Stage de M2, mars a juin 2010
Rapport de Stage de M2
–
Dissipation numerique et cascades turbulentes
Evaluation dans un modele idealise de
l’atmosphere
Departement de Genie Mecanique,
Ecole Normale Superieure, Cachan
–
Laboratoire Meteorologique Dynamique
Ecole Polytechnique, Palaiseau
–
Etudiant : Marine Tort
Encadrant : Thomas Dubos
Table des matieres
1 Introduction 4
1 Le laboratoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Contexte de l’etude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Sujet de stage et problematiques associees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Travaux anterieurs 6
1 The Dynamics of Finite-Difference Models of the Shallow-Water Equations -
Decembre 1974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Dissipation and Cascades to Small Scales in Numerical Models Using a Shape-
Preserving Advection Sheme - Novembre 1994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 The use of Finite-Volume Methods for Atmospheric Advection of Trace Species
- Mai 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Presentation des differentes discretisations 8
1 Les equations de Saint Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Le schema en differences finies de Sadourny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Une variante du schema de Sadourny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 Le schema en volumes finis de Bouchut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5 Les schemas temporels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4 Turbulence en declin 14
1 Cadre des experiences numeriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1 Descriptions des experiences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2 Choix de la dissipation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Choix de la simulation de reference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2
2 Comportements vis a vis des invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 Les spectres energetiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4 L’equilibre statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5 Turbulence forcee 30
1 Cadre des experiences numeriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2 Comportements vis a vis des invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Les spectres energetiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4 Les flux spectraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6 Conclusions et Perspectives 36
Bibliographie 37
Introduction
1 Le laboratoire
Le Laboratoire de Meteorologique Dynamique a ete fonde en 1968 et comprend environ 150
membres repartis sur trois sites : l’Ecole Polytechnique, l’Ecole Normale Superieure et l’Uni-
versite Pierre et Marie Curie. Il depend de quatre tutelles : CNRS, Ecole Normale Superieure,
Ecole Polytechnique, Universite Paris 6. Il est associe au CNES par son statut de laboratoire
spatial et est membre de l’Intitut Pierre et Simon Laplace (IPSL).
L’objet d’etude principal du laboratoire est la dynamique de l’atmosphere, a des echelles
d’espace et de temps qui sont en premier lieu dictees par l’etude du climat et de ses fluctua-
tions interannuelles. C’est donc souvent l’echelle continentale et l’echelle globale qui servent
de reference pour les etudes menees au LMD, mais leur comprehension ou leur prediction
implique aussi d’etudier le role d’echelles plus petites, et la contribution des processus at-
mospheriques « elementaires ». L’atmosphere constitue en effet un milieu particulierement
complexe, au comportement fortement non-lineaire : qu’il s’agisse de processus fondamentaux
(role de la stratification, des interactions avec la surface et sa topographie, des interactions
entre echelles), ou de processus deja plus heterogenes et souvent organises a grande echelle
(telles que les circulations stratospheriques, la mousson et les perturbations tropicales, ou en-
core les perturbations des moyennes latitudes), il est toujours necessaire de mettre en avant
des approches axees sur la comprehension physique, qui combinent modelisation, etudes theo-
riques et observations.
L’etude qui fait l’objet de ce stage de recherche se positionne du cote de la modelisation
numerique de l’atmosphere visant a predire le climat.
2 Contexte de l’etude
Le LMD developpe et utilise depuis les annees 70 le modele de circulation generale atmo-
spherique LMDZ (Sadourny and Laval, 1984) base sur un noyau dynamique qui integre sur la
sphere et dans le temps les equations primitives de la meteorologie. Les equations sont discre-
tisees spatialement sur une grille horizontale rectangulaire dans le plan longitude-latitude. La
repartition des longitudes et latitudes peut etre fixee arbitrairement pour raffiner le maillage
sur une region du globe (le Z de LMDZ signifie Zoom). La discretisation horizontale privilegie
la conservation de l’enstrophie (Sadourny). Des operateurs de dissipation sont introduits pour
4
Dissipation numerique et cascades turbulentes juin 2010
representer l’interaction entre echelles horizontales explicites et echelles sous-mailles, et notam-
ment le pompage d’enstrophie aux petites echelles. Dans sa version terrestre, LMDZ constitue,
couple a d’autres modeles (surfaces continentales, ocean, glaces ...) le cœur atmospherique du
modele integre du climat de l’IPSL.
Les evolutions futures necessitent une revision de l’ecriture du coeur dynamique de LMDZ.
L’augmentation de la resolution est, par exemple, une evolution naturelle du modele mais la
discretisation actuelle pose un probleme au niveau des poles. Le developpement d’une dyna-
mique sur une grille icosaedrique est actuellement en cours et vise a palier ce probleme.
Dans ce meme esprit de revision du coeur dynamique du modele climatique, la presente
etude s’inscrit dans une volonte d’explorer differentes methodes de discretisation spatiales et
temporelles des equations du climat.
3 Sujet de stage et problematiques associees
Le theme principal aborde a travers cette etude est le role de la dissipation dans differents
schemas de discretisation.
Actuellement une dissipation explicite (type bilaplacien ∆2 dans l’equation de la conserva-
tion de mouvement) avec une discretisation en differences finies (Sadourny) est utilisee dans
le cœur dynamique de LMDZ pour assurer l’evacuation de l’enstrophie aux petites echelles,
necessaire a la stabilite des simulations.
En revanche, les traceurs atmospheriques sont advectes par volumes finis. Cette discreti-
sation est une methode a dissipation implicite, l’ajout d’un bilaplacien n’etant pas necessaire.
F.Bouchut a developpe une methode par volumes finis pour resoudre les equations de Saint
Venant sur le plan f garantissant la decroissance de l’energie. Une variante du schema en dif-
ferentes finies de R.Sadourny consiste a reconstruire la vorticite potentielle par volumes finis.
Ces differentes methodes vont etre comparees du point de vue du role joue par la dissipation.
La problematique du stage pourrait ainsi se resumer ainsi : faut-il preferer une dissipation
implicite ou explicite dans le nouveau cœur dynamique de LMDZ ?
Cette problematique sera examinee a travers deux grandes parties d’etude de la turbulence
atmospherique bidimensionnelle en declin puis forcee. Prealablement, il sera presente quelques
travaux anterieurs sur le meme type de problematique et les differentes discretisations compa-
rees dans l’etude pour modeliser la turbulence bidimensionnelle de l’atmosphere.
Rapport.pdf 5 Edite le 16 juin 2010
Travaux anterieurs
1 The Dynamics of Finite-Difference Models of the
Shallow-Water Equations - Decembre 1974
R.Sadourny [15] compare deux schemas en differences finies pour la discretisation des equa-
tions de Saint-Venant :
– un privilegiant la conservartion de l’energie,
– un privilegiant la conservation de l’enstrophie.
Il en deduit que :
– pour une dissipation nulle, les deux schemas sont instables numeriquement mais que
l’instabilite arrive bien plus tard pour le schema conservant l’enstrophie,
– pour une dissipation numerique non nulle, il existe une valeur de dissipation critique νcau dela de laquelle les schemas deviennent stables,
– la valeur de dissipation necessaire a la stabilite est bien plus grande pour le schema
conservant l’energie,
– pour une valeur de dissipation bien superieure a la dissipation critique, une diminution
soudaine de l’energie apparaıt au dela d’un certain temps.
