11S.S.I.I., 2013-14, n°6, S.S.I.I., 2013-14, n°6, : Créer des filtres sur mesure pour compresserCréer des filtres sur mesure pour compresser
Créer un filtre de réponse fréquentielle donnée
Jean-Paul Stromboni, Polytech'Nice Sophia, S.I. 3ème année Cours n° 6, novembre 2013, durée : 50 mn, avec vidéoprojecteur
0 fef
0 fef
0 fef
4
4
H1(f)4
0
0 fef
spectre (R échantillons)
R/4
R/8
3*R/16
En appliquant le principe du cours n° 5 pour compresser et décompresser le signal suivant dans un facteur 4 :
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Quel est le taux de compression envisageable ici pour le signal dont le spectre est donné ci-dessous?
0 fef
spectre
0 fef
0 fef
0 fef
2
2
2
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En fait, si on sait créer le filtre H2 ci-dessous, on atteint un taux de compression de 4 au lieu de 2 !
0 fef
spectre
0 fef
0 fef
0 fef
H24
4
4
Car la condition de Shannon généralisée est respectée : la largeur du spectre du signal étant inférieure à fe/4 !!
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Pour réaliser H2 à l’aide d’un filtre programmé, on peut utiliser un filtre non récursif dont voici l’équation :
Le vecteur e=(en, n=0..N-1) contient les N échantillons du signal à filtrer, ou entrée du filtre
Le vecteur h=(hm, m= 0..R-1) contient les R coefficients du filtre (coefficients réels)
Le vecteur s=(sn, n=0..N-1) contient la sortie du filtre ou signal filtré, chaque valeur sn est calculée par une itération de l’équation ci-dessus
R est la taille du filtre L’équation est un produit de convolution (symbole ‘*’):
h contient la réponse impulsionnelle du filtre, c’est-à-dire que s= h pour une entrée impulsion (e0=1, en=0 si n!=0).
Pour en savoir plus: Il s’agit d’un filtre linéaire et stationnaire, en anglais Linear
Time Invariant. Pour mieux comprendre : sn=en+ en-1 est linéaire et stationnaire
sn= sin (en-1) est non linéaire
sn=en+n en-1 est non stationnaire
Il s’agit d’un filtre non récursif, ou à réponse impulsionnelle de durée finie (Finite Impulse Response FIR en anglais) :
Par contre, sn=sn-1+en-1, est un filtre récursif (ou IIR)
1
011110
R
k knkRnRnnn ehehehehs
1
0*
R
k knkk knk ehehehs
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Pour calculer la réponse fréquentielle d’un filtre récursif, on note les propriétés suivantes de la TFD directe et inverse :
1
0
/2)(]1..0,[R
k
fkfik
TFDk
eehfHRkhh
ZffHfH
ZHH
ehRmfHH
RmHhfftH
e
Rmm
R
k
Rmkikem
m
),()(
,
)/(
]1..0,[)(1
0
/2
1. H = fft(h) est périodique de période R
2. h= ifft(H) est périodique, de période R
ZRTthth
Zhh
eHkThh
RkhHiffth
e
Rkk
R
m
Rmkimek
k
),()(
,
)(
]1..0,[)(1
0
/2
1
0
/2)(]1..0,[1 R
m
Rtmfim
TFDm
eeHthRmHH
3. En effet, les transformations fft et ifft sont presque identiques, au signe des exponentielles près. On vérifie que:
)()(]1..0,[ hiffthfftRkhh k
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Pour calculer la réponse fréquentielle d’un filtre récursif, on note les propriétés suivantes de la TFD directe et inverse :
Si le vecteur H est réel, soit Hm réel pour m=0..R-1, à quelle condition le vecteur h=ifft(H) est il réel ?Réponse : il suffit que Hm=HR-m, pour m=0..R-1car
Et par conséquent hk est réel, pour k=0..R-1:
noter que ce que l’on vient d’établir pour h et H, est vrai également pour
en particulier ek est périodique de période R,
et pour
On utilisera dans la suite e et E, h et H et s et S ainsi définis, et de tailles R
)./2cos(2
/2/2
/22/2
/)(2/2
RmkH
eHeH
eeHeH
eHeH
m
RmkimR
Rmkim
RmkikimR
Rmkim
RkmRimR
Rmkim
.)/2cos(212/
12/0
R
m mRk RkmHHHh
]1..0,[)(]1..0,[ RmEefftEetRkee mk
]1..0,[)(]1..0,[ RmSsfftSetRkss mk
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La TFD du produit de convolution s= h*e est le produit cartésien des TFD de e et de h : 1..0, RkEHS kkk
Voici la démonstration, qui utilise la périodicité de la TFD inverse.Soit l ’équation du filtre
Soit le signal filtré
et le signal à filtrer
C.Q.F.D.
]1..0,[ Rnss n
ehehsR
mmnmn *
1
0
]1..0,[ Rnee n
kk
R
m
R
v
Rkviv
Rkmim
R
m
R
n
Rmnkimn
Rkmim
R
n
R
m
Rmnkimn
Rkmim
R
n
RnkiR
mmnmk
k
EH
eeeh
eeeh
eeeh
eehS
RkSsfftS
1
0
1
0
/2/2
1
0
1
0
/)(2/2
1
0
1
0
/)(2/2
1
0
/21
0
]1..0,[)(
avec v= n-m quand n-m >0 et v=n-m+R quand n-m<0, puisque en-m=en-m+R.
