1. E TUDE DES MARCHS D ASSURANCE NON - VIE L AIDED QUILIBRES DE
NASH ET DE MODLES DE RISQUES AVEC DPENDANCE T HSE SOUS LA DIRECTION
DE S TPHANE L OISEL ET V RONIQUE M AUME -D ESCHAMPS Christophe
Dutang ISFA, Universit Lyon 1 et AXA Group Risk Management 31 Mai
2012
2. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion P LAN
1 I NTRODUCTION 2 M ODLE DE MARCH Modle sur une priode Modle sur
plusieurs priodes 3 M ODLE DE RISQUE Modle en temps continu Modle
en temps discret 4 C ONCLUSION2/38 Christophe Dutang
31/05/2012
3. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion P LAN
1 I NTRODUCTION 2 M ODLE DE MARCH Modle sur une priode Modle sur
plusieurs priodes 3 M ODLE DE RISQUE Modle en temps continu Modle
en temps discret 4 C ONCLUSION3/38 Christophe Dutang
31/05/2012
4. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion I
NTRODUCTION March de lassurance : En change dune prime verse
lassureur, lassur va transfrer tout ou partie de son risque. En
contrepartie, lassureur versera une compensation lassur si un
certain type de sinistre survient. Dans cette prsentation, on
sintresse modliser les primes et les sinistres : Comment prendre en
compte la comptition ? Comment intgrer la dpendance entre sinistres
?4/38 Christophe Dutang 31/05/2012
5. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion T HSE
BASE SUR 5 ARTICLES C. Dutang, Hansjoerg Albrecher, and S. Loisel,
A game to model non-life insurance market cycles, Working paper,
ISFA, 2012. , A game to model non-life insurance markets, submitted
to European Journal of Operation Research, 2012. C. Dutang, C.
Lefvre, and S. Loisel, A new asymptotic rule for the ultimate ruin
probability, submitted to Insurance: Mathematics and Economics,
2012. C. Dutang, A survey of GNE computation methods: theory and
algorithms, Working paper, ISFA, 2012. , The customer, the insurer
and the market, submitted to Bulletin Franais dActuariat, 2012.5/38
Christophe Dutang 31/05/2012
6. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion P LAN
1 I NTRODUCTION 2 M ODLE DE MARCH Modle sur une priode Modle sur
plusieurs priodes 3 M ODLE DE RISQUE Modle en temps continu Modle
en temps discret 4 C ONCLUSION6/38 Christophe Dutang
31/05/2012
7. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion C
ONTEXTE ET TAT DE L ART La prise en compte de la comptition
consiste traditionnellement 1 Modliser le cycle de march : sries
chronologiques, 2 Modliser les rsiliations et les affaires
nouvelles : modles de rgression, 3 Se positionner par rapport au
prix march estim : contrle optimal.7/38 Christophe Dutang
31/05/2012
8. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion C
ONTEXTE ET TAT DE L ART La prise en compte de la comptition
consiste traditionnellement 1 Modliser le cycle de march : sries
chronologiques, 2 Modliser les rsiliations et les affaires
nouvelles : modles de rgression, 3 Se positionner par rapport au
prix march estim : contrle optimal. La thorie des jeux le dilemme
du prisonnier : Deux suspects qui on propose de passer aux aveux.
