N° d‟ordre : 4157
THÈSE
PRÉSENTÉE A
L’UNIVERSITÉ BORDEAUX 1
ÉCOLE DOCTORALE DES SCIENCES PHYSIQUES ET DE L‟INGENIEUR
Par Julien PETITJEAN
POUR OBTENIR LE GRADE DE
DOCTEUR
SPÉCIALITÉ : AUTOMATIQUE, PRODUCTIQUE, SIGNAL ET IMAGE
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Contributions au traitement spatio-temporel fondé sur un modèle autorégressif
vectoriel des interférences pour améliorer la détection de petites cibles lentes
dans un environnement de fouillis hétérogène Gaussien et non Gaussien.
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Soutenue le 6 Décembre 2010.
Devant la commission d‟examen formée de :
M. LE CHEVALIER François Professeur à l‟Université Delft Président
Mme MARCOS Sylvie Directrice de recherche au CNRS Rapporteur
M. FORSTER Philippe Professeur à l‟Université Paris X Rapporteur
M. BERTHOUMIEU Yannick Professeur à l‟IMS, Bordeaux Rapporteur de séance
M. NAJIM Mohamed Professeur à l‟IMS, Bordeaux
M. MONTIGNY Richard Chef de département DT de TSA
M. GRIVEL Eric MdC (HDR) à l‟IMS, Bordeaux Directeur de thèse
Sommaire Page 3
SOMMAIRE
Glossaire ............................................................................................................... 7
Notations ............................................................................................................... 9
Introduction ....................................................................................................... 13
Chapitre 1 : Domaine d’application : le radar ............................................... 17
1.1 Généralités sur le traitement radar et équations définissant le radar à
impulsions ........................................................................................................................... 17
1.1.1 Notations et configuration du système radar ...................................................... 17
1.1.2 Dimensions en distance et en mesure Doppler ................................................... 20
1.1.3 Dimension spatiale ............................................................................................. 25
1.2 Caractérisation et simulation des différentes composantes des données radar ......... 27
1.2.1 Cube de données ou « data cube » ..................................................................... 27
1.2.2 Caractérisation de la cible et du bruit thermique ................................................ 28
1.2.3 Caractérisation et simulation du fouillis ............................................................. 29
1.3 Conclusions : intérêt du STAP dans le domaine radar .............................................. 41
Chapitre 2 : Space-Time Adaptive Processing : théorie et état de l’art ...... 43
2.1 Détection dite non adaptative .................................................................................... 43
2.1.1 Détection classique ............................................................................................. 43
2.1.2 Détecteurs non adaptatifs ................................................................................... 45
2.2 Etat de l‟art sur le STAP ............................................................................................ 47
2.2.1 Première technique dite SMI (Sample Matrix Inversion) .................................. 47
2.2.2 Détecteurs adaptatifs .......................................................................................... 49
2.2.3 Sélection des données d‟entraînement ............................................................... 51
2.2.4 Algorithmes permettant la réduction du domaine d‟entraînement ..................... 54
2.2.5 Algorithmes en milieu non Gaussien ................................................................. 61
2.2.6 Techniques de compensation des variations en distance du fouillis .................. 62
2.2.7 Utilisation de l‟information a priori : le KA-STAP ........................................... 63
2.2.8 Bilan ................................................................................................................... 63
Chapitre 3 : Contributions aux approches fondées sur la modélisation
autorégressive vectorielle des interférences .................................................... 65
3.1 Etat de l‟art sur les méthodes d‟estimations des paramètres AR ............................... 65
3.2 Etat de l‟art sur les méthodes d‟estimation des matrices AR .................................... 68
3.2.1 Techniques d‟estimation des matrices AR à partir d‟un processus VAR .......... 68
3.2.2 Techniques d‟estimation des matrices AR à partir d‟un processus VAR
perturbé par un bruit blanc vectoriel ............................................................................... 70
Sommaire Page 4
3.3 Commentaires sur la détermination de l‟ordre p du modèle...................................... 71
3.4 Contributions sur l‟estimation des matrices AR ........................................................ 72
3.4.1 Méthodes par bloc .............................................................................................. 72
3.4.2 Méthodes récursives ........................................................................................... 79
3.4.3 Bilan ................................................................................................................... 87
3.5 Implémentation et coût calculatoire .......................................................................... 87
3.5.1 Implémentation des algorithmes récursifs fondés sur une représentation du
système dans l‟espace d‟état ........................................................................................... 87
3.5.2 Implémentation réduisant le coût calculatoire du PAMF ................................... 89
3.5.3 Coût calculatoire du PAMF ................................................................................ 90
3.6 Etude comparative : résultats sur des données VAR synthétiques ............................ 92
3.6.1 En milieu Gaussien ............................................................................................. 93
3.6.2 En milieu non Gaussien .................................................................................... 100
3.7 Conclusions ............................................................................................................. 101
Chapitre 4 : Etude comparative dans un contexte radar ............................ 105
4.1 Application sur des données synthétiques ............................................................... 105
4.1.1 Présentation des données .................................................................................. 105
4.1.2 Cas Gaussien .................................................................................................... 106
4.1.3 Cas non Gaussien ............................................................................................. 109
4.2 Application sur des données semi-synthétiques fournies par le Celar .................... 111
4.2.1 Présentation des données .................................................................................. 111
4.2.2 Scénario 1 : cas Gaussien ................................................................................. 111
4.2.3 MTO de Lombardo [LOM03] .......................................................................... 116
4.2.4 Scénario 2 : cas non Gaussien .......................................................................... 118
4.3 Application sur des données réelles fournies par THALES .................................... 120
4.3.1 Présentation des données .................................................................................. 120
4.3.2 Filtrage et probabilité de détection ................................................................... 120
4.4 Conclusions ............................................................................................................. 122
Conclusions et perspectives ............................................................................ 123
Annexe A : Fonctionnement du système radar ............................................ 127
Annexe B : Bilan de liaison radar .................................................................. 130
Annexe C : Notion d’ambiguïté distance ...................................................... 131
Annexe D : Modèle GIT [HOR78] ................................................................. 132
Annexe E : Rappel sur les densités de probabilité ....................................... 134
Annexe F : Méthode EIV récursive ............................................................... 138
Sommaire Page 5
Références ........................................................................................................ 142
Glossaire Page 7
Glossaire
aBORD asymptotic Bayesian Optimum Radar Detector
ACE Adaptive Coherent Estimator
AESA Active Electronically Scanned Array
AMF Adaptive Matched Filter
ANMF Adaptive Normalized Matched Filter
AR AutoRegressif
BORD Bayesian Optimum Radar Detector
CA-CFAR Cell-Averaging Constant False Alarm Radar
CAN Convertisseur Analogique Numérique
CFAR Constant False Alarm Radar
CPI Coherent Processing Interval
CST Case Sous Test
DAP Démodulateur Amplitude Phase
DBU Derivative Based Updating
DSP Densité Spectrale de Puissance
GCM General Clutter Model
GIP Generalized Inner Product
GLRT Generalized Likelihood Ratio Test
IMC Intrinsic Clutter Motion
IP Inner Product
KA-STAP Knowledge-Aided Space Time Adaptive Processing
NMF Normalized Matched Filter
OGD Optimum Gaussian Detector
PAMF Parametric Adaptive Matched Filter
PAST Projection Approximate Subspace Tracking
PF Méthode du Point Fixe
PSD Power Selected Deemphasis
PST Power Selected Training
RSB Rapport Signal sur Bruit
RSBI Rapport Signal sur Bruit-plus-Interférences
SCM Sample Covariance Matrix
SER Surface Equivalente Radar
SIRV Spherically Invariant Random Vector
Glossaire Page 8
SMI Sample Matrix Inversion
STAP Space Time Adaptive Processing
STAR Space Time AutoRegressive
TFAC Taux de Fausses Alarmes Constant
TRVG Test du Rapport de Vraisemblance Généralisé
ULA Uniform Linear Array
VAR AutoRegressif Vectoriel
Glossaire Page 9
Notations
Paramètres du radar
Fréquence porteuse du radar
Longueur d‟onde émise par le radar
Ouverture angulaire en azimut de l‟antenne
Résolution angulaire du radar
Largeur de l‟impulsion émise
Largeur de bande du récepteur
Partie réelle de l‟impulsion émise
Enveloppe complexe de l‟impulsion émise
Signal réel reçu par un capteur élémentaire de l‟antenne
Enveloppe complexe du signal reçu
Période d‟échantillonnage à la sortie du récepteur radar
Résolution distance du radar
Durée entre deux impulsions
Température du radar
Facteur de bruit du circuit électronique du récepteur radar
Puissance crête de l‟émetteur radar
Gain en émission d‟un capteur élémentaire
Gain en réception d‟un capteur élémentaire
Pertes dites « hyper »
Paramètres du porteur et de l’obstacle
Altitude du porteur
Vitesse du porteur
Vitesse d‟un obstacle ponctuel
Vitesse radiale relative entre le porteur et l‟obstacle
Données radar
Nombre d‟impulsions comprises dans le temps de traitement cohérent
Nombre de capteurs élémentaires de l‟antenne
Nombre de voies à la sortie du récepteur radar
Nombre de cases distance pour une impulsion
Glossaire Page 10
Nombre de cases d‟entraînement
Nombre d‟éléments équi-répartis en azimut pour une case distance
donnée
Indice de la case distance sous test
Echantillon de la case distance reçu lors de l‟impulsion et capté par
le capteur .
Vecteur de taille regroupant les échantillons de la case distance
sous test
{ }
Vecteurs de taille regroupant les échantillons des données
d‟entraînement
Vecteur de taille représentant le bruit thermique (noise)
Vecteur de taille représentant le fouillis (clutter)
Vecteur de taille représentant l‟ensemble des interférences, à
savoir le bruit thermique et le fouillis
Matrice de covariance de taille de la cible
Matrice de covariance de taille du bruit thermique
Variance du bruit thermique
Matrice de covariance de taille du fouillis
Matrice de covariance de taille de l‟ensemble des
interférences
Coefficient de rétrodiffusion moyen
Paramètre de forme de la distribution K
Composante du SIRV appelée texture
Etalement angulaire d‟un élément du sol
Ecart en distance séparant deux échos de sol correspondant à deux
échantillons consécutifs du signal reçu
Paramètres et variables du STAP
Probabilité de détection
Probabilité de fausses alarmes
Fréquence Doppler
Fréquence spatiale
Vecteur de pointage Doppler
Vecteur de pointage spatial pour les capteurs élémentaires
Vecteur de pointage spatial pour les voies de réception
Glossaire Page 11
Vecteur de taille représentant la signature spatio-temporelle de
la cible
Réponse impulsionnelle finie du filtre non adaptatif de la case distance
sous test
Sortie du filtre adapté
Réponse impulsionnelle finie de la méthode SMI
Estimateur de la matrice de covariance des interférences, appelé Sample
Covariance Matrix
Estimateur de la matrice de covariance des interférences, appelé
Normalized Sample Covariance Matrix
Estimateur de la matrice de covariance des interférences à partir de la
méthode du point fixe
Configuration géométrique
Angle azimut
Angle élévation
Repère Doppler
Repère Antenne
Vecteur directionnel unitaire
Angle azimut de dépointage de l‟antenne
Modèle AR
Ordre du modèle
{ } Paramètres AR d‟un processus AR d‟ordre
Vecteur de taille regroupant les paramètres AR { } d‟un
processus AR d‟ordre
Processus générateur aléatoire Gaussien centré de variance dans le
modèle AR
Modèle VAR
Ordre du modèle
{ } Matrices AR d‟un processus AR d‟ordre
Matrice de taille regroupant les matrices AR { } d‟un
processus AR d‟ordre
Processus générateur vectorielle aléatoire Gaussien centré de matrice de
covariance dans le modèle VAR
Glossaire Page 12
Représentation dans l’espace d’état
Vecteur de taille regroupant les coefficients des matrices AR
Vecteur d‟état étendu de taille
Estimation du vecteur d‟état à l‟instant reposant sur observations
Matrice de covariance des erreurs d‟estimation a priori
Matrice de covariance des erreurs d‟estimation a priori
Gain de Kalman
Points sigma a priori
Points sigma a posteriori
Constantes
Vitesse de la lumière
Constante de Boltzmann
Chapitre 1 : Domaine d‟application : le radar Page 13
Introduction
A l‟origine, le radar, acronyme anglais de « RAdio Detection And Ranging », a été conçu
pour remplir deux fonctions : la détection d‟une cible et l‟estimation de la distance séparant le
radar de celle-ci. Son principe repose sur l‟émission d‟ondes électromagnétiques qui, après
réflexion sur tout obstacle, sont captées par un récepteur pour être traitées. Depuis de
nombreuses années, le radar est capable d‟estimer d‟autres paramètres liés à la cible tels que
sa vitesse radiale relative et sa localisation angulaire, à savoir l‟azimut et l‟élévation. Pour
cette raison, il est utilisé dans de nombreux domaines : la surveillance du trafic aérien ou
routier, la météorologie, l‟automobile, l‟astronomie, etc. Dans cette thèse, le radar est
employé pour des missions de surveillance maritime à partir d‟un porteur tel qu‟un avion de
surveillance, un avion d‟arme, un drone ou encore un hélicoptère.
Pour un radar aéroporté, le signal reçu par l‟antenne comprend le signal rétrodiffusé par des
cibles éventuelles noyé dans des interférences. Ces dernières sont composées du bruit
thermique lié au récepteur du système, des échos de terre et ceux de mer que l‟on appelle
fouillis1 et d‟éventuels brouilleurs que l‟on ne traite pas dans cette thèse. Ces interférences
viennent dégrader la fonction première du radar, c‟est-à-dire la détection. En particulier les
cibles dites lentes sont difficiles à dissocier du fouillis. Elles présentent une distance, une
vitesse relative ou une localisation proche de celle du fouillis. Il s‟agit donc de tenir compte
de plusieurs caractéristiques de la cible et de les distinguer suffisamment de celles des
interférences pour effectuer une détection « la plus robuste possible ». Les traitements spatio-
temporels adaptatifs ou STAP (Space-Time Adaptive Processing) entrent dans cette stratégie
de détection. Ils réfèrent à l‟ensemble des traitements adaptatifs appliqués à des signaux reçus
par un système radar et utilisant les paramètres de vitesse et de localisation angulaire
[KLE02].
Dans un cadre théorique où les interférences sont supposées connues, cette technique permet
au radar de détecter des cibles dont la vitesse est faible2. Cependant dans la pratique, les
caractéristiques statistiques des interférences doivent être estimées. Etant donné la nature du
fouillis (hétérogénéité ou non, Gaussianité ou non), cette étape d‟estimation est une difficulté
1 On parle aussi de « clutter », terme anglais signifiant fouillis. Ce dernier peut être aussi utilisé pour des échos
de pluie ou de l‟atmosphère. Cependant, ces types de fouillis ne sont pas traités dans cette thèse. 2 Pour des raisons de confidentialité, des ordres de grandeur ne sont pas donnés.
Chapitre 1 : Domaine d‟application : le radar Page 14
majeure à résoudre. Pour cette raison, le STAP a donné lieu à la publication de nombreux
articles visant à traiter ce problème [BRE73], [WAR94], [KLE04] et [MEL04]. De plus, en
France, le « club STAP », constitué d‟industriels et de chercheurs, forme un groupe de travail
qui se réunit plusieurs fois par an pour échanger sur les nouvelles techniques proposées sur ce
thème1.
Dans ce cadre, la thèse porte sur le développement d‟approches paramétriques fondées sur
une modélisation a priori des interférences.
Ce mémoire de thèse s‟organise de la manière suivante :
Le chapitre 1 est dédié aux principes du radar. Dans un premier temps, le fonctionnement
général de ce système est expliqué. La cible détectée étant définie par la distance la séparant
du radar, sa vitesse radiale relative et sa localisation, nous précisons les trois dimensions selon
lesquelles les mesures radar sont caractérisées : il s‟agit de la dimension en distance, celle en
mesure Doppler et celle spatiale. Enfin, les différentes composantes contenues dans les
données sont précisées. Deux types de fouillis sont décrits en détail : le fouillis de terre et
celui de mer.
Dans le deuxième chapitre, nous dressons un état de l‟art sur le STAP. En particulier, nous
décrivons la méthode dite optimale selon [KLE02], qui se décompose en deux phases : le
filtrage et la détection d‟une cible dans une zone géographique donnée. Comme cette méthode
présente une forte complexité calculatoire et nécessite la connaissance a priori d‟informations
sur les interférences, des méthodes sous-optimales ont été depuis développées. Elles
requièrent des données, dites d‟entraînement, qui correspondent à des zones géographiques
très voisines de la zone sous test dans laquelle la cible ne se trouve pas a priori. Outre la
méthode originelle fondée sur l‟inversion de la matrice de covariance des interférences
[REE74], de nombreuses techniques ont été proposées ces dernières années pour réduire la
complexité calculatoire et le nombre de données d‟entraînement2. On distingue les
algorithmes à dimension réduite [WAR94], ceux à rang réduit [HAI96], les techniques
utilisant des informations a priori tels que le KA-STAP [GUE06] et les algorithmes fondés
sur une modélisation autorégressive vectorielle (VAR) des interférences [ROM00].
Cependant, la principale difficulté de la méthode reposant sur une modélisation VAR des
interférences réside dans l‟estimation des matrices autorégressives (AR) à partir des données
d‟entraînement ; ce point constitue l‟axe de notre travail de recherche qui est décrit dans le
troisième chapitre. En particulier, notre contribution porte sur deux aspects.
D‟une part, dans le cas où l‟on suppose que le bruit thermique est négligeable devant le
fouillis supposé non Gaussien, nous proposons [PET10b] de modéliser le fouillis comme un
vecteur aléatoire invariant sphériquement [PAS06] pour lequel la composante gaussienne est
représentée par un processus VAR. Puis, nous utilisons la méthode du point fixe, initialement
développée par Gini et al. [GIN02], pour en déduire les matrices AR. Cette méthode permet
une estimation de la matrice de covariance des interférences tenant compte de la distribution
non Gaussienne du fouillis avec un traitement par bloc des données disponibles. Notre
approche présente l‟avantage d‟en réduire le coût calculatoire.
1 http://clubstap.free.fr/Club_STAP/Bienvenue.html
2 Des algorithmes sans donnée d‟entraînement ont été proposés [LEC06] et reposent sur une analyse spectrale
haute résolution de la zone sous test.
Chapitre 1 : Domaine d‟application : le radar Page 15
D‟autre part, nous proposons une nouvelle modélisation des interférences différenciant le
bruit thermique et le fouillis. Cette fois, le fouillis est supposé Gaussien ; il est modélisé par
un processus VAR qui est ensuite perturbé par le bruit blanc thermique. Ainsi, de nouvelles
techniques d'estimation des matrices AR sont traitées.
La première [PET10a] est une estimation par bloc reposant sur une technique à erreurs dans
les variables (EIV) et sur le schéma de Frisch en particulier [BEG90]. Cette méthode est dite
aveugle, c‟est-à-dire qu‟elle ne nécessite aucune information a priori sur les données. Elle
permet d‟estimer à la fois les matrices AR ainsi que les matrices de covariance des bruits de
mesure et du processus générateur. A partir de la matrice de covariance définie positive des
observations bruitées, il s‟agit de construire une matrice semi-définie positive compensée en
bruit. La recherche de son noyau permet alors d‟estimer les matrices AR. Cependant, cette
méthode souffre d‟une complexité calculatoire élevée liée à l‟inversion de la matrice de
covariance des interférences et au fait qu‟elle se fonde sur la recherche d‟un ensemble de
solutions potentielles.
Pour cette raison, nous proposons aussi d‟étudier des méthodes récursives. Elles sont fondées
sur une représentation du système dans l‟espace d‟état. Il s‟agit d‟estimer conjointement le
processus VAR et les matrices AR, ce qui conduit à des équations non linéaires. Comme le
problème d‟estimation ne présente pas de solution analytique, il faut recourir à des méthodes
sous-optimales. Ainsi, nous proposons d‟étudier des méthodes locales, à savoir le filtrage de
Kalman étendu (EKF) et le filtrage par points sigma (SPKF) [PET09c]. L‟EKF repose sur une
linéarisation des équations du système par développement de Taylor à l‟ordre 1 autour de la
dernière estimation du vecteur d‟état. Cependant, la précision de l‟estimation dépend de la
sévérité des non-linéarités. Concernant la famille des SPKF, on recense le filtrage de Kalman
non parfumé (UKF) [JUL95] et le filtrage par différence centrale (CDKF) [NOR00]1. Un jeu
de points, appelés points sigma, est choisi de manière déterministe pour approximer la
distribution du vecteur d‟état. Enfin, nous proposons [PET09b] d‟utiliser le filtre H∞, qui est
particulièrement exploité dans le domaine du « contrôle », mais dont les applications en
traitement du signal s‟avèrent peu nombreuses. Cette approche vise à minimiser la norme H∞
du système ayant pour entrées les bruits de mesure et comme sortie l‟erreur d‟estimation
désirée. Son intérêt dans le domaine radar réside dans le fait qu‟aucune hypothèse statistique
n‟est à formuler sur les entrées du système ; elles sont uniquement supposées à énergie finie.
Pour conclure le chapitre 3, nous proposons une structure du schéma de détection permettant
une réduction du coût calculatoire avant de comparer les différentes méthodes en termes de
précision d‟estimation des matrices AR pour des processus VAR synthétiques.
Dans le chapitre 4, une étude comparative des différentes méthodes proposées dans le chapitre
3 est menée dans un contexte de détection radar. Pour cela, des données synthétiques résultant
du modèle de Ward [WAR94], des données semi-synthétiques fournies par le CELAR et des
données réelles fournies par THALES sont utilisées. La performance des algorithmes est alors
établie en termes de probabilité de détection et de probabilité de fausses alarmes dans le cas
d‟un fouillis Gaussien et non Gaussien.
Enfin, conclusions et perspectives sont données. En outre, ce mémoire est complété par six
annexes dont l‟annexe F dédiée à une méthode EIV récursive pour l‟estimation des
paramètres AR à partir d‟observations bruitées [PET 10c].
1 En anglais, ces deux algorithmes sont appelés Unscented Kalman Filter (UKF) et Central Difference Kalman
Filter (CDKF).
Chapitre 1 : Domaine d‟application : le radar Page 17
Chapitre 1 : Domaine d’application : le radar
Ce chapitre introduit des généralités sur le radar, domaine d‟application de cette thèse. Après
une présentation du principe de fonctionnement du système, les composantes du signal reçu
sont décrites à savoir la cible, le bruit thermique et le fouillis. Ce dernier élément perturbateur
est caractérisé en détail en termes d‟amplitude, de distribution et du point de vue de ses
propriétés de corrélation et spectrales selon qu‟il est issu des échos de sol ou de mer. De plus,
des méthodes de simulation du signal reçu par le radar sont présentées.
1.1 Généralités sur le traitement radar et équations définissant
le radar à impulsions
1.1.1 Notations et configuration du système radar
Le radar est utilisé dans de nombreux domaines et se décline dans une large gamme de
systèmes. Dans cette thèse, le radar est supposé :
primaire car le signal reçu est le résultat de la réflexion de l‟onde émise par le radar
sur un objet ;
monostatique car l‟émission et la réception sont faites sur une antenne unique. Dans le
cas bistatique, l‟antenne permettant l‟émission et celle assurant la réception sont
physiquement séparées ;
de surveillance car le radar explore en continu une zone de couverture ;
haute résolution car sa résolution en distance est de l‟ordre de quelques mètres ;
à impulsions car il émet périodiquement des impulsions brèves. Certains radars,
notamment les radars de contrôle routier, fonctionnent en émettant une onde continue ;
cohérent car le radar est capable de mesurer l‟amplitude du signal reçu et de comparer
sa phase avec un oscillateur local. Les radars dits non cohérents n‟utilisent que
l‟information d‟amplitude.
Chapitre 1 : Domaine d‟application : le radar Page 18
Les composantes principales du système radar sont rappelées dans l‟annexe A.
Le radar opère alternativement en émission et en réception. Le radar à impulsions émet
périodiquement une impulsion à la fréquence ef . Cette fréquence d‟émission, ou porteuse, est
choisie selon les propriétés de propagation des ondes électromagnétiques, les objectifs
opérationnels, les volumes et les technologies disponibles. La plupart des radars aéroportés
émettent en bande X, c‟est-à-dire dans la gamme de fréquences allant de à .
La longueur de l‟onde radar, notée , satisfait :
⁄ (1.1)
où désigne la vitesse de la lumière.
Dans cette thèse, on considère que et d‟après l‟équation (1.1), il vient
.
Après avoir défini les différentes fonctionnalités du système radar, intéressons-nous aux
paramètres liés au porteur et à l‟antenne ainsi qu‟à la configuration géométrique utilisée.
1/ Quel que soit le porteur utilisé, il est caractérisé par son altitude h et sa vitesse . Pour ne
pas alourdir la présentation, l‟avion est supposé se diriger vers le Nord.
2/ Dans les radars modernes, le récepteur permet la construction de plusieurs voies. Il s‟agit
d‟une configuration dite SIMO : Single Input Multiple Output. Dans cette thèse, trois types
d‟antenne sont envisagés et décrits dans l‟annexe A, en particulier à la figure 60. Une des
caractéristiques principales d‟une antenne est sa directivité. En effet, elle correspond à
l‟ouverture angulaire à , notée , sous le gain maximal [LAC01]. Elle permet
d‟évaluer la résolution angulaire du radar et par voie de conséquence la localisation en
azimut de la cible. Une représentation des angles azimut et élévation dans un repère
quelconque est donnée dans la figure 1.
Figure 1 : Angles azimut et élévation .
Chapitre 1 : Domaine d‟application : le radar Page 19
3/ La configuration géométrique fait intervenir deux repères (Cf. figure 2) :
le repère Doppler noté est défini par les trois axes . Dans ce
cas, le vecteur étant colinéaire à la vitesse du porteur [
], est dirigé vers le
Nord. Etant donné la définition de , correspond au module du vecteur . En
outre, est à la verticale ;
le repère antenne noté est défini par les trois axes . Dans ce cas,
le vecteur est normal au plan antenne alors que appartiennent au
plan antenne.
Le sol est considéré plat et chaque point de ce celui-ci est caractérisé par deux couples
d‟angles : le couple ),( dopdop qui désignent respectivement l‟azimut et l‟élévation dans le
plan Doppler et ),( antant qui désignent respectivement l‟azimut et l‟élévation dans le plan
antenne.
Dans le repère Doppler , on peut introduire un vecteur directionnel unitaire dans la
direction défini comme suit :
*
( )
+ (1.2)
De manière équivalente, un vecteur directionnel unitaire est défini dans le repère antenne
:
*
+ (1.3)
Figure 2 : Configuration géométrique pour l‟antenne.
Antenne Antenne
Point identique du sol
Chapitre 1 : Domaine d‟application : le radar Page 20
Etant donné ces définitions physiques et géométriques du radar, introduisons à présent les
trois paramètres caractérisant une cible détectée : la distance la séparant du radar, sa vitesse
radiale relative et sa localisation, c‟est-à-dire sa position angulaire dans le repère antenne
. Ainsi, les mesures radar s‟organisent suivant trois dimensions : celle en distance, celle
en mesure Doppler et celle spatiale.
1.1.2 Dimensions en distance et en mesure Doppler
Dans ce paragraphe, considérons l‟émission d‟une seule impulsion élémentaire )(tue de
durée à la fréquence porteuse . Ce signal réel a pour expression mathématique :
(1.4)
L‟onde émise rencontre un obstacle ponctuel qui se déplace à la vitesse .
Afin d‟établir l‟expression du signal reçu par le radar, il convient de définir la vitesse radiale
relative entre le porteur et l‟obstacle. Elle est notée (Cf. figure 3). Pour cela, on se place
dans le repère Doppler .
Figure 3 : Vitesses du porteur et de l‟obstacle et vitesses radiales correspondantes.
étant le résultat de la différence entre les vitesses du porteur et de l‟obstacle projetées sur
l‟axe porteur-obstacle, son expression est donc :
(1.5)
où et désignent la valeur des vitesses radiales du porteur et de l‟obstacle
respectivement, c‟est-à-dire les modules des projetés de et de sur l‟axe porteur-obstacle.
Pour un obstacle fixe tel qu‟un bâtiment ou un véhicule immobile, l‟équation (1.5) se
simplifie. Etant donné (1.2), s‟écrit :
( ) (1.6)
Cet obstacle diffuse l‟onde dans toutes les directions ; notamment une partie est rétrodiffusée
vers le radar. Ce signal reçu par un capteur élémentaire s‟écrit :
(1.7)
avec
(
)
⁄ (1.8)
où A désigne l‟atténuation due à la propagation (Cf. Annexe B), est la distance séparant
l‟obstacle du radar à l‟instant et
est un terme de phase constant.
Obstacle se déplaçant
à la vitesse
Porteur se déplaçant
à la vitesse
Chapitre 1 : Domaine d‟application : le radar Page 21
L‟équation (1.8) fait apparaître une contraction du temps et un décalage fréquentiel : c‟est
l‟effet Doppler.
Dans le cas de cibles réelles, on fait l‟hypothèse que
. Ainsi l‟équation (1.8) se ramène
à :
(1.9)
De plus, lorsqu‟on opère en bande étroite, c‟est-à-dire et quand les temps de
traitement sont courts à savoir quelques millisecondes, on n‟observe pas de variations
« importantes » de la distance entre la cible et le porteur. Le retard
dû au trajet
aller-retour de l‟onde est donc considéré constant. L‟équation (1.9) s‟écrit alors :
(1.10)
où
(1.11)
est appelée fréquence Doppler.
Durant la phase de réception, il convient de mesurer le temps 0t (Cf. figure 4) puis de déduire
la distance radar-cible 0D :
(1.12)
Figure 4 : Information distance : émission-réception.
Sur la dimension distance, pour maximiser la puissance du signal d‟une cible par rapport à
celle du bruit thermique, un filtre adapté est mis en œuvre. Dans la pratique, ce filtrage adapté
est réalisé dans le récepteur. Etant donné la forme du signal émis, ce filtre est approximé par
un filtre passe-bande de largeur [LAC01]. A la sortie du récepteur, le signal est
échantillonné à une période inférieure à . La figure 5 présente la partie réelle du
signal reçu par le radar et le signal de sortie du filtrage adapté.
Réception Emission
Information distance :
Echo détecté
Onde émise
Chapitre 1 : Domaine d‟application : le radar Page 22
Le signal reçu présente les caractéristiques suivantes1 :
le signal est émis sur une fréquence porteuse ;
la longueur d‟impulsion ;
le signal reçu contient le signal rétrodiffusé par une cible avec un retard ;
le rapport signal sur bruit (RSB) est fixé à 10 dB.
Figure 5 : Partie réelle du signal non modulé en fréquence et sortie du signal du filtre adapté.
On peut alors déduire une valeur de la distance minimale séparant deux cibles de même
vitesse et de même amplitude pouvant être discriminées par le radar. Il s‟agit de la résolution
distance notée . Il existe plusieurs manières de la définir [LAC01]. L‟une d‟elles stipule
que est égale à la largeur du pic du signal filtré mesurée à 3 dB de son maximum comme
indiquée sur la figure 5. r est alors directement reliée à la bande comme suit :
22
impc
B
cr
(1.13)
D‟après (1.13), plus est grand, plus la valeur de la résolution distance est faible.
A présent, on peut définir la notion de case de résolution d‟un radar. C‟est une surface dont la
longueur vaut la résolution angulaire et la largeur correspond à la résolution distance .
Deux cibles sont discriminées par un radar si elles ne sont pas dans la même case de
résolution.
Etant donné l‟équation (1.12), il est possible de faire correspondre une distance à chaque
échantillon obtenu à la sortie du récepteur. Pour cette raison, les échantillons du signal reçus
par le radar sont abusivement appelées « cases distance ». En toute rigueur, une case distance
désigne l‟écart en distance entre deux échantillons successifs :
(1.14)
La forme du signal sortant du récepteur et utilisée lors de la phase de traitement du signal est
décrite en détail en annexe A. Le lecteur peut se référer à [LAC01] pour obtenir plus
d‟informations sur ce point.
