Systèmes à retardsresearchers.lille.inria.fr/~jrichard/pdfs/retards_SMaRT.pdf · (dégradation/amélioration par ajout de retard, modèle d ... Stabilisation d’un système via

J.P. Richard, « Système Dynamiques » - Master SMaRT Lille 1 & EC Lille, 2010-2011

1

Systèmes à retards

Jean-Pierre Richard

LAGIS – CNRS FRE 3303&

projet ALIEN – INRIA

Ecole de Printemps« Mathématiques pour la R&D »

Djerba, Tunisie, 22-25 mars 2009

http://chercheurs.lille.inria.fr/~jrichard

[email protected]

SMaRT 2010-2011Part 2

Retard : exemple classique

Modèles de type Strejć-Broïda pour la commande industrielle

� usage fréquent en génie des procédés

� approximation simple et générique

� commande PID ? ... marche mal si T > τ � prédicteur de Smith ou « GPID »

Exemple du GV LAGIS

T

chauffe+

transfert thermique


2

Retard : autre exemple classique

... un grand classique des TP d’automatique (Feedback)

T

PID ok

T


Pendule simulé, réseau réel Pendule réel, réseau réel

But : synchronisation d’un pendule esclave (Nantes) sur un pendule maître (Ensenada).yref supposée connue par les deux.Stratégie :1) buffers à 300ms = τ2) commande tq écart m/e régi par :

� commande causale

© Estrada-Garcia 2008

Thèse H.J. Estrada-Garcia 2008 (+Moog, Marquez-Martinez)

UDP



3

1) an applied topic,2) an already old topic

[Smith 1959],

but, also...

a contemporaryresearch topic

5 among the hottest 9

http://top25.sciencedirect.com/subject/engineering/12/journal/automatica/00051098/archive/29/

ELSEVIER AUTOMATICA Top 10 Cited (articles published in the last five years) Extracted from Scopus (on Sun Oct 31 20:08:05 GMT 2010)

• Network-based robust H ∞ control of systems with uncertainty 325Volume 41, Issue 6, 2005, Pp 999-1007Yue, D. | Han, Q.-L. | Lam, J.

• Delay-range-dependent stability for systems with ti me-varying delay 212Volume 43, Issue 2, 2007, Pp 371-376He, Y. | Wang, Q.-G. | Lin, C. | Wu, M.

• Delay-dependent stabilization of linear systems with time-varying state and input delays 181Volume 41, Issue 8, 2005, Pp 1405-1412Zhang, X.-M. | Wu, M. | She, J.-H. | He, Y.

• Stabilization of linear systems over networks with b ounded packet loss 156Volume 43, Issue 1, 2007, Pp 80-87Xiong, J. | Lam, J.

• Stability and L2-gain analysis for switched delay s ystems: A delay-dependent method 149Volume 42, Issue 10, 2006, Pp 1769-1774Sun, X.-M. | Zhao, J. | Hill, D.J.

• Bilateral teleoperation: An historical survey 148Volume 42, Issue 12, 2006, Pp 2035-2057Hokayem, P.F. | Spong, M.W.

• A new delay system approach to network-based contro l 139Volume 44, Issue 1, 2008, Pp 39-52Gao, H. | Chen, T. | Lam, J.

• Absolute stability of time-delay systems with secto r-bounded nonlinearity 132Volume 41, Issue 12, 2005, Pp 2171-2176Han, Q.-L.

• Robust integral sliding mode control for uncertain stochastic systems with time-varying delay 112Volume 41, Issue 5, 2005, Pp 873-880Niu, Y. | Ho, D.W.C. | Lam, J.

9 among thelast 5 years top 10 !


4

Much a do about delay ?

• problème appliqué (biblio : cf. Niculescu 01, Richard 03)

(ingénierie, télécom., temps réel, aéronautique, biologie, populations, etc.)

retard

• problème toujours ouvert dans de nombreux cas(bouclage, retards variables, retards inconnus, identification, etc.)

• problème de dim. infinie «le plus simple» (équations fonctionnelles = cas particulier des EDP )

• problème à surprises(dégradation/amélioration par ajout de retard, modèle d’échantillonnage, etc.)

hh

t

x

h

t

x

Plan du cours

- classification (et exemples 5, 6, 7...)

