J.P. Richard, « Système Dynamiques » - Master SMaRT Lille 1 & EC Lille, 2010-2011
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Systèmes à retards
Jean-Pierre Richard
LAGIS – CNRS FRE 3303&
projet ALIEN – INRIA
Ecole de Printemps« Mathématiques pour la R&D »
Djerba, Tunisie, 22-25 mars 2009
http://chercheurs.lille.inria.fr/~jrichard
SMaRT 2010-2011Part 2
Retard : exemple classique
Modèles de type Strejć-Broïda pour la commande industrielle
� usage fréquent en génie des procédés
� approximation simple et générique
� commande PID ? ... marche mal si T > τ � prédicteur de Smith ou « GPID »
Exemple du GV LAGIS
T
chauffe+
transfert thermique
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Retard : autre exemple classique
... un grand classique des TP d’automatique (Feedback)
T
PID ok
T
Retard : autre exemple classique
Pendule simulé, réseau réel Pendule réel, réseau réel
But : synchronisation d’un pendule esclave (Nantes) sur un pendule maître (Ensenada).yref supposée connue par les deux.Stratégie :1) buffers à 300ms = τ2) commande tq écart m/e régi par :
� commande causale
© Estrada-Garcia 2008
Thèse H.J. Estrada-Garcia 2008 (+Moog, Marquez-Martinez)
UDP
Retard : autre exemple classique
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1) an applied topic,2) an already old topic
[Smith 1959],
but, also...
a contemporaryresearch topic
5 among the hottest 9
http://top25.sciencedirect.com/subject/engineering/12/journal/automatica/00051098/archive/29/
ELSEVIER AUTOMATICA Top 10 Cited (articles published in the last five years) Extracted from Scopus (on Sun Oct 31 20:08:05 GMT 2010)
• Network-based robust H ∞ control of systems with uncertainty 325Volume 41, Issue 6, 2005, Pp 999-1007Yue, D. | Han, Q.-L. | Lam, J.
• Delay-range-dependent stability for systems with ti me-varying delay 212Volume 43, Issue 2, 2007, Pp 371-376He, Y. | Wang, Q.-G. | Lin, C. | Wu, M.
• Delay-dependent stabilization of linear systems with time-varying state and input delays 181Volume 41, Issue 8, 2005, Pp 1405-1412Zhang, X.-M. | Wu, M. | She, J.-H. | He, Y.
• Stabilization of linear systems over networks with b ounded packet loss 156Volume 43, Issue 1, 2007, Pp 80-87Xiong, J. | Lam, J.
• Stability and L2-gain analysis for switched delay s ystems: A delay-dependent method 149Volume 42, Issue 10, 2006, Pp 1769-1774Sun, X.-M. | Zhao, J. | Hill, D.J.
• Bilateral teleoperation: An historical survey 148Volume 42, Issue 12, 2006, Pp 2035-2057Hokayem, P.F. | Spong, M.W.
• A new delay system approach to network-based contro l 139Volume 44, Issue 1, 2008, Pp 39-52Gao, H. | Chen, T. | Lam, J.
• Absolute stability of time-delay systems with secto r-bounded nonlinearity 132Volume 41, Issue 12, 2005, Pp 2171-2176Han, Q.-L.
• Robust integral sliding mode control for uncertain stochastic systems with time-varying delay 112Volume 41, Issue 5, 2005, Pp 873-880Niu, Y. | Ho, D.W.C. | Lam, J.
9 among thelast 5 years top 10 !
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Much a do about delay ?
• problème appliqué (biblio : cf. Niculescu 01, Richard 03)
(ingénierie, télécom., temps réel, aéronautique, biologie, populations, etc.)
retard
• problème toujours ouvert dans de nombreux cas(bouclage, retards variables, retards inconnus, identification, etc.)
• problème de dim. infinie «le plus simple» (équations fonctionnelles = cas particulier des EDP )
• problème à surprises(dégradation/amélioration par ajout de retard, modèle d’échantillonnage, etc.)
hh
t
x
h
t
x
Plan du cours
- classification (et exemples 5, 6, 7...)
