UNIVERSITE DE MONTRÉAL
SOLUTION DU PROBLÈME GÉOMÉTRIQUE DIRECT DES MANIPULATEURS
STAR
SAYD MAMDOUH
DÉPARTEMENT DE GÉNIE MÉCANIQUE
ÉCOLE POLYTECHNIQUE DE MONTRÉAL
MÉMOIRE PRÉSENTÉ EN VUE DE L’OBTENTION
DU DIPLÔME DE MAITRISE ÈS SCIENCES APPLIQUÉES
(GÉNIE MÉCANIQUE)
UNIVERSITE DE MONTRÉAL
ÉCOLE POLYTECHNIQUE DE MONTRÉAL
Ce mémoire intitulé :
SOLUTION DU PROBLÉME GÉOMÉTRIQUE DIRECT DES
MANIPULATEURS DE TOPOLOGIE STAR
Présenté par : Sayd Mamdouh
En vue de l’obtention du diplôme de : Maîtrise ès sciences appliquées
REMERCIEMENTS
Je suis redevable aux professeurs Luc Baron et Christian Mascle, qui ont supervisé mes
travaux de recherche, pour leur patience durant les longues heures de discussion, leurs
suggestions stimulantes, leur excellent encadrement et le soutien permanent qu’il m’ont
apporté durant toute la période de recherche.
Je tiens à exprimer ma reconnaissance à l’École Polytechnique de Montréal pour leur
aide financière.
Je veux aussi remercier mes parents, ma famille pour leur patience et leur encouragement
RÉSUMÉ
Ce mémoire présente les différentes méthodes de la résolution du problème géométrique
direct MGD des manipulateurs parallèles de topologie 3PRPcR et STAR. L’objectif
général de ce mémoire est de démontrer que le nombre de solutions du MGD dépend des
paramètres géométriques du manipulateur et qu’il est possible d’en avoir plus que deux.
Le premier chapitre de ce mémoire présente les définitions de base et les notions
générales nécessaires à la compréhension des chapitres suivants. Par la suite, une étude
cinématique sur les manipulateurs de topologie 3PRPcR. Cette étude comporte, la
solution du problème géométrique inverse MGI, la détermination de la matrice
jacobienne ainsi que son utilisation pour la résolution numérique du MGD, la
présentation d’une méthode algébrique pour la solution du MGD et finalement, des
exemples numériques. Le chapitre 3 traite une étude cinématique sur toutes les
géométries des manipulateurs de topologie STAR. Cette étude contient, la solution du
MGI, la détermination de la matrice jacobienne, la formulation des équations
mathématiques décrivant le MGD et finalement des exemples numériques illustrants
l’application de la matrice jacobienne pour la résolution du MGD. Le chapitre 4 présente
une méthode numérique permettant la solution du MGD, ainsi que des exemples
numériques pour la validation de cette méthode. Ces exemples numériques porteront sur
plusieurs géométries des manipulateurs de la famille STAR. On va également extraire
une règle empirique sur le nombre de solutions du MGD en fonction des paramètres
géométriques du manipulateur.
ABSTRACT
This thesis presents the differents ways to resolve the direct kinematic of the 3PRPcR and
the STAR-like topology. The principal goal of this work is to demonstrate that the
3PRPcR can’t have more than tow solutions of the DK problem, and also to demonstrate
that the STAR can have more than two assembly modes. The first chapter of this memory
presents the basic definitions and the general notions necessary to comprehension of the
following chapters. Thereafter, a kinematic study on the 3PRPcR manipulators. This
study includes
• the solution of the inverse kinematic problem;
• the determination of the jacobian matrix;
• the numerical resolution of the DK problem based on the jacobian matrix;
• the algebraic solution of the DK;
• And finally, some numerical examples.
The third chapter contains a kinematic study for all the STAR-like topology. It includes
the first, second, third and fifth points of the chapter 1. Adding to that, it contains the
algebraic formulation which describes the mathematical equations of the DK problem.
The chapter 4 presents a graphical method to resolve the DK for the all STAR-like
topology, and some numerical examples. This method allows us to find all of the points
solutions and then all of the STAR assembly modes.
TABLE DES MATIÈRES
REMERCIEMENTS
RÉSUMÉ
ABSTRACT
TABLE DES MATIÈRES
LISTE DES TABLEEAUX
LISTE DES FIGURES
LISTE DES NOTATIONS ET DES SYMBOLES
INTRODUCTION
CHAPITRE 1 GÉNÉRALITÉS
1.1 Définitions
1.1.1 Chaîne cinématique
1.1.2 Manipulateur sériel et parallèle
1.1.3 Degré de liberté
1.1.4 Modèle géométrique
1.1.5 Espace de travail
1.1.6 Matrice jacobienne et singularité
1.1.7 Topologie et paramètres géométriques
1.1.8 Configurations
1.1.9 Synthèse géométrique
1.1.10 Mode d’assemblage
1.2 Travaux Précédents
1.3 Sujet de recherche
CHAPITRE 2 MGD DES MANIPULATEURS 3PRPcR
2.1 Définition du problème
2.2 Modélisation mathématique
2.3 Interprétation géométrique
2.4 Solution algébrique du problème
2.5 Exemples numériques
2.6 Solution numérique du problème
2.6.1 Matrice jacobienne
2.6.2 Algorithme de résolution
2.6.3 Exemple numérique
CHAPITRE 3 MGD DES MANIPULATEURS STAR
3.1 Définition du problème
3.2 Modélisation mathématique
3.3 Interprétation géométrique
3.4 Méthode de résolution
3.4.1 MGI
3.4.2 Equation algébrique de l’intersection des surfaces S1 avec S2 et S3
3.4.3 Solutions du MGD
3.4.5 Exemples numériques
3.4.6 Configurations du manipulateur
3.5 Conclusion
3.6 Solution numérique du problème en utilisant la matrice jacobienne
3.6.1 Matrice jacobienne
3.6.2 Algorithme de résolution
3.6.3 Exemple numérique
CHAPITRE 4 Solution graphique du MGD pour les STAR et exemples numériques
4.1 Solution du MGD pour un manipulateur YSTAR
4.1.1 Géométrie 1
4.1.2 Géométrie 2
4.2 Solution du MGD pour un manipulateur STAR
4.2.1 Géométrie à axes perpendiculaires
4.2.2 Géométrie à axes parallèles
CONCLUSION
LISTE DES NOTATIONS ET DES SYMBOLS
MS : Manipulateur sériel.
MP : Manipulateur parallèle.
DDL : Degré de liberté.
MGD : Modèle géométrique direct.
MGI : Modèle géométrique inverse.
J : Matrice Jacobienne.
Ei : Centre du curseur i.
Bi : Centre du guide parallèle au curseur i.
A : Système d’axes de référence fixé sur la base.
B : Système d’axes fixé sur la plate-forme mobile.
p : Vecteur position de l’origine de B dans A.
qi : Vecteur déplacement de l’écrou i par rapport à sa position initiale.
ai0 : Vecteur position de Ai dans A.
ai : Vecteur position de Ei dans A.
θi : Angle de rotation du moteur i dans le cas des manipulateurs STAR.
vi : Vecteur position de l’écrou i à l’état initiale du manipulateur.
mi : Vecteur membrure reliant l’écrou au curseur.
bi : Vecteur position de Bi par rapport à B.
αi, βi : Paramètre géométriques de la base du manipulateur [32].
γi, φi : Paramètres géométriques de l’effecteur du manipulateur [24].
CA : Coordonnées articulaires.
CS : Coordonnées cartésiennes.
Rx(θ) : Matrice carrée d’ordre 3*3 exprimant la rotation autour de l’axe x par
l’angle θ et s’exprime tel que
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
θθθ−θ=θ
cossin
sincos)(
0
0
001
xR .
Ry(θ) : Matrice carrée d’ordre 3*3 exprimant la rotation autour de l’axe y par
l’angle θ et s’exprime tel que
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
θθ−
θθ=θ
cossin
sincos
)(
0
010
0
yR .
Rz(θ) : Matrice carrée d’ordre 3*3 exprimant la rotation autour de l’axe z par
l’angle θ et s’exprime tel que :
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
θθθ−θ
=θ100
0
0
cossin
sincos
)(z
R .
i : Vecteur unitaire tel que i = [1 0 0]T.
j : Vecteur unitaire tel que j = [0 1 0]T.
k : Vecteur unitaire tel que k = [0 0 1]T.