Pour ces raisons, il a ete implante un schema privilegiant la conservation de l’enstrophie
dans le modele LMDZ.
2 Dissipation and Cascades to Small Scales in Nu-
merical Models Using a Shape-Preserving Advection
Sheme - Novembre 1994
J. Thuburn [6] utilise un schema up-wind pour l’equation d’advection. Ce type de schema
preserve certaines proprietes impliques par l’equation de continuite :
– la quantite advectee est conservee,
– aucun nouveau extrema de cette quantite n’est genere.
L’equation de continuite implique aussi la conservation de la variance de la quantite advectee
6
Dissipation numerique et cascades turbulentes juin 2010
(enstrophie pour les equations de Saint-Venant). En revanche la conservation de l’anologue
discret de cette quantite n’est pas assuree et ce type de schema est dissipatif en ce sens.
Plusieurs tests de ce schema pour plusieurs ordres d’interpolation ont ete realises en utili-
sant l’equation d’advection de la vorticite potentielle sur une grille plane hexagonale.
Une partie de l’etude tente de verifier que le schema utilise dissipe suffisamment pour eviter
l’accumulation d’enstrophie aux petites echelles et ce sans utilisation de parametrisation. La
vorticite potentielle est advectee en utilisant differents schemas : un schema up-wind d’ordre
1 et d’ordre plus eleve, un schema par differences centrees d’ordre 2.
Il a ete note que le schema d’advection a un ordre eleve donne une simulation de reference,
les petites echelles semblent assez bien resolues et il ne semble pas y avoir de bruits de petites
echelles comme c’est le cas pour les schemas type differences centrees et pour lesquels une
parametrisation de la cascade a petite echelle se revele donc necessaire. Le schema up-wind a
l’ordre le plus bas est nettement plus diffusif.
L’enstrophie est quasiment conservee pour le schema en differences centree, et decroıt avec
le temps pour les deux schemas upwind.
Une analyse spectrale permet de verifier que la dissipation implicite des schemas up-wind
est suffisante.
3 The use of Finite-Volume Methods for Atmospheric
Advection of Trace Species - Mai 1998
Dans cette etude, F.Hourdin et A.Armengaud [3] mettent en œuvre differents tests compa-
ratifs de differentes hierarchies de methodes par volumes finis decrit par B. Van Leer [7] dans
le contexte du transport 3D des traceurs atmospheriques.
Diverses simulations numeriques sont realisees utilisant differents schemas et ce pour dif-
ferentes resolutions spatiales.
De maniere evidente, les schemas utilisant un ordre d’interpolation plus eleve se revele plus
precis et moins dissipatifs que ceux utilisant l’ordre le plus bas. En revanche, a cout egal, les
resultats sont beaucoup plus comparables lorsque le schema a l’ordre le plus bas est utilise sur
une grille plus fine. Ainsi, le nombre de degres de liberte utilise pour representer la distribution
globale des traceurs atmospheriques est un parametre cle.
Les auteurs suggerent d’implementer le schema d’ordre 1 de Van Leer [7] dans le modele
couple du LMD pour l’advection des traceurs. Les proprietes de ce schema sont les suivantes :
– conservatif,
– monotone, assurant la positivite des valeurs calculees,
– l’advection d’un champ de traceur constant n’est pas modifie, et ce independamment de
la repartition du champ de vent.
Rapport.pdf 7 Edite le 16 juin 2010
Presentation des differentes discretisations
De maniere generale, les ecoulements geophysiques ont une tendance naturelle a la bidi-
mensionnalite. D’une part leurs dimensions horizontales sont beaucoup plus grande que leurs
dimensions verticales, d’autre part ils sont souvent stratifies, ce qui inhibe les mouvements
verticaux. De plus, la rotation de la Terre tend a confiner les mouvements lents de ces fluides
dans des plans.
Ainsi la motivation premiere pour l’etude de la turbulence bidimensionnelle plutot que la
tridimensionnelle est qu’elle constitue le modele conceptuel le plus simple decrivant les mou-
vements de l’atmosphere et de l’ocean. Dans la hierarchie des modeles, il occupe la place la
moins elevee mais il permet d’expliquer certaines caracteristiques des grandes echelles de la
circulation atmospherique et oceanique.
Les equations de Saint-Venant pour un fluide tournant constitue un modele simple pour
la description de la turbulence atmospherique bidimensionnelle. C’est pourquoi ce modele sera
utilise pour l’etude comparative de differentes methodes numeriques.
1 Les equations de Saint Venant
Les equations utilisees pour cette etude sont les equations de Saint Venant pour un fluide
tournant (Rotating Shallow Water) une couche sur le plan f .
Elles sont en fait la forme integree sur la verticale des equations de Navier Stokes [5].
∂u
∂t+ fz ∧ u+ (u.∇)u = −∇p
∂p
∂t+∇.(pu) = 0
ou :
– t est le temps,
– u = (u, v)T est le vecteur du champ de vitesse 2D,
– p = Pρ est la le rapport de la pression sur la masse volumique du fluide, constante dans
la couche,
– f est le parametre de Coriolis, constant sur le plan f .
Ces equations admettent des invariants analogues aux equations de Navier-Stokes :
8
Dissipation numerique et cascades turbulentes juin 2010
La vorticite potentielle q est un invariant Lagrangien :
q =(∇∧ u).z + f
p=ζ + f
p
ou ζ = (∇∧ u).z est la vorticite relative.
L’energie E et l’entrophie Z sont des invariants integraux :
E =1
2
∫Ωp(p+ u2)dΩ
Z =
∫Ωp.q2dΩ
Ce modele des equations de Saint-Venant pour l’eau peu profonde en rotation presente
l’avantage de comporter des modes tourbillonnaires et des modes d’ondes d’inertie-gravite.
Plusieurs schemas numeriques existent pour resoudre ce type d’equation aux derivees par-
tielles.
2 Le schema en differences finies de Sadourny
La discretisation en differences finies etablie par R.Sadourny [15] est basee sur la forme
suivante des equations de Saint-Venant :
∂u
∂t+ qz ∧ (pu) +∇
(p+
1
2u.u)
= −ν∆2u
∂p
∂t+∇.(pu) = 0
La discretisation spatiale utilise une grille dite C, la pression et la vorticite potentielle etant
calculees sur des grilles duales (figure 3.1).
v(i,j) q(i,j)
dx
p(i,j) u(i,j) p(i,j+1)
p(i+1,j)
p(i,j-1)
p(i-1,j)
p(i+1,j+1)p(i+1,j-1)
p(i-1,j-1) p(i-1,j+1)
Figure 3.1 – Grille C pour la discretisation spatiale en differences finies
La discretisation spatiale se fait en plusieurs etapes de calcul :
1) calcul des flux de masses aux points de vitesses : U = pxu, V = pyv,
Rapport.pdf 9 Edite le 16 juin 2010
Dissipation numerique et cascades turbulentes juin 2010
2) calcul de la fonction de Bernoulli au point de pression : H = p+ 12(u2
x+ v2
y),
3) calcul de la vorticite potentielle aux centres de la grille dual : q =δxv−δyu+f
pxy
4) reconstruction de la vorticite potentielle aux points de champ de vitesses qx, qy,
5) calcul des tendances selon un schema conservant l’enstrophie :∂u∂t − q
yVxy
+ δxH = 0∂v∂t + qxU
yx+ δyH = 0
∂p∂t + δxU − δyV = 0
avec :
– δxv = v(i,j+1)−v(i,j)δx ,
– δyu = u(i−1,j)−u(i,j)δy ,
– .x = .(i,+1j)+.(i,j)2 ,
– .y = .(i−1,j)+.(i,j)2 .