Si un des deux prisonniers dnonce lautre, il est libr et lautre
copera de 10 ans. Si les deux se dnoncent, ils seront condamns 5
ans. Enn, si aucun ne se dnonce, la peine sera rduite 6 mois. Les
cots des joueurs sont reprsents par la double matrice suivante. J1
| J2 se tait (T) dnonce (D) se tait (T) (-1/2, -1/2) (-10, 0)
dnonce (D) (0, -10) (-5, -5) Chaque joueur va chercher minimiser sa
peine potentielle (D,D) est un quilibre de Nash, c.a.d. couple de
stratgies telles quaucun joueur ne peut diminuer son cot
unilatralement.7/38 Christophe Dutang 31/05/2012
9. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion M
ODLE SIMPLE MODLE DE RSILIATION Considrons I assureurs sur un march
de n assurs. Soit x [x, x]I les prix. Le choix Ci de lassur i suit
une loi multinomiale MI (1, pj (x)) o pj (x) = (pj1 (x), . . . ,
pjI (x)) et j est lassureur de i par le pass. La probabilit P(Ci =
k ; j) = pjk (x) a pour expression 1 1+ efj (xj ,xl ) si j = k ,
l=j pjk (x) = f (x ,xk ) (1) e j jf (x ,x ) 1+ e j j l si j = k ,
l=j o la fonction fj (xj , xl ) reprsente la sensibilit au prix j
(xj , xl ) = j + j xj et j (xj , xl ) = j + j (xj xl ). f f xl La
taille de portefeuille de lassureur j est I Nj (x) = Bjj (x) + Bkj
(x). k =1,k =j o Bkj B(nk , pk j (x)) et nk est la taille de
portefeuille initiale.8/38 Christophe Dutang 31/05/2012
10. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion M
ODLE SIMPLE MODLE DE SINISTRES Considrons un modle frquence svrit
pour les sinistres. Ainsi, le sinistre de lassur i a pour
expression Mi Yi = Zi,l , l=1 o Mi est le nombre de sinistres,
(Zi,l )l les montants et Mi Zi,l . Hypothse : indpendance des
sinistres (Yi )i La perte totale de lassureur j est Nj (x) Sj (x) =
Yi . i=1 Deux modles de sinistres sont considrs : Poisson lognormal
(PLN) et binomial ngative lognormal (NBLN).9/38 Christophe Dutang
31/05/2012
11. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion M
ODLE SIMPLE FONCTION OBJECTIF Le choix de la fonction objectif x Oj
(x) se justie par des critres conomiques : pour xj donn, xj Oj (x)
doit tre dcroissante en xj et dpendre dune prime seuil j , des
conditions mathmatiques : xj Oj (x) doit tre strictement concave.
On choisit nj xj Oj (x) = 1 j 1 (xj j ) (2) n mj (x) o la prime
seuil j et la prime moyenne march mj (x) ont pour expression 1 j =
j aj,0 + (1 j )m0 et mj (x) = xk . I1 k =j aj,0 , m0 , j
reprsentent la prime actuarielle moyenne, la prime march moyenne et
le facteur de crdibilit, respectivement. Un modle sans prise en
compte de la comptition serait Oj (x) = Oj (xj ).10/38 Christophe
Dutang 31/05/2012
12. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion M
ODLE SIMPLE CONTRAINTE DE SOLVABILIT On souhaite une fonction xj
gj1 (xj ) explicite et concave. On choisit une contrainte de
solvabilit Kj + nj (xj j )(1 ej ) k99.5% (Y ) nj , o ej est le taux
de frais et k99.5% est le coefcient tel que nj E(Y )nj + k99.5% (Y
) nj VaR99.5% Yi . i=1 En pratique, on prend k99.5% = 3. Ainsi, la
fonction contrainte gj est dnie par Kj + nj (xj j )(1 ej ) gj1 (xj
) = 1 k99.5% (Y ) nj (3) gj2 (xj ) = xj x gj3 (xj ) = x xj11/38
Christophe Dutang 31/05/2012
13. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion M
ODLE SIMPLE SQUENCE DE JEU Sur une priode, le jeu se droule comme
suit. 1 Les assureurs xent leur prime selon un quilibre de Nash en
rsolvant pour tout j {1, . . . , I} xj arg max Oj (xj , xj ). xj
,gj (xj )0 2 Les assurs choisissent alatoirement leur nouvel
assureur selon pk j (x ) : on obtient Nj (x ). 3 Pour lanne de
couverture, les sinistres Sj (x ) sont simuls alatoirement selon un
modle frquence svrit et leur taille de portefeuille. 4 Le rsultat
de souscription est dtermin UWj (x ) = Nj (x )xj (1 ej ) Sj (x
).12/38 Christophe Dutang 31/05/2012
14. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion M
ODLE SIMPLE PROPRITS P ROPOSITION ([DAL12 B ]) Le jeu dassurance
considr avec des fonctions objectif et contrainte dnies par (2) et
(3), respectivement, admet un unique quilibre de Nash. E LMENTS DE
PREUVE . Oj continue + xj Oj (x) quasiconcave existence, xj Oj (x)
strictement concave unicit. P ROPOSITION ([DAL12 B ]) Soit x la
prime dquilibre du jeu I assureurs. Pour tout joueur j, si xj ]x,
x[, la prime dquilibre xj dpend des paramtres de la manire suivante
: elle crot avec la prime seuil j , la contrainte de solvabilit
k99.5% , la volatilit des sinistres (Y ), le taux de frais ej ; et
dcrot avec le paramtre de sensibilit j et le capital Kj . Sinon la
prime dquilibre xj est indpendante de tous les paramtres. E LMENTS
DE PREUVE . Conditions KKT + thorme des fonctions implicites13/38
Christophe Dutang 31/05/2012
15. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion M
ODLE SIMPLE RSULTATS NUMRIQUES Considrons un jeu trois joueurs avec
10000 clients, i.e. n = 10000, I = 3. De plus, (n1 , n2 , n3 ) =
(4500, 3200, 2300) et Ki tel que ratio de couverture = 133%. P1 P2
P3 market E(X ) (X ) PLN 1.129 1.227 1.029 1.190 1 4.472 NBLN 1.142
1.258 1.095 1.299 1 9.487 TABLE : Prime actuarielle aj,0 et march
m0 Les primes dquilibre sont donnes dans le tableau suivant. x1 x2
x3 N1 N 2 N3 PLN-ratio 1.612 1.583 1.531 -258.5 -43.4 301.9
PLN-diff 1.659 1.621 1.566 -382.8 -38.4 421.2 NBLN-ratio 1.727
1.697 1.648 -239.4 -35.3 274.7 NBLN-diff 1.777 1.738 1.685 -385.4
-29.6 415.0 TABLE : Prime dquilibre14/38 Christophe Dutang
31/05/2012
16. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion M
ODLE COMPLEXE CHANGEMENTS APPORTS Une meilleure prise en compte de
Nj : son esprance Nj (x) est donne par Nj (x) = nj pjj (x) + nl plj
(x). l=j On choisit les fonctions suivantes la fonction objectif nj
pjj (x) Oj (x) = (xj j ), (4) n la contrainte de solvabilit Kj + nj
(xj j )(1 ej ) gj1 (x) = 1. (5) k99.5% (Y ) Nj (x)15/38 Christophe
Dutang 31/05/2012
17. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion M
ODLE COMPLEXE PROPRITS P ROPOSITION ([DAL12 B ]) Le jeu dassurance
considr avec des fonctions objectif et contrainte dnies par (4) et
(5), respectivement, admet un quilibre de Nash gnralis, si pour
tout joueur j = 1, . . . , I, gj1 (x) > 0. P ROPOSITION ([DAL12
B ]) Soit x la prime dquilibre du jeu I assureurs. Pour tout joueur
j, si xj ]x, x[, la prime dquilibre xj dpend des paramtres de la
manire suivante : elle crot avec la prime seuil j , la contrainte
de solvabilit k99.5% , la volatilit des sinistres (Y ), le taux de
frais ej ; et dcrot avec les paramtres de rsiliation j , j et le
capital Kj . Sinon, la prime dquilibre xj est indpendante de tous
les paramtres.16/38 Christophe Dutang 31/05/2012
18. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion
PARAMTRAGE DYNAMIQUE Considrons le volume de prime GWPj,t , la
taille de portefeuille nj,t , le capital Kj,t pour le joueur j en
t. Au dbut de chaque priode, on dtermine d N d 1 j=1 GWPj,tu xj,tu
1 1 sj,tu mt1 = et aj,t = . d GWP.,tu 1 ej,t d nj,tu u=1 u=1 Ainsi,
on a j,t = j aj,t + (1 j )mt1 . Les fonctions objectif et
contrainte deviennent nj,t xj Oj,t (x) = 1 j,t 1 (xj j,t ) , n mj
(x) 1 Kj,t + nj,t (xj j,t )(1 ej,t ) gj,t (xj ) = 1. k995 (Y ) nj,t
Paramtres mis jour sur le principe leader in turn en se basant sur
le volume de prime GWPj,t : frais ej,t , sensibilit j,t ,
rsiliation j,t , j,t .17/38 Christophe Dutang 31/05/2012
19. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion M
ODLE SIMPLE RPT SQUENCE DE JEU Pour la priode t, le jeu se droule
comme suit. 1 Les assureurs maximisent leur fonction objectif sup
Oj,t (xj,t , xj,t ) tel que gj,t (xj,t ) 0. xj,t 2 Une fois la
prime dquilibre xt dtermine, les assurs rsilient ou renouvellent.