LISTE DES TABLEAUX
Tableau 1.1 : Différents types de singularités dans les MP
Tableau 1.2 : Couples cinématiques inférieurs
Tableau 2.1 : Solution du MGD et nombre d’itérations pour MP1 en fonction de
l’erreur et du point de départ de la boucle
Tableau 3.1 : Solutions du MGD et nombre d’itérations pour MP2 en fonction de
l’erreur et du point de départ de la boucle
Tableau 4.1 : Les huit solutions du MGD pour MP3
Tableau 4.2 : Vérification numérique des solutions du MGD pour MP3 avec la
méthode du MGI
Tableau 4.4 : Vérification numérique des solutions du MGD pour MP4 avec la
méthode du MGI
Tableau 4.3 : Les douze solution du MGD pour MP4
LISTE DES FIGURES
Figure 1.1: Manipulateur sériel PUMA
Figure 1.2: Manipulateurs parallèles à 6 ddl avec trois chaînes
Figure 1.3: Relation entre l’espace articulaire et l’espace des coordonnées
cartésiennes de l’effecteur
Figure 1.4: Manipulateur parallèle Gough
Figure 1.5: Plate-forme de Gough améliorée
Figure 1.6: Manipulateur parallèle HEXA
Figure 1.7:
Figure 1.8: Le robot plan 3-RPR
Figure 1.9: Les deux modes d’assemblages possibles pour un manipulateur
parallèle plan
Figure 1.10: Manipulateur parallèle DELTA
Figure 1.11: Différentes solutions du MGD pour le DELTA
Figure 1.12: Manipulateur parallèle MANTA
Figure 1.13 : Solutions du MGD pour le MANTA
Figure 1.14: Solutions du MGD pour la plate forme de STEWART-
GOUGH
Figure 2.1 : Manipulateur parallèle 3PRPcR et ses composantes principales
Figure 2.2 : Paramètres géométriques de la base pour les manipulateurs 3PRPcR
Figure 2.3 : Boucle cinématique d’une jambe d’un manipulateur 3PRPcR
Figure 2.4 : Configuration initiale du manipulateur MP1
Figure 2.5 : Première solution du MGD pour MP1
Figure 2.6 : Deuxième solution du MGD pour MP1
Figure 2.7 : Évolution de l’erreur en fonction du nombre d’itérations pour MP1
Figure 3.1 : Manipulateur parallèle YSTAR
Figure 3.2 : Paramètres γi et φi
Figure 3.3 : Évolution de l’erreur en fonction du nombre d’itérations pour MP2
Figure 4.1 : Surfaces décrites par les points Bi pour MP3
Figure 4.2 : Surfaces Sui représentant les surfaces décrites pas les points Bi
translatées par les grandeurs bi pour MP3
Figure 4.3 : Courbes d’intersection des surfaces Su1 avec Su2 et Su1 avec Su3,
ainsi que les points solution du MGD pour MP3
Figure 4.4 : Organigramme de la vérification numérique des solutions du MGD
par le MGI
Figure 4.5 : Configuration initiale du manipulateur du MP4
Figure 4.6 : Première configuration du MGD pour MP4
Figure 4.7 : Deuxième configuration du MGD pour MP4
Figure 4.8 : Troisième configuration du MGD pour MP4
Figure 4.9 : Quatrième configuration du MGD pour MP4
Figure 4.10 : Cinquième configuration du MGD pour MP4
Figure 4.9 : Quatrième configuration du MGD pour MP4
Figure 4.11 : Sixième configuration du MGD pour MP4
Figure 4.12 : Septième configuration du MGD pour MP4
Figure 4.13 : Huitième configuration du MGD pour MP4
Figure 4.14 : Configuration 9 du MGD pour MP4
Figure 4.15 : Configuration 10 du MGD pour MP4
Figure 4.15 : Configuration 11 du MGD pour MP4
Figure 4.16 : Configuration 12 du MGD pour MP4
Figure 4.17 : Configuration 1 du MGD pour MP5
Figure 4.18 : Configuration 2 du MGD pour MP5
Figure 4.19 : Configuration 3 du MGD pour MP5
Figure 4.20 : Configuration 4 du MGD pour MP5
Figure 4.21 : Configuration 5 du MGD pour MP5
Figure 4.22 : Configuration 6 du MGD pour MP5
Figure 4.23 : Configuration 7 du MGD pour MP5
Figure 4.24 : Configuration 8 du MGD pour MP5
INTRODUCTION
La plupart des manipulateurs existants actuellement sont des robots sérielles qui
sont composés d’une chaîne cinématique ouverte. Ces manipulateurs sont
capables d’atteindre un grand espace de travail, mais ne peuvent garantir une
grande précision quand à la position et l’orientation de son organe terminal. En
effet, les erreurs de positionnement et d’orientation s’additionnent de la base à
l’effecteur. Les manipulateurs sériels présentent aussi l’inconvénient d’un faible
rapport charge/poids par rapport à l’unité (de l’ordre de 1/35 pour les robots
électriques [1]). En effet, en plus du poids des membrures, s’ajoute le poids des
moteurs qui sont placés au niveau des articulations. D’un autre coté, ces
manipulateurs présentent des faiblesses au niveau de la rigidité, vu que les
membrures supportent le poids des moteurs qui entraîne une déformation en
flexion. Les manipulateurs sériels ne devraient donc pas être conçus pour des
applications nécessitants une grande vitesse, une grande rigidité et charge. À cet
effet, une autre classe de manipulateurs a vu le jour qui est les manipulateurs
parallèles. Ces manipulateurs jouissent d’une grande précision, rigidité et rapport
charge/poids [2]. En effet, les membrures ne supportent pas le poids des moteurs
ce qui améliore la rigidité et la précision. En plus, et grâce à leur chaîne
cinématique fermée, les erreurs de positionnement et d’orientation ne
s’additionnent pas mais s’annulent. La première architecture des manipulateurs
parallèles fut naître en 1947 par Gough [3], [4] qui consistait en un manipulateur
à 6 degrés de libertés servant à orienter et positionner une plate forme pour tester
des pneus. En 1965, Stewart [5] s’est inspiré de l’architecture de Gough pour
concevoir un mécanisme semblable actionné pas six vérins linéaires et dont le
but était de simuler le vol d’un avion. Le problème géométrique direct MGD (
[6] - [18]) consiste à déterminer la position et l’orientation de l’organe terminal
connaissant les coordonnées articulaires. Ce problème est en général très
compliqué à résoudre pour les manipulateurs parallèles. En effet, la modélisation
mathématique mène en général à un système d’équations non linéaires ce qui
correspond géométriquement à l’intersection de n surfaces complexes. La
méthode la plus connue pour la résolution du MGD pour les MP consiste à
transformer le système d’équations en un polynôme mono-variable [19], ce qui
permet de déduire le nombre de solutions maximal ainsi que les modes
d’assemblages. À titre d’exemples, dans le cas des manipulateurs parallèles
plans, Freudenstein [20] a confirmé que le nombre de modes d’assemblages est
fini et que le problème géométrique direct peut se mettre sous forme d’un
polynôme mono-variable. La plupart des chercheurs se sont limités à la
résolution numérique [21], [22] à cause de la complexité du problème. D’autres
méthodes numériques se basant surtout sur la matrice jacobienne ont été étudiées
par des chercheurs durant les dernières décennies. Ces méthodes présentent
l’inconvénient qu’elles ne permettent pas de déterminer toutes les solutions ainsi
que les modes d’assemblage. Aussi des techniques graphiques ou semi
graphiques [23], [24] ont été utilisées à ce but. Le travail de ce mémoire présente
plusieurs méthodes de résolution du MGD pour deux topologies de MP qui sont
le 3PRPcR est le STAR. Cependant, on va utiliser la méthode du polynôme
mono-variable pour résoudre algébriquement le MGD pour les 3PRPcR. En plus,
on va utiliser la méthode de la matrice jacobienne pour résoudre numériquement
le MGD pour les deux topologies. Finalement, on va se servir d’une méthode
graphique pour les STAR.
CHAPITRE 1
GÉNÉRALITÉS
Ce chapitre introduit les notions et définitions de base de robotique permettant la
compréhension des chapitres suivants.
1.1 Les manipulateurs sériels
Un manipulateur sériel se compose d’un ensemble de membrures montées en série et
reliées par des liaisons prismatiques, rotoïdes ou des combinaisons de celles ci,
comme le montre la figure 1.1. Ces manipulateurs possèdent un grand espace de
travail. D’un autre coté, à cause de leur structure en porte-à-faux, ils souffrent d’une
faible rigidité et de faibles performances dynamiques. Pour les manipulateurs
sériels, le problème géométrique direct est simple à résoudre. Par contre, le
problème géométrique inverse est souvent compliqué à résoudre sauf dans le cas où
la géométrie du manipulateur est telle que les degrés de liberté de rotation sont
découplés des degrés de liberté de translation, dans ce cas, le problème géométrique
inverse peut être résolu explicitement .
Figure 1.1: Manipulateur sériel PUMA
1.2 Manipulateurs parallèles
Un manipulateur parallèle est un mécanisme à chaîne cinématique fermée, composé
d’un organe terminal possédant n degrés de liberté, souvent appelé ``plate-forme``,
d’une base fixe et de plusieurs sous chaînes cinématiques indépendantes reliant
cette dernière à la plate forme. Chaque sous-chaîne se compose de segments
articulées et motorisée par un actionneur à un degré de liberté qui peut être linéaire
(prismatique) ou rotatif (rotoïde). La figure 1.2 montre un manipulateur à 6 degrés
de liberté, pour lequel la plate-forme mobile est reliée à la base par l'intermédiaire de
3 pattes constituée chacune d'un mécanisme à 5 barres. Pour chacune des pattes, les
deux membrures proximales du parallélogramme sont montées sur la structure en
utilisant des articulations de type rotoïde, procurant deux degrés de liberté. De plus,
chaque patte possède un mouvement de rotation autour d'un axe vertical passant par
le point d'attache de cette patte à la base, ce qui procure un troisième degré de liberté
pour la patte. Cette dernière rotation inclut également les points d'attache des
ressorts à la base de telle sorte que, qu’elles que soit la configuration de la plate-
forme mobile, les ressorts sont toujours situées dans le plan du parallélogramme.
Finalement, la membrure distale de chaque patte est reliée à la plate-forme mobile
par l'intermédiaire d'une articulation sphérique. Étant donné que six des articulations
rotoïdes sont actionnées, en l'occurrence deux articulations par patte, le manipulateur
parallèle possède donc 6 degrés de liberté.
Figure 1.2: Manipulateur parallèle à 6 ddl avec trois chaînes
Les manipulateurs parallèles jouissent :
• d’une excellente rigidité structurelle. Aussi la possibilité de déporter les
actionneurs vers la base du manipulateur permet d’envisager des actionneurs
plus puissants puisque ceux-ci n’ont plus à être déplacés par le manipulateur
lui même mais sont fixés en général à la base.
• D’une excellente précision de positionnement.
• D’un problème géométrique inverse simple à résoudre.
En contrepartie, l’espace de travail de ces manipulateurs est réduit et le problème
géométrique direct est en général très difficile à résoudre. Ce dernier conduit, en fait
à un système d’équations non linéaires et couplées.