Dans les radars actuels, est de l‟ordre de et est de l‟ordre de la dizaine de
. La résolution distance correspondante est alors de l‟ordre de la dizaine de mètres.
1 Ces caractéristiques ne correspondent pas exactement à celles d‟un radar opérationnel, mais permettent une
visualisation « aisée » des résultats.
0 5 10 15 20 25 30 35 40-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
am
plit
ude
temps en s
0 5 10 15 20 25 30 35 40-25
-20
-15
-10
-5
0
puis
sance e
n d
B
temps en s
-3dB
Chapitre 1 : Domaine d‟application : le radar Page 23
Pour augmenter la puissance émise par le radar et donc améliorer la portée de celui-ci, deux
solutions sont envisageables : augmenter la durée de l‟impulsion au détriment de la
résolution distance ou augmenter la puissance crête de l‟émetteur, ce qui est limité par la
technologie. Les radars dits à compression d‟impulsion visent à pallier ce problème et
permettent d‟augmenter la portée sans détériorer la résolution distance. Le principe est
d‟émettre des impulsions de plus grande durée, mais modulée soit en fréquence, soit en phase.
La modulation en fréquence consiste à moduler linéairement la fréquence émise autour de ef
pendant la durée de l‟impulsion [CHE09]. Concernant la modulation en phase, les codages de
phase les plus utilisés sont les codages de Barker ou les codages de Franck [LAC01]. Lors de
la réception, la modulation inverse est appliquée au signal permettant la « compression » des
éventuels échos.
La figure 6 présente la partie réelle du signal reçu par le radar et le signal de sortie du filtrage
adapté. Le signal reçu présente les caractéristiques suivantes1 :
le signal est émis sur une fréquence porteuse balayant un intervalle de longueur
centrée sur ;
la longueur d‟impulsion ;
le signal reçu contient le signal rétrodiffusé par une cible avec un retard ;
le RSB est fixé à 10 dB.
Figure 6 : Partie réelle du signal modulé en fréquence et sortie du signal du filtre adapté.
Si l‟on considère à présent plusieurs impulsions émises avec une période de récurrence
R
RF
T1
, l‟écho éventuel est reçu pour chaque récurrence dans la même case distance,
comme le montre la figure 7. Cette répétition des impulsions entraîne deux phénomènes :
l‟ambiguïté distance2 et l‟ambiguïté vitesse [LAC01]. Les valeurs de que l‟on utilise
dépendent de ces deux notions et des objectifs opérationnels du radar. Pour les radars
aéroportés, elles peuvent être classées comme suit :
basse fréquence de récurrence (BFR) allant de à ;
moyenne fréquence de récurrence (MFR) allant de à ;
haute fréquence de récurrence (HFR) allant de à 30 .
1 Ces caractéristiques ne correspondent pas exactement à celles d‟un radar opérationnel, mais permettent une
visualisation « aisée » des résultats. 2 L‟annexe C présente la notion d‟ambiguïté distance. Pour plus d‟informations sur cette notion dans le domaine
radar, le lecteur peut se référer à [LAC01].
0 5 10 15 20 25 30 35 40-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
am
plit
ude
temps en s
0 5 10 15 20 25 30 35 40-25
-20
-15
-10
-5
0
puis
sance e
n d
B
temps en s
-3dB
Chapitre 1 : Domaine d‟application : le radar Page 24
On peut alors faire deux remarques :
comme , la dimension en distance est appelée « fast time » alors que la
dimension en mesure Doppler est dite « slow time » [MEL09] ;
le nombre de cases distance peut être estimé comme suit :
⁄ (1.15)
Figure 7 : Schéma de détection d‟un radar à impulsions.
Pour l‟impulsion avec ⟦ ⟧, la distance radar-cible peut s‟écrire comme suit :
(1.16)
où est l‟écart de distance radar-obstacle entre deux impulsions.
Le retard s‟écrit donc :
(1.17)
Etant donné (1.1), (1.16) et (1.17), le déphasage Doppler correspondant est égal à :
⏟
⏟
(1.18)
Ce déphasage fait ainsi apparaître une translation de fréquence qui s‟exprime en fonction de la
fréquence Doppler (1.11) :
(1.19)
Ainsi, la fréquence Doppler peut être estimée grâce au déphasage introduit au niveau du
signal reçu pour chaque impulsion émise.
Case distance
.
.
.
.
.
.
Echo détecté
Echo détecté
Echo détecté
Information distance :
Information distance :
Information distance :
Information Doppler :
Evolution de la cible entre chaque impulsion.
Chapitre 1 : Domaine d‟application : le radar Page 25
On construit donc le vecteur de pointage Doppler noté ),( dopdopdops [MEL09] :
(1.20)
où le temps de traitement cohérent, ou Coherent Processing Interval (CPI), comporte M
impulsions.
Le signal reçu pour un capteur élémentaire se décrit suivant deux dimensions : la dimension
en distance et la dimension en mesure Doppler. Cependant, une antenne est constituée de
plusieurs capteurs élémentaires qui reçoivent chacun le signal rétrodiffusé avec un déphasage
dit spatial. Ce point est traité dans la prochaine section.
1.1.3 Dimension spatiale
La réponse spatiale de l‟antenne dépend de sa structure. Dans un premier temps, le cas général
d‟une antenne à deux dimensions est décrit. Ensuite, le cas particulier de l‟antenne ULA
(Uniform Linear Array) est traité.
Pour une case distance donnée et une impulsion donnée, l‟écho éventuel est capté par les
différents capteurs élémentaires avec un déphasage spatial comme le montre la figure 8 pour
une antenne ULA.
Figure 8 : Déphasage spatial pour une antenne ULA.
Ce déphasage ne dépend que de l‟angle d‟arrivée du signal représenté par le couple
et la position des différents capteurs élémentaires. Considérons
les coordonnées du capteur élémentaire n de l‟antenne dans le plan
pour ⟦ ⟧. Etant donné un point de référence, le déphasage spatial
du
capteur élémentaire n lié à la propagation de l‟onde, considérée plane, est [MEL04] :
(1.21)
où
est le retard entre la réception de l‟onde au point de référence et celle au niveau du
capteur élémentaire n.
…
Plan d‟onde
Retard spatial
Chapitre 1 : Domaine d‟application : le radar Page 26
Puisque ce retard s‟exprime comme suit :
(1.22)
le vecteur spatial complet s‟écrit :
[
]
[
]
(1.23)
De plus, selon l‟antenne utilisée, on introduit la matrice P de taille qui permet la
formation de sous-réseaux. Les valeurs prises par les coefficients de la nième
ligne et de
jième
colonne de la matrice P sont :
si le capteur élémentaire n ne fait pas partie du sous-réseau j,
si le capteur élémentaire n appartient au sous-réseau j.
D‟une part, ce coefficient permet de pondérer l‟amplitude reçue. Cela influe sur la forme du
diagramme de rayonnement du sous-réseau et notamment sur l‟élargissement du lobe
principal et la réduction des lobes secondaires. D‟autre part, il peut ajouter un déphasage en
réception modélisant le dépointage électronique des antennes actives.
Ainsi, le vecteur de pointage spatial de taille est obtenu comme suit :
(1.24)
A présent, développons l‟équation (1.24) dans le cas particulier de l‟antenne ULA. Nous
supposons que l‟axe et l‟axe sont identiques. Cela signifie que le passage du repère
au repère se fait par rotation d‟angle , appelé angle de crab [KLE02] autour de
l‟axe . Les simplifications sont les suivantes :
; (1.25)
, ce qui signifie qu‟il n‟y a pas de formation de sous-réseaux ; (1.26)
avec ⟦ ⟧ et la distance séparant deux éléments. (1.27)
Le premier capteur étant le centre des repères et en combinant (1.3), (1.26) et (1.27),
l‟équation (1.23) devient :
[
]
(1.28)
En introduisant qui désigne la fréquence spatiale définie comme suit :
, (1.29)
le déphasage spatial pour un capteur n est égal à :
(1.30)
Chapitre 1 : Domaine d‟application : le radar Page 27
On peut donc réécrire le vecteur de pointage spatial de la manière suivante [MEL09] :
TfNifiantantspa
ss ees ]1[),()1(22
(1.31)
A présent que les trois dimensions caractéristiques du radar ont été introduites, la manière de
structurer les mesures, que l‟on appelle « data cube », peut être présentée. Les données de ce
cube comprennent le signal rétrodiffusé par une cible éventuelle, le fouillis et le bruit
thermique qu‟il est nécessaire de caractériser.
1.2 Caractérisation et simulation des différentes composantes
des données radar
1.2.1 Cube de données ou « data cube »
Le « data cube » représente l‟ensemble des données radar réparties suivant les trois
dimensions décrites précédemment (Cf. figure 9). Le nombre de cases distances est
inférieur à .
Figure 9 : Data cube radar.
Pour chaque case distance, le traitement STAP s‟effectue après le filtrage adapté ou la
compression d‟impulsion réalisée sur l‟axe distance. La Case Sous Test (CST) contient
échantillons de la case distance .
Dans la suite, l‟échantillon représente le signal relatif à la case distance reçue lors de
l‟impulsion et capté par l‟antenne . L‟ensemble des échantillons peut alors être concaténé
sous la forme d‟un vecteur noté :
[
] (1.32)
où [
] avec .
Dimension Doppler
Dimension
spatiale
Dimension
distance
Données
d‟entraînement
Données
d‟entraînement
Case Sous
Test (CST)
Chapitre 1 : Domaine d‟application : le radar Page 28
Les données dites d‟entraînement sont aussi regroupées sous la forme de vecteurs de taille
et sont notées { }
.
est un signal complexe résultant de trois composantes : le signal
1 rétrodiffusé par une
éventuelle cible ( ), le bruit thermique et le fouillis :
( ) ( ) (1.33)
où représente l‟ensemble des interférences plus bruit ; sa matrice de covariance est notée
. Il s‟agit d‟une matrice de taille qui est Toeplitz par bloc :
[
] (1.34)
où .
Il est à noter que le signal émis par un brouilleur n‟est pas traité dans cette thèse.
Les trois composantes sont caractérisées par deux grandeurs, à savoir l‟amplitude du signal et
la signature spatio-temporelle de taille . Leur calcul permet d‟évaluer la matrice de
covariance de chacune des composantes.
1.2.2 Caractérisation de la cible et du bruit thermique
D‟une part, concernant la cible, nous cherchons à expliciter son amplitude et sa signature
spatio-temporelle notée ( ).
Pour cela, la position de la cible par rapport au porteur est définie soit par le couple d‟angles
dans le repère , soit par le couple dans le repère . On
peut donc caractériser sa réponse au système radar par un vecteur Doppler d‟après
le paragraphe 1.1.2 et par un vecteur spatial d‟après le paragraphe 1.1.3. La
signature spatio-temporelle ( ) se déduit alors comme suit :
( ) ( ) ( ) (1.35)
où désigne le produit de Kronecker.
Le coefficient peut être relié au bilan de liaison radar (Cf. Annexe B) de la manière
suivante :
√
(1.36)
où désigne la surface équivalente radar (SER) de la cible et est la distance porteur-cible.
A noter que est souvent calculée suivant le modèle de Swerling [SWE60]. Cependant,
d‟autres modèles existent comme le modèle de Nakagami [NAK60].
1 Concernant les notations, dans ( ), l‟indice d désigne Doppler, s indique spatial et t désigne target (la
cible).
Chapitre 1 : Domaine d‟application : le radar Page 29
Ainsi, à partir de (1.35), on peut obtenir une expression de la matrice de covariance du
signal ( ) rétrodiffusé par la cible :
( ( ) ( )) ( ( )
( )) (1.37)
D‟autre part, le bruit thermique est dû à l‟agitation des électrons dans la partie récepteur du
radar. Il est indépendant de la case distance considérée. Il est supposé blanc dans le domaine
Doppler et dans le domaine spatial : il est décorrélé d‟impulsion à impulsion et d‟antenne à
antenne. C‟est un processus aléatoire Gaussien centré et de variance . Le signal étant
centré, correspond à la puissance du bruit thermique qui peut être calculée comme suit :
(1.38)
où est la constante de Boltzmann, la température en Kelvin et le facteur de bruit du
circuit électronique du récepteur radar. Ainsi, la matrice de covariance du bruit thermique
s‟écrit :
[ ] (1.39)
où désigne la matrice identité de taille .
Selon les dispositifs radar, tous les paramètres de l‟équation (1.38) peuvent être connus ; on
peut donc en déduire la variance et .
Afin d‟envisager des traitements éliminant le fouillis, il est nécessaire de le caractériser avec
précision. C‟est l‟objet de la section 1.2.3.
1.2.3 Caractérisation et simulation du fouillis
Comme le fouillis est la perturbation qui joue un rôle néfaste dans la détection radar, nous
proposons dans cette section de décrire un modèle de simulation et de détailler ses propriétés
en termes d‟amplitude et de distribution.
Le fouillis regroupe l‟ensemble des échos rétrodiffusés vers le radar qui ne sont pas dus à la
cible, mais à l‟environnement de celle-ci. Le fouillis peut provenir de l‟atmosphère, de la
pluie, du sol et de la mer. Lors des missions de surveillance maritime, les fouillis de sol et de
mer sont les éléments les plus perturbateurs.
Il est à noter que cette étude a donné lieu à la réalisation d‟un simulateur de fouillis sous
Matlab intégrant différents scénarios de surveillance maritime. Ce simulateur est utilisé dans
le chapitre 4 de cette thèse pour évaluer les performances des algorithmes STAP proposés.
1.2.3.1 Le modèle de Ward
Le modèle de fouillis de sol le plus utilisé est celui de Ward décrit dans [WAR94],
usuellement noté GCM (General Clutter Model). Pour une case distance donnée, le sol est
discrétisé en éléments équi-répartis en azimut comme le montre la figure 10. L‟étalement
angulaire de chaque élément est noté et vaut
⁄ .
Ainsi, un élément i de la jième
case distance ambigüe est vu par le porteur suivant le couple
d‟angles dans le repère Doppler permettant d‟obtenir une fréquence
Doppler et suivant le couple d‟angles dans le repère antenne
permettant d‟évaluer une fréquence spatiale .
Chapitre 1 : Domaine d‟application : le radar Page 30
De façon similaire à la cible, la signature spatio-temporelle caractérisée par le vecteur
fréquentiel et le vecteur spatial s‟exprime comme suit :
( ) ( ) ( ) (1.40)
Figure 10 : Discrétisation du sol selon le modèle de Ward.
Le fouillis est le résultat de la somme des contributions des éléments du sol de la case
distance non ambigüe et des éléments du sol des cases distances ambigües. Sa
matrice de covariance s‟écrit donc sous la forme :
∑ ∑ ( ( )
( )) ( ( ) ( ))
(1.41)
où désigne l‟amplitude du signal reçu lié à l‟élément du sol et l‟indice désigne la
case distance non ambigüe.
Cependant, dans l‟équation (1.41), on ne tient pas compte du mouvement intrinsèque du
fouillis (ou IMC pour Intrinsic Clutter Motion) traduisant l‟étalement du spectre Doppler du
fouillis. La sous-section suivante dresse un état de l‟art des modèles utilisés pour décrire
l‟enveloppe spectrale du fouillis. Le choix d‟un de ces modèles permet alors de modifier
l‟expression (1.41) de la matrice de covariance .
1.2.3.2 Prise en compte du mouvement intrinsèque du fouillis
Deux caractéristiques intéressent les radaristes : le pic Doppler, c‟est-à-dire la fréquence
Doppler centrale du fouillis, et son étalement spectral [CHA98]. Comme les équations (1.5) et
(1.11) permettent de prendre en compte le décalage du pic Doppler, nous décrivons à présent
la modélisation de l‟étalement spectral.
Pour le fouillis de sol, le pic Doppler est situé à la fréquence Doppler introduite par le porteur
caractérisant l‟ensemble des éléments fixes du sol (Cf. équation (1.6) et (1.11)). L‟étalement
spectral s‟explique, par exemple, par le mouvement de la végétation. Dans [LON01], Long
dresse un état de l‟art des différentes enveloppes spectrales proposées dans la littérature
permettant d‟approximer le spectre du fouillis de sol.
. . . . . . . . .
. . .
. . .
Case distance
non ambigüe Première case distance ambigüe
Chapitre 1 : Domaine d‟application : le radar Page 31
Elles sont définies par :
une loi Gaussienne dans [BAR49],
une loi en puissance (Power-Law) dans [FIS67],
une loi exponentielle dans [BIL96].
Pour éviter de caractériser les échos fixes par l‟une des trois lois précédentes, le laboratoire
Lincoln [BIL96] a développé un modèle spectral composite. L‟enveloppe finale ,
dépendant de la fréquence Doppler , est la somme pondérée d‟une composante quasi-
continue (appelée DC par analogie avec le courant) et une composante (appelée AC par
analogie avec le courant) :
(1.42)
où est l‟impulsion de Dirac et permet de régler l‟influence des deux composantes sur
la puissance totale. La composante est décrite par une loi en puissance dont l‟expression
est donnée en annexe E et comporte deux paramètres à savoir et . Son allure est
représentée sur la figure 11.
Pour le fouillis de mer, le mouvement intrinsèque traduit le mouvement relatif de la surface de
la mer par rapport au porteur. D‟une part, le pic Doppler est décalé. Chabah [CHA98] en
rappelle les causes : la vitesse de phase et orbitale des vagues, la dérive de Stoke et la dérive
du vent. L‟application numérique faite par l‟auteur montre une vitesse centrale de la mer
allant de 0.6 m/s à 3.1 m/s. D‟autre part, l‟élargissement du spectre de fouillis de mer est lié à
la dispersion en vitesse des différents éléments de la mer et à leur durée de vie limitée.
Trois lois, dont les définitions sont rappelées en annexe E, sont proposées pour décrire
l‟étalement spectral :
une loi Gaussienne permettant la représentation de la dispersion en vitesse des
éléments du fouillis de mer ;
une loi de Lorentz permettant la représentation de la durée de vie réduite des éléments
du fouillis de mer [LEE95a] ;
une loi Voightienne permettant la représentation conjointe de la durée de vie réduite
des éléments du fouillis de mer et leur dispersion en vitesse. Cette loi est obtenue par
convolution d‟une loi Gaussienne et d‟une loi Lorentzienne [LEE95b].
Figure 11 : Enveloppe de la composante AC de la Power-Law.
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
Densité s
pectr
ale
de p
uis
sance
frequences normalisees
n=3 fc=0.1
n=2 fc=0.1
n=3 fc=0.2
n=2 fc=0.2
Chapitre 1 : Domaine d‟application : le radar Page 32
Lorsque le vent forcit et que les vagues, prêtes à déferler, s‟intensifient, des réflecteurs rapides
apparaissent. Ces phénomènes n‟étant pas prépondérants, le spectre Doppler devient alors
asymétrique et s‟élargit. Dans [WAR06], Ward et al. proposent de représenter l‟enveloppe
spectrale par la somme de deux Gaussiennes, l‟une étant prépondérante par rapport à l‟autre.
Quant à Miller [MIL00], il suggère une enveloppe Gaussienne dont la fréquence centrale
varie selon une loi Gamma.
Tous les modèles que nous venons d‟énumérer s‟attachent à décrire les spectres rencontrés
dans la pratique, mais restent difficiles à paramétrer. Dans le cas du fouillis de mer, seul le
spectre Gaussien peut être relié à l‟environnement réel. Pour cela, on définit tout d‟abord une
matrice Toeplitz pour chaque élément du sol ou de la mer :
[
] (1.43)
avec
avec . L‟écart type en vitesse
de l‟étalement Doppler varie selon la vitesse du vent ou l‟état de mer sur l‟échelle de Douglas.
De manière générale, pour le fouillis de mer, est compris entre 0 et 2 m/s.
Puis, la matrice est incorporée au modèle GCM (1.41) comme suit :
∑ ∑ ( ( )
( )) ( ( ) ( ))
(1.44)
où est le produit d‟Hadamard, c‟est-à-dire le produit composante par composante.
Cependant, pour appliquer l‟équation (1.44), l‟amplitude d‟un élément du fouillis doit être
définie. C‟est l‟objet de la sous-section 1.2.3.3.
1.2.3.3 L’amplitude du fouillis
Tout d‟abord, l‟amplitude reçue par le radar provenant d‟un élément du fouillis est reliée au
bilan de liaison effectué en annexe B :
√
(1.45)
où désigne la distance qui sépare le porteur de la jième
case distance ambigüe et est la
SER de l‟élément.
Cependant, les échos provenant du sol ou de la mer sont issus de nombreux réflecteurs
compris dans une seule cellule de résolution radar. Pour pouvoir caractériser chaque type de
sol, Goldstein [GOL50] introduit une SER par unité de surface notée ne dépendant pas de
la surface de chaque cellule. Cette grandeur est aussi appelée coefficient de rétrodiffusion
moyen. Ainsi, la SER de l‟élément s‟écrit :
(1.46)
où représente l‟aire de la cellule du fouillis. Son expression est donnée par :
(1.47)
Chapitre 1 : Domaine d‟application : le radar Page 33
Ainsi, l‟équation (1.46) devient :
(1.48)
D‟après (1.48), diminuer défini par (1.14) permet d‟affaiblir l‟amplitude de fouillis reçue
par le radar. Pour cette raison, on cherche toujours à réduire dans les radars. De plus,
comme est inversement proportionnel au cosinus de l‟angle d‟élévation, plus la
configuration est rasante, c‟est-à-dire plus est faible, plus l‟amplitude du fouillis est
faible.
Pour obtenir , il est nécessaire de combiner les équations (1.45) et (1.48). Cependant, il
reste à préciser les différentes valeurs prises par selon les deux types de fouillis : celui de
sol et celui de mer.
Définition de la surface équivalente radar par unité de surface du fouillis de sol
Pour le sol, dépend principalement de deux paramètres : l‟angle d‟élévation et le type
de terrain.
Lombardo [LOM05] propose une généralisation pour tout type de terrain du modèle
constant initialement introduit par Clapp [CLA46]. s‟écrit :
(1.49)
où est une constante qui dépend du type de terrain ; le tableau 1 présente les valeurs de
pour cinq types de terrain.
Type de terrain (dB)
Ville -10.8
Montagne -21.6
Forêt -25.0
Campagne -28.8
Désert -42.0
Tableau 1 : Valeur de selon le type de terrain.
Définition de la surface équivalente radar par unité de surface du fouillis de mer
Le calcul théorique de reposant sur l‟étude d‟une réflexion électromagnétique d‟une onde
sur une surface non plane, des méthodes semi-empiriques ont été développées. Elles sont
issues d‟une association de modèles mathématiques et des données expérimentales. Les trois
approches les plus utilisées sont celles de Nathanson [NAT69], de Sittrop [SIT77] et celle du
Georgia Institute of Technology (GIT) [HOR78]. Pour obtenir le détail de ces trois méthodes,
le lecteur peut se référer à l‟article d‟Antipov [ANT98]. D‟autres modèles existent,
notamment celui développé par Technology Service Corporation [RYA90] et celui
qu‟Antipov appelle « hybride ». Cependant, ces deux modèles ne tiennent pas compte de la
vitesse du vent et ne sont donc pas étudiés dans cette thèse.
La méthode GIT1 [HOR78] est la plus populaire car elle repose sur une combinaison de
facteurs empiriques et du modèle physique de rétrodiffusion de l‟onde sur une surface marine.
1 Une description complète du modèle GIT est donnée en annexe D.
Chapitre 1 : Domaine d‟application : le radar Page 34
Pour ce modèle, dépend de l‟angle d‟élévation , de la hauteur moyenne des vagues, la
vitesse et de la direction du vent, la longueur d‟onde radar et de la polarisation.
Trois facteurs sont calculés :
un facteur d‟interférence lié à la théorie ;
un facteur de vitesse de vent lié aux données empiriques ;
un facteur de direction du vent.
Cette diversité des informations permet une modélisation plus fine des conditions de la mer.
De plus, une large gamme de fréquences allant de à peut être envisagée et
toutes les directions du vent sont traitées.
Si l‟on compare les coefficients de rétrodiffusion moyens du sol et de la mer, la surface
équivalente radar par unité de surface du sol est toujours plus élevée que celle de la mer quel
que soit le type de terrain. Ainsi, lors de missions de surveillance côtière, de fortes amplitudes
apparaissent et sont liées à la rétrodiffusion du sol.
1.2.3.4 Distribution du signal de fouillis
Après avoir expliqué la modélisation statistique à deux échelles, nous distinguons l‟étude du
fouillis de sol de celle du fouillis de mer en faisant le lien entre les deux chaque fois que cela
est possible.
Le signal réfléchi par une surface rugueuse peut être modélisé par une variable aléatoire
caractérisée par une densité de probabilité. Cette dernière influe sur le critère optimal de
détection de cibles.
A un déphasage constant près, Chabah [CHA98] explique que le champ électromagnétique
correspondant à une cellule de résolution est le résultat de la somme de réflecteurs
élémentaires. Chacun d‟eux est caractérisé par son amplitude et sa phase. Le théorème central
limite peut être appliqué si les trois conditions suivantes sont respectées :
1. est stationnaire et infiniment grand ;
2. les amplitudes du signal réfléchi par les réflecteurs sont indépendantes et
identiquement distribuées ;
3. les phases du signal réfléchi par les réflecteurs sont indépendantes et uniformément
réparties sur .
Contrairement au bruit thermique, les signaux expérimentaux du fouillis de terre ou de mer ne
sont pas forcément Gaussiens ; on parle alors de signaux « impulsionnels » en raison des pics
d‟amplitude. Cette non-Gaussianité peut s‟expliquer physiquement. D‟une part, le théorème
central limite ne s‟applique plus lorsque est faible car le nombre de réflecteurs par cellule
de résolution se réduit ne respectant plus la condition 1. D‟autre part, l‟angle d‟élévation
faible ou « rasant » fait ressortir les disparités du terrain (des rugosités pour la terre, des
vagues pour la mer). La condition 2 n‟est alors plus respectée.
On a vu précédemment que d‟après (1.48), diminuer la valeur des paramètres et
permet d‟affaiblir la puissance du fouillis reçue par le radar et une meilleure détection des
éventuelles cibles. Cependant, cette diminution entraîne une distribution non Gaussienne du
fouillis.
Chapitre 1 : Domaine d‟application : le radar Page 35
Distributions modélisant le fouillis de sol
Le signal réfléchi par le sol peut se décrire comme la multiplication de deux composantes
[LOM05] :
la première composante modélise le signal réfléchi par chaque réflecteur élémentaire
en mouvement au sein d‟une même cellule de résolution. Cette variation du signal
influence les gains de traitement du signal tels que la post-intégration et le filtrage
Doppler ;
la seconde composante modélise les fluctuations d‟amplitude du signal de cellule de
résolution à cellule de résolution sur une surface du sol (rugosité). Cette variation du
signal influence les traitements radar tels que la compression d‟impulsion et le
traitement TFAC (Taux de Fausses Alarmes Constantes).
D‟une part, pour la distribution temporelle, Lombardo [LOM05] propose la loi de Rayleigh.
Le paramètre de forme de cette loi permettant de prendre en compte les réflecteurs fixes et les
réflecteurs mobiles. Cependant, Keer [KEE51] opte plutôt pour la distribution de Rice qui
selon lui est plus adaptée à la somme des échos fixes et mobiles.
D‟autre part, la distribution spatiale étudiée par le laboratoire Lincoln grâce à de nombreuses
mesures d‟échantillons du fouillis de sol [BIL91] dépend du type de terrain et de l‟angle
d‟élévation. Pour des angles de plus faible élévation, c‟est-à-dire une configuration « rasante »
du radar, une distribution à queue lourde est nécessaire. Pour ces raisons, la loi log-normale
est considérée. Pour des angles d‟élévation compris entre et , la distribution spatiale peut
être approximée par une loi de Rayleigh. Ainsi, pour le cas général, les auteurs font le choix
d‟une distribution de Weibull. En effet, le paramètre de forme de cette loi permet d‟approcher
soit une distribution de Rayleigh, soit une distribution log-normale. Les chercheurs ayant
mené l‟étude déduisent les valeurs de ce paramètre suivant les types de terrain et les angles
d‟élévation.
Distributions modélisant le fouillis de mer
La statistique du fouillis de mer dépend de l‟angle d‟élévation, de la résolution azimut, de la
direction du vent et de la polarisation. Chronologiquement, trois modèles ont été les plus
utilisés pour modéliser la distribution du fouillis de mer :
la distribution log-normale [TRU70] ;
la distribution de Weibull [FAY77] ;
la distribution K [WAR81].
Tout d‟abord, Trunk et George [TRU70] ont utilisé la distribution log-normale en 1970. Sa
densité de probabilité à queue lourde permet de modéliser les fouillis de mer en configuration
rasante. Valenzuela et Laing [VAL71] expliquent l‟utilisation de cette loi par un modèle de
rétrodiffusion à deux échelles : la première représentant la rugosité de chaque réflecteur
élémentaire et la seconde modélisant la pente de ces réflecteurs.
Ensuite, Fay [FAY77] a introduit la loi de Weibull. Cela lui permet de modéliser de
nombreuses conditions opérationnelles et environnementales de fouillis de mer.
Chapitre 1 : Domaine d‟application : le radar Page 36
Enfin, Ward [WAR81] reprend le modèle composé de Valenzuela et différencie deux
composantes :
le speckle qui est une composante à fluctuations rapides. L‟autocorrélation de cette
composante s‟annule pour un écart supérieur à 10 ms en bande X. Il est modélisé par
une loi de Rayleigh ;
la modulation qui est une composante à fluctuations lentes. L‟autocorrélation de cette
composante s‟annule pour un écart supérieur à quelques secondes en bande X. Son
carré est modélisé par une loi Gamma.
Le produit de ces deux composantes constitue la rétrodiffusion sur la surface de mer. La
distribution finale est appelée distribution K en raison de l‟expression de sa densité de
probabilité faisant intervenir la fonction de Bessel modifiée de seconde espèce, notée
habituellement K.
Récemment, Watts [WAT08] précise que la texture de loi Gamma n‟a pas de justification
théorique connue, mais permet de synthétiser la plupart des signaux de fouillis de mer obtenus
en pratique. De plus, des modèles empiriques permettent de fixer le paramètre de forme
associé à la loi K dans de nombreuses conditions opérationnelles et environnementales
[WAR06]. Lorsque tend vers 0, l‟impulsivité du fouillis augmente ; lorsque les
conditions sont quasi gaussiennes. Ainsi, Ward et al. [WAR90] proposent de calculer grâce
à l‟équation suivante :
(1.50)
s‟obtient grâce à l‟équation :
. (1.51)
dépend de la polarisation ; pour une polarisation horizontale (respectivement verticale), k
est fixé à 1 (respectivement 1.7). est évalué suivant l‟angle entre la direction du vent et
le dépointage de l‟antenne [WAT90] :
(1.52)
Cependant, cette formule n‟est valable que pour :
la bande X ;
qui correspond à une résolution distance de .
Cette dernière condition étant trop restrictive, Ryan [RYA92] propose d‟introduire la
longueur d‟impulsion dans le calcul de comme suit :
(1.53)
où est exprimée en ns.
Les distributions de Weibull ou la distribution K intervenant dans la modélisation statistique
des fouillis, sont regroupés dans un modèle de distribution plus général appelé vecteur
aléatoire invariant sphériquement ou Spherically Invariant Random Vector (SIRV) présenté
dans la sous-section suivante.
SIRV
Ces modèles se caractérisent par la modulation aléatoire au cours du temps de la puissance
instantanée d‟un processus complexe Gaussien [PAS06]. Plus précisément, le SIRV noté est
Chapitre 1 : Domaine d‟application : le radar Page 37
le produit d‟une variable aléatoire , appelée texture qui est scalaire et positive, et d‟un
vecteur aléatoire complexe Gaussien appelé speckle. Pour la modélisation du fouillis de
mer, joue le rôle de la composante modulation [CON87]. est de dimension , centré
et de matrice de covariance .
