NOM :
Prénom :
Mathématiques
DS 4
T ES-L
15/11/2017
Consignes : durée 3h00 - calculatrice autorisée - barème indicatif
Exercice 1 ( 4 points)
Un concessionnaire automobile s'est spécialisé dans la vente de deux types de véhicules uniquement : les
coupés sport et les petites citadines.
Lorsqu'il vend une voiture, le concessionnaire propose systématiquement au client l'option GPS intégré.
Après une étude sur plusieurs années de sa clientèle, le concessionnaire constate que :
- 43 % des clients achètent une citadine,
- 23 % des clients ayant choisi une citadine prennent l'option GPS intégré,
- 67 % des clients ayant choisi un coupé sport prennent l'option GPS intégré.
On choisit une fiche client au hasard dans les archives du concessionnaire, chaque fiche a la même
probabilité d'être choisie. On définit les événements suivants :
- C : "le client a acheté une citadine".
- G : "le client a équipé son véhicule de l'option GPS intégré".
Pour tout événement A, on note A l'événement contraire de A.
Toutes les probabilités seront arrondies à 10 4 près.
1. A l'aide des informations de l'énoncé, déterminer :
a. la probabilité P(C)) de l'événement C ;
b. la probabilité de l'événement G sachant C, notée PC (G).
2. Recopier et compléter l'arbre ci-dessous décrivant la situation.
3. Décrire par une phrase l'événement C G et calculer sa probabilité.
4. Montrer que la probabilité de l'événement G est 0,4808.
5. En déduire la probabilité conditionnelle PG (C) que le client ait acheté un coupé sachant qu'il a
opté pour l'option GPS intégré.
Exercice 2 ( 7 points)
Partie A. Etude d'une fonction
On considère la fonction définie sur l'intervalle I = [0,3 ; 6] par .
On note sa courbe représentative dans un repère du plan et sa fonction dérivée.
1. Calculer pour tout réel de l'intervalle I.
2. On admet que, pour tout réel de l'intervalle I, on peut écrire
a. Etudier le signe de sur l'intervalle I.
b. En déduire le tableau de variation de sur l'intervalle I.
3. a. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant :
b. Construire dans un repère orthogonal la courbe de la fonction f.
Unités graphiques : 1 cm pour 0,5 unité sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 2 unités sur l'axe
des ordonnées.
Partie B. Application à l'économie
Une entreprise agroalimentaire peut produire entre 0,3 et 6 tonnes de farine biologique par jour. Le
coût moyen de production d'une tonne de farine biologique pour tonnes produites est , où est la
fonction définie dans la partie A.
Ce coût moyen est exprimé en centaines d'euros.
1. En utilisant les résultats de la partie A, déterminer le coût moyen minimal exprimé en centaines
d'euros.
2. La tonne de farine biologique est vendue 20 centaines d'euros.
a. Calculer la recette correspondant à la vente de 3 tonnes de farine.
b. Calculer le coût total de production de 3 tonnes de farine.
c. En déduire le bénéfice réalisé par l'entreprise pour la production et la vente de 3 tonnes de
farine.
3. On admet que l'entreprise vent toute sa production.
On rappelle que l'entreprise réalise un profit lorsque le prix de vente d'une tonne est supérieur
au coût moyen de production d'une tonne.
A l'aide du graphique tracé dans la partie A, déterminer les quantités produites pour lesquelles
l'entreprise réalise un profit.
Exercice 3 ( 6 points)
Une grande université, en pleine croissance d'effectifs, accueillait 27 500 étudiants en
septembre 2016.
Le président de l'université est inquiet car il sait que, malgré une gestion optimale des locaux et
une répartition des étudiants sur les divers sites de son université, il ne pourra pas accueillir
plus de 33 000 étudiants.
Une étude statistique lui permet d'élaborer un modèle de prévisions selon lequel chaque année :
- 150 étudiants démissionnent encours d'année universitaire (entre le 1er septembre et le
30 juin) ;
- les effectifs constatés à la rentrée de septembre connaissent une augmentation de 4 %
par rapport à ceux du moins de juin qui précède.
Pour tout entier naturel n, on note un le nombre d'étudiants estimé selon ce modèle à la rentrée
de septembre 2016 + n. On a donc u0 = 27 500.
1. a. Estimer le nombre d'étudiants en juin 2017.
b. Estimer le nombre d'étudiants à la rentrée de septembre 2017.
2. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a un 1 =1,04un – 156.
3. Recopier et compléter les lignes L5, L6, L7 et L9 de l'algorithme suivant afin qu'il donne
l'année à partir de laquelle le nombre d'étudiants à accueillir dépassera la capacité
maximale de l'établissement. L1 Variables : n est un nombre entier naturel
L2
U est un nombre réel
L3 Traitement : n prend la valeur 0
L4
U prend la valeur 27 500
L5
Tant que U⩽…………faire
L6
n prend la valeur …
L7
U prend la valeur …
L8
Fin Tant que
L9 Sortie : Afficher …
4. a. On fait fonctionner cet algorithme pas à pas.
Recopier le tableau suivant et le compléter en ajoutant le nombre nécessaire de colonnes ;
on arrondira les valeurs de U à l'unité.
Initialisation Étape 1 …
Valeur de n 0 … …
Valeur de U 27 500 … …
b. Donner la valeur affichée en sortie de cet algorithme.
5. On cherche à calculer explicitement le terme général un en fonction de n.
Pour cela, on note ( )vn la suite définie, pour tout entier naturel n, par vn = un − 3 900.
a. Montrer que ( )vn est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier
terme.
b. En déduire que, pour tout entier naturel n, un = 23 600 × 1,04n + 3 900.
c. Déterminer la limite de la suite ( )un et en donner une interprétation dans le contexte
de l'exercice.
Exercice 4 (3 points)
Un étudiant en informatique crée un jeu vidéo sur le thème "Robin des bois". Dans une des séquences du
jeu, un archer suspendu à un câble doit tirer et atteindre le centre d'une cible située au sol.
On a modélisé la trajectoire du personnage par la courbe représentative de la fonction f telle que
pour 0,5 9.
Lorsque le joueur tire, la flèche suit une trajectoire correspondant à la tangente à la courbe au point où
se trouve l'archer.
Où placer la cible pour qu'un joueur atteigne son centre lorsqu'il tire du point d'abscisse 2 ?
Mathématiques
DS 4- CORRIGE
T ES-L
15/11/2017
Exercice 1 ( 4 points)
6. a) 43% des clients achètent une citadine, donc P(C) 43
100 0,43
b) 23 % des clients ayant choisi une citadine prennent l'option GPS intégré, donc
PC (G) 23
100 0,23
7.
8. C G est l'événement "le client a acheté une citadine ET l'option GPS intégré"
P(C G) = P(C) PC (G) = 0,43 0,23 = 0,0989
9. C et C forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales
P(G) = P(C G)+P(C G) = 0,0989 + 0,57 0,67=0,0989 + 0,3819 = 0,4808
10. PG (C) P(C G)
P(G)
0,0989
0,4808 0,2057
Exercice 2 ( 7 points)
Partie A. Etude d'une fonction
On considère la fonction définie sur l'intervalle I = [0,3 ; 6] par .
4. Calcul de pour tout réel de l'intervalle I.
f est du type u v avec et
5. On admet que, pour tout réel de l'intervalle I, on peut écrire
0,43
0,33
0,23
0,57 0,67
0,77
C G
C G
P(G)
c. Etude du signe de sur l'intervalle I.
(signe évident), donc le signe de est celui de
d. En déduire le tableau de variation de sur l'intervalle I.
6. a. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant :
c. Construire dans un repère orthogonal la courbe de la fonction f.
Unités graphiques : 1 cm pour 0,5 unité sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 2 unités sur l'axe
des ordonnées.
Partie B. Application à l'économie
Une entreprise agroalimentaire peut produire entre 0,3 et 6 tonnes de farine biologique par jour. Le
coût moyen de production d'une tonne de farine biologique pour tonnes produites est , où est la
fonction définie dans la partie A.
Ce coût moyen est exprimé en centaines d'euros.
4. D'après le tableau de variation de la fonction f de la question 2. b) de la partie A, on peut
déterminer le coût moyen minimal qui est égal à 12 100= 1 200 euros
5. La tonne de farine biologique est vendue 20 centaines d'euros.
d. 3 20=60
La recette correspondant à la vente de 3 tonnes de farine est égale à 6 000 euros.
e. f(3)×3=
4×3+
9
3 ×3=15×3=45
Le coût total de production de 3 tonnes de farine est égal à 4 500 euros.
f. Bénéfice réalisé par l'entreprise pour la production et la vente de 3 tonnes de farine.
