TD : Optimisation sous contraintes

Exercice 1 :

Trouver les maxima et minima sous contraintes pour les fonctions f et lescontraintes suivantes :

1. f(x, y) = 2 lnx + 3 ln y S.C. 5x + 10y = 20.

2. f(x, y) = x2y3 S.C. 5x + 10y = 20.

3. f(x, y) = 4x3 + y2 S.C. 2x2 + y2 = 1.

4. f(x, y) = x− 3y − 1 S.C. x2 + 3y2 = 16.

5. f(x, y) = ln(e−x + 3e−y) S.C. x + 3y = 10.

Exercice 2 :

Resoudre le probleme suivant en utilisant la methode par substitution puis lamethode du Lagrangien :

minx,y,z

xy + 2xy + 2yz

sous la contrainte : xyz = 32.

Exercice 3 :

Etudier les minima et maxima eventuels de la fonction suivante :

f(x, y) = xy

sous la contrainte x2 + y2 ≤ 1.

Exercice 4 :

Une entreprise produit un seul bien a partir de deux facteurs de production, lecapital et le travail. Les quantites de ces deux facteurs sont notees K et L et lafonction de production F (K,L) est supposee croissante par rapport a chacundes deux facteurs. F (K,L) represente la quantite produite lorsqu’une quantiteK du facteur capital et une quantite L du facteur travail sont utilisees.Notons C(K,L) le cout de production, w le cout d’une unite du facteur travail,et r le cout d’une unite du facteur capital. Le probleme de maximisation de laproduction s’ecrit :

max(K,L)∈R+×R+

F (K,L)

sous la contrainte :C(K,L) = wL + rK ≤ C0

En posant F (K,L) =√KL = K

12L

12 , resoudre le probleme de maximisation

sous contrainte.

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