1.3 Modèle géométrique
Désignons par
q ≡ [q1…………qm]T
le vecteur des cordonnées articulaires (CA) d’un manipulateur à n degrés de liberté,
ainsi que
x ≡ [x1…………xn]T
les coordonnées cartésiennes (CC) de son Ef . Le modèle géométrique inverse (MGI)
et tel que montré à la figure 1.3 consiste à déterminer les (CA) connaissant les (CC).
Le modèle géométrique direct (MGD) consiste à déterminer les (CC) pour des (CA)
connus.
Figure 1.3:Relation entre l’espace articulaire et l’espace des coordonnées
cartésiennes de l’effecteur
1.4 Matrice jacobienne et singularité
La matrice jacobienne exprime la relation entre les vitesses articulaires et le torseur
de vitesse t ≡ [vT wT] T de l’effecteur, où vT et wT sont respectivement le vecteur
vitesse de l’origine et le vecteur vitesse angulaire du référentiel lié à l’effecteur.
En général, cette relation s’exprime par :
.
qBAt = (1.1)
où A est la matrice jacobienne parallèle et B est la matrice jacobienne sérielle. Dans
le cas des MS, A est toujours la matrice identité. L’équation 1.1 s’écrit alors
Espace Articulaire q
Coordonnées Cartésiennes x
MGD
MGI
.
qBt = (1.2)
Dans le cas des manipulateurs pleinement parallèle, B est diagonale. B est inversible
si les éléments de la diagonale ne sont pas nuls. Ainsi l’équation 1.1 devient
AtBq.
1−= (1.3)
Des configurations singulières [25]-[28] apparaissent lorsque le DDL de l’effecteur
est différent de la dimension de l’espace de travail auquel il évolue [29]. Gosselin et
Angeles [30] ont montré que les singularités des chaînes cinématiques fermées
peuvent être divisées en trois groupes principaux. Leur méthode est basée sur la
détermination des racines du déterminant des deux matrices jacobiennes sérielle et
parallèle. Le tableau 1.1 résume les différents types de singularités dans les MP.
Type de singularité Équation Caractéristiques
Parallèle Det (A)=0 L’organe terminal peut se déplacer
tout en fixant les coordonnées
articulaires
Sérielle Det (B)=0 L’organe terminal ne peut pas se
déplacer même si on change les
coordonnées articulaires
Parallèle/Sérielle Det(A)=0
et
Det (B)=0
Il est possible de déplacer l’organe
terminal en fixant les coordonnées
articulaires et inversement.
Structurelle Le MGD admet une infinité de
solutions
Tableau 1.1 : Différents types de singularités dans les MP
1.5 Mode d’assemblage
La notion du mode d’assemblage est associée aux différentes solutions du MGD.
Pour les MS, il existe toujours une seule solution au MGD, et donc un seul un mode
d’assemblage. Par contre les MP peuvent posséder plusieurs modes d’assemblage
[31] dépendamment du nombre des solutions du MGD.
1.6 Mode opératoire
La notion du mode opératoire est associée aux différentes solutions du MGI.
Contrairement au MGD, les MS peuvent avoir plusieurs modes opératoires. À titre
d’exemple, un RR plan possède deux modes opératoires. Pour les manipulateurs
pleinement parallèles, la matrice jacobienne parallèle est diagonale et chaque
élément de la matrice est associé à une jambe. Un mode opératoire correspond aux
différentes configurations où les termes Bii gardent le même signe sans s’annuler.
Ainsi, un manipulateur ayant n jambes possède 2n modes opératoires.
1.7 Travaux précédents
Le but de ce paragraphe est de présenter un tour d'horizon des robots parallèles les
plus répandus, ainsi que différents travaux concernant le MGD pour les MP. La
description de ces robots est complexe car il est difficile de les représenter à l'aide
des outils normalisés utilisés dans le domaine mécanique. En effet, les symboles de
liaisons utilisés dans les schémas cinématiques sont bien adaptés pour les
mécanismes plans, mais leur mise en oeuvre est fastidieuse pour la représentation de
mécanismes spatiaux. Afin d'aider à la compréhension de cette présentation, nous
utiliserons les graphes d'agencement. Chaque pièce rigide ou assemblage rigide de
pièces est représenté par un trait. Les liaisons entre ces pièces sont représentées par
des rectangles dont la lettre inscrite correspond à la nature de la liaison. La tableau
1.2 explique les notations adoptées.
Représentation Nom de la liaison Liaison passive Liaison motorisée
Rotoïde (pivot) R R
Prismatique (glissière) P P
Universelle (cardan) U
Sphérique (rotule) S
Tableau 1.2 : Couples cinématiques inférieurs
Même si les bases mathématiques (géométrie de Grassman) utilisées dans cette
discipline remontent au XIXème siècle, les premiers mécanismes parallèles ont
moins de 50 ans. Le premier mécanisme parallèle est attribué à Gough. Il était
destiné à tester le comportement de pneumatiques. La plate-forme mobile de ce
mécanisme possède 6 degrés de liberté (les trois translations et les trois rotations de
l'espace). La nacelle (partie mobile) est reliée à la base (partie fixe) à l'aide de 6
pattes identiques. Chacune de ces pattes est connectée, d'une part à la base par un
joint de cardan et d'autre part à la nacelle par une liaison rotule. La longueur de
chacune des pattes est modifiée à l'aide d'un vérin. Plusieurs robots reposant sur ce
principe ont été proposés. Les variations par rapport à la plate-forme originale sont
liées à la position des points d'ancrage des pattes sur la base et sur la nacelle. Ce type
d'architecture est toujours d'actualité et nous pouvons citer, par exemple, les robots
F-100 et F-200i actuellement commercialisés par la société Fanuc.
Figure 1.4: Manipulateur parallel Gough
Ce principe, légèrement modifié (Figure I-3), a été repris en 1965 par Stewart pour
réaliser un simulateur de vol à 6 degrés de liberté. Cependant, de par l'architecture
retenue, nous constatons que l'objectif de la réduction des masses en mouvement
n'est pas pleinement atteint. Les plates-formes de Gough et de Stewart, souvent
appelées abusivement toutes deux " plate-forme de Stewart ", possèdent des
actionneurs mobiles et par conséquent une dynamique réduite, bien que déjà
meilleure que celle des robots série.
Figure 1.5: Plate-forme de Gough améliorée
Pour améliorer la dynamique de la plate-forme de Gough, l'idée est d'intervertir les
liaisons glissière et cardan en utilisant des barres de longueur fixe donc plus légères.
Les actionneurs sont alors disposés sur la base. Cela aboutit au prototype " main
gauche " développé à l'INRIA par Jean-Pierre Merlet. Ce robot, dont la plate-forme
mobile possède également 6 degrés de liberté , est constitué de 6 actionneurs
linéaires reliés chacun à une barre de longueur fixe par un joint de cardan. La
deuxième extrémité de ces barres est en liaison rotule par rapport à la nacelle.
L'organe terminal (nacelle) des robots que nous venons de présenter possède 6
degrés de liberté (3 translations et 3 rotations). Or, certaines tâches robotiques
n'utilisent pas la totalité de ces 6 degrés de liberté. Par exemple, les tâches de pick
and place nécessitent 3 degrés de liberté en translation (4 degrés de liberté pour du
pick and place avec orientation).
Le robot Delta, créé à l'Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne répond à ce
besoin. Les mouvements de l'organe terminal de ce robot sont les 3 translations.
L'apparition de cette structure ultra-légère a apporté un renouveau au domaine de la
robotique parallèle. Plusieurs déclinaisons de ce robot sont possibles. La
motorisation de ce robot peut être réalisée à l'aide d'actionneurs linéaires ou rotatifs.
· Les barres reliant les moteurs à la nacelle peuvent être du type doubles barres de
même longueur montées sur rotule à chacune de leurs extrémités (ou cardan à une
extrémité, rotule à l'autre) ou simples barres possédant une liaison cardan à chacune
de leurs extrémités. Dans ce cas, une condition géométrique régit la position des
axes des cardans afin d'obtenir les mouvements de translation de la nacelle. Pour les
architectures à base d'actionneurs rotatifs, on peut ajouter un mouvement de rotation
de l'organe terminal. Dans ce cas, l'actionneur est localisé sur la base afin de ne pas
pénaliser la dynamique de l'ensemble. Le mouvement est transmis à l'organe
terminal par une chaîne passive. En1991, François Pierrot propose une évolution du
concept 3 axes du robot Delta vers un concept 6 axes. Ses travaux ont débouché sur
la création du robot Hexa. Il est composé de 6 actionneurs rotatifs reliés chacun par
une liaison rotule à une barre de longueur fixe. Chacune de ces barres est reliée à la
nacelle par une liaison rotule. Tout comme le robot Delta, il s'agit d'un robot léger,
donc rapide.
Figure 1.6:
Figure 1.7: Manipulateur parallèle HEXA
Le MGD est réputé pour être difficile à résoudre pour les manipulateurs parallèles
voire impossible à évaluer. Ils comptent jusqu’à 40 solutions complexes desquelles
on peut en dénombrer jusqu’à 24 réelles. La technique de modélisation proposée par
Lazard and Faugeres consiste à rédiger un système polynomial de neuf équations
quadratiques avec neuf variables. On applique ensuite les techniques de traitement
des polynômes selon les bases de Gröbner réalisées par Faugeres. Ensuite, le
système polynomial est transformé en un polynôme monovarié selon les techniques
développées par Rouillier. La dernière étape est l’isolation des racines réelles selon
d’autres techniques proposées par Rouillier.
Une version modifiée de la méthode de résolution de Faugère and lazard a été
utilisée pour résoudre le MGD pour un robot parallèle plan. Tout robot parallèle peut
être considéré comme un mécanisme à quatre barres (voir fig. 3). Ce qui mène à 12
solutions complexes et 2 solutions réelles dans notre cas étudié.
