Rsistance des matriaux
Philippe Bouillard
Mcanique des structures
concevoir raliser
exploiter
Introduction (1)
Rsistance des matriaux ou
Mcanique des structures
Objet de la mcanique des structures concept de dimensionnement
le dimensionnement vu par le papa de Calvin ...
approche purement exprimentale ...
essai de chargementavant mise en service
(80 camions = 1300 tonnes !)
Pont de Normandie
Introduction (1)
Rsistance des matriaux ou
Mcanique des structures
Objet de la mcanique des structures concept de dimensionnement
Les outils de la mcanique des structures lois de la mcanique (cf. cours MMC)
caractrisation exprimentale des matriaux
Introduction (2)
MAIS hypothses simplificatrices art de lingnieur
champ dapplication trs vaste constructions (gnie civil ou btiments) mcanique (machines, moteurs, avions) chimie (rservoirs, chaudires) lectricit (cbles, pylnes, centrales) physique (physique du solide) matriaux (physique des matriaux) .
btiments ...
J. von Spreckelsen, La Grande Arche de la Dfense, Paris, 1982-89http://www.bouygues.fr
ouvrages dart ...
Pont sur le Tage, Lisboa
constructions mcaniques ...
Flux de contrainte dans arbre mcanique A. H. Burr, Mechanical analysis and Design
rservoirs ...
silos ...
centrale lectrique ...
panneaux solaires ...
biomcanique ...
Y.C. Fung, Biomechanics, Springer-Verlag, New York, 1990
Introduction (3)
tude de la rsistance, de la rigidit, des instabilits.
la rsistance
la rigidit ...
E. Beaudoin & M. Lods, Ecole en pleine air Suresnes, 1932-35P. Gssel & G. Leuthaser, Larchitecture au XXme sicle, Taschen, 1991
les instabilits ...
Casa Grande Ruins, Hohokam village, Arizona, USA, 12me sicle
Introduction (3)
tude de la rsistance, de la rigidit, des instabilits.
Deux aspects la vrification, le dimensionnement.
Vrification des structures
tant donn un pice dont les dimensions sont
fixes, quel est le degr de scurit structurale ?
quelles sont les actions ?
quelles sont les caractristiques matrielles ?
Dimensionnement des structures
tant donn un degr de scurit exig, quelles
sont les dimensions optimales donner une
pice ?
avant-projet
vrification
itration
cest une dmarche de conception
Plan du cours (1)
Introduction
rappels de mcanique des milieux continus
notion de scurit structurale
actions sur les structures
appuis et liaisons
lments structuraux
la poutre
Plan du cours (2)
1re partie : analyse lastique traction et compression flexion simple flexion cisaillante flexion gauche flexion compose introduction la torsion calcul des dplacements introduction aux systmes hyperstatiques
Plan du cours (3)
2me partie : analyse limite proprits mcaniques des matriaux traction plastique flexion plane plastique charge limite de structures hyperstatiques
3me partie : instabilits flambement de pices longues instabilits nergtiques
Rfrences bibliographiques
Ouvrage de rfrence principal F. Frey, Analyse des structures et milieux continus. Vol.2:
mcanique des structures, Presses polytechniques etuniversitaires romandes, Lausanne, 1994
Systme daxes et convention de signe C. Massonnet & S. Cescotto, Mcanique des matriaux,
De Boeck Universit, Bruxelles, 1992
Autres ouvrages (exemples) A. H. Burr, Mechanical analysis and design, Elsevier,
Amsterdam, 1984
G. M. Seed, Strength of materials, Saxe-Coburgpublications, Edinburgh, 2000
Renseignements pratiques
Localisation : Service des Milieux Continus,Bt C, 87 Av. Buyl, 4me tage
Serveur Web : http://www.ulb.ac.be/smc
e-mail : [email protected]
Notes de cours
Modalits dexamen
Lexamen nest pas
un jeu de hasard
ni un test de connaissances
Lexamen est loccasion de dmontrer voscomptences.
2 - Scurit structurale
Rappels de mcanique des milieux continus
Notion de contraintes
Lois fondamentales et quations dquilibre
Notion de dformations
Lois de comportement
Problme gnral de llasticit
Thormes des travaux virtuels
Notion de contraintes
( )( )
dAFd
limTn
0dA
nr
r
=
Notion de dformations
Allongement ex
Notion de dformations
Dformation angulaire gxy
+
=i
j
j
iij x
u
xu
21
a
Loi de Hooke
Loi de Hooke + effet de Poisson
Notion de scurit structurale
Dfinition toute structure doit tre conue de manire
rsister, avec une marge approprie, lensembledes sollicitations prvues durant les priodes demontage et d exploitation dure de vie
Conception conception, calculs, excution et entretien doivent
garantir une scurit convenable des structurescontre lors mise hors service.
Scurit structurale : incertitudes (1)
sollicitations en service
Conception dterministe de la scurit
Coefficient de scurit global S(gQmax en service) ruine dfinition non satisfaisante
Mthode des contraintes admissibles hypothse de linarisation (gomtrique et matrielle)
gsmax en service = sruine le critre de dimensionnement devient
smax en service sruine/g exemple : acier courant
Conception semi-probabiliste
Notion probabiliste de la scurit
historique : CEB 1953, CECM 1978,aujourdhui Eurocodes tous matriaux
vise une scurit mieux dfinie
la vrification des contraintes admissibles ne suffit pas
tenir compte des incertitudes de manire probabiliste
attention la transposition des rgles
exemple du treillis articul
tats limites
Dfinition
tat dans lequel une structure nest plus apte remplirla fonction laquelle elle est destine
tats limites ultimes (ou de ruine) - ELU
ruine, effondrement, structure hors dusage
tats limites de service (dutilisation) - ELS
structure inutilisable, dangereuse mais rcuprable
tats limites ultimes (ELU)
rupture : contrainte excessive,matriau dficient, boulons
perte dquilibre global
instabilits
rupture par fatigue
rupture fragile
dplacements excessifs
tats limites de service (ELS)
structure trop dformable
dplacements localement excessifs
vibrations exagres
fissuration excessive
dgradations
Calculs aux tats limites
but : maintenir la probabilit d atteindreun tat limite infrieur une certainevaleur
approche semi-probabiliste
Etat limite En service En cours demontage
ELU 10-5 4 10-4
ELS 5 10-2 -
ELx : valeurs caractristiques
Notations : indice k
les rsistances caractristiques(proprits mcaniques au sens large)
les actions caractristiques
la valeur caractristique a une probabilit fixepour que les valeurs effectives soient suprieures pour les rsistances infrieures pour les actions
ELx : valeurs de calcul
Notations : indice dim ou d
autres facteurs dincertitude : coefficients depondration
facteurs de rsistance (1)
facteurs de charge(1 si dfavorable, 1 si favorable)
condition de scurit :
Sd Rdim
Actions sur les structures
statique - dynamique
charges permanentes (poids propre)
charges dexploitation (foule, neige, vent, ...)
actions indirectes (T, tassements, fluage ...)
actions dynamiques (vent, machines, ...)
actions exceptionnelles (chocs, sismes, ...)
quilibre global ...
action du vent : effets statiques ...
dpend de la gomtrie, de la direction, ...
actions statiques (pressions, dpressions)
actions du vent :effets dynamiques ...
actions indirectes :effets de temprature ...
actions exceptionnelles : sismes ...
3 - Appuis et liaisons
Appuis et modlisation
appuis usuels : appui dilatation (rouleaux) articulation encastrement
isostaticit des appuis
ractions de liaison
modlisation : schma statique
appui dilatation
appui dilatation ...
articulation
articulation ...
articulation ...
encastrement
encastrement ...
ractions de liaison 2D
schma statique ...
schma statique ...
Structures composes (liaisons)
dfinitions
organes de liaison
force de liaison
analyse des structures composes
liaisons
organes de liaison ...
organes de liaison ...
lments structuraux
Les structures peuvent tre (grossirement) classes en : solides 3D : aucune simplification
coques (minces ou paisses) : Nab + Tab + Mab
plaques (minces ou paisses) : Tab + Mab
membranes (tats plans, tat axisymtrique) : Nab
poutres ou arcs (minces ou paisses) : Nx + Ty + Mz + ...
barres : Nx uniquement
cbles : Nx > 0 uniquement
flexion + cisaillement
effet membranaire +flexion + cisaillement
les coques peuvent tre planes !