- problème de Cauchy- stabilité- formalismes (modèles)- commande (et commandabilité)- petite bibliographie
- motivations- 1er exemple (télé-op.) � notions de base (stabilité, état, dimension infinie)
- 2ème exemple : retard variable � contre-exemple
- 3ème exemple : échantillonnage asynchrone � intérêt
- 4ème exemple : Networked Control System (maître-esclave via réseau)
Particularités des SàR
Généralités mathématiques
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Particularités
Un 1er exemple simple
moteurtension u angle mesuré xangle voulu
x = 0
+-
écart
ε = 0 – x
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Un 1er exemple simple (suite)
moteur embarqué(satellite)
u angle mesuré x(t)angle vouluxc = 0
+-
ligne de com.� retard h/2
ligne de com.� retard h/2
angle transmis x(t-h/2)
ε
commandetransmise ε(t-h/2)
t
x
x0
0
?
?
Un 1er exemple simple (suite)
t0
t1
t2 t3 t4 t6t5 t7 t8 t9 t10
+ influence de hhhh ?
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Un 1er exemple simple (suite)
à comparer avec (h=0) :
Un 1er exemple simple (suite)
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(parenthèse...)
le retard peut aussi avoir un effet stabilisant
≈
Retour au 1er exemple simple...
� notion d’ «état» ?variable XXXX(t) générant une solutionunique à partir de l’instant t
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Un 1er exemple simple (suite)
� notion d’ « état » ?variable XXXX(t) générant une solutionunique à partir de l’instant t
(notation de Shimanov, 1960)
fonction xt= état à l’instant t
vecteur x(t) = xt(0) solution à t
t
syst. dim. infinie
Re(s)
Im(s)
Un 1er exemple simple (suite)
pôles?
syst. dim. infinieinf. pôles
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Re(s)
Im(s)
Un 1er exemple simple (suite)
critèrede
stabilité?
Hurwitz ok« retardé »
≠ « neutre »Re(Re(Re(Re(ssss))))
Un 1er exemple simple (suite)
comportementfréquentiel ?
dim. infinie...phase ----∞∞∞∞
déphasage � ∞
+ - (BO)+ -
h
t
x
h
t
x(Bode, boucle ouv.)
log ω
gain
log ωphase
ϕ = −π/2−jhω
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Un 1er exemple simple (fin!)
Résumons-nous...retard ⇒ forte influence sur la stabilité
état fonctionnelnombre de pôles infini (Hurwitz OK, Routh non)déphasage important ( � −∞ )
et, jusqu’ici, c’était assez simpleretard constantsystème linéaire « 1er ordre »
pareil pour retards variables h(t) ?un contre-exemple...
2ème (contre-)exemple à retard variable
1 π/2
et, pour h = cste ∈ [0,1] ssi (zone grise)
est asymptotiquement stable ssi (zone jaune) :
a
b
(T=1)
2
2
0
-2
-2
2
1
2
stable h(t)<1 - instable h=cte<1
instable h(t)<1 - stable h=cte<1
OK, mais ce type de h(t) est-il réaliste ? un autre exemple...
=1
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Processus Continu
Calcul
ConvertisseurA/N
ConvertisseurN/A + Bo
x(t) x(nT)
u(t)=u
3ème exemple : échantillonnage apériodique
u*(nT)n
Processus Continu
Calculdéporté
ou non prioritaire
ConvertisseurA/N
ConvertisseurN/A
x(t)
uuuu(nTnTnTnT(tttt)))))
ligne de transmission,ordonnancement de tâches...
u(t) = g(x(nT(t)))T(t)T(t)T(t)T(t)T(t)
transformée en z, tout va bien, etc.
Position du problème
Stabilisation d’un système via une commande de la forme :
u(t)=ud(tk) t∈ tk,tk+1[ ]
où ( ) est une suite strictement croissante : en général, tk
tk �=kT
,
Types de systèmes considérés
Linéaires :
Linéaires saturés :
Retour d’état (+simple) : u = Kx(t)
x� (t) = Ax(t) +Bud(tk)
x� (t) = Ax(t) +B sat�
ud(tk)�
3ème exemple (suite)
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Signaléchantillonné bloqué
(ici, à période constante)
Signal retardé par h(t) variable
Une idée intéressante…Mikheev et al. 88, Sobolev et al. 89. Aström et al. 92 .