Pour allonger le temps de stabilite numerique, il a ete introduit un terme de dissipation ex-
plicite du type bilaplacien, qui permet d’evacuer l’enstrophie aux petites echelles. Les deux
schemas presentes ci-apres ne necessitent pas cet ajout puisque la maniere meme de discretiser
spatialement introduit une dissipation implicite.
3 Une variante du schema de Sadourny
Une variante du schema de Sadourny presente precedemment consiste a reconstruire la
vorticite potentielle par volumes finis. C’est de cette maniere qu’est introduit une dissipation
implicite.
Les premieres etapes de discretisation (de 1 a 4), sont les memes que precedemment.
Ensuite la vorticite potentielle est reconstruite aux point de vitesse pour le calcul des
tendances du champs de vitesse :∂u∂t − q(i−
12 , j)V
xy+H,x = 0
∂v∂t + q(i, j − 1
2)Uyx
+H, y = 0
La vorticite potentielle est reconstruite aux points de vitesse par une approximation par
differences decentrees (upwind) (figure 3.2).
A l’ordre 1, le champ de vorticite potentielle dans chaque cellule est considere constant.q(i− 1
2 , j) = q(i− 1, j) si Vxy> 0
q(i− 12 , j) = q(i, j) si V
xy ≤ 0
Rapport.pdf 10 Edite le 16 juin 2010
Dissipation numerique et cascades turbulentes juin 2010
V(i,j)
q(i,j)
q(i-1,j)
q(i-1/2,j)
Figure 3.2 – Reconstruction de q sur la grille duale
Pour une plus grande precision, l’ordre d’interpolation peut etre augmente a l’ordre 2, ou
q est interpole lineairement dans la cellule. Dans ce cas :q(i− 1
2 , j) = q(i− 1, j) + δx2δq(i−1,j)
δx si Vxy> 0
q(i− 12 , j) = q(i, j)− δx
2δq(i,j)δx si V
xy ≤ 0
δq(i)δx est la derivee approximee de q au point i et est egale a q(i+1)−q(i−1)
2δx (figure 3.6).
q
ii i+1i+1/2i-1/2i-1
V(i-1/2) V(i+1/2)
dq(i)=0.5(q(
i+1)-q(i-1))
Figure 3.3 – Calcul du flux de vorticite potentielle par volumes finis
De plus, ce type de reconstruction utilise couramment des limiteurs de pentes pour s’assurer
de la positivite du schema. Plusieurs fonctions de limiteurs de pentes existent [3], il est courant
d’utiliser la fonction minmod (figure 3.4) :
– β = q(i, j)− q(i− 1, j) et α = q(i+ 1, j)− q(i, j),– si α.β < 0 alors δq(i)
δx = 0,
– si α > 0 et β > 0 alors δq(i)δx = min(α, β),
– si α < 0 et β < 0 alors δq(i)δx = max(α, β).
q
xi i+1i+1/2i-1/2i-1
q(i)-q(i-1) q(i+1)-q(i)
(a)
q
xi i+1i+1/2i-1/2i-1
q(i)-q(i-1)
q(i+1)-q(i)
(b)
q
xi i+1i+1/2i-1/2i-1
q(i)-q(i-1)q(i+1)-q(i)
(c)
Figure 3.4 – Limiteurs de pente
Rapport.pdf 11 Edite le 16 juin 2010
Dissipation numerique et cascades turbulentes juin 2010
4 Le schema en volumes finis de Bouchut
Le schema de discretisation de F.Bouchut [17] en volumes finis repose sur la forme conser-
vative des equations de Saint-Venant :
∂pu
∂t+ fz ∧ (pu) +∇.(pu⊗ u) +∇
(p2
2
)= 0
∂p
∂t+∇.(pu) = 0
La discretisation spatiale s’effectue en utilisant une grille de type A, sur laquelle toutes les
grandeurs sont colocalisees (figure 3.5).
dx
p(i,j), q(i,j)u(i,j), v(i,j)
(i+1,j)(i+1,j-1)
(i,j-1)
Figure 3.5 – Grille A pour la discretisation spatiale en volumes finis
La forme generale de l’equation d’un systeme 1D conservatif est :
∂U
∂t+∂F (U)
∂x= 0
U
xi i+1i+1/2i-1/2i-1
F(i-1/2) F(i+1/2)
Figure 3.6 – Discretisation spatiale
Le schema en volumes finis de cette equation s’ecrit (figure 3.6) :
∂tUi +1
δx(Fi+1/2 − Fi−1/2) = 0
avec Fni+1/2 = F(Ui, Ui+1).
Fni+1/2 est appele le flux numerique et est calcule par des solveurs specifiques [17].
Rapport.pdf 12 Edite le 16 juin 2010
Dissipation numerique et cascades turbulentes juin 2010
5 Les schemas temporels
Le choix du schema d’integration est important car il determine la stabilite numerique du
schema. Ce choix depend de la discretisation spatiale.
R.Sadourny [15] utilise un schema temporel type leap-frog (saute mouton) pour les equa-
tions de Saint-Venant discretisees par differences finies.
L’equation de conservation de la masse s’ecrit suivant ce schema par :
pn+1 = pn−1 + 2δt(∂xUn + ∂xV
n)
Ce type de schema n’est pas stable pour des discretisations ou est introduit de la dissipa-
tion implicite comme la variante de R.Sadourny comparee dans cette etude. C’est pourquoi il
a ete choisi d’utiliser un schema temporel d’Adams-Bashforth, a pas multiples.
Dans l’equation differencielle suivante ∂u(x,t)∂t = F (x, t), le developpement de Taylor de
un+1 est a l’ordre 3 :
un+1 = un +∂un
∂tδt+
∂2un
δt2δt2
2+∂3un
∂t3δt3
6
un+1 = un + Fnδx+∂Fn
∂t
δ2un
2+∂2Fn
∂t2δx3
6
Les derivees successives de Fn sont evaluees a l’aide de polynomes d’interpolation bases
sur les valeurs de F a differents instants.
Ainsi le schema d’Adams-Bashforth a l’ordre 3 s’ecrit :
un+1 = un +δt
12(23Fn − 16Fn−1 + 5Fn−2)
Concernant le schema de discretisation spatial en volumes finis de F.Bouchut [17], le schema
temporel utilise est un schema de type Runge-Kutta d’ordre 2 (schema d’Heun) :un+1 = un + k1+k2
2
k1 = δtF (tn, un)
k2 = δtF (tn + δt, un + k1)
C’est ce schema temporel couple aux volumes finis qui assure la decroissante de l’energie
au cours du temps dans le respect d’un critere sur la valeur du pas de temps δt.
Ce critere est appele critere Courant-Friedrich-Levy (CFL), portant le nom de ses auteurs.
Il determine la valeur minimale du pas de temps de simulations numeriques pour eviter l’in-
stabilite numerique.
Pour les deux premiers schemas temporels, la valeur du critere CFL n’est que ad hoc. Il
est courant d’utiliser :
δt = αδx
c
avec c la vitesse de ondes d’inertie gravite pour les equations de Saint-Venant sur le plan f ,
α ∈]0, 1] et δx la taille de maille.