Figure 1.8: Le robot plan 3-RPR
Figure 1.9: Les deux modes d’assemblages possibles pour un manipulateur parallèle plan
Le manipulateur DELTA est un robot en translation pure grâce à des avant bras avec
des parallélogrammes.
Figure 1.10: Manipulateur parallèle DELTA
Figure 1.11: Différentes solutions du MGD pour le DELTA
Le Manta linéaire (par Rolland) est un mécanisme constitué de 3 chaînes principales.
Chacune est doté de deux parties : l’axe linéaire de l’actionneur et la barre fixe.
Figure 1.12: Manipulateur parallèle MANTA
Figure 1.13 : Différentes solution du MGD pour le MANTA
Pour la plate-forme de Gough, on trouve huit solutions au problème du MGD dont
les postures sont représentées à la figure 1.14.
Figure 1.14: Différents solution du MGD pour la plate forme de STEWART-
GOUGH
1.8 Sujet de recherche
Ce mémoire traite de la solution algébrique du problème géométrique direct des
manipulateurs parallèles de topologie 3PRPcR et STAR. En premier lieu, on traite la
solution et la modélisation du problème géométrique direct des manipulateurs de
topologie 3PRPcR. On démontrera par la suite que le MGD des 3PRPcR revient à
résoudre l’intersection de trois sphères centrées sur les centres des écrous et décalées
d’un facteur déplacement bi. Par la suite, on s’intéressera à la modélisation
mathématique du MGD pour les manipulateurs STAR. Ceci va nous permettre de
conclure que le MGD revient à résoudre un système de six équations non linéaires à
six inconnus. On démontrera également que géométriquement, ce problème équivaut
à déterminer l’intersection de trois surfaces hélicoïdales méridiennes cycliques dont
on va établir la paramétrisation. Dans ce mémoire, on va aussi établir les matrices
jacobiennes sérielles et parallèles des deux topologies. Ceci va nous permettre de
résoudre le MGD en utilisant l’algorithme de Newton. Finalement, on va présenter
une méthode graphique en utilisant le logiciel CATIA doté d’un atelier de
conception surfacique. Pour illustrer les différentes méthodes de résolution, on va
présenter des exemples numériques dont les résultats seront vérifiés numériquement
à l’aide du MGI et géométriquement.
CHAPITRE 2
MGD DES MANIPULATEURS 3PRPcR
Ce chapitre présente une méthode de résolution du problème géométrique direct des
manipulateurs parallèles de la classe topologique 3-PRPcR [31]. Cette méthode
permet de déterminer la position de l’effecteur à partir des positions articulaires des
curseurs le long des vis commandés. Géométriquement, la solution de ce problème
équivaut à déterminer les points d’intersection de trois sphères centrées sur les axes
commandés et décalés selon la géométrie de l’effecteur. Algébriquement, ce
problème se ramène à résoudre un système de trois équations quadratiques à trois
inconnues, dont il n’existe au plus que deux solutions distinctes.
2.1 Topologie des manipulateurs 3PRPcR
les manipulateurs parallèles de topologie 3PRPcR sont composés de trois jambes de
topologie identique : soit PRPcR. Chaque jambe et comme le montre la figure 2.1,
est constituée de composantes principales :
1. Une base;
2. Un curseur motorisé en translation;
3,4. Membrures parallèles dont le rôle est d’assurer un mouvement prismatique
circulaire Pc de l’élément 5 par rapport au curseur;
5. Un guide parallèle au curseur;
6. Un organe terminal.
7. Un effecteur fixe sur l’organe terminal.
Figure 2.1 : Manipulateur parallèle 3PRPcR et ses composantes principales
En déconnectant une jambe, on remarque que cette dernière produit quatre degrés de
liberté à l’effecteur par rapport à la base, soit trois DDLs en translation et un DDL
en rotation par rapport à l’axe de la pièce 5. Le degré de liberté en rotation permet de
garder une orientation constante de l’organe terminal en amortissant la rotation de ce
dernier autour de l’axe de la base équivalent.
2.2 Définition du problème
Dans ce chapitre on se propose de résoudre le MGD de toutes les géométries [32]
des manipulateurs parallèles de topologie 3PRPcR. La résolution consiste donc à
déterminer le vecteur p en fonction des déplacements articulaires qi. Pour ce faire, un
ensemble de paramètres géométriques sont définis pour décrire toutes les géométries
des manipulateurs 3PRPcR [32]. La méthode utilisée consiste à linéariser un
système S de trois équations quadratiques à trois variables pour aboutir à une
équation mono-variable à second degré. L’obtention du système S découle du fait
que la solution du MGD revient à trouver l’intersection de trois sphères quelques
soit la géométrie du manipulateur.
Figure 2.2 : Paramètres géométriques de la base pour les manipulateurs 3PRPcR
2.3 Modélisation du problème
La détermination de l’intersection des trois sphères nécessite la connaissance de
leurs centres et rayons. Dans le cas des manipulateurs 3PRPcR, les rayons
correspondent aux longueurs des jambes tandis que les centres coïncident avec les
centres des curseurs décalés des vecteurs -ib .
2.3.1 Détermination des vecteurs orientations ei
Les vecteurs orientation ei se calculent en fonction des paramètres géométriques de
la base.
iRRe
iRe
ie
3y3x3
2y2
1
����
��
αθ=
α==
(2.1)
2.3.2 Détermination des vecteurs positions des curseurs
Les vecteurs position ai et ai0 des curseurs se calculent en fonction des paramètres
géométriques de la base ainsi que des déplacements articulaires qi.
))v(αj)(a(da
)v(αaa
va
33y33x3
22y2
iRRi
iRj
i
+β+=
+==
30
20
110
(2.2)
et
iRR
iR
i
)(α)((qaa
)(αqaa
qaa
3y3x
2y
β+=
+=+=
3303
2202
1101
(2.3)
2.3.3 Détermination des vecteurs bi
Les vecteurs bi sont des caractéristiques de la géométrie de l’organe terminal et sont
calculés à partir de la configuration initiale du manipulateur. En notant par pi le
vecteur position du point Bi à l’état initiale, on peut écrire :
321000
,,:map =+= iiii
(2.4)
Tels que mi0 sont les vecteurs membrures à l’état initial du manipulateur:
33030330
22020220
1101010
l)(R)(R)(RRm
l)(R)(R)(Rm
l)(R)(Rm
φγαβ=
φγα=
φγ=
yxy3x
yxy
yx
)(
(2.5)
L’origine de l’organe terminal est choisie comme le barycentre des points Bi. Les
vecteurs bi se calculent donc seulement en fonction de pi :
32
32
32
3213
3212
3211
/)ppp(b
/)ppp(b
/)ppp(b
++=++=++=
(2.6)
2.3.3 Système d’équations
Chaque jambe du manipulateur décrit une boucle cinématique de A à B et passant
par le point Ai sur la base, le point Ei sur le curseur et le point Bi sur
l’effecteur. L’équation de fermeture de chaque boucle s’écrit de la façon suivante :
iiiii0
q bpmea +=++ (2.7)
Figure 2.3 : Boucle cinématique d’une jambe d’un manipulateur 3PRPcR
Les termes de l’équation (2.7) peuvent être séparés en deux catégories :
- les termes constants bi et ai0, à savoir ceux contenant seulement les
paramètres géométriques et
- les termes variables qi, p et mi, c’est à dire ceux pouvant varier en fonction
du temps lorsque le manipulateur se déplace.
Parmi les trois termes variables, qi est la variable d’entrée, alors que p est la variable
de sortie. Il n’y a donc à éliminer que le vecteur membrure mi de l’équation (2.7).
Une façon de procéder est d’élever au carré l’équation afin d’obtenir le carré de la
norme du vecteur mi qui est une constante connue, dénotée li, soit :
2
ii
T
il=−− )zp()zp( (2.8)
Où iiii0i
q beaz −+≡ correspondant à la position du centre du curseur i décalé de –
bi. Ce qui correspond à un système (2.9) de trois équations quadratiques à trois
inconnus en [ ]zxx
ppp≡p :
2
3
2
3zz
2
3yy
2
3xx
2
2
2
2zz
2
2yy
2
2xx
2
1
2
1zz
2
1yy
2
1xx
lzpzpzp
lzpzpzp
lzpzpzp
=−+−+−
=−+−+−
=−+−+−
)()()(
)()()(
)()()(
(2.9)
La solution du MGD de toutes les géométries des manipulateurs 3PRPcR se ramène
donc à déterminer l’intersection de trois sphères centrées sur les origines des
curseurs, décalés de –bi, et dont les rayons correspondent aux longueurs li du
manipulateur.
2.4 Méthode de résolution
Une façon de résoudre le MGD consiste à linéariser le système (2.9). Pour ce faire
on soustrait la deuxième et la troisième de la première équation du système. Ce qui
conduit au système (2.10). On note qu’on va se servir dans ce qui suit des
coefficients A1, B1, C1, D1, A2, B2, C2, D2, E1, F1, E2, F2, G et H [31].
2
1
2
1zz
2
1yy
2
1xx
2z2y2x2
1z1y1x1
lzpzpzp
DpCpBpA
DpCpBpA
=−+−+−
=++
=++
)()()(
(2.10)
Les deux premières équations de (2.10) permettent d’exprimer px et py en fonction
de pz :
2z2y
1z1x
EpFp
EpFp
+=+=
(2.11)
En remplaçant les expressions de px et py dans la troisième équation de (2.10), on
obtient une équation au second degré à un seul inconnu en pz.
0=++ HGpp z
2
z (2.12)
Cette équation montre que le MGD des manipulateurs 3PRPcR admet :
- deux solutions distinctes si HG2
4> ;
- Une solution double si HG2
4= ;
- Aucune solution réelle si HG2
4< .
