitielle: des fortes vers les faibles pressions(i.e. dans le sens du uw or u)
• de la gravité (g)
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Exemple d’écoulement souterrain permanent: cas d’une excavation
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Exemple d’écoulement souterrain permanent: cas d’un tunnel
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Exemple : écoulement entrainant les polluantsp p
Lac
Rivière polluée
vContaminant
Nappe phréatique
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Exemple –Systèmes de barrières
couverture
Système primaire de collection de lixiviat
déchetsnappe
aquifère
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Définition de la charge hydraulique
PP
z(P)
2P
Référence
2gv 2
PzPuPhw
w
Charge totale en P: Energie d’une
particule fluide de poids unité
uw(P)/w = contribution de la pression d’eau
z(P) = contribution due à la gravitéEnergie potentielle de la particule fluide
V2/2g = contribution due à la vitesse (négligeable dans le cas des écoulements dans les sols
9
Energie cinétique de la particule fluide
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Définition de la charge hydraulique
Dans le cas des sols, on retiendra:
• Charge hydraulique en P: P
PzPuPh w
Charge hydraulique en P:z(P)
Référence PzPhw
• L’eau qui s’écoule dans les sols ne peut être considérée comme un fluide parfait• Leau qui s écoule dans les sols ne peut être considérée comme un fluide parfait (en raison des effets visqueux). Il y a de plus interaction entre l’eau et les particules solides. Il y a donc dissipation d’énergie au cours de l’écoulement, donc perte de charge.
• La charge hydraulique est définie à une constante près mais c’est la différence (perte) de charge entre deux points qui est fondamentale(perte) de charge entre deux points qui est fondamentale
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Charge hydraulique
Exemple 12 m1 m Nappe
1 mP
5 m
X
Référence
Calcul de la charge hydraulique
Calcul de la charge hydraulique aux points P et X
1Pz m 4Xz m
ww Pu 4
514 wwPh m
ww Xu 1
541 wwXh m
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Charge hydraulique
Exemple 22 m1 m Nappe Référence
1 m5 m
X
pp
P
Calcul de la charge hydraulique
011 wwXh m 044 wwPh m ww
La charge hydraulique est-elle constante dans la zone saturée ?
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Loi de Darcy
Expérience de Darcy
h
xe
Echantillon de Sol
Aire de la
M N
Darcy avait trouvé que le débit Q (m3/s):
L section, A
difference de charge h
aire de la section A
1/L
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D l t
Loi de Darcyh
• Darcy conclut que:
LhkAQ
(m3/s)Echantillon
xe
M N
où k est le coefficient de permeabilité (m/s).
L Echantillon de Sol
LAire de la section, A
M
• Soit le vecteur gradient hydraulique défini par:
h
l d l’é l d l
hyhx
hgradi )(
Dans le cas de l’écoulement monodimensionnel ci‐dessus, on a:
NM ehehhi
.
zh xx
NM
eL
exx
i
.
• L’équation de Darcy peut alors se mettre sous la forme:
AikQ ik vavec
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Léquation de Darcy peut alors se mettre sous la forme:
Vitesse de Darcy ou vitesse de filtration
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Loi de Darcy (suite) h
kiAQ kiQvavec Echantillon
xe
M N
Expérience de Darcy
kiAQ kiA
vde Sol
LAire de la section, A
La vitesse est une vitesse apparente , la “vraie” vitesse doit tenir compte de la porosité du matériau.
