Feuille d’exercices : PGCD et situation concrète

Problème du carrelage ( guidé )

A. Mise en évidence de l’intervention d’un PGCD

On considère une pièce rectangulaire de 2,6 m de longueur et 1,8 m de largeur, et l’on se propose de carreler son sol avec des

carreaux carrés identiques en respectant les contraintes suivantes :

le côté du carreau est un nombre entier de cm ( contrainte ),

on ne devra réaliser aucun découpage des carreaux ( contrainte ),

les carreaux seront disposés les uns contre les autres sans laisser d’espace entre eux.

1. Convertir en cm la longueur et la largeur de la pièce à carreler et faire un schéma approximatif en y reportant les distances.

2. Dans cette question, on se propose d’utiliser des carreaux de 5 cm de côté. Vérifier qu’il est effectivement possible d’utiliser

des carreaux de ce format tout en respectant les contraintes imposées. Combien de reports de carreaux y aura-t-il dans la

longueur de la pièce, et combien de reports de carreaux y aura-t-il dans la largeur de la pièce ? En déduire le nombre de

carreaux que l’on devra poser.

3. Dans cette question, on envisage d’utiliser des carreaux de 13 cm de côté : qu’en pensez-vous ?

4. On utilise à présent des carreaux carrés dont le côté est un nombre entier de cm noté a. On note p le nombre de reports

d’un tel carreau pour couvrir toute la longueur de la pièce, q le nombre de reports d’un tel carreau pour couvrir toute la

largeur de la pièce, les nombres p et q sont pour l’instant inconnus.

a. Pourquoi p et q doivent-ils tous deux être des nombres entiers ?

b. A quoi est égal nécessairement a p ? Que peut-on en déduire pour le rôle joué par a pour 260 ?

c. A quoi est égal nécessairement a q ? Que peut-on en déduire pour le rôle joué par a pour 180 ?

d. A présent, on souhaite que la durée nécessaire à la pose des carreaux soit la plus courte possible, ce qui revient à dire

que a doit être soit le plus grand possible ( contrainte ).

Montrer que a est égal au PGCD de 260 et 180.

B. Calcul du PGCD(260 ; 180) par différentes méthodes

a) En utilisant les listes des diviseurs ( indications : 260 possède 12 diviseurs et 180 en possède 18 ).

b) Par les soustractions successives.

c) Par l’algorithme d’Euclide.

d) En utilisant la « touche PGCD » de la calculatrice, puis en utilisant la forme irréductible de la fraction260

180, ou bien de

180

260donnée automatiquement par la calculatrice.

e) En créant une feuille de calcul avec un tableur utilisant la méthode des soustractions successives.

C. Retour au problème concret

Quel est le côté du carreau carré à employer si l’on souhaite respecter toutes les contraintes ? Combien y aura-t-il de reports

d’un tel carreau pour couvrir la longueur de la pièce, et combien de reports pour couvrir la largeur de la pièce ? En déduire le

nombre de carreaux qu’il faudra utiliser. Les carreaux sont vendus par le grossiste par paquets de 25 au prix de 30€ le paquet.

Combien de paquets devra-t-on acheter au grossiste ? Quel prix devra-t-on payer pour l’achat des carreaux ? Restera-t-il des

carreaux non utilisés, et si oui combien ?

Problème des petits groupes de travail ( non guidé )

Le professeur de mathématiques veut constituer des groupes de travail mixtes pour une séance où les élèves vont travailler

« par petits groupes ». Le nombre de filles doit être le même dans tous les groupes de travail, le nombre de garçons doit être le

même dans tous les groupes de travail, et le professeur veut obtenir le plus grand nombre de groupes de travail possible. Dans

cette classe il y a 24 filles et 8 garçons.

Combien de groupes de travail va-t-on obtenir si l’on veut respecter toutes les contraintes ? Un tel groupe de travail comportera

combien de filles, et combien de garçons ?

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Feuille de résultats

Problème 1

1. 2,6 m = 2,6 × 100 cm = 260 cm ; 1,8 m = 180 cm.2. On utilise des carreaux de 5 cm de côté.

260 5 = 52 donc il y aura 52 reports de carreaux dans la longueur de la pièce.

180 5 = 36, donc il y aura 36 reports de carreaux dans la largeur de la pièce.En raisonnant rangée par rangée, on voit que l’on devra poser : 52 + 52 + … +52 carreaux ( 52 étant écrit 36 fois puisqu’il y a 36 rangées ), ce qui donne untotal de 36×52 = 1872 carreaux à poser.