- problème de Cauchy- stabilité- formalismes (modèles)- commande (et commandabilité)- petite bibliographie

- motivations- 1er exemple (télé-op.) � notions de base (stabilité, état, dimension infinie)

- 2ème exemple : retard variable � contre-exemple

- 3ème exemple : échantillonnage asynchrone � intérêt

- 4ème exemple : Networked Control System (maître-esclave via réseau)

Particularités des SàR

Généralités mathématiques


5

Particularités

Un 1er exemple simple

moteurtension u angle mesuré xangle voulu

x = 0

+-

écart

ε = 0 – x


6

Un 1er exemple simple (suite)

moteur embarqué(satellite)

u angle mesuré x(t)angle vouluxc = 0

+-

ligne de com.� retard h/2

ligne de com.� retard h/2

angle transmis x(t-h/2)

ε

commandetransmise ε(t-h/2)

t

x

x0

0

?

?


t0

t1

t2 t3 t4 t6t5 t7 t8 t9 t10

+ influence de hhhh ?


7


à comparer avec (h=0) :



8

(parenthèse...)

le retard peut aussi avoir un effet stabilisant

≈

Retour au 1er exemple simple...

� notion d’ «état» ?variable XXXX(t) générant une solutionunique à partir de l’instant t


9


� notion d’ « état » ?variable XXXX(t) générant une solutionunique à partir de l’instant t

(notation de Shimanov, 1960)

fonction xt= état à l’instant t

vecteur x(t) = xt(0) solution à t

t

syst. dim. infinie

Re(s)

Im(s)


pôles?

syst. dim. infinieinf. pôles


10

Re(s)

Im(s)


critèrede

stabilité?

Hurwitz ok« retardé »

≠ « neutre »Re(Re(Re(Re(ssss))))


comportementfréquentiel ?

dim. infinie...phase ----∞∞∞∞

déphasage � ∞

+ - (BO)+ -

h

t

x

h

t

x(Bode, boucle ouv.)

log ω

gain

log ωphase

ϕ = −π/2−jhω


11

Un 1er exemple simple (fin!)

Résumons-nous...retard ⇒ forte influence sur la stabilité

état fonctionnelnombre de pôles infini (Hurwitz OK, Routh non)déphasage important ( � −∞ )

et, jusqu’ici, c’était assez simpleretard constantsystème linéaire « 1er ordre »

pareil pour retards variables h(t) ?un contre-exemple...

2ème (contre-)exemple à retard variable

1 π/2

et, pour h = cste ∈ [0,1] ssi (zone grise)

est asymptotiquement stable ssi (zone jaune) :

a

b

(T=1)

2

2

0

-2

-2

2

1

2

stable h(t)<1 - instable h=cte<1

instable h(t)<1 - stable h=cte<1

OK, mais ce type de h(t) est-il réaliste ? un autre exemple...

=1


12

Processus Continu

Calcul

ConvertisseurA/N

ConvertisseurN/A + Bo

x(t) x(nT)

u(t)=u

3ème exemple : échantillonnage apériodique

u*(nT)n

Processus Continu

Calculdéporté

ou non prioritaire

ConvertisseurA/N

ConvertisseurN/A

x(t)

uuuu(nTnTnTnT(tttt)))))

ligne de transmission,ordonnancement de tâches...

u(t) = g(x(nT(t)))T(t)T(t)T(t)T(t)T(t)

transformée en z, tout va bien, etc.

Position du problème

Stabilisation d’un système via une commande de la forme :

u(t)=ud(tk) t∈ tk,tk+1[ ]

où ( ) est une suite strictement croissante : en général, tk

tk �=kT

,

Types de systèmes considérés

Linéaires :

Linéaires saturés :

Retour d’état (+simple) : u = Kx(t)

x� (t) = Ax(t) +Bud(tk)

x� (t) = Ax(t) +B sat�

ud(tk)�

3ème exemple (suite)


13

Signaléchantillonné bloqué

(ici, à période constante)

Signal retardé par h(t) variable

Une idée intéressante…Mikheev et al. 88, Sobolev et al. 89. Aström et al. 92 .