L’équation (2.12) permet donc de déterminer les deux solutions possibles du MGD :
2z22y2
1z21x2
2
z2
2z12y1
1z11x1
2
z1
EpFp
EpFp
HGGp
et
EpFp
EpFp
HGGp
+=+=
−−−=
+=+=
−+−=
2
4
2
4
(2.13)
2.4 Configuration singulières
La solution du MGD se ramène à déterminer l’intersection de trois sphères dont le
vecteur position du centre est ai0 + qiei - bi et le rayon est li. Dans le cas où le
manipulateur possède des jambes de même longueur, et selon les vecteurs de
décalage bi et les commandes articulaires qi, deux des trois sphères peuvent
coïncider. Dans ce cas l’intersection des trois sphères se réduit à l’intersection de
deux sphères, ce qui correspond à un contour de cercle. Ceci correspond à des
singularités parallèles puisqu’on peut déplacer l’effecteur le long du cercle sans
déplacer les articulations Une condition nécessaire est suffisante pour que deux
sphères coïncident est :
ai0 + qiei - bi = aj0 + qjej - bj i, j =1,2,3. (2.14)
En séparant les termes constants des variables, l’équation devient
qiei – qjej = aj0 – ai0 + bi- bj (2.15)
l’équation permet le contrôle des déplacements articulaires qi pour que le
manipulateur ne passe pas par une configuration singulière.
2.5 Mode d’assemblage
La notion de mode d’assemblage est associée aux différentes solutions du MGD. Les
manipulateurs 3PRPcR possèdent donc au maximum deux modes d’assemblage
différents. Pour certaines géométries, il existe une configuration du manipulateur qui
présente une solution double au MGD. Cela permet de passer entre les deux modes
sans désassembler le manipulateur
2.6 Exemple numérique
Comme exemple numérique, on va solutionner le MGD d’un manipulateur YSTAR
MP1 dont les paramètres géométriques de la base et de l’effecteur sont donnés par :
v1=120, v2=120, a2=0, α2=2 π /3, v3=100, d3=0, a3=0, β3=0, α3=-2 π /3, l1=100,
l2=100, l3=100. Ainsi que les 6 paramètres géométriques de l’effecteur.
Figure 2.4 : Configuration initiale du manipulateur MP1
γ10=γ20=γ30= - π /2. θ10=- π /4, θ20=- π /5 et θ30= - π /3. En plus, les déplacements
articulaires sont égales à q1=q2=q3=20. La figure 2.4 illustre le manipulateur MP1 à
l’état initial. En appliquant la méthode décrite dans le paragraphe (2.4), on détermine
les deux solutions possibles du MGD qui sont :
S1= [0.0018 ; 36.0309 ; 1.3773] et S2= [-1.4900 ; -32.9669 ; 14.5287]. L’application
du MGI pour les deux solutions S1 et S2 donne les 8 résultats possibles suivants :
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
176.2494-153.1965-162.7376-SMGI
151.9786-174.4836-165.7213-SMGI
202099192
2020201
.)(
)(
Ces résultats confirment la validité de la méthode de résolution. En effet, une des
huit solutions du MGI doit être égale aux valeurs articulaires [20 20 20]. Ces deux
solutions sont illustrées dans les figures 2.5 et 2.6.
Figure 2.5 : Première solution du MGD pour MP1
Figure 2.6 : Deuxième solution du MGD pour MP1
D’après les figures, on remarque que les trois points de connexion Bi forment
toujours un triangle d’orientation fixe dans l’espace, ce qui confirme la validité de
cette méthode de résolution, puisque les manipulateurs 3PRPcR génèrent un
mouvement de translation à orientation fixe de l’organe terminal.
2.6 Solution du MGD avec la matrice jacobienne
2.6.1 MGI
Le MGI consiste à déterminer les déplacement articulaires qi connaissant le vecteur
position du centre de l’effecteur p. Connaissant les longueurs des membrures, on
peut écrire :
2
iiiii
T
iiiil)q()q( =−−+−−+ eabpeabp
00 (2.16)
En définissant ui tel que ui=p + bi- ai0, l’équation (2.16) devienne :
02 =−+− )l(q)(q 2
ii
T
iii
T
i
2
iuueu (2.17)
Ce qui donne les deux solutions possibles suivantes
)(q 2
ii
T
i
2
i
T
ii
T
iiluueueu −−±= (2.18)
2.6.2 Matrice jacobienne
La matrice jacobienne exprime la relation entre les vitesses de l’origine de l’organe
terminal [dpx dpy dpz] et les vitesses des déplacement articulaires [...
321qqq ]. Les
membrures des manipulateurs 3PRPcR ont des longueurs constantes. Ce qui se
traduit par :
0=−−+−−+ )qd()q(iiii0
T
iiii0bpeabpea (2.19)
En annulant tous les termes constants, on obtient l’équation exprimant la relation
entre, dp, dqi :
0=+ pmem ddq T
iii
T
i (2.20)
ce qui se traduit de façon matricielle par l’équation 2.21.
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
3
2
1
3
T
3
2
T
2
1
T
1
z
y
x
T
3
T
2
T
1
dq
dq
dq
dp
dp
dp
em
em
em
m
m
m
00
00
00
(2.21)
3.3 Singularités sérielles :
À partir du tableau 1.1, des singularités sérielles peuvent survenir si l’un des
éléments de la matrice jacobienne sérielle est nul. Géométriquement, ceci
correspond à des configurations où l’un des vecteurs membrures mi est
perpendiculaire à l’axe ei de sa base respective. Ceci s’explique par le fait que
l’origine de l’effecteur atteint la distance maximale de l’axe ei.
3.3 Algorithme de résolution et exemple numérique.
La méthode de résolution se base sur l’algorithme de newton qui permet de
minimiser l’écart entre les valeurs des <<inputs>> des déplacements articulaires et
les solutions du MGI du point solution du MGD. Les différentes étapes de
l’algorithme sont les suivantes :
1. Choix du point de départ de la boucle P=P0 ;
2. Test si norme(MGI(P)-qi)<ε alors MGD(qi)=P, sinon aller à 3 ;
3. ∆q= (MGI(P0)-qi)/100 ;
4. q∆=∆ −**
1 BAp ;
5. p = p-∆p ;
6. Aller à l’étape 2.
Comme exemple numérique, on va solutionner le MGD pour la même géométrie
MP1 étudiée au paragraphe 2.4.
Le tableau 2.1 regroupe les résultats obtenus en fonction du point de départ de la
boucle et de l’erreur exigée.
P0 ε MGD Nombre d’itération :n
[10 ; 50 ; 15] 0.1 [0.0385 ; 36.1057 ; 1.4224] 555
[10 ;-50 ; 15] 0.1 [-1.4383 ; -33.0697 ; 14.5337] 541
[10 ; 50 ; 15] 0.01 [0.0055 ; 36.0384 ; 1.3818] 784
[10 ;-50 ; 15] 0.01 [-1.4848 ; -32.9772 ; 14.5292] 770
Tableau 2.1 : Solution du MGD et nombre d’itérations pour MP1 en fonction de
l’erreur et du point de départ de la boucle
À partir des résultats du tableau, on conclut que selon le point de départ de la boucle,
l’algorithme va converger vers l’une des deux solutions du MGD et que le nombre
d’itération dépend de l’erreur exigée.
La figure 2.7 représente l’évolution de l’erreur pour un point de départ de
[10 ;50 ;15] et pour une erreur de 0.01.
Figure 2.7 : Évolution de l’erreur en fonction du nombre d’itérations pour MP1
3 Conclusion
Dans de ce chapitre, on s’est intéressé à la résolution du MGD de tous les
manipulateurs de topologie 3PRPcR ce qui a permis de conclure les résultats
suivants :
• toutes les géométries des manipulateurs 3PRPcR ne peuvent admettre plus
que deux solutions au MGD et donc deux modes d’assemblage au maximum;
• Géométriquement, le problème équivaut à résoudre l’intersection de trois
sphères dont les centres correspondent aux centres des curseurs décalés par
les vecteurs bi, et dont les longueurs correspondent aux celles des jambes;
• Algébriquement, le problème se ramène à résoudre un système de trois
équations quadratiques à trois inconnues.
En plus, on s’est intéressé à la résolution numérique du MGD par l’algorithme de
newton utilisant la matrice jacobienne. Dans ce chapitre, on a pu aussi formuler les
conditions géométriques qui mènent à des configurations singulières de types
parallèles où sérielles.
CHAPITRE 3 MGD DES MANIPULATEURS STAR
Le chapitre suivant présente une modélisation mathématique du problème
géométrique direct des manipulateurs parallèles de topologie STAR [33]. Les
manipulateurs STAR se composent de trois jambes. Chacune est constituée des
composants suivants :
1. un moteur (pièce 1) fixe sur la base;
2. une vis (pièce 2);
3. un écrou mobile (pièce 3) en liaison hélicoïdale par rapport à la pièce 2;
4. deux membrures parallèles et de même longueur (pièce 4 et 5) ;
5. un curseur (pièce 6) en liaison prismatique circulaire par rapport à l’écrou;
6. un effecteur en liaison rotoïde par rapport au curseur.
Figure 3.1 : Manipulateur parallèle YSTAR
La topologie des manipulateurs STAR est donc 3RHPcR. Tout comme les
manipulateur 3PRPcR, les manipulateurs STAR génèrent un mouvement de
translation à son effecteur à orientation constante.
3.1 Définition du problème
On a vu dans le chapitre précèdent que le MGD des manipulateurs 3PRPcR revient à
déterminer l’intersection de trois sphères et qu’il admette au maximum deux
solutions. En effet la connaissance des déplacements articulaires permet de déduire
les vecteurs positions des curseurs. Pour les manipulateur STAR, la connaissance
des rotations des moteurs ne permet pas directement de déterminer les positions des
écrous. En effet, les écrous vont se déplacer le long de leurs vis respectives en deux
étapes :
• déplacement actif qa du à la rotation des moteur;
• déplacement passif qp du à la rotation des membrures et à cause de la liaison
hélicoïdal de l’écrou par rapport à la vis.