√ (1.54)
La texture est choisie grâce au modèle de fluctuation appliqué au nombre de réflecteurs
élémentaires compris dans une case de résolution.
Ainsi, un modèle plus général peut être dérivé du SIRV [LOM05] comme suit :
√ (1.55)
où est un vecteur de taille et est le produit d‟Hadamard. Chaque élément de est
distribué selon une loi positive différente.
Cependant, sur la dimension Doppler et celle spatiale, on considère que est fixe, ce qui
explique que est un scalaire. Ce n‟est pas le cas sur la dimension distance. Si l‟on considère
la population des réflecteurs comme un processus de naissance-décès-immigration, varie
selon une loi binomiale négative [CHA98]. La texture associée suit alors la distribution
Gamma. Ainsi, d‟après (1.54), le signal est distribué selon une loi K [WAR81]. La loi de
Weibull est aussi un cas particulier du SIRV, mais la loi de la texture est inconnue [JAY03].
1.2.3.5 Corrélation spatiale du fouillis de mer
L‟étude de la fonction d‟autocorrélation du signal réel radar faite par Chabah [CHA98]
montre une structure à deux échelles de temps confirmant l‟existence des deux composantes
proposées par Ward [WAR81]. Il est donc nécessaire de distinguer une corrélation à court
terme introduite par le speckle et une à long terme due à la modulation.
De plus, cette corrélation peut être étudiée selon deux dimensions : la dimension distance et
celle Doppler. Cette dernière correspond au degré de ressemblance du signal en fonction de
l‟azimut pour une distance fixe.
Dans [ANT98], Antipov propose deux modèles empiriques pour chaque corrélation :
la corrélation Doppler peut être modélisée par deux fonctions :
|
| (1.56)
ou
(
)
(1.57)
avec et deux paramètres à déterminer ;
la corrélation en distance peut être modélisée par deux fonctions :
|
| (1.58)
ou
(
)
(1.59)
avec et deux paramètres à déterminer.
Chapitre 1 : Domaine d‟application : le radar Page 38
Antipov utilise les valeurs numériques suivantes :
;
.
Sur la dimension Doppler et pour des écarts couvrant le CPI, la corrélation de la texture reste
très proche de 1. Pour cette raison, la texture est supposée constante sur la dimension Doppler
comme nous l‟avons déjà évoqué dans la section 1.2.3.4.
Sur la dimension distance et en accord avec Tough et al. [TOU99], nous utilisons une
fonction d‟autocorrélation de la forme :
(1.60)
où et sont deux paramètres scalaires. Dans cette section, nous fixons et .
Figure 12: Fonction d‟autocorrélation (ACF) désirée,
du processus Gaussien et du processus Gamma.
Figure 13: Fonction d‟autocorrélation (ACF) désirée, modifiée,
du processus Gaussien modifié et du processus Gamma modifié.
Les propriétés de corrélation du fouillis influencent les performances du système radar
[WAT96]. La corrélation est donc un élément essentiel de la simulation synthétique du
fouillis. Or, déterminer la fonction d‟autocorrélation et la distribution non Gaussienne d‟un
processus n‟est pas une chose simple. Pour cette raison, Tough et Ward [TOU99] proposent
0 20 40 60 80 100 120 140-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Ecart
Corre
lation
ACF desirée
ACF Gaussien
ACF Gamma = 0.6
0 20 40 60 80 100 120 140-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Retard
Corre
lation
ACF desirée
ACF Modifiée
ACF Gaussienne modifiée
ACF Gamma modifiée = 0.6
Chapitre 1 : Domaine d‟application : le radar Page 39
d‟utiliser une transformation non linéaire sans mémoire1 (MNLT). Ils partent de la
constatation suivante : lorsqu‟ils simulent un processus corrélé distribué selon une loi
Gamma à partir d‟un processus corrélé distribué suivant une loi Gaussienne, la fonction
d‟autocorrélation du processus n‟est pas la même que le processus . Ce phénomène est
illustré par la figure 12. Ils proposent donc d‟appliquer une transformation à la fonction
d‟autocorrélation initiale de afin d‟obtenir la fonction d‟autocorrélation souhaitée pour le
processus comme le montre la figure 13. La figure 14 décrit le processus corrélé distribué
selon une loi K obtenu grâce au processus .
Cependant, ces modèles ne réussissent pas à modéliser l‟ensemble des phénomènes de
« spikes » présents dans le fouillis de mer [WAT08]. Ces phénomènes sont décrits dans la
section 1.2.3.6. Ensuite, la distribution KA [MID99] permettant de les modéliser est
expliquée.
Figure 14: Processus aléatoire distribué selon une loi K avec
caractérisée par la fonction d‟autocorrélation Gamma désirée.
1.2.3.6 Spécificité du fouillis de mer : les spikes
Les « spikes » se caractérisent dans le signal radar par des pics d‟amplitudes. Physiquement,
ils peuvent être divisés en trois catégories [WAT08] :
les réflecteurs de Bragg : ils sont liés à des vagues de capillarité et modulés par la
houle. Leur coefficient de réflectivité moyen est plus élevé en polarisation verticale
qu‟en polarisation horizontale. Ils présentent un large étalement Doppler sans décalage
de la fréquence centrale ;
les réflecteurs liés à la crête des vagues : ils se produisent avant le déferlement de la
vague. Ce sont des réflexions spéculaires qui durent environ . Leurs
amplitudes sont plus importantes en polarisation horizontale qu‟en polarisation
verticale. L‟étalement Doppler est faible et la fréquence centrale est décalée
proportionnellement à la vitesse du haut de la vague ;
les réflecteurs whitecap : ils sont liés à la surface rugueuse qui suit le déferlement
d‟une vague. L‟amplitude présente un caractère moins « impulsif » que pour celle des
réflecteurs liés à la crête des vagues, mais l‟étalement Doppler est plus large.
1 Cette transformation s‟appelle en anglais « Memoryless Nonlinear Transformation » (MNLT).
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
2
4
6
8
10
12
14
16
18
echantillons
Puis
sance
= 0.6
Chapitre 1 : Domaine d‟application : le radar Page 40
La distribution K et le modèle de Ward [WAR81] sur lequel elle est fondée ne décrivent que
les réflecteurs de Bragg. Ainsi, la distribution KA a été proposée indépendamment par
Middleton [MID99] et par Ward [WAR02]. Elle a pour but de tenir compte de tous les types
de spikes. Dans les deux cas, le fouillis de mer est le résultat de la somme de deux
composantes : le bruit de fond et les interférences impulsives. Dans [VAL09], une
comparaison des deux méthodes de la loi KA est menée. Les auteurs montrent la pertinence
de la méthode de Middleton pour approcher la densité de probabilité de données réelles.
1.2.3.7 Modélisation électromagnétique
Une approche alternative à la modélisation statistique est la modélisation physique d‟un
environnement donné suivi d‟un « habillage » électromagnétique. Le fouillis de mer est
d‟ailleurs caractérisé avec succès grâce au modèle d‟écho composite [WAR06] pour des
angles de forte élévation. Ce dernier n‟est plus valable pour des angles faibles, c‟est-à-dire
inférieurs à où des propagations multi-trajet et des phénomènes de masquage sont à
prendre en considération. C‟est en utilisant cette approche qu‟un modèle électromagnétique a
permis d‟approcher les valeurs données par le modèle GIT. Récemment, des progrès ont été
faits dans l‟analyse des échos de spikes [MEL06].
Cette approche prometteuse peut permettre à terme de décrire des environnements particuliers
difficiles à traiter par une méthode statistique générale.
1.2.3.8 Hétérogénéité du fouillis
Les différents facteurs d‟hétérogénéité du fouillis peuvent être classés en trois groupes : la
non-homogénéité du sol [ARM93], la non-stationnarité sur l‟axe distance du lieu1 fréquentiel
du fouillis et la présence d‟autres cibles dans le domaine d‟entraînement.
Tout d‟abord, la non-homogénéité du sol peut donner lieu à une variation en amplitude et en
étalement spectral du fouillis. Une transition rapide du fouillis explique ces phénomènes :
dans le cas d‟une surveillance côtière, il y a du fouillis de mer et du sol ;
dans le cas d‟une surveillance du sol, il y a plusieurs types de terrain à prendre en
compte et qui sont cités dans le tableau 1.
La présence ou non d‟arbres et de champs peut expliquer la variation spectrale.
Ensuite, suivant la configuration du radar, le fouillis peut ne pas être stationnaire en distance.
Dans le cas où l‟angle de dépointage de l‟antenne est différent de 90°, le lieu du fouillis
décrit une ellipse [BEA08] et n‟est pas stationnaire en distance puisqu‟il dépend de l‟angle
d‟élévation .
La figure 15 présente le lieu du fouillis pour cinq distances différentes à savoir ,
, , et . Dans ce cas, l‟altitude du porteur est fixé à et
.
D‟après la figure 15, la non-stationnarité du fouillis en distance est importante pour les
distances faibles avec une grande variation des lieux du fouillis. Pour cette altitude du porteur
à savoir , il est possible de considérer que le fouillis est stationnaire en distance à
partir de 20 km.
1 On parle aussi de « clutter ridges », terme anglais signifiant lieux du fouillis.
Chapitre 1 : Domaine d‟application : le radar Page 41
Figure 15 : Non-stationnarité du fouillis en distance.
Enfin, des cibles supplémentaires peuvent être présentes dans la CST ou dans les données
d‟entraînement [MEL01]. Ce cas de figure se rencontre dans le cadre d‟une mission de
surveillance sur un large domaine.
1.2.3.9 Bilan
Dans la section 1.2.3, nous avons décrit l‟ensemble des propriétés des fouillis de mer et de sol
et avons présenté un modèle de simulation. De plus, nous avons dressé un état de l‟art des
différentes distributions permettant de synthétiser les variations d‟amplitude du signal reçu
par le radar issu de la rétrodiffusion du sol et de la mer. A présent, nous proposons de préciser
nos choix de modélisation dans le cadre de la thèse.
D‟une part, le signal rétrodiffusé par le sol est simulé grâce au modèle GCM [WAR94] sans
mouvement intrinsèque. Son amplitude suit une loi de Rayleigh pour des hypothèses
Gaussiennes et une loi log-normale sinon. Enfin, son coefficient de réflexion moyen obéit au
modèle du constant développé par Lombardo [LOM05].
D‟autre part, le signal rétrodiffusé par la mer est simulé grâce au modèle GCM [WAR94]
avec un mouvement intrinsèque représenté par une enveloppe Gaussienne. Son amplitude suit
une loi de Rayleigh pour des hypothèses Gaussiennes et une loi K sinon. Enfin, son
coefficient de réflexion moyen obéit au modèle de GIT [HOR78].
1.3 Conclusions : intérêt du STAP dans le domaine radar
Les interférences peuvent compromettre la détection d‟une cible à partir du signal radar. Pour
éliminer le fouillis, connaître ses propriétés est un atout. A titre d‟exemple plaçons-nous dans
le cas où l‟angle de dépointage du porteur est égal à 90°.
Si l‟on conserve les simplifications utilisées pour l‟antenne ULA, on peut faire les liens
suivants :
,
.
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
fréquences Doppler normalisées
fréqu
ence
s sp
atia
les
norm
alis
ées
Dc = 4 km
Dc = 5 km
Dc = 10 km
Dc = 20 km
Dc = 30 km
Chapitre 1 : Domaine d‟application : le radar Page 42
Ainsi, les équations (1.10) et (1.29), donnant respectivement l‟expression de la fréquence
Doppler et de la fréquence spatiale, peuvent être réécrites en ne faisant intervenir que les
angles situés dans le repère :
( ) (1.61)
et
(1.62)
En prenant , on obtient une relation linéaire entre la fréquence Doppler et la
fréquence spatiale :
(1.63)
Le lieu du fouillis dans les dimensions spatio-Doppler est décrit par une droite de pente
indépendante de la distance, comme le montre la figure 16.
Figure 16 : Lieu du fouillis en configuration latérale et filtrage STAP.
Etant donné l‟équation (1.35), la cible est représentée, en théorie, dans le domaine dual de
fréquence spatio-Doppler par un Dirac. Bien que la détection d‟une cible rapide soit possible
dans le domaine fréquentiel Doppler, celle d‟une cible lente est plus délicate car elle possède
une vitesse relative et une localisation angulaire proches de celles du fouillis. La probabilité
de détection est donc dégradée pour des cibles ayant des fréquences Doppler faibles. De
plus, un filtrage monodimensionnel du fouillis soit dans la dimension Doppler, soit dans la
dimension spatiale ne permet pas d‟augmenter la probabilité de détection puisque cette
opération atténue fortement les amplitudes des cibles lentes. Une solution est le filtrage
bidimensionnel spatio-temporel qui permet l‟élimination du fouillis sans atténuation de la
cible. Ainsi, les traitements STAP présentent un grand intérêt dès lors que le radar possède
plusieurs voies de réception. Un état de l‟art de ces techniques est dressé dans le chapitre 2.
Chapitre 2 : Space-Time Adaptive Processing : théorie et état de l‟art Page 43
Chapitre 2 : Space-Time Adaptive Processing : théorie et état de l’art
Le STAP vise à éliminer l‟influence du fouillis en vue de détecter une cible lente. Cependant,
en pratique, il requiert la connaissance du vecteur de pointage et l‟estimation de la matrice de
covariance des interférences. Cela a donné lieu à de nombreuses variantes du STAP tenant
compte de la taille des données d‟entraînement, de l‟hétérogénéité éventuelle et du caractère
Gaussien ou non du fouillis.
Après un rappel sur la théorie de la détection dans le cas non adaptatif, c‟est-à-dire lorsque la
matrice de covariance théorique des interférences et le vecteur de pointage sont connus, un
état de l‟art sur les traitements adaptatifs1 spatio-temporels est dressé. Il inclut une
présentation de la méthode originelle connue sous le nom de SMI [REE74] et des déclinaisons
qui ont été ensuite proposées. On s‟intéresse alors à des détecteurs adaptatifs [KEL86]
[ROB92] ainsi qu‟à l‟ensemble des méthodes permettant la réduction du domaine
d‟entraînement ou l‟estimation en milieu non Gaussien. Enfin, les méthodes de compensation
en distance et l‟approche appelée Knowledge-Aided STAP [WIC06] sont détaillées.
2.1 Détection dite non adaptative
2.1.1 Détection classique
Le problème de détection d‟une cible consiste à décider entre les deux hypothèses suivantes :
{
(2.1)
,
( )
(2.2)
où , , …, sont indépendants et identiquement distribués.
1 Le terme « adaptatif » désigne le fait que la matrice de covariance des interférences et le vecteur de pointage
ne sont pas connus et sont estimés grâce aux données d‟entraînement { }
.
Chapitre 2 : Space-Time Adaptive Processing : théorie et état de l‟art Page 44
Sous l‟hypothèse , la case sous test correspond uniquement à des interférences à savoir
du bruit thermique et du fouillis alors que les données d‟entraînement ne comprennent que des
interférences.
Sous l‟hypothèse , la case sous test correspond à la cible et des interférences alors que
les données d‟entraînement contiennent les interférences.
Soient la probabilité de détection et la probabilité de fausses alarmes qui constituent
des mesures de performances définies comme suit :
Le choix de l‟hypothèse se fait alors par application du critère de Neyman-Pearson [NEY33]
qui vise à maximiser la probabilité de détection étant donné une probabilité de fausses
alarmes fixée et égale à une valeur . En utilisant les multiplicateurs de Lagrange, le test
optimal sous contrainte se ramène au test de rapport de vraisemblance (TRV) suivant :
( )
(2.3)
où est le seuil de détection. Si est supérieur à , la décision est prise ; sinon, on
opte pour la décision .
L‟équation (2.3) se simplifie en raison de l‟indépendance statistique de l‟ensemble des
observations :
( )
(2.4)
Il est à noter que pour une valeur de fixée à , le seuil de détection satisfait :
∫
(2.5)
Ensuite, la probabilité de détection se déduit de la manière suivante :
∫
(2.6)
Dans certains cas, des paramètres de l‟équation (2.4) ne sont pas connus ; il s‟agit notamment
de l‟amplitude de la cible et de la matrice de covariance des interférences . Elles sont
nécessaires pour définir et
.
Dans ce cas, on applique le test du rapport de vraisemblance généralisé (TRVG). La détection
s‟opère en deux étapes :
1/ le paramètre représentant ou , est estimé par exemple au sens du maximum de
vraisemblance pour les hypothèses et :
pour (2.7)
2/ le test du rapport de vraisemblance (2.4) est appliqué avec les paramètres estimés.
Chapitre 2 : Space-Time Adaptive Processing : théorie et état de l‟art Page 45
Cependant, dès qu‟un détecteur est défini à partir des données, il est important de vérifier si la
détection s‟opère à une probabilité de fausses alarmes constante. Cette propriété est connue
sous le nom de Taux de Fausses Alarmes Constant (TFAC)1. Dans ce cas, le seuil peut être
fixé uniquement en fonction de la désirée.
Pour un fouillis non Gaussien, cette propriété se décompose en deux catégories. Sous
l‟hypothèse , si la distribution du test statistique ne dépend pas de la matrice des
interférences (de la texture du fouillis respectivement), on dit que le test possède la
propriété matrix-CFAR (la propriété texture-CFAR respectivement).
Intéressons-nous à présent aux différents détecteurs non adaptatifs. Dans la sous-section 2.1.2,
on distingue deux situations selon que le fouillis est considéré Gaussien ou non.
2.1.2 Détecteurs non adaptatifs
Dans cette sous-section, on se place dans le cas non adaptatif, c‟est-à-dire que la matrice de
covariance théorique des interférences-plus-bruit et le vecteur de pointage
( ) sont connus.
2.1.2.1 Détection non adaptative en milieu Gaussien
Le détecteur appelé Optimum Gaussian Detector (OGD) [KAY98] est obtenu par application
du TRVG [PAS06]. Tout d‟abord, l‟amplitude de la cible est estimée au sens du
maximum de vraisemblance :
( )
( ) ( )
(2.8)
Ensuite, cet estimateur est intégré dans l‟équation (2.3) du TRV. Pour cela, on définit
et
:
‖ ‖ ( ( ))
( ( )) (2.9)
‖ ‖ ( )
( ) (2.10)
où ‖ ‖ désigne le déterminant.
On en déduit alors le détecteur OGD qui satisfait :
( )
| ( ) |
( ) ( )
(2.11)
où est le seuil de détection.
Afin de fixer ce seuil en fonction d‟une fixée à , il est nécessaire de déterminer la loi de
probabilité de sous l‟hypothèse . D‟après [KAY98], il décrit la loi suivante :
(2.12)
où est une loi du à 2 degrés de liberté.
1 Cette propriété est appelée Constant False Alarm Rate (CFAR) en anglais.
Chapitre 2 : Space-Time Adaptive Processing : théorie et état de l‟art Page 46
Ainsi, d‟après la définition (2.5) de la et celle de la loi du en annexe E, il vient :
(2.13)
Dans certains cas, la matrice de covariance des interférences est connue à un facteur
multiplicatif près :
(2.14)
où est une matrice hermitienne définie positive et est un facteur de puissance inconnue.
Dans ce cas, le test binaire est composite à la fois sous l‟hypothèse et sous l‟hypothèse
:
sous l‟hypothèse , l‟amplitude du signal est inconnue ;
sous les hypothèses et , la puissance est inconnue.
Comme pour l‟OGD, le détecteur qui en résulte s‟obtient par application du TRVG [SCH96] :
en estimant au sens du maximum de vraisemblance des paramètres inconnus et
;
en appliquant le test du rapport de vraisemblance généralisée.
Etant donné le second terme de normalisation apparaissant au dénominateur, ce test statistique
est appelé « Normalized Matched Filter » (NMF) :
| ( )
|
[ ( ) ( )]*
+
(2.15)
où est le seuil de détection.
D‟après [PAI10], la loi de distribution du détecteur sous l‟hypothèse est :
(2.16)
où est une loi Beta de première espèce (Cf. Annexe E).
Ainsi, le seuil est fixé en fonction d‟une fixe égale à :
(2.17)
On peut noter que est insensible à un facteur d‟échelle arbitraire sur la CST .
2.1.2.2 Détection non adaptative en milieu non Gaussien
Les fouillis de terre et de mer ne sont pas nécessairement distribués selon une loi Gaussienne.
Ainsi, les performances en détection de l‟OGD se dégradent dès lors que l‟on est amené à
traiter un fouillis « impulsionnel ». Un détecteur adapté au modèle SIRV défini par (1.54)
permettant de modéliser les données des différents fouillis a été développé dans [GIN97].
Ce détecteur nécessite l‟estimation de la densité de probabilité de la texture . Pour cette
raison, Jay [JAY03] utilise un estimateur bayésien sur les K données d‟entraînement du
système (2.1)-(2.2). En injectant cette estimation dans le TRVG, il définit le Bayesian
Optimum Radar Detector (BORD).
Chapitre 2 : Space-Time Adaptive Processing : théorie et état de l‟art Page 47
Ce détecteur étant peu maniable mathématiquement, il est préférable d‟utiliser sa version
asymptotique, notée aBORD, lorsque K tend vers :
| ( )
|
[ ( ) ( )]*
+
(2.18)
où est le seuil de détection.
Ce seuil est fixé en fonction d‟une fixe égale à comme suit :
√
√ (2.19)
où
est le seuil de détection du BORD original.
Il est à noter que ce détecteur est aussi connu sous l‟acronyme GLRT-LQ (Generalized
Likelihood Ratio Test-Linear Quadratic) [GIN97]. De plus, Sangston et al. [SAN99] ont
obtenu un détecteur semblable en considérant la texture du SIRV comme un paramètre
déterministe et en la remplaçant par son estimation au sens du maximum de vraisemblance
sous chacune des hypothèses.
Dans la pratique, la matrice de covariance et le vecteur de pointage ( ) sont
inconnus :
est remplacée par son estimation fondée sur les données d‟entraînement ;
un candidat est proposé comme vecteur de pointage, c‟est-à-dire que l‟on choisit une
fréquence Doppler et une fréquence spatiale pour une cible éventuelle afin de
construire un vecteur de pointage. Par souci de simplicité, ce dernier garde la même
notation dans la suite que le vecteur de pointage théorique : ( ).
2.2 Etat de l’art sur le STAP
Les traitements STAP réfèrent à l‟ensemble des traitements adaptatifs appliqués à des signaux
reçus par un système radar et utilisant les paramètres de vitesse et de localisation angulaire
[KLE02]. Après avoir rappelé les inconvénients de la méthode originelle, nous décrivons les
détecteurs adaptatifs présentant la propriété CFAR [PAI10]. Ensuite, nous dressons un état de
l‟art des techniques sélectionnant les données d‟entraînement et des traitements STAP
permettant une réduction des données d‟entraînement [MEL04] [KLE04]. Puis, les méthodes
développées sous des hypothèses non Gaussiennes sont décrites. Nous expliquons alors les
méthodes permettant de lutter contre la variation en distance du fouillis. Enfin, la technique
KA-STAP [GUE06] est présentée.
2.2.1 Première technique dite SMI (Sample Matrix Inversion)
La première technique du STAP, appelée Sample Matrix Inversion (SMI), est étudiée dans
[REE74]. Elle est obtenue en appliquant une estimation du filtre adapté théorique explicité
dans la sous-section suivante.
2.2.1.1 Filtre adapté
Le STAP a pour but de maximiser le rapport signal sur bruit-plus-interférences (RSBI). Pour
cette raison, un filtre de réponse impulsionnelle finie (RIF) est appliqué sur les
échantillons .
Chapitre 2 : Space-Time Adaptive Processing : théorie et état de l‟art Page 48
La sortie du filtre notée pour la case distance sous test satisfait :
(2.20)
Le RSBI s‟exprime comme le rapport entre la puissance du signal de sortie et des interférences
plus bruit à la sortie du filtre :
|
|
( ) ( )
| |
|
( )|
(2.21)
On introduit alors la matrice de covariance au numérateur comme suit :
| |
|
( )|
(2.22)
En appliquant l‟inégalité de Schwarz et en tenant compte du caractère hermitien de , le
RSBI est majoré de la manière suivante :
| | (
)( ( ) ( ))
| | ( ( )
( ))(2.23)
D‟après (2.23), le majorant du RSBI ne dépend pas de la réponse impulsionnelle du filtre ,
mais uniquement du vecteur de pointage ( ) et de la matrice de covariance du bruit
. De plus, le RSBI est égal à ce majorant quand
et
( ) sont
colinéaires, c‟est-à-dire :
( ) (2.24)
où est un scalaire quelconque.
L‟équation (2.24) conduit à l‟expression du filtre adapté suivant [BRE73] :
( ) (2.25)
D‟après (2.20)-(2.25), la sortie du filtre s‟exprime comme suit :
( )
(2.26)
Remarque : Dans le cas Gaussien, Klemm [KLE02] montre que ce filtrage peut être considéré
comme optimal suivant de nombreux critères : maximisation du RSBI, maximum de
vraisemblance, minimum de variance et minimisation de l‟erreur quadratique moyenne. Selon
les critères, la valeur de varie. Ainsi, défini en (2.11) peut être interprété comme la
puissance de sortie d‟un filtre adapté (2.26) où vaut :
√ ( ) ( )
(2.27)
2.2.1.2 Le SMI et ses inconvénients
Le principe du SMI [REE74] est d‟appliquer une estimation du filtre adapté décrit dans
l‟équation (2.25) au signal d‟entrée . est obtenu comme suit :
( ) (2.28)
où est l‟estimation de la matrice de covariance des interférences au sens du maximum
de vraisemblance sous hypothèse Gaussienne en utilisant des données d‟entraînement.
Chapitre 2 : Space-Time Adaptive Processing : théorie et état de l‟art Page 49
Dans la littérature, l‟estimateur est appelé Sample Covariance Matrix (SCM) et s‟exprime
comme suit :
∑
(2.29)1
Reed et al. [REE74] montrent que, si toutes les données d‟entraînement sont indépendantes et
identiquement distribuées, fixer le nombre de données d‟entraînement à permet
d‟obtenir en moyenne des pertes en performance de 3 dB par rapport au filtrage non adaptatif
décrit dans l‟équation (2.25).
Cependant, le SMI présente quatre inconvénients majeurs :
la propriété CFAR du détecteur n‟est pas prise en considération ;
le nombre K de données d‟entraînement est trop important. En effet, en raison de
l‟hétérogénéité du fouillis présentée dans la section 1.2.3.8, 2NM cases distances
consécutives ne sont pas en pratique indépendantes et identiquement distribuées. De
plus, utiliser le SMI avec un domaine d‟entraînement réduit conduit à une dégradation
de la probabilité de détection ;
le coût calculatoire est élevé et est dû à l‟estimation de la matrice et à son
inversion [GOL96] ;
la robustesse de l‟estimation de la matrice et du détecteur à une distribution non
Gaussienne des interférences n‟est pas prise en compte.
Pour résoudre ces problèmes, de nombreux auteurs ont proposé des variantes du SMI et une
littérature abondante est disponible sur ce sujet. Dans la suite, nous détaillons les différents
détecteurs adaptatifs développés. Ils possèdent tous des propriétés CFAR en présence de
données d‟entraînement homogènes. Pour un fouillis hétérogène, des techniques de sélection
ou de compensation de données existent et sont décrites. Puis, diverses stratégies peuvent être
mises au point pour réduire le nombre de cases d‟entraînement. Enfin, certaines techniques
[GIN02] prennent en compte la distribution non Gaussienne du fouillis.
2.2.2 Détecteurs adaptatifs
Lorsque les interférences sont considérées Gaussiennes, trois détecteurs adaptatifs ont été
proposés : le test du rapport de vraisemblance généralisé ou GLRT de Kelly [KEL86],
l‟Adaptive Matched Filter (AMF) [ROB92] et l‟Adaptive Normalized Matched Filter
(ANMF). Ce dernier détecteur a aussi été obtenu pour d‟autres schémas de détection, en
particulier pour un fouillis modélisé par un SIRV.
1/ Le GLRT de Kelly est défini comme suit :
| ( ) |
[ ( ) ( )]*
+
(2.30)
où ∑
est, à un facteur multiplicatif près, l‟estimateur SCM et est le
seuil de détection.
1 La notation ∑
désigne une somme de vecteurs du data cube dont les indices sur la dimension
distance sont différents de .
Chapitre 2 : Space-Time Adaptive Processing : théorie et état de l‟art Page 50
Sous l‟hypothèse , la distribution du détecteur est la suivante [PAI10] :
(2.31)
Ainsi, le seuil est obtenu en fonction d‟une fixée à :
(2.32)
La distribution de et le seuil de détection étant indépendants de l‟estimation de
la matrice , le GLRT de Kelly est CFAR.
2/ L‟AMF est obtenu à partir du détecteur non adaptatif OGD où est remplacée par son
estimation de type SCM. On a donc :
| ( )
|
[ ( ) ( )]
(2.33)
où est le seuil de détection.
Sous l‟hypothèse , la distribution du détecteur est donnée par [PAI10] :
(2.34)
où est la fonction hypergéométrique définie en annexe E.
Ainsi, le seuil est obtenu en fonction d‟une fixée à :
(2.35)
La propriété CFAR du GLRT de Kelly et l‟AMF sont mises en défaut sur des données réelles
[DEM06], [FAB03] où le niveau de puissance de la CST est supérieur à celui des données
d‟entraînement.
3/ Pour traduire une non-homogénéité du fouillis, Scharf [SCH96] a développé un détecteur
adaptatif fondé sur l‟hypothèse que les données d‟entraînement ne possèdent pas la même
puissance que celles issues de la case sous test :
,
, et .
Le détecteur résultant est connu sous le nom ACE (Adaptive Coherent Estimator) ou ANMF :
| ( )
|
[ ( ) ( )]*
+
(2.36)
où est le seuil de détection.
Dans ce cadre Gaussien, la relation entre la et le seuil fait intervenir une fonction
hypergéométrique :
(2.37)
L‟équation (2.37) confirme la propriété CFAR du détecteur ANMF.
Chapitre 2 : Space-Time Adaptive Processing : théorie et état de l‟art Page 51
Kraut [KRA01] présente les performances de ce détecteur en milieu homogène et hétérogène.
L‟ANMF montre une grande capacité de réjection du fouillis lorsque celui-ci est vu par
l‟antenne avec un angle très supérieur à 1. Cependant, il est moins sensible lorsque
celui-ci est éclairé par l‟antenne avec un angle 2.
Ce détecteur correspond aussi au test du rapport de vraisemblance généralisé dans d‟autres
problèmes de détection :
la CST est corrompue par un signal interférant [BES07] ;
les interférences sont modélisées par un SIRV [PAS06].
Ces trois détecteurs nécessitent des données d‟entraînement homogènes. Une solution
envisagée pour lutter contre l‟hétérogénéité des données d‟entraînement est de les sélectionner
« au plus proche » de la CST [BOR95]. Cependant, une sélection adaptative peut être mise en
place prenant en compte un critère défini. Ces différentes stratégies sont décrites dans le
paragraphe 2.2.3.
2.2.3 Sélection des données d’entraînement
2.2.3.1 Sélection à structure fixe
Borsari [BOR95] développe deux classes de structure fixe3 pour la sélection des données
d‟entraînement : l‟entraînement local et l‟entraînement dit « gelé ».
Tout d‟abord, l‟entraînement local suppose que le fouillis a plus de chance d‟être homogène
dans des cases distance proches les unes des autres. Trois techniques sont présentées : la
fenêtre glissante, la segmentation en distance et le trou glissant. Pour Borsari [BOR95], cette
dernière technique décrite sur la figure 17 pallie les problèmes des deux premières, à savoir le
coût calculatoire élevé et la perte de la notion d‟entraînement local.
La matrice de covariance est calculée pour l‟ensemble des cases distance comme suit :
∑
(2.38)
Puis, on retire la contribution de la CST dans avant l‟application du filtre :
(2.39)
Ainsi, la matrice étant calculée qu‟une seule fois pour chaque région, cette méthode
réduit la complexité calculatoire de l‟algorithme.