3. Si l’on envisage d’utiliser des carreaux de 13 cm de côté, comme 260 13 = 20, il y aura 20 reports de tels carreaux dans la

longueur de la pièce. D’autre part, 180 13 13,8 qui n’est pas entier, donc il est impossible de reporter un tel carreau

dans la largeur de la pièce sans découpe. La contrainte n’étant pas respectée, on ne peut pas utiliser des carreaux de 13

cm de côté.

4. Etude du cas général

a. Dans la longueur de la pièce il y a p reports du carreau, sans découpe, donc p est nécessairement entier. Le même

argument, appliqué à la largeur de la pièce, montre que q doit être entier.

b. On a évidemment :

côté du carreau employé × nombre de reports dans la longueur de la pièce = longueur de la pièce,

qui se traduit par 260a p : dans cette égalité, tous les nombres intervenant sont des entiers, donc elle prouve

que a est un diviseur de 260.

De même, l’égalité : 180a q , avec a et q entiers, prouve que a est un diviseur de 180.

L’entier a est un diviseur de 260 et est aussi un diviseur de 180, donc c’est un diviseur commun de 260 et 180.

De plus, on souhaite que a soit le plus grand possible ( contrainte ), donc a doit être le Diviseur Commun de 260 et

180 le Plus Grand possible : on reconnaît là la définition du PGCD(260 ; 180).

B. Calcul du PGCD(260 ; 180)

a. Première méthodeDiviseurs de 260 :1-2-4-5-10-13-20-26-52-65-130-260.

Diviseurs de 180 :1-2-3-4-5-6-9-10-12-15-18-20-30-36-45-60-90-180.

Le plus grand nombre apparaissant dans les

deux listes précédentes est 20, donc on en

déduit que PGCD(260 ; 180)=20.

b. Deuxième méthodeRappelons que :PGCD(a ; b) = PGCD(grand-petit ; petit)260 ; 18080 ; 180100 ; 8020 ; 8060 ; 20 ( si l’on remarque que 20 est un diviseur

de 60, on peut conclure que le PGCD cherché est

égal à 20 .. )40 ; 2020 ; 20Comme PGCD(20 ; 20) = 20, on en déduitfinalement que PGCD(260 ;180)=20.

c. Troisième méthodeEn appliquant l’algorithme d’Euclide :

260 180 1 80 180 80 2 20 80 20 4 0

Le dernier reste non nul est 20 doncPGCD(260 ; 180) = 20.

d. Utilisation de la calculatrice- à l’aide de la touche de la calculatrice :PGCD(260 ; 180) = 20.

- la calculatrice indique que la forme

irréductible de la fraction260

180est

13

9.

Comme : 260 13 180 9 20 , on en

déduit : PGCD(260 ; 180)=20.

e. Feuille de calcul avec un tableur

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C. Retour au problème concret

Il faut employer des carreaux carrés de 20 cm de côté. Comme 260 cm = 20 cm × 13 et 180 cm = 20 cm × 9, on en déduit qu’il y

aura alors 13 reports pour couvrir la longueur de la pièce, et 9 reports pour couvrir la largeur de la pièce. Comme 13×9 = 117, on

en déduit qu’il faudra utiliser au total 117 carreaux.

Comme 4×25 = 100, qui est plus petit strictement que 117, et 5×25 = 125 qui lui est plus grand au sens large que 117, on en

déduit qu’il faudra acheter 5 paquets de 25 carreaux au grossiste, pour un total de 5×30€ = 150€.

Comme 125 – 117 = 8 , il y aura 8 carreaux non employés ( ils pourront être utilisés dans les années à venir si des carreaux

doivent être remplacés ).

Problème des petits groupes de travail ( correction effectuée par des élèves de 302 )

La question posée porte sur le nombre maximal de groupes de travail que l’on peut former, d’où le choix de l’inconnue : soit nle nombre maximal de groupes que l’on peut former en respectant les contraintes.

Raisonnons d’abord sur un groupe de travail : soit p le nombre de filles dans un tel groupe de travail et q le nombre de garçons

dans un tel groupe de travail.

Les 24 filles se répartissent dans les n groupes et chaque groupe contient p filles, donc : 24n p .

Les nombres n et p étant entiers, cette égalité prouve que n est un diviseur de 24.

De même, en raisonnant sur les garçons, on obtient : 8n q , et comme n et q sont des nombres entiers, on en déduit que

n est un diviseur de 8.

L’entier n est à la fois un diviseur de 24 et de 8, donc c’est un diviseur commun de 24 et 8.

De plus, n doit être le plus grand possible.

Finalement, n est le PGCD(24 ; 8).

Calcul du PGCD : 8 étant un diviseur de 24, on en déduit immédiatement que PGCD(24 ; 8) = 8.

Remarquons que :24

38 et

81

8 .

Conclusion : le professeur va former 8 groupes de travail, chaque groupe étant formé de 3 filles et 1 garçon.

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