v Sv
nAA svv s
vv
p p
est la porosité du sol Surface totale de la section = A
n
VVvn f
Surface effective = nA15
V
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Loi de Darcy (suite)
Mesure de la Permeabilité
(a) Perméamètre à charge constante (adapté aux sols grenus)
On observe que:
hkAVQ Piston pour
comprimer le sol
LkA
TQ
V = volume écoulé
h
Hauteur d’alimentation
constante
T = durée nécessaire
Il vient donc
Sol LVolume V
Il vient donc,
hATLVk
Double - piquages l d h hAT
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pour la mesure de h
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Loi de Darcy (suite)
Mesure de la Permeabilité
(b) Perméamètre à charge variable
Dans un intervalle de temps t,
dhTube à section
t tDébit dans le tube =
dtdha
constante a
h1
Débit dans l’échantillon =LthkA
LhhkA NM
)()(
SoilSampleL
h2
h (t)
1
Samplearea A
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Loi de Darcy (suite)
Mesure de la PermeabilitéLa conservation du débit instantané donne:
thdh )(
Mesure de la Permeabilité
(b) Perméamètre à charge variable
LthkA
dtdha
)(
Solution :Tube à section t t
constante
tL
kAha ln
avec:
constante a
h1 avec:
à t = t1, h = h1
à t = t2, h = h2SoilSampleL
h2
h (t)
1
2 2
21lnA
hhLak
Samplearea A
12 ttA
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Loi de Darcy (suite)
Mesure in situ de la Permeabilité – essai de pompage en régime permanent
r1
r2 Puits de Pompage (tube crépiné, débit constant)
Piezomètre 1 qzPiezomètre 2
Nappe initialed
HAquifère non
h1h2 h
r
Aquifère non confinée, sans fuite
v
19
r
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Loi de Darcy (suite)
Loi de Darcy:
Mesure in situ de la perméabilité – essais de pompage
drdzrzkqz 2
Loi de Darcy:qz = taux de pompage (m3/s)
ddz représente le gradient hydraulique le
l d l f libdr
22 hr dr
Integration:dr long de la surface libre
Rem: L’hypothèse de filet fluide horizontaux n’est vrai qu’à partir d’une certaine distance du puits
2
1
2
1
2hr
z zdzkr
drq
D t
du puits
22
12lnhhrrqk z
De sorte que:
Permeabilité (m/s) 12 hh 20
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Perméabilité
Valeurs typiques
10-1 10-2 10-3 10-4 10-5 10-6 10-7 10-8 10-9 10-10 10-11 10-12
Limons
cm/s
Graviers SablesLimons
Argiles fissurées
Argiles homogènes
Taille des grains peut varier de 3-4 ordres de grandeurs
Permeabilité peut varier de 10 ordres de grandeurs (échelle log)
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S l t tifié é l t llèl ( idé li é)
Ecoulement 1D
Sol stratifié – écoulement parallèle (cas idéalisé)
Coeff de perméabilité équivalent =?
z
di Qi
iQQ
d1
x
Q1
idd iQQ
x
iii idkQQ
dkidikQ
Même gradient i dans chaque couche
ikd
dkid
dikdQv iiii
dkk ii
Perméabilité effective ou équivalente kequdans le cas d’un écoulement parallèle dans un sol stratifié = moyenne arithmetique
dé é d bilité d hd
dkk iiequ
pondérée des permeabilités des couches.
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Ecoulement 1D Sol stratifié – écoulement orthogonal (cas idéalisé)
z
Sol stratifié écoulement orthogonal (cas idéalisé)
Coeff de perméabilité équivalent =?
di,, hiv
idd
x
d1,, h1 v
Conservation du débit:
i
iiii d
hkik ivv
ΔhPermeabilité effective ou équivalente kequdans le cas d’un écoulement orthogonal
Conservation du débit:
dΔhkequv
ddddk vv.v . d
dans le cas d un écoulement orthogonal dans un sol stratifié = moyenne harmonique des permeabilités des couches
i
i
i
iieq
kd
kdhh
kv
ii kd
dk
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Exemple 1. Interprétation des résultats d’essai au perméamètre à charge constante
Les données issues d’un essai avec un perméamètre à charge constante sont
charge constante
p greportées dans le tableau ci‐dessous. Tracer le débit Q suivant le gradient hydraulique i puis estimer la permeabilité initiale k. L’aire de la section de l’échantillon = 8000 mm2
Gradient hydraulique I 0 0.2 0.4 0.6 0.8
Debit Q (cm3/s) 0 1.0 2.2 3.75 5.8
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Exemple 1. Interprétation des résultats d’essai au perméamètre
6
7
3
4
5
m3/
s)
0
1
2
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Q (c
m
0.21
i
1dQ 31 5 ( / )0.2
dQkA cm sdi
25 5 6 25 10 cm / sk 2 6.25 10 cm / s8000 10
kA
25
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Exemple 2: Interprétation des résultats d’essai au perméamètre à charge variable
Les données issues d’un essai avec un perméamètre à charge variable sur un
charge variable
Les données issues d un essai avec un perméamètre à charge variable sur un échantillon de sable limoneux sont reportées dans le tableau ci‐dessous. Tracer une graphique de ln(h1/h) vs t et estimer la permeabilité k au début et en fin de l’essai.