Ensuite, l‟entraînement gelé décrit sur la figure 18, consiste à appliquer la stratégie du « trou
glissant » sur une région qui regroupe les premières cases distances et permet l‟estimation de
. Cette dernière est appliquée au reste des cases distance. Les premières cases distance
ayant une puissance plus forte selon le bilan de liaison radar (Cf. Annexe B), cela revient à
pratiquer sur les cases distance éloignées de l‟overnulling4.
1 Par abus de langage, les radaristes parlent dans ce cas de fouillis arrivant par les lobes secondaires de
l‟antenne. 2 Par abus de langage, les radaristes parlent dans ce cas de fouillis arrivant par le lobe principal de l‟antenne.
3 Dans ce cas, le terme « structure fixe » signifie que la stratégie de sélection des données d‟entraînement ne
dépend que de leur position par rapport à la case sous test et non de leur propriété d‟amplitude ou de phase. 4 L‟overnulling désigne l‟élargissement de l‟encoche de la réponse fréquentielle du filtre utilisé vis-à-vis du
filtre non adaptatif.
Chapitre 2 : Space-Time Adaptive Processing : théorie et état de l‟art Page 52
Néanmoins, toutes ces sélections à structure fixe ne permettent pas de lutter contre
l‟hétérogénéité du fouillis présent dans le domaine d‟entraînement. Pour cette raison, des
méthodes adaptatives1 ont été développées en effectuant une sélection des données
d‟entraînement à partir d‟un critère donné.
Figure 17 : Sélection à structure fixe par trou glissant2.
Figure 18 : Sélection à structure fixe par entraînement gelé.
1 Ici, le terme « adaptatif » désigne une adaptation de la sélection des données suivant leur propriété d‟amplitude
ou de phase. 2 Pour des raisons de simplicité, les dimensions Doppler et spatiale ont été regroupées sur la figure 17 au
contraire de la figure 9 présentant le data cube.
NM
1
Données
d‟entraînement
Données
d‟entraînement
Case sous test
1 Dimension distance
Cases
sous test
NM
1
Données
d‟entraînement
Données
d‟entraînement
Case sous test
1 Dimension distance
NM
1
Données
d‟entraînement
Données
d‟entraînement
Case sous test
1 Dimension distance
Chapitre 2 : Space-Time Adaptive Processing : théorie et état de l‟art Page 53
2.2.3.2 Sélection adaptative
Tout d‟abord, Rabideau et al. [RAB05] utilisent une stratégie adaptative de l‟overnulling. Le
principe est de sélectionner les données d‟entraînement ayant la plus forte puissance, on parle
alors de Power Selected Training (PST).
Lorsque le fouillis est hétérogène, ils démontrent l‟intérêt d‟inclure la CST dans le domaine
d‟entraînement :
(2.40)
où est un scalaire appartenant à .
D‟après les auteurs, cette méthode nommée Power Selected Deemphasis (PSD) permet de
lutter contrer les pics d‟amplitude isolés du fouillis. Cependant, le choix de reste un
problème ouvert. Ainsi, Rabideau et al. [RAB05] proposent de projeter la CST dans un espace
« presque orthogonal » au signal de la cible. Cette projection est établie grâce à des
informations a priori sur la localisation de la cible ou du fouillis. Ce pré-traitement permet de
fixer à 1 ; l‟expression (2.40) de devient :
(
)( ) (2.41)
où P désigne la matrice de projection de la case sous test dans l‟espace d‟une éventuelle cible.
D‟après les auteurs, les performances en termes de fausses alarmes sont nettement améliorées
sur des données réelles.
De plus, Kogon [KOG01] propose d‟améliorer la PST en excluant des données
d‟entraînement et les cases distance contenant des cibles. Ainsi, pour chaque case
d‟entraînement, une estimation de phase du signal est faite permettant une différenciation
entre une cible et un fort fouillis.
Ensuite, trois critères de non homogénéité ont été proposés par Melvin et Wicks [MEL97] : le
Inner Product (IP), le Generalized Inner Product (GIP) et le test statistique du SMI. Ils sont
définis respectivement par :
(2.42)
(2.43)
| ( )
| (2.44)
Selon les auteurs, les deux derniers critères donnent de meilleurs résultats en termes de
détection sur des données réelles que le critère IP.
Pour chaque critère, la valeur obtenue pour une case distance donnée est comparée à
l‟espérance mathématique du critère qui satisfait :
E[ (2.45)
E[ (2.46)
E[ ( ) ( ) (2.47)
Si celle-ci s‟en écarte, la case distance est exclue du domaine d‟entraînement. Néanmoins, la
connaissance a priori de la matrice requise par ces méthodes est un inconvénient majeur.
Enfin, Lombardo et Colone [LOM03] proposent une sélection des données a posteriori,
c‟est-à-dire après le traitement STAP. En particulier, les données d‟entraînement sont divisées
en J groupes donnant lieu à J filtres STAP appliqués à la CST.
Chapitre 2 : Space-Time Adaptive Processing : théorie et état de l‟art Page 54
Pour sélectionner la sortie des filtrages la plus « adaptée », deux stratégies sont proposées :
le Minimum Residual Power (MRP) conserve la sortie de plus petite puissance ;
le Median Test Output (MTO) illustrée par la figure 19, garde la valeur médiane des J
puissances des signaux de sortie.
Dans les deux cas, le but est d‟obtenir un détecteur robuste à la présence de cibles dans le
domaine d‟entraînement. Les auteurs montrent qu‟il est préférable d‟utiliser le MTO si l‟on
considère que les cibles ne perturbent pas plus que
groupes de cases d‟entraînement ;
dans le cas contraire, le MRP donne de meilleures performances de détection.
Dans la pratique, avec une sélection adaptative ou non, les cases distance homogènes et
identiquement distribuées nécessaires pour l‟algorithme SMI ne sont pas disponibles. Des
approches utilisant un domaine d‟entraînement réduit ont donc été proposées ; la section 2.2.4
en dresse l‟état de l‟art.
Figure 19 : Principe du MTO.
2.2.4 Algorithmes permettant la réduction du domaine d’entraînement
2.2.4.1 Algorithmes à dimension réduite
Le principe est de réduire la dimension des données utilisées pour le filtrage STAP. Pour cela,
une transformation fixe est appliquée aux données. Ward [WAR94] parle alors de traitements
partiellement adaptatifs et les décline en quatre catégories :
element-space pre-Doppler ;
beamspace pre-Doppler ;
element-space post-Doppler ;
beamspace post-Doppler.
NM
1
Groupe
d‟entraînement 2
Groupe
d‟entraînement 3
1
Dimension distance
Case sous test Groupe
d‟entraînement 1
Groupe
d‟entraînement 4
STAP 1
STAP 2
STAP 3
STAP 4
M
E
D
I
A
N
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Chapitre 2 : Space-Time Adaptive Processing : théorie et état de l‟art Page 55
Le terme « beamspace » signifie qu‟une transformation sur la dimension spatiale a été opérée
alors que le terme « post-Doppler » désigne le passage dans le domaine des fréquences sur la
dimension Doppler. La taxinomie des algorithmes à dimension réduite proposée par Ward
[WAR94] est décrite dans la figure 20.
Figure 20 : Taxinomie des algorithmes à dimension réduite selon Ward [WAR94] :
transformations appliquées aux données avant filtrage.
Bien que ces algorithmes soient théoriquement sous-optimaux, ils se révèlent très performants
en pratique en termes de détection ; ils approchent les résultats de l‟algorithme optimal. Les
méthodes post-Doppler sont les plus populaires par leur faible coût calculatoire puisqu‟après
une analyse spectrale, seuls échantillons de la dimension Doppler sont utilisés pour
le traitement STAP. Cependant, les méthodes pré-Doppler permettent d‟obtenir de meilleures
performances de détection en moyenne car elles ont à disposition plus de données
d‟entraînement. En effet, pour estimer la matrice de covariance des interférences avec un
nombre égal de cases distance :
les méthodes pré-Doppler utilisent les M échantillons de la dimension Doppler ;
les méthodes post-Doppler ne peuvent prendre en compte que les échantillons
concernés par le filtrage STAP.
Une approche hybride qui cumule les avantages des deux méthodes a été proposée par Savy
[SAV06]. Le principe est d‟estimer la matrice de covariance des interférences pré-Doppler et
de l‟appliquer grâce à une architecture post-Doppler particulière.
2.2.4.2 Algorithmes à rang réduit
Ces algorithmes reposent sur le rang r faible de la matrice de covariance du fouillis
[LIA00]. L‟objectif est d‟obtenir en moyenne des pertes en performance de 3 dB par rapport
au filtrage non adaptatif décrit dans l‟équation (2.25) en utilisant cases
d‟entraînement au lieu des cases d‟entraînement utilisées pour le SMI. On
considère que les r vecteurs propres associés aux valeurs propres prédominantes de
Dimension Doppler
Dimension
Spatiale
Dimension Doppler
Dimension
Spatiale
Dimension Doppler
Dimension
Spatiale
Dimension Doppler
Dimension
Spatiale
Transformation
Doppler
Transformation
Doppler
Transformation
Spatiale
Transformation
Spatiale
Element-Space
Pre-Doppler Element-Space
Post-Doppler
Beam-Space
Post-Doppler
Beam-Space
Pre-Doppler
Transformation 2D
Spatio-Temporel
Chapitre 2 : Space-Time Adaptive Processing : théorie et état de l‟art Page 56
forment une base du sous-espace du fouillis alors que le reste des vecteurs propres de
caractérise le sous-espace du bruit thermique. Ainsi, une projection dans un espace orthogonal
au fouillis peut être faite.
Ce critère a donné lieu à plusieurs méthodes dont l‟eigencanceller [HAI96] et le Principal
Components Inverse [KIR94]. Une méthode alternative, appelée Cross Spectral Metric
[BER99], consiste à choisir les r vecteurs propres qui maximisent le RSBI. Cependant,
l‟estimation du rang de la matrice r pour toutes ces méthodes peut s‟avérer difficile en
pratique. Pour cette raison, Goldstein [GOL98] implémente le STAP comme un filtre de
Wiener multi-étages (FWME).
De plus, en raison de la décomposition en valeurs propres ou celle en valeurs singulières, ces
algorithmes ont un coût calculatoire élevé de l‟ordre de [GOL96]. Pour cette raison,
Belkacemi et al. [BEL06a] suggèrent l‟utilisation de l‟algorithme appelé Projection
Approximate Subspace Tracking (PAST) et ses variantes. Ainsi, ils étudient la pertinence
d‟une version rapide nommée Fast Approximate Power Iteration. Récemment, une approche à
coût calculatoire faible ( ) a été proposée par Beau [BEA10]. De plus, elle prend en
compte la variation en distance du lieu du fouillis.
Il est à noter que ces algorithmes à rang réduit ont été étudiés d‟un point de vue détection et
ont donné lieu au GLRT à rang réduit proposé par Kirsteins [KIR94].
2.2.4.3 Diagonal loading
La méthode dite du « diagonal loading » consiste à ajouter un poids sur les éléments de la
diagonale de la matrice de covariance estimée , comme suit :
(2.48)
Le conditionnement de la matrice est alors moins élevé que celui de , réduisant les
problèmes lors de son inversion. Dans [KIM98], Kim et al. développent une méthode
théorique pour fixer la valeur de et Ayoub et al. [AYO00] en déduisent le détecteur
Loaded-GLRT (L-GLRT). D‟après les auteurs, il s‟agit d‟une version modifiée du GLRT de
Kelly qui fournit de « meilleures » performances en détection.
2.2.4.4 Structure paramétrique des interférences : modèle autorégressif vectoriel
Ces méthodes reposent sur l‟hypothèse que l‟ensemble des interférences, c‟est-à-dire le
fouillis et le bruit thermique, peut être modélisé par un processus autorégressif vectoriel
(VAR). Le modèle VAR est la généralisation du modèle autorégressif (AR) dans le cadre d‟un
processus vectoriel.
Le modèle AR se définit par l‟équation suivante :
∑ (2.49)
où est le processus AR, p est l‟ordre du modèle, { } sont les paramètres AR
et est le processus générateur aléatoire Gaussien centré de variance .
C‟est un modèle simple qui peut s‟interpréter soit comme une prédiction linéaire1, soit comme
le filtrage à réponse impulsionnelle infinie d‟un processus générateur blanc. Ainsi, le modèle
AR d‟ordre permet de représenter la nature spectrale, notamment jusqu‟à résonnances,
d‟un signal à partir de peu de paramètres. Il est utilisé dans de nombreux domaines tels que le
1 ∑
est la prédiction de reposant sur les dernières valeurs de .
est alors l‟erreur de prédiction.
Chapitre 2 : Space-Time Adaptive Processing : théorie et état de l‟art Page 57
traitement de données sismiques, le traitement de la parole, les systèmes de communication
mobile, l‟économétrie, le sonar et le radar. Concernant ce dernier domaine, bien que la
modélisation AR ne repose sur aucun phénomène physique selon Abramovich et al. [ABR08],
elle a fait ses preuves dans plusieurs applications à savoir l‟identification de types de fouillis
de sol [HAY79] et la détection de petites cibles marines [WEN00] et [PET08]. Possédant
plusieurs voies de réception, c‟est « naturellement » que plusieurs auteurs ont utilisé le
modèle VAR pour traiter des problèmes de détection [MIC91], [ROM00], [LOM03] et
[ABR08].
Pour une case distance donnée, le modèle VAR suppose que le signal , vecteur de taille
, s‟exprime comme la somme d‟une combinaison linéaire des p vecteurs
{ }
et d‟une erreur :
∑ (2.50)
où p désigne l‟ordre du modèle, { } sont les matrices AR et représente le
processus générateur vectoriel ou le vecteur d‟erreur de prédiction. C‟est un vecteur aléatoire
de moyenne nulle et temporellement blanc. Sa matrice de covariance est donc diagonale
par bloc :
[
] (2.51)
où D est une matrice de taille et est la matrice nulle de taille .
Lorsque le Parametric Adaptive Matched Filter (PAMF) [ROM00] est appliqué, les matrices
AR sont de taille et est égal à la matrice identité. On peut établir un lien entre
cette technique et l‟AMF à partir de la décomposition LDU [THE92] de . En effet, la
matrice peut se décomposer comme suit :
(2.52)
où est une estimation de D et est une matrice triangulaire inférieure par bloc.
de taille s‟écrit :
[
]
(2.53)
Etant donné (2.52), l‟équation (2.33) peut se réécrire comme suit :
| ( )
|
[ ( ) ( )]
(2.54)
Roman [ROM00] propose alors de fixer l‟ordre . Cela signifie que pour tout
:
. (2.55)
Chapitre 2 : Space-Time Adaptive Processing : théorie et état de l‟art Page 58
Tenant compte de l‟équation (2.55), la matrice peut être déduite de l‟équation (2.53)
comme suit :
[
]
(2.56)
Cette matrice est de taille et permet l‟organisation des calculs par
sommation glissante. L‟équation (2.54) devient alors :
| ( )
|
[ ( )
( )]
(2.57)
Etant donné la structure de , l‟équation (2.57) peut se réécrire sous la forme suivante :
|∑
|
∑
(2.58)
où
∑
(2.59)
et
∑ . (2.60)
Les équations (2.59) et (2.60) peuvent être interprétées comme des « filtrages inverses ».
Ainsi, l‟algorithme PAMF nécessite l‟estimation des matrices AR et de la matrice de
covariance . Pour cela, Roman et al. [ROM00] utilisent deux algorithmes : le premier repose
sur une estimation au sens des moindres carrés et le second est une généralisation de
l‟algorithme de Burg [BUR67] au cas d‟un processus VAR. Nous revenons en détail sur ces
algorithmes dans le chapitre 3. Néanmoins, ces méthodes ne permettent pas une « bonne »
estimation de la matrice théorique . Il en résulte un filtrage spatial inadapté. Les auteurs
préconisent d‟effectuer le filtrage inverse caractérisé par l‟équation (2.59) sur l‟ensemble des
données d‟entraînement et d‟estimer la matrice à partir du signal résiduel de ce filtre
inverse :
∑
(2.61)
Deux estimations sont envisagées : soit la matrice est estimée pour un seul instant m
selon l‟équation (2.63), soit est obtenue en moyennant des matrices estimées pour chaque
instant m allant de 0 à selon l‟équation (2.62).
∑
(2.62)
avec
∑
( )
(2.63)
Selon Roman et al. [ROM00], opter pour favorise un comportement du détecteur
PAMF « proche » de la propriété CFAR alors que le choix de améliore la probabilité de
détection.
Chapitre 2 : Space-Time Adaptive Processing : théorie et état de l‟art Page 59
La figure 21 résume l‟ensemble de l‟algorithme PAMF.
Figure 21 : Schéma de principe du PAMF.
Le PAMF ne possède pas la propriété CFAR, mais présente de meilleures performances de
détection que l‟AMF quelle que soit la taille du domaine d‟entraînement. De plus, d‟après les
auteurs de [CAD04], il se montre très robuste lorsque les données d‟entraînement sont
contaminées par des cibles et le fouillis n‟est pas stationnaire en distance (ce qui correspond à
une configuration frontale du radar).
Pour des hypothèses non Gaussiennes, deux détecteurs paramétriques ont été proposés. Le
Normalized PAMF (NPAMF) [MIC00b] a pour expression :
|∑
|
*∑
+[∑ ( )
]
(2.64)
Selon les auteurs, il est l‟implémentation paramétrique du détecteur adaptatif ANMF décrit
par l‟équation (2.36).
Le NG-PAMF développé par Rangaswamy et Michels [RAN97] est quant à lui défini par :
(2.65)
avec
∑ ( )
, (2.66)
{ }
Estimation des matrices
AR { }
Filtre inverse
Estimation de la
matrice
{ }
Seuillage
Filtre inverse
Filtre inverse
Chapitre 2 : Space-Time Adaptive Processing : théorie et état de l‟art Page 60
|∑
|
∑
(2.67)
et
∫ (
)
. (2.68)
où est la densité de probabilité de la texture lorsque le fouillis est modélisé par un SIRV.
Le NG-PAMF résulte de la version logarithmique du TRVG avec une amplitude inconnue du
signal. Si le fouillis est Gaussien, et le NG-PAMF est équivalent au PAMF.
Cependant, ce test nécessite la connaissance des paramètres statistiques du fouillis, ce qui
n‟est pas le cas pour le NPAMF. Pour cette raison, seul le NPAMF est étudié dans cette thèse.
Les performances de ces deux détecteurs ont été étudiées par Michels et al. [MIC00c] pour un
fouillis Gaussien et non Gaussien. Le NPAMF et le NG-PAMF présentent de meilleures
performances de détection que l‟ANMF pour un ordre . De plus, le NPAMF a des
performances proches du détecteur non adaptatif NMF [MIC00a]. Selon les auteurs, le
NPAMF est « presque » texture-CFAR, mais n‟est pas matrix-CFAR.
Pour apporter la propriété CFAR au détecteur paramétrique, Parker et Swindlehurst [PAR03]
ont conçu le filtre Space-Time Autoregressive (STAR). Ils proposent de relaxer deux
contraintes du PAMF : les matrices AR sont rectangulaires de taille où et
n‟est plus égal à la matrice identité. Cependant, le choix de est délicat puisqu‟il est lié au
rang r de la matrice .
Lombardo et Colone [LOM03] proposent une autre approche fondée sur l‟application du
GLRT en deux étapes. Dans un premier temps, ils considèrent que l‟ordre du modèle p, les
matrices AR { } et la matrice D sont connus.
|∑
∑
|
(2.69)
Ce détecteur est intrinsèquement CFAR (Cf. chapitre 2 de [KLE04]).
Dans un second temps, les auteurs insèrent les estimations des matrices AR { }
et de la
matrice dans l‟équation (2.69). Comme pour le détecteur PAMF, Lombardo conclut que le
détecteur n‟est plus CFAR. Cela s‟explique par la non-connaissance a priori de l‟ordre du
modèle AR et par le fait que les interférences ne sont pas un processus VAR au sens strict.
Néanmoins, pour obtenir la propriété CFAR, il propose de diviser le numérateur de l‟équation
(2.69) par une estimation de la puissance des interférences après filtrage notée :
∑ (|
∑
∑
|
)
(2.70)
Selon lombardo, cet algorithme permet de diviser par quatre le nombre de cases distance du
domaine d‟entraînement pour des performances identiques en détection.
2.2.4.5 Algorithmes sans données d’entraînement
Dans les cas où le fouillis est très hétérogène, des solutions ont été proposées n‟utilisant pas
les données d‟entraînement. Les auteurs nomment cette technique « STAP sans référence de
bruit seul » [LEC03]. Deux méthodes haute résolution ont été utilisées pour établir une
analyse spectrale à deux dimensions (spatiale et Doppler) : le filtre adapté global [MAR06] et
le filtre de Capon [LEC06].
Chapitre 2 : Space-Time Adaptive Processing : théorie et état de l‟art Page 61
2.2.5 Algorithmes en milieu non Gaussien
Lorsque le fouillis a une distribution non Gaussienne, l‟estimation SCM n‟est plus optimale
au sens du maximum de vraisemblance. De plus, elle dépend de la texture du fouillis :
∑
∑ ( )
(2.71)
Le détecteur utilisé avec cet estimateur n‟est alors pas texture-CFAR.
Néanmoins, les autres estimateurs proposés sont généralement comparés au SCM car il
possède de bonnes propriétés statistiques, à savoir la consistance et l‟absence de biais.
Dans le contexte des modèles SIRV, le premier estimateur proposé dans la littérature est le
Normalized Sample Covariance Matrix (NSCM) [CON94]. Il ne dépend pas de la texture et
peut donc permettre au détecteur d‟être texture-CFAR :
∑
∑
(2.72)
Cependant, l‟estimateur NSCM est biaisé et non consistant [PAS08]. Pour cette raison,
l‟estimateur du point fixe (PF) a été développé. Il repose sur des résultats issus de la théorie
sur le maximum de vraisemblance appliqué au cas d‟un SIRV. En effet, si la texture est
considérée comme un paramètre inconnu déterministe, l‟estimateur PF est l‟estimateur au
sens du maximum de vraisemblance ; si est considéré comme une variable aléatoire
positive, l‟estimateur PF est une approximation de l‟estimateur au sens du maximum de
vraisemblance [GIN02]. Selon Pascal et al. [PAS08], l‟estimateur PF est l‟unique solution
de :
∑
∑
. (2.73)
Il ne dépend pas de la texture du SIRV ; il est non biaisé et consistant. De plus, l‟estimateur
PF est obtenu par un algorithme itératif qui converge quel que soit l‟initialisation. Le nom de
cet estimateur provient du fait que la solution est le point fixe de la fonction définie par :
{
∑
où { définie positive} avec est l‟ensemble des
matrices de taille dont les éléments appartiennent à .
Une version adaptative du détecteur aBORD utilisant l‟estimateur PF [PAS08] peut ainsi être
déduite :
| ( )
|
[ ( ) ( )]*
+
(2.74)
Dans ce cas, la fonction reliant la et le seuil est donnée par l‟équation suivante :
(2.75)
où
et
.
Chapitre 2 : Space-Time Adaptive Processing : théorie et état de l‟art Page 62
Récemment, Mahot et al. [MAH10b] ont réalisé une analyse statistique des estimateurs
NSCM et PF dans un contexte de perturbations : cases d‟entraînement sont
contaminées par une composante déterministe dont la puissance est élevée par rapport à celle
du fouillis. Ainsi, les biais introduit par les perturbations des deux estimateurs sont calculés
théoriquement.
2.2.6 Techniques de compensation des variations en distance du fouillis
La sélection des données d‟entraînement ou l‟utilisation d‟algorithmes d‟estimation à
domaine d‟entraînement réduit ne résout pas le problème de variation en distance du fouillis.
Ces variations de lieu du fouillis ont été mises en évidence en configuration non latérale du
radar. L‟ensemble des méthodes peut être classé en deux catégories :
une catégorie où une transformation est appliquée aux données d‟entraînement afin de
les rendre stationnaires en distance ;
une autre où le filtre STAP est construit de manière à évoluer selon la distance.
2.2.6.1 Pré-compensation des données d’entraînement
Ces méthodes consistent à effectuer un pré-traitement sur les données d‟entraînement.
Dans un premier temps, Kreyenkamp [KRE01] estime la fréquence Doppler centrale pour
chaque case distance afin d‟effectuer la compensation. Ainsi, on obtient une version
adaptative du Doppler Warping initialement proposé par Borsari [BOR98]. Pearson a étendu
la méthode en proposant une compensation Doppler pour une direction de visée donnée
[PEA01].
Ensuite, dans une configuration radar bistatique, Himed et al. [HIM02] ont proposé une
compensation non adaptative de la fréquence centrale sur les deux dimensions, Doppler et
spatiale. Une extension adaptative est proposée dans [MEL03].
Enfin, Lapierre et Verly compensent la totalité des fréquences du fouillis sur les deux
dimensions [LAP05]. Le périodogramme à deux dimensions est estimé pour chaque case
distance permettant l‟extrapolation des maxima des lieux du fouillis. Ils sont ensuite modifiés
pour ressembler au lieu de fouillis de la CST. La compensation est donc globale au prix d‟un
fort coût calculatoire.
2.2.6.2 Filtre évoluant en distance
Le « Derivative Based Updating » (DBU) est la méthode la plus répandue. Elle calcule la
réponse impulsionnelle du filtre de la case distance k à partir d‟un modèle de filtre linéaire
en distance :
(2.76)
Tout d‟abord développée pour une configuration d‟antenne tournante [HAY96a], cette
technique peut être utilisée dans toutes les configurations non latérales [BID07], mais aussi en
configuration bistatique [KOG00]. Elle repose sur un double domaine d‟entraînement pour
estimer et
. Pour cette raison, elle est utilisée avec un algorithme à domaine
d‟entraînement réduit : soit l‟algorithme post-Doppler [ZAT00], soit l‟algorithme pre-Doppler
[BID07]. Cette technique ne nécessite la connaissance d‟aucun paramètre radar, mais son coût
calculatoire reste un défaut majeur [BEA08].
Chapitre 2 : Space-Time Adaptive Processing : théorie et état de l‟art Page 63
2.2.7 Utilisation de l’information a priori : le KA-STAP
Dans de nombreux cas, des informations sur la configuration du radar et sur l‟environnement
que ce dernier éclaire sont disponibles. Les renseignements concernant le fouillis proviennent
de différentes sources : cartes de terrain, données GPS et de centrales inertielles, images SAR,
données d‟autres capteurs et données issues de précédents vols. Le principe du Knowledge-
Aided STAP (KA-STAP) est de tenir compte de ces informations a priori pour améliorer
l‟implémentation du filtre STAP [WIC06]. Guerci et al. [GUE06] établissent deux classes de
KA-STAP :
celle utilisant de manière indirecte des informations permettant de choisir l‟algorithme
STAP le plus adapté parmi ceux décrits dans les sections 2.2.3 et 2.2.4, le seuil de
détection et la forme d‟onde ;
celle incorporant des informations dans le filtrage.
La méthode d‟incorporation la plus utilisée est appelée Colored Loading (CL) [HIE02]. Elle
consiste à estimer la matrice de covariance des interférences comme la somme pondérée de la
matrice et d‟une matrice de covariance des interférences connue a priori :
(2.77)
où sont des nombres réels.
Une méthode simple pour construire la matrice repose sur le modèle GCM rappelé à
l‟équation (1.41). Elle peut être vue comme une étape de pré-blanchiment annulant la part
quasi-déterministe des interférences [BID08]. Le problème de la méthode CL réside dans le
choix du couple . Stoica et al. [STO08] proposent une méthode reposant sur la
minimisation de l‟erreur quadratique entre l‟estimation et la matrice de covariance
théorique . De Maio [DEM06] développe, quant à lui, une approche alternative permettant
d‟introduire l‟information a priori dans un cadre bayésien. La matrice est alors estimée par
une matrice aléatoire distribuée autour de . Bidon propose d‟y introduire un modèle
d‟hétérogénéité sur les données d‟entraînement [BID08].
Enfin, le KA-STAP peut être inséré au sein des techniques décrites dans la section 2.2.4
nécessitant un domaine d‟entraînement réduit. Récemment, Wang et al. [WAN10] utilisent le
modèle d‟hétérogénéité de Bidon [BID08] au sein d‟un détecteur PAMF afin de déterminer la
matrice de covariance de l‟erreur de prédiction . Ainsi, ils luttent contre la non-homogénéité
du domaine d‟entraînement réduit.
2.2.8 Bilan
Le chapitre 2 a permis de dresser un état de l‟art sur les traitements STAP. Les méthodes
effectuant une sélection des données d‟entraînement et celles compensant la variation en
distance des lieux du fouillis sont présentées. De plus, partant de la méthode SMI, les
algorithmes, utilisés en pratique et permettant de réduire le domaine d‟entraînement, sont
détaillés. Ils sont regroupés dans la figure 22. Pour obtenir une taxinomie et une structure
globale sur le STAP, le lecteur peut se référer à [DEG08].
Tout d‟abord, les algorithmes à dimension réduite consistent à appliquer une transformation
fixe aux données du data cube [WAR94]. Bien qu‟ils soient sous-optimaux, ils présentent des
performances en termes de probabilité de détection proches du filtrage non adaptatif. De plus,
de par leur coût calculatoire réduit, notamment avec une structure hybride proposée par Savy
[SAV06], ils sont très largement utilisés en pratique.
Chapitre 2 : Space-Time Adaptive Processing : théorie et état de l‟art Page 64
Ensuite, les algorithmes à rang réduit regroupent l‟ensemble des approches algébriques à
décomposition en sous-espaces. Ils exploitent le rang faible r de la matrice de covariance du
fouillis [BEL06b]. En pratique, la détermination de la valeur de r reste un problème ouvert
même si certaines méthodes comme le filtre de Wiener multi-étages sont relativement
robustes vis-à-vis du choix de r [GUE00].
Figure 22 : Ensemble des méthodes permettant la réduction du domaine d‟entraînement.
Puis, le diagonal loading est une méthode simple qui consiste à ajouter un poids à chaque
élément diagonal de la matrice de covariance estimée des interférences pour améliorer son
conditionnement.
Le KA-STAP permet de tenir compte d‟informations connues a priori sur la configuration du
radar ou la surface éclairée par celui-ci dans le schéma de détection. Cette méthode est très
prometteuse en termes de performance de détection, de robustesse à l‟hétérogénéité et de
réduction des données d‟entraînement. Cependant, l‟importance à accorder à l‟information a
priori reste un problème ouvert en pratique [BID08].
Récemment, Le Chevalier a proposé des algorithmes sans données d‟entraînement [LEC03]
permettant de lutter contre un fouillis très hétérogène. Cependant, ces traitements n‟éliminent
pas le fouillis et doivent donc être suivis par un traitement TFAC orienté dans le sens des
lieux du fouillis.
Enfin, les algorithmes reposant sur une structure paramétrique utilisent le modèle VAR pour
définir le filtre STAP [ROM00]. Ils requièrent un domaine d‟entraînement réduit et sont
robustes aux effets de transition du fouillis [LOM03]. Nos travaux de recherche s‟intègrent
dans cette famille d‟algorithmes et plus particulièrement portent sur l‟estimation des matrices
AR. Tout d‟abord, nous développons un modèle de représentation des interférences
distinguant le fouillis du bruit thermique. Puis, nous mettons en œuvre des techniques
d‟estimation des matrices AR en tenant compte des points suivants :
l‟estimation des matrices AR est, dans certains cas, totalement aveugle ;
une estimation récursive permet de réduire le coût calculatoire ;
le fouillis peut suivre une distribution non Gaussienne.
Nos contributions sont détaillées dans le chapitre 3.