On obtient une ralisation nj,t de Nj,t (x ). 3 La perte agrge Sj,t
est simule selon un modle de sinistre : PLN ou NBLN. On obtient
sj,t . 4 Le rsultat de souscription de lassureur j est ensuite
dtermin UWj,t = nj,t xj,t (1 ej ) sj,t . 5 Enn, le capital est donn
par Kj,t = Kj,t1 + UWj,t . Le joueur j est dit ruin si Kj,t < 0
ou nj,t = 018/38 Christophe Dutang 31/05/2012
20. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion M
ODLE SIMPLE RPT PROPRITS P ROPOSITION ([DAL12 A ]) Pour le jeu sur
une priode, si k = j, xj,t xk ,t et xj,t (1 ej,t ) xk ,t (1 ek ,t
), alors les rsultats de souscription par police uwj,t est ordonn
stochastiquement uwj,t icx uwk ,t . E LMENTS DE PREUVE . Ordre de
majorization et proprits des ordres convexes. P ROPOSITION ([DAL12
A ]) Pour le jeu inniment rpt, la probabilit quil y ait au moins
deux assureurs non ruins au temps t dcrot gomtriquement avec t. E
LMENTS DE PREUVE . Majoration de la probabilit P(Card(It ) >
1).19/38 Christophe Dutang 31/05/2012
21. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion M
ODLE SIMPLE RPT EXEMPLE DE TRAJECTOIRE F IGURE : Modle de sinistre
NBLN et sensibilit j f20/38 Christophe Dutang 31/05/2012
22. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion P
ROBABILIT EMPIRIQUE D TRE LEADER Simulation de 214 16000
trajectoires sur T = 20 priodes. Ruine avant Ruine avant Leader
Leader Leader t = 10 t = 20 en t = 5 en t = 10 en t = 20 Assureur 1
6.1e-05 6.1e-05 0.593 0.381 0.331 Assureur 2 0 0 0.197 0.308 0.329
Assureur 3 0.000244 0.000244 0.21 0.312 0.34 TABLE : Probalits de
ruine et de domination Min. 1st Qu. Mediane Moy. 3rd Qu. Max.