Le critere CFL pour le schema de F.Bouchut [17] est :
δtci+1/2 ≤ min(δxi, δxi+1)
Rapport.pdf 13 Edite le 16 juin 2010
Turbulence en declin
1 Cadre des experiences numeriques
1.1 Descriptions des experiences
Les equations utilisees pour cette etude sont les equations de Saint Venant non forcees pour
un fluide tournant (RSW) une couche en regime quasi-geostrophique.
∂u
∂t+ fz ∧ u+ (u.∇)u = −∇p(−ν∆2u)
∂p
∂t+∇.(pu) = 0
La condition initiale (figure 4.1) est definie a partir du champ de pression. Ce champ suit
des fonctions Gaussiennes. Dans l’espace des vecteurs d’onde, p0(k) est generee de la maniere
suivante :
p0(k) = e−|k|22 (α+ iβ)
avec α et β deux nombres aleatoires appartenant generes par la loi normale.
Pour controler l’ordre de grandeur de la pression p(x) dans l’espace physique :
p(x) = c2 + πp0(x)
max(p0(x))
avec p0(x) la transformee de Fourrier inverse de p0(k), c2 est l’ordre de grandeur de p(x)
(carre de la celerite des ondes de gravite) et π est la deviation de pression.
Le champ de vitesse est deduit, lui, par equilibre geostrophique a partir du champ de
pression : fz ∧ u = −∇p.
14
Dissipation numerique et cascades turbulentes juin 2010
(a) Champs de vitesse et de pression (b) Champ de vorticite potentielle
Figure 4.1 – Conditions initiales
L’adimensionnement des equations de Saint-Venant permet d’introduire des echelles et des
parametres caracteristiques qui determinent le regime de l’ecoulement.
Ro(∂u∂t
+ (u.∇)u) + z ∧ u+ = −λBu
Ro∇p(− Ro
Re∆2u
)∂p
∂t+∇(pu) = 0
Le regime quasi-geostrophique est defini proche du geostrophisme et donc est valable pour :
Ro → 0, Bu ∼ 1 et λ ∼ Ro.Les echelles de vitesse U ∼ 1 et de longueur L ∼ 1 sont fixees. Par l’equilibre geostrophique
est deduit l’ordre de grandeur de la deviation de pression π ∼ f . En prenantRo = 0.1, les autres
parametres sont fixes par les conditions precedentes (tableau 4.1).
echelle de vitesse U ∼ 1
echelle horizontale L ∼ 1
echelle de pression p = c2 + π ∼ 100 + 10
deviation de pression λ = πc2∼ 0.1
parametre de Coriolis f = 10
nombre de Rossby Ro = UfL = 0.1
nombre de Burger Bu = c2
f2L2 = 1
rayon de deformation de Rossby Rd = c2
f2= 1
nombre de Froude Fr = Uc = 0.1
nombre de Reynols ”Re” = UL3
ν
Table 4.1 – Echelles et nombres caracteristiques
C’est donc la condition initiale qui dicte l’evolution temporel du systeme. Les tourbillons
initiaux evoluent librement au cours des experiences numeriques.
Les phenomenes de la turbulence bidimensionnelle sont visibles [12]. Lorsque deux tour-
billons de memes signes sont suffisamment proches l’un de l’autre, ils tournent l’un autour de
Rapport.pdf 15 Edite le 16 juin 2010
Dissipation numerique et cascades turbulentes juin 2010
l’autre, dans un mouvement de spiral qui les rapproche progressivement l’un de l’autre. Au
bout de quelques temps de retournement, ils finissent par melanger leur coeur et ne forment
plus qu’un tourbillon isole, de taille substantiellement plus grande que les tourbillons initiaux
(figure 4.2).
La filamentation apparaıt lorsqu’un tourbillon de petite taille, ou de faible circulation, se
trouve dans le champ de vitesse produit par un ou plusieurs gros tourbillons. Ce petit tour-
billon est emporte par le champ de vitesse de ses partenaires, mais du fait de la non uniformite
de ce champ, il tend a se transformer en filament de vorticite. Ce filament est appele a une dis-
parition rapide : en effet, il est tres fin, et genere ainsi de forts gradients de vorticite. Ces forts
gradients vont forcer une decroissance rapide de l’enstrophie. Ainsi, le filament est condamne
a disparaıtre rapidement et les petits tourbillons sont en quelques sortes les maillons faibles
dans les champs turbulents.
(a) (b) (c)
Figure 4.2 – Fusion de deux tourbillons a vorticite potentielle negative
Ensuite, est atteint l’equilibre statistique (figure 4.3) a partir duquel l’evolution de l’energie
et de l’enstrophie devient constante. Tous les tourbillons ont fusionnes et il ne reste donc plus
que deux gros tourbillons de signe oppose.
Figure 4.3 – Equilibre statistique
1.2 Choix de la dissipation
Les schemas faisant intervenir des volumes finis sont intrinsequement dissipatifs et une
dissipation explicite n’est donc pas necessaire.
Rapport.pdf 16 Edite le 16 juin 2010
Dissipation numerique et cascades turbulentes juin 2010
En revanche, l’utilisation d’un schema en differences finies necessite l’evacuation de l’en-
strophie aux petites echelles pour assurer la stabilite du schema. Cette evacuation n’est pas
permise sans dissipation explicite et une hyperdissipation en bilaplacien est donc couramment
utilisee : ν∆2. La valeur du coefficient ν est choisi de telle maniere a ce qu’il evite une accumu-
lation d’enstrophie dans les plus petites echelles resolues. En effet, physiquement, l’enstrophie
se dissipe au niveau de l’echelle de Kolmogorov [8], qui n’est pas une echelle resolue dans les
simulations numeriques.
Pour determiner l’ordre de grandeur du coefficient de viscosite, on utilise une analyse
dimensionnelle : ν = δx2
τ , τ etant le temps de retournement des tourbillons.
1
τ=
√√√√ 1
N ×M
N∑i=1
M∑j=1
(∂xv(i, j)− ∂yu(i, j))2,
N et M etant le nombre de points de grille suivant les deux directions horizontales.
τ ne depend pas de la resolution. Cette grandeur a ete calcule sur les conditions initiales
des experiences numeriques et a ete estime environ egale a l’unite.
En examinant les spectres d’energie (cf a la partie IV.3, figure 4.12), il semble que c’est a
partir de ν = 0.25 que l’enstrophie est suffisamment dissipee aux plus petites echelles resolues.
A partir de ν = 1, l’energie est identique aux petites echelles limitee par la precision de la
machine. Pour une valeur du coefficient de viscosite inferieur a 1, des oscillations numeriques
semblent se produisent peu apres le debut de la simulation. C’est pourquoi, on choisira ν = 1
pour la valeur du coefficient de viscosite.
1.3 Choix de la simulation de reference
Afin de choisir la simulation numerique qui servira de reference a la comparaison des diffe-
rentes methodes, plusieurs simulations a basse resolution ont ete effectuees (figure 4.4), et ce
pour differentes methodes de resolution. Le schema en differences finies sans dissipation tend
a donner des champs de vorticite potentielle tres bruites. Les schemas incluant des discretisa-
tions en volumes finis sont tres dissipatifs et tendent ainsi a lisser et moyenner les champs de
vorticite, ce qui suppriment les details de petites echelles. Il sera donc retenu comme simulation
de reference un schema de differences finies avec dissipation explicite et ce a haute resolution
(1024× 1024).