Diagonal loading
[KIM98] et [AYO00]
Structures paramétriques
[ROM00] et [PAR03]
Algorithmes
sans données d‟entraînement
[LEC06] et [MAR06]
Sample Matrix Inversion (SMI)
[REE74]
Algorithmes à dimension réduite
[WAR94] et [SAV06]
Algorithmes à rang réduit
[GOL98], [GUE00] et [BEL06b]
Knowledge-Aided STAP
[GUE06] et [BID08]
Chapitre 3 : Contributions sur la modélisation VAR des interférences Page 65
Chapitre 3 : Contributions aux approches fondées sur la modélisation autorégressive vectorielle des interférences
Dans le cadre du STAP, une modélisation a priori des interférences peut être utile. Différents
cas peuvent être envisagés selon que l‟on se place dans des hypothèses Gaussiennes ou non.
Ce chapitre traite de choix de modélisation des interférences et des techniques d‟estimation
associées.
Dans un premier temps, ce chapitre dresse un état de l‟art de l‟estimation des paramètres AR
dans le cas d‟un processus AR non bruité puis bruité. Ensuite, nous présentons nos
contributions concernant la modélisation des interférences par un processus VAR. Nous
décrivons les techniques d‟estimation des matrices AR existantes dans le cas d‟observations
non bruitées puis perturbées par un bruit blanc. Puis, les différents algorithmes par bloc et
récursifs que nous avons proposés sont détaillés. Deux cas sont envisagés selon que le fouillis
suit une loi Gaussienne ou non. Une implémentation permettant une réduction du coût
calculatoire du PAMF est aussi exposée. Enfin, une étude comparative est menée permettant
d‟établir la performance des différentes approches en termes d‟erreur quadratique moyenne
d‟estimation sur des données générées à partir d‟un processus VAR.
3.1 Etat de l’art sur les méthodes d’estimations des paramètres
AR
Dans ce paragraphe, nous dressons un bref état de l‟art des différentes méthodes d‟estimation
des paramètres AR dans le cas d‟observations non bruitées puis perturbées par un bruit blanc
additif.
Considérons le processus AR noté :
∑ (3.1)
où p est l‟ordre du modèle, { } sont les paramètres AR inconnus et est le
processus générateur aléatoire Gaussien centré et de variance . La stabilité du système est
assurée si les pôles de la fonction de transfert
∑
sont à l‟intérieur du
cercle unité dans le plan complexe.
Chapitre 3 : Contributions sur la modélisation VAR des interférences Page 66
Intéressons-nous tout d‟abord aux méthodes d‟estimation des paramètres AR qui reposent sur
le traitement par bloc des échantillons disponibles.
Pour cela, introduisons le vecteur de taille suivant :
. (3.2)
Etant donné (3.1), on peut déduire aisément les équations de Yule-Walker (YW) :
(3.3)
où , et .
Des alternatives reposant sur un critère de type moindres carrés existent telles que la méthode
dite de corrélation et celle de covariance [NAJ06]. Elles ont donné lieu respectivement à deux
algorithmes rapides, l‟algorithme de Levinson pour la première et l‟algorithme proposé par
Morf et al. [MOR77] pour la seconde. En outre, Marple [MAR87] a proposé la méthode de
covariance modifiée où il minimise la demi-somme des erreurs de prédiction directe et
rétrograde1. Enfin, l‟algorithme récursif de Burg sur l‟ordre minimise la puissance des erreurs
de prédiction directe et rétrograde grâce aux coefficients de réflexion.
Des méthodes récursives peuvent être aussi envisagées pour estimer les paramètres AR tels
que le LMS [HAY96b], le RLS [HAY96b], le filtrage de Kalman et le filtrage H∞ [LAB05].
Parmi les variantes du RLS, le RLS avec facteur d‟oubli [NAJ06] permet de donner plus de
poids aux dernières observations. Cette technique est plutôt utilisée dans le cas d‟une
poursuite de paramètres AR variant dans le temps.
Dans un second temps, considérons le cas où le processus AR est bruité :
(3.4)
où est le processus observé et est un bruit blanc gaussien de variance .
L‟utilisation des méthodes décrites précédemment entraîne un biais dans l‟estimation des
paramètres AR dû au bruit. En effet, si l‟on résout les équations de Yule-Walker en utilisant
les observations , il vient :
(3.5)
où , et .
Or, on a :
(3.6)
et
(3.7)
D‟après les équations (3.6) et (3.7), l‟équation (3.5) peut se réécrire comme suit :
. (3.8)
Etant donné (3.3), il vient :
(3.9)
1 La notion d‟erreur de prédiction rétrograde n‟est pas présentée dans cette thèse. Le lecteur peut se référer à
[MAR87] pour obtenir des informations sur ce sujet.
Chapitre 3 : Contributions sur la modélisation VAR des interférences Page 67
soit encore
(
)
(3.10)
En appliquant le lemme d‟inversion matricielle à (
)
, on obtient :
( )
⏟
⏟
(3.11)
Pour cette raison, d‟autres techniques ont été proposées ; elles opèrent par bloc ou peuvent
être récursives.
1/ Concernant les méthodes effectuant un traitement par bloc, il est possible de réécrire les
équations de YW sans faire intervenir la fonction d‟autocorrélation du processus pour un écart
nul. On aboutit aux équations de YW modifiées [CHA80] que l‟on peut interpréter comme
une technique de variables instrumentales. D‟autre part, on peut aussi compenser le bruit de
mesure dans les équations de YW à condition de connaître a priori la variance du bruit
additif. Ainsi, les équations de YW compensées en bruit satisfont :
( )
(3.12)
Dans le cas contraire, quatre catégories d‟algorithmes se dégagent. Tout d‟abord, un
algorithme EM (Expectation-Maximisation) peut être utilisé [DER94]. La deuxième, qui
comprend la méthode de Davila [DAV98], consiste à voir les équations de YW dites
compensées en bruit comme un problème de décomposition en valeurs propres généralisées.
La troisième vise à estimer itérativement et alternativement l‟estimation des paramètres AR et
la variance du bruit. C‟est notamment le cas des méthodes de Zheng et al. [ZHE00]. Enfin,
une approche à erreurs dans les variables (EIV) estime non seulement les paramètres AR,
mais aussi les variances du bruit additif et du bruit de mesure. Pour cela, on tire profit du
schéma de Frisch [BEG90] pour estimer les variances des bruits du modèle qui rendent semi-
définie positive la matrice de covariance des observations compensée en bruit. Le noyau de la
matrice résultante permet d‟estimer les paramètres AR.
Remarque : on peut aussi envisager une approche fondée sur les statistiques d‟ordre supérieur,
en particulier sur les cumulants. On peut montrer que [THE92] :
∑
{
(3.13)
L‟équation (3.13) conduit à des équations de type YW fondées sur des cumulants :
[
]
[
] [
] (3.14)
Cependant, l‟application de l‟équation (3.14) mène à une « pauvre » estimation des
paramètres AR due au fait que les cumulants estimés présentent une forte variance. Des
approches alternatives ont été proposées dans [BAK94].
2/ Les méthodes récursives peuvent être classées en deux catégories : celles de type LMS qui
incluent le γ-LMS [TRE79], le ρ-LMS [WU97], le β-LMS [ZHA00] et le µ-LMS [SO01] et
celles fondées sur la représentation dans l‟espace d‟état du système. Dans ce cas, il s‟agit
Chapitre 3 : Contributions sur la modélisation VAR des interférences Page 68
d‟estimer conjointement le processus non bruité et les paramètres AR. On aboutit à une
représentation dans l‟espace d‟état non linéaire. Ainsi, le vecteur d‟état qui contient les
paramètres AR et les dernières valeurs du processus AR peut être estimé à partir d‟un
filtrage de Kalman étendu, d‟un filtrage de Kalman par points sigma regroupant le filtrage de
Kalman non parfumé (UKF) [JUL95] et le filtrage de Kalman par différence centrale (CDKF)
[NOR00], ou encore d‟un filtrage particulaire [DOU01]. Comme alternative aux filtrages EKF
ou SPKF, une structure par filtres couplés a été proposée par Labarre et al. [LAB06] et
s‟interprète comme une technique de variables instrumentales récursive. Une approche fondée
sur des filtres H∞ mutuellement interactifs a été aussi étudiée dans [LAB07].
Le tableau 2 récapitule l‟ensemble des méthodes permettant d‟estimer les paramètres AR dans
le cas d‟un processus AR. La section 3.2 dresse un état de l‟art sur les techniques d‟estimation
des matrices AR à partir d‟un processus VAR.
Méthodes par bloc Méthodes récursives
Processus AR
non bruité
Méthode de corrélation
Méthode de covariance
Méthode de covariance modifiée
Méthode de Burg
LMS
RLS
Filtrage de Kalman
Filtrage H∞ [LAB05]
Processus
AR
bruité
connue
Equations de YW
compensées en bruit
Méthode des corrélations
compensée en bruit
Méthode de la covariance
compensée en bruit
γ–LMS [TRE79]
ρ-LMS [WU97]
µ-LMS [SO01]
Filtrage EKF
Filtrage UKF [JUL95]
Filtrage CDKF [NOR00]
Filtrage particulaire [DOU01]
Filtrages couplés [LAB06] [LAB07]
est
imée
Algorithme EM [DER94]
Méthode de Davila [DAV98]
Méthode itérative de Zheng
[ZHE00]
EIV [BEG90]
β-LMS [ZHA00]
non
consi
dér
ée
Equations de YW modifiées
-
Tableau 2 : Méthodes d‟estimation des paramètres AR scalaires.
3.2 Etat de l’art sur les méthodes d’estimation des matrices AR
3.2.1 Techniques d’estimation des matrices AR à partir d’un processus
VAR
Dans cette section, on représente l‟ensemble des interférences, fouillis et bruit thermique, par
un modèle VAR. C‟est le modèle utilisé par tous les auteurs appliquant le STAP fondé sur une
modélisation VAR d‟ordre p [ROM00].
Chapitre 3 : Contributions sur la modélisation VAR des interférences Page 69
Il s‟exprime comme suit :
(3.15)
et
∑ (3.16)
où est le vecteur générateur Gaussien complexe centré ayant pour matrice de covariance
.
La stabilité du système est garantie si les racines { } du déterminant de sont
situées à l‟intérieur du cercle unité du plan complexe z. Le polynôme se construit
comme suit :
(3.17)
Les équations de Yule-Walker sont établies à partir de l‟équation (3.16) [MAR87] qui s‟écrit
de manière matricielle comme suit :
(3.18)
où et
Afin d‟établir une relation entre les matrices AR et la matrice de covariance de , on
applique à l‟équation (3.18) une post-multiplication par avant de prendre
l‟espérance mathématique . Le résultat obtenu est :
* + [ ] (3.19)
L‟équation (3.19) devient alors :
*
+ ⏟
(3.20)
où
est de taille est une portion de la matrice :
[
] (3.21)
et est la matrice de taille définie par bloc :
. (3.22)
L‟équation (3.20) est la version pour un processus VAR des équations de Yule-Walker. Leur
résolution permet de déduire les matrices AR comme suit :
( )
(3.23)
Des alternatives reposant sur un critère de type moindres carrés ont été développées telle que
la généralisation au cas VAR de la méthode de corrélation. Dans ce cas, la matrice est
Toeplitz par bloc ; il est donc possible d‟appliquer l‟extension de l‟algorithme de Levinson au
cas VAR développé par Wiggins et Robinson [WIG65]. Cet algorithme a pour avantage
d‟avoir un faible coût calculatoire ( ) et garantit la stabilité du modèle VAR.
Remarque : Roman et al. [ROM00] utilisent cet algorithme pour estimer les matrices AR lors
de l‟application du PAMF.
Chapitre 3 : Contributions sur la modélisation VAR des interférences Page 70
Si l‟on utilise uniquement la portion de signal disponible, c‟est-à-dire que l‟on cherche à
minimiser l‟erreur quadratique moyenne sur l‟intervalle , la méthode de covariance
est obtenue dans le cas d‟un processus VAR. La matrice utilisée lors du calcul n‟est alors plus
Toeplitz et l‟algorithme de Levinson ne peut pas être utilisé. Cependant, Morf et al. [MOR77]
ont proposé un algorithme permettant la résolution du problème avec un coût calculatoire en
( ). Ces différentes méthodes sont toutes fondées sur la minimisation de l‟erreur
quadratique de prédiction.
La méthode du maximum d‟entropie proposée par Burg a été étendue au cas d‟un processus
VAR par Nuttall [NUT76] et Strand [STR77]. Cet algorithme que l‟on appelle communément
maintenant Nutall-Strand (NS) permet une stabilité du filtre résultant et n‟impose pas de
fenêtrage au signal.
Remarque : Dans le domaine du STAP, Michels [MIC91] et Roman [ROM00] utilisent cette
méthode d‟estimation. Ainsi, les paramètres AR utilisés pour le PAMF sont la moyenne des
estimations des paramètres AR pour chaque case distance.
3.2.2 Techniques d’estimation des matrices AR à partir d’un processus
VAR perturbé par un bruit blanc vectoriel
A présent, on considère que seul le fouillis est modélisé par un modèle VAR d‟ordre p. Puis,
le bruit thermique vient perturber le processus VAR.
Il vient :
∑
(3.24)
(3.25)
où est le vecteur générateur Gaussien complexe centré ayant pour matrice de
covariance et représente le bruit thermique caractérisé dans la section 1.2.2. On
rappelle que sa matrice de covariance est diagonale avec les éléments diagonaux égaux à
.
Comme dans le cas d‟un processus AR, il est possible d‟établir l‟expression (3.9) du biais des
techniques d‟estimation des matrices AR dans le cas bruité.
Les matrices AR s‟obtiennent par :
( )
⏟
⏟
(3.26)
où [
].
Si la matrice de covariance du bruit est connue, il est possible d‟effectuer une
compensation en bruit à partir des équations de Yule-Walker :
[ ][
] (3.27)
Ainsi, la solution de l‟équation (3.27) devient :
[
]
(3.28)
Si la matrice de covariance n‟est pas connue, Hasan [HAS03] et Mahmoudi [MAH08],
[MAH10a] proposent trois méthodes itératives qui visent alternativement à estimer la matrice
Chapitre 3 : Contributions sur la modélisation VAR des interférences Page 71
de covariance du bruit et les matrices AR en résolvant un jeu de deux équations. Tout
d‟abord, Hasan [HAS03] estime les matrices AR grâce à l‟équation (3.28) et résout des
équations non linéaires avec l‟algorithme itératif de Newton-Raphson pour estimer la matrice
de covariance . Ensuite, Mahmoudi [MAH08] utilise la formulation du biais d‟estimation
de la solution au sens des moindres carrés pour estimer les matrices AR et une expression
théorique de la matrice de covariance généralisant ainsi les méthodes développées par
Zheng [ZHE00] dans le cas d‟un processus AR. Enfin, Mahmoudi [MAH10a] propose
d‟utiliser les équations de Yule-Walker avec des ordres inférieurs et supérieurs à p.
D‟après les simulations menées durant cette thèse, ces méthodes peuvent diverger et ne
garantissent pas la stabilité des matrices AR pour un RSB inférieur à 10 dB et avec un nombre
d‟échantillons disponibles inférieur à 1024.
Remarque : les équations (3.13) et (3.14) peuvent être généralisées au cas d‟un processus
VAR comme le suggèrent Swami et al. [SWA89]. On observe les mêmes difficultés de mise
en œuvre que dans le cas d‟un processus AR.
Comme pour les modèles AR, l‟un des problèmes fondamentaux des approches reposant sur
une modélisation VAR concerne le choix de l‟ordre p.
3.3 Commentaires sur la détermination de l’ordre p du modèle
Intéressons-nous dans un premier temps au cas d‟un processus AR d‟ordre 3. Ainsi, la figure
23 présente la densité spectrale de puissance (DSP) théorique de ce processus dont
l‟expression est donnée par :
| ∑
| (3.29)
où désigne la fréquence normalisée.
Comme le montre la figure 23, choisir un ordre trop faible revient à lisser le spectre alors que
choisir un ordre trop élevé conduit à introduire des résonnances supplémentaires.
Figure 23 : DSP théorique d‟un processus AR d‟ordre 3
et DSP estimées avec un ordre 2 et 12.
Dans le cas d‟un processus AR, deux méthodes classiques existent pour déterminer l‟ordre p à
savoir le Akaike Information Criterion (AIC) [AKA74] et le Minimum Description Length
(MDL) [RIS78].
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-20
-10
0
10
20
30
40
frequence normalisee
DS
P
theorique, ordre 3
ordre 2
ordre 12
Chapitre 3 : Contributions sur la modélisation VAR des interférences Page 72
Pour l‟AIC, l‟ordre p choisi minimise :
( ) (3.30)
où est l‟estimation au sens du maximum de vraisemblance de la variance de l‟erreur de
prédiction à l‟ordre p.
Pour le MDL, l‟ordre p choisi minimise :
( ) (3.31)
Cependant, il est très difficile d‟estimer l‟ordre du modèle par ces critères notamment lorsque
le processus AR est bruité. Therrien [THE92] précise que ces procédures ne permettent que
d‟estimer l‟ordre d‟un processus AR strict, ce qui limite leur utilisation en pratique.
Dans le cadre d‟un modèle VAR, Roman et al. [ROM00] proposent de calculer la limite
supérieure de l‟ordre p. Ils définissent alors deux critères suivant qu‟ils utilisent l‟algorithme
de NS ou l‟algorithme des moindres carrés (MC) :
* √
+ (3.32)
*
+ (3.33)
Parker et Swindlehurst [PAR03] proposent quant à eux une généralisation des critères AIC et
MDL au cas VAR. Les critères (3.30) et (3.31) deviennent respectivement :
(‖ ‖) (3.34)
(‖ ‖) (3.35)
où ‖ ‖ représente ici le déterminant, est la matrice de covariance spatiale de l‟erreur de
prédiction pour un ordre p et est le nombre total de degrés de liberté pour un filtre STAR
de taille p est donné par l‟expression suivante :
(3.36)
Dans la pratique, pour des signaux radar réels, le choix de l‟ordre p est souvent empirique et
du ressort de l‟expertise : une procédure automatique et infaillible n‟existe pas. Sur des
données synthétiques représentant des scénarios réalistes de surveillance aéroportés, Michels
et al. [MIC00c] utilisent des ordres égaux à 2 ou à 3 alors que sur des données réelles avec
fouillis de sol et de mer, Lombardo [LOM03] suggère une modélisation VAR d‟ordre 3 ou 6.
Etant donné cet état de l‟art sur les techniques de détermination de l‟ordre p, nous présentons
dans ce qui suit nos contributions sur les méthodes d‟estimation des matrices AR.
3.4 Contributions sur l’estimation des matrices AR
3.4.1 Méthodes par bloc
Dans cette section, deux cas sont traités selon que le fouillis est Gaussien ou non.
Estimation aveugle par bloc par techniques EIV
Tout d‟abord, nous proposons une méthode aveugle visant à estimer non seulement les
matrices AR, mais aussi les matrices de covariance du bruit additif et du processus générateur
Chapitre 3 : Contributions sur la modélisation VAR des interférences Page 73
pour un fouillis Gaussien. Ainsi, cela étend au cas d‟un modèle VAR la méthode présentée
dans [BOB07] pour estimer les paramètres AR à partir d‟observations bruitées.
Le principe consiste à reformuler le problème d‟estimation des matrices AR à partir
d‟observations bruitées comme un problème à erreurs dans les variables (EIV), où les
matrices de covariance du bruit additif et du processus générateur deviennent des inconnues
du système. Dans le cas général, il s‟agit de déterminer l‟ensemble des n matrices { }
qui, étant donné un processus générique vectoriel décrit par n variables { } , satisfait la
relation linéaire suivante :
∑ . (3.37)
Cependant, la détermination de cet ensemble solution se fait à partir des observations bruitées
où les bruits additifs { } sont supposés non corrélés avec les variables
{ } et mutuellement non corrélés.
Pour cela, on tire profit du schéma de Frisch [BEG90]. Il repose sur la recherche du noyau
d‟une matrice qui se déduit de la matrice de corrélation des observations compensée en bruit.
Cette compensation est assurée par une matrice construite à partir des matrices de covariance
des bruits.
En utilisant les notations définies dans la section 3.2 et étant donné l‟équation (3.24), on a :
∑
(3.38)
Sous forme matricielle, l‟équation (3.38) devient :
[ ] (3.39)
où et .
Si l‟on applique une post-multiplication par avant de prendre l‟espérance
mathématique, l‟équation (3.39) devient :
[ ]
[
]
(3.40)
Ainsi, en introduisant
[
]
l‟équation (3.40)
peut s‟écrire :
[ ]
(3.41)
Il est à noter que la matrice
peut être exprimée en fonction de la matrice de covariance
de comme suit :
(3.42)
Chapitre 3 : Contributions sur la modélisation VAR des interférences Page 74
Etant donné l‟équation (3.41),
est une matrice définie semi-positive :
. (3.43)
Son noyau est caractérisé par les matrices AR.
Cependant, en pratique,
n‟est pas disponible directement et seule la matrice de
covariance
des observations bruitées peut être considérée. Etant donné (3.25), elle
satisfait l‟équation suivante :
⏟
(3.44)
Dès lors, les équations (3.42) et (3.44) permettent d‟expliciter
de la manière suivante :
([ ⏟
]) (3.45)
Par conséquent, les matrices de covariance et font partie des couples de matrices
telles que est définie semi-positive.
Selon [BEG90], le lieu des points admissibles pour l‟ordre p satisfaisant la condition de
l‟équation (3.45) est une hypersurface notée . Elle est concave et fait face à l‟origine
dans l‟espace .
Pour un ordre , une deuxième hypersurface concave peut être obtenue. Dès
lors en théorie, la solution que l‟on cherche appartient aux deux hypersurfaces. En effet,
lorsque l‟on traite un processus VAR strictement d‟ordre p :
les p premières matrices { }
estimées avec un ordre q sont identiques à
celles estimées avec un ordre p,
les q-p dernières matrices { }
estimées avec un ordre q sont des matrices
nulles.
Il est ensuite possible d‟estimer les matrices AR grâce aux équations de Yule-Walker
compensées en bruit (3.28).
A présent, expliquons comment déterminer le couple des deux matrices diagonales
définies comme suit :
[
] et [
]. (3.46)
avec
.
Avant de présenter les algorithmes, rappelons comment un point de peut être obtenu
[GUI95]. Soit dans l‟espace et une ligne droite allant de l‟origine au
point . intercepte la surface au point défini par
.
Ainsi, et sont colinéaires, c‟est-à-dire :
(3.47)
où est un scalaire.
Chapitre 3 : Contributions sur la modélisation VAR des interférences Page 75
Etant donné (3.45) et (3.47) et
de rang plein, nous obtenons :
([ ⏟
]) (3.48)
Il vient :
(
[ ⏟
] ) (3.49)
La décomposition en valeurs propres de la matrice
[ ⏟
] s‟écrit :
([ ⏟
]) (3.50)
où est une matrice unitaire et est une matrice diagonale.
regroupe sur sa diagonale les valeurs propres { } de la matrice
([ ⏟
]). D‟après (3.50), l‟équation (3.49)
peut se réécrire :
(
)
(
[
]
)
(3.51)
Ainsi, est nécessairement l‟une des valeurs propres { } de la matrice
([ ⏟
]).
De plus, d‟après (3.51), doit aussi satisfaire :
(3.52)
est donc la plus grande valeur propre de la matrice
.
Si , peut correspondre à un point du cercle unité dans . Puisque , les
coordonnées de sont égales à avec . Ensuite,
peut être déduite grâce à l‟équation (3.47) en faisant varier . Dans ce cas, la figure
24 décrit les hypersufaces ,
, et
. Comme attendu, les trois
dernières ont un point en commun pour
et
.
Chapitre 3 : Contributions sur la modélisation VAR des interférences Page 76
Figure 24 : Hypersurfaces ,
, et
obtenues pour un processus AR
d‟ordre 8 avec un processus générateur de variance
et un bruit de mesure de variance .
Si , peut être déduit, de manière similaire, à partir d‟une hypersphère de .
Comme nous l‟avons déjà précisé, les surfaces et
n‟ont pas de point en
commun dans la pratique. Nous proposons deux critères à minimiser sur la surface
fondés sur ceux proposés ces dernières années dans le cas d‟un processus AR. Pour plus
d‟informations, le lecteur peut se référer à [BOB07].
La première méthode vise à étudier le point de
et le point de
avec , tous les deux ayant été déduits du point . Les matrices AR qui
sont obtenues en traitant un processus VAR strictement d‟ordre p doivent correspondre au p
premières matrices AR qui satisfont les équations de YW à l‟ordre q compensées en bruit.
Le premier critère à minimiser sur est :
‖
‖
(3.53)
sont les matrices AR estimées avec le point . Les matrices et
sont déduites du point . Ce critère est la généralisation au cas d‟un processus
VAR du critère Shifted Relation (SR) proposé par Bobillet et al. dans [BOB07].
Le deuxième critère est obtenu en tirant profit des caractéristiques d‟un processus VAR. Il est
fondé sur les équations de Yule-Walker modifiées et surdéterminées. C‟est la généralisation
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.5
1
1.5
Chapitre 3 : Contributions sur la modélisation VAR des interférences Page 77
du critère nommé Modified and Extended Yule-Walker (MEYW) à l‟origine proposé par
Bobillet et al. [BOB07].
Etant donné l‟équation (3.24), les matrices d‟autocorrélation du processus VAR sans bruit et
les observations bruitées satisfont, pour :
∑
∑
(3.54)
ou de manière équivalente avec :
( ) [
] (3.55)
Ainsi, le deuxième critère envisagé est :
‖ ( ) [
]‖
(3.56)
Il est à noter que le paramètre q est à régler par l‟utilisateur pour les deux critères.
Cet algorithme EIV permet une estimation aveugle par bloc. Cependant, son coût calculatoire
est élevé puisqu‟une recherche exhaustive des matrices et est nécessaire quel que soit le
critère utilisé.
Pour le réduire, notons que d‟après les équations (3.41) et (3.45), il vient :
[ ]
[ ] [
([ ⏟
])]
[ ] **
+ ([ ⏟
])+ (3.57)
[ ] [
([ ⏟
])] .
Il est possible de décomposer l‟équation (3.57) en deux équations :
(3.58)
(
([ ⏟
])) (3.59)
Si est connue, les matrices AR regroupées dans peuvent être déduites avec l‟équation
(3.59). On note alors
. Ensuite, peut être déduit de l‟équation
(3.58). Nous proposons donc un algorithme reposant sur les équations de Yule-Walker
Chapitre 3 : Contributions sur la modélisation VAR des interférences Page 78
d‟ordre supérieur pour estimer . Pour cette raison, définissons deux vecteurs de taille
avec :
On peut en déduire les matrices de covariance suivantes de taille :
[ (
)
] (
)
(3.60)
Etant donné (3.24), on obtient les équations de Yule-Walker d‟ordre supérieur :
[ ]
(3.61)
Utilisant la relation (3.61), est la matrice qui minimise le critère :
‖[ ]
‖
(3.62)
Ce troisième algorithme nécessite la recherche exhaustive d‟une seule matrice . Il présente
un coût calculatoire plus faible que les algorithmes 1 et 2 reposant respectivement sur les
critères SR et MEYW. Il est appelé dans la suite de la thèse algorithme HOYW signifiant
High Order Yule-Walker.
Dans le cas d‟un processus AR, une approche récursive1 reposant sur le critère a été
développée dans [PET09a]. Elle est toujours fondée sur une technique EIV et permet une
estimation aveugle des paramètres AR. Cette approche a aussi été déclinée pour une
problématique de poursuite de paramètres AR dans le cas d‟un processus TVAR2 [PET10c].
Dans la sous-section suivante, le problème de la non-Gaussianité du fouillis est traité. Nous
proposons une méthode par bloc fondée sur la méthode du point fixe [GIN02].
Estimation par bloc reposant sur la méthode du point fixe
Le principe est de modéliser le speckle du fouillis non Gaussien comme un processus VAR
d‟ordre p. Pour une case distance fixe , d‟après (1.54), le fouillis s‟écrit alors :
√ [ ∑
]√ √
(3.63)
Comme pour le cas Gaussien (3.23), on établit les équations de YW :
(
)
(3.64)
Une estimation de
tenant compte des propriétés statistiques du fouillis permet d‟obtenir
et et d‟en déduire les matrices AR grâce aux équations (3.64) de Yule-Walker.
Si le fouillis est modélisé par un SIRV, l‟estimateur SCM défini dans le cas Gaussien ne peut
plus être utilisé théoriquement et dépend de la texture. Ainsi, nous proposons d‟utiliser
l‟estimateur PF pour estimer la matrice de covariance
. Comme nous l‟avons déjà dit
dans la section 2.2.5, cet estimateur ne dépend plus de la texture, il est non biaisé et
consistant. L‟estimateur NSCM est aussi testé afin d‟obtenir un point de comparaison.
1 L‟annexe F décrit en détail cette méthode.
2 L‟aspect TVAR suscite l‟intérêt de la communauté radariste, notamment Abramovich et al. [ABR08].
Chapitre 3 : Contributions sur la modélisation VAR des interférences Page 79
Les équations (3.23) de Yule-Walker ne nécessitant qu‟une matrice de covariance de taille
nommée
, les estimateurs SCM, NSCM et PF sont redéfinis,
respectivement comme suit :
∑ ∑
(3.65)
où
est un vecteur de taille .
∑ ∑
(3.66)
∑ ∑
(
)
(3.67)
On obtient alors une version de la méthode du point fixe à coût calculatoire réduit. En effet,
l‟approche nécessite l‟inversion d‟une matrice de taille au lieu d‟une matrice
et que . De plus, comme nous l‟avons déjà expliqué, le détecteur NPAMF
n‟utilise qu‟un domaine d‟entraînement réduit.
Nous avons proposé deux méthodes par bloc : celle reposant sur l‟EIV en milieu Gaussien et
celle fondée sur la méthode du point fixe en milieu non Gaussien. Une alternative repose sur
le filtre de Kalman et ses variantes. En effet, ces méthodes permettent une estimation
récursive des matrices AR et présentent un coût calculatoire plus faible que l‟EIV.
3.4.2 Méthodes récursives
Dans ce paragraphe, nous introduisons une représentation dans l‟espace d‟état du système
(3.24)-(3.25). Dans le cas Gaussien, nous présentons les méthodes du filtre de Kalman étendu
et du filtre de Kalman par points sigma. Enfin, le filtrage H∞ est suggéré pour un fouillis non-
Gaussien.
Estimation récursive par filtrage EKF et SPKF
Afin d‟établir la représentation dans l‟espace d‟état du système, considérons les équations
(3.24) et (3.25). L‟équation (3.24) peut se réécrire comme suit :
(3.68)
où
[
]
(3.69)
De plus, l‟équation d‟observation (3.25) peut s‟exprimer sous forme matricielle comme suit :
(3.70)
où .
Chapitre 3 : Contributions sur la modélisation VAR des interférences Page 80
Néanmoins, les coefficients des matrices AR { }
, à savoir {
} avec ,
et , ne sont pas connus et doivent être estimés. Pour cette raison, nous
construisons le vecteur colonne de taille , qui contient les coefficients
{ }
, comme suit :
(3.71)
Nous supposons que satisfait :
(3.72)
où est un vecteur de bruit blanc centré de taille . Sa matrice de covariance est
notée .
Pour estimer le processus et les matrices AR { }
, on introduit le vecteur d‟état
étendu :
[
] (3.73)
Etant donné les équations (3.68), (3.72) et (3.73), le vecteur d‟état étendu est remis à
jour de la manière suivante :
*
+ (3.74)
L‟équation (3.74) peut se réécrire comme suit :
∑ (3.75)
où *
+,
⏟
⏟
,
*
+ et [
].
De manière condensée, l‟équation (3.75) s‟écrit :
(3.76)
où est une fonction non linéaire.
De plus, le vecteur d‟état étendu et le vecteur d‟observation sont reliés par :
(3.77)
où .
Chapitre 3 : Contributions sur la modélisation VAR des interférences Page 81
La représentation dans l‟espace d‟état du système (3.24)-(3.25) correspond donc aux
équations (3.76)-(3.77). Etant donné la fonction , cette représentation dans l‟espace d‟état
n‟est pas linéaire.