Le déplacement résultant se calcul donc comme :
π
γ−γ+θ=+=
2
0 iiii
piaii
))ps((qqq (3.1)
La position des écrous ne peut être déterminée puisqu’elle est fonction de la variable
géométrique passive iγ . Ce phénomène complique considérablement la solution du
MGD pour les manipulateurs STAR.
3.2 Modélisation du problème
Les manipulateurs STAR génèrent un déplacement de translation à orientation
constante. Les points de connexion Bi appartenants respectivement aux curseurs
forment alors un triangle constant en orientation. Cependant, les rotations i
θ des
moteurs font déplacer les membrures de leurs positions initiales ce qui cause un
désassemblage du manipulateur puisque les points Bi ne forment plus le même
triangle. À partir de la position déplacée, le point Bi peut générer une surface
hélicoïdale méridienne circulaire. Un point de l’espace est solution du MGD si les Bi
forment leurs triangle initial après leurs déplacement suivant leurs surfaces
respectives. La solution du MGD des manipulateurs parallèles de topologie STAR
revient donc à déterminer l’intersection de trois surfaces hélicoïdales méridiennes.
En supposant que les vis du manipulateur sont de longueur infinie, on peut dire que
les manipulateurs STAR peuvent avoir plusieurs solutions puisque les surfaces sont
infinies non fermées contrairement aux manipulateurs 3PRPcR où ces surfaces
correspondent à des sphères et constituent des surfaces fermées finies. La résolution
du MGD des manipulateurs STAR nécessite donc la paramétrisation des surfaces
décrites par les points Bi.
3.3 Paramétrisation des surfaces
Les surfaces générées par les points Bi peuvent être obtenues par le déplacement
d’un cercle selon une trajectoire hélicoïdale dont le pas correspond à celui de la vis.
En effet, chaque jambe peut tourner à la fois autour de l’axe de la vis correspondante
et aussi par rapport à l’axe perpendiculaire à ce dernier. En tournant autour de l’axe
perpendiculaire, le point Bi génère un cercle de rayon correspondant à la longueur li
de sa jambe respective . Cependant, en tournant autour de l’axe de la vis, le point Bi
génère une trajectoire hélicoïdale dont le pas correspond à celui de la vis respective .
Les surfaces sont donc complètement définies avec les deux paramètres γi et φi .
Figure 3.2 : Paramètres γi et φi
3.3.1 Paramétrisation de la première surface
À partir de la définition des surfaces décrite dans la partie précédente, on
paramétrise la surface de la façon suivante :
1z111
1y111
1x111
111
blz
bly
bvl)ps(
x
−φγ=
−φγ−=
−+φ+π
γ−γ+θ=
coscos
cossin
sin2
10
(3.2)
3.3.2 Paramétrisation de la deuxième surface
La paramétrisation de la surface 2 étant la même que la première. Cependant, il faut
tenir compte de la transformation du système d’axe A2 vers A1 1 . La paramétrisation
de la surface 2 s’écrit comme :
20
2
202
2
2
a
coscos
cossin
sin)(
)(R +
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−φγ−φγ−
−φ+π
γ−γ+θ
α=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
2z222
2y222
x22
22
y
bl
bl
blps
z
y
x
(3.3)
3.3.3 Paramétrisation de la troisième surface
30
3
303
33
2
a
coscos
cossin
sin)(
RR +
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−φγ−φγ−
−φ+π
γ−γ+θ
αβ=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
3z333
3y333
x33
33
yx
bl
bl
blps
)()(
z
y
x
(3.4)
3.4 Système d’équations
La résolution du MGD des manipulateurs STAR revient donc à résoudre un système
(3.5) de 6 équations aux 6 inconnues γ1, φ1, γ2, φ2, γ3, φ3, tel que :
1 A1 correspond au système d’axe global
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
+
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−φγ−φγ−
−φ+π
γ−γ+θ
αβ=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−φγ−φγ−
−+φ+π
γ−γ+θ
+
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−φγ−φγ−
−φ+π
γ−γ+θ
α=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−φγ−φγ−
−+φ+π
γ−γ+θ
30
3
303
33
10
20
2
202
2
10
22
22
a
coscos
cossin
sin)(
)(R)(R
coscos
cossin
sin)(
a
coscos
cossin
sin)(
)(R
coscos
cossin
sin)(
3z333
3y333
x33
33
yx
1z111
1y111
1x111
111
2z222
2y222
x22
22
y
1z111
1y111
1x111
111
bl
bl
blps
bl
bl
bvlps
bl
bl
blps
bl
bl
bvlps
(3.5)
Ce système est d’une complexité considérable et ne peut être résolu algébriquement,
vu le terme γi qui apparaît dans l’expression du déplacement passif et aussi de
l’orientation des membrures. Le problème peut être approximé si on néglige les
déplacements passifs. Cette façon de faire est celle qui a été adoptée jusqu’ a
maintenant pour l’étude du STAR, et qui considère le STAR comme un 3PRPcR et
non 3RHPcR. une telle approximation n est pas souhaitable, puisqu on n a pas une
information permettant de négliger les déplacements passifs. En plus, ceci ne va pas
permettre de déterminer le nombre des solutions du MGD.
3.5 Solution du MGD avec la matrice jacobienne
3.5.1 MGI
Pour les STAR, le MGI consiste à déterminer les angles de rotation i
θ des moteurs
connaissant le vecteur position du centre de l’effecteur p. Les équations (2.16) à
(2.18) restent valables aussi pour les STAR. En combinant l’équation (2.18) et (3.1),
on établie l’expression des angles i
θ de rotation des moteurs en fonction de la
position de l’origine de l’effecteur p. Les huit solutions possibles au MGI sont
données donc par l’équation (3.6).
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
γ−γ−π−−±
=θ
γ−γ−π−−±−
=θ
γ−γ−π−−±−
=θ
)(ps
))((
)(ps
))((
)(ps
))((
2
33
T
3
2
3
T
33
T
3
2
22
T
2
2
2
T
22
T
2
2
11
T
1
2
1
T
11
T
1
303
3
3
202
2
2
101
1
1
2
2
2
luueueu
luueueu
luueueu
(3.6)
Dans cette équation, apparaissent les termes iγ -0i
γ qui correspondent aux
déplacements passives des écrous. 0i
γ sont des constantes qui dépendent de la
géométrie de l’effecteur du manipulateur et de son état initial. Les termes i
γ varient
en fonction du déplacement du manipulateur et se calculent en fonction du vecteur
position de l’origine de l’organe terminal par l’équation suivante.
0
1
1
0
1
1
>−−
−−=γ
<−−
−=γ
))((si))((
))((ar
))((si))((
))((ar
i
T
ii
T
i
i
T
ii
i
T
ii
T
i
i
i
T
ii
T
i
i
T
ii
i
T
ii
T
i
i
ueeIJ:
uee
ueekcos
ueeIJ:
uee
ueekcos
(3.7)
3.5.2 Matrice jacobienne
La matrice jacobienne exprime la relation entre les vitesses de l’origine de l’organe
terminal [dpx dpy dpz] et les rotations des moteurs [...
321θθθ ]. L’équation (2.19)
exprimant l’invariabilité des longueurs des membrures reste aussi valable pour les
STAR. En combinant cette équation avec (3.1), on obtient l’équation exprimant la
relation entre, dp, dθi et dγi :
02 =+θ+γ pm)(em dπdps T
iiii
T
ii (3.8)
Ce qui se traduit de façon matricielle comme suit :
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
γ+θγ+θγ+θ
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
πππ
)d(
)d(
)d(
ps
ps
ps
dp
dp
dp
33
22
11
3
T
33
2
T
22
1
T
11
z
y
x
T
3
T
2
T
1
em
em
em
m
m
m
00
00
00
2
2
2
(3.9)
Dans cette équation, apparaissent les angles iγ qui correspondent aux déplacements
passifs. Cependant, il faudrait les éliminer pour exprimer une relation directe entre
dp et dθi. Une façon de faire est d’exprimer les variations dγi soit en fonction de dp
soit en fonction de dθi. Cependant, et à partir de l’équation de la fermeture de
chaque boucle , on peut écrire :
))(()(ii
T
iii
T
ii 011 abpeemee −+−=− (3.10)
ipi
T
ii )( mmee =−1 Correspond à la projection du vecteur mi sur le plan
perpendiculaire à ei. En plus, les différentiels d iγ s’expriment en fonction de dmip
par l’équation :
pee1mee1m )d()(ddT
iii
T
iiiip −=−γ= (3.11)
En projetant l’équation sur l’axe ji on obtient :
iip
T
i
T
ii
T
i dd γ=− ⊥mjp)ee1(j (3.12)
Ainsi, on peut exprimer idγ directement en fonction de dp :
p
mj
)ee1(jdd
ip
T
i
T
ii
T
i
i
⊥
−=γ
(3.13)
Le vecteur iip
T
iiip
T
iip jmkkmjm −=⊥ , étant le vecteur perpendiculaire à mip
appartenant au plan perpendiculaire à ei.
L’équation (3.8) devient alors :
02 =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡π+−+θ
⊥
pm)ee1(jmj
emem d
psdps T
i
T
ii
T
i
ip
T
i
i
T
ii
ii
T
ii (3.14)
Cette relation exprime une relation directe entre les vitesses de l’origine de
l’effecteur et les vitesses de rotation des moteurs. De façon matricielle, on peut
écrire alors :
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
θθθ
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
π+−
π+−
π+−
⊥
⊥
⊥
3
2
1
333
222
111
3333
33
333
2222
22
222
1111
11
111
00
00
00
2
2
2
d
d
d
emps
emps
emps
dp
dp
dp
ps
ps
ps
T
T
T
z
y
x
TTT
p
T
T
TTT
p
T
T
TTT
p
T
T
m)ee1(jmj
em
m)ee1(jmj
em
m)ee1(jmj
em
(3.15)
3.5.3 Algorithme de résolution et exemple numérique
L’algorithme de résolution est le même utilisé pour la résolution du MGD pour les
manipulateurs 3PRPcR. Cependant, les matrices jacobiennes sérielle et parallèle
prennent les nouvelles formes des manipulateurs STAR.