Assureur 1 -0.7905 0.2309 0.3617 0.3563 0.4869 1.2140 Assureur 2
-0.4340 0.2279 0.3600 0.3555 0.4869 1.1490 Assureur 3 -0.4730
0.2308 0.3627 0.3563 0.4871 1.0950 TABLE : Rsultat de souscription
par police en t = 2021/38 Christophe Dutang 31/05/2012
23. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion C
YCLICIT 2 Calibration dun AR(2) Xt = a1 Xt1 + a2 Xt2 + Et . Si a2
< 0 et a1 + 4a2 < 0, a1 alors (Xt ) p-priodique avec p = 2
arccos 2a . 2 prime march Histogramme des priodes 5000 1.8 4000 1.7
1.6 3000 prime march effectif 1.5 2000 1.4 Q5% 1000 Q50% Q95% 1.3
traj. 1 traj. 2 0 0 5 10 15 20 6 8 10 12 14 16 18 20 temps priodes
F IGURE : Prime march22/38 Christophe Dutang 31/05/2012
24. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion C
ONCLUSION MODLE DE MARCH La thorie des jeux non-coopratifs est
adapte pour modliser les marchs dassurance et est une bonne
alternative au contrle optimal. Sur une priode, deux jeux sont
proposs : le plus simple comporte une unique prime dquilibre,
tandis que la version plus complexe admet plusieurs primes
dquilibre. Sur plusieurs priodes, le jeu simple rpt montre des prix
dquilibre fortement lis. De plus, les trajectoires de la prime
march sont cycliques.23/38 Christophe Dutang 31/05/2012
25. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion P
LAN 1 I NTRODUCTION 2 M ODLE DE MARCH Modle sur une priode Modle
sur plusieurs priodes 3 M ODLE DE RISQUE Modle en temps continu
Modle en temps discret 4 C ONCLUSION24/38 Christophe Dutang
31/05/2012
26. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion P
ROCESSUS DE RISQUE La richesse de lassureur (Ut )t au temps t est
modlise par Nt Ut = u + ct Xi , (6) i=1 o u > 0 est le capital
initial, c > 0 le taux de prime, (Nt )t0 le nombre de sinistres
entre [0, t] et Xi le montant du i me sinistre. Hypothses de dpart
: Richesse Ut i.i.d. X5 1 (Xi )i1 X , X3 X4 2 (Xi )i1 (Nt )t0 , X2
X6 3 (Nt )t0 un processus de Poisson (dintensit ). X1 T1 T2 T3 T4
T5 T6 temps t Probabilit de ruine : (u) = P(t 0, Ut < 0).25/38
Christophe Dutang 31/05/2012
27. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion C
ONTEXTE ET TAT DE L ART T HORME ([EV82, RSST99]) Dans le modle de
Sparre Andersen, (Nt )t0 est un processus de renouvellement : les
temps dinter-occurence Ti sont i.i.d. selon T . On suppose la
condition de prot net E(X ) < cE(T ). Si les montants et les
temps dinter-occurence possdent une f.g.m. MX , MT , alors on a
pour u 0 ex F Y (x) (u) b+ eu et b+ = sup + , x[0,x0 [ x ey dF Y (y
) o la solution (positive) de MX (r )MT (rc) = 1 et x0 le supremum
de lensemble {y , FY (y ) < 1} pour Y = X cT . x Notons FX ,0
(x) = 0 F X (y )dy /E(X ). Si FX et FX ,0 sont sous-exponentielles
(pour x +, F 2 (x)/F (x) 2), alors + 1 (u) F X (y )dy . u+ cE(T )
E(X ) u En particulier, (u) (k /u)1 , pour X Pareto(k , ). u+26/38
Christophe Dutang 31/05/2012
28. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion M
ODLE MLANGE Soit une variable (latente) reprsentant lincertitude.
Les montants de sinistres i.i.d. sont supposs Xi | =
Exponentielle(). Ainsi, n P(X1 > x1 , . . . , Xn > xn | = ) =
exi . i=1 P ROPOSITION ([ACL11]) Dans ce modle, les montants X1 , .
. . , Xn ont une structure de dpendance donne par une copule de
survie Archimdienne de gnrateur = L1 . La probabilit de ruine est
donne par + 0 u(0 ) (u) = F (0 ) + e dF (), 0 o 0 = /c.27/38
Christophe Dutang 31/05/2012
29. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion R
APPELS DES DEUX CAS SPCIAUX [ACL11] considrent deux lois pour : 1
Si suit une loi Gamma(, ), alors (, 0 ) 0 0 u ( 1, 0 ( + u)) (u) =
+ e . () () ( + u)1 2 Si suit une loi Lvy(), alors 0 u u0 1 (u) =
2(/ 20 ) + e 2 1 e u d+ 2 u 1 2 2 +2 1 + e u d 2 eu0 /(40 ) , u u0
+ o d = u0 /(2 0 ) et (x) = x exp(t 2 /2)dt/ 2.28/38 Christophe
Dutang 31/05/2012
30. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion A
SYMPTOTIQUE DE LA PROBABILIT DE RUINE T HORME ([DLL12]) Considrons
le modle prcdent o suit une loi continue de densit f et 0 = /c. 1
Si f est p.p. diffrentiable sur [0 , [ avec f Leb. intgrable, alors
u > 0, f (0 ) 1 (u) = F (0 ) + +o . u u (k ) 2 Si f est p.p. Dk
sur [0 , [ avec f Leb. intgrable et borne, alors u > 0, k 1 h(i)
(0) 1 (u) = F (0 ) + +o k , u i+1 u i=0 i j (ij) o h(i) (0) = i!