Dans la suite, notons les estimations du vecteur d‟état à l‟instant m reposant sur k
observations { }
.
Puisque l‟équation d‟observation (3.77) est linéaire, l‟estimation du vecteur d‟état, le gain de
Kalman optimal et la matrice de covariance de l‟erreur sont calculés récursivement comme
suit :
(3.78)
(3.79)
(3.80)
où et désignent les matrices de covariance des erreurs a priori et a
posteriori respectivement.
Puisque est de forme quadratique sur , nous proposons
d‟utiliser l‟EKF. Le principe est de réaliser une linéarisation de la fonction par
développement de Taylor à l‟ordre 1 autour de la dernière valeur estimée du vecteur d‟état, en
l‟occurrence .
Ainsi, la matrice de covariance de l‟erreur est mise à jour comme suit :
(3.81)
où
(3.82)
et
|
(3.83)
L‟équation (3.83) peut s‟écrire :
∑
(3.84)
Ainsi, l‟EKF consiste à approximer la distribution du vecteur d‟état par une distribution
Gaussienne et à propager ce vecteur aléatoire Gaussien à travers le système linéarisé.
Néanmoins, la précision de l‟estimation de et dépend de la sévérité des
non-linéarités. Cela peut mener parfois à la divergence du filtre. Puisque l‟approximation due
au développement de Taylor de la fonction non linéaire est précise sur le voisinage du point
de référence, elle ne traduit pas le comportement global de la fonction. Pour améliorer
l‟algorithme, les termes d‟ordre supérieur du développement de Taylor peuvent être pris en
compte. Cependant, pour un EKF d‟ordre secondaire, il est nécessaire de calculer la matrice
Jacobienne de la fonction pour l‟ordre 1 et la matrice Hessienne pour l‟ordre 2. Selon
Arasaratnam et al. [ARA07], ce calcul est parfois instable et toujours complexe
Chapitre 3 : Contributions sur la modélisation VAR des interférences Page 82
calculatoirement. De plus, rien ne certifie qu‟un EKF d‟ordre 2 ne divergera pas dans les cas
où un EKF d‟ordre 1 diverge.
Pour éviter ce problème, la méthode SPKF a été proposée par Wan et Van Der Merwe
[WAN01]. Cette méthode approxime la distribution du vecteur d‟état par une loi Gaussienne
définie, dans ce cas, par un jeu de points choisis de manière déterministe, appelés les points
sigma. Plus particulièrement, un premier point sigma correspond à la moyenne de la
distribution du vecteur d‟état ; ensuite, deux points sigma est définie pour chaque valeur
propre de la matrice de covariance du vecteur Gaussien et répartie à égale distance de la
moyenne. Ces points sigma sont propagés à travers le système non linéaire pour obtenir les
points sigma a posteriori. Une combinaison pondérée permet d‟estimer la moyenne et la
matrice de covariance du vecteur Gaussien a posteriori, c‟est-à-dire le vecteur aléatoire après
la transformation non linéaire. Il est à noter que les filtrages par points sigma ont été
interprétés par Lefebvre et al. [LEF02] comme une approche visant à mener une linéarisation
statistique pondérée de la transformation non linéaire.
Deux méthodes SPKF ont été tout particulièrement exploitées dans la littérature : l‟UKF
(Unscented Kalman Filter) et le CDKF (Central Difference Kalman Filter). Seule l‟estimation
de diffèrent dans les deux méthodes.
D‟une part, l‟UKF repose sur la transformation sans parfum proposée par Julier dans [JUL95]
et illustrée par la figure 25. Selon l‟interprétation de Lefebvre [LEF02], sous des hypothèses
Gaussiennes, cette méthode est équivalente à une linéarisation statistique pondérée au 3ème
ordre du développement de Taylor de la fonction non linéaire. Sous des hypothèses non
Gaussiennes, cette égalité est vraie jusqu‟au deuxième ordre. La démonstration est donnée
dans l‟annexe A de [WAN01].
Considérons la taille du vecteur d‟état . Dans ce cas, points
sigma sont stockés dans la matrice comme suit :
[
( √ )
( √ )
( √ )
( √ )
]
(3.85)
où . détermine l‟éloignement des points sigma vis-à-vis de
. est en outre un second paramètre d‟échelle.
{√ }
est égal à la ième
colonne de la matrice triangulaire inférieure du
facteur de Cholesky de la matrice de covariance des erreurs .
Ensuite, { } , la ième
colonne de , est propagée à
travers le système non linéaire caractérisé par l‟équation (3.76) pour obtenir les points sigma a
posteriori { } :
(3.86)
Chapitre 3 : Contributions sur la modélisation VAR des interférences Page 83
La moyenne et la matrice de covariance a priori sont obtenues comme suit :
∑
(3.87)
et
∑
(3.88)
où est définie dans l‟équation (3.82).
Figure 25 : Principe de la transformation non parfumée
dans le cas d‟un vecteur aléatoire de taille 2.
Les poids sont calculés comme suit :
Ces poids sont choisis afin d‟obtenir une égalité entre et et le
développement de Taylor à l‟ordre 3 des valeurs théoriques autour de
et respectivement autour de . est une
valeur optimale dans le cas d‟une distribution Gaussienne. Une explication détaillée est
donnée dans l‟annexe A de [WAN01].
D‟autre part, le CDKF regroupe deux approches à savoir celle développée par Norgaard
[NOR00] appelée « divided difference filter » et celle proposée par Ito [ITO00] dénommée
« central difference filter ». Il est fondé sur la formule d‟interpolation de Stirling autour de la
dernière estimation du vecteur d‟état. Considérons une fonction que l‟on approxime par un
développment de Taylor et par une interpolation de Stirling autour de . Selon Norgaard et
al. [NOR00], le développement de Taylor permet une « meilleure » approximation de dans
un intervalle proche de et l‟interpolation de Stirling approxime « mieux » la fonction
lorsqu‟on s‟éloigne de .
Cela donne lieu à une nouvelle expression pour l‟estimation de la moyenne et de la matrice de
covariance a posteriori.
Ainsi, les points sigma sont définis comme suit :
Transformation
non linéaire
Moyenne
points sigma
Moyenne Covariance
points sigma
a posteriori
Covariance
Chapitre 3 : Contributions sur la modélisation VAR des interférences Page 84
[
( √ )
( √ )
( √ )
( √ )
]
(3.89)
où correspond à la longueur de l‟intervalle centré sur la dernière estimation du vecteur
d‟état.
Selon Norgaard [NOR00], est choisi pour que soit le coefficient d‟aplatissement ou
kurtosis de la variable aléatoire où . Pour un vecteur aléatoire Gaussien,
√ .
Ensuite, de la même manière que pour l‟UKF, les points sigma a posteriori sont obtenus
comme suit :
(3.90)
La moyenne et la matrice de covariance a priori sont estimées ainsi :
∑
(3.91)
et
∑
(3.92)
où les poids sont donnés par [NOR00] :
(3.93)
Dans cette partie dédiée à l‟estimation des matrices AR en milieu Gaussien, deux méthodes
récursives ont été proposées à savoir l‟EKF et le SPKF. Leur coût calculatoire est inférieur à
celui des méthodes reposant sur les techniques EIV. Or, comme nous l‟avons vu dans le
chapitre 1, le fouillis de sol et de mer peuvent présenter une distribution non Gaussienne.
Nous proposons donc dans la sous-section suivante un algorithme récursif d‟estimation des
matrices AR où les hypothèses Gaussiennes sont relaxées. Cette méthode qui repose sur le
filtrage H∞ s‟effectue dans le cadre d‟une représentation du système dans l‟espace d‟état.
Estimation récursive par filtrage H∞
L‟approche H∞ est a priori séduisante car les hypothèses nécessaires à sa mise en œuvre sont
moins restrictives que celles d‟un filtre de Kalman. La théorie H∞ a été initialisée dans le
domaine du « contrôle » en 1981 par Zames et al. [ZAM81]. Les applications du filtre H∞ en
traitement du signal sont peu nombreuses et récentes.
Chapitre 3 : Contributions sur la modélisation VAR des interférences Page 85
1/ Dans le cas d‟une représentation dans l‟espace d‟état linéaire, Shen et al. [SHE99]
proposent deux filtres H∞ en série pour estimer un signal de parole modélisé par un modèle
AR. Le premier filtre permet l‟estimation des paramètres AR et le second filtre retrouve le
signal de parole. De plus, le filtrage H∞ a été étudié pour la conception de bancs de filtres de
synthèse du signal [VIK00] et pour un problème d‟égalisation en communication numérique
[ERD00]. Dans ces deux derniers travaux, les auteurs concluent que les approches H2 et H∞
donnent des résultats similaires en moyenne.
2/ Dans le cas d‟une représentation dans l‟espace d‟état non linéaire, Labarre et al. [LAB05]
optent pour une structure couplée de filtre H∞ pour le rehaussement du signal de parole. Les
auteurs n‟observent pas d‟améliorations significatives. Enfin, plus récemment, Poveda et al.
[POV09] proposent cette approche pour une estimation aveugle et récursive des décalages
Doppler d‟un système OFDMA en liaison montante et Giremus et al. [GIR09] testent la
pertinence du filtrage H∞ dans le domaine de la navigation GPS. Tous les deux opèrent par
linéarisation du 1er
ordre comme on le fait dans le cas de l‟EKF.
Ainsi, nous utilisons la même linéarisation que celle utilisée pour la méthode EKF fondée sur
un développement de Taylor au 1er
ordre de la fonction autour de la dernière estimation
disponible du vecteur d‟état, c‟est-à-dire .
Pour le filtrage H∞, la représentation dans l‟espace d‟état caractérisée par les équations
(3.76)-(3.77) est conservée : l‟équation de mise à jour (3.76) n‟est pas linéaire. De plus, on
s‟intéresse à une combinaison linéaire spécifique du vecteur d‟état étendu :
(3.94)
où ⏟
.
Contrairement au filtre de Kalman qui vise à minimiser la norme H2 de l‟erreur sur
l‟estimation du vecteur d‟état, cette approche vise à minimiser la norme H∞ du système décrit
par la figure 26 où les entrées sont les bruits de modèle et de mesure et la sortie est
.
Figure 26 : Système dont le filtrage H∞ minimise la norme H∞ de l‟erreur de sortie.
Le but est de minimiser les effets de et sur l‟estimation désirée dans le
pire des cas. De ce point de vue, d‟après Hassibi et al.[HAS99], l‟estimation H∞ semble plus
robuste que le filtre de Kalman vis-à-vis des perturbations. Il est à noter qu‟aucune hypothèse
statistique n‟est à formuler sur les bruits de modèle et le bruit de mesure si ce n‟est qu‟ils
doivent être à énergie finie.
Filtrage
H∞
Chapitre 3 : Contributions sur la modélisation VAR des interférences Page 86
Etant donné la représentation dans l‟espace d‟état caractérisée par les équations (3.76), (3.77)
et (3.94), le filtre H∞ a pour but de minimiser le critère :
∑
∑
(3.95)
où est l‟estimation de .
Dans le cadre du filtre H∞, les matrices et sont des matrices de pondération et sont
réglées par l‟utilisateur de l‟algorithme.
Selon Hassibi et al. [HAS99], une solution analytique de l‟estimation optimale du filtre H∞
n‟existe pas toujours. Une stratégie sous-optimale est le plus souvent considérée :
(3.96)
où désigne le niveau souhaité d‟atténuation des perturbations.
Ainsi, l‟estimation a priori du vecteur d‟état est obtenue grâce à l‟équation (3.76) :
(
) (3.97)
Etant donné un niveau d‟atténuation , l‟estimateur de vérifiant l‟équation
(3.96) existe si et seulement si :
(3.98)
La matrice vérifie la récursion de Riccati suivante :
(3.99)
et
* + (3.100)
où *
+ *
+ .
Le gain du filtre H∞ est défini comme suit :
(3.101)
Le vecteur d‟état a posteriori est obtenu ainsi :
(3.102)
Chapitre 3 : Contributions sur la modélisation VAR des interférences Page 87
3.4.3 Bilan
Nos contributions présentées dans cette section s‟articulent autour de cinq méthodes
permettant l‟estimation des matrices AR. Deux méthodes par bloc à savoir l‟EIV [PET10a] et
la méthode du PF [PET10b] sont présentées. La première est utilisée dans le cas Gaussien et
la seconde dans le cas non Gaussien. Des méthodes récursives alternatives sont proposées
reposant sur une représentation dans l‟espace d‟état du système (3.24)-(3.25). Sous des
hypothèses Gaussiennes, l‟EKF et le SPKF sont développés. Nous proposons d‟évaluer
l‟apport du filtrage H∞ dans le cas non Gaussien.
Durant cette thèse, notre attention s‟est aussi portée sur le coût calculatoire des détecteurs et
notamment le PAMF. Une implémentation particulière est déduite et est présentée dans la
section 3.5.
3.5 Implémentation et coût calculatoire
3.5.1 Implémentation des algorithmes récursifs fondés sur une
représentation du système dans l’espace d’état
Les algorithmes fondés sur une représentation du système dans l‟espace d‟état à savoir le
filtrage de Kalman, l‟EKF, l‟UKF, le CDKF et le filtrage H∞ sont récursifs. Nous précisons
dans la suite la façon dont les données d‟entraînement sont utilisées pour mettre à jour les
estimations.
Ainsi, lorsque l‟on dispose de K cases distance d‟entraînement, les algorithmes opèrent selon
le schéma synoptique de la figure 27. En particulier, une fois l‟analyse de la case
d‟entraînement terminée, le vecteur d‟état et la matrice de covariance
d‟erreur associée sont utilisées pour initialiser l‟algorithme pour la case
d‟entraînement .
Ainsi, il vient :
(3.103)
(3.104)
où est le vecteur d‟état estimé à l‟instant m avec tous les échantillons des cases
d‟entraînement de 1 à et les m échantillons de la case d‟entraînement k et est
la matrice de covariance d‟erreur estimée à l‟instant m avec tous les échantillons des cases
d‟entraînement de 1 à et les m échantillons de la case d‟entraînement k.
Chapitre 3 : Contributions sur la modélisation VAR des interférences Page 88
Figure 27 : Schéma d‟implémentation des algorithmes récursifs.
EKF/SPKF/H∞
Case d‟entraînement
{ }
EKF/SPKF/H∞
Case d‟entraînement
{ }
EKF/SPKF/H∞
Case d‟entraînement
{ }
Chapitre 3 : Contributions sur la modélisation VAR des interférences Page 89
3.5.2 Implémentation réduisant le coût calculatoire du PAMF
Pour réduire le coût calculatoire du PAMF, regardons en détail l‟équation (2.58). Pour cela,
considérons deux vecteurs
et de taille :
(3.105)
( ) ( ) ( ) (3.106)
De plus, les matrices AR sont regroupées dans la matrice :
(3.107)
D‟après les équations (2.59) et (2.60), l‟équation (2.58) devient :
|∑ *(
( ))
+ |
∑ *(
( ))
( )+
(3.108)
Or, d‟après (1.20) et (1.35), on a :
( )
(3.109)
Etant donné (3.109), l‟équation (3.108) peut s‟écrire :
|∑ [(
( )
)
] |
∑ [(
( )
)
( )
]
(3.110)
ou encore :
|(
( ))
( )|
(
( ))
( )
(3.111)
où
( ) ∑ *
+
. (3.112)
Si
est considéré comme un multiple de , le terme
( ) peut être
obtenu en effectuant transformées de Fourier rapide (FFT) puisque
est
de taille .
De plus, les FFT peuvent être regroupés en p+1 groupes et chaque groupe est calculé
récursivement comme le montre l‟équation (3.113).
Chapitre 3 : Contributions sur la modélisation VAR des interférences Page 90
( ) ∑ *
+
[
∑ *
+
∑ *
+
∑ *
+
∑ *
+
]
[
( )
( )
( )
( ) ]
[
( )
( )
( )
( ) ]
(3.113)
On obtient l‟expression récursive suivante pour i allant de 1 à p :
( )
( )
(3.114)
3.5.3 Coût calculatoire du PAMF
Dans cette section, nous comparons le coût calculatoire du PAMF selon qu‟il est implémenté
d‟après l‟expression (2.58) ou d‟après l‟expression (3.111).
Ils sont donnés dans les tableaux 3 et 4. Pour cela, voici les hypothèses prises en
considération :
le coût calculatoire est obtenu en nombre d‟opérations. Une addition (ou une
multiplication) vaut une opération ;
le nombre de fréquences Doppler testées lors du filtrage PAMF est noté ;
le nombre de fréquences spatiales testées lors du filtrage PAMF est noté ;
désigne le nombre de cases sous test utilisées ;
les nombres d‟opérations pour estimer les matrices AR { }
et l‟inverse de la
matrice ne sont pas pris en compte dans cette section.
Chapitre 3 : Contributions sur la modélisation VAR des interférences Page 91
Tâches Nombre d’opérations Nombre de répétitions
Résultat du filtre inverse
Résultat du filtre inverse
Calcul matriciel
Sommation ∑
Calcul du module
Calcul matriciel
Tableau 3 : Coût calculatoire du PAMF reposant sur (2.58).
Tâches Nombre d’opérations Nombre de répétitions
Calcul de
( )
Filtre inverse
( )
Filtre inverse ( )
Calcul matriciel
(
( ))
( )
Calcul du module
Calcul matriciel
(
( ))
( )
Tableau 4 : Coût calculatoire du PAMF reposant sur (3.111).
On obtient les coûts calculatoires et pour les implémentations reposant sur (2.58) et
reposant sur (3.111) respectivement :
[
]
(3.115)
[ ( )
] (3.116)
et sont donnés en GFlops. est égal au temps d‟acquisition du datacube qui vaut
secondes.
Pour les applications numériques, nous avons fixé les paramètres du radar comme décrit dans
le tableau 5.
2 64 2 0.0005 s 75000
Tableau 5 : Valeurs des paramètres lors des applications numériques.
Chapitre 3 : Contributions sur la modélisation VAR des interférences Page 92
Le tableau 6 présente les résultats pour différentes valeurs de et . Le gain entre
l‟implémentation reposant sur (2.58) et sur (3.111) respectivement est présenté sur la
figure 28 :
(3.117)
8 16 32 64 128 256
1 51 1 99 2 194 5 385 10 767 20 1530 41
2 99 2 194 4 385 9 767 18 1530 37 3057 75
4 194 4 385 9 767 18 1530 35 3057 71 6111 144
8 385 9 767 17 1530 35 3057 70 6111 140 12219 280
Tableau 6 : Valeurs des paramètres lors des applications numériques
Figure 28 : Gain en opérations de l‟implémentation reposant sur (3.111) du PAMF.
Quels que soient les algorithmes utilisés pour estimer les matrices AR { }
et la
matrice de covariance , l‟implémentation du PAMF proposée dans cette section réduit de
manière significative le coût calculatoire de ce détecteur. En effet, le gain en nombre
d‟opérations par rapport à une implémentation standard est de l‟ordre de 40. Ainsi, avec un
coût calculatoire de l‟ordre de la dizaine de Gflops, il serait envisageable d‟opter pour une
architecture de ce type dans un cadre applicatif.
3.6 Etude comparative : résultats sur des données VAR
synthétiques
Dans cette section, une étude comparative des différentes méthodes est établie sur des
processus VAR synthétiques Gaussiens et non Gaussiens.
8 16 32 64 128 25637
38
39
40
41
42
43
44
45
Gain
G
Nombre de fréquences Doppler
Nspa = 1
Nspa = 2
Nspa = 4
Nspa = 8
Chapitre 3 : Contributions sur la modélisation VAR des interférences Page 93
3.6.1 En milieu Gaussien
Nous avons réalisé de nombreuses simulations. Dans cette section, nous considérons le
processus proposé par Mahmoudi et al. dans [MAH08]. Ainsi, est un processus
VAR du deuxième ordre ( ) à deux voies ( ) :
(3.118)
où est un processus blanc Gaussien à deux voies de variance 1 sur chaque voie et les
matrices AR sont :
*
+ *
+ (3.119)
Dans ce cas, le polynôme a quatre racines :
, (3.120)
, (3.121)
, (3.122)
. (3.123)
Définissons le vecteur regroupant les pôles :
(3.124)
Dans toute cette section, est un processus blanc Gaussien à deux voies de variance 1 sur
chaque voie. Puis le processus est perturbé par un bruit blanc Gaussien pour
obtenir :
(3.125)
Onze approches sont comparées :
la méthode de corrélation ;
la méthode de corrélation compensée en bruit qui nécessite la connaissance a priori de
la matrice de covariance du bruit additif ;
la méthode de la covariance ;
la méthode de la covariance compensée en bruit qui nécessite la connaissance a priori
de la matrice de covariance du bruit additif ;
la méthode de Hasan [HAS03] qui estime de manière aveugle les matrices AR et les
matrices de covariance et ;
l‟ILSV [MAH08] qui estime de manière aveugle les matrices AR et les matrices de
covariance et ;
l‟EKF [WAN01] qui nécessite la connaissance a priori de et ;
l‟UKF [PET10a] qui nécessite la connaissance a priori de et ;
le CDKF [PET09c] qui nécessite la connaissance a priori de et ;
les deux méthodes EIV [PET10a] qui estiment de manière aveugle les matrices AR et
les matrices de covariance et . Elles reposent sur le critère SR et HOYW.
Pour toutes les simulations de cette section, les méthodes SPKF sont paramétrées comme
suit :
pour l‟UKF, , et [WAN01] ;
pour le CDKF, √ [NOR00].
Chapitre 3 : Contributions sur la modélisation VAR des interférences Page 94
Dans le cas d‟un processus AR caractérisés par les paramètres AR { } , on compare les
méthodes en utilisant des critères objectifs comme la distance d‟Itakura ou en étudiant l‟erreur
d‟estimation sur la position d‟un pôle de la fonction de transfert
∑
plutôt que
d‟analyser l‟erreur sur les paramètres AR. Nous conservons ce procédé dans le cas d‟un
processus VAR. Pour cette raison, nous analysons les performances des méthodes en termes
d‟erreur relative (ER) et de racine carré de l‟erreur quadratique moyenne normalisée
(EQMN), définies dans [XIA10] :
‖ ( ) ‖
‖ ‖
et √
∑
‖ ‖
‖ ‖
(3.126)
où ( )
∑
désigne la moyenne des estimations des pôles { } sur
l‟ensemble des réalisations.
Considérons dans un premier temps un RSB de 20 dB sur les deux voies et 1024 échantillons
disponibles. La figure 29 présente un exemple d‟estimation des pôles estimés pour chacune
des méthodes.
D‟après le tableau 7, les méthodes ne compensant pas le bruit de mesure à savoir la méthode
de corrélation, celle de la covariance et l‟algorithme de Kalman, effectuent une estimation
biaisée des matrices AR. En particulier, les pôles estimés sont décalés vers le centre du cercle
unité dans le plan complexe z. Les huit autres méthodes compensent le bruit de mesure et
donnent des résultats comparables en moyenne. Cependant, l‟algorithme de Hasan et l‟ILS
présentent des variances plus élevées.
De plus, ces deux algorithmes itératifs ne peuvent pas être utilisés pour un RSB inférieur à
ou pour un nombre d‟échantillons disponibles inférieur à 1024. Dans ces cas, soit ils
peuvent diverger soit les matrices AR estimées donnent lieu à un système instable. Pour
montrer ce phénomène, nous avons examiné deux cas à savoir l‟influence du RSB et
l‟influence du nombre d‟échantillons disponibles.
Pour le test 1, le nombre d‟échantillons disponibles est fixé à 1024 alors que le RSB décroit
en prenant les valeurs suivantes égales sur les deux voies : , , , , et
.
Pour le test 2, le RSB est fixé à sur la voie 1 et à sur la voie 2 alors que le nombre
d‟échantillons disponibles décroit avec les valeurs suivantes : 1024, 512, 256, 128 et 64. Pour
chacun d‟entre eux, réalisations sont effectuées.
Chaque réalisation où le jeu de matrices AR estimées ne donnent pas lieu à un système stable
ou lorsque les algorithmes divergent, le résultat de la réalisation est dit « rejeté ». D‟après le
tableau 8, ces deux méthodes obtiennent un pourcentage trop élevé de réjections dans ces
conditions et ne sont plus testées dans la suite de cette section. Néanmoins, comme le
montrent leurs auteurs, ces méthodes itératives [HAS03] et [MAH08] donnent de bonnes
performances pour des RSB supérieurs à 10 dB et un nombre d‟échantillons disponibles égal
à 4000.
Chapitre 3 : Contributions sur la modélisation VAR des interférences Page 95
Méthodes
Pôle Pôle
Moyenne Variance
Moyenne
Variance
théorique - -
Mét
hodes
« s
tandar
ds
» YW
Corrélation
YW
Covariance
Kalman
Mét
hodes
avec
com
pen
sati
on
YW
Corrélation
compensé
YW
Covariance
compensé
Hasan
ILSV
EKF
UKF
CDKF
H∞
EIV SR
EIV HOYW
Tableau 7 : Moyennes et variances des estimations des pôles1 pour chaque méthode
avec un RSB de 10dB sur chaque voie et 1024 échantillons disponibles.
Figure 29 : Estimations des pôles pour une réalisation
avec un RSB de 20dB sur chaque voies et 1024 échantillons.
1 Les résultats obtenus pour les pôles et ne sont pas indiqués car ils sont similaires à leur pôle conjugué à
savoir respectivement et .
-1 -0.5 0 0.5 1-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
YW corrélation
YW covariance
YW corrélation compensé
YW covariance compensé
hasan
mahmoudi ilsv
kalman
EKF
UKF
CDKF
H inf
eiv SR
eiv HOYW
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1
x 10-3
-0.955
-0.95
-0.945
-0.94
-0.935
-0.93
Chapitre 3 : Contributions sur la modélisation VAR des interférences Page 96
Test
Nombre
d‟échantillons
disponibles
RSB sur les
deux voies
en dB
% des résultats rejetés
Méthode de
Hasan [HAS03]
Méthode ILSV
[MAH08]
1
1024 [10 10] 1.6 0
1024 [8 8] 39.4 0.4
1024 [6 6] 77.2 6.2
1024 [4 4] 81.8 34.8
1024 [2 2] 84 90.6
1024 [0 0] 88.4 99.6
2
1024 [10 8] 17 0
512 [10 8] 20 1
256 [10 8] 24 6
128 [10 8] 26.2 25.6
64 [10 8] 35.8 51
Tableau 8 : Pourcentage de résultats rejetés pour Hasan [HAS03] et d‟ILS [MAH08]
pour des RSB décroissants et 1024 échantillons disponibles.
Quel que soit le RSB et quel que soit le nombre d‟échantillons disponibles, les approches
autres que celles itératives donnent lieu à une estimation de matrices AR d‟un système stable.
A présent, regardons en détail les estimations obtenues des méthodes stables et compensant en
bruit. Sept méthodes sont donc comparées : la méthode de corrélation compensée en bruit, la
méthode de la covariance compensée en bruit, l‟EKF, l‟UKF, le CDKF et les deux méthodes
EIV SR et MOYW.
D‟après les figures 30-33, les méthodes de corrélation et de covariance présentent de
meilleures performances sauf lorsque le nombre d‟échantillons disponibles est inférieur à 256.
De même, les méthodes EIV montrent une très grande robustesse au bruit de mesure, mais
leurs performances se dégradent lorsque le nombre d‟échantillons disponibles diminue. Ces
deux familles d‟algorithmes nécessitent le calcul d‟une matrice de corrélation. Ainsi, le
manque d‟échantillons perturbe ce calcul et engendre une perte de précision dans l‟estimation
des matrices AR.
Figure 30 : Influence du RSB sur l‟erreur relative.
0 2 4 6 8 100
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
RSB
ER
covariance compensé
corrélation compensé
EKF
UKF
CDKF
Hinf
EIV SR
EIV HOYW
Chapitre 3 : Contributions sur la modélisation VAR des interférences Page 97
Figure 31 : Influence des échantillons disponibles sur l‟erreur relative.
A l‟inverse, les performances de l‟algorithme se dégradent fortement lorsque le RSB
diminue, mais l‟EQMN reste faible lorsque le nombre d‟échantillons disponibles diminue.
Globalement, malgré leur coût calculatoire, les algorithmes EIV présentent les meilleures
performances en termes de EQMN et d‟erreur relative sans connaissance a priori. De plus,
ces méthodes permettent d‟estimer les matrices de covariance et . Les estimations des
éléments diagonaux de ces matrices sont indiquées dans le tableau 9 pour les tests 1 et 2.
Figure 32 : Influence du RSB sur l‟EQMN.
64 128 256 512 10240
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
échantillons disponibles
ER
covariance compensé
corrélation compensé
EKF
UKF
CDKF
Hinf
EIV SR
EIV HOYW
0 2 4 6 8 100
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
RSB
EQ
MN
covariance compensé
corrélation compensé
EKF
UKF
CDKF
Hinf
EIV SR
EIV HOYW
Chapitre 3 : Contributions sur la modélisation VAR des interférences Page 98
Figure 33 : Influence des échantillons disponibles sur l‟EQMN.
Concernant les algorithmes nécessitant des informations a priori, l‟EKF, l‟UKF, le CDKF et
le filtrage H∞ présentent un EQMN proche, mais supérieur, à celui des méthodes compensées
en bruit.
Ensuite, le test 1 est reproduit, mais la valeur de la matrice de covariance du bruit est soit
majorée soit minorée. Ainsi, il vient :
(3.127)
où est la matrice donnée comme entrée des algorithmes et est un réel positif. C‟est dans
ce cas que les méthodes récursives ont un intérêt comme le montre le tableau 10.
Les résultats des méthodes compensées en bruit quant à elles peuvent être classés en deux
catégories :
soit la matrice utilisée pour compenser le bruit a, sur sa diagonale, des valeurs
supérieures à la matrice de covariance du bruit . Ainsi, la compensation peut faire
perdre à la matrice son caractère non négatif ;
soit la matrice utilisée pour compenser le bruit a, sur sa diagonale, des valeurs
inférieures à la matrice de covariance du bruit . Ainsi, la compensation en bruit
n‟est que partielle et un biais d‟estimation apparait comme dans le cas des méthodes
d‟estimation sans compensation.
Le tableau 10 ne présente pas les résultats de l‟algorithme CDKF car celui-ci présente des
résultats identiques à l‟algorithme UKF.
64 128 256 512 10240
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
échantillons disponibles
EQ
MN
covariance compensé
corrélation compensé
EKF
UKF
CDKF
Hinf
EIV SR
EIV HOYW
Chapitre 3 : Contributions sur la modélisation VAR des interférences Page 99
Nombre
d‟échantillons / RSB
sur les voies (en dB)
Valeurs théoriques Algorithme EIV SR Algorithme EIV
HOYW
1024 / [10 10] 1.06
1.02
0.45
0.47
0.95
0.96
0.42
0.43
0.99
0.28
0.42
0.44
1024 / [8 8] 1.03
1.04
0.71
0.75
0.95
0.95
0.66
0.69
0.99
0.27
0.66
0.70
1024 / [6 6] 1.02
0.96
1.08
1.10
0.96
0.94
1.04
1.10
1.00
0.32
1.04
1.11
1024 / [4 4] 1.00
1.02
1.72
1.82
1.00
0.94
1.63
1.73
0.99
0.42
1.63
1.76
1024 / [2 2] 1.00
1.01
2.53
2.72
1.06
0.98
2.58
2.71
0.90
0.59
2.58
2.80
1024 / [0 0] 1.01
1.01
4.53
4.87
1.26
1.12
4.01
4.21
0.80
0.73
3.95
4.39
1024 / [10 8] 0.99
0.93
0.43
0.68
0.95
0.95
0.42
0.70
1.00
0.08
0.41
0.70
512 / [10 8] 0.93
0.94
0.42
0.74
0.94
0.95
0.40
0.67
1.00
0.12
0.39
0.68
256 / [10 8] 0.82
1.01
0.42
0.71
0.97
0.95
0.36
0.64
1.01
0.21
0.37
0.67
128 / [10 8] 1.01
1.10
0.42
0.69
0.98
0.91
0.32
0.58
0.95
0.32
0.35
0.62
64 / [10 8] 1.04
1.09
0.46
0.73
0.97
0.91
0.25
0.46
0.84
0.38
0.29
0.52
Tableau 9 : Estimations des matrices et par les algorithmes EIV.
