NOM :

Prénom :

Mathématiques

DS 4

T ES-L

15/11/2017

Consignes : durée 3h00 - calculatrice autorisée - barème indicatif

Exercice 1 ( 4 points)

Un concessionnaire automobile s'est spécialisé dans la vente de deux types de véhicules uniquement : les

coupés sport et les petites citadines.

Lorsqu'il vend une voiture, le concessionnaire propose systématiquement au client l'option GPS intégré.

Après une étude sur plusieurs années de sa clientèle, le concessionnaire constate que :

- 43 % des clients achètent une citadine,

- 23 % des clients ayant choisi une citadine prennent l'option GPS intégré,

- 67 % des clients ayant choisi un coupé sport prennent l'option GPS intégré.

On choisit une fiche client au hasard dans les archives du concessionnaire, chaque fiche a la même

probabilité d'être choisie. On définit les événements suivants :

- C : "le client a acheté une citadine".

- G : "le client a équipé son véhicule de l'option GPS intégré".

Pour tout événement A, on note A l'événement contraire de A.

Toutes les probabilités seront arrondies à 10 4 près.

1. A l'aide des informations de l'énoncé, déterminer :

a. la probabilité P(C)) de l'événement C ;

b. la probabilité de l'événement G sachant C, notée PC (G).

2. Recopier et compléter l'arbre ci-dessous décrivant la situation.

3. Décrire par une phrase l'événement C G et calculer sa probabilité.

4. Montrer que la probabilité de l'événement G est 0,4808.

5. En déduire la probabilité conditionnelle PG (C) que le client ait acheté un coupé sachant qu'il a

opté pour l'option GPS intégré.

Exercice 2 ( 7 points)

Partie A. Etude d'une fonction

On considère la fonction définie sur l'intervalle I = [0,3 ; 6] par .

On note sa courbe représentative dans un repère du plan et sa fonction dérivée.

1. Calculer pour tout réel de l'intervalle I.

2. On admet que, pour tout réel de l'intervalle I, on peut écrire

a. Etudier le signe de sur l'intervalle I.

b. En déduire le tableau de variation de sur l'intervalle I.

3. a. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant :

b. Construire dans un repère orthogonal la courbe de la fonction f.

Unités graphiques : 1 cm pour 0,5 unité sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 2 unités sur l'axe

des ordonnées.

Partie B. Application à l'économie

Une entreprise agroalimentaire peut produire entre 0,3 et 6 tonnes de farine biologique par jour. Le

coût moyen de production d'une tonne de farine biologique pour tonnes produites est , où est la

fonction définie dans la partie A.

Ce coût moyen est exprimé en centaines d'euros.

1. En utilisant les résultats de la partie A, déterminer le coût moyen minimal exprimé en centaines

d'euros.

2. La tonne de farine biologique est vendue 20 centaines d'euros.

a. Calculer la recette correspondant à la vente de 3 tonnes de farine.

b. Calculer le coût total de production de 3 tonnes de farine.

c. En déduire le bénéfice réalisé par l'entreprise pour la production et la vente de 3 tonnes de

farine.

3. On admet que l'entreprise vent toute sa production.

On rappelle que l'entreprise réalise un profit lorsque le prix de vente d'une tonne est supérieur

au coût moyen de production d'une tonne.

A l'aide du graphique tracé dans la partie A, déterminer les quantités produites pour lesquelles

l'entreprise réalise un profit.

Exercice 3 ( 6 points)

Une grande université, en pleine croissance d'effectifs, accueillait 27 500 étudiants en

septembre 2016.

Le président de l'université est inquiet car il sait que, malgré une gestion optimale des locaux et

une répartition des étudiants sur les divers sites de son université, il ne pourra pas accueillir

plus de 33 000 étudiants.

Une étude statistique lui permet d'élaborer un modèle de prévisions selon lequel chaque année :

- 150 étudiants démissionnent encours d'année universitaire (entre le 1er septembre et le

30 juin) ;

- les effectifs constatés à la rentrée de septembre connaissent une augmentation de 4 %

par rapport à ceux du moins de juin qui précède.

Pour tout entier naturel n, on note un le nombre d'étudiants estimé selon ce modèle à la rentrée

de septembre 2016 + n. On a donc u0 = 27 500.

1. a. Estimer le nombre d'étudiants en juin 2017.

b. Estimer le nombre d'étudiants à la rentrée de septembre 2017.

2. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a un 1 =1,04un – 156.

3. Recopier et compléter les lignes L5, L6, L7 et L9 de l'algorithme suivant afin qu'il donne

l'année à partir de laquelle le nombre d'étudiants à accueillir dépassera la capacité

maximale de l'établissement. L1 Variables : n est un nombre entier naturel

L2

U est un nombre réel

L3 Traitement : n prend la valeur 0

L4

U prend la valeur 27 500

L5

Tant que U⩽…………faire

L6

n prend la valeur …

L7

U prend la valeur …

L8

Fin Tant que

L9 Sortie : Afficher …

4. a. On fait fonctionner cet algorithme pas à pas.

Recopier le tableau suivant et le compléter en ajoutant le nombre nécessaire de colonnes ;

on arrondira les valeurs de U à l'unité.

Initialisation Étape 1 …

Valeur de n 0 … …

Valeur de U 27 500 … …

b. Donner la valeur affichée en sortie de cet algorithme.

5. On cherche à calculer explicitement le terme général un en fonction de n.

Pour cela, on note ( )vn la suite définie, pour tout entier naturel n, par vn = un − 3 900.

a. Montrer que ( )vn est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier

terme.

b. En déduire que, pour tout entier naturel n, un = 23 600 × 1,04n + 3 900.

c. Déterminer la limite de la suite ( )un et en donner une interprétation dans le contexte

de l'exercice.

Exercice 4 (3 points)

Un étudiant en informatique crée un jeu vidéo sur le thème "Robin des bois". Dans une des séquences du

jeu, un archer suspendu à un câble doit tirer et atteindre le centre d'une cible située au sol.

On a modélisé la trajectoire du personnage par la courbe représentative de la fonction f telle que

pour 0,5 9.

Lorsque le joueur tire, la flèche suit une trajectoire correspondant à la tangente à la courbe au point où

se trouve l'archer.

Où placer la cible pour qu'un joueur atteigne son centre lorsqu'il tire du point d'abscisse 2 ?

Mathématiques

DS 4- CORRIGE

T ES-L

15/11/2017

Exercice 1 ( 4 points)

6. a) 43% des clients achètent une citadine, donc P(C) 43

100 0,43

b) 23 % des clients ayant choisi une citadine prennent l'option GPS intégré, donc

PC (G) 23

100 0,23

7.

8. C G est l'événement "le client a acheté une citadine ET l'option GPS intégré"

P(C G) = P(C) PC (G) = 0,43 0,23 = 0,0989

9. C et C forment une partition de l'univers.

D'après la formule des probabilités totales

P(G) = P(C G)+P(C G) = 0,0989 + 0,57 0,67=0,0989 + 0,3819 = 0,4808

10. PG (C) P(C G)

P(G)

0,0989

0,4808 0,2057

Exercice 2 ( 7 points)

Partie A. Etude d'une fonction

On considère la fonction définie sur l'intervalle I = [0,3 ; 6] par .

4. Calcul de pour tout réel de l'intervalle I.

f est du type u v avec et

5. On admet que, pour tout réel de l'intervalle I, on peut écrire

0,43

0,33

0,23

0,57 0,67

0,77

C G

C G

P(G)

c. Etude du signe de sur l'intervalle I.

(signe évident), donc le signe de est celui de

d. En déduire le tableau de variation de sur l'intervalle I.

6. a. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant :

c. Construire dans un repère orthogonal la courbe de la fonction f.

Unités graphiques : 1 cm pour 0,5 unité sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 2 unités sur l'axe

des ordonnées.

Partie B. Application à l'économie

Une entreprise agroalimentaire peut produire entre 0,3 et 6 tonnes de farine biologique par jour. Le

coût moyen de production d'une tonne de farine biologique pour tonnes produites est , où est la

fonction définie dans la partie A.

Ce coût moyen est exprimé en centaines d'euros.

4. D'après le tableau de variation de la fonction f de la question 2. b) de la partie A, on peut

déterminer le coût moyen minimal qui est égal à 12 100= 1 200 euros

5. La tonne de farine biologique est vendue 20 centaines d'euros.

d. 3 20=60

La recette correspondant à la vente de 3 tonnes de farine est égale à 6 000 euros.

e. f(3)×3=

4×3+

9

3 ×3=15×3=45

Le coût total de production de 3 tonnes de farine est égal à 4 500 euros.

f. Bénéfice réalisé par l'entreprise pour la production et la vente de 3 tonnes de farine.