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Voici donc l’effet sur le spectre d’un filtre non récursif
E contient le spectre du signal à filtrer S contient le spectre du signal filtré H= fft(h) est la réponse fréquentielle du filtre dont les
coefficients réels sont dans le vecteur h La réponse fréquentielle H est la transformée de
Fourier de la réponse impulsionnelle h Si on fixe H à la valeur désirée H2, h= ifft(H) calcule
les coefficients du filtre de réponse fréquentielle H=H2 Et ces coefficients seront bien réels si on a pris la
précaution de choisir Hm= HR-m, m=0..R-1
Attention ! on impose uniquement R valeurs sur la réponse fréquentielle, aux fréquence kfe/R, k=0..R-1, il faudra vérifier H(f) entre ces fréquences
1..0,
1..0,
*1
0
RkR
kfE
R
kfH
R
kfS
RkEHS
ehehs
eee
kkk
R
mmnmn
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Vérifier avec Scilab que H est symétrique par rapport à R/2, et que imag(ifft(H)) = 0 et donc h=real(ifft(H))
fe=8000; R=64; // H symétrique par rapport à R/2 H=4*[zeros(1,R/8),ones(1,1+R/8),zeros(1,-1+R/2),ones(1,1+R/8),zeros(1,-1+R/8)];
//étude de h=ifft(H) h=ifft(H); t=[0:R-1]/fe; plot2d(t',[real(h'),imag(h')]) e=gce(); e.children(1).thickness=3; xgrid(); xtitle("vérification: imag(ifft(H))=0",... "temps (s)","donc h=real(ifft(H))") h1=legend(['real(h)';'imag(h)'])
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Réponse fréquentielle du filtre de coefficients réels h=real(ifft(H)) tracée sur M=1024 valeurs au lieu de 64
Pour tracer la réponse fréquentielle du filtre de coefficients h=real(ifft(H)), il suffit de tracer abs(fft(h))
Pour tracer M=16*R valeurs au lieu de R, il suffit d’aug-menter le vecteur h de 15*R coefficients nuls :
M=16*R; fe=8000; fM=[0:M-1]*fe/M;
h=real(ifft(H));
hM=zeros(1,M); hM(1:R)=h;
plot2d(fM,abs(fft(hM)))
xgrid();
xtitle(["tracé de … h=real(ifft(H))) sur",string(M),"points"] ... ,"fréquence (Hz)","H=abs(fft(h))")
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Réponse fréquentielle du filtre de coefficients réels h=fftshift(real(ifft(H))) tracée sur M=1024 valeurs
clf();M=16*R;h=fftshift(ifft(H));fM=[0:M-1]*fe/M;hM=zeros(1,M);hM(1:R)=real(h);plot2d(fM,abs(fft(hM)))xgrid();xtitle(["tracé de abs(fft(fftshift(real(ifft(H))))),", string(M),…" points"],"fréquence (Hz)","H")
h = fftshift(real(ifft(H))) revient à permuter les deux moitiés du vecteur h
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Il suffit d’arrondir la forme de la réponse fréquentielle spécifiée dans le vecteur H pour atténuer les oscillations résiduelles.
H=4*[zeros(1,R/8-1),0.1,0.5,0.9,ones(1,R/8-3),0.9,0.5,0.1, ... zeros(1,-3+R/2),0.1,0.5,0.9,ones(1,R/8-3),0.9,0.5,0.1, ... zeros(1,-2+R/8)];
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Exemple : calcul et d’utilisation du filtre H2 avec Scilab
La réponse fréquentielle du filtre est définie dans le vecteur H, les coefficients du filtre sont calculés dans le vecteur h, on filtre ‘piano.wav’, on compare spectrogrammes et énergies avant et après filtrage
// filtre passe bande 1000Hz-2000Hz// gain 4, R=64, fe=8000HzR=64; fe=8000; n=0:R-1; fr=n*fe/R;
H=4*[zeros(1,R/8),ones(1,1+R/8), ... zeros(1,-1+R/2),ones(1,1+R/8), ... zeros(1,-1+R/8)]; plot2d3(fr,H) xgrid xtitle(['H2,avec R=',string(R)], ... 'fréquence (Hz)’, ‘H’)
//calcul des coefficients du filtre
h=fftshift(real(ifft(H))); plot2d3(n/fe,h) xtitle('coefficients du filtre',... 'temps (s)',... 'h=fftshift(real(ifft(H)))')xgrid();
// filtrage [y,fe]=wavread('piano.wav'); disp(fe) // fe=8000 sound(y,fe)
yf= convol(h,y); wavwrite(yf,fe,'pianofilt.wav') sound(yf,fe)
//Spectrogrammes (Goldwave)// énergie Ey=(y*y')/2 // énergie y = 163.96 Eyf=(yf*yf')/2 // énergie yf =89.62