Exercices complémentaires (section 6)
Solutions
6.1. Le poids moléculaire du méthanol est 32. 100 ml de méthanol dissout dans 40 litres de fluides donne une concentration de:
[MeOH] = 100 ml x 0,79 g/ml32 g/mol x 40 litres
= 0,062 M
EtOH sera un inhibiteur compétitif du méthanol sur la LADH. En absence et en présence d'inhibiteur, on aura des vitesses v et vi telles que:
v = Vmax [S]Km + [S]
et vi = Vmax [S]
1 + [I]Ki
Km + [S]
où [S] = [MeOH] et Km = 0,01 M.
Ce que l'on veut obtenir c'est que vi soit 5% de v. Autrement dit:
vi (avec inhibiteur)v (sans inhibiteur)
= 0,05 = Km + [MeOH]
1 + [I]Ki
Km + [MeOH]
En substituant les valeurs, on obtient:
0,05 = 0,01 + [0,062]
1 + [I]Ki
0,01 + [0,062] d'où 1 + [I]
Ki = 138
On voit que [I] sera égal à 137 Ki soit 137 x 1 x 10-3 (... le Km pour EtOH). Ainsi la quantité d'éthanol devant être ingurgitée devra donner une concentration finale de 0,137 M.
Le nombre de moles d'éthanol correspondant sera 0,137 M x 40 litres = 5,48 moles. Le poids moléculaire de l'éthanol étant de 46, notre empoisonné devra prendre 46 x 5,48 = 252 g d'éthanol.
À une densité de 0,79 g/ml, cela équivaut à 252/0,79 = 319 ml. Puisque le whiskey contient 50% v/v d'éthanol, il ne reste à notre bonhomme qu'à en avaler rapidement 638 ml (presque toute une bouteille).
6.2. Le tracé en double réciproque des données du problème donne:1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
1/v
(µM
-1 s
)
1.00.50.0-0.51/[S] (mM -1 )
sans inhibiteuravec 10 mM inhib. Aavec 10 mM inhib. B
a) En absence d'inhibiteur, on trouve -1/Km sur l'intercept de l'axe des 1/[S] à une valeur de -0,3. Donc Km = 1/0,3 mM = 3,3 mM. La valeur de 1/Vmax est donnée par l'intercept sur l'axe des 1/v = 0,1 µM-1/s. Donc, Vmax = 10 µM/s.
b) En présence de l'inhibiteur A, la droite intersecte l'axe des 1/v au même endroit que la droite obtenue sans inhibiteur. Il s'agit donc d'une inhibition compétitive. La valeur apparente du Km en présence de l'inhibiteur A est de -1/Kmapp. = -0,13 µM-1 . Cela correspond à Kmapp. = 7,7 mM. En fait, cette valeur de Kmapp. = Km (1+[I]/Ki). On trouve donc que:
7,7 mM = 1 + [I]Ki
3,3 mM et que 1 + [I]Ki
= 2,33
Sachant que [I] = 10 mM, on solutionne pour Ki = 7,5 mM.
En présence de l'inhibiteur B, la double réciproque intercepte celle qui est obtenue sans inhibiteur à la même valeur de 1/Km sur l'axe des 1/[S]. Il s'agit donc d'une inhibition non-compétitive. Dans ce cas-ci, c'est la valeur de Vmax seulement qui est modifiée. La valeur apparente de
1/Vmax sur l'axe des 1/v est 3 µM-1 s, soit Vmaxapp. = 3,3 µM/s. Cette valeur est en fait:
3,3 µM/s = Vmax
1 + [I]Ki
= 10 µM/s
1 + [10 mM]Ki
qui se solutionne pour Ki = 5 mM.
c) Le nombre enzymatique est donné par Vmax/e. Il faudrait connaître la concentration totale de l'enzyme, e, pour trouver le "turnover number".
d) L'expression de la vitesse d'une enzyme michaélienne est donnée par:
v = Vmax [S]Km + [S]
soit : k [ES] = k e [S]Km + [S]
soit: [ES] = e [S]Km + [S]
alors [ES]e = [S]
Km + [S]
En absence d'inhibiteur et pour [S] = 5 mM, on aura:
[ES]e = [S]
Km + [S] = 5 mM
3,3 + 5 mM = 0,6
Dans les mêmes conditions mais en présence de 10 mM d'inhibiteur compétitif, cette expression devient:
[ES]e = [S]
Km 1 + [I]Ki
+ [S] = [5 mM]
3,3 mM 1 + [10 mM]7,5 mM
+ [5 mM] = 0,39
Dans le cas de l'inhibiteur non-compétitif, l'équation devient:
[ES]e = [S]
Km 1 + [I]Ki
+ [S] 1 + [I]Ki
= [5 mM]3,3 mM + [5 mM] 1 + 10 mM
5 mM = 0,20
6.3. Parce-que l'inhibition par in inhibiteur compétitf peut toujours être levée en présence d'une concentration élevée de susbtrat, ce qui n'est pas le cas des inhibitions de type incompétitif ou non-compétitif.