Rapport.pdf 17 Edite le 16 juin 2010
Dissipation numerique et cascades turbulentes juin 2010
Figure 4.4 – Resolution par differentes methodes
2 Comportements vis a vis des invariants
Consernant la turbulence des ecoulements compressibles, la theorie est basee sur l’analogie
avec celle des ecoulements incompressibles [8].
Les equations de Navier-Stokes pour un fluide incompressible sont donnees par :DuDt = −1
ρ∇p+ ν∆u+ f
∇.u = 0
En prenant le rotationnel de l’equation de la conservation de la quantite de mouvement en
projection suivant l’axe vertical, l’equation de la vorticite potentielle s’ecrit :
Dζ
Dt= g + ν∆ζ
g etant la projection du rotationnel du forcage.
En l’absence de forcage et de dissipation et en dimension 2, la vorticite potentielle se
conserve donc le long des lignes de courant.
Cette loi de conservation implique l’existence de deux invariants quadratiques : l’energie et
l’enstrophie.
L’energie totale est donnee par : E = 12
∫Ω u
2dΩ.
Rapport.pdf 18 Edite le 16 juin 2010
Dissipation numerique et cascades turbulentes juin 2010
L’enstrophie est donne par Z =∫
Ω ζ2dΩ.
En combinant l’equation de la vorticite potentielle et l’equation de la continuite puis en
integrant sur le domaine, la loi d’evolution de l’enstrophie est :
DZ
Dt= −ν
∫Ω
(∇ζ)2dΩ
Ainsi, l’enstrophie est condamnee a decroıtre dans le temps.
Concernant l’energie, elle est quasi conservee en 2D.
DE
Dt=
1
2
∫Ωu2dΩ =
∫Ωu.udΩ
Et en utilisant les equations du mouvement :
DE
Dt= −νZ
L’enstrophie decroıt au cours du temps et est donc bornee. A fort nombre de Reynols
(faible viscosite), l’energie est donc pratiquement conservee.
Une des consequences importantes est que les systemes bidimensionnels sont incapables
de dissiper l’energie aux petites echelles alors que l’enstrophie dissipe aux petites tant que la
viscosite est negligeable.
La cascade d’energie est donc inversee par rapport a la turbulence 3D.
En effet, dans le cas de la turbulence 3D, les tourbillons de grandes echelles sont instables.
Ils se fractionnent, en quelques temps de retournement, donnant lieu a une nouvelle population
de tourbillons de taille plus petite. Ces tourbillons deviennent instables a leur tour, engendrant
des tourbillons encore plus petits. Un processus de cascade, dirige vers les petites echelles, se
met ainsi en place. La cascade se termine lorsque la derniere generation de tourbillons cesse
d’etre instables, ce sont les tourbillons dissipatifs. C’est au niveau des structures qui sont suffi-
samment petites pour pouvoir etres detruites par l’action du frottement visqueux que l’energie
est dissipee.
Dans le cas de la turbulence 2D, Kraichnan [12], [14] postule l’existence de deux gammes
inertielles differentes concernant la turbulence : une avec le flux constant d’energie transitant
des petites echelles aux plus grandes (cascade inverse de l’energie i.e par rapport a la cascade
en 3D) et l’autre avec le flux constant d’enstrophie transitant des grandes echelles vers les plus
petites (cascade de l’enstrophie).
Concernant la turbulence bidimensionnelle compressible, une analogie a la theorie presen-
tee ci-dessous est faite.
Plusieurs simulations numeriques ont ete menees a bien pour comparer les differentes me-
thodes et ce a plusieurs resolutions. Comme attendu, il a ete observe une conservation meilleure
des invariants integraux a plus hautes resolutions.
Rapport.pdf 19 Edite le 16 juin 2010
Dissipation numerique et cascades turbulentes juin 2010
L’energie et l’enstrophie sont traces sur les figures ci-dessous et ont ete calculees en retran-
chant leur valeur de repos et en les normalisant par leur valeur initiale :
E =1
2< p(p+ u2) > −1
2< p >2
Z =<(f + ξ)2
p> − f2
< p >
La dissipation des invariants est moindre pour une resolution plus grande, et ce pour
les trois discretisations comparees, resultat compatible avec la theorie de la double cascade
(figure 4.5, tableau 4.2).
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000.97
0.98
0.99
1
t
E
Energie totale − FD
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
0.4
0.6
0.8
1
t
Z
Enstrophie − FD
128 − nu=0128 − nu=1256 − nu=0256 − nu=1512 − nu=0512 − nu=1
Figure 4.5 – Influence de la resolution pour le schema en differences finies
Resolution 128 256 512
Pourcentage de perte d’energie par rapport a la reference 2.48% 0.58% 0.48%
Pourcentage de perte d’enstrophie par rapport a la reference 4.83% 4.20% 2.73%
Table 4.2 – Perte d’energie et d’enstrophie pour le schema en differences finies
Concernant l’energie (figure 4.6), elle est bien conservee pour le schema de R.Sadourny en
differences finies sans dissipation [15]. De meme lorsqu’est ajoutee de la dissipation explicite : a
l’etat stationnaire, le systeme a perdu seulement 0.15% de son energie de depart. En revanche,
les discretisations utilisant des volumes finis, sont beaucoup plus dissipatifs atteignant pour
les deux methodes une perte de 8% a l’etat stationnaire.
Rapport.pdf 20 Edite le 16 juin 2010
Dissipation numerique et cascades turbulentes juin 2010
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000.9
0.92
0.94
0.96
0.98
1
t
E
Energie totale − résolution 512
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000.9985
0.999
0.9995
1
t
E
FD − ν=0FD − ν=1référence
FD − ν=0FD − ν=1PV advectée par FVFVréférence
Figure 4.6 – Energie totale
Concernant la conservation de l’enstrophie (figure 4.7), elle est conservee exactement dans
le cas du schema en differences finies sans dissipation puisque la discretisation utilisee est celle
conservant l’enstrophie.
Dans le cas visqueux, elle decroıt bien au cours du temps. Les deux methodes utilisant des
discretisations en volumes finis presentent des resultats assez proches (perte de 60%). Le schema
de differences finies avec dissipation explicite est moins dissipatif (perte de 55%).
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t
Z
Enstrophie − résolution 512
FD − nu=0FD − nu=1PV advectée par FVFVréférence
Figure 4.7 – Enstrophie
Pour la variante du schema de Sadourny, il peut etre interessant de verifier l’effet des
limiteurs de pente. Dans le cas d’etude, il n’est pas indispensable de s’assurer de la positivite
du schema (dans le cas du transport de polluant, le respect de cette condition est importante
puisqu’il s’agit de concentrations qui ne peuvent etre negatives). C’est pourquoi une etude
comparative a ete effectuee de maniere a connaıtre l’influence des limiteurs de pente (figure 4.8).
Rapport.pdf 21 Edite le 16 juin 2010
Dissipation numerique et cascades turbulentes juin 2010
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
E
Energie totale − PV advectée par FV − résolution 256
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
ZEnstrophie − PV advectée par FV − résolution 256
ordre 1ordre 2avec limiteurs de pente
Figure 4.8 – Comparaisons de la dissipation suivant l’ordre d’interpolation de la vorticite po-
tentielle dans le schema de Sadourny utilisant le calcul de l’advection de la vorticite potentielle
par volumes finis
L’interpolation de la vorticite potentielle a l’ordre 2 sans utilisation de limiteurs de pente
limite de maniere consequente la dissipation de l’energie.