Fridman, Seuret, Richard - Automatica 2004
3ème exemple (suite)
Re-formulation du problème
• influence de la période maxi d’échantillonnage h
• application du critère de E. Fridman
0 � h(t) �h
h� (t) � 1
3ème exemple (suite)
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Exemple 1 A = 1 0, 50 � 1
� �
, B = 1� 1
� �
h(t) � h = 0.69valeur limite ensimu (T=cte) : 0.7
Cas 1 :instable → glob. asympt. stable
3ème exemple (suite)
x� =1.1 � 0.60.5 � 1
� �
x++ 11
� �
sat(u(tk))
+ 5
� 5
sat(u)
u
En appliquant le théorème, on
détermine un gain K qui stabilise le
système pour tout échantillonnage de
période maximale h < 0.75.
Le volume de l'ellipse augmente quand
on diminue la valeur de h .
h=0.75=> K=[-1.7, 0.5]��
h(t) � h = 0.75
Cas 2 : saturation (stab. locale)
instable → local. as. stable
3ème exemple (suite)
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4ème exemple : Networked Control Systems
Thèses A. Seuret 2006 + Jiang 2009
Set value
Observer
ControllerImplementation
card
Sensors
GPS/NTP
h1
h2 Net
wor
k
Master Slave
Zero-Holder
Zero-Holder
τ1
τ2
GPS/NTP
• fixe la consigne• reçoit la sortie de Slave• observe l’état de Slave• calcule & envoie commande
• reçoit & applique commande• envoie la sortie mesurée
• Puissance de calcul limitée
Gain K
Gain L
buffer
buffer
connu grâce
au buffer
UDP
Retards de communication connus (avec retard)
Passage à l’expérimental + adaptation à la QdS disponible
MasterSlaveMiabot
SlavePC Bluetooth
(2m)
Internet
(40km)
Nighttimevs
Daytime
Internet: Bluetooth:120 ms
60 ms
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x 10ms
retardglobal
états
chatter+ obs.IC
α α α α = 1 α α α α = 3α α α α = 0
� buffer et gains K, L adaptés à la QdS
noter l’effet de prédicteur(compense le retard de réseau)
Généralités
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Classification
• systèmes de type retardé
• systèmes de type neutre
exemple 5Classification
• système de type neutre :ligne de transmission sans perte
+ conditions aux limites ( xxxx=0=0=0=0, LLLL) :
transformation de d’Alembert (v,i) �(φ,ψ) :
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exemple 6Classification
• système de type retardé :équation de transport
exemple 6 bisClassification
• système de type retardé :équation de transport
u(t,λ)λ
l
retard ponctuelretard distribué
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NB : la réalité est un peu plus compliquée...Classification
Exemple 7 : macro-modèle de réseau• modèle « par session » (ATM, TCP)
[Mascolo 99] � contrôle de congestion par prédicteur de Smith
Classification
� système de type retardé
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• Notion de solution• Condition de type Lipschitz• Cas où le retard peut s’annuler
Problème de Cauchy(existence de solution pour un SàR)
directbiblio
directformal.
directcommd.
directLyap..
Cauchy pb.
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21
Cauchy pb.
(donc, généralement, non-unicité de la réversion de trajectoire)
Cauchy pb.
(x (t) )
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Cauchy pb.
( xt
)
Stabilité
• Equilibre• Définition(s)• Théorèmes
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Stabilité : équilibre
Stabilité : définitions
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Rudolf Otto Sigismund Lipschitz(1832-1903) Allemand, professeur à l’Université de Bonn
Stabilité : cas linéaire stationnaire
Instable (et « dégénéré »)
Exemple 1:
Exemple 2:
Re(s)
Im(s)
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25
Méthode de Walton et Marshall (1987)Extrait de Borne, Dauphin, Richard, Rotella, ZambettakisAnalyse et régulation des processus industriels - Régulation continue. 495 pages, Edt. Technip 1993
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Stabilité : 1ère méthode de Liapounov« approximation des petits mouvements »
Stabilité : cas des retards faibles« approximation des petits retards »
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Stabilité : cas mono-retard faiblequantification d’un retard « faible » admissible
Un résultat de V.B. Kolmanovskii & Myshkis (1999)
Lyapunov for TDS
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Peut-on appliquer cette théorie « classique » des EDO ?