durée t depuis le début d’essai (s) 0 40 100 190 330 600
Hauteur d’eau dans le tube h (m) 1 0 0 85 0 70 0 55 0 40 0 25Hauteur d eau dans le tube h (m) 1.0 0.85 0.70 0.55 0.40 0.25
Section de l’échantillon, A = 8000 mm2,
Section du tube, a = 10 mm2
Longueur de l’échantillon L = 200 mm
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Exemple 2: Interprétation des résultats d’essai au perméamètre à charge variable
11.21.41.6
1000.12
0.20.40.60.8
1
ln(h
1/h
)
0.5
116
00 100 200 300 400 500 600 700
t (sec)
kA
A l d d é
11ln ttLa
kAhh
Rappel: , prenons t1=0, h1=h0, ligne droite passant par origine:
tmtLa
kAhh
0ln
durée t depuis le début d’essai (s) 0 40 100 190 330 600
h1/h 1 1.176 1.429 1.819 2.5 4
Analyse des données:a
ln(h1/h) 0 0.163 0.357 0.598 0.916 1.386
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Exemple 2: Interprétation des résultats d’essai au perméamètre à charge variable
Après quelques ré‐arrangements de l’équation pour le perméamètre à charge variable:
g
mA
Lat
hhA
Lak
1ln
où ln(h1/h)/t = m est la pente de la courbe.
Perméabilité initiale :
40.1 20 0.5 1.07 10 cm/s80 116
k
Perméabilité finale :
50 1 20 0 12 50.1 20 0.12 3.0 10 cm/s80 100
k
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Ecoulement 3D : cas général
Loi de Darcy généralisé au cas 3D général Loi de Darcy généralisé au cas 3D général
ik v
h
)( zyx v,v,vvavec : champ vectoriel des vitesses
hyhx
hgradi )(
: le champ vectoriel des gradients hydrauliques
z
zuzyxh w
γ ),,( : le champ des charges hydrauliques
• Pour un sol isotrope, la perméabilité k est un scalaire,
wγ),,( zyxuw : le champ de pression hydraulique hétérogène
• Pour un sol anisotrope, la perméabilité k est un tenseur d’ordre 2 dont les composantes dans le repère principal sont:
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Ecoulement 2D
écoulementz
Roche imperméable
sol
x
z
Dans tout se qui suit, l’écoulement est supposé 2D (écoulement plan), la composante suivant l’axe y étant supposée nulle Ceci permet de simplifier la présentation dans unsuivant l axe y étant supposée nulle. Ceci permet de simplifier la présentation dans un cadre pédagogique. La généralisation au cas 3D est trivial.
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Ecoulement 2D
Equation de continuité (conservation de la masse) Equation de continuité (conservation de la masse)
dzzvv z
z
Élément de solvx
dz
dxxvv x
x
vz
dxx
0
dxdyvdzzvvdydzvdx
xvv z
zzx
xx
Débit d’eau entrant = Débit d’eau sortant
0
dxdydz
zv
xv zx
0)(
zv
xvdiv zxv Equation de continuité
31
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Ecoulement 2D
Equation de continuité
Equations principales
0 vv zx Equation de continuité0
zx
zx
Darcy
+hkv zz
hkv xx
y
zzz xxx
Equation d’écoulement0
zhk
zxhk
x zx zzxx
32
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Ecoulement 2D
• Cas général
Equation d’écoulement0
hkhk zx q
zzxx zx
• Cas de massifs de sol homogènes (k indépendant de (x,z))
02
2
2
2
zhk
xhk zx
Equation d’écoulement
pour matériaux homogènes
• Cas de massifs de sol homogènes et isotropes (k=scalaire identique dans toutes les directions)toutes les directions)
02
2
2
2
zh
xhh Laplace equation
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Ecoulement 2D : lignes de courant et équipotentiels
• Hyp:matériau homogène et isotrope, perméabilité k est un scalaire constantHyp:matériau homogène et isotrope, perméabilité k est un scalaire constant
• Fonction potentielle v
Equation de Laplace:• Fonction potentielle
0),(.),(
et zxhkzxv
z
vx
z
x
• Fonction courant
Sur une équipotentiel: 0).(00),(
eqeqeq dXgraddzz
dxx
dcstezx
xvz
Equation de Laplace:
0
zv
x
z
Sur une ligne de courant: 0).(00),(
lclclc dXgraddzz
dxx
dcstezx x
Par définition, on a: 0)()(0)().( eqlc dXdXgradgradgradgrad
l d ( ) l é l (h )LC:
(=cste)v(x,z)
34
Les lignes de courant (=cste) et les équipotentiels (h=cste)forment donc un réseau de lignes orthogonales entre elles
(=cste)
EQ: (h=cste)
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Ecoulement 2D : lignes de courant et équipotentiels
Non saturé au dessus de la nappe
Un exemple de réseau d’écoulement
eau
Non saturé au dessus de la nappe
Tapis drainant
Ligne de courant
=cst
Equipotentiel
• Détermination du potentiel h (donc du champ de pression uw) nécessite la
=cst
=cst
p ( p p w)résolution d’un problème aux limites défini par l’équation de Laplace, plus les conditions aux limites
• Le problème peut être formulé soit avec h soit avec u
35
• Le problème peut être formulé soit avec h, soit avec uw
• Méthodes numériques de résolution
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36
Conditions aux limites typiques
Interface sol‐eau
Interface sol-eauInterface sol eau
zuh w Dans le sol: zHu ww Dans la masse d’eau:w
La pression d’eau est continue à l’interface, on en déduit donc:
ww
H
Ainsi à l’interface sol-eau la charge hydraulique est constante !
Hz
zHh
w
w
i.e. a constant
Ainsi, à l interface sol eau, la charge hydraulique est constante !
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Conditions aux limites typiques
Interface sol‐matériau imperméable (ex. fond argileux par rapport à un sol sableux sus‐jacent)
v
n
L’eau ne peut pas entrer dans le milieu imperméable, la vitesse doit donc êt llèl à l’i t f ( th l à l l t t ) A t têtre parallèle à l’interface (ou orthogonal à la normale sortante). Autrement dit, l’interface doit correspondre à une ligne de courant.
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Conditions aux limites typiques
L
H
A B C D
zH
EF EF
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Effets d’écoulement sur les contraintes
Cas de l’absence d’écoulement (rappel chap.3)
h
z Soil
Unit weight of soil = satUnit weight of water = w
X XN
zh satwv )(N
Contrainte totale
Au niveau X-X:
zhu w )(N
zzu wsatvv )()()( NNN
Pression d’eau
Contrainte effective
wsat Poids volumique déjaugé39
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Effets d’écoulement sur les contraintes
Cas d’un écoulement descendant
h1Unit weight of soil = satUnit weight of water =
hM
h1
z
X X
Soil
Unit weight of water w
iw= force volumique due à l’écoulementN
h2
zzh satwv )()( 1NAu niveau X-X: Contrainte totalesatwv 1
2.)( hu ww N
hhzu wwsatwvv )()()()( 21NNN
Pression d’eau
Contrainte effective
zi
zzh
w
wwsat
Poids effectifAinsi le poids effectif est augmenté par iw. !
La contrainte effective est augmentée par iwz = wh. !40
Poids effectif
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Effets d’écoulement sur les contraintes
Cas d’un écoulement ascendant
Unit weight of soil = satUnit weight of water = w
h
g w
iw= force volumique due à l’écoulementh1
zSoil
h2
N
Au niveau X-X:
X XN
zzh satwv )()( 1N
)( hN
Contrainte totale
P i d’2.)( hu ww N
zzh
hhzu wwsatwvv
)()()()( 21NNN
Pression d’eau
Contrainte effective
zi
zzh
w
wwsat
Poids effectif
Ainsi le poids effectif est diminué par iw. !
La contrainte effective est diminuée par iwz = wh. ! 41
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Condition de boulance
Contrainte effective zi
Cas d’un écoulement ascendant:
Contrainte effective zi w
La condition critique est atteinte lorsque:
zi wc 0
i i di t h d li iti
wci ic : gradient hydraulique critique
Lorsque cette condition est atteinte, le sol devient instable. Il perd totalement sa résistance au cisaillement (donc sa portance), et se comporte comme un liquide
G 1
42
Remarque: dans le cas des sables et des graves, ic est voisin de 1. En effet, .
En prenant Gs=2.7 et e=0.7 (valeur moyenne) on a: ic=1e
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