Fridman, Seuret, Richard - Automatica 2004


Re-formulation du problème

• influence de la période maxi d’échantillonnage h

• application du critère de E. Fridman

0 � h(t) �h

h� (t) � 1



14

Exemple 1 A = 1 0, 50 � 1

� �

, B = 1� 1

� �

h(t) � h = 0.69valeur limite ensimu (T=cte) : 0.7

Cas 1 :instable → glob. asympt. stable


x� =1.1 � 0.60.5 � 1

� �

x++ 11

� �

sat(u(tk))

+ 5

� 5

sat(u)

u

En appliquant le théorème, on

détermine un gain K qui stabilise le

système pour tout échantillonnage de

période maximale h < 0.75.

Le volume de l'ellipse augmente quand

on diminue la valeur de h .

h=0.75=> K=[-1.7, 0.5]��

h(t) � h = 0.75

Cas 2 : saturation (stab. locale)

instable → local. as. stable



15

4ème exemple : Networked Control Systems

Thèses A. Seuret 2006 + Jiang 2009

Set value

Observer

ControllerImplementation

card

Sensors

GPS/NTP

h1

h2 Net

wor

k

Master Slave

Zero-Holder

Zero-Holder

τ1

τ2

GPS/NTP

• fixe la consigne• reçoit la sortie de Slave• observe l’état de Slave• calcule & envoie commande

• reçoit & applique commande• envoie la sortie mesurée

• Puissance de calcul limitée

Gain K

Gain L

buffer

buffer

connu grâce

au buffer

UDP

Retards de communication connus (avec retard)

Passage à l’expérimental + adaptation à la QdS disponible

MasterSlaveMiabot

SlavePC Bluetooth

(2m)

Internet

(40km)

Nighttimevs

Daytime

Internet: Bluetooth:120 ms

60 ms


16

x 10ms

retardglobal

états

chatter+ obs.IC

α α α α = 1 α α α α = 3α α α α = 0

� buffer et gains K, L adaptés à la QdS

noter l’effet de prédicteur(compense le retard de réseau)

Généralités


17

Classification

• systèmes de type retardé

• systèmes de type neutre

exemple 5Classification

• système de type neutre :ligne de transmission sans perte

+ conditions aux limites ( xxxx=0=0=0=0, LLLL) :

transformation de d’Alembert (v,i) �(φ,ψ) :


18

exemple 6Classification

• système de type retardé :équation de transport

exemple 6 bisClassification

• système de type retardé :équation de transport

u(t,λ)λ

l

retard ponctuelretard distribué


19

NB : la réalité est un peu plus compliquée...Classification

Exemple 7 : macro-modèle de réseau• modèle « par session » (ATM, TCP)

[Mascolo 99] � contrôle de congestion par prédicteur de Smith

Classification

� système de type retardé


20

• Notion de solution• Condition de type Lipschitz• Cas où le retard peut s’annuler

Problème de Cauchy(existence de solution pour un SàR)

directbiblio

directformal.

directcommd.

directLyap..

Cauchy pb.


21

Cauchy pb.

(donc, généralement, non-unicité de la réversion de trajectoire)

Cauchy pb.

(x (t) )


22

Cauchy pb.

( xt

)

Stabilité

• Equilibre• Définition(s)• Théorèmes


23

Stabilité : équilibre

Stabilité : définitions


24

Rudolf Otto Sigismund Lipschitz(1832-1903) Allemand, professeur à l’Université de Bonn

Stabilité : cas linéaire stationnaire

Instable (et « dégénéré »)

Exemple 1:

Exemple 2:

Re(s)

Im(s)


25

Méthode de Walton et Marshall (1987)Extrait de Borne, Dauphin, Richard, Rotella, ZambettakisAnalyse et régulation des processus industriels - Régulation continue. 495 pages, Edt. Technip 1993


26

est instable ;


27

Stabilité : 1ère méthode de Liapounov« approximation des petits mouvements »

Stabilité : cas des retards faibles« approximation des petits retards »


28

Stabilité : cas mono-retard faiblequantification d’un retard « faible » admissible

Un résultat de V.B. Kolmanovskii & Myshkis (1999)

Lyapunov for TDS


29

Peut-on appliquer cette théorie « classique » des EDO ?