N 0
structures en barres ...
Pont de chemin de fer sur le Forth, Edimbourg, Ecosse, 18902,5 km, porte 521 m
structures en poutres ...
Max Berg, Jahrunderthal Breslau, 1911-13P. Gssel & G. Leuthaser, Larchitecture au XXme sicle, Taschen, 1991
structures en plaques ...
P. Schneider-Esleben, Garage Dsseldorf, 1949-50P. Gssel & G. Leuthaser, Larchitecture au XXme sicle, Taschen, 1991
structures en coques ...
arch. E. Saarinen & eng. F. Severud, Universit de Yale, 1953-59P. Gssel & G. Leuthaser, Larchitecture au XXme sicle, Taschen, 1991
4 - La poutre
La poutre : gomtrie
engendr par une figure plane A de sorte que le centre C parcoure une ligne donne (axe ou fibre
moyenne) A reste constamment normal cette ligne les dimensions de A restent petites devant la longueur
la section A varie de manire lente et progressive
si laxe est droit, la poutre est dite prismatique
principe de la coupe : section droite
La poutre : gomtrie
La poutre : nature des forces internes
Coupe S dans une poutre AB liaisons
Rsultantes internes : 3 (2D) ou 6 (3D)
Orientation des axes et des rsultantes
Efforts internes N, T, M
Conventions de signe
forces internes -sollicitations
schma statique
conventions de signe
N > 0 si traction
M > 0 si fibres tendues vers le bas
T > 0 lorsque la partie droite descend
dfinition des sollicitations (2D)
Effort normal
Efforts tranchants
Moments flchissants
Moment de torsion
= A xyy dAT t
= A xdAN s
= A xzz dAT t
= A xz ydAM s = A xy zdAM s
( ) -== A xyxzTx dAzyMM tt
Poutres prismatiques planes
Isostaticit - hyperstaticit
Relation Moment flchissant-Effort tranchant
Exemple : poutre uniformment charge
Exemple : poutre charge concentre
Principe de superposition
Isostaticit - hyperstaticit
Relation M-T
quilibre de translation vertical
quilibre de rotation vertical
( )
)x(qdxdT
0dTTdxxqT
-=
=+++-
( )
TdxdM
0dMM2
dxdxxqTdxM
=
=---+
Dforme des poutres planes
dforme ou ligne lastique
quelques rgles simples
point dinflexion M = 0
les angles sont conservs aux nuds rigides
respecter les conditions cinmatiques
la porte dune poutre ne varie pas
exemple : portique
Les cas de sollicitations
torsion
obliqueflexion
composeflexion
simpleflexion
pureflexion
simpletraction
000000
000000
000000
000000
000000
000000
ationmindnoMMMTTN zyxzy
5 - Traction et compression (simples)
Traction et compression (simples)
dfinition
Traction et compression
mthode inverse on postule le tenseur des contraintes
on vrifie les quations dquilibre
et les quations de compatibilit (!)
postulons
=
00
0ij
st avec s constant
Traction et compression
quations dquilibre en volume satisfaites avec fi=0
quations dquilibre en surface est en quilibre avec N
calcul des dformations vanouissantes
0fiijj =+ t
xx 1NA1rr
=s
-
-=
E00
0E0
00Ea ij
us
us
s
Traction et compression (simples)
quations de compatibilit est satisfait puisque aij est constant
calcul du champ de dplacement
0akrjqpqrijk =dd
EANL
u
.)L.C(AxE
u
xu
MAX
x
=
+=
=
s
e
Scurit des pices tendues (comprimes)
mthode des contraintes admissibles (dterministe)
mthode des tats limites ELU
ELS
ATTENTION : compression flambement !!!
admss
dimd ss
dimd uu
Scurit : exemple
barre en acier soumise N uniquement
mthode des contraintes admissibles
mthode des tats limites ELU :
valeurs usuelles (acier) :
ccl : scurit identique dans les 2 cas
gs
ss eadmAN
==
dimF
dFd AN
NN sg
sg ==
5.1et Fedim === ggss
Dimensionnement
A est le module de rsistance en traction/compression
EA est le module de rigidit en traction/compression
AN
=s
EANL
u =
Prise en compte du poids propre
poids linique p=rgA
effort normal N=P+px
scurit dterministe
ApxP
x+=s
gLP
Aadm
admx
rs
ss
-
Poutre dgale rsistance
s
s
A+dA
A
rgAdx
( )
=
=
=+=+
sr
srrs
rss
gxexpAA
dxg
AdA
gAdxdA
gAdxAdAA
0
Poutre compose de 2 matriaux
1 quation dquilibre
N=N1+N2=A1s1+A2s2 1 condition cinmatique ncessaire
Poutre compose de 2 matriaux
condition cinmatique e1=e2
2211
2
22
1
11
2211
222
2211
111
22
2
11
1
2
2
1
1
AEAENL
u
AN
etAN
AEAEAE
NNetAEAE
AENN
AEN
AEN
EE
+=
==
+=
+=
=
=
ss
ss
Poutre compose de n matriaux
=
=
=
jjj
i
ii
jjj
iii
AENL
u
AN
AEAE
NN
s
Pices composes acier-bton
application de pices compose de 2 matriaux
adhrence bton-acier suffisante - calcul lastique
Pices composes acier-bton
aab
aa
baaabbaa
abbb
b
aa
b
a
A~
nA
AN
nA
AAAN
nn
EE
EE
n
ss
ssss
sssss
=
+=
+=+=
===
=
aa
ab
aa A
~ENL
unA
~N
===s
ss
coefficient d quivalencerapport lacier
Principe de la prcontrainte
un matriau atteint sa limite de rsistance,
lautre pas $ rserve de rsistance
exemples
prcontrainte de compression : bton, boulons HR
prcontrainte de traction : cbles, ressorts
Pices fils adhrents (prtension)
Prtension : modlisation
Observations de Saint-Venant
Observations de Saint-Venant
on montre par exprience et par calculs une distance de lextrmit gale la plus
grande dimension transversale de la pice, larpartition des contraintes normales sur unesection droite est pratiquement uniforme
vrai pour toute perturbation locale par lintroduction de force (force concentre,
appui, cordon de soudure, ancrage, ) dans la transmission des efforts intrieurs
(variation de section, trou, jonctions, )
Principe de Saint-Venant
Dans la section droite dune poutre, ladistribution de contraintes due un systme deforces, appliques une certaine distance de cettesection, ne change pas si lon substitue ces forcesun autre systme, provoquant les mmes effortsintrieurs ; seules changent, sur une longueur gale une deux fois la plus grande dimensiontransversale de la poutre, les contraintes localesprovoques par lintroduction de forces.
Saint-Venant : remarques
contraintes et dformations ne dpendent doncque des efforts intrieurs (sollicitations)
ne permet pas danalyser les zones localementperturbes
validit du principe de Saint-Venant poutres massives
pas poutres parois minces ni poutres en treillis
Prtension : modlisation
tape 2 =(2)
tape 4
=(4)
0AP
'
0'NP'N
ba
a
ba
==
==
ss
n"
A"N
"A~P
A"N
"
AEAEAPE
"NAEAE
APE"N
a
b
bb
aa
aa
bbaa
bbb
bbaa
aaa
sss ==-==
+-=
+-=
Prtension : modlisation
superposition
tat de sollicitation initial
tat dautocontrainte
b0baa
0a
b0baa
0a
""'
"NN"N'NN
sssss =+==+=
0NN 0b0a =+
Prtension : modlisation
application dune force extrieure Q
choix de P pour que les 2 matriaux atteignentleur rsistance
aab
aaaa
A~
nQ
A~
nP
A~Q
A~P
AP
+-=
+-=
s
s
Pices fils sous gaine (post-tension)
b
0b
a
0a
0b
0a
AP
AP
PNPN
-==
-==
ss
Post-tension : modlisation
effort de traction ltape 2
application dune force extrieure Q
abb
aaa A
~nQ
AP
A~Q
AP
+-=+= ss
Proprits de la prcontrainte
la force extrieure modifie peu la prcontrainte
pertes : stabilit dans le temps
bton 15 % acier trs haute rsistance
aaaaaa A
~Q
AP
etA~
PQAP
AA~ >>
->>>>
Effets thermiques
barre homogne, temprature initiale T1
a = coefficient de dilation thermique (1/C)
aacier = abton = 1.2 10-5 /C
lvation uniforme de temprature DT=T2-T1
dilatation thermiqueTth Dae =
Effets thermiques
si structure libre de se dilater, pas de contraintes
si dilatation empche (structure hyperstatique)
TLu th Da=
TEAN Da=
1X hyperstatique
TE0E
T0 thth
th Dass
Daee s -==+=+
Tubes ou anneaux
dfinition : poutre daxe circonfrentiel
chargement radial symtrie de rvolution
Anneaux : modlisation
quation dquilibre
dimensions section droite
Rcipient sous pression
action sur le fond F=pr2p
contrainte longitudinale dans lanneau
qsps
21
t2pr
rt2F
z ===
Rcipient sous pression
z et q sont les directions principales
tat de plan de contraintes
permet le calcul de aij et ui
Saint-Venant
vrai " matriaux
qsss
Tubes longitudinalement indformables
contrainte circonfrentielle cf. rcipient sous pression
contrainte longitudinale
tat plan de dformation (ez=0)
matriau lastique isotrope
quss =z
Treillis articuls
dfinition
ensemble de barres assembles les unes aux autrespar leurs extrmits articules
nud = points de rencontre des barres
schma statique articulations parfaites
axes concourants
actions aux noeuds
Treillis plans
Treillis spatiaux
Gomtrie
triangle = cellule de base du treillis
treillis carr est instable
Condition ncessaire disostaticit
2D : b + r = 2n (3D : b + r = 3n)
b = # barres, r = # ractions, # nuds
attention aux mcanismes internes !!!