6 000 - 4 500 =1 500 euros
6. A l'aide du graphique tracé dans la partie A, l'entreprise réalise un profit lorsque la quantité
produite est comprise entre 0,5 tonnes et 4,5 tonnes.
Exercice 3 ( 6 points) Baccalauréat ES/L Amérique du Nord \ 2 juin 2017
Une grande université, en pleine croissance d'effectifs, accueillait 27 500 étudiants en
septembre 2016.
Le président de l'université est inquiet car il sait que, malgré une gestion optimale des locaux et
une répartition des étudiants sur les divers sites de son université, il ne pourra pas accueillir
plus de 33 000 étudiants.
Une étude statistique lui permet d'élaborer un modèle de prévisions selon lequel chaque année :
- 150 étudiants démissionnent encours d'année universitaire (entre le 1er septembre et le
30 juin) ;
- les effectifs constatés à la rentrée de septembre connaissent une augmentation de 4 %
par rapport à ceux du moins de juin qui précède.
Pour tout entier naturel n, on note un le nombre d'étudiants estimé selon ce modèle à la rentrée
de septembre 2016 + n. On a donc u0 = 27 500.
6. a. Estimer le nombre d'étudiants en juin 2017.
27 500 – 150 =27 350 0,5 pt
e. Estimer le nombre d'étudiants à la rentrée de septembre 2017.
27 350 (1+4/100)=27 350 1,04=28 444
7. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a un 1 =1,04un – 156. 1 pt
soit un le nombre d'étudiants en septembre 2016 n
en juin 2016+(n+1), il reste un 150 étudiants
en septembre 2016+(n+1), il y a un 1 étudiants avec
un 1 ( )un 150 1,04 un 1,04 150 1,04 1,04un 156
8. Recopier et compléter les lignes L5, L6, L7 et L9 de l'algorithme suivant afin qu'il donne
l'année à partir de laquelle le nombre d'étudiants à accueillir dépassera la capacité
maximale de l'établissement. 0,5 pt L1 Variables : n est un nombre entier naturel
L2
U est un nombre réel
L3 Traitement : n prend la valeur 0
L4
U prend la valeur 27 500
L5
Tant que U⩽33000 faire
L6
n prend la valeur n+1
L7
U prend la valeur 1.04*u-156
L8
Fin Tant que
L9 Sortie : Afficher n
9. a. On fait fonctionner cet algorithme pas à pas. 0,5 pt
Initialisation Étape 1 Étape 2 Étape 3 Etape 4 Etape 5 Etape 6
Valeur de n
0 1 2 3 4 5 6
Valeur de U
27 500 28444 29426 30447 31509 32613 33761
b. Donner la valeur affichée en sortie de cet algorithme. n=6 0,5 pt
A partir de 2022, le nombre d'étudiants sera supérieur à 33 000.
10. On cherche à calculer explicitement le terme général un en fonction de n.
Pour cela, on note ( )vn la suite définie, pour tout entier naturel n, par vn = un − 3 900.
a. Montrons que ( )vn est une suite géométrique 1 pt
vn 1 un 1 3900 1,04un 156 3900 1,04un 4056 1,04
un 4056
1,04
1,04( )un 3900 1,04vn
vn 1 1,04vn
(vn) est une suite géométrique de raison q=1,04 et de premier terme
v0 u0 3900 23600
b. pour tout entier naturel n, vn v0
or un vn 3900
donc un = 23 600 × 1,04n + 3 900. 1 pt
c. Déterminer la limite de la suite ( )un et en donner une interprétation dans le
contexte de l'exercice.
1,04>1 donc la suite géométrique (1,04)n a pour limite + 1 pt
par produit, la suite ( )23600 1,04n a pour limite +
par somme, la limite de la suite ( )un est +
A long terme, le nombre d'étudiants tendra vers l'infini
Exercice 4 ( 3 points)
Un étudiant en informatique crée un jeu vidéo sur le thème "Robin des bois". Dans une des séquences du
jeu, un archer suspendu à un câble doit tirer et atteindre le centre d'une cible située au sol.
On a modélisé la trajectoire du personnage par la courbe d'équation : pour 0,5 9.
Lorsque le joueur tire, la flèche suit une trajectoire correspondant à la tangente à la courbe au point où
se trouve l'archer.
On cherche l'équation de la tangente T2 à f au point d'abscisse 2, avec