1. Choix du point de départ de la boucle p=p0
2. Test, si norme (MGI (p)-ωi) <ε alors MGD (ωi)=p, sinon aller à 3 ;
3. ∆θ=(MGI (p)- θi)/100 ;
4. ∆p=A-1*B*∆θ ;
5. p=p-∆p ;
6. Aller à l’étape 2.
Comme exemple numérique, on va solutionner le MGD pour un manipulateur STAR
MP2 dont les paramètres géométriques sont :
v1=100, v2=100, a2=0, α2=2 π /3, v3=100, d3=0, a3=0, β3=0, α3=-2 π /3, l1=100,
l2=100, l3=100, ps1=140, ps2=140, ps3=140. Ainsi que les 6 paramètres géométriques
de l’effecteur2.
γ10=γ20=γ30= θ10=θ20=θ30= - π /4 . Les valeurs des angles de rotation des moteurs sont
égales à [-4rad, -4rad, -4rad]. Le tableau regroupe les résultats obtenus en fonction
du point de départ de la boucle et de l’erreur exigée.
P0 ε MGD Nombre d’itération
[20 ;-50 ; 10] 0.1 [0.6019 ;-83.5137 ; 0.0965] 298
[20 ;-50 ; 10] 0.01 [0.0706 ;-83.7235 ;-0.0074] 527
Tableau 3.1 : Solutions du MDG et nombre d’itérations pour MP2 en fonction de
l’erreur et du point de départ de la boucle
Les deux solutions trouvées correspondent à la même configuration de l’effecteur.
La différence réside dans la précision exigée. On verra plus tard dans le chapitre 4
2 Les paramètres géométriques de l’effecteur permettront de déterminer la position initiale de
l’effecteur ainsi que des vecteurs de décalages bi
que cette solution est l’une des 12 solutions possibles au MGD pour MP2. La figure
3.3 présente l’évolution de l’erreur en fonction du nombre des itérations.
Figure 3.3 : Évolution de l’erreur en fonction du nombre d’itérations pour MP2
Conclusion
Ce chapitre a été consacré à l’étude du MGD de tous les manipulateurs de topologie
STAR. Après une formulation du problème, on a démontré que le MGD des STAR
revient à déterminer l’intersection de trois surfaces hélicoïdales méridiennes
cycliques. Ceci nous a amené à penser sur la possibilité que les STAR possèdent
plus que deux solutions, puisque ces surfaces sont théoriquement infinies à
l’encontre des manipulateurs 3PRPcR. On a démontré également que le MGD
équivaut à résoudre un système de six équations non linéaires à six inconnus. On a
également établi les matrices jacobiennes sérielles et parallèles, ce qui a permis de
résoudre numériquement le MGD par la méthode de Newton. Après les deux
chapitres 2 et 3, on peut conclure que les deux topologies peuvent paraître
semblables, mais ils sont tout à fait différents à cause des joints hélicoïdaux qui
produisent des déplacements passifs s’interférant avec ceux générés par les rotations
des moteurs. Le chapitre 4 a pour objectif de donner des exemples numériques pour
la résolution du MGD pour les STAR. Cela va nous permettre de confirmer ou non,
que les STAR ont plus que deux modes d’assemblage.
Chapitre 4 Solution du MGD et exemples numériques
Dans ce chapitre, on va présenter une méthode graphique de résolution du MGD des
manipulateurs STAR. Cette méthode se base sur la détermination de l’intersection
de trois surfaces hélicoïdales méridiennes circulaires. Pour ce faire, on va utiliser
l’atelier <<Wireframe and Surface Design>> du logiciel CATIA. En premier temps,
on va appliquer cette méthode pour un manipulateur YSTAR dont les solutions
seront validées avec les équations du MGI décrites dans le chapitre 3 et aussi en
donnant les différentes configurations géométriques du manipulateur. En second
temps, la méthode précédemment décrite sera appliquée pour un manipulateur
STAR dont les axes des vis ne sont pas dans le même plan. La troisième partie de ce
chapitre sera consacrée à établir une éventuelle relation entre les paramètres
géométriques du manipulateur et le nombre de solution du MGD. Cependant on va
se contenter de varier les pas des vis en fonction des longueurs de leurs jambes
respectives. Cette façon de faire est justifiée par le fait que la forme des surfaces
hélicoïdales méridiennes circulaires dépend seulement du pas et de la longueur de la
jambe.
4.1 Solution du MGD pour un manipulateur YSTAR
Le YSTAR [33] est un manipulateur dont les axes des vis sont coplanaires et faisant
un angle de 120 l’un par rapport à l’autre. Dans cette partie, on va étudier deux
géométries différentes de manipulateurs YSTAR dont la différence réside dans les
grandeurs vi, les longueurs li ainsi que les valeurs de rotation des moteursi
θ
représentant les <<inputs>> du problème. Les géométries des deux manipulateurs
sont respectivement définies donc par les 15 paramètres géométriques de la base :
MP3: v1=20, v2=20, a2=0, α2=2 π /3, v3=20, d3=0, a3=0, β3=0, α3=-2 π /3, l1=10,
l2=10, l3=10, ps1=140, ps2=140, ps3=140.
Et
MP4=MP1: v1=100, v2=100, a2=0, α2=2 π /3, v3=100, d3=0, a3=0, β3=0, α3=-2 π /3,
l1=100, l2=100, l3=100, ps1=140, ps2=140, ps3=140. Ainsi que les 6 paramètres
géométriques de l’effecteur3.
γ10=γ20=γ30= φ10=φ20=φ30= - π /4 ;
La détermination des solutions du MGD va se faire en trois étapes suivantes :
• générer les trois surfaces Su1, Su2 et Su3 décrites par chacune des jambes du
manipulateur ;
• déterminer les courbes Cr1 et Cr2 qui représentant respectivement
l’intersection de Su1 avec Su2 et Su1 avec Su3 ;
• déterminer les points d’intersection de Cr1 avec Cr2.
3 Les paramètres géométriques de l’effecteur permettront de déterminer la position initiale de
l’effecteur ainsi que des vecteurs de décalages bi
4.1.1 Géométrie 1
Figure 4.1 : Surfaces décrites par les points Bi pour MP3
La figure 4.1 représente les trois surfaces décrites par les points Bi. Cependant,
l’origine de l’effecteur4 est décalée de chaque point Bi. Les surfaces Sui sont donc
obtenues en translatant les surfaces de la figure 4.1 par les grandeurs -bi.
4 Dans toute l’étude, l’origine de l’effecteur est considéré comme étant le barycentre des points Bi.
Figure 4.2 : Surfaces Sui représentant les surfaces décrites pas les points Bi
translatées par les grandeurs-bi pour MP3
À noter que les surfaces verte, bleue et rouge représentent respectivement celles
décrites par les points B1, B2 et B3.
La génération des courbes Sui permet par la suite de déterminer les courbes Cri
illustrées dans la figure 4.3.
Figure 4.3 : Courbes d’intersection des surfaces Su1 avec Su2 et Su1 avec Su3, ainsi
que les points solution du MGD pour MP3
À partir de la figure 4.3. On constate alors que le MGD admet huit solutions
illustrées par les points noirs. La détermination des cordonnées de ces points se fait
directement par le logiciel CATIA en utilisant la fonction de mesure. Le tableau
suivant regroupe les cordonnées des huit solutions du MGD.
Points Cordonnée selon x Cordonnée selon y Cordonnée selon z
p1 3.143 -5.429 0.645
p2 1.066 -7.84 1.083
p3 0 -8.194 0
p4 0.402 -7.836 -1.474
p5 -1.024 -5.421 -3.05
p6 -1.48 -7.837 0.39
p7 -2.133 -5.429 2.407
p8 -0.004 -2.988 0.002
Tableau 4.1 : Les huit solutions du MGD pour MP3
L’équation (3.6) montre que pour une position p donnée de l’origine de l’effecteur,
θi admet deux solutions possibles. Une condition nécessaire et suffisante pour
valider la méthode utilisée est de s’assurer que l’une des solutions du MGI des
points pi est : [-2rad ;-2rad ;-2rad]. L’organigramme suivant explique la méthode de
validation numérique utilisant le MGI.
Input = [input1; input2; input3]
MGD
Solutions du MGD : pi
MGI
Inputc = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
θθθθθθ
322212
312111
Valide si Inputci1=inputi ou Inputci2=inputi. i=1,2,3
n’est pas valide sinon
Figure 4.4 : Organigramme de la vérification numérique des solutions du MGD par
le MGI
Le tableau 4.2 regroupe les solutions du MGI pour les différentes solutions du
MGD.
Points Inputc= ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
θθθθθθ
322212
312111
p1 -1.4485 -1.6531 -2.0067
-2.0066 -2.0096 -2.7398
p2 -1.9103 -1.9991 -2.0027
-2.0214 -2.2768 -2.4607
p3 -1.9998 -1.9998 -1.9998
-2.2515 -2.2515 -2.2515
p4 -2.0031 -1.9088 -1.9987
-2.4622 -2.0212 -2.2762
p5 -2.0074 -1.4473 -1.6521
-2.7410 -2.0066 -2.0075
p6 -1.9990 -2.0034 -1.9093
-2.2760 -2.4626 -2.0204
p7 -1.6534 -2.0079 -1.4482
-2.0086 -2.7411 -2.0064
p8 -1.2767 -1.2769 -1.2763
-2.0062 -2.0067 -2.0058
Tableau 4.2 : Vérification numérique des solutions du MGD pour MP3 avec la
méthode du MGI
À partir des résultats du tableau 4.2, on peut dire que la méthode utilisée est bien
validée puisque pour toutes les solutions du MGD, il existe un mode opératoire qui
coïncide avec les valeurs imposées de rotations des moteurs. En prenant à titre
d’exemple la solution p5, on trouve comme solutions possibles aux MGI les
valeurs ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
2.0075- 2.0066- 2.7410-
1.6521- 1.4473- 2.0031-.