j=0 (1) (ij)! j f (0 ). 0 E LMENTS DE PREUVE . Intgration par
parties + prop. transforme de Laplace29/38 Christophe Dutang
31/05/2012
31. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion A
SYMPTOTIQUE DE LA QUEUE DE DISTRIBUTION P ROPOSITION ([DLL12])
Considrons le modle prcdent o suit une loi continue de densit f . 1
Si f est p.p. diffrentiable sur R+ avec f Lebesgue intgrable, alors
pour x > 0, f (0) 1 P(X > x) = +o . x x 2 Si f possde le
dveloppement au voisinage de 0 + k + 1 f (t) fk t , t0 k =0 pour
|t| r et , > 0, alors pour x > 0, + k + fk P(X > x) k + .
x+ x k =030/38 Christophe Dutang 31/05/2012
32. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion M
ODLE DE RISQUE BINOMIAL COMPOS La richesse de lassureur (Ut )t au
temps t est modlise par t Ut = u + t Xi , (7) i=1 o u > 0 est le
capital initial et Xi N le montant du i me sinistre. Hypothse de
dpart : X14 i.i.d. prime cumul. (Xi )i X . sinistre cumul. X13
ruines X12 Deux dnitions de la probabilit de X11 ruine : X10 X9 X8
G (u) = P(t N+ , Ut 0|U0 = u), u+t X6 X5 X3 t et X2 Xi X1 i=1 temps
t S (u) = P(t N+ , Ut < 0|U0 = u).31/38 Christophe Dutang
31/05/2012
33. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion M
ODLE MLANGE Soit une variable (latente) reprsentant lincertitude.
Les montants de sinistres i.i.d. sont supposs Xi | = Gomtrique(q, e
). Ainsi, q si n = 0, P(Xi = n| = ) = n1 (1 q)e 1 e sinon, pour n
N. Dans ce modle, la probabilit de ruine est donne par u+1 0 1q 1 e
(u) = F (0 ) + dF (). (8) 0 e q o 0 = log(1 q).32/38 Christophe
Dutang 31/05/2012
34. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion T
ROIS CAS SPCIAUX PROBABILIT DE RUINE P ROPOSITION ([DLL12])
Considrons le modle prcdent avec une variable positive et 0 = log(1
q). 1 Si suit une loi Exponentielle(), alors pour u 0 (1 q) (u) =
(1 q) + (, u + 1, 1 q). q u+1 2 Si suit une loi Gamma(, ), > 1,
alors pour u 0 u+1 (, 0 ) 1 q u+1 (, 0 ( + j 1)) (u) = + u+1 (1)j .
() q j () +j 1 j=0 3 Si suit une loi Lvy(), alors pour u 0 u+1 1q
u+1 (u) = 2 + (1)j e j1 d+ (j) 2 20 2q u+1 j j=0 j1 +e d (j) 2 , o
d (j) = j 1 0 , i 2 = 1. 2 033/38 Christophe Dutang 31/05/2012
35. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion A
SYMPTOTIQUE DE LA PROBABILIT DE RUINE T HORME ([DLL12]) Considrons
le modle prcdent o suit une loi continue de densit f et 0 = log(1
q). 1 Si f est p.p. diffrentiable sur [0, 0 ] telle que f , f
soient bornes, alors u 0 1 qf (0 ) 1 (u) = F (0 ) + +o . u+2 1q u 2
Si f est p.p. Dk sur [0, 0 ] avec drives successives bornes, alors
u 0 k 1 h(i) (0) 1 (u) = F (0 ) + +o k , (u + 2) . . . (u + 2 + i)
u i=0 o h(x) = f ( log(1 xq))/(1 xq)2 . E LMENTS DE PREUVE .