Dans le schema de Sadourny en differences finies, la vorticite potentielle est calculee aux
points du champs de vitesse par simple moyenne :
q(i− 1
2, j)fd =
q(i, j) + q(i− 1, j)
2
Dans la variante de ce schema, la vorticite potentielle est reconstruite aux points de vitesse
par une approximation par differences decentrees (upwind) :q(i− 1
2 , j)fv = q(i− 1, j) + δx2δq(i−1,j)
δx si Vxy> 0
q(i− 12 , j)fv = q(i, j)− δx
2δq(i,j)δx si V
xy ≤ 0
Une autre variante de ce schema consiste a coupler les deux reconstructions de la vorticite
potentielle de maniere a tirer les avantages des deux discretisations : utiliser une dissipation
implicite tout en minimisant la dissipation des invariants.
La vorticite potentielle reconstruite est alors egale a :
q(i− 1
2, j) = fd.q(i−
1
2, j)fd + fv.q(i−
1
2, j)fv
Le schema de Sadourny pour une valeur de viscosite de 1 correspond globalement au schema
presente pour des valeurs de fd et fv respectivement de 0.6 et 0.4 concernant en tout cas l’evo-
lution de l’energie.
Le cas ou fd = 0.8 et fv = 0.2, presente l’avantage de dissiper encore moins l’energie
(figure 4.9), il faudrait prendre la precaution d’examiner les spectres pour verifier qu’il n’y a
pas d’accumulation d’enstrophie aux plus petites echelles resolues (cf partie IV.3, figure 4.14).
Rapport.pdf 22 Edite le 16 juin 2010
Dissipation numerique et cascades turbulentes juin 2010
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000.96
0.97
0.98
0.99
1
t
E
Energie totale − résolution 128
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000.2
0.4
0.6
0.8
1
t
ZEnstrophie − résolution 128
FD − ν=0FD − ν=1fd=0.8, fv=0.2
fd=0.6, fv=0.4
fd=0.4, fv=0.6
fd=0.2, fv=0.8
FV
Figure 4.9 – Comparaisons de la dissipation pour plusieurs variantes du schema en differences
finies - ordre 2
3 Les spectres energetiques
Les moyennes dans l’espace physique permettent de decrire l’organisation spatiale des ecou-
lements turbulents. Le passage dans l’espace de Fourier permet de scruter les diverses echelles
du mouvement turbulent. Cette approche, appelee analyse spectrale [8], introduit une notion
importante qui est le spectre d’energie et qui est l’outil qui sera employe pour decrire la cascade
d’echelles.
Partant de l’hypothese que la turbulence est statistiquement stationnaire et homogene, le
tenseur des correlations doubles des vitesses est definit par :
Rij(r) =< ui(x, t)uj(x+ r, t) >
Le tenseur spectral des correlations doubles de la vitesse est definit par la transformee de
Fourrier de Rij(r) :
φij(k) = TF (Rij(r)) =1
(2π)3
∫Rij(r)e
−ik.rd2r
Au meme titre que le tenseur des correlations doubles dans l’espace physique, le tenseur
spectral de correlations doubles dans l’espace de Fourier contient toutes les informations rela-
tives a la structure statistique d’ordre deux en deux points du champ fluctuant. Cette infor-
mation est beaucoup trop riche pour etre exploitable. L’energie cinetique Ec du systeme est
obtenu lorsque i = j et | r |= 0 dans l’expression de Rij(r), transformee inverse de φij(k) :
Ec =1
2< u2 >=
1
2Rii(0) =
1
2
∫φij(k)d2k
L’energie cinetique de la turbulence apparaıt donc sous la forme de l’integrale de l’energie
de l’ensemble des ondes deployees dans l’espace de Fourier. Les structures de la cascade de
taille l peuvent ainsi etre considerees comme la contribution a l’energie cinetique Ec, des modes
Rapport.pdf 23 Edite le 16 juin 2010
Dissipation numerique et cascades turbulentes juin 2010
de Fourier de nombre d’onde | k |= 2πl .
Le spectre de l’energie E(| k |) est ainsi defini par :
Ec =
∫ ∞0
E(| k |)d | k |
et par comparaison, il vient :
E(| k |) =1
2
∫φii(k)d | k |
Il est courant d’utiliser une decomposition du spectre en une partie divergente et en une
partie rotationnelle [15] afin de pouvoir comparer le spectre rotationnel a celui de la theorie
incompressible.
Le spectre d’energie est E(k) definit par :
Ec =1
2
∫| u(x, t) |2 d2x =
1
2
∫| u(k, t) |2 d2k =
∫E(| k |)d | k |
d’ou E(| k |) = 12 | u(k, t) |2
∇.u = k.u
∇ ∧ u = k ∧ u
et
k2u2 = (∇.u)2 + (∇ ∧ u)2
Dans le cas d’un schema en differences finies, on introduit le pseudo nombre d’onde, relatif
aux valeurs propres de l’operateur Laplacien [15].
K2 = K2x +K2
y =4
dx2sin2kxdx
2+
4
dy2sin2kydy
2
Ainsi :
Erot(K) =| ∇ ∧ u |2
K2=Kxv −Kyu
K2
Ediv(K) =| ∇.u |2
K2=Kxu+Kyv
K2
Dans la theorie de la turbulence bidimensionnelle incompressible, homogene et en de-
clin [12], le spectre d’energie a l’equilibre statistique est en k−3.
Rapport.pdf 24 Edite le 16 juin 2010
Dissipation numerique et cascades turbulentes juin 2010
101 102
10−15
10−10
10−5
100
105
K
E(K)
FD − ν=0
FD − ν=4
PV advectée par FV
FV
référence
pente K^(-3)
(a) Spectre rotationnel
10110−5
10−4
10−3
10−2
10−1
100
101
102
K
E(K)
FD − ν=0
FD − ν=4
PV advectée par FV
FV
référence
(b) Zoom sur les grandes echelles
Figure 4.10 – Spectre energetique a l’equilibre statistique - partie rotationnelle
101 102
10−16
10−14
10−12
10−10
10−8
10−6
10−4
10−2
100
K
E(K)
FD − ν=0
FD − ν=4
PV advectée par FV
FV
référence
(a) Spectre divergent
10110−8
10−7
10−6
10−5
10−4
10−3
10−2
10−1
K
E(K)
FD − ν=0
FD − ν=4
PV advectée par FV
FV
référence
(b) Zoom sur les grandes echelles
Figure 4.11 – Spectre energetique a l’equilibre statistique - partie divergente
Aux grandes echelles (petits nombres d’onde), la pente du spectre rotationnel (figure 4.11)
est approximativement en k−3. Avec l’ajout de dissipation dans le schema en differences finies,
la cascade est visible, et la dissipation (ν = 1) est suffisante car il n’y a pas d’accumulation
d’enstrophie aux petites echelles (figure 4.12).
Rapport.pdf 25 Edite le 16 juin 2010
Dissipation numerique et cascades turbulentes juin 2010
100 10110−18
10−16
10−14
10−12
10−10
10−8
10−6
10−4
10−2
100
K
E(K)
ν=0
ν=0.25
ν=0.5
ν=1
ν=2
ν=4
ν=8
Figure 4.12 – Spectre divergent pour differentes valeurs de viscosite
100 101 10210−8
10−6
10−4
10−2
100
102
K
E(K)
partie rotationnellepartie divergente
pente K^(-2)
pente K^0
Figure 4.13 – Spectres energetiques a l’equilibre statistique pour le schema en differences
finies sans dissipation
Concernant les spectres pour le schema en differences finies sans dissipation explicite (fi-
gure 4.13), la partie rotationnelle de l’energie est caracterisee par une distribution en k−2 de
l’enstrophie pour les grands nombres d’onde, le spectre dependant de la condition initiale et
contenant le plus d’energie aux plus grandes echelles. Le spectre divergent est un bruit blanc
(en k0) [15].
