L3 Algbre 2 20112012 : TD 2
Polynmes symtriques et fractions rationnelles
Exercice 1.crire en fonction des polynmes symtriques lmentaires
les polynmes suivants.
1. P = X3Y+XY3 +X3Z + XZ3 +Y3Z + YZ3 ;
2. Q = X2Y2Z + XY2Z2 +X2YZ2 X2Y2 Y2Z2 X2Z2 2X2YZ 2XY2Z
2XYZ2.
Exercice 2. (Polynmes antisymtriques)Soit K un corps de
caractristique 6= 2 et P K[X1, . . . ,Xn].
1. Montrer que les conditions suivantes sont quivalentes :
i) Pour tous i < j, P change de signe lorsquon change Xi et
Xj .
ii) P = ()P, pour tout Sn, o () est la signature de la
permutation .
On dit alors que le polynme P est antisymtrique.
2. Montrer que :=
i degQ, 0 si degP < degQ, et lequotient des coefficients
dominants de P et Q si deg P = degQ), et que la compositiondes
fractions rationnelles correspond la composition des fonctions.
7. Montrer que si L un corps algbriquement clos de
caractristique nulle, la fonction fdfinie par une fraction
rationnelle g/h (g, h L[X] premiers entre eux) est injective siet
seulement si max(deg g,deg h) = 1.
8. En dduire que si K est de caractristique nulle, u : GL2(K)
AutK(K(X)) est surjec-tive, et donc que AutK(K(X)) PGL2(K).
Exercice 5. (Thorme de Mason)
1. Soient A,B,C trois polynmes de C[X], non constants, premiers
entre eux dans leurensemble tels que A+B = C, et soit m le nombre
de racines distinctes de ABC. Montrer
que A(A
A C
C
)= B
(C
C B
B
). En dduire que max(degA,deg B,deg C) < m.
2. Soit n 3. Montrer quil nexiste pas de polynmes P,Q,R dans
C[X], lun des trois aumoins tant non constant, tels que Pn +Qn = Rn
sans que P,Q,R soient tous gaux (une constante prs) un mme
polynme.
3. En dduire quil nexiste pas disomorphisme entre
Frac(C[X,Y]/(Xn +Yn 1)) etC(T).
Exercice 6. (Sommes de Newton)Soit n dans N ; pour tout entier k
dans N on dfinit la k-ime somme de Newton :
pk(X1, . . . ,Xn) = Xk1 + +X
kn Z[X1, . . . ,Xn].
Le but de lexercice est de dmontrer les formules de Newton :
pd +
d1i=1
(1)iipdi + (1)ddd = 0.
Fixons d > 0. Pour 2 i d, on pose
ri =
j1