ODE :
Stabilité : méthode directe de Liapounov (1)
Cet exemple est un cas très particulier(BARAKA!)
Suite : Méthode « directe » de Liapounov
� besoin de méthodes dédiées :1) fonctions de Lyapunov-Razumikhin (pas ici)
2) fonctionnelles de Lyapunov-Krasovskii
(quadratique « usuelle »)
FDE :
termes croisés
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une illustration simplede la méthode de Lyapunov-Krasovskii
(quad + intégrale)
Lyapunov for TDS
-2(
Stabilité : méthode directe de Liapounov (1)
1) définitions
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Stabilité : méthode directe de Liapounov (2)
* « Fonctionnelle de Liapounov – Krasovskii »
*
(rappel…)
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Stabilité : méthode directe de Liapounov (3)
Fonctionnelles de Liapounov – Krasovskii particulières
Stabilité : méthode directe de Liapounov (4)
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2e généralisation :(descripteur)
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Cas des systèmes neutres (1)
Cas (particulier) des systèmes neutres (2)
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• FDEs (déjà présenté)
• Semi-groupes (opérateurs en dim. infinie)
• Géométrique (sur anneaux)
• Algébrique• 2D (systèmes neutres)
Formalismes
directbiblio
directformal.
directcommd.
directLyap..
Formalismes
4.0 FDEs(déja vu)
� très général (retards qcques, lin./non lin., ...)� commande par méthodes de type Lyapunov
(en linéaire ou non lin. de type polytopique)
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Formalismes
Formalismes
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Formalismes
Formalismes
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Formalismes
Formalismes
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• Conditions structurelles (existence)• Limite des méthodes « dim. finie »• Prédicteur de Smith, le principe• Quelques parallèles avec la prédiction...
• Conditions structurelles (existence)• Limite des méthodes « dim. finie »• Prédicteur de Smith, le principe
Commande
directbiblio
directformal.
directcommd.
directLyap..
Commande
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∃∃∃∃? commande u faisant passer l’état x(t0)=x0 en x(tf)=xf ?
Syst. dim. finie : état x(t0)=x0 à x(tf)=xfEn linéaire-stationnaire (principe de superposition OK) :- si ∃ u, indépendant de tf −t0 et : ce qui est possible en T l’est en T/100 (!)- si passage possible de x0 à xf , alors possible de xf à x0Ce n’est plus vrai non linéaire
Syst. dim. infinie : état = fonction xCe n’est plus vrai non plus, même en linéaire
tf
Exemple de propriété structurelle : COMMANDABILITECommande
Commande
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OK, c’est de l’existence...mais comment calculer cette commande ?
Commande
Commande
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Commande
Commande
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Commande
Commande
?
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Commande
� avec rétroaction
Commande
� problème de la robustesse...retard mal connu, non constant ?F mal connue, instable ? (cf. exemple suivant)
�MAIS...
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Commande
Commande
� construire l’ « avance » par l’intermédiaire du modèle ?
� une autre façon de voir le prédicteur de Smith...
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Commande
� plusieurs méthodes s’inspirant de ce principe
Commande
� par exemple (... transformation « d’Artstein »)
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Petite bibliographie• Richard et al. (2009) ISBN : 978-9973-0-0852-7 (385 pages)
Mathématiques pour l'Ingénieur
• Kolmanovski-Nosov (1986), Academic Press.
Stability of functional differential equations.
• Niculescu (2001), Springer
Delay effects on stability. LNCIS Vol. 269.
• Richard (2003), Automatica 39 (10), 1667-1694
TDS: An overview of some recent advances and open problems"
• Mounier-Richard (2003) Special issue Int. J. Syst.Sc. 34 (10-11)
Time delay systems for communication networks
• Fridman-Seuret-Richard (2004) Automatica 40 (8)
Robust sampled data stabilization of lin. syst.: an input delay approach