ODE :

Stabilité : méthode directe de Liapounov (1)

Cet exemple est un cas très particulier(BARAKA!)

Suite : Méthode « directe » de Liapounov

� besoin de méthodes dédiées :1) fonctions de Lyapunov-Razumikhin (pas ici)

2) fonctionnelles de Lyapunov-Krasovskii

(quadratique « usuelle »)

FDE :

termes croisés


30

une illustration simplede la méthode de Lyapunov-Krasovskii

(quad + intégrale)

Lyapunov for TDS

-2(


1) définitions


31


* « Fonctionnelle de Liapounov – Krasovskii »

*

(rappel…)


32


Fonctionnelles de Liapounov – Krasovskii particulières



33

2e généralisation :(descripteur)


34

Cas des systèmes neutres (1)

Cas (particulier) des systèmes neutres (2)


35

• FDEs (déjà présenté)

• Semi-groupes (opérateurs en dim. infinie)

• Géométrique (sur anneaux)

• Algébrique• 2D (systèmes neutres)

Formalismes

directbiblio

directformal.

directcommd.

directLyap..

Formalismes

4.0 FDEs(déja vu)

� très général (retards qcques, lin./non lin., ...)� commande par méthodes de type Lyapunov

(en linéaire ou non lin. de type polytopique)


36

Formalismes

Formalismes


37

Formalismes

Formalismes


38

Formalismes

Formalismes


39

• Conditions structurelles (existence)• Limite des méthodes « dim. finie »• Prédicteur de Smith, le principe• Quelques parallèles avec la prédiction...

• Conditions structurelles (existence)• Limite des méthodes « dim. finie »• Prédicteur de Smith, le principe

Commande

directbiblio

directformal.

directcommd.

directLyap..

Commande


40

∃∃∃∃? commande u faisant passer l’état x(t0)=x0 en x(tf)=xf ?

Syst. dim. finie : état x(t0)=x0 à x(tf)=xfEn linéaire-stationnaire (principe de superposition OK) :- si ∃ u, indépendant de tf −t0 et : ce qui est possible en T l’est en T/100 (!)- si passage possible de x0 à xf , alors possible de xf à x0Ce n’est plus vrai non linéaire

Syst. dim. infinie : état = fonction xCe n’est plus vrai non plus, même en linéaire

tf

Exemple de propriété structurelle : COMMANDABILITECommande

Commande


41

OK, c’est de l’existence...mais comment calculer cette commande ?

Commande

Commande


42

Commande

Commande


43

Commande

Commande

?


44

Commande

� avec rétroaction

Commande

� problème de la robustesse...retard mal connu, non constant ?F mal connue, instable ? (cf. exemple suivant)

�MAIS...


45

Commande

Commande

� construire l’ « avance » par l’intermédiaire du modèle ?

� une autre façon de voir le prédicteur de Smith...


46

Commande

� plusieurs méthodes s’inspirant de ce principe

Commande

� par exemple (... transformation « d’Artstein »)


47

Petite bibliographie• Richard et al. (2009) ISBN : 978-9973-0-0852-7 (385 pages)

Mathématiques pour l'Ingénieur

• Kolmanovski-Nosov (1986), Academic Press.

Stability of functional differential equations.

• Niculescu (2001), Springer

Delay effects on stability. LNCIS Vol. 269.

• Richard (2003), Automatica 39 (10), 1667-1694

TDS: An overview of some recent advances and open problems"

• Mounier-Richard (2003) Special issue Int. J. Syst.Sc. 34 (10-11)

Time delay systems for communication networks

• Fridman-Seuret-Richard (2004) Automatica 40 (8)

Robust sampled data stabilization of lin. syst.: an input delay approach

Documents

Systèmes à retardsresearchers.lille.inria.fr/~jrichard/pdfs/retards_SMaRT.pdf · (dégradation/amélioration par ajout de retard, modèle d ... Stabilisation d’un système via