L3 Algbre 2 20112012 : TD 2

Polynmes symtriques et fractions rationnelles

Exercice 1.crire en fonction des polynmes symtriques lmentaires les polynmes suivants.

1. P = X3Y+XY3 +X3Z + XZ3 +Y3Z + YZ3 ;

2. Q = X2Y2Z + XY2Z2 +X2YZ2 X2Y2 Y2Z2 X2Z2 2X2YZ 2XY2Z 2XYZ2.

Exercice 2. (Polynmes antisymtriques)Soit K un corps de caractristique 6= 2 et P K[X1, . . . ,Xn].

1. Montrer que les conditions suivantes sont quivalentes :

i) Pour tous i < j, P change de signe lorsquon change Xi et Xj .

ii) P = ()P, pour tout Sn, o () est la signature de la permutation .

On dit alors que le polynme P est antisymtrique.

2. Montrer que :=

i degQ, 0 si degP < degQ, et lequotient des coefficients dominants de P et Q si deg P = degQ), et que la compositiondes fractions rationnelles correspond la composition des fonctions.

7. Montrer que si L un corps algbriquement clos de caractristique nulle, la fonction fdfinie par une fraction rationnelle g/h (g, h L[X] premiers entre eux) est injective siet seulement si max(deg g,deg h) = 1.

8. En dduire que si K est de caractristique nulle, u : GL2(K) AutK(K(X)) est surjec-tive, et donc que AutK(K(X)) PGL2(K).

Exercice 5. (Thorme de Mason)

1. Soient A,B,C trois polynmes de C[X], non constants, premiers entre eux dans leurensemble tels que A+B = C, et soit m le nombre de racines distinctes de ABC. Montrer

que A(A

A C

C

)= B

(C

C B

B

). En dduire que max(degA,deg B,deg C) < m.

2. Soit n 3. Montrer quil nexiste pas de polynmes P,Q,R dans C[X], lun des trois aumoins tant non constant, tels que Pn +Qn = Rn sans que P,Q,R soient tous gaux (une constante prs) un mme polynme.

3. En dduire quil nexiste pas disomorphisme entre Frac(C[X,Y]/(Xn +Yn 1)) etC(T).

Exercice 6. (Sommes de Newton)Soit n dans N ; pour tout entier k dans N on dfinit la k-ime somme de Newton :

pk(X1, . . . ,Xn) = Xk1 + +X

kn Z[X1, . . . ,Xn].

Le but de lexercice est de dmontrer les formules de Newton :

pd +

d1i=1

(1)iipdi + (1)ddd = 0.

Fixons d > 0. Pour 2 i d, on pose

ri =

j1