Concernant le couplage entre le schema en differences finies et celui en volumes finis, le
cas ou fd = 0.8 et fv = 0.2 qui permettait une dissipation moindre de l’energie ne semble pas
dissiper suffisamment l’enstrophie aux plus petites echelles resolues (figure 4.14).
Rapport.pdf 26 Edite le 16 juin 2010
Dissipation numerique et cascades turbulentes juin 2010
100 10110−20
10−15
10−10
10−5
100
105
K
E(K)
FD − ν=0
FD − ν=1fd=0.8, fv=0.2
fd=0.6, fv=0.4
fd=0.4, fv=0.6
fd=0.2, fv=0.8
FV
(a) Spectre rotationnel
100 10110−20
10−15
10−10
10−5
100
K
E(K)
FD − ν=0
FD − ν=1
fd=0.8, fv=0.2
fd=0.6, fv=0.4
fd=0.4, fv=0.6
fd=0.2, fv=0.8
FV
(b) Spectre divergent
Figure 4.14 – Spectres energetiques pour differentes reconstruction de la vorticite potentielle
- ordre 2
4 L’equilibre statistique
Dans [11], P.H. Chavanis et J. Sommeria etudient l’equilibre statistique d’un systeme re-
git par les equations de Saint-Venant et determinent analytiquement les relations qui existent
entre la vorticite potentielle et la fonction de courant massique a l’equilibre statistique et qui
dependent des conditions initiales. Le systeme conserve donc d’une certaine maniere ”en me-
moire” les conditions initiales. Il peut etre interessant de comparer les differentes methodes
numeriques de ce point de vue.
La decomposition de Holmholtz pour le flux massique pu en une partie rotationnelle et
divergente s’ecrit :
pu = −z ∧∇Ψ +∇Φ
Le fonction de courant massique est definie par :
∆Ψ = −∇ ∧ (pu).z
∆Φ = −∇.(pu)
Dans le cas stationnaire, l’equation de conservation de la masse devient ∇(pu) = 0 d’ou
pu = −z ∧∇Ψ.
De plus, par la conservation Lagrangienne de la vorticite potentielle q, pu.∇q = −(z ∧∇Ψ).∇q = 0 ce qui induit la colinearite des gradients de q et de Ψ et prouve l’existence d’une
fonction F telle que q = F (ψ).
Un raisonnement identique conduit a l’existence d’une fonction G telle que B = G(Ψ), B
etant la fonction de Bernoulli definie par : B = p+ 12u.
En effet, l’equation de la conservation de la quantite de mouvement peut se mettre sous
la forme : ∂u∂t + (ξ + f)z ∧ u = −∇B. La projection de cette equation sur u et dans le cas
instationnaire donne pu.∇B = 0 et ainsi B = G(Ψ).
Rapport.pdf 27 Edite le 16 juin 2010
Dissipation numerique et cascades turbulentes juin 2010
Enfin, −(ξ+ f)z ∧u = qz ∧ (z ∧u) = ∇B d’ou −q∇Ψ = ∇B. On obtient ainsi une relation
simple entre la vorticite potentielle q et la fonction de Bernoulli : q = dBdΨ .
Des grandeurs d’ordre 1 peuvent etre introduites pour q,B et Ψ :
q = pq − f O(1)
En etat stationnaire, pu = −z∧∇Ψ et en utilisant l’equilibre geostrophique : u = − 1f z∧∇p,
il vient p(− 1f z ∧∇p) = −z ∧∇Ψ.
A l’ordre 1, Ψ ∼ −p δpf .
Puisque δp ∼ f ∼ 10, Ψ ∼ p.
Donc B = p+ δp+ u2
2 et B − p = δp+ u2
2 ∼ −fΨp + ∇Ψ2
p2.
B = B − p+fΨ
pO(1)
Ψ =Ψ
pO(1)
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−6
−4
−2
0
2
4
6
8
10
Ψ
q
q(Ψ)
. FD sans dissipation
. FD avec dissipation
. PV advectée par FV
. FV
(a) q = f(Ψ)
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
Ψ
B
B(Ψ)
. FD sans dissipation
. FD avec dissipation
. PV advectée par FV
. FV
(b) B = g(Ψ)
Figure 4.15 – Ψ, q et B a l’equilibre statistique
Les differentes methodes conservent relativement bien en memoire les conditions initiales :
les points correspondant aux differentes methodes a dissipation implicite ou explicite sont
suffisamment serres pour dessiner des courbes. Le nuage de points bleus correspond aux champs
calcules par differences finies sans dissipation explicite. L’etalement du nuage est du a la nature
bruitee des champs obtenus par cette methode.
De plus, il vient :
q = −dBdΨ
Cette relation est verifiee experimentalement en tracant q(Ψ) et B(Ψ) (figure 4.16).
Rapport.pdf 28 Edite le 16 juin 2010
Dissipation numerique et cascades turbulentes juin 2010
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−4
−2
0
2
4
6
8
Ψq,
B
. q
. B
Figure 4.16 – q = f(Ψ) et B = g(Ψ) pour le schema en differences finies avec dissipation
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Turbulence forcee
1 Cadre des experiences numeriques
Pour cette etude, il a ete ajoute un terme de forcage dans les equations de Saint-Venant.
∂u
∂t+ fz ∧ u+ (u.∇)u = −∇p+ f
u(−ν∆2u)
∂p
∂t+∇.(pu) = fp
La turbulence 2D forcee peut atteindre un etat statistiquement stationnaire si l’energie et
l’enstrophie injectees par une source sont compensees par la dissipation. Pour le schema en
differences finies, une dissipation hyper-visqueuse est utilisee comme pour l’etude de la turbu-
lence en declin.
Pour arreter la cascade inverse de la turbulence forcee 2D et pour empecher l’accumulation
infinie d’energie aux petits nombres d’ondes (grandes echelles), il faut ajouter des mecanismes
de dissipation artificielle. Dans les calculs numeriques, cette dissipation est obtenue de plusieurs
manieres. Un mecanisme relativement commun dans les codes spectraux [1], [16] - car simple
a implenter - consiste a introduire une dissipation aux grandes echelles appele hypo-friction
par l’intermediaire de puissance negative de l’operateur Laplacien (∆−n). Pour des raisons
de commodite, dans cette etude il a ete introduit une friction de Rayleigh, proportionnel au
champ de vitesse, permettant la dissipation a une large gamme d’echelles.
∂u
∂t+ fz ∧ u+ (u.∇)u = −∇p− ν∆2u+ f
u− αu
Dans cette etude, la relation entre les termes de forcage de pression et de forcage de vitesses
est donnee par l’equilibre geostrophique.
Il existe dans la litterature plusieurs maniere d’introduire un forcage dans les simulations
numeriques.
La plus commune [13], [2], [10], [16], [9] est probablement d’utiliser un forcage dit Markovian
donne dans l’espace des nombres d’onde par :
pn(k) = A(1− r2)1/2eiθ + rpn−1(k)
avec :
– n indice correspondant a l’instant tn,
– θ ∈ [0, 2π] nombre aleatoire,
30
Dissipation numerique et cascades turbulentes juin 2010
– A amplitude du forcage constante pour k ∈ [kmin, kmax], intervalle correspondant a
l’echelle d’injection,
– r temps de correlation.