6.4. La représentation en double réciproque des données expérimentales a l'allure suivante:
8
6
4
2
0
1/v
1.00.80.60.40.20.0-0.2-0.41/[hipp.] (mM
-1)
1/Vmax
1/Km1/Km app.
sans PEB[PEB] = 0,033 mM[PEB] = 0,1 mM
Il est clair qu'il s'agit d'une inhibition compétitive où Vmax est indépendant de la présence de l'inhibiteur. L'intercept sur l'axe des 1/[hippurate] a des valeurs de -0,45 sans inhibiteur, -0,27 en présence de 0,033 mM de PEB et -0,15 en présence de 0,1 mM de PEB.
De la première de ces valeurs, on trouve Km = 2,22 mM.
Les valeurs de Km apparentes en présence de 0,033 et 0,1 mM de PEB sont, quant à elles de 3,64 et 6,67 mM, respectivement. Ces Km apparents sont en fait:
Kmapp = Km
1 + [I]Ki
alors on trouve: Ki = [I] KmKm
app - Km
Ki = 0,033 x 2,223,64 - 2,22
= 0,051 mM = 0,1 x 2,226,67 - 2,22
6.5. a) Pour l'inhibition incompétitive, la pente de la double réciproque ne change pas; Km et Vmax sont modifiés par le même facteur. Par contre, dans l'inhibition non-compétitive, la pente augment, Vmax est modifié mais Km ne change pas. C'est donc le tracé II qui correspond au non-compétitif et I à l'incompétitif.
b) L'intercept de la ligne II sur l'axe des 1/[S] donnera donc 1/Km = 5000, soit un Km = 2 x 10-4 M. Par ailleurs, la droite qui représenterait la vitesse de réaction sans inhibiteur serait parallèle à la droite II et aurait le même intercept sur l'axe des 1/[S] que la droite I. En la traçant, elle interceptera l'axe des 1/v à la valeur de 1/Vmax = 0,13 . On aura donc Vmax = 7,69.
c) Dans l'inhibition non-compétitive, la valeur apparente de Vmax est donnée par:
Vmaxapp = Vmax
1 + [I]Ki
soit 10,247
= 7,691+ 1 mM
Ki qui donne, après calcul Ki = 1,1 mM.
Dans l'inhibition incompétitive, la modification de Vmax est la même et on a:
Vmaxapp = Vmax
1 + [I]Ki
soit 10,21
= 7,691+ 1 mM
Ki qui donne, après calcul Ki = 1,64 mM.
6.6. En présence d'un inhibiteur compétitif la vitesse de réaction est donnée par:
v = Vmax [S]
Km 1 + [I]Ki
+ [S] = 55 x 2 x 10-4
2 x 10-4 1 + [2,5 x 10-3]2,5 x 10-3
+ [2,5 x 10-4]
= 18,35 µM/min
En fait, quand [S] = Km et [I] = Ki, la vitesse est 1/3 Vmax (dans l'inhibition compétitive)
6.7. Même si la valeur de Vmax nous échappe, on peut arriver à une solution quand même. En effet, en absence d'inhibiteur, la vitesse sera donnée par:
v = Vmax [S]Km + [S]
soit vVmax
= [S]Km + [S]
et vVmax
= [10-4]3 x 10-3 + [10-4]
= 0,0323
À 50% d'inhibition, la vitesse en présence de l'inhibiteur (vi) sera 0,5 x v (la vitesse en absence de l'inhibiteur) soit: 0,0323/2 = 0,0162 Vmax. On aura alors cette vitesse en présence de l'inhibiteur compétitif qui sera donnée par:
v = Vmax [S]
Km 1 + [I]Ki
+ [S] soit v
Vmax = [S]
Km 1 + [I]Ki
+ [S]
et vVmax
= [10-4]
3 x 10-3 1 + [I]2 x 10-5
+ [10-4] = 0,0162
qui se solutionne pour [I] = 2,05 x 10-5 M.
6.8. En absence et et présence d'un inhibiteur non-compétitif, les vitesses de réactions sont données respectivement par:
v = Vmax [S]Km + [S]
et vi =
Vmax [S]
1 + [I]Ki
Km + [S]
À 65% d'inhibition, le rapport des vitesses en présence et en absence de l'inhibiteur sera donné par vi/v = 0,35 de sorte que:
viv =
Vmax [S]
1 + [I]Ki
Km + [S]Vmax [S]Km + [S]
= 0,35 = KiKi + [I]
Avec Ki = 2 x 10-5 M, cette expression se solutionne pour [I] = 7,43 x 10-6 M.
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