Nombre
d‟échantillons /
RSB sur les
voies (en dB)
Coefficient
EQMN
EKF UKF H∞
1024 / [10 8]
0.01 41.00 41.00 39.35
0.1 38.51 38.55 38.12
1 3.61 3.62 3.56
10 39.03 39.10 38.94
100 38.38 38.42 37.97
512 / [10 8]
0.01 56.71 56.79 54.50
0.1 57.06 57.17 55.85
1 8.27 8.32 8.01
10 54.46 54.58 53.78
100 55.86 56.06 54.87
256 / [10 8]
0.01 86.27 86.39 82.78
0.1 86.19 86.74 82.99
1 18.14 18.33 17.04
10 83.86 84.21 81.87
100 85.64 85.99 82.62
Chapitre 3 : Contributions sur la modélisation VAR des interférences Page 100
Nombre
d‟échantillons /
RSB sur les
voies (en dB)
Coefficient
EQMN
EKF UKF H∞
128 / [10 8]
0.01 146.02 152.87 153.64
0.1 143.65 137.25 129.9
1 71.18 72.01 72.04
10 129.84 131.66 121.07
100 145.95 160.09 142.30
64 / [10 8]
0.01 249.96 255.31 242.5
0.1 250.05 248.38 259.22
1 187.05 187.43 153.42
10 270.11 262.6 278.18
100 314.37 317.7 265.73
Tableau 10 : EQMN des méthodes récursives pour une matrice de covariance du bruit
connue à un facteur multiplicatif près.
3.6.2 En milieu non Gaussien
Pour modéliser un processus VAR non Gaussien, nous proposons de simuler K réalisations du
processus défini par l‟équation (3.118). De plus, une texture distribuée selon une loi Gamma
est appliquée sur chaque réalisation donnant lieu ainsi un signal distribué selon une loi K.
Pour chaque case k allant de 1 à K, il vient
√ (3.128)
Enfin, un bruit Gaussien est ajouté au processus pour aboutir au signal observé
comme le montre l‟équation (3.125). Les algorithmes SCM, NSCM et PF décrits dans
la section 3.3.2, sont alors directement applicables sur le signal bruité .
Comme nous l‟avons déjà vu, le filtrage H∞ ne nécessite aucune contrainte de Gaussianité sur
les signaux intervenant dans le système. L‟algorithme est donc testé pour estimer des matrices
AR avec des données non Gaussiennes. De plus, nous testons la robustesse du SPKF. En
effet, si les points sigma sont bien choisis, ils peuvent approximer tout type de distribution
non Gaussien, mais unimodal du vecteur d‟état.
Les résultats obtenus pour 1000 réalisations sont décrits dans le tableau 11 avec ,
et quatre densités de probabilité différentes à savoir une loi Gaussienne et une loi K
avec .
Méthodes EQMN avec un RSB à 20dB EQMN avec un RSB à 50dB
Gauss Gauss
SPKF 0.049 0.052 0.065 0.071 0.047 0.050 0.059 0.065
H∞ 0.070 0.072 0.081 0.083 0.075 0.076 0.080 0.118
SCM 0.044 0.047 0.057 0.063 0.038 0.039 0.050 0.057
NSCM 0.083 0.081 0.084 0.084 0.072 0.071 0.073 0.073
PF 0.051 0.051 0.052 0.053 0.044 0.044 0.046 0.046
Tableau 11 : EQMN des estimations des pôles en milieu non Gaussien.
Chapitre 3 : Contributions sur la modélisation VAR des interférences Page 101
D‟après le tableau 11, la méthode PF présente de meilleures performances en termes de
EQMN que la méthode NSCM quelle que soit la texture utilisée. L‟EQMN de l‟approche
SCM, méthode dédiée aux hypothèses Gaussiennes, augmente lorsque diminue. Concernant
les trois méthodes récursives à savoir l‟UKF, le CDKF et le filtrage H∞, la précision de
l‟estimation varie peu selon la texture utilisée ; les EQMN obtenues notamment pour les
méthodes SPKF restent très faibles même avec une valeur .
3.7 Conclusions
Figure 34 : Structure de l‟implémentation de l‟algorithme PAMF.
{ }
Estimation des matrices
AR { }
Estimation de la
matrice
{ }
(3.111)
Seuillage
Filtre inverse
(2.61)
FFT (3.112)
+
Mise à jour
(3.114)
( )
Multiplication
par
Multiplication
par
Chapitre 3 : Contributions sur la modélisation VAR des interférences Page 102
Figure 35 : Structure de l‟implémentation de l‟algorithme NPAMF.
Dans ce chapitre, deux choix de modélisation ont été envisagés. Dans le premier cas, le bruit
thermique est négligé et le speckle du fouillis est modélisé par un processus VAR. Le second
cas consiste à modéliser le bruit thermique par un bruit blanc Gaussien et le speckle du
fouillis par un processus VAR. Nous avons alors proposé cinq méthodes d‟estimation des
matrices AR : une pour le modèle 1 et quatre destinées au modèle 2.
Dans le cas du modèle 1, une approche reposant sur la méthode du point fixe est déduite.
Cette dernière permet une estimation de la matrice de covariance tenant compte de la
distribution non Gaussienne du fouillis. Notre approche présente l‟avantage de réduire le coût
calculatoire.
Dans le cas du modèle 2, nous suggérons tout d‟abord une approche par bloc. Elle repose sur
une technique à erreurs dans les variables et permet une estimation aveugle des matrices AR,
c‟est-à-dire sans information a priori sur les données. Ensuite, des méthodes récursives ont
été étudiées. Les deux premières sont fondées sur une extension du filtrage de Kalman pour
traiter un problème d‟estimation dans le cas d‟équations non linéaires. Il s‟agit de l‟EKF et du
SPKF. La dernière méthode récursive suggérée est le filtrage H∞. Elle vise à minimiser la
{ }
Estimation des matrices
AR { }
Estimation de la
matrice
{ }
(2.64)
Seuillage
Filtre inverse
(2.61)
FFT
(3.112)
+
Mise à jour
(3.114)
( )
Multiplication
par
Multiplication
par
Filtre
inverse
(2.59)
Chapitre 3 : Contributions sur la modélisation VAR des interférences Page 103
norme H∞ du système dont les entrées sont le bruit de modèle et le bruit de mesure et la sortie
est l‟erreur d‟estimation. Il est à noter qu‟aucune hypothèse statistique n‟est à formuler sur les
entrées du système ; elles sont uniquement supposées à énergie finie.
Les simulations du chapitre 3 sont réalisées sur des données synthétiques obtenues par la
génération d‟un processus VAR d‟ordre strict.
En milieu Gaussien, les méthodes EIV présentent le plus faible EQMN, mais ne sont pas
utilisées dans le chapitre 4 en raison de leur coût calculatoire élevé au contraire des méthodes
récursives telles que l‟EKF et l‟SPKF.
En milieu non Gaussien, la méthode PF permet au détecteur PAMF d‟être texture-CFAR,
propriété qu‟il faut confirmer sur des données réelles radar.
Dans le chapitre 4, nous comparons les algorithmes proposés avec des données radar, soit
synthétiques et issues d‟un simulateur, soit réelles et issues d‟un radar opérationnels. Pour
toutes ces simulations :
l‟algorithme PAMF reposant sur la structure décrite par la figure 34, est utilisé pour un
fouillis Gaussien;
l‟algorithme NPAMF reposant sur la structure décrite par la figure 35, est mis en
œuvre pour un fouillis non Gaussien.
Chapitre 4 : Etude comparative dans un contexte radar Page 105
Chapitre 4 : Etude comparative dans un contexte radar
Dans ce chapitre, nous étudions la pertinence des algorithmes décrits dans le chapitre 3
appliqués au STAP. Selon que le fouillis est Gaussien ou non, nous utilisons les algorithmes
PAMF et NPAMF décrits sur les figures 34 et 35. Tout d‟abord, ces méthodes sont utilisées
sur des données synthétiques obtenues à partir d‟un simulateur développé pendant la thèse
reposant sur le GCM [WAR94] (Cf. section 1.2.3.1). Ensuite, des données semi-synthétiques
fournies par le CELAR (Centre d‟ELectronique de l‟ARmement) et des données réelles
fournies par THALES permettent d‟évaluer les algorithmes dans un cadre opérationnel.
4.1 Application sur des données synthétiques
4.1.1 Présentation des données
La configuration géométrique et les paramètres du radar sont les suivants :
configuration non latérale avec ; antenne rectangulaire comportant capteurs élémentaires séparés chacun de
sur les deux axes. Ils sont répartis en deux sous-réseaux donnant lieu à
voies de traitement ;
impulsions ;
fréquence centrale ;
vitesse du porteur de ;
altitude du porteur de ;
fréquence de récurrence ;
le fouillis de mer est représenté avec une vitesse d‟ensemble de 5 m/s et un étalement
.
Une réalisation du signal reçu par le radar est donnée sur la figure 36. Le signal représenté est
issu de la somme des deux voies en réception pour un rapport de puissance de 20 dB entre les
le fouillis et le bruit thermique. Le signal présente trois zones caractéristiques. La zone
« claire » est composée de bruit thermique et d‟éventuelles cibles. La zone « fouillis 1 » est
composée de bruit thermique, d‟éventuelles cibles et principalement de fouillis de mer
provenant d‟échos de mer ayant des angles azimut et élévation faibles. La zone
Chapitre 4 : Etude comparative dans un contexte radar Page 106
« fouillis 2 » est composée de bruit thermique, d‟éventuelles cibles et de fouillis de mer dus à
des d‟échos de mer ayant des angles azimut et élévation élevés.
Figure 36 : Voie somme du signal reçu par le radar issu du simulateur.
Dans cette section, les différents traitements STAP sont réalisés pour des distances
supérieures à 20 km. On focalise ainsi l‟étude sur la zone « fouillis 1 ». Les performances des
différents algorithmes sont établies tout d‟abord sur un fouillis Gaussien puis non Gaussien.
4.1.2 Cas Gaussien
En milieu Gaussien, quatre méthodes d‟estimation des matrices AR sont comparées : la
méthode de corrélation, le filtrage de Kalman, l‟EKF et l‟UKF. Les méthodes EIV présentent
un coût calculatoire élevé ne permettant pas une utilisation en pratique ; elles ne sont pas
étudiées dans le chapitre 4.
Dans un premier temps, pour comparer les performances entre les différents algorithmes1, on
introduit un facteur de perte en RSBI [WAR94] défini comme suit :
(4.1)
où représente le rapport signal sur bruit plus interférences à la sortie du
filtrage utilisé et dénote le rapport signal sur bruit sans fouillis à la sortie du filtrage non
adaptatif.
1 Ce critère est appelé SINR loss en anglais [WAR94].
vitesse en m/s
dis
tance e
n k
m
-15 -10 -5 0 5 10
10
20
30
40
50
60
70
-140
-130
-120
-110
-100
-90
Zone
« claire »
Zone
« fouillis 1 »
Zone
« fouillis 2 »
Chapitre 4 : Etude comparative dans un contexte radar Page 107
Le se définit comme suit :
( ) ( )
(4.2)
où est la puissance de la cible et dénote la réponse impulsionnelle du filtre estimé.
Ce critère permet d‟observer les pertes du filtrage des interférences, à savoir le fouillis et le
bruit thermique, par rapport à un filtrage non adaptatif uniquement en présence de bruit
thermique. Il y deux sources majeures de pertes : celle liée à la densité spectrale du fouillis et
celle liée à l‟estimation de la matrice de covariance [MEL09]. Dans cette section, tous les
facteurs de pertes sont estimés pour une fréquence spatiale nulle, c‟est-à-dire .
La figure 37 met en évidence la règle de Reed et al. [REE74]. L‟estimation SCM doit bien
être faite à partir données d‟entraînements indépendantes et identiquement
distribuées, pour obtenir en moyenne des pertes en performance de 3 dB par rapport au
filtrage non adaptatif.
Figure 37 : Facteur de pertes en RSBI dans le cas non adaptatif et pour le filtrage avec
l‟estimateur SCM.
Figure 38 : Facteur de pertes en RSBI dans le cas non adaptatif et pour le filtrage avec les
estimateurs SCM, de la méthode de corrélation, de Kalman, de l‟EKF et de l‟UKF.
-15 -10 -5 0 5 10 15-45
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
vitesse m/s
filtrage non adaptatif
SCM
-15 -10 -5 0 5 10 15-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
vitesse m/s
filtrage non adaptatif
SCM
corrélation
kalman
EKF
UKF
Perte liée à l‟estimation de
la matrice de covariance.
Perte liée à la densité
spectrale du fouillis
Chapitre 4 : Etude comparative dans un contexte radar Page 108
D‟après la figure 38, les résultats des quatre méthodes d‟estimation des matrices AR semblent
relativement similaires. En tenant compte du tableau 12, l‟UKF présente de meilleures
performances.
Méthode d‟estimation EQMN
Estimateur SCM 88
Méthode de corrélation 28
Filtrage de Kalman 26
EKF 24
UKF 23
Tableau 12 : EQMN des facteurs pertes
vis-à-vis du facteur de perte avec filtrage non adaptatif.
Gardons la méthode d‟estimation UKF pour étudier l‟influence de l‟ordre du modèle et du
nombre de cases d‟entraînement K sur l‟EQMN. D‟après le tableau 13, l‟augmentation des
cases d‟entraînement K permet une diminution de l‟EQMN, c‟est-à-dire que le filtrage tend
vers le filtrage non adaptatif. De plus, l‟évolution de l‟ordre du modèle fait apparaître un
minimum pour . Dans le cas où la matrice de covariance théorique des interférences est
connue, l‟EQMN peut donc servir de critère pour choisir l‟ordre p à appliquer dans le
détecteur PAMF pour un datacube radar donné.
p / K EQMN de
l‟UKF
1 / 4 36
2 / 4 23
3 / 4 31
4 / 4 32
5 / 4 36
2 / 2 27
2 / 4 23
2 / 8 21
2 / 16 19
Tableau 13 : Influence de l‟ordre p et du nombre de cases d‟entraînement K sur l‟EQMN
avec la méthode d‟estimation UKF.
Dans un second temps, les courbes de probabilité de détection sont évaluées afin de comparer
les méthodes d‟estimation des matrices AR et les détecteurs PAMF et AMF. Pour cela, un
seuil de détection est estimé de manière empirique pour chaque détecteur PAMF et AMF pour
une . Il est à noter que pour le détecteur AMF avec une estimation SCM de la
matrice de covariance, le seuil obtenu en pratique corrobore le seuil théorique déduit de
(2.35).
Ensuite, une cible synthétique définie par (1.35) est ajoutée au signal présenté sur la figure 36.
Cette cible présente des angles azimut et élévation nuls, c‟est-à-dire . Néanmoins, elle est simulée pour toutes les vitesses allant de -15 m/s à 15 m/s. La figure 39
Chapitre 4 : Etude comparative dans un contexte radar Page 109
présente la probabilité de détection pour le détecteur AMF. Le domaine d‟entraînement est
constitué de cases.
Figure 39 : Probabilité de détection obtenue avec le détecteur AMF avec une estimation SCM
de la matrice de covariance et .
Figure 40 : Courbes de probabilités de détection à la vitesse de 10m/s obtenues pour l‟AMF
avec et le PAMF avec et une estimation des matrices AR
avec la méthode de corrélation, l‟EKF et l‟UKF.
D‟après la figure 40, pour un ordre et quelle que soit la méthode d‟estimation utilisée,
le PAMF présente de meilleures performances que l‟AMF en termes de probabilité de
détection. Dans notre cas et pour une vitesse de 10 m/s, le gain est de 2 dB.
La section 4.1.3 traite des performances des différents algorithmes d‟estimation pour un
fouillis synthétique non Gaussien.
4.1.3 Cas non Gaussien
Dans cette section, le fouillis est modélisé par un SIRV et plus particulièrement par une
distribution K. Ainsi, le paramètre de forme de la loi K permet de faire évoluer le caractère
impulsif du fouillis.
En milieu non Gaussien, trois méthodes d‟estimation des matrices AR sont comparées :
l‟UKF, le filtrage H∞ et la méthode du point fixe (PF).
vitesse m/s
RSB
-15 -10 -5 0 5 10
-20
-10
0
10
20
30
40 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 300
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
RSB
pd
AMF
corrélation
EKF
UKF
RS
B
pd
Chapitre 4 : Etude comparative dans un contexte radar Page 110
D‟après la figure 41, la non-Gausiannité du fouillis entraîne une perte en RSBI supérieure à
3 dB vis-à-vis du filtrage non adaptatif et en moyenne égale à 4.5 dB pour l‟AMF avec SCM.
L‟approche UKF est la méthode qui permet d‟avoir les pertes en RSBI les plus faibles. A
l‟instar de l‟approche H∞, les pertes en RSBI de l‟UKF sont inférieures de 0.5 dB à celles du
filtrage non adaptatif alors que l‟utilisation de la méthode du point fixe permet d‟obtenir des
pertes en RSBI inférieures à 1.5 dB.
Figure 41 : Pertes en RSBI pour une estimation des matrices AR
par l‟UKF, H∞ et la méthode PF avec et .
Vérifions à présent que le NPAMF utilisant l‟estimation PF bénéficie de cette propriété.
D‟après le tableau 14, quelle que soit la texture utilisée, le seuil de détection varie peu pour
une donnée. Ces résultats de simulation permettent de confirmer que dans ce cas, le
NPAMF présente un comportement quasi texture-CFAR.
Seuil
UKF H∞ PF
10
Tableau 14 : Seuils de détection obtenus pour 4 et 4 valeurs du paramètres
avec les méthodes UKF, H∞ et PF.
-15 -10 -5 0 5 10 15-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
vitesse m/s
Filtrage non adaptaif
SCM
UKF
Hinf
PF
Chapitre 4 : Etude comparative dans un contexte radar Page 111
4.2 Application sur des données semi-synthétiques fournies par
le Celar
Les données synthétiques ne peuvent pas simuler l‟ensemble des phénomènes physiques
intervenant dans une mission de surveillance par un radar. Une première étape de simulation
vers les données réelles est l‟utilisation des données fournies par le Celar.
4.2.1 Présentation des données
Dans cette section, nous traitons des données semi-synthétiques fournies par le CELAR. Ce
« datacube » STAP est obtenu à partir d‟une image SAR THR1 opérationnelle. Les différents
scénarios présentent les caractéristiques suivantes :
configuration latérale, à savoir ; antenne Linéaire Uniforme de voies séparées chacune de ;
impulsions et cases distance ;
fréquence centrale et largeur de bande ;
vitesse avion de ;
fréquence de récurrence .
4.2.2 Scénario 1 : cas Gaussien
Le premier scénario illustré sur la figure 42 présente trois cibles possédant les caractéristiques
suivantes :
Cible 1 : case distance , vitesse radiale relative ,
Cible 2 : case distance , vitesse radiale relative ,
Cible 3 : case distance , vitesse radiale relative .
Ces trois cibles sont dans l‟axe du radar ainsi et
et possèdent la même SER, à savoir
.
Le fouillis est issu d‟échos de sol ; il suit une distribution Gaussienne et possède un
coefficient de rétrodiffusion moyen . Le bruit thermique quant à lui a
une puissance inférieure de 20 dB à celle du fouillis de sol.
Le signal dû à certaines cibles peut s‟étaler sur plusieurs cases distances. Pour cette raison,
des cases distances dites cases de garde ne sont pas utilisées dans le domaine d‟entraînement.
Pour chaque case distance contenant une cible, nous optons pour 4 cases de garde, à savoir 2
cases distances de chaque côté de la case distance concernée.
Dans un premier temps, la case sous test est ; il s‟agit de la case distance contenant
la cible 2. Les cases distances des cibles 1 et 3 et les cases de garde correspondantes ne sont
pas comprises dans le domaine d‟entraînement. Ce dernier comprend donc cases
distances.
1 SAR THR signifie Synthetic Aperture Radar Très Haute Résolution. Le SAR est une technique utilisée en
radar qui permet d‟obtenir des images du sol éclairé. Pour plus d‟informations, le lecteur peut se référer à
[LAC01].
Chapitre 4 : Etude comparative dans un contexte radar Page 112
Les interférences étant Gaussiennes, nous utilisons le détecteur AMF défini par (2.33). Dans
ce cas, la matrice de covariance doit être estimée. La figure 43.a) présente les résultats
obtenus en utilisant une matrice identité dans le domaine spatio-Doppler. La figure 43.b)
décrit une coupe de la figure 43.a) pour un angle . Aucun filtrage n‟est alors
effectué et on peut distinguer le fouillis et la cible.
Figure 42 : Puissance du signal de la voie 1 du datacube avec la dimension Doppler
a) dans le domaine temporel et b) dans le domaine fréquentiel.
Le nombre K de case distances d‟entraînement disponibles est supérieur à , mais
inférieur à . Ainsi, l‟estimation SCM de la matrice de covariance des
interférences donne lieu à une matrice inversible, mais les pertes en performance du
traitement STAP sont supérieures en moyenne à 3 dB par rapport au filtrage non adaptatif
décrit dans l‟équation (2.25) [REE74]. D‟après la figure 44, le fouillis de sol est filtré et la
cible peut être détectée. Cependant, la figure 44.b) met en évidence la différence des
puissances du signal de la cible et la moyenne des puissances du signal où la cible n‟est pas
présente et dégrade la probabilité de détection. On pallie ce problème grâce
au diagonal loading (DL) [KIM98] comme le montre la figure 45. Avec fixée à en
dessous de la puissance du fouillis de sol, est égale à .
Figure 43 : Détecteur AMF avec une matrice identité
a) dans le domaine spatio-Doppler et b) pour un angle égal à 0°
récurrences
ca
se
s d
ista
nce
10 20 30 40 50 60
50
100
150
200
250
300
350
400
-155
-150
-145
-140
-135
-130
-125
-120
vitesseca
se
s d
ista
nce
-6 -4 -2 0 2 4 6
50
100
150
200
250
300
350
400
-130
-125
-120
-115
-110
-105
-100
-95
vitesse
an
gle
-6 -4 -2 0 2 4 6-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-150
-145
-140
-135
-130
-125
-120
-115
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-150
-145
-140
-135
-130
-125
-120
-115
-110
vitesse pour angle = 0°
Pu
issa
nce
Fouillis de sol Cible Fouillis de sol Cible
a) b)
a) b)
Chapitre 4 : Etude comparative dans un contexte radar Page 113
Figure 44 : Détecteurs AMF avec une matrice SCM
a) dans le domaine spatio-Doppler et b) pour un angle égal à 0°
Afin de réduire les données d‟entraînement, modélisons les interférences et le bruit thermique
par un processus VAR et appliquons le détecteur PAMF. Il est à noter que des tests ont été
effectués pour déterminer l‟ordre du modèle à appliquer sur le scénario 1 des données
CELAR. Pour des performances de détection équivalentes, on opte pour l‟ordre le plus faible
à savoir . Dans un premier temps, les matrices AR sont estimées soit à partir de la
méthode de corrélation comme le suggèrent Roman [ROM00] et Lombardo [LOM03] avec
, soit avec l‟EKF et l‟UKF. D‟après les figures 47 et 48, le fouillis est filtré et la cible
est détectable.
D‟après le tableau 15, l‟UKF permet une meilleure détection.
Figure 45 : Détecteur AMF avec une matrice SCM et diagonal loading
a) dans le domaine spatio-Doppler et b) pour un angle égal à 0°
vitesse
an
gle
-6 -4 -2 0 2 4 6-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
vitesse pour angle = 0°
Pu
issa
nce
vitesse
an
gle
-6 -4 -2 0 2 4 6-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
vitesse pour angle = 0°
Pu
issa
nce
a) b)
a) b)
Chapitre 4 : Etude comparative dans un contexte radar Page 114
Méthodes SCM avec DL Corrélation EKF UKF
Puissance en dB
Tableau 15 : Différence entre la puissance de la cible et la moyenne des puissances sans cible
à la sortie du filtre STAP.
Figure 46 : Détecteur PAMF
avec estimation des matrices par méthode de corrélation avec K=40
a) dans le domaine spatio-Doppler et b) pour un angle égal à 0°
Figure 47 : Détecteur PAMF avec estimation des matrices par EKF avec K=40
a) dans le domaine spatio-Doppler et b) pour un angle égal à 0°
vitesse
an
gle
-6 -4 -2 0 2 4 6-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
vitesse pour angle = 0°
Pu
issa
nce
vitesse
an
gle
-6 -4 -2 0 2 4 6-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
vitesse pour angle = 0°
Pu
issa
nce
a) b)
a) b)
Chapitre 4 : Etude comparative dans un contexte radar Page 115
Figure 48 : Détecteur PAMF avec estimation des matrices par UKF avec K=40
a) dans le domaine spatio-Doppler et b) pour un angle égal à 0°
Figure 49 : Comparaison des sorties des détecteurs AMF et PAMF
avec estimation des matrices par méthode de corrélation, par EKF et par UKF avec K=4.
D‟après la figure 49, on peut encore réduire le nombre de cases distance utilisées dans le cas
du PAMF. Pour , le fouillis est filtré pour les trois méthodes et la cible reste détectable
même si sa puissance a diminué par rapport au traitement avec
Le tableau 16 présente les sorties du PAMF à la vitesse 4m/s pour les trois méthodes avec
K=4 sur les onze réalisations disponibles du scénario 1. Pour sept réalisations, la cible
présente une plus forte amplitude à la sortie du détecteur PAMF lorsque les matrices AR sont
estimées avec l‟UKF.
vitesse
an
gle
-6 -4 -2 0 2 4 6-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
vitesse pour angle = 0°
Pu
issa
nce
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
vitesse pour angle = 0°
Pui
ssan
ce
SMI
diagonal loading
corrélation
EKF
UKF
a) b)
Chapitre 4 : Etude comparative dans un contexte radar Page 116
Réalisation Sortie en dB du PAMF pour une vitesse de 4m/s et un angle de 0°
Méthode de corrélation EKF UKF
1 26.4 25.3 25.2
2 26.9 27.0 27.0
3 27.9 28.6 28.7
4 29.0 30.5 30.5
5 29.9 30.9 31.0
6 31.0 30.6 30.7
7 30.7 30.9 30.8
8 30.6 31.7 31.8
9 29.7 29.0 29.1
10 26.6 27.1 27.1
11 25.1 26.2 26.3
Tableau 16 : les sorties du PAMF à la vitesse 4m/s pour les trois méthodes avec K=4
sur les onze réalisations disponibles du scénario 1.
4.2.3 MTO de Lombardo [LOM03]
Dans cette section, les cibles 1 et 3 ne sont pas écartées des données d‟entraînement. Nous
proposons alors d‟appliquer le PAMF avec la stratégie MTO de Lombardo [LOM03] pour
tenir compte de ces cibles qui perturbent les données d‟entraînement. La case sous test reste
celle de la cible 2, c‟est-à-dire . Les cinq groupes de données d‟entraînement décrits
dans la figure 50 sont de taille et permettent de réaliser cinq filtrages STAP.
D‟après la figure 51, le détecteur PAMF obtenu à partir du groupe 2 permet de détecter la
cible 2, mais l‟amplitude de celle-ci est moindre vis-à-vis des quatre autres détecteurs PAMF.
Cet effet s‟explique par la présence de la cible 1 dans le groupe 2 de données d‟entraînement
qui vient perturber la détection. Cependant, la cible 3 présente dans le groupe 3 ne perturbe
pas le détecteur PAMF ni pour la détection de la cible 2 ni avec l‟apparition de fausses
alarmes. D‟après la figure 52, le MTO permet une détection robuste aux perturbations des
données d‟entraînement avec .
Chapitre 4 : Etude comparative dans un contexte radar Page 117
Figure 50 : Sélection des cinq groupes de données d‟entraînement.
vitesse
ca
se
s d
ista
nce
-6 -4 -2 0 2 4 6
50
100
150
200
250
300
350
400
-130
-125
-120
-115
-110
-105
-100
-95
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
vitesse pour angle = 0°
Puiss
ance
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
vitesse pour angle = 0°
Puiss
ance
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
vitesse pour angle = 0°
Puiss
ance
Groupe 1
Groupe 2
Groupe 3
Groupe 4
Groupe 5
Case sous test
Puis
sance
P
uis
sance
P
uis
sance
Groupe 1
Groupe 2
Groupe 3
Chapitre 4 : Etude comparative dans un contexte radar Page 118
Figure 51 : Cinq Détecteurs PAMF
avec estimation des matrices par UKF sur cinq groupes avec K=40.
Figure 52 : Détecteur PAMF à la sortie du MTO
avec estimation des matrices par UKF sur cinq groupes avec K=40.
4.2.4 Scénario 2 : cas non Gaussien
Le second scénario utilisé présente 10 cibles sur la même case distance .
Ces 10 cibles sont dans l‟axe du radar ainsi et et possèdent la
même SER, à savoir . Cependant, ces cibles ont des vitesses allant de -4 m/s à
4 m/s comme le montre la figure 53.
Le fouillis présent est issu d‟échos de sol ; il n‟est pas Gaussien et possède un coefficient de
rétrodiffusion moyen . Le bruit thermique a une puissance inférieure de
20 dB à celle du fouillis de sol.
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
vitesse pour angle = 0°
Puiss
ance
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
vitesse pour angle = 0°
Puiss
ance
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
vitesse pour angle = 0°
Puis
sanc
eP
uis
sance
P
uis
sance
Groupe 4
Groupe 5
Chapitre 4 : Etude comparative dans un contexte radar Page 119
Figure 53 : Puissance du signal de la voie 1 du datacube avec la dimension Doppler
a) dans le domaine temporel et b) dans le domaine fréquentiel.
Le fouillis étant non Gaussien, le détecteur NPAMF défini par (2.64) est utilisé.
Les méthodes d‟estimation comparées dans cette section sont l‟UKF, le filtrage H∞ et la
méthode PF. La méthode NSCM n‟est pas retenue en raison de son biais d‟estimation
[PAS08].
Figure 54 : Comparaison des sorties NPAMF avec estimation par l‟UKF, H∞
et la méthode du point fixe avec K=40.
D‟après la figure 54, le fouillis est filtré et les dix cibles sont détectables. Pour chaque cible,
la méthode donnant lieu à la plus forte puissance est le filtrage H∞, puis l‟UKF suivi de la
méthode PF avec un écart de 0.5 dB.
récurrences
cases d
ista
nce
10 20 30 40 50 60
50
100
150
200
250
300
350
400
-155
-150
-145
-140
-135
-130
-125
-120
vitesse
cases d
ista
nce
-6 -4 -2 0 2 4 6
50
100
150
200
250
300
350
400
-130
-125
-120
-115
-110
-105
-100
-95
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-45
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
vitesse pour angle = 0°
Pu
issa
nce
UKF
Hinf
PF
a) b)
Chapitre 4 : Etude comparative dans un contexte radar Page 120
4.3 Application sur des données réelles fournies par THALES
4.3.1 Présentation des données
Dans cette section, nous testons le détecteur PAMF sur des données réelles fournies par
THALES. Ce datacube STAP est obtenu lors d‟essais en vol au dessus de l‟océan atlantique.
Le fouillis de mer est considéré Gaussien. Les différents scénarios présentent les
caractéristiques suivantes :
configuration latérale à savoir ; antenne circulaire fournissant voies décrites dans l‟annexe A ;
impulsions ;
fréquence centrale ;
vitesse avion de ;
fréquence de récurrence ;
cases distance.
Figure 55 : Puissance du signal de la voie S du datacube avec la dimension Doppler
a) dans le domaine temporel et b) dans le domaine fréquentiel.
4.3.2 Filtrage et probabilité de détection
Dans un premier temps, intéressons-nous à la cible mise en évidence sur la figure 55
appartenant à la case distance . La figure 56 présente les 32 impulsions de la case
distance dans le domaine fréquentiel pour les trois voies.