Les solutions qui coïncident avec [-2 -2 -2] est le vecteur [11
θ22
θ32
θ ]. Les erreurs
sont dues aux erreurs de génération des surfaces, puisque ces dernières ont été
approximées par une surface enveloppe passant par des courbes hélicoïdales.
4.1.2 Géométrie 2
En suivant la même procédure décrite dans l’exemple précédent, on trouve les douze
solutions possibles du MGD pour la géométrie 2 illustrée dans la figure 4.5. Les
figures suivantes montrent les différentes configurations du manipulateur dans les
différentes solutions du MGD.
Figure 4.5 : Configuration initiale du manipulateur du MP4
points x (u) y (u)
z (u)
P1 8.0150 43.8520 -65.5570
P2 -7.1760 17.6380 -62.3750
P3 -34.6600 44.5030 -16.5620
P4 0.0690 72.3290 0.0520
P5 31.7670 44.4650 -21.7240
P6 52.8330 43.7350 39.6540
P7 3.0270 44.3210 38.4120
P8 57.6660 17.5710 24.9280
P9 -60.7220 43.6030 25.9880
P10 -50.4070 17.5780 37.4510
P11 0.0360 -30.0820 0.0850
P12 0.0700 -83.6670 0.0360
Tableau 4.3 : Les douze solution du MGD pour MP4
Les solutions du MGI de ces points sont données dans le tableau suivant :
points MGI (rad)
P1 2.2851 -0.9013 -3.9981
-5.6600 -1.3709 -8.3268
P2 2.2842 1.7200 -3.9912
-6.4809 -4.0049 -8.0550
P3 -0.8596 2.2812 -2.6877
-8.3164 -5.3461 -4.0282
P4 -0.8552 -0.8608 -0.8501
-5.1255 -5.1328 -5.1333
P5 2.2856 -2.7061 -0.8580
-5.3432 -4.0163 -8.3197
P6 -0.8184 -4.0004 2.2848
-1.4494 -8.3258 -5.6651
P7 -2.6942 -0.8619 2.2900
-4.0225 -8.3281 -5.3485
P8 1.7252 -3.9969 2.2844
-4.0062 -8.0502 -6.4815
P9 -3.9993 2.2855 -0.7527
-8.3270 -5.6703 -1.5139
P10 -3.9941 2.2840 1.7239
-8.0515 -6.4820 -4.0073
P11 -0.8558 -0.8597 -0.8519
-8.1405 -8.1497 -8.1454
P12 -3.9878 -3.9945 -3.9807
-5.9873 -5.9927 -6.0031
Tableau 4.4 : Vérification numérique des solutions du MGD pour MP4 avec la
méthode du MGI
Figure 4.6 : Première configuration du MGD pour MP4
Figure 4.7 : Deuxième configuration du MGD pour MP4
Figure 4.8 : Troisième configuration du MGD pour MP4
Figure 4.9 : Quatrième configuration du MGD pour MP4
Figure 4.10 : Cinquième configuration du MGD pour MP4
Figure 4.11 : Sixième configuration du MGD pour MP4
Figure 4.12 : Septième configuration du MGD pour MP4
Figure 4.13 : Huitième configuration du MGD pour MP4
Figure 4.14 : Configuration 9 du MGD pour MP4
Figure 4.15 : Configuration 10 du MGD pour MP4
Figure 4.15 : Configuration 11 du MGD pour MP4
Figure 4.16 : Configuration 12 du MGD pour MP4
4.2 Solution du MGD pour un manipulateur STAR à orientation quelconque
dans l’espace
La plupart des travaux précédents ont porté seulement sur les manipulateurs YSTAR
où les axes des trois vis sont coplanaires et forment un angle de 120 degré l’un par
rapport à l’autre. Dans la première partie de ce mémoire, on a montré que tous les
manipulateurs 3PRPcR admettent au maximum 2 solutions réelles au MGD, puisque
pour toutes les géométries, ce problème revient à déterminer l’intersection de trois
sphères. La partie qui vient a pour but de compléter l’étude faite sur les deux
géométries d’un manipulateur YSTAR et étendre les résultats pour des géométries
où les axes des vis sont à orientation quelconque dans l’espace. Cependant, le fait
que le MGD revient à déterminer l’intersection de trois surfaces hélicoïdales
méridiennes circulaires reste toujours valable puisque la topologie est identique à
celle des STAR. Dans cette partie, on va s’intéresser à résoudre le MGD de deux
géométries de manipulateurs STAR. Le premier MP5 présente la caractéristique que
les axes forment un angle de 90 l’un par rapport à l’autre, alors que le second MP6
possède des vis dont les axes sont parallèles.
4.2.1 Géométrie à axes perpendiculaires
Les paramètres géométriques de la base et de l’effecteur décrivant le premier
manipulateur sont v1=20, v2=20, a2=0, α2= π /2, v3=20, d3=0, a3=0, β3= π /2, α3= π /2,
l1=10, l2=10, l3=10, ps1=140, ps2=140, ps3=140.
et γ10= -3 π /4, γ20= - π /4, γ30= π /4, φ10=φ20=φ30= - π /4 .
Les θi sont prises égales à [-4 rad. -4rad, -4rad].
Ainsi, les vecteurs ei et ai0 se calculent directement selon :
ka;ja;ia
ke;je;ie
330220110
321
vvv ======
En suivant la même procédure de résolution décrite dans la partie précédente, on
détermine les 13 solutions du MGD dont 8 sont illustrées dans les figures. Les cinq
autres solutions n’ont pas été présentées vu que leurs configurations sont
relativement identiques à celles illustrées dans les figures 4.17 à 4.24.
Figure 4.17 : Configuration 1 du MGD pour MP5
Figure 4.18 : Configuration 2 du MGD pour MP5
Figure 4.19 : Configuration 3 du MGD pour MP5
Figure 4.20 : Configuration 4 du MGD pour MP5
Figure 4.21 : Configuration 5 du MGD pour MP5
Figure 4.22 : Configuration 6 du MGD pour MP5
Figure 4.23 : Configuration 7 du MGD pour MP5
Figure 4.24 : Configuration 8 du MGD pour MP5
4.2.2 Géométrie à axes parallèles
CONCLUSION
Dans ce travail, on s’est intéressé à la modélisation et la résolution du model
géométrique direct de toutes les géométries des manipulateurs de topologie 3PRPcR
et STAR. Les deux géométries génèrent un mouvement de translation à l’effecteur à
orientation constante et sont relativement semblables au niveau de leurs
composantes mécaniques ainsi que la transmission du mouvement. Cependant, et à
cause des joints hélicoïdaux du STAR, le modèle cinématique change complètement
pour le MGD ainsi que le MGI. En effet, on a vu que géométriquement, le MGD
pour les STAR équivaut à trouver l’intersection de trois sphères. Les paramètres de
ces trois sphères sont fonction des paramètres géométriques du manipulateur. Ce
résultat a permis de déduire que toutes les géométries des manipulateurs 3PRPcR ne
peuvent avoir plus que deux modes d’assemblage. On a démontré également que
algébriquement, le MGD revient à résoudre un système de trois équations
quadratiques à trois inconnus. Dans ce mémoire, on s’est intéressé aussi à la
résolution du MGD des manipulateurs STAR. On a démontré que contrairement aux
3PRPcR, la connaissance des valeurs articulaires ne permet pas directement de
connaître la position des curseurs (joints hélicoïdaux) et par conséquent la position
de l’effecteur, à cause des déplacement passifs des jambes. Après une formulation
mathématique du problème, on a déduit que le MGD équivaut à
trouver l’intersection de trois surfaces méridiennes cycliques et que algébriquement,
ce problème revient à résoudre un système non linéaire de six équations à six
inconnues. Une des propriétés de ces surfaces est qu’elles sont des surfaces infinies,
ce qui nous a amené à réfléchir sur la possibilité que les STAR possèdent plus que
deux solutions au MGD. Cette constatation intuitive a été confirmée en étudiant
quelques géométries des manipulateurs STAR. Cependant, pour deux manipulateurs
YSTAR, on a trouvé respectivement 8 et 12 solutions. Aussi, on a trouvé 8 solutions
pour un manipulateur STAR où les axes des vis sont perpendiculaires l’un par
rapport à l’autre. Ce résultat présente une originalité scientifique. En effet, les STAR
ont été considérés comme des 3PRPcR ce qui menait à croire qu’ils n’admettaient
pas plus que deux solutions au MGD et donc deux modes d’assemblage. Les
différentes solutions ont été obtenues à l’aide du logiciel CATIA qui dispose d’un
atelier de conception surfacique (wireframe and surfaces design) et capable de
déterminer des intersections entre des surfaces et des courbes. Tous les résultats
obtenus ont été validés numériquement en utilisant le MGI, et géométriquement, en
assemblant le manipulateur à l’aide de CATIA en utilisant les deux ateliers
d’assemblage (assembly design) et celui de la simulation des mécanismes (kinematic
design). Dans ce mémoire, on s’est intéressé à l’utilisation de la matrice jacobienne
pour la résolution numérique du MGD. Pour les manipulateurs STAR, et à cause des
déplacement passifs, les matrices jacobiennes sérielle et parallèle prennent une
nouvelle forme différente des 3PRPcR. Apràs ce qui a été fait dans ce mémoire, il
reste à dire si on serait capable un jour de résoudre le MGD des manipulateurs
STAR algébriquement et par la suite, déterminer le nombre des modes d’assemblage
en fonction des paramètres géométriques. Ceci peut faire l’objet des travaux futurs
concernant les manipulateurs parallèles et surtout les STAR.
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