6 000 - 4 500 =1 500 euros

6. A l'aide du graphique tracé dans la partie A, l'entreprise réalise un profit lorsque la quantité

produite est comprise entre 0,5 tonnes et 4,5 tonnes.

Exercice 3 ( 6 points) Baccalauréat ES/L Amérique du Nord \ 2 juin 2017

Une grande université, en pleine croissance d'effectifs, accueillait 27 500 étudiants en

septembre 2016.

Le président de l'université est inquiet car il sait que, malgré une gestion optimale des locaux et

une répartition des étudiants sur les divers sites de son université, il ne pourra pas accueillir

plus de 33 000 étudiants.

Une étude statistique lui permet d'élaborer un modèle de prévisions selon lequel chaque année :

- 150 étudiants démissionnent encours d'année universitaire (entre le 1er septembre et le

30 juin) ;

- les effectifs constatés à la rentrée de septembre connaissent une augmentation de 4 %

par rapport à ceux du moins de juin qui précède.

Pour tout entier naturel n, on note un le nombre d'étudiants estimé selon ce modèle à la rentrée

de septembre 2016 + n. On a donc u0 = 27 500.

6. a. Estimer le nombre d'étudiants en juin 2017.

27 500 – 150 =27 350 0,5 pt

e. Estimer le nombre d'étudiants à la rentrée de septembre 2017.

27 350 (1+4/100)=27 350 1,04=28 444

7. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a un 1 =1,04un – 156. 1 pt

soit un le nombre d'étudiants en septembre 2016 n

en juin 2016+(n+1), il reste un 150 étudiants

en septembre 2016+(n+1), il y a un 1 étudiants avec

un 1 ( )un 150 1,04 un 1,04 150 1,04 1,04un 156

8. Recopier et compléter les lignes L5, L6, L7 et L9 de l'algorithme suivant afin qu'il donne

l'année à partir de laquelle le nombre d'étudiants à accueillir dépassera la capacité

maximale de l'établissement. 0,5 pt L1 Variables : n est un nombre entier naturel

L2

U est un nombre réel

L3 Traitement : n prend la valeur 0

L4

U prend la valeur 27 500

L5

Tant que U⩽33000 faire

L6

n prend la valeur n+1

L7

U prend la valeur 1.04*u-156

L8

Fin Tant que

L9 Sortie : Afficher n

9. a. On fait fonctionner cet algorithme pas à pas. 0,5 pt

Initialisation Étape 1 Étape 2 Étape 3 Etape 4 Etape 5 Etape 6

Valeur de n

0 1 2 3 4 5 6

Valeur de U

27 500 28444 29426 30447 31509 32613 33761

b. Donner la valeur affichée en sortie de cet algorithme. n=6 0,5 pt

A partir de 2022, le nombre d'étudiants sera supérieur à 33 000.

10. On cherche à calculer explicitement le terme général un en fonction de n.

Pour cela, on note ( )vn la suite définie, pour tout entier naturel n, par vn = un − 3 900.

a. Montrons que ( )vn est une suite géométrique 1 pt

vn 1 un 1 3900 1,04un 156 3900 1,04un 4056 1,04

un 4056

1,04

1,04( )un 3900 1,04vn

vn 1 1,04vn

(vn) est une suite géométrique de raison q=1,04 et de premier terme

v0 u0 3900 23600

b. pour tout entier naturel n, vn v0

or un vn 3900

donc un = 23 600 × 1,04n + 3 900. 1 pt

c. Déterminer la limite de la suite ( )un et en donner une interprétation dans le

contexte de l'exercice.

1,04>1 donc la suite géométrique (1,04)n a pour limite + 1 pt

par produit, la suite ( )23600 1,04n a pour limite +

par somme, la limite de la suite ( )un est +

A long terme, le nombre d'étudiants tendra vers l'infini

Exercice 4 ( 3 points)

Un étudiant en informatique crée un jeu vidéo sur le thème "Robin des bois". Dans une des séquences du

jeu, un archer suspendu à un câble doit tirer et atteindre le centre d'une cible située au sol.

On a modélisé la trajectoire du personnage par la courbe d'équation : pour 0,5 9.

Lorsque le joueur tire, la flèche suit une trajectoire correspondant à la tangente à la courbe au point où

se trouve l'archer.

On cherche l'équation de la tangente T2 à f au point d'abscisse 2, avec