Nous cherchons à filtrer le fouillis grâce aux matrices AR { }
et la matrice de
covariance . Pour cela, l‟estimation est réalisée sur quatre cases distance réparties de chaque
côté de avec la méthode de corrélation et l‟UKF. Six cases de garde sont utilisées. La
réponse impulsionnelle du filtre notée est définie par :
(4.3)
D‟après la figure 57, le fouillis est éliminé dans les deux cas, mais l‟UKF permet de conserver
une puissance de cible plus importante comme le montre le tableau 17.
Impulsions
cases d
ista
nce
5 10 15 20 25 30
200
400
600
800
1000
1200
-40
-30
-20
-10
0
10
20
vitesse en m/s
cases d
ista
nce
-15 -10 -5 0 5 10
200
400
600
800
1000
1200
5
10
15
20
25
30
35
40
Cible Fouillis
a) b)
Chapitre 4 : Etude comparative dans un contexte radar Page 121
Figure 56 : Impulsions de la case distance
dans le domaine fréquentiel pour les trois voies.
Figure 57 : Puissance de la sortie du filtre de la case distance dans le domaine
fréquentiel pour les trois voies a) avec la méthode de corrélation et b) avec l‟UKF.
Voie S Voie Voie
Méthode de corrélation 35.8 22.0 27.4
UKF 36.4 25 28.0
Tableau 17 : Puissance en dB de la cible à la sortie du filtre
pour la méthode de corrélation et l‟UKF.
A présent, le signal filtré est utilisé pour simuler une cible quasi réelle pour différents RSB.
La vitesse relative de cette cible à savoir -6 m/s est choisie pour que le signal soit perturbé par
le fouillis. Pour 1000 cases distance allant de 201 à 1200, cette cible est ajoutée au signal
illustré par la figure 55 et le PAMF est appliqué avec la méthode de corrélation et l‟UKF.
Chaque méthode nécessite 4 cases d‟entraînement séparées de la cible par 6 cases de garde.
D‟après la figure 58, le PAMF utilisé avec l‟UKF a de meilleures performances en termes de
détection. En effet, pour une probabilité de détection de 0.5 et de 0.9, le RSB est 1 dB plus
faible avec l‟UKF qu‟avec la méthode de corrélation.
-15 -10 -5 0 5 10 15
5
10
15
20
25
30
35
40
vitesse en m/s
Puiss
ance
en dB
voie S
voie e
voie a
-15 -10 -5 0 5 10 15
5
10
15
20
25
30
35
40
vitesse en m/s
Pui
ssan
ce e
n dB
voie S
voie e
voie a
-15 -10 -5 0 5 10 15
5
10
15
20
25
30
35
40
vitesse en m/s
Pui
ssan
ce e
n dB
voie S
voie e
voie a
Fouillis de mer Cible
Cible Cible
a) b)
Chapitre 4 : Etude comparative dans un contexte radar Page 122
Figure 58 : Courbes de probabilité de détection par application du PAMF
avec la méthode de corrélation et l‟UKF.
4.4 Conclusions
Quelles que soient les données testées synthétiques, semi-synthétiques ou réelles, le détecteur
PAMF donne de meilleures performances de détection que l‟AMF. Parmi les méthodes
d‟estimation des matrices AR utilisées, l‟UKF est celle qui permet obtenir les meilleures
performances. Dans le cas d‟un fouillis Gaussien, il admet une perte en RSBI équivalent aux
autres méthodes sur données synthétiques et une meilleure probabilité de détection sur
données réelles. De plus, il présente une « certaine » robustesse au fouillis non Gaussien et
permet au NPAMF d‟être quasi texture-CFAR à l‟instar du filtrage H∞. A noter que le filtrage
H∞ nécessite le choix contraignant par l‟utilisateur d‟un niveau d‟atténuation qui va
déterminer non seulement l‟existence d‟une solution mais aussi les performances de
l‟algorithme.
-15 -10 -5 0 5 10 150
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
RSB
pd
corrélation
UKF
Conclusions et perspectives Page 123
Conclusions et perspectives
Après avoir décrit les principes de fonctionnement du radar, nous avons présenté les
composantes reçues par celui-ci : un écho de cible éventuelle, le bruit thermique et le fouillis.
Une étude approfondie de ce dernier a donné lieu au développement d‟un simulateur sous
Matlab permettant de synthétiser des échantillons reçus par le radar et issus des échos de mer
pour des scénarios de surveillance maritime aéroportée. De plus, elle a permis d‟appréhender
le STAP, traitement éliminant le fouillis en vue d‟une meilleure détection des cibles lentes.
Le STAP nécessite une connaissance a priori des interférences, et notamment leur matrice de
covariance. Cependant, celle-ci n‟est pas disponible en pratique. Pour pallier ce problème, des
détecteurs adaptatifs ont été mis en œuvre et reposent sur l‟emploi de données d‟entraînement.
Parmi ceux permettant la réduction du domaine d‟entraînement, nous nous sommes focalisés
sur les approches STAP fondées sur la modélisation VAR des interférences. Plus
particulièrement, nous avons proposé de nouveaux algorithmes d‟estimation des matrices AR
visant à répondre à des objectifs opérationnels : coût calculatoire réduit, prise en compte
éventuelle de l‟hétérogénéité et de la non Gaussianité du fouillis.
Notre contribution porte sur trois aspects :
Tout d‟abord, dans le cas où l‟on suppose que le bruit thermique est négligeable devant le
fouillis non Gaussien, la matrice de covariance du fouillis est estimée en utilisant la méthode
du point fixe. Les matrices AR sont déduites par l‟application des équations de YW. Cette
méthode par bloc prend en compte la distribution non Gaussienne du fouillis. Dans le cas d‟un
processus VAR synthétique non Gaussien, elle a l‟avantage de fournir une estimation jugée
« précise » des matrices AR indépendamment du facteur de forme de la texture du processus.
Cependant, en pratique, le nombre d‟itérations nécessaires à l‟estimation de la matrice de
covariance des interférences fondée sur le point fixe est à choisir par l‟utilisateur.
Ensuite, nous avons proposé une nouvelle modélisation des interférences différenciant le bruit
thermique et le fouillis : le speckle du fouillis est considéré comme un processus VAR
Gaussien et le fouillis est perturbé par le bruit blanc thermique. De nouvelles techniques
d'estimation des matrices AR ont alors été étudiées.
La première est une estimation aveugle par bloc reposant sur la technique à erreurs dans les
variables. Dans le cas d‟un processus VAR synthétique bruité, cette méthode permet d‟obtenir
Conclusions et perspectives Page 124
les meilleurs résultats en termes de précision d‟estimation des matrices AR. Elle a aussi
l‟avantage de fournir une estimation de la matrice de covariance du bruit de mesure.
Cependant, son coût calculatoire est élevé et empêche son utilisation dans des systèmes
embarqués.
Pour cette raison, des méthodes récursives ont été développées. Elles sont fondées sur des
approches du type Kalman (EKF, UKF et CDKF) et sur un filtrage de type H∞. Bien que
toutes sensibles à la valeur des matrices de covariance du bruit de modèle et de mesure ou la
valeur de matrices de pondération, elles présentent un bon compromis entre précision de
l‟estimation des matrices AR et coût calculatoire. Dans le cadre de la détection radar, elles
permettent un traitement avec un domaine d‟entraînement réduit à savoir cases
distance. Parmi toutes ces méthodes, on distingue l‟UKF et le CDKF pour les trois raisons
suivantes :
1/ Dans le cas Gaussien, appliqués au PAMF, l‟UKF et le CDKF donnent lieu à une perte en
RSBI plus faible que la méthode de corrélation, de covariance et que l‟EKF. Ils présentent une
meilleure détection des cibles sur les données semi-synthétiques fournies par le CELAR et
réelles fournies par THALES.
2/ Dans le cas non Gaussien, les approches par points sigma confèrent quasiment la propriété
texture-CFAR au NPAMF à l‟instar du filtrage H∞. Cependant, dans le cas du filtrage H∞,
l‟utilisateur doit opter pour un niveau d‟atténuation qui va déterminer non seulement
l‟existence de la solution mais aussi des performances de la méthode.
3/ D‟un point de vue implémentation, Wan et al. [WAN01] proposent une version
« square-root » de l‟UKF évitant le calcul du facteur de Cholesky pour chaque itération.
Enfin, nous avons développé une nouvelle structure du schéma de détection PAMF et
adaptable au NPAMF permettant une réduction du coût calculatoire. Ainsi, le gain en nombre
d‟opérations par rapport à une implémentation « standard » est de l‟ordre de 40.
Au vu des différents résultats présentés dans ce mémoire de thèse, plusieurs perspectives
d‟étude peuvent être envisagées.
Tout d‟abord, une étude comparative avec des approches à dimension réduite, à rang réduit et
sans données d‟entrainement permettrait de mettre en évidence les atouts de chaque famille.
Dans ce cadre, le « club STAP » a d‟ores et déjà pris l‟initiative de proposer la rédaction d‟un
numéro spécial dans la revue française Traitement du Signal présentant les différents
algorithmes testés sur des données synthétiques communes et les données semi-synthétiques
fournies par le CELAR. Nous participons à cette action.
Ensuite, dans la famille des approches bayésiennes, l‟EKF et le SPKF sont des méthodes
locales dans lesquelles la distribution de l‟état est Gaussienne. D‟autres approches locales
existent et permettent de s‟affranchir des hypothèses Gaussiennes. Notamment, les séries de
Gram-Charlier ou de Edgeworth peuvent être utilisées pour approximer des distributions
unimodales non Gaussiennes. Cependant, de nombreux termes des séries doivent être pris en
compte pour obtenir une approximation raisonnable ; le filtrage bayésien qui en résulte est
très sensible à cette troncature. Pour cette raison, deux alternatives pourraient être envisagées :
1/ La méthode de quadrature (QKF) de Gauss a été proposée dans [ITO00] et appliquée dans
un contexte de poursuite. Elle vise à traiter de l‟estimation dans le cas de systèmes non
linéaires comprenant des perturbations additives non Gaussiennes. Il serait intéressant de
comparer les performances de cette approche avec celles de l‟EKF et des SPKF pour
l‟estimation des matrices AR en détection radar.
2/ Le second axe de recherche consiste à approximer la distribution non Gaussienne par une
Conclusions et perspectives Page 125
somme de distributions Gaussiennes. Ainsi, Alspach et Sorenson ont développé un filtre
appelé Gaussian-sum filter (GSF) dans un contexte d‟estimation avec des systèmes non
linéaires [ALS72]. L‟algorithme se présente comme un banc de filtres EKF s‟exécutant en
parallèle où le vecteur d‟état estimé est obtenu par une somme pondérée des différentes
sorties des filtres. La pondération est calculée grâce aux résidus de chaque EKF. Récemment,
Arasaratnam et al. [ARA07] ont proposé de combiner le GSF avec des filtres QKF en vue
d‟améliorer les performances d‟estimation du vecteur d‟état. Le nombre de filtres à utiliser
reste la principale difficulté dans la mise en œuvre de l‟approche GSF. Dans le contexte radar
de surveillance maritime, le filtre GSF pourrait prendre en compte la non-Gaussianité du
fouillis de mer.
D‟autre part, des approches dites globales visent à traiter de l‟estimation dans le cas de
systèmes non linéaires. Malgré leur coût calculatoire plus important, ces approches présentent
de meilleures performances de précision d‟estimation que les approches locales. Ainsi, les
méthodes de Monte Carlo séquentielles utilisent un jeu de particules choisies aléatoirement et
associées à des poids pour approximer la densité de probabilité [DOU01]. En particulier, des
travaux que nous avons initiés avec Audrey Giremus sont en cours sur l‟apport de
l‟échantillonnage d‟importance et le filtre Bootstrap pour estimer les matrices AR.
Enfin, nous avons vu que le fouillis est hétérogène. Lombardo [LOM03] a proposé des
stratégies de sélection des données a posteriori dont le MTO que nous avons testé dans le
chapitre 4. Le MTO s‟avère très efficace lorsque le domaine d‟entraînement est contaminé par
des cibles. Or, parmi les estimateurs robustes, les M-estimateurs [MYE76] qui reposent sur la
minimisation d‟une fonction non linéaire permettent d‟atténuer l‟influence des bruits
impulsifs. Ces techniques ont été adaptées dans le domaine de la navigation GPS à un
algorithme EKF [DEE04], [FAU10]. Leurs apports pourraient être étudiés en détection radar
avec les algorithmes EKF, SPKF et le filtrage H∞ pour limiter l‟influence des données
d‟entraînement contenant des cibles dans l‟estimation des matrices AR.
Annexes Page 127
Annexe A : Fonctionnement du système radar
Figure 59 : Système radar simplifié
Le système radar comprend en général six parties :
l‟antenne a pour rôle de concentrer l‟énergie émise par le radar dans un angle solide
déterminé et de capter le signal rétrodiffusé. Sa structure détermine la polarisation
horizontale ou verticale de l‟onde radar émise ;
le duplexeur est un aiguilleur électronique. D‟une part, il permet au signal émis d‟être
dirigé de l‟émetteur vers l‟antenne en minimisant les pertes et en isolant le récepteur.
D‟autre part, il permet au signal reçu d‟être dirigé de l‟antenne vers le récepteur en
minimisant les pertes et sans dérivation vers l‟émetteur ;
l‟émetteur engendre l‟impulsion hyperfréquence à la fréquence et à la puissance
désirée ;
le récepteur amplifie le signal reçu sans déformation, puis le démodule. Enfin, il
effectue la conversion analogique numérique ;
l‟exploitation regroupe l‟ensemble des traitements du signal et de l‟information. Elle
permet la détection des cibles et l‟estimation de leurs paramètres. Elle vise à former
l‟image radar présentée à l‟opérateur ;
le pilote génère par synthèse de fréquence toutes les ondes sinusoïdales de référence
nécessaires à l‟émission et à la réception ainsi qu‟aux autres composants du radar :
traitements, convertisseurs des alimentations, synchronisations, tests, etc.
Trois types d‟antenne sont utilisés et sont décrits dans cette annexe A :
une antenne circulaire, monopulse, plate, à fente et à balayage mécanique. Comme
l‟illustre la figure 60, l‟antenne est divisée en quatre cadrans notés A, B, C et D. Pour
chacun d‟entre eux, le signal reçu par les fentes est sommé. Puis, une voie somme et
deux voies écarts notées et sont construites comme suit :
(A.1)
Emetteur Récepteur
Pilote Exploitation
Duplexeur
Antenne
Visualisation
Annexes Page 128
(A.2)
(A.3)
Ainsi, la voie écart correspond à une différence des cadrans en azimut alors que la
voie écart correspond à une différence des cadrans en élévation ;
une antenne dite réseau à commande de phase, c‟est-à-dire à balayage électronique.
Cette antenne est appelée en anglais AESA pour Active Electronically Scanned Array.
Elle possède une structure linéaire uniforme (ULA pour Uniform Linear Array) ;
une antenne AESA rectangulaire, plate, à modules actifs et avec formation de voies
par sous-réseaux.
La directivité d‟une antenne est évaluée grâce à l‟ouverture angulaire à , notée ,
sous le gain maximal [LAC01]. Cette caractéristique est fondamentale car elle permet
d‟améliorer la résolution angulaire du radar et par voie de conséquence la localisation de
la cible. C‟est pour leur grande directivité, c‟est-à-dire pour des valeurs faibles, que les
antennes circulaires et rectangulaires sont utilisées en pratique. En effet, chaque capteur
élémentaire, fente ou patch, a des diagrammes de rayonnement larges avec . Pour
cette raison, des sous-réseaux sont formés pour lesquels le signal reçu est sommé. Cela a pour
effet d‟obtenir pour chaque sous-réseau un diagramme de rayonnement directif avec
.
Pour les trois configurations, le paramètre désigne le nombre de capteurs élémentaires de
l‟antenne et le paramètre le nombre de voies disponibles à la sortie du récepteur radar. Ces
N voies sont obtenues par sommation de N sous-réseaux composés de capteurs élémentaires
de l‟antenne.
Figure 60 : Configurations d‟antennes utilisées : a) circulaire, b) ULA et c) rectangulaire.
Le signal reçu par un capteur élémentaire est réel et s‟écrit :
(A.4)
Etant donné (A.4), le signal reçu peut s‟écrire comme suit :
(A.5)
où et représentent respectivement les composantes en phase et en quadrature.
Comme le montre la figure 61, après un filtrage passe-bas à la sortie des démodulateurs
amplitude phase (DAP), il est possible d‟obtenir les deux composantes et . Ces deux
signaux sont alors numérisés grâce à des convertisseurs analogiques numériques (CAN),
dernier élément du récepteur.
…
… …
A B
C D
a) Antenne circulaire b) Antenne ULA c) Antenne rectangulaire
Annexes Page 129
Ainsi, il est possible de modéliser le signal à la sortie du récepteur par un signal complexe en
bande de base issu des deux composantes discrétisées et [RIC10].
Figure 61 : Récepteur simplifié du système radar.
Filtre passe-bas
Filtre passe-bas
CAN
CAN
Annexes Page 130
Annexe B : Bilan de liaison radar
Dans cette annexe B, nous rappelons le bilan de puissance lié au phénomène de rétrodiffusion.
Ce mécanisme peut être décomposé en trois étapes : l‟émission du signal par le radar, la
réflexion de l‟écho et la réception par le radar du signal rétrodiffusé. Pour plus de détails, le
lecteur peut se référer à [LAC01].
La puissance émise eP par l‟antenne radar dans une direction donnée satisfait :
24
),(
D
GPP antantecr
e
(B.1)
où crP désigne la puissance crête de l‟émetteur radar, ),( antanteG est le gain à l‟émission
de l‟antenne, ),( antantrG est le gain en réception de l‟antenne et D est la distance
radar-cible.
Le signal réfléchi par un obstacle a une puissance notée refP . Elle est liée à la puissance
émise eP par la relation suivante :
24 D
PP e
ref (B.2)
où est la surface équivalente radar (SER).
Finalement, la puissance reçue rP par le radar est déduite du principe de réciprocité de
l‟antenne comme suit :
refantantr
r PG
P
4
),( 2
(B.3)
où ),( antantrG est le gain à la réception de l‟antenne ; il caractérise la puissance obtenue
par sommation des sous-réseaux de l‟antenne.
Ainsi, il est possible en combinant (B.1)-(B.3) d‟établir le bilan de liaison radar :
LD
GGPP antantrantantecr
r 43
2
)4(
),(),( (B.4)
où L représente les pertes dites « hyper ». En effet, les éléments se trouvant entre l‟émetteur
et l‟antenne d‟une part, et l‟antenne et le récepteur d‟autre part, introduisent des pertes dont il
faut tenir compte.
Annexes Page 131
Annexe C : Notion d’ambiguïté distance
La plupart des radars sont dits à impulsions et émettent un train d‟impulsions successives,
comme le montre la figure 62.
Figure 62 : Train d‟impulsions.
Un écho est détecté grâce à la rétrodiffusion par un obstacle de l‟onde émise. Le radar permet
d‟estimer le temps entre la dernière impulsion émise, à savoir l‟impulsion 2, et l‟écho
détecté. Cependant, il ne peut pas déterminer a priori à quelle impulsion est due la
rétrodiffusion du signal de l‟écho. La distance
est dite ambigüe. La distance réelle
radar-cible s‟écrit :
(C.1)
où .
Si , alors correspond réellement au temps de propagation aller-retour de l‟onde émise
entre le radar et l‟obstacle : est non ambigüe. La distance non ambigüe maximale est égale
à
. Pour plus d‟informations, le lecteur peut se référer à [LAC01].
Réception Emission
Impulsion 1
Echo détecté
Réception Emission
Impulsion 2
Annexes Page 132
Annexe D : Modèle GIT [HOR78] Le modèle de GIT permet d‟estimer les valeurs prises par le coefficient de rétrodiffusion
moyen du fouillis de mer.
Gamme de fréquences allant de à
Facteur d’interférence :
(D.1)
avec
(D.2)
où est la hauteur des vagues exprimée en mètre.
Facteur de vitesse du vent :
(
⁄)
(D.3)
avec
(D.4)
où est la vitesse du vent qui satisfait :
(D.5)
Facteur de direction du vent :
(D.6)
où est l‟angle entre la direction du vent et la direction de visée radar en radian.
En polarisation horizontale, le coefficient de rétrodiffusion moyen noté est égal à :
(D.7)
En polarisation verticale, le coefficient de rétrodiffusion moyen noté s‟exprime en
fonction de et est égal à :
Si :
(D.8)
Si :
(D.9)
Annexes Page 133
Gamme de fréquences allant de à
Facteur d’interférence :
(D.10)
avec
(D.11)
Facteur de vitesse du vent :
(
⁄)
(D.12)
avec (D.13)
Facteur de direction du vent :
(D.14)
En polarisation horizontale, est égal à :
(D.15)
En polarisation verticale, est égal à :
(D.16)
Annexes Page 134
Annexe E : Rappel sur les densités de probabilité
Loi Gaussienne ou normale réelle
Une variable aléatoire réelle suit une loi Gaussienne de moyenne m et de variance , notée
, si sa densité de probabilité s‟écrit :
√
(E.1)
Une vecteur aléatoire réel de taille suit une loi Gaussienne de moyenne et de
matrice de covariance si sa densité de probabilité s‟écrit :
‖ ‖
(E.2)
où ‖ ‖ désigne le déterminant.
Loi Gaussienne ou normale complexe
Une variable aléatoire complexe suit une loi Gaussienne de moyenne m et de variance ,
notée , si sa densité de probabilité s‟écrit :
(E.3)
Une vecteur aléatoire complexe de taille suit une loi Gaussienne de moyenne et de
matrice de covariance si sa densité de probabilité s‟écrit :
‖ ‖ (E.4)
Loi Rayleigh
Une variable aléatoire suit une loi de Rayleigh de paramètre si sa densité de probabilité
s‟écrit :
(E.5)
Loi exponentielle
Une variable aléatoire suit une loi exponentielle de paramètre b si sa densité de probabilité
s‟écrit :
(E.6)
Loi de Laplace
Une variable aléatoire suit une loi de Laplace de paramètre de location et de paramètre
d‟échelle b si sa densité de probabilité s‟écrit :
(E.7)
La loi de Laplace est aussi appelée loi exponentielle bilatérale.
Annexes Page 135
Loi lognormale
Si une variable aléatoire réelle suit une loi normale alors la variable aléatoire
suit une loi lognormale définie par :
√
(E.8)
Loi de Lorentz ou de Cauchy
Une variable aléatoire suit une loi de Rice à deux paramètres et si sa densité de
probabilité s‟écrit :
*
+ (E.9)
Loi de Rice
Une variable aléatoire suit une loi de Rice à deux paramètres et si sa densité de
probabilité s‟écrit :
(E.10)
où est la fonction de Bessel modifiée de première espèce à l‟ordre 0.
Loi du centré
Une variable aléatoire suit une loi du centré à un paramètre si sa densité de probabilité
s‟écrit :
(E.11)
où désigne les degrés de liberté.
Loi Beta de première espèce
Une variable aléatoire suit une loi Beta de première espèce à deux paramètres et si sa
densité de probabilité s‟écrit :
(E.12)
où et .
Loi Gamma
Une variable aléatoire suit une loi Gamma à deux paramètres et si sa densité de
probabilité s‟écrit :
(E.13)
où est la fonction Gamma donnée par :
∫
(E.14)
Annexes Page 136
Loi K
Une variable aléatoire suit une loi K à deux paramètres et si sa densité de probabilité
s‟écrit :
(E.15)
où est la fonction de Bessel modifiée de deuxième espèce à l‟ordre .
Figure 63 : Distributions K pour différentes valeurs de et .
Loi de Weibull
Une variable aléatoire suit une loi de Weibull à deux paramètres et si sa densité de
probabilité s‟écrit :
(E.16)
Figure 64 : Distributions de Weibull pour différentes valeurs de et .
0 1 2 3 4 5 6 70
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
de
nsite
de
pro
ba
bilite
amplitude
0 1 2 3 4 5 6 70
0.5
1
1.5
de
nsite
de
pro
ba
bili
te
amplitude
Annexes Page 137
Loi de Voigt
Une variable aléatoire suit une loi de Voigt à deux paramètres et si sa densité de
probabilité s‟écrit :
√ (E.17)
avec
√ .
De plus, désigne la partie réelle et représente la fonction erreur complexe, appelée
aussi fonction de faddeeva, dont l‟expression est :
(E.18)
Fonction hypergéométrique
La fonction hypergéométrique est un cas particulier de la fonction
hypergéométrique généralisée avec et . C‟est la
première fonction hypergéométrique à avoir été étudiée car elle est la plus rencontrée dans les
problèmes physiques. Elle est aussi connue sous le nom de fonction hypergéométrique de
Gauss. Elle est définie par :
∫
(E.19)
Composante AC de la loi Power-Law
La composante AC modélisée par une loi Power-law décrit la fonction
suivante [LON01] :
(
) (E.20)
où est appelé l‟exposant de la Power-law et est la fréquence pour laquelle est 3dB en
dessous de sa valeur maximale.
Annexes Page 138
Annexe F : Méthode EIV récursive
Considérons un processus AR d‟ordre p noté et défini comme suit :
∑ (F.1)
où { } sont les paramètres AR et est un bruit blanc centré de variance .
Ce processus est perturbé par un bruit additif centré de variance :
(F.2)
Dans la suite, définissons les vecteurs suivants :
, (F.3)
, (F.4)
, (F.5)
et
⏟
(F.6)
Puis, introduisons le vecteur étendu des paramètres AR :
(F.7)
Le modèle (F.1)-(F.2) peut s‟exprimer de manière matricielle comme suit :
0)()(
mm T
u
T
x (F.8)
)()()( mmm bxy
En pré-multipliant (F.8) par
*
)()(
mm ux et en prenant l‟espérance E[.], il vient :
11
2**
, 000
p
p
uxux diagRR (F.9)
avec
)()( * nnER T
xxx .
Etant donné (F.9), *
,uxR est une matrice définie semi-positive et les paramètres AR
correspondent au noyau de *
,uxR . Cependant, dans tous les cas, *
,uxR n‟est pas directement
disponible et seule la matrice de corrélation yR des observations bruitées peut être
considérées. Elle satisfait la relation suivante :
1
2
pbxy IRR (F.10)
où désigne la matrice identité de taille p+1.
Annexes Page 139
Etant donné (F.9), (F.10) devient :
11
2222* 0
p
p
bbbuy diagR
(F.11)
Les variances admissibles 2
u et 2
b sont les valeurs qui rendent
2222*
bbbuy diagR définie semi-positive. Les paramètres AR peuvent alors être
estimés en résolvant les équations de Yule-Walker compensées en bruit (3.12).
Il est à noter que la matrice *
yR peut être partitionnée comme suit :
*
*2
*
y
T
y
yRr
rR
(F.12)
et en prenant en compte (F.7), l‟équation (F.11) peut être décomposée en deux équations :
0*222 T
buy r (F.13)
1
2* 0)( ppby IRr (F.14)
Si 2
b est connue, peut être déduit grâce à (F.14) et peut être noté )( 2
b . Ensuite, 2
u peut
être obtenue par (F.13). Dans la suite, nous proposons un algorithme récursif fondé sur les
équations de Yule-Walker d‟ordre supérieur pour estimer 2
b . Pour cette raison, définissons
les deux vecteurs suivants de taille 1q où pq :
Th
x qpmxpmxpmxm
)()2()1()(
(F.15)
Th
y qpmypmypmym
)()2()1()(
(F.16)
et les matrices de corrélation de taille )1( pq associées :
)()()()( ** mmERmmER T
x
h
x
h
x
T
y
h
y
h
y (F.17)
Etant donné (F.1), on peut établir les équations de Yule-Walker d‟ordre supérieur :
1
* 0)( q
h
yR (F.18)
En utilisant la relation (F.18), 2
b peut être estimée en minimisant la fonction coût )( 2
bJ
définie par:
)()()()()()( 2**22
2
*2
b
h
y
Th
y
T
b
h
yb RRRJ (F.19)
où
T
b
T
b
)(1)( 22 ,
2
max,
20 bb , et 2
max,b est la plus petite valeur propre de yR .
p
1
Annexes Page 140
Dans [GUI95]et [BOB07], une solution par bloc est considérée pour obtenir les variances des
bruits. Dans cette annexe, nous proposons d‟utiliser l‟algorithme de Newton-Raphson pour
aboutir à un algorithme récursif.
Pour cette raison, définissons la matrice :
*
*)()(T
h
y
Th
y
h RR (F.20)
Etant donné (F.7) et (F.20), le critère défini par (F.19) peut s‟exprimer comme suit :
))(()(
)()()()()(
2
2*2*22*2
b
b
T
b
T
bb
T
b
gff
J
(F.21)
où ***)( TTTf (F.22)
et rIRg pbyb
12*2 )()( (F.23)
En notant 22
22
)(
)(
b
bJ
pour ))(('' 2 nJ b , l‟algorithme de Newton-Raphson s‟implémente
comme suit :
))(ˆ(''
))(ˆ(')(ˆ)1(ˆ
2
2
22
mJ
mJmm
b
b
bb
(F.24)
où . désigne l‟estimation.
Ainsi, il vient :
))(ˆ('))(ˆ(''))(ˆ('
))(ˆ('))(ˆ(')(ˆ)1(ˆ
22
2
22
mgmfmg
mfmgmm
b
T
b
T
b
bb
(F.25)
où
ˆ)ˆ(ˆ)ˆˆ(ˆ
)ˆ(' 1*12*
2
2
xpby
b
b RIRg
g (F.26)
)ˆˆˆ(2ˆ
)ˆ('
ff (F.27)
ˆ2
ˆ)ˆ(''
2
2
ff (F.28)
En remplaçant (F.26), (F.27) et (F.28) dans (F.25), on obtient :
)(ˆ)()ˆ)((ˆ))(ˆ)()ˆ((
))(ˆ)(ˆ)(ˆ())(ˆ)()ˆ(()(ˆ)1(ˆ
1*1*
1*
22
mmRmmmR
mmmmmRmm
x
T
x
T
x
bb
(F.29)
p
1
Annexes Page 141
L‟algorithme récursif proposé ici est le suivant :
1. Mise à jour de )(ˆ 2 mb en utilisant (F.29).
2. Mise à jour de )(ˆ mR y et )(ˆ mr :
1
)1()1()(ˆ
1)1(ˆ
*
pm
mmmR
pm
pmmR
T
yy
yy
1
)1()1()(ˆ
1)1(ˆ
*
pm
mmymr
pm
pmmr
y.
3. Calcul de 12*1* ))1(ˆ)1(ˆ())1(ˆ( pbyx ImmRmR .
4. Calcul de )1(ˆ))1(ˆ()1(ˆ 1* mrmRm x .
5. Mise à jour de )(ˆ 2 my :
1
)1(
)(ˆ1
)1(ˆ
2
22
pm
my
mpm
pmm yy .
6. Mise à jour de )(ˆ 2 mu :
)1(ˆ)1(ˆ)1(ˆ)1(ˆ)1(ˆ *222 mmrmmm T
byu
7. Mise à jour de )(ˆ mR h
y :
1
)1()1()(ˆ
1)1(ˆ
*
qpm
mmmR
qpm
qpmmR
T
y
h
yh
y
h
y
Calcul de )1( mh et récupération de )1(ˆ m et )1(ˆ m .
8. Retour à l‟étape 1.
Remarque : une variante de l‟algorithme peut être considérée pour éviter une éventuelle
divergence de l‟algorithme récursif en remplaçant l‟équation (F.29) par :
)(ˆ)()ˆ)((ˆ))(ˆ)()ˆ((
))(ˆ)(ˆ)(ˆ())(ˆ)()ˆ(()1()(ˆ)1(ˆ
1*1*
1*
22
mmRmmmR
mmmmmRmmm
x
T
x
T
x
bb
où )1( m est fixé la première fois à 1.
Cet algorithme a aussi été adapté dans le cadre d‟un suivi de paramètres TVAR [PET10c].
Références Page 142
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