Intgration par parties34/38 Christophe Dutang 31/05/2012
36. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion T
ROIS CAS SPCIAUX QUEUE DE DISTRIBUTION P ROPOSITION ([DLL12])
Considrons le modle prcdent avec une variable positive et 0 = log(1
q). 1 Si suit une loi Exponentielle(), alors pour u 0 P(X > k )
= (1 q)(, k + 1). 2 Si suit une loi Gamma(, ), > 1, alors pour u
0 k k P(X > k ) = (1 q) (1)j . j ( + j) j=0 3 Si suit une loi
Lvy(), alors pour u 0 k k P(X > k ) = (1 q) (1)j e j . j
j=035/38 Christophe Dutang 31/05/2012
37. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion P
LAN 1 I NTRODUCTION 2 M ODLE DE MARCH Modle sur une priode Modle
sur plusieurs priodes 3 M ODLE DE RISQUE Modle en temps continu
Modle en temps discret 4 C ONCLUSION36/38 Christophe Dutang
31/05/2012
38. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion C
ONCLUSION ET PERSPECTIVES Cette thse propose Une nouvelle
modlisation des primes tenant compte de la comptition : elle est
comparer aux principes de prime plus traditionnels et la thorie du
contrle optimal. Un nouveau rsultat pour un modle de sinistres avec
dpendance par mlange : (u) A B/u est comparer au (u) eu (resp. (u)
k /u ) pour des lois de sinistres queue lgre (resp. lourde). De
nombreuses extensions sont possibles : Prise en compte de
lanti-slection avec plusieurs classes de risque pour les assurs
dans le modle de march, Application de lapproche mlange et des
outils danalyse dautres mesures de ruine (probabilit de ruine en
temps ni, fonction Gerber-Shiu) ou dautres modles (lois
phase-type).37/38 Christophe Dutang 31/05/2012
39. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion
Merci pour votre attention38/38 Christophe Dutang 31/05/2012
40. Annexes R FERENCES Albrecher, H., Constantinescu, C. et
Loisel, S. Explicit ruin formulas for models with dependence among
risks, Insurance : Mathematics and Economics, 2011. Embrechts, P.
et Veraverbeke, N. Estimates for the probability of ruin with
special emphasis on the possibility of large claims, Insurance :
Mathematics and Economics, 1982. Rolski, T., Schmidli, H., Schmidt,
V. et Teugels, J. Stochastic Processes for Insurance and Finance,
Wiley Series in Proability and Statistics, 1999.39/38 Christophe
Dutang 31/05/2012
41. Annexes P ROCDURES DE TEST POUR LES MODLES DE RISQUE Les
observations sont notes (xi , ti )1in et leur fonction de
rpartition empirique FX ,n , FT ,n respectivement. Tests sur la
svrit des sinistres X qqplot par rapport la loi normale et la loi
de Pareto, trac du Pareto chart : log(1 FX ,n (xi )) vs. log(xi ).
Tests de corrlation entre sinistres test dindpendance, par ex.
celui des points tournants sur les deux sries (xi )i et (ti )i ,
trac du nuage de points (FX ,n (xi ), FT ,n (ti )) pour dtecter une
sinistralit de type CAT, m tudier les somme partielles k =1 xik
pour m < n et la loi thorique de m k =1 Xi .40/38 Christophe
Dutang 31/05/2012
42. Annexes C ALCUL D QUILIBRE DE NASH GNRALIS Les conditions
KKT du GNEP L(x, ) = 0 et 0 C(x) 0, peuvent se rexprimer de la
manire suivante L(x, ) = 0, . (C(x), ) o est une fonction de
complmentarit, L et C sont donns par T x1 O1 (x) + Jacc1 (x) 1 c1
(x) . . n . 3I L(x, ) = R et C(x) = . R , . . T xI OI (x) + Jac cI
(x) I cI (x)41/38 Christophe Dutang 31/05/2012