quilibre aux nuds
isoler un nud en coupant les barres qui y aboutissent
extrioriser les efforts normaux et les efforts extrieurs
crire les quations dquilibre
Coupe de Ritter
principe de la coupe quilibre des fragments coupe de Ritter
calculer les ractions
coupe idale : coupe 3 barres, 1 seule inconnue
Coupe de Ritter : exemple
effort dans la barre 1
hN1 - cQ - 4cQ = 0 N1 = 5cQ/h
Coupe de Ritter : exemple
effort dans la barre 2
-N2 - 2Q = 0 N2 = -2Q
Quelques nuds particuliers
Barres effort nul
Illustration des pices tendues
pompe huile
Illustration des pices tendues
treillis articuls
fermes
engins de levage ponts mtalliques
Illustration des pices tendues
ponts suspendus
Illustration des pices tendues
ponts haubans
Illustration des pices tendues
buttons et tirants
Illustration des pices tendues
effet thermiquedans les chausses
Illustration de la formule des chaudires contraintes circonfrentielles dans les veines
6 - Flexion pure
Flexion pure
dfinition : flexion pure ou circulaire poutre soumise M constant
T=dM/dx T = 0 (!)
Hypothse de Bernoulli
hypothse cinmatique les sections planes restent planes
Bernoulli : mise en quations
yRs
yds
=-
sds
x =e
yx R
y-=e
axe neutre
Ry est le rayon de courbure
Mthode inverse
supposons le matriau lastique linaire(sx=Eex)
postulons
quations dquilibre de translation en volume satisfaites avec fi=0
quations de compatibilit satisfaites car tij linaire
-=
00
0REy
yijt
0fiijj =+ t
quilibre de translation en surface
quations dquilibre de translation en surface
0ydARE
dANA
yA x
=-== s
=A GAyydAor,N=0 y=0 en G !
0dATA xyy
== t 0dAT A xzz == t
quilibre de rotation en surface
quations dquilibre de rotation en surface
Iz = moment dinertie (gomtrique) autour de laxe z (m4)
( ) 0dAzyMA xyxzx
=-= tt
yzy
Ay
A xyI
RE
yzdARE
zdAM ==-= s
zy
A
2
yA xz
IRE
dAyRE
ydAM -=-== s
Iyz = produit dinertie
Flexion plane
My = 0
flexion dans le plan Oxz uniquement
Iyz = 0
axes principaux dinertie
Calcul des contraintes
calcul du rayon de courbure
calcul de la contrainte normale
s = 0 en y = 0 : dfinition de laxe neutre
zx I
My=s
yxx R
EyE -== es
zy EIM
R1
-=
(quation de Navier)
Scurit des pices flchies
contraintes extrmales aux fibres extrmales
(quation dquarrissage)
mthode des contraintes admissibles (dterministe)
mthode des tats limites
ELU & ELS
ATTENTION : fibres comprimes dversement !!!
z
infsup/x I
My=s
-+= /admz
infsup/infsup/ I
Myss
-+ /adminfsup/d ss
Dimensionnement
Iz/ysup/inf est le module de rsistance en flexion
EIz est le module de rigidit en flexion
infsup/
zx
yI
M=s
zy EIM
R1
-=
Forme rationnelle
minimiser sx maximiser Iz
or, maximiser Iz maximiser y
profil idal
zx I
My=s
= A2
z dAyI
2
th 2h
2A
2I
=
2h
Ay
I
thinfsup/
th =
Rendement gomtrique
( )thinfsup/
infsup/e y/I
y/I=h
he=2/3 he1/2 he=1/3 he=1/4 he=1/6
Remarques (1/3)
limitations du profil en I progrs du laminage
encombrement transversal des sections
largeur efficace
rsistance au cisaillement
corrosion
facilit de mise en uvre du profil rectangulaire matriaux peu onreux (bois, bton)
Remarques (2/3)
position de laxe neutre sections dissymtriques
sadm gaux en traction/compression section symtrique sadm diffrents calcul de la section optimale
axe fort - axe faible dune poutre flchie
aucun axe de symtrie : attention la flexion gauche
Bernoulli : valable mme si non homogne transversal(BA, bois, fibres)
Remarques (3/3)
dformation transversale :
effet de Poisson
Moments dinertie gomtriques
la thorie de la flexion fait apparatre des moments
dinertie gomtriques(analogie des moments dinertie du mouvement du solide plan mais ne pas confondre)
Iij est un tenseur dordre 2 (et en a les proprits !)