Pour des questions de commodite, il a ete utilise un forcage suivant un unique mode.
fp = −1
τ(< p > −A)cos(kx+ ly)
fu
= − 1
fz ∧∇fp
avec :
– k = (k, l) le vecteur d’onde correspondant a l’echelle d’injection,
– A amplitude du forcage constante,
– τ temps de relaxation,
– < p > moyenne spatiale de la pression.
Le reglage des parametres du forcage est une etape peu triviale dans la mise en œuvre des
experiences numeriques. Il faut regler les differents coefficients de viscosite de maniere a assurer
un etat statistiquement stationnaire (une limite bornee de l’energie et de l’enstrophie) tout en
choisissant une amplitude du forcage suffisamment forte pour permettre le developpement de
la turbulence.
De nombreuses simultations ont ete effectuees afin de fixer les parametres de forcage pour
une resolution de 128× 128 (tableau 5.1).
Amplitude A 0.03
α 0.03
ν ∼ 1
Vecteur d’onde (k, l) 2π8 (4, 7)
Temps de relaxation τ → 0
Table 5.1 – Parametres choisis
Le vecteur d’onde determine l’echelle a laquelle est introduite le forcage. Il a ete choisi
d’introduire l’energie a l’echelle du rayon de deformation Rd ∼ 1.
Concernant les conditions initiales, le choix se fait couramment par un champ de vorticite
deja turbulent et issus d’une simulation numerique turbulente. Une turbulence peut se generer
en forcant le systeme par la maniere presente ci-dessous et avec une condition initiale en
pression :
p0 = p+Acos(kx+ ly)
le champ de vitesse etant deduit toujours par l’equilibre geostrophique.
Le systeme est force par le mode choisi puis apres quelques temps, une instabilite apparaıt
permettant ainsi a la turbulence de se developper (figure 5.1, figure 5.2).
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Dissipation numerique et cascades turbulentes juin 2010
(a) Mode force (b) Developpement de la turbulence - t = 120
Figure 5.1 – Simulation numerique pour generer la condition initiale turbulente
(a) Turbulence developpe - t = 150 (b) Etat final statistiquement stationnaire - t = 580
Figure 5.2 – Generation de la condition initiale : etat statistiquement stationnaire
L’equilibre statistique est atteint pour t ∼ 400 (figure 5.3).
0 100 200 300 400 500 6000
100
200
300Enérgie totale
t
E
0 100 200 300 400 500 6000
0.2
0.4
0.6
0.8Enstrophie
t
Z
équilibre statistique
compensation de la dissipation et de l'énergie injéctée
début de la turbulence
Figure 5.3 – Equilibre statistique pour generer la condition initiale turbulente
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Dissipation numerique et cascades turbulentes juin 2010
2 Comportements vis a vis des invariants
La condition initiale donne le niveau d’energie et d’enstrophie initiale. Le regime est im-
mediatement statistiquement stationnaire.
0 50 100 150 200 25050
100
150
200
250
300
350
t
E
Energie totale − résolution 512
0 50 100 150 200 2500
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
t
Z
Enstrophie − résolution 512
FD − ν=0.5FD − ν=1fd=0.9, fv=0.1 − ordre 2
fd=0.5, fv=0.5 − ordre 2
FV − ordre 2FV − ordre 2 avec limiteurs
Figure 5.4 – Evolution temporelle de l’energie et de l’entrophie
Energie moyenne Enstrophie moyenne
FD ν = 0.5 275 0.579
FD ν = 1 283 0.566
fd = 0.9 et fv = 0.1 294 0.584
fd = 0.5 et fv = 0.5 257 0.512
FV ordre 2 261 0.498
FV avec limiteurs 196 0.351
Table 5.2 – Valeurs de l’energie et de l’enstrophie moyenne
Le caractere tres dissipatif de la variante du schema de R.Sadourny est confirme par la
figure 5.4 (tableau 5.2).
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Dissipation numerique et cascades turbulentes juin 2010
3 Les spectres energetiques
La theorie standard de Kraichnan-Batchelor-Leith [13], [14] de la turbulence 2D d’un fluide
predit deux intervalles d’inertie au-dessus et au-dessous de l’echelle de forcage, | k |= kf . Le
flux d’energie dans le domaine des larges echelles spatiales, k < kf doit donner, selon la theo-
rie, une pente du spectre energetique E(k) ∼ k5/3, tandis que le flux de l’enstrophie dans le
domaine des petites echelles spatiales, k > kf doit donner E(k) ∼ k3.
En regime stationnaire, E(k, t)→ E(k) : le forcage est compense globalement par la dissi-
pation.
100 101 10210−16
10−14
10−12
10−10
10−8
10−6
10−4
10−2
100
102
104
K
E(K)
FD − ν=0.5FD − ν=1fd=0.9, fv=0.1 − ordre 2
fd=0.5, fv=0.5 − ordre 2
FV − ordre 2FV − ordre 2 avec limiteurs
pente K^(-5/3)
pente K^(-3)
(a) Spectre rotationnel
101
101
102
K
E(K)
FD − ν=0.5FD − ν=1fd=0.9, fv=0.1 − ordre 2
fd=0.5, fv=0.5 − ordre 2
FV − ordre 2FV − ordre 2 avec limiteurs
(b) Zoom sur les grandes echelles
Figure 5.5 – Spectre energetique - partie rotationnelle
100 101 10210−15
10−10
10−5
100
K
E(K)
FD − ν=0.5FD − ν=1fd=0.9, fv=0.1 − ordre 2
fd=0.5, fv=0.5 − ordre 2
FV − ordre 2FV − ordre 2 avec limiteurs
(a) Spectre divergent
100.2 100.3 100.4 100.5 100.6 100.7 100.8 100.9
10−2
10−1
K
E(K)
FD − ν=0.5FD − ν=1fd=0.9, fv=0.1 − ordre 2
fd=0.5, fv=0.5 − ordre 2
FV − ordre 2FV − ordre 2 avec limiteurs
(b) Zoom sur les grandes echelles
Figure 5.6 – Spectre energetique - partie divergente
Aux grandes echelles (petits nombres d’onde), la pente du spectre rotationnel (figure 5.5)
est approximativement en k−5/3. La coupure a la valeur du nombre d’onde correspondant a
l’echelle d’injection de l’energie est nettement visible et modifie la pente k−3 pour les petites
echelles.
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Dissipation numerique et cascades turbulentes juin 2010
4 Les flux spectraux
Pour les equations de Navier-Stokes, le flux spectrale T (k) est definit de la maniere sui-
vante :
DE
Dt=
∫T (k)d2k
E =1
2
∫(| u |2 + | v |2)d2k
T (k) = Re(u∗ ˆu+ v∗ ˆv)
De la meme maniere, pour les equations de Saint-Venant, le flux peut etre definit de la
maniere suivante :
DE
Dt=
∫T (k)d2k =< p(p+
u2 + v2
2) + p(uu+ vv) >=< pH + uU + vV >
E =
∫(ˆp∗H + ˆu∗U + ˆv∗V )d2k
T (k) = Re(H∗ ˆp+ U∗ ˆu+ V ∗ ˆv)
ou x∗ est le conjugue de x.
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