== A2
zyy dAyII == A2
yzz dAzII = Ayz yzdAI
Moments dinertie des figures planes
moment dinertie par rapport aux axes x et y
(toujours > 0)
produit dinertie
(nul si axe de symtrie)
moment dinertie polaire
= A2
x dAyI = A2
y dAxI
= Axy xydAI
= A2
p dArI yxp III +=
Moment dinertie dun rectangle
3bh
bdyydAyI3h
0
2
A
2basex ===
12bh
bdyydAyI32
h
2h
2
A
2centralx ===
-
Formule de Huygens/Steiner
Ix et Iy sont donc minimaux au centre
abAII
AaII
AbII
CC
C
C
yxxy
2yy
2xx
+=
+=
+=
Calcul par dcomposition
dcomposition en somme algbrique
( ) += i2ixx AbII Ci
Axes principaux dinertie
moments dinertie Ix et Iyextrmaux
produit dinertie Ixy nul si un axe (au moins) de symtrie
dtermination des axesprincipaux par loi dechangement daxes(cercle de Mohr)
Poutres composes de 2 matriaux
nb
b~ b
a =aay I
~EM
R1
-=a
a I~My
=sn
ab
ss =
Effets thermiques
un gradient de temprature fait apparatre unedformation de flexion
Illustrations des poutres flchies
flexion des poutres de construction
Illustrations des poutres flchies
revtements routiers sous poids des essieux
Illustrations des poutres flchies
flexion dun arbre mcanique
Illustrations des poutres flchies
augmenter Iz
raisonnement intuitif
Illustrations des poutres flchies
transmission des efforts de flexion
Illustrations des poutres flchies
nageur
7 - Flexion simple (cisaillement)
Flexion simple
M 0 et T 0
la relation reste valable car
leffort tranchant perturbe peu les contraintes normales
la courbure est galement peu sensible leffort tranchant
leffort tranchant est la rsultante des contraintes de
cisaillement = A xyy dAT t
zx I
My=s
Calcul des contraintes de cisaillement
thorie de Jourawski
calcul de leffort rasant car rciprocit descontraintes tangentielles txy = tyx
Effort rasant
comparons les assemblages de sections carres a x a
sections et
6a
2yI
12a
2I
3
max
z
4
z
=
=
section
( )
( )6a2a
yI
12a2a
I
2
max
z
3
z
=
= est 4x plus rigide
est 2x plus rsistant
Calcul de leffort rasant
0dSTdSTdSTdSTlatS
)n(xcoupe
)n(x'
)x(x
)x(x =+++
-
0dSTS
)n(x =quation dquilibre de translation horizontal(en labsence de forces de volume fx=0)
Calcul de leffort rasant
( )[ ]
0ddSx
0dxddxdSx
0dxddSxdxx
0dSTdSTdSTdST
AB nxx
coupe nxx
coupe nxxx
S
)n(xcoupe
)n(x'
)x(x
)x(x
lat
=+
=+
=+-+
=+++
-
l
l
l
ts
ts
tsspoutre prismatique=0, pas de forcetangentielle en surface
effort rasant
Calcul de leffort rasant
( )
( )l
l
l
-=
-=
-=
SI
T
SI
Td
ydSI
Td
z
ynx
z
y
AB nx
z
y
AB nx
t
t
t
moment statique de S
valeurmoyenne
Supposons que (hypothse de Bernoulli)Or,
Do,y
I
T
xT
dxdM
z
yxy =
=
s
yI
M
z
zx =s
Thorie de Jourawski
rcapitulation des hypothses simplificatrices
fx = 0
pas de force de surface tangentielle
poutre prismatique
Bernoulli
calcul de la contrainte moyenne
Cas particulier
dans le cas o AB est parallle Oz
( )b
SI
T
z
yxy
xyyx
yxnx
=
=
-=
t
tt
tt
formule deJourawski
Centre gomtrique et moment statique
coordonnes du centre gomtrique
o apparaissent les
moments statiques
=
A
Ac
dA
xdAx
=
A
Ac
dA
ydAy
= Ax ydAS = Ay xdAS
Moment statique
coordonnes du centre gomtrique deviennent
consquences le moment statique de A par rapport un axe passant par
le centre gomtrique est nul
le moment statique dune surface daire S est gal auproduit de laire S par la distance de son centregomtrique laxe
A
Sx yc = A
Sy xc =
Autres contraintes dues Ty
contrainte normale sy
contrainte tangentielle txz
montre que ne dpend pas de z quetxz est linaire en z
( ) ( )y
yy bT
qTy
-=s toujours ngligeable
0fzyx xxzxyx =+
+
+
tts
zxz
t
Sections massives
moment statique
calcul des contraintes
( )
( ) G
22
2h
y
yy2h
21
y2h
bS
y4h
2b
bydyS
=
+
-=
-==
A
T
23
y4h
I2
T
ymaxxy
22
z
yxy
=
-=
t
t
Structures parois minces
La formule de Jourawski
donne une bonne prcision
pour les parois minces
flux de cisaillement
( )t
SI
T
z
yxnxn
-= tt
( )-=
-==
s
0z
y
z
yxn dstyI
T
tS
I
Ttf t
effort rasant (N/m)
S
n
Section parois minces ouverte
Poutre prismatique t variable
( )t
SI
T
z
yxn
-=t
constant
variable
txn max. lorsque S/t max.
Section en U
s
A
b
t
tty
tw
h
t
b
y tw
t
h/2F
F
t
ttb
tb
Fwd e
ab
tmax
Section en U
contraintes dans les ailes
( )
z
2yxz
z
z
yxz
s
0
I4
htbT
2bt
F
sI2
hT
2h
stdstyS
==
=
==
t
t
rsultante aile infrieure
Section en U
contraintes dans lme
( )
+=
+=
+
-=
+
+
-+=
2bth
12ht
I
TF
tI2
bthT
I8
hT
t2bth
y4
h21
I
T
2
y2h
y2h
t2
tbhS
23w
z
yw
wz
y
z
2ymax
xy
w
22
z
yxy
engligeabl
correctionw
t
t
Section en U
inertie en flexion
conclusion :
solution approche
12bt
22
bth12
htI
323w
z ++=ngligeable
yw TF =
w
yxy A
T=t
Section en I
contraintes tangentielles dans lme
tmax
twm
w
ywm A
Tt
Facteurs de concentration de contraintes
Facteurs de concentration de contraintes
2nom
nom
maxt
dP4
K
ps
ss
=
=
sous effort normal
Facteurs de concentration de contraintes
3nom
nom
maxt
dM32
K
ps
ss
=
=
sous moment flchissant
Section parois minces ferme
poutres tubulaires ou caissons
la thorie de Jourawski ne sapplique pas
aisment car on ne dispose plus dun endroit
o le flux de cisaillement a une valeur connue
a priori
Dformation due leffort tranchant
lhypothse de Bernoulli pas rigoureusement satisfaite
( )utg +== 12E
GavecG1
xyxy
txy pas uniforme
les sections gauchissent
hypothse de Bernoullignralis
7 - Flexion simple (cisaillement)
Flexion simple
M 0 et T 0
la relation reste valable car
leffort tranchant perturbe peu les contraintes normales
la courbure est galement peu sensible leffort tranchant
leffort tranchant est la rsultante des contraintes de
cisaillement = A xyy dAT t
zx I
My=s
Calcul des contraintes de cisaillement
thorie de Jourawski
calcul de leffort rasant car rciprocit descontraintes tangentielles txy = tyx
Effort rasant
comparons les assemblages de sections carres a x a
sections et
6a
2yI
12a
2I
3
max
z
4
z
=
=
section
( )
( )6a2a
yI
12a2a
I
2
max
z
3
z
=
= est 4x plus rigide
est 2x plus rsistant
Calcul de leffort rasant
0dSTdSTdSTdSTlatS
)n(xcoupe
)n(x'
)x(x
)x(x =+++
-
0dSTS
)n(x =quation dquilibre de translation horizontal(en labsence de forces de volume fx=0)
Calcul de leffort rasant
( )[ ]
0ddSx
0dxddxdSx
0dxddSxdxx
0dSTdSTdSTdST
AB nxx
coupe nxx
coupe nxxx
S
)n(xcoupe
)n(x'
)x(x
)x(x
lat
=+
=+
=+-+
=+++
-
l
l
l
ts
ts
tsspoutre prismatique=0, pas de forcetangentielle en surface
effort rasant
Calcul de leffort rasant
( )
( )l
l
l
-=
-=
-=
SI
T
SI
Td
ydSI
Td
z
ynx
z
y
AB nx
z
y
AB nx
t
t
t
moment statique de S
valeurmoyenne
Supposons que (hypothse de Bernoulli)Or,
Do,y
I
T
xT
dxdM
z
yxy =
=
s
yI
M
z
zx =s
Thorie de Jourawski
rcapitulation des hypothses simplificatrices
fx = 0
pas de force de surface tangentielle
poutre prismatique
Bernoulli
calcul de la contrainte moyenne
Cas particulier
dans le cas o AB est parallle Oz
( )b
SI
T
z
yxy
xyyx
yxnx
=
=
-=
t
tt
tt
formule deJourawski
Centre gomtrique et moment statique
coordonnes du centre gomtrique
o apparaissent les
moments statiques
=
A
Ac
dA
xdAx
=
A
Ac
dA
ydAy
= Ax ydAS = Ay xdAS
Moment statique
coordonnes du centre gomtrique deviennent
consquences le moment statique de A par rapport un axe passant par
le centre gomtrique est nul
le moment statique dune surface daire S est gal auproduit de laire S par la distance de son centregomtrique laxe
A
Sx yc = A
Sy xc =
Autres contraintes dues Ty
contrainte normale sy
contrainte tangentielle txz
montre que ne dpend pas de z quetxz est linaire en z
( ) ( )y
yy bT
qTy
-=s toujours ngligeable
0fzyx
xxzxyx =+
+
+
tts
z
xz
t
Sections massives
moment statique
calcul des contraintes
( )
( ) G
22
2h
y
yy2h
21
y2h
bS
y4h
2b
bydyS
=
+
-=
-==
A
T
23
y4h
I2
T
ymaxxy
22
z
yxy
=
-=
t
t
Structures parois minces
La formule de Jourawski
donne une bonne prcision
pour les parois minces
flux de cisaillement
( )t
SI
T
z
yxnxn
-= tt
( )-=
-==
s
0z
y
z
yxn dstyI
T
tS
I
Ttf t
effort rasant (N/m)
S
n
Section parois minces ouverte
Poutre prismatique t variable
( )t
SI
T
z
yxn
-=t
constant
variable
txn max. lorsque S/t max.
Section en U
s
A
b
t
tty
tw
h
t
b
y tw
t
h/2F
F
t
ttb
tb
Fwd e
ab
tmax
Section en U
contraintes dans les ailes
( )
z
2yxz
z
z
yxz
s
0
I4
htbT
2bt
F
sI2
hT
2h
stdstyS
==
=
==
t
t
rsultante aile infrieure
Section en U
contraintes dans lme
( )
+=
+=
+
-=
+
+
-+=
2bth
12ht
I
TF
tI2
bthT
I8
hT
t2bth
y4
h21
I
T
2
y2h
y2h
t2
tbhS
23w
z
yw
wz
y
z
2ymax
xy
w
22
z
yxy
engligeabl
correctionw
t
t
Section en U
inertie en flexion
conclusion :
solution approche
12bt
22
bth12
htI
323w
z ++=ngligeable
yw TF =
w
yxy A
T=t
Section en I
contraintes tangentielles dans lme
tmax
twm
w
ywm A
Tt
Facteurs de concentration de contraintes
Facteurs de concentration de contraintes
2nom
nom
maxt
dP4
K
ps
ss
=
=
sous effort normal
Facteurs de concentration de contraintes
3nom
nom
maxt
dM32
K
ps
ss
=
=
sous moment flchissant
Section parois minces ferme
poutres tubulaires ou caissons
la thorie de Jourawski ne sapplique pas
aisment car on ne dispose plus dun endroit
o le flux de cisaillement a une valeur connue
a priori
Dformation due leffort tranchant
lhypothse de Bernoulli pas rigoureusement satisfaite
( )utg +== 12E
GavecG1
xyxy
txy pas uniforme
les sections gauchissent
hypothse de Bernoullignralis
Assemblages
dfinition : jonction de 2 (ou +) pices
moyens dassemblage : boulons anneaux
clous goujons
cordons de soudure clavettes
colles rivets
chevilles axes
...
Assemblages
assemblages longitudinaux section droite monolithique
assemblages transversaux (joints) prolongement dune poutre suivant son axe
nuds solidarisent 2 (ou +) pices dont les axes nont pas la
mme direction
Joints
Articulations
Assemblages
objectifs raliser la transmission
des forces (actions, ractions dappui) des efforts intrieurs (N, T, M) des contraintes
tre techniquement simple peu encombrant facile raliser et entretenir durable dans le temps
Calcul des assemblages
analyse thoriquement trs complexe
essais en laboratoires E.L.U.
assemblages standardiss
cisaillement direct et rupture des assemblages
calcul des assemblages longitudinaux
Cisaillement direct
ne peut tre modlis par une poutre
la notion d effort intrieur n a pas de sens (Saint-Venant)
pas tat de cisaillement pur
N = F
FdAA m
= t
Cisaillement direct : calculs pratiques
tadm est dtermin par des essais
N = F
admm AF tt =
exemples
Assemblages longitudinaux
calcul du flux de cisaillement f = T S / Iz
2R
F
yAS
ITS
R
11
111
z
11
=
=
=
2R
F
yAyAS
ITS
R
22
22112
z
22
=
+=
=
Assemblages longitudinaux
2R
sF
nt
t~
yt~bS~
I~S~
TR
ba
aa
a
a
=
=
=
=
2 ranges, espacement s
Assemblages longitudinaux
kR
F
yAS
I~TS
R
111
z
1
1
=
=
=
k clous
8 - Flexion gauche (oblique)
Flexion gauche (oblique)
dfinition
My + Mz (Tz + Ty)
MyMa
Convention de signe
Mz positif si fibres tendues du ct y > 0
My positif si fibres tendues du ct z > 0
Ty positif si partie de droite descend (y > 0)
Tz positif si partie de droite descend (z > 0)
Flexion oblique (axes principaux)
superposition My = - M cos a et Mz = M sin a
zI
My
IM
y
y
z
zx +=s
Mz > 0
My < 0
Axe neutre
a
aa
s
tgI
Iyz
0zIsinM
yIcosM
0
z
y
yz
x
=
=+-
=
Flexion gauche (axes quelconques)
superposition dans nimporte quels axes
mais Iyz 0
contraintes tangentielles :
thorie de Jourawski gnralise
( ) ( )ll
y,SITz,S
I
T
y
z
z
ynx
-
-=t
9 - Flexion compose
Flexion compose
dfinition
superposition N + M
Exemple : mur de soutnement
Flexion compose
yI
MAN
z
zMNx +=+= sss
AI
MN
y z0 -=position de laxe neutre
Noyau central
sollicitation quivalente par effort normal excentr
Mz = N e
position de laxe neutre
noyau central : position limite du changement de
signe de s dans la section
AeIy z0 -=
Section rectangulaire
6h
e
bhA
12bh
I
2h
y
3
z
0
=
=
=
=
Exemple : chemine
Exemple :bton prcontraint
Matriaux sans rsistance traction
pas de rsistanceen traction N
Me
ReM
RNR
R
===diagramme
quivalent
bc3N2
2c3b
2bdR max
maxmax === sss
Exemple : contreforts
max
0c
AcomprimbordN
s
Flexion compose oblique
zI
My
IM
AN
y
y
z
zx ++=s
Mz < 0
My > 0
zI
Ney
I
Ne
AN
y
z
z
yx ++=s
Noyau central
laxe neutre a pour quation
la distance de E
laxe neutre vaut
remarque
si E G, ey et ez 0 d sx = N/A
0zI
Ney
I
Ne
AN
y
z
z
y =++
2
y
z
2
z
y
Ie
I
eA1
d
+
=
Noyau central : sections simples
2
42
Ir
A1
detrd;4r
I;rA
====p
p
Torsion uniforme
dfinition
torsion uniforme (pure, de Saint-Venant)
Mx = constante
gauchissement libre (non entrav)
seules contraintes txy, txz arbre cylindrique : symtrie de rvolution
les sections planes restent planes
les angles au centre sont conservs
Torsion libre vs. entrave
Mx
Mx
Torsion dun arbre cylindrique
0
0
dxcos
dx'dx
1cos
...2
1cos
x
x
2
=
+-=
s
ea
a
aa
les gnratricesdeviennent hlicodales
centre de torsion
Torsion dun arbre cylindrique
cinmatique
dxd
rdx'dd'cc
rd'dd'ccx
rr
x qgg
q=
====
abcd devient a b c d = abc d
Loi constitutive
tat de cisaillement pur
trq = G grq (loi de Hooke)
loi constitutive en torsion
gnralisationdx
dGr xr
qt q =
dxd
GJM xxq
= J = constante de torsion (m4)
Poutres section circulaire
px
A
2x
A rx
xr
Idx
dG
dArdx
dG
rdAM
dxd
Gr
q
q
t
qt
q
q
=
=
=
=
inertie polairepR4/2
rpartition linaire
p
xmax I
RM=t
Poutres section circulaire
applicable aux sections circulaires
pleines
ou creuses
Essai de torsion
angle de torsion total
essai de torsion
coefficient de Poisson
4xxx
xGR
LM2GJ
LML
dxd
pq
q ===
4x
x
R
LM2G
pq=
( ) uu += 12E
G
Scurit des pices tordues
matriaux ductiles
critre dterministe
E.L.U.
3e
es
t =
3adm
adms
tt =
(cf. Von Mises)
dimd3 tt
Scurit des pices tordues
matriaux fragiles
critre dterministe
E.L.U.gt
tt uadm =
dimud tt
Autres sections
pas de solution analytique solution approche
sections elliptiques
solution de Saint-Venant
analogie hydrodynamique
p
4
I40A
J avec ( )4A
baI 22p += abA p=et
Sections massives
section rectangulaire2
xAmax bc
M
att ==
2x
B bc
M
bt =
3bcJ g= ( )cbfct,, =gba
Section ouverte parois minces
analogie de la membrane
2x
max
3x
x
bt
M3
3bt
dxd
GM
=
=
t
q
Section ouverte parois minces
remarques
id. solution section massive avec b/c
bonne approximation lorsque b/t 10
concentration de contraintes dans les angles rentrants
congs de raccordement
J augmente
Section ferme parois minces
analogie de lhydrodynamique
MxMx
ouvertx
fermx MM >>
JtMx
max =t t2MxW
t =
Forme rationnelle des sections droites
sections fermes
augmenter laire sectorielle
risque dinstabilits prvoir des diaphragmes ou des raidisseurs
Synthse calcul lastique des poutres
pour chaque cas de sollicitation, identifiez les
critres de
rsistance : contraintes, module de rsistance
dformabilit : dplacements, module de rigidit
et les risques dinstabilit
11 - Calcul des dplacements
Calcul des dplacements
motivation
tats Limites de Service (ELS)
limiter la dformabilit (les dplacements) des structures
souvent, critre plus exigeant que celui de rsistance
structures hyperstatiques
dtermination des inconnues hyperstatiques
Dforme due la flexion
flexion simple plane
axe initialement rectiligne, actions perpendiculaires
petits dplacements (linarisation gomtrique)
effets de M et de T dissocis
on cherche lquation de la dforme de laxe
= ligne lastique
zy EIM
R1
-=
( )
EIM
"y
"y'y1
"yR1
23
2y
-=
+
=
Ligne lastique
On a :
Or,
linarisationgomtrique
Flche et rotation
qRdds -=
1cos,tg,12tg
quations diffrentielles des poutres flchies
( )
( )dxdT
qcarq""EIy
dxdM
TcarT'"EIy
M"EIy
-==
=-=
-=
( )EIq
y 4 =
Cas particulier : EI constant
quation diffrentielle du4me ordre
Conditions aux limites
conditions sur y flche impose (appuis)
conditions sur y rotation impose (encastrement)
conditions sur y moment flchissant impos (extrmit libre)
conditions sur y effort tranchant impos (extrmit libre)
Conditions aux limites
0y0T
0y0M
==
==
0y0M
0y
==
=
0y0
0y
==
=
qdg
dg
yy
yy
=
=
Intgration directe
Intgration directe
Intgration directe
avantage
on trouve y(x) en tout point
inconvnient
en gnral, on cherche y et q en quelques points
trouver une mthode de calcul plus adapte
Remarques (1)
cas de la flexion pure
M = cste y= 0 y est une parabole
1/R=-M/EI y est un cercle
lapproximation vient de
valable uniquement si les dplacements sont petits( )
"y'y1
"yR1
23
2y
+
=
Remarques (2)
grands dplacements
le principe de superposition nest plus valable
les sollicitations dpendent de la configuration
dforme
Thorme des travaux virtuels
T.V. : forces relles - dplacements virtuels
T.V. : forces virtuelles - dplacements rels
( )iV ijijS i
niV ii
'udV'adS'uTdV'uf "=+ t
( )
( ) quilibreen','T,'f
dVa'dSu'TdVu'f
ijn
ii
V ijijS in
iV ii
t
t
"
=+
Intgrales de Mohr
choisir les forces et les contraintes virtuelles en
quilibre en plaant une force unitaire dans le
sens du dplacement cherch
d = dplacement cherch
( ) d1dSu'TdVu'fS i
niV ii =+
Contribution de M
( )
dxEI
'MM
dxdAyEI
'MM
dVEIMy
Iy'M
dVa'
A
22
VV ijij
=
=
=
l
l
t
Contribution de N
( )
dxEA
'NN
dxdAEA
'NN
dVEAN
A'N
dVa'
A2
VV ijij
=
=
=
l
l
t
Contribution de T
dxGA
'TT
dxdAb
S
I
AGA
'TT
dVGIbTS
IbS'T
dVa'
A 2
2
2
VV ijij
=
=
=
l
l
c
tc = facteur de correction
Intgrale de Mohr
dxGA
'TTEA
'NNEI
'MM
++=
l
cd
moment flchissant daux actions relles
moment flchissant d une forceunitaire place au point o loncherche le dplacement dans ladirection et le sens de celui-ci
En gnral,dx
EI'MM
=
l
d
Calculs pratiques
dxMM1 l
l
Tableau de
Exemple
M
2qL
2
M L
A
A
flche en A
EI8qL
L2
qL41
EIL 42
==d
rotation en A
EI6qL
12
qL31
EIL 32
-=-=d
y
y
Exemple
EIqL
3845
4L
8qL
34
12
11
EIL
y42
max =-+
=
Effets thermiques lvation uniforme de temprature
DT = Taprs - Tavant gradient thermique (constant)
DT/h
Tx Dae =
yhT
x
=D
ae
DT-DT/2
DT/2
h/2
h/2
Effets thermiques contribution du gradient thermique
contribution de llvation uniformedx'M
hT
dVyhT
Iy'M
dVa'V
V ijij
=
=
l
Da
Dat
dx'TN
dVTA
'NdVa'
VV ijij
=
=
l
Da
Dat
Intgrale de Mohr
dx'NTdx'MhT
dxGA
'TTdx
EA'NN
dxEI
'MM
+
+
++=
ll
lll
DaD
a
cd
Effet de leffort tranchant
GBT
GAT
=
= cg
cA
B =
aire rduite
dxdT
GAy
GAT
yc
c ==
Effet de T : quation diffrentielle
La contribution additionnelle due T est donne par
La ligne lastique est solution de
GAq
EIM
y c--=
+=+=
==
2
24
TM
2
T
4
M
L
h5,21
EIqL
3845
yyy
qGA8L
y;EI
qL384
5y c
Effet de T : exemple
poutre isostatique sur 2 appuis, charge q uniforme
section rectangulaire en acier
12h
AI;5
6 2==c 6,2GE;3,0 ==u
=y
yLh
%5,2y
y101
:Lh TT
Effet de T : aires rduites
Gauchissement entrav
rsultats valables si la poutre est libre de gauchir
OK si T varie continment
Intro aux systmes hyperstatiques
illustration sur un systme 1x hyperstatique
(a) (b)
(b) = superposition charge rpartie + raction
2qL
EI4L
2
A =dflche due q
2AA LX
EI3L
-=dflche due XA
8qL
3XA =
12 -Proprits mcaniques des matriaux
et modles non linaires
Proprits mcaniques des matriaux
motivation
modlisation macroscopique
donnes ncessaires au dimensionnement
conditions relles vs. conditions de laboratoire
Proprits mcaniques des matriaux
essais
essai de traction/compression
essai de torsion (cf. chapitre sur la torsion)
essai de fatigue
essai de duret (pour mmoire)
essai de rsilience (effet de la temprature)
essai de fluage
Conditions des essais
grandeurs mesures tij, aij, t, T
matriaux isotropes et homognes
temprature ambiante (sauf si effet de T)
phnomnes indpendants du temps
(sauf fatigue, fluage, relaxation, recouvrance)
essais statiques (sauf fatigue)
Essai de traction (compression)
essai purement unidimensionnel
rsultat considr valable pour la flexion des poutres
conditions de lessai
sections planes restent planes
distribution uniforme des contraintes et dformations
Essai de traction
Essai de traction
Essai de traction
Essai de traction
Essai de traction
Essai de traction
Matriaux ductiles : acier doux
limite dlasticit
limite de ruptureen traction
allongement la rupture
eR
Matriaux ductiles : aluminium
limite de proportionnalit
limite dlasticit conventionnelle
( 0.2%)
Striction
contrainte nominale
A = section initialeAN
=s
contrainte vraie
A = section relleAN
=s
Bandes de Lders
Matriaux fragiles
exemples : verre, bton, fonte
limite de rupture en traction
limite de rupture en compression
Essai de compression
Essai de compression
Essai brsilien
Essai de fatigue
dfinition
dcroissance de la rsistance du matriau aux
actions variables (cycliques) avec le temps
courbes dendurance (de Whler)
grande dispersion dans les rsultats
limite de fatigue conventionnelle
Essai de fatigue : courbe de Whler
pour les mtaux : )MPa(7737,0 tfat + ss
Rupture par fatigue
amorage
prsence de dfauts concentration de contraintes
propagation
vitesse de propagation
rupture
facis de rupture typique
Effets de la temprature
rupture fragile
essai de rsilience
temprature de transition ductile-fragile (TTDF)
variation des proprits mcaniques
les proprits mcaniques diminuent avec T
protection contre les incendies
Essai de rsilience
rupture dune prouvette sous laction dun mouton
nergie ncessaire la rupture ( )hhmgW 0 -=
Essai de rsilience
temprature de transition ductile-fragile (TTDF)
rupture fragile dun matriauductile possible si simultanment :
prsence dun dfaut sollicitation par traction basse temprature
Variation des proprits
protection contre les incendies : la norme dfinit RF = la dure de
rsistance au feu (1h, 2h, )
protection des structures mtalliques par flocage, enrobage, ...
Effets diffrs
fluage accroissement de dformation dune pice
soumise des forces constantes
relaxation diminution des contraintes dans une pice
soumise une dformation constante
recouvrance rcupration aprs fluage des proprits initiales
Fluage
essai de fluage sur mtal haute temprature
prouvette de traction soumise contrainte
dilatation instantane(lastique)
==
dtd
Vxx ee cste=
e )striction(
e
Fluage
contrainte applique reste modre ( service) allongement total se stabilise e
Rupture par fluage
essai de courte dure
Relaxation
essai allongement constant
dtds
s =
Recouvrance
Modles mathmatiques des matriaux
lois constitutives
modles unidimensionnels indpendants du temps
modles lastiques
modle lastique linaire
modle lastique non linaire
modle lastique parfaitement plastique
modle lastoplastique crouissage
Modles lastiques
es E= ( )ess =
loi de Hooke 1D caoutchouctravaux virtuels
Modles lastoplastiques
( ) )ementargdch(siE)ementargch(si
)Hooke(EsiE
e
ee
ee
eeeesseess
seees
=
==
matriaux palier plastique important (acier) et calculs plastiques
Modle avec crouissage
( ) )ementargdch(siE)ementargch(si
)Hooke(siE
epe
p
sseesssssssses
==
dtd
E t s=
A
As
EE s=
module tangent
module scant
Modles non linaires
hypothse de linarit matrielle abandonne
les relations du type
ne sont plus valables !
mais les modles plus ralistes ...
IMy
;EIM
R1
;EANL
uy
=-== s
Critres rhologiques
motivation
jusqu prsent, tout 1D. quarrive-t-il en 2D ? 3D ?
critre de Tresca
critre de von Mises
critre de la courbe intrinsque
pour mmoire
Loi de Hooke
on se base sur le modle lastique linaire isotrope
( )[ ]
( )[ ]( )[ ]
GE1
GE1
GE1
xzxzyxzz
yzyzxzyy
xyxyzyxx
tgssuse
tgssuse
tgssuse
=+-=
=+-=
=+-=
( )[ ]kkijijij 1E1
a tudtu -+=
Critre de Tresca
bandes de Lders : plastification par glissement
contrainte tangentielle maximale
exemple : poutre en flexion plane
22eIIII sss =
-
eIIII* ssss =-=
contrainte decomparaison
e22* 4 stss =+=
Critre de von Mises
( ) ( ) ( ) 2e2IIII2IIIII2III 2sssssss =-+-+-
( ) ( ) ( ) e2IIII2IIIII2III* 21
ssssssss =-+-+-=
quation ducylindre
critre
Critre de von Mises : exemples
cisaillement pur
poutre en flexion plane
comparaison et expriences
e22* 3 stss =+=
ee
e 577,03s
stt ===
13 - Traction plastique
rappel : dimensionnement lastique
milieu continu
linarit gomtrique
linarit matrielle : loi de Hooke
objection : loi de Hooke
nglige ladaptation lastoplastique
quel est le degr rel de scurit ?
Traction plastique
e*max ss =$
Thorie de la plasticit
milieu continu
modle lastoplastique parfaitement plastique
dchargement lastique
on cherche la charge limite (de ruine)
Traction plastique
pice homogne
Npl Ne = A se
pice compose de 2 matriaux
condition cinmatique (Bernoulli) reste valable
e1 = e2
1e1e A~
N s=
2e21e1pl AAN ss +=
Traction plastique 2 matriaux
Courbe force-dplacement
non linaire
Bnfice d la plasticit
dpend des matriaux et des sections
$ aussi un gain d lhyperstaticit
exemple : Acier A1 et Aluminium A2, A1=A2, n=3 et se1=se2 dimensionnement lastique
dimensionnement plastique
1e1e12
11 A34
NA34
nA
AA s==+=
1e12e21e1pl A2AAN sss =+=
Gain
5,1N
N
e
pl =
Proprits importantes
isostaticit de la charge limite
la charge limite est statiquement dtermine
conception de la ruine - ELU
contraintes rsiduelles et dilatations permanentes
Contraintes rsiduelles
Npl
dchargement lastiquematriau 1
dchargement lastiquematriau 2
0AA
A~N
A~
n
N
2,rsd21,rsd1
1
pl1e1,rsd
1
pl2e2,rsd
=+
-=
-=
ss
ss
ss
autocontrainte le matriau 2 ne peut pasreprendre sa formeinitiale car $ eper
Contraintes rsiduelles
une structure ne se comporte plastiquement qu
sa premire mise en charge, aprs quoi elle se
comporte lastiquement grce aux contraintes
rsiduelles produites par la dformation
plastique initiale
14 - Flexion plastique plane
matriau lastique parfaitement plastique
critres de dimensionnement
moment plastique
rotule plastique
hypothses
pas influence de N et T, M constant
Bernoulli
Flexion plastique plane
Sections doublement symtriques
Dimensionnement lastique
M Me (rappel) moment lastique maximal
courbure lastique maximalee
max
ze y
IM s=
z
ee
y EIM
R1
-==y
Dimensionnement lastoplastique
Me M Mpl les fibres suprieures et infrieures plastifient
simultanment
quation dquilibre de translation (N = 0)
laxe neutre est donc toujours au centre de gravit la distance ye (voir figure) est donn par
0dAA
=s
yee
ey =
Charge ultime
le moment ultime est donn par
( ) e2/Ae
Ae
Apl
2AS2
dAy2
dAy
ydAM
s
s
s
s
=
=
=
=
Z module plastique (m3)moment statique de la demi-section
Section rectangulaire
section de largeur b et de hauteur h module de rsistance lastique
module de rsistance plastique
gain (facteur de forme)
e
2
e
2
max
z
6bh
M6
bhyI
s==
( ) e2
pl
2
4bh
M8
bh4h
2h
b2AS s===
5.1M
M
e
pl ==j
on dispose de 3 critres
rendement lastique (rappel)
rendement plastique
facteur de forme
mesure la rserve de rsistance en flexion
Flexion plastique plane : profil idal
( )thinfsup/
infsup/e y/I
y/I=h
ththpl
plpl Z
ZM
M==h
e
pl
M
M=j
Flexion plastique plane : profil idal
he=2/3hpl0.76j=1.15
he1/2hpl0.64j=1.27
he=1/3hpl=0.5j=1.5
he=1/4hpl0.42
j=1.7
he=1/6hpl=0.33
j=2
j nest pas le seul critre !
partons de Me M Mpl lors d un dchargement, il subsiste une courbure
permanente et des contraintes rsiduelles
Dchargement
-=
max
ersd
yI
Mss
Sections un seul axe de symtrie
lastique lasto-plastique
plastique
la position de laxe neutre est donn par ( ) -=A 12e AA0dA ss
Axe neutre plastique
laxe neutre plastique divise la section en 2 aires gales
le moment plastique est donn directement par
( )21 yy2A
Z +=
Pices composes
laxe neutre se dtermine par lquation
souvent rsolue par ttonnements
=A 0dAs
Loi moment-courbure
relation chaque instant entre moment et courbure
on prfre un diagramme non dimensionnel
M/Me en fonction de y/ye
emax
ze y
IM s=
z
ee EI
M-=y
Section rectangulaire
Etat lastique
M Me courbure lastique
zEIM
-=y
ee
ez
z
e
MM
EIEI
MM
yy
yy
=
--
=
Etat lastoplastique
Me M Mpl le moment lastoplastique peut tre calcul aisment par
calcul des rsultantes et bras de levier (voir figure)
-=
-=
-=
+
+
-=
2e
pl
2e
2
e
2e
2
e
eeeeee
hy
34
1MM
hy
34
14
bhM
3y
4h
bM
y34
by21
y2h
y2h
bM s
s
ss
Etat lastoplastique
Or, ltat lastique (Bernoulli)
2h
y
MMlorsque2h
avecy
ee
eeee
e
yy
yeye
=
===
-=
2e
e
pl
e 31
1M
M
MM
yy
Etat plastique
5.1M
M
MM
e
pl
e
e
=
yy
Lois moment-courbure pour sections droites
lastique
lastoplastique
plastique
Flexion plastique plane
notion de rotule plastique
courbe moment-courbure
la poutre a un comportement lastique parfaitement
plastique : elle reste lastique jusqu linstant o le
moment plastique Mpl est atteint, puis elle flchit
plastiquement moment constant.
pas de plastification due T ou N
localisation des dformations (de la courbure)
Rotule plastique
rellocalisation de courbure dans CD
AC et DB restent lastiques
modle simplifilocalisation de courbure en Epoutre quasi-articule en E
Rotule plastique
rotule est un terme abusif car la rotation nest pas libre
Charge limite des structures hyperstatiques
poutre bi-encastre 2x hyperstatique(en fait 3)
charge totale : Q = qL
moment lastique maximal
charge limite lastique
12Lq
MMM2
eBAmax ===
LM
12Q ee =
Charge limite des structures hyperstatiques
les moments dencastrement provoquent lapparition
de deux rotules plastiques :la poutre est isostatique.
Les moments dencastrementvalent donc au maximum
12Lq
MMM2
r2BAmax ===
Charge limite des structures hyperstatiques
si on continue augmenter q,il apparat une troisime
rotule plastique.La poutre est isostatique et on a
pl
2r3 M28Lq
=
L
M16Q plpl =
charge limite plastique
mcanisme de ruine
Gain d lhyperstaticit
rserve de rsistance des structures hyperstatiques
j34
M
M
1216
Q
Q
e
pl
e
pl ==
gain d la redistribution entreles sections
Courbe charge-flche
lastique
plastique
lasto-plastique
doit rester faiblepar hypothse
15 - Instabilits
la conception de structures exige aujourdhui
conomie
lgret
matriaux haute rsistance
rduction progressive des sections rsistantes
contraintes en service importantes
Instabilits
danger dinstabilit dans toute structure comprime
flambement (compression pure)
dversement (flexion)
voilement (torsion)
phnomnes dinstabilit
locaux (barres de treillis, voilement, )
globaux (flambement densemble, ...)
Types dinstabilits
flambement plan
flambementpar torsion
flambementspatial
seul flambementtudi ici
Instabilits locales : exemple
voilement de lme mincedune poutre en acier.effet de leffort tranchant
Instabilits globales : exemple
flambement densemblede la membruresuprieure des poutres entreillis dun pont dechemin de fer(Russie, vers 1890)
Flambement des poutres
flambement par divergencela poutre se drobe leffort normal de
compression en flchissant transversalement
le phnomne est non linaire
il doit exister une flexion initiale
exemples : courbure initiale, excentrement de
leffort normal ...
Hypothses de modlisation
une tude rigoureuse ncessite la prise en compte
des non linarits gomtriques (grands dplacements)
des non linarits matrielles
ici, on postule
grands dplacements mais rotations modres
linarit matrielle (loi de Hooke)
yT
Courbure initiale
La poutre est lgrement courbe
1cos;sin;tg1,dxdy
tg 0000000
0 ===
Autres causes de flexion initiale
y y
Excentrement de la charge Charges axiales et transversale
Exemples dapplication : ressorts, tuis lunettes ... phnomne non linaire :
il faut se placer dans la configuration dforme
Thories non linaires du flambement
actions des forces sur la configuration dforme le principe de superposition nest plus valable
souvent, le flambement se produit alors que lastructure est peu dforme hypothse des rotations modres (2me ordre)
le flambement est accentu par la plasticit phnomne non pris en compte ici
Modlisation du flambement
( )
( )EI
,...F,yMy
,...F,yMM
EIM
R1
yR1
-=
=
-=
=quation
non linaire !
quation rsoudre
rotations modres
flexion plane
Poutre droite comprime excentriquementL
F F
e xx
WW
WW
y
y(x)
( )
( ) 0yeEIF
y
yeFM
=++
+=
Poutre droite comprime excentriquement
( )
ekxcosCkxsinCy
ekyky
0yeEIF
y
21
22
-+=
-=+
=++ quation de la dformeposons k2=F/EI
SGEH+SPENH
Equation de Helmholtz non homogneEDP 2me ordre coeff. constants
( )( ) ( )2kLcos
eC
0C
02Ly
02Ly
2
1
=
=
=
=-conditions aux limites
Poutre droite comprime excentriquement
( )
-===
-=
12
kLseceyya
12
kLcos
kxcosey
0max (formule de la scante)
quation de la dforme(pas linaire en F !)
0a12
kLsec0k0F ==== la tangente a pour quation
EI8L
Fea2
=
321321 aaaFFF DDDDDD
Poutre droite comprime excentriquement
EI8L
Fea2
= flche linaire de M = Fe
( )2kLcosFe
Mmax =
2
2
crL
EIF
n22
kLssi0
2kL
cos
p
pp
=
+==
charge critique indpendante de e !
Poutre comprime avec courbure initiale
( )
( ) 0yyky
yyFM
02
0
=++
+=
L
F F x
x
WW
WW
y0y(x)
EI=cste
y
Poutre comprime avec courbure initiale
( )
Lx
sinakyky
Lx
sinaxy
022
00
p
p
-=+
= courbure initiale
Equation de Helmholtz non homogneEDP 2me ordre coeff. constants
( )( ) 0Ly
00y
=
=conditions aux limites
( )cr
cr0
22
20
FF1
FFa
2Lya
Lx
sin1
Lk
ay
-==
-=
pp
mme Fcr
Poutre comprime avec courbure initiale
cr0 F
Faa = flche linaire
-+=
cr
cr0max
FF1
FFa
aFM
2
2
crL
EIF p=
charge critique indpendante de a0 !
autres cas : 2cr
L
EICF =
toujours indpendant de la flexion initiale
Limitations des rsultats obtenus
hypothse des rotations modres
linaire
rotations modres
grands dplacements
F > Fcr est thoriquement possible pratiquement les dplacements sont dj trop grands
( )( )
EI,...F,yM
y1
y
23
2-=
+
Flambement par bifurcation
Fcr est indpendant de l origine de la flexion
initiale et de son importance
il existe une charge critique mme si la poutre est
parfaitement rectiligne, libre de toute force
transversale et soumise une force de compression
parfaitement centre
flambement eulrien par bifurcation
Flambement par bifurcation
compressionpure
point de bifurcation= coexistence de
2 situations dquilibrecompression et flexion initiale
0elim
le flambement par bifurcation est un cas limite (poutre parfaite)il n existe pas mais donne une bonne approximation de Fcr
L
F F x
x
WW
WW y
y(x)
0yky
FyM
2 =+
=
Thorie dEuler
EI=cste
y(x) est l esquisse de la dforme= mode de flambement
(dpend des conditions dappui)quation de Helmholtz
kxcosCkxsinCy
0yky
21
2
+=
=+
solution gnrale
( )( ) pnkL
0ytrivialcas
0kLsinC
0C
0Ly
00y
1
2
==
==
==
conditions aux limites
Thorie dEuler
2
22
L
EInF
p= modes de flambement
2K
2
cr L
EIF
p=
Thorie dEuler : gnralisation
charge critique dEuler
proportionnel EI (module de rigidit en flexion)
quel I ? le plus faible !
LK = longueur de flambement (dpend des CL)
permet de trouver une approximation de la chargecritique quelles que soient les conditions dappui
Longueur de flambement
esquisser le premier mode (respect des appuis !)
IAL
E
AL
EIAF
2K
2
2K
2cr
crpp
s ===
lancement
nombre sans dimensions
quantifie la sensibilit au flambement
lancementIAL2K2 =l
0 l < 20 : risque faible20 l < 50 : risque moyen
50 l < 80 : risque fort80 l : risque extrme
Validit de la thorie dEuler
hypothse de linarit matrielle (loi de Hooke)
valable si-= p2
2
crE s
lps
-=p
eE
sl
(limite de proportionnalit)
Autres formes dinstabilit
flambement dversement
voilementcloquage
Flambement des pices industrielles
imperfections = dfauts invitables imperfections gomtriques
poutres pas rectilignes
forces toujours lgrement excentres
dimensions relles diffrent des dimensions nominales
imperfections matrielles contraintes rsiduelles
matriau htrogne
Imperfections gomtriques
Contraintes rsiduelles
Dispersion des caractristiques
Importance des imperfections
rle dcisif des imperfections
() gomtriques flambement par divergence
() matrielles affaiblissement de la rsistance
le flambement a toujours lieu par divergence
la charge critique dEuler est nanmoins utilise dans les